Cong thuc herong

<span class='text_page_counter'>(1)</span>II.GI¶I QUYÕT VÊN §Ò: Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a.Các đờng cao và các đờng trung tuyến ứng với các đỉnh A,B,C lần lợt là h ❑a , h ❑b , h ❑c , m ❑a , m ❑b , m ❑c .S vµ p lÇn lît lµ diÖn tÝch vµ n÷a chu vi cña tam gi¸c ABC Chøng minh: a, S = √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) (1) b, b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2acCosB (2) 2 2 2 a ❑ = b ❑ + c ❑ - 2bcCosA (3) c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2abCosC (4) A Bµi gi¶i: h ❑a x a-x H. B. C. a, Giả sử: AH = h ❑a (hình 1) khi đó ta có: BC = BH + CH (*) Đặt BH = x (0 x ≤ a).Từ (*) ta có: HC = a - x. áp dụng định lý Pitago cho c¸c tam gi¸c vu«ng ABH vµ ACH ta cã hÖ sau: h a + x 2=c2 a − x ¿2=b 2 ¿ ¿ ¿{ ha + ¿ 2. (I). 2. Trõ vÕ theo vÕ hai ph¬ng tr×nh trong hÖ (I) ta cã: 2. 2. 2ax - a ❑2 = c ❑2 - b ❑2 ⇒ x = a − b +c 2a Thay (5) vào phơng trình đầu của hệ (I) ta đợc: h ❑a ⇒. 2. 2. (5). 2 2 2 + ( a − b +c ) ❑2 = c ❑2 2a. h ❑a. 2. 2 2 2 2 2 2 = (c + a − b +c )(c - a − b +c ). 2a 2a 2 2 2 = 2 ac +a −b + c . 2 ac − a +b − c 2a 2a 2 2 2 a−c¿ a+ c ¿ −b (a+ b+c )(a+c −b)( a+b − c)(b+ c − a) ¿ = . 2¿ = ¿ b −¿ 4 a2 ¿ ¿ 2. 2. 2. V× p lµ n÷a chu vi cña tam gi¸c ABC nªn a + b + c = 2p,a + b - c = 2(p - c), a + c - b = 2(p - b),b + c - a = 2(p - a) . Do đó: 4 p( p − a)( p − b)(p − c) 2 . ⇒ h ❑a = 2 a a 1 √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) ⇒ 2 ha . a = √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) √ p ( p − a)( p −b)( p −c ). h ❑a. 2. =. ⇒. S =.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Vậy công thức (1) đã đợc chứng minh. Bằng cách thay đổi vai trò của a,b,c ta đợc: h ❑b = 2 . √ p (p − a)( p −b)( p −c ) b h ❑c = 2 √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) . c Chó ý:Trêng hîp ®iÓm H n»m ngoµi ®o¹n th¼ng BC còng chøng minh t¬ng tù Nh vậy ta có thể tính đợc độ dài đờng cao và diện tích của một tam giác thông qua đọ dàI 3 cạnh của một tam giác. b, Gi¶ sö trung tuyÕn AM = m ❑a A h ❑a B. m ❑a C. H M. (h×nh2). *Trêng hîp1:Tam gi¸c ABC cã hai gãc B và C đều nhọn áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông ACH và ABH ta có: AH ❑2 + CH ❑2 = AC ❑2 vµ AH ❑2 + BH ❑2 = AB ❑2 Trừ theo từng vế của hai đẳng thức trên ta có: CH ❑2 - BH ❑2 = AC ❑2 - AB ❑2 ⇒ (BC - BH) ❑2 - BH ❑2 = AC ❑2 - AB ❑2 BC ❑2 - 2BC.BH = AC ❑2 - AB ❑2 ⇒ Hay a ❑2 - 2a.BH = b ❑2 - c ❑2 Trong tam gi¸c vu«ng ABH cã cosB = cosB =. a2 +c 2 − b2 2ac. ⇒. 2 2 2 BH = a +c − b. BH kÕt hîp víi (6) suy ra AB. hay. b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB (i) Tráo đổi vị trí của điểm B với điểm C ta cũng đợc: c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 2ab cosC (ii) *Gi¶ sö AB < AC th× BH < BM nªn 2 2 2 2 2 HM = BM - BH = a - a +c − b = c −b. 2. ⇒. 2a. 2a. 2 2 HM = c −b. 2a. 2a. (6).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Từ đó m ❑a HM ❑2. 2. = AM ❑2 = AH ❑2 + HM ❑2 = AB ❑2 - BH ❑2 +. 2 2 2 2 2 = c ❑2 - ( a +c − b ) ❑2 + ( c −b ) ❑2 2a 2a 4 2 2 2 = c ❑2 - a +2 a (c2 −b ). 4a. m ❑a. 2. ⇒. 2 2 2 = c +b − a. 2. 4. (iii) Nếu AB > AC tráo đổi ký hiệu giữa điểm B với điểm C (hình 2) thì công thức (iii) chỉ đổi vị trí b với c nên ta vẩn có công thức (iii) Nếu AB = AC thì H trùng với M và lúc đó : m ❑a. 2. =b 2. 2 ❑ -. a 4. nghĩa là công thức (iii) vẩn đúng *B©y giê ta xÐt c¸c trêng hîp tam gi¸c ABC cã gãc A nhän hoÆc tï hoÆc vu«ng . 1, Tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän Tam giác ABC có góc B , C đều nhọn nên đã có các công thức (i),(ii),(iii) Nếu góc A nhọn thì áp dụng kết quả chứng minh trên đối với tam giác có các gãc A,C ta cã c«ng thøc m ❑b vµ a, víi tam gi¸c cã c¸c gãc A,B nhän ta cã c«ng thøc m ❑c .Nh vËy víi tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän ta cã c¸c c«ng thøc sau: a ❑2 = b ❑2 + c ❑2 - 2bc cosA b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2ab cosC m ❑a. 2. m ❑b. 2. 2 2 2 = c +b − a. m ❑c. 2. 2 4 2 2 2 a +c b = − 2 4 2 2 2 = a +b − c 2 4. 2,Tam gi¸c ABC cã gãc A tï Khi tam giác ABC có góc A tù thì các góc B,C đều nhọn nên vẫn có các c«ng thøc (i),(ii),(iii).Ta chØ cÇn xÐt thªm c«ng thøc cña a, m ❑b , m ❑c . Gọi BK là đờng cao của tam giác ABC (hình 3) áp dụng định lý Pitago trong tam giác BCK có BK ❑2 + CK ❑2 = BC ❑2 vµ trong tam gi¸c BAK cã BK ❑2 + AK ❑2 = AB ❑2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên ta có CK ❑2 - AK ❑2 = BC ❑2 - AB ❑2 ⇒ (AC + AK) ❑2 - AK ❑2 = BC ❑2 - AB ❑2. K A. (h×nh 3). N B. C. ⇒. AC ❑2 + 2AC.AK = BC ❑2 - AB ❑2 2 2 2 + 2b.AK = a ❑2 - c ❑2 ⇒ AK = a − b −c 2b. Hay b ❑2. Xét tam giác ABK có Cos(180 ❑0 - Â) = AK . Từ đó suy ra: AB 2. 2. 2. a − b −c hay a Cos(180 ❑0 - ¢) = ❑2 = b ❑2 + c ❑2 + 2 bc 2bcCos(180 ❑0 - ¢) TÝnh m ❑b = BN ❑2 = BK ❑2 + KN ❑2 = AB ❑2 - AK ❑2 + (AK + AN) ❑2 = AB ❑2 + AN ❑2 + 2AN.AK 2. 2 2 2 2 2 2 2 = c ❑2 + b + a − b −c = a +c − b . Tráo đổi kí hiệu 4 2 2 4 ®iÓm B víi ®iÓm C trªn (h×nh 3). Hay m ❑b. 2. Tõ c«ng thøc m ❑b. 2. trªn ta thÊy l¹i c«ng thøc m ❑c. 2. 2 2 2 = a +b − c đối. 2. 4. với m ❑c Nh vậy với tam giác ABC có góc A tù ta vẩn có các công thức đờng trung tuyến 2. m ❑a. 2. 2 2 2 = c +b − a. 2 4 2 2 = a +c − b 2 4 2 2 a +b c2 = − 2 4 2. m ❑b. 2. m ❑c. 2. Cßn víi c¸c c¹nh th× cã c¸c c«ng thøc: a ❑2 = b ❑2 + c ❑2 + 2bc cos(180 ❑0 - ¢) b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2ab cosC 3,Tam gi¸c ABC cã gãc A vu«ng Khi góc A vuông (hình 4) thì theo định lý Pitago có a ❑2 = b ❑2 + c 2 ❑ cßn c¸c gãc B,C nhän nªn c¸c c«ng thøc b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2ab cosC 2 2 2 m ❑a = c +b − a 2. 2. vẩn đúng. C«ng thøc m ❑a ❑2 + c ❑2 ) ⇒ m ❑a =. 4. 2 2 2 = c +b − a. 2. 2. a 2. 2 trë thµnh m ❑a = a (do a ❑2 = b 4 2. 4. Ta cã m ❑b = BN ❑2 = AB ❑2 + AN ❑2 2. 2. = c ❑2 + b . 4 Tráo đổi vị trí điểm B với điểm C và điểm N P víi ®iÓm P trªn (h×nh 3) tõ c«ng thøc ⇒. m ❑b. B. 2. M. 2. = c ❑2 + b ta cã m ❑c = b ❑2 + 4 N C Nh vËy víi tam gi¸c vu«ng ABC ta cã c¸c c«ng thøc: b ❑2 = a ❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a ❑2 + b ❑2 - 2ab cosC a ❑2 = b ❑2 + c ❑2 m ❑a = a m ❑b. 2. 2. 2. m ❑c. 2. = b ❑2 +. c2 4. , m ❑b. 2. = c ❑2 +. b2 4. c2 4. A.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>