Giai nhieu cach cho bai toan thi GVG tinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.35 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH Việc giải bài toán bằng nhiều cách cũng là một phương pháp học tương đối hiệu quả. Trong kỳ thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh THCS tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 – 2014 có bài toán như sau: Bài toán: Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh CD sao cho CM = 2DM. Gọi E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BD. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm E xuống cạnh AD, O và N lần lượt là trung điểm của DE và BC. Chứng minh: a) Tứ giác ABOH nội tiếp đường tròn. b) Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN Sau đây tôi xin nêu một số cách giải cho câu b . Cách 1: Gọi K là giao điểm của CE với AD Ta có: Δ AED=Δ CED (c.g.c) ⇒ ∠MAD =∠KCD ⇒ Δ ADM=Δ CDK ( g . c . g) ⇒ ∠AMD =∠CKD Mà ∠DKC=∠ KCB (so le trong) nên ∠ AMD =∠ KCB (1). A. K H. E. D. M. Gọi I là giao điểm của HE với BC, ta có: CI DE DM 1 = = = Suy ra I là trung điểm của CN. IB. EB. AB 3 Δ ENC Khi đó cân tại E nên ∠ ENC =∠KCB Từ (1) và (2) suy ra ∠ AMD =∠ ENC. Do đó, tứ giác EMCN nội tiếp Mà ∠ NCM=90 0 nên ∠ MEN=900 Hay NE ⊥ AM. (2) B. Cách 2: Đặt cạnh hình vuông bằng a. Khi đó: a 2a CN= ;CM= ; 2 3. MN=√ CN2 +CM2=. N. I. A. D. 5a 6. Do đó: CN + CM + MN = 2a Trên tia đối của tia BC lấy điểm K, sao cho: KB = DM. Ta có: Δ ADM=Δ ABK , suy ra: ∠ KAB=∠ DAM do đó: ∠ KAM=90 0 Ta có: Δ AKN=Δ AMN (c.c.c) ⇒ ∠MAN =∠KAN=450K. E. B. C. N. M. C.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Vậy tứ giác AENB nội tiếp (Vì có ∠ EAN =∠EBN=45 0 ) Mà ∠ ABN=900 nên ∠ AEN=90 0 Vậy NE ⊥ AM. Cách 3: 2 a 5 Ta có: AF= AN= √ 3 3 1 a 2 BF= BD= √ 3 3 AF √ 10 = Suy ra BF 2. A. D. E. Lại có: 1 a 5 NF= AN= √ 3 6 EF=BD −BF −ED 1 1 5a 2 ¿ a √ 2− a √ 2− a √ 2= √ 3 4 12. Suy ra:. M. (1). EF √ 10 = NF 2. F. B. N. C. (2). Từ (1) và (2) ta có: AF EF = . Khi đó: Δ AFE và Δ BFN đồng dạng với nhau BF NF ⇒ ∠EAN =∠EBN=450 . Suy ra tứ giác AENB nội tiếp. Mà ∠ ABN=900 nên ∠ AEN=90 0 Vậy NE ⊥ AM. Cách 4: Lấy các điểm K, P trên cạnh BC sao cho BK = KN = NP = PC. Kẻ NKI//NH//PE(hình vẽ) AD+ CM 5 a = Ta có: NH = 2 6 AB+ NH 11 a = IK = 2 12 CM+NH 9 a = EP= 2 12 a NP = 4 EP Do đó: tan ENP=NP =3 AD tan AMD= =3 DM. A. D I. H. E M. B. K. N. P. C.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Suy ra ⇒∠ ENP =∠ AMD Suy ra tứ giác EMCN nội tiếp Mà ∠ NCM=90 0 nên ∠ MEN=900 Hay NE ⊥ AM Cách 5: Kẻ NK ⊥ BD . 1 a 2 Ta có: KN= AC= √. A. 4 4 KE=BD − BK − ED a √2 a √2 a √ 2 ¿ a √ 2− − = 4 4 2 KN 1 BN 1 Suy ra: KE = 2 . Mà BA = 2 Do đó: ΔEKN và Δ ABN đồng dạng với nhau ⇒ ∠BAN =∠BEN .Suy ra tứ giác AENB nội tiếp. Mà ∠ ABN=900 nên ∠ AEN=90 0 Vậy NE ⊥ AM. D E M O. K. B. N. C. Cách 6: Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác ANB Ta có: BD a √ 2 a 2 DE= = ⇒ OE= √ 4 a √2 AO= 2. ⇒. 4. 4. A. D. AO =2 OE. AB Do =2 BN ⇒ ΔABN ∞ Δ AOE ⇒ ∠ AEO=∠ ANB ⇒ AEB=∠ ANB. E M. O. Suy ra tứ giác AENB nội tiếp Mà ∠ ABN=900 nên ∠ AEN=90 0 Vậy NE ⊥ AM B N Nhận xét: Thực chất đây là bài toán quen thuộc với những bạn thích học toán, thậm chí bài toán có tính 2 chiều. Chắc chắn còn có cách giải khác nữa mong các bạn tiếp tục bổ sung. Trong cách 2 ta thấy CN + CM + MN = 2a. Từ đây ta có thể phát biểu bài toán tổng quát như sau: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Điểm M trên cạnh CD sao cho CM = m.a, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho CN = n.a. Gọi E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BD. 2 2 Biết rằng m+ n+ √ m + n =2 m, n là các số hữu tỉ.. Chứng minh:. C.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> a) Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN b) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một đường tròn cố định c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.. Tác giả: Phan Đình Ánh Giáo viên: Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà – Hà Tĩnh. Điện thoại: 0986 381 089 Email:
<span class='text_page_counter'>(5)</span>
