TỐN HỌC AI CẬP CỔ ĐẠI
Tốn học của Ai Cập cổ đại ra đời sớm (cách đây khoảng 7000 năm) là một nền
toán học được phát triển và sử dụng tại Ai Cập cổ đại, tử khoảng 3000
TCN đến 300 TCN, từ Cựu Vương triều Ai Cập cho đến khi Hy Lạp hóa.do nhu
cầu thực tế địi hỏi. Hàng năm, sông Nile dâng nước từ tháng 6 đến tháng 9 đem
phù sa cho đồng bằng châu thổ nhưng cứ mỗi khi nước rút đi ranh gi ới gi ữa các
thửa ruộng lại bị xố nhồ. Chính nhu cầu đo đạc lại ruộng đất, làm thu ỷ l ợi là
những tiền đề lịch sử sản sinh ra bộ mơn Tốn học, đặc bi ệt là Hình h ọc như
việc định nghĩa về diện tích bề mặt và thể tích của những vật ba chiều, rất có
hữu dụng cho kiến trúc Ai Cập cổ đại, và đại số như regula falsi và phương
trình bậc hai.
Tiếp đó là các nhu cầu của ngành xây dựng nhà cửa, nh ững ngôi chùa, kim t ự
tháp, kế tốn... cũng góp phần thúc đẩy ngành Tốn học phát tri ển m ạnh. Toán
học Ai Cập bắt đầu bằng văn bản ở trong giai đoạn này.
Trên sông Nile có loại thực vật thuỷ sinh giống như cây lau. Người Ai C ập c ổ đ ại
đã chế tạo ra giấy cỏ lau( do đó người ta gọi các papyrus là sách c ỏ lau, sách
giấy cói hay chỉ là thảo thư). Những văn bản đầu tiên của Ai Cập đã cho chúng
ta thấy có 2 loại chữ viết là chữ tượng hình cho ch ữ khắc t ượng đài và ch ữ vi ết
(hoặc chữ thảo) được viết bằng bút lơng và mực trên giấy cói.
Jean Champollion (1790 – 1832) đã bắt đầu quá trình tìm hi ểu ch ữ viết c ủa
người Ai Cập từ thế kỉ thứ 19 thông qua các câu khắc đa ngôn ng ữ trên đá
Rosetta bằng chữ tượng hình.
Những người sao chép bản thảo thời đó đã thúc đẩy sự phát tri ển c ủa các
phương pháp toán học bằng cách viết trên giấy cói. Ngày nay v ẫn cịn t ồn t ại 2
văn bản giy cói chứa đựng sự thu thập các vấn đề toán học và cách gi ải quy ết
của họ. Hai văn bản đó là Rhind Mathematical Papyrus và Moscow Mathematical
Papyrus.
Rhind Mathematical Papyrus (khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai
Cập quan trọng. Cùng với việc đưa ra các cơng thức diện tích, ph ương pháp
nhân, chia và các tính tốn với phân số đơn vị, nó cũng ch ứa các bằng ch ứng v ề
các kiến thức toán học khác bao gồm hợp số và số nguyên tố, trung bình c ộng,

trung bình nhân và số hồn hảo. Nó cũng chỉ ra cácg giải phương trình tuy ến
tính bậc nhất cũng như cấp số cộng và cấp số nhân.


Moscow Mathematical Papyrus là văn tự toán học cổ nhất được tìm thấy cho
đến nay. Giấy cói này nổi tiếng với một số vấn đề về hình học, đặc biệt nó đ ưa
ra phương pháp tìm thể tích một hình cụt.
1.

Hệ thống số

Trong hệ thống chữ tượng hình Ai Cập, hệ thập phân đ ược s ử dụng đ ể đ ếm.
Họ dùng các biểu tượng để thể hiện các luỹ thừa của 10.

Các số khác có thể được biểu thị bằng cách sử dụng các kí hiệu này một cách
cộng gộp, hướng viết là từ phải sang trái, với các đơn v ị lớn h ơn đ ược li ệt kê
đầu tiên, sau đó các đơn vị khác được đặt theo các kí t ự kế ti ếp.

Ví dụ viết

thì nó có nghĩa là

1.100000 + 4.10000 + 2.1000 + 1.100 + 3.10 + 6.1 = 142136
Hệ thống chữ viết, trái ngược với chữ tượng hình, là một ví d ụ về m ột h ệ th ống
mã hoá. Mỗi số từ 1 đến 9 có một kí tự cụ thể, m ỗi bội s ố của 10 t ừ 10 đ ến 90
và mỗi bội số của 100 từ 100 đến 900,... cũng nh ư vậy.
Ví dụ: Số 37 được viết bằng cách đặt kí tự đại diện cho 7 bên c ạnh kí t ự đ ại
diện cho 30. Kí tự đại diện cho 7 là
viết là


2.

, nên 37 được

.

Tương tự, kí tự đại diện cho 3 là
cho 200 là

, kí tự đại diện cho 30 là

, kí tự đại diện cho 40 là

nên số 243 được viết là

, kí tự đại diện

.

Phương pháp tính tốn
2.1.
Phép cộng và phép trừ

Trong hệ thống chữ Ai Cập, chỉ cần thu thập các biểu tượng và chuy ển đ ổi
mười biểu tượng giống nhau thành biểu tượng cao hơn tiếp theo.
Ví dụ: Tính cộng


Sau đó chuyển đổi 10 biểu tượng giống nhau thành biểu tượng cao h ơn tiếp
theo:


và cuối cùng là

.

Ví dụ:

Sau đó chuyển đổi thành
Tuy nhiên, trong hệ thống chữ viết, một thuật toán đơn giản cho phép c ộng và
phép trừ là không thể thực hiện được.
2.2.

Phép nhân và phép chia

Thuật toán Ai Cập cho phép nhân được dựa trên q trình nhân đơi liên t ục. Đ ể
nhân 2 số a và b, đầu tiên người ta sẽ viết cặp 1, b. Sau đó sẽ tángaps đơi m ỗi s ố
trong cặp, cho đến khi nhân số tiếp theo gây ra phần tử của c ặp đ ầu tiên v ượt
quá a. Sau đó, họ xác định được các luỹ thừa nào của 2 c ộng lại bằng a, r ồi h ọ sẽ
cộng các bội số tương ứng của b để ra được kết quả của a nhân b.
Ví dụ:


Vì phép chia là nghịch đảo của phép nhân, một vấn đề nh ư 156 : 12 sẽ đ ược
hiểu là số nào nhân 12 để được 156”.
Ví dụ:

Tuy nhiên, họ sẽ kiểm tra các dòng ở cột bên phải có tổng bằng 156, ở đây là s ố
12, 48 và 96. Sau đó họ tính tổng các số tương ứng bên trái, cụ th ể là 1, 4 và 8 ta
sẽ được đáp án là 13.
2.3.


Phân số

Người Ai Cập chỉ xử lí các phân số đơn vị và ngoại lệ duy nh ất là . Phân số (1
trên n) trong chữ tượng hình được biểu diễn bằng kí tự cho số nguyên n với kí
tự

ở trên. Trong chữ viết thì dấu chấm được sử dụng thay thế. Vì v ậy, đ ược

kí hiệu trong hệ thống chữ tượng hình là
ngoại lệ duy nhất có một kí tự đặc biệt là

và hệ thống chữ viết là

. là

trong hệ thống chữ tượng hình

và
trong hệ thống chữ viết, với các phân số khác phân số đ ơn v ị thì ng ười Ai
Cập chỉ đơn giản viết chúng thành tổng các phân số đơn vị.
Ví dụ: Bài tốn số 3 của Rhind Mathematical Papyrus hỏi làm cách nào đ ể chia 6
ổ bánh mì cho 10 người đàn ơng. Kết quả đưa ra là mỗi người sẽ nhận đ ược 2
10 ổ bánh mì (tức là ). Người sao chép bản thảo sẽ kiểm tra bằng cách nhân giá
trị này với 10.


Trong thực tế, phần đầu tiên của Rhind Mathematical Papyrus là một bảng chia
2 của mỗi số nguyên lẻ từ 3 đến 101 như sau:


Ta có bảng phép cộng mở rộng của người Ai Cập, Methematical Leather Roll có
niên đại khoảng năm 1600 TCN, nó chứa 26 tổng c ủa các phân s ố đ ơn v ị b ằng


một phân số đơn vị khác như sau:

Từ các bảng trên, việc thực hiện nhân, chia 2 phân số cũng trở nên dễ dàng.
Ví dụ:


Ví dụ:

Theo ngơn ngữ tốn học hiện đại, điều cần thiết là x sao cho + x = 1
hoặc tìm y sao cho = 1 và tìm được y = 4. Do đó ph ần cịn l ại đ ược thêm vào là .
Bước tiếp theo chúng ta tìm z sao cho z( . Nhân cả 2 vế v ới 42 ta đ ược 97z = 2,
khi đó . Khi đó người sao chép đã tìm ra được (t ức

).

Ví dụ:

3.

Phương trình tuyến tính và tỉ lệ thức
3.1.
Kĩ thuật bình thường

Đầu tiên, bài toán số 19 của Moscow Mathematical Papyrus sử dụng kĩ thuật
bình thường để tìm con số mà nếu lấy đi lần số đó và cộng thêm 4 thì sẽ có



tổng bằng 10. Theo ngơn ngũe tốn học hiện đại, ph ương trình ch ỉ đ ơn gi ản là x
+ 4 = 10. Những người sao chép bản thảo đã tiến hành nh ư sau: “ L ấy 10 tr ừ 4
được kết quả là 6. Sau đó tìm số nào nhân với ra 1 thì ta tìm đ ược k ết qu ả là .
Sau đó lấy của 6 sẽ được kết quả là 4. Bạn đã tìm đ ược đáp án chính xác.” C ụ
thể là, sau khi trừ đi 4, người sao chép bản th ảo chú ý r ằng ngh ịch đ ảo c ủa là
và sau đó nhân 6 với lượng này.
3.2.

Phương pháp đặt sai và tỉ lệ thức

Phương pháp giải phương trình tuyến tính phổ biến nh ất của ng ười Ai C ập
thường được gọi là phương pháp đặt sai, phương pháp này giả đ ịnh m ột câu tr ả
lời thuận tiện nhưng có lẽ khơng chính xác và sau đó điều ch ỉnh b ằng cách s ử
dụng tỉ lệ thức. Ví dụ: Bài tốn số 26 của Rhind Mathematical Papyrus yêu cầu
tìm một số lượng mà khi cộng thêm của chính nó thì được kết quả là 15. Cách
giải của người sao chép bản thảo như sau: “ Giả sử câu trả lời là 4. Sau đó của 4
là 5. Nhân 5 để được 15 thì đáp án là 3. Nhân 3 và 4 thì đáp án là 12.” Theo ngơn
ngữ tốn học hiện đại, vấn đề giải phương trình


4.

Hình học
4.1.
Diện tích hình chữ nhật, hình tam giác và hình thang

4.2.

Xấp xỉ diện tích hình trịn



4.3.

Hình chóp