Mục lục
Trang
Mở đầu: .

1

Chơng I: Dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ
điển..
4
I.1. Thiết lập phơng
quát
4
I.2. Các trờng hợp
mạng..
9

trình

riêng

dao

của

động

bài

toán

mạng

tổng

dao

động

I.2.1. Dao động mạng 1 chiều 1 nguyên tử
9
I.2.2.
Dao
động
tử....

mạng
12

3

chiều

1

nguyên

I.2.3.
Dao
động
tử....


mạng
13

1

chiều

2

nguyên

I.2.4.
Dao
động
tử....

mạng
16

3

chiều

2

nguyên

I.3. Dao động của mạng
xứ.
18

I.4.
22

Tiểu

kết

chơng

thực

-

Dao

động

định

I

Chơng II: Dao động mạng tinh thể theo quan điểm lợng
tử..
22
II.1. Lợng tử hoá của dao động mạng. Phonon
22
II.2. Toán tử độ dịch chuyển mạng
27
II.3. Tơng tác phonon phonon……………………………………...
28


1


II.4. Mật độ trạng thái
30
II.5. Tiểukết chơng II 33
Chơng III. áp dụng để tính nhiệt dung vật rắn và phân tích
cấu trúc 35
III.1. Nhiệt dung mạng tinh thể
35
III.1.1. Quan điểm cổ điển
35
III.1.2. Quan điểm lỡng tử 35
III.2. áp dụng để phân tích cấu trúc
38
III.2.1. Tán xạ Raman 38
III.2.2. Bản chất và cơ sở lý thuyết của tán xạ
Raman 39
III.2.3 ứng dụng của phơng pháp tán xạ Raman.
40
III.2.4. áp dụng phơng pháp tán xạ Raman để phân tích cấu
trúc 41
Kết luận43
Tài liệu tham khảo 44

2


Mở đầu

Việc nghiên cứu khoa học nói chung và vật lý nói riêng luôn
đợc tiến hành trên cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Lý thuyết
không những tiên đoán các hiện tợng khoa học mà còn là cơ sở
để giải thích các kết quả thực nghiệm.
Vật lý chất rắn là lĩnh vực hết sức rộng lớn và có vai trò
quan trọng trong thực tiễn. Đối tợng nghiên cứu của VLCR là các
chất rắn. Trong số các loại chất rắn thì tinh thể là một loại
đặc biệt quan trọng. Do đó, ta phải nghiên cứu để biết và sử
dụng vật rắn vào phát triển khoa học - kỹ thuật.
Chúng tôi chọn đề tài "Dao động mạng tinh thể theo quan
điểm cổ điển và lợng tử" với trình tự từ thấp đến cao, từ
quan điểm cổ điển cho đến lợng tử với mục đích tìm hiểu
và nắm bắt các tính chất của vật rắn để có thể áp dụng vào
đời sống thực tiễn.
Cấu trúc luận văn gồm 3 chơng:
Chơng I: Dao đông mạng xét theo quan điểm cổ điển
Chơng II: Dao đông mạng xét theo quan điểm lợng tử
Chơng III: áp dụng tính nhiệt dung và phân tích cấu trúc
vật rắn
Do hạn chế về kiến thức, kinh nghiệm và thời gian nghiên
cứu nên chắc chắn khoá luận còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong
đợc sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn SV để luận
văn đợc hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng, với tấm lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm
ơn chân thành tới thầy giáo,Ths Nguyễn Viết Lan - ngời tận
tình hớng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khoá luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, Ths Lu Tiến Hng và
các thầy giáo trong khoa Vật Lý Trờng Đại Học Vinh đà tận t×nh


3


giảng dạy, chỉ dẫn và đóng góp nhiều ý kiến trong quá trình
học cũng nh trong thời gian làm khoá luận.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đà giúp ®ì, ®éng viªn
cịng nh cã ý kiÕn ®ãng gãp ®Ĩ tôi hoàn thành khoá luận.

4


Chơng I - Dao động mạng tinh thể theo quan điểm cổ
điển
Trong tinh thể, tại các nhiệt độ khác 00K bao giờ cũng có
thể chuyển động nhiệt nên các nguyên tử (phân tử hay ion)
không nằm cố định tại các nút mạng mà luôn dao động xung
quanh các vị trí này. Ngoài ra các tác nhân lý hoá khác cũng có
thể gây ra các dao động nh vậy. Hiện tợng trên đợc gọi là dao
động mạng tinh thể.
Khi 1 nguyên tử của tinh thể dịch chuyển khỏi vị trí cân
bằng thì do tơng tác giữa các nguyên tử trong tinh thể với nhau
nên các nguyên tử khác cũng bị dịch chuyển theo (phản ứng
dây chuyền). Do đó có thể coi dao động mạng tinh thể là 1
loại sóng đàn hồi lan truyền trong tinh thể.
Các tính chất gián đoạn và tuần hoàn của mạng tinh thể
ảnh hởng rất mạnh đên các tính chất và sự lan truyền của sóng
đàn hồi trong tinh thể. Các tính chất này ảnh hởng rất lớn đến
các tính chất của vật liệu. Do đó, ta phải xét dao động mạng
để biết các tính chất cũng nh khả năng ứng dụng của nó trong
thực tiễn.

I.1 - Thiết lập phơng trình của dao động mạng tổng quát
Nh đà biết, vật rắn là kết quả của sự liên kết giữa các
nguyên tử hay phân tử lại với nhau bằng những lực nhất định.
các nguyên tử này luôn dao động quanh vị trí cân bằng.
Gọi x là độ dịch chuyển của nguyên tử khi dạo động. Do
dao động nhỏ nên ta có thể khai triển thế năng tơng tác
giữa các nguyên tử thành chuỗi Jaylor theo các u kn - độ dịch
chuyển của nguyên tử k tại ô mạng n; trong đó , ,j = x,y,z:

= Φ 0 + ∑  α
knα  ∂u kn

 α 1
 ∂ 2Φ  α β
 u kn +
 α β  u kn u k 'n ' +
∑
2
!
kk
'
,
nn
'
,
αβ
0
 ∂u kn ∂ k 'n '  0



 α β γ
1
∂ 3Φ

 u kn u k 'n ' u k "n" + ...
∑
α
β
γ
3! kk 'k ",nn 'n",αβγ  ∂u kn ∂u k 'n ' ∂u k "n"  0

5

(1)


(Chỉ số 0 ở các đạo hàm ký hiệu các đại lợng ở vị trí cân
bằng)
Ta sử dụng phơng pháp Lagrange để xây dựng phơng
trình chuyển động của dao động mạng tinh thể:
d L
L

=0
dt u kn
u kn

(2)

Trong đó: L=T-


(3)

Xét tại vị trí cân bằng:

+ =0
u kn 0

+ Chỉ xét gần đúng với đạo hàm bậc 2, bỏ qua các số hạng
gần đúng bậc cao (vì chúng mô tả các dao động phi điều
hoà)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:
1
L=
2

M
kn

k

u kn

2

∂ 2Φ  α β
1
∑  α ∂u β  u kn u k 'n' + Φ0 (4)
2 kk ',nn ', u kn
k 'n '

0

(Mk: Khối lợng nguyên tử k)
Thay (4) vào (2) ta đợc:
2 β
α
kn
u
 α β u k 'n ' (5)
Mk
= - k∑
'n ' β  ∂u kn ∂u k 'n ' 

(5) là hệ phơng trình chuyển động gồm vô số các phơng
trình vi phân
2

Đặt: 0 G kn,k 'n ' Hệ số đàn hồi ®èi víi c¸c dao ®éng
 ∂u kn ∂ k 'n '

giữa các nguyên tử k tại ô mạng n và k' tại ô mạng n'
(5)=>Mk ukn =-
k 'n '


Gkn
, k 'n ' u k 'n '

(6)


Phơng trình (6) đợc giải thích nh sau:

6


Mỗi số hạng trong tổng số bên phải là lực tác dụng lên
nguyên tử k nằm trong ô mạng n, nó đợc tạo nên bởi nguyên tử k'
trong ô mạng n' khi nó dịch chuyển vị trí đi 1 đoạn u k 'n ' . Ta giả
thiết rằng thế năng tơng tác của mạng chỉ do các lực giữa các
cặp nguyên tử tạo nên. Các lực này không phụ thuộc vào vị trí
tuyệt đối của các ô mạng n và n', mà chỉ phụ thuộc vào
khoảng cách giữa chúng là:
h = R n' - R n =>Gkn,k'n' = Gkk'( h )

()

(6) =>Mk ukn = - ∑ Gkk ' h u k ', R + h (7)
k 'h

n

Theo định lý Bloch các phơng trình này phải có dạng bất
biến đối với chuyển dịch tịnh tiến, nghĩa là khi chuyển từ
chỉ số n sang n' ta lại nhận đợc chính hệ số đó.
Tức là tồn tại 1 vectơ sóng q sao cho:
Ukn (t) = e i q R uk,o(t) (8)
n

Trong ®ã: uk,o (t) là độ dịch chuyển trong ô mạng mà ở đó
có gốc toạ độ đối với các vectơ mạng R n. Cần lu ý là trong tất

cả các ô mạng các nguyên tử chuyển động cùng hớng và cùng
biên độ, chỉ có pha thay đổi khi chuyển từ ô mạng này sang ô
mạng khác.
Đặt (8) vào (7) ta đợc:

()


Gkk ' h u k ',o e i q h
Mk u k ,0 =-
(9)
k 'h

Vì gốc toạ độ đợc chọn 1 cách tuỳ ý và xét nghiệm với 1
giá trị xác định của q nên ta viết:
u k,0= U k ,q (10)

Thay (10) vµo (9):

()

()


iqh 

∑Gkk ' h e u k',q= - ∑ Gkk ' q U k',q (11)
Mk u k ,q =- ∑
k'
k'  h



7


()

∑G

Trong ®ã: Gkk' q ≡

h

kk '

(h)e

iqh

(12)

XÐt 1 tinh thĨ cã N ô mạng, mỗi ô mạng có S nguyên tử thì
ta sẽ có 3SN phơng trình theo 3 thành phần toạ độ Decarter.
Sử dụng tính bất biến đối với đối xứng tịnh tiến ta chỉ cần
xét chuyển động trong 1 ô mạng rồi từ đó suy ra toàn bộ tinh
thể. Do đó hệ phơng trình (11) chỉ còn chứa 3S phơng
trình.
Theo lý thuyết dao động: U k'q(t) = Uk'q(0) e it (13) ( là tần
số dao động)
Thay (13) vào (11) ta nhận đợc hệ 3S phơng trình đối với

các thành phÇn U kq:

∑β {G αβ (q ) − ω
kk '

k'

2

}

M k δ kk 'δ αβ U kβ'q = 0 (14)

()

 Gkkαβ' q − ω 2 M k δ kk ' =0 (15)
Từ (15) ta sẽ tìm đợc nghiệm 2 của phơng trình. Các
nghiệm này có giá trị thùc vµ ta cã 3S nghiƯm ω j :

()

ω= ω j q , (j= 1,2,,3S) (16) - gọi là các hệ thức tán sắc
tìm
đ
U k'q ( 0 )
ợc

tìm đ

Sử dụng các giá trịợc 2


U k'q ( t )

Vậy thực chất của cách giải trên là ta đi tìm 3S dao động
chuẩn của S nguyên tử trong 1 ô mạng cơ sở
Ta đi khảo sát rõ hơn tính chất của vectơ sóng q :
q đợc gọi là vectơ sóng của dao động mạng tinh thể (sóng

đàn hồi).Véctơ sóng q đặc trng cho trạng thái (kiểu) dao
động của mạng tinh thể. Vì tính chất quan trọng này, ta đi
xét cụ thể hơn các tính chất của nó
1. Tính đảo của q
Xuất phát tõ (8): ukn(t)= e i q R uk,0(t)= e iψ ( R ) u k , 0 ( t )
n

n

8


( )

ở trên ta đà đặt: R n = q R n (8)' lµ 1 hµm thùc phơ thc R n

( )

Cịng tõ biĨu thøc: e iψ ( R ) = >ψ R n lµ gãc pha vµ lµ đại lợng không
n

có thứ nguyên:


[ ] [[R( Rn] )] = L1

Từ (8)' => q =

có thứ nguyên là nghịch đảo thứ nguyên

n

độ dài => q nằm trong không gian đảo (mạng đảo)
2. Tính thực của q
Từ (8): ukn(t) = e i q R u k , 0 ( t ) . Nếu q là 1 đại lợng phức hay ảo thì ta
n

thấy ukn(t) có thể tiến đến vô cùng khi R n tiến đến vô cùng.
Điều này trái giả thiết là biên độ dịch chuyển của nguyên tử là
giới nội => q có tính thực
Những tần số dao động ứng q ảo hoặc q phức là những
tần số cấm (bị tắt dần nhanh trong mạng tinh thể)
3. Tính tuần hoàn cđa q
Xt ph¸t tõ: ukn(t) = e i q R u k , 0 ( t ) . NÕu ta thay:
n

q -> q ' = q + g => uq'(t) uq(t) ( g : vectơ mạng đảo)

Thật vậy: uq'(t) = e i Ỵi ( q + g ) u k , 0 ( t ) = u k ,0 ( t ) e i g R
n

n


Do e i g R = 1 => uq'(t) = uk,0(t) = uk,0(t) e i q R n ≡ uq(t)
n

=> 2 vect¬ sãng q và q ' tơng đơng nhau về phuơng diện vật
lý.
+ q đợc xác định sai kém 1 vectơ mạng đảo g . Hay 2
trạng thái: 1 trạng thái dao động ứng g và 1 trạng thái dao động
ứng ( q + g ) là tơng ứng nhau về phơng diện vËt lý:
uq(t) ≡ u q+ g ( t )

9


+ Không phải tất cả các giá trị của q đều là độc lập mà
ta chỉ cần xét những giá trị của q nằm trong 1 vùng nào đó
của không gian đảo là có đầy đủ tất cả các giá trị độc lập
của q
Xét: ukn(t)=uk,0(t) e i q R = uk,0(t) e i q ( n a + n a
n

1 1

2

2 + n3 a 3

)

NhËn thÊy ukn(t) lµ 1 hµm tuần hoàn và ta chỉ cần xét giá trị
của q trong khoảng:

- q a i (i=1,2,3)
Đối với tinh thĨ lËp ph¬ng:
−π
π
≤ qx ≤
a
a
−π
π
≤ qy ≤
a
a
−π
π
≤ qz ≤
a
a
=>

−π
π
≤ q (=x,y,z)
a
a

Đây chính là vùng Brillouin thứ nhất

Do đó ta chỉ cần xét những giá trị của q nằm trong vùng
Brillouin thứ nhất là đủ tất cả các giá trị độc lập của q .
Hai vectơ sóng q và q ’ liªn hƯ víi nhau b»ng biĨu thøc:

q ’- q = g thì không phân biệt đợc về phơng diện vật lý.

Nghĩa là vectơ sóng tới q và vectơ sóng phản xạ q thoả mÃn
định luật Bragg thì chúng tơng đơng nhau về phơng diện
vật lý
4. Tính gián đoạn của q
Các tinh thể thực là hữu hạn. Do đó ta cần phải kể đến
điều kiện biên. Nghĩa là phải tính đến ảnh hởng của các
nguyên tử ở các biên đối với các nguyên tử trong mạng. Nhng
việc tính đến điều kiện biên thì bài toán trở nên phức tạp.
Vì vậy, ta thờng bỏ qua điều kiện biên và coi tinh thể là vô
hạn.
10


Tuy nhiên, khi bỏ qua điều kiện biên thì 1 số kết quả tính
toán từ lý thuyết dẫn đến 1 số đại lợng vật lý trở nên vô hạn. Để
giải quyết mâu thuẫn này, ta dùng điều kiện tuần hoàn Born Karman: Ta tởng tợng uốn 1 chuỗi vô hạn các nguyên tử thành 1
vòng tròn có bán kính vô cùng lớn thì khi đó nguyên tử thứ n sẽ
trùng với nguyên tử (n+N) (đối với mạng một chiều). Còn đối với
tinh thể 3 chiều thì cũng làm tơng tự.
Xét tinh thể có kích thớc hữu hạn: N1 a1 , N 2 a 2 , N 3 a 3 . Dựa vào
điều kiện tuần hoàn Born - Karman ta có:

() (
)
mµ: u ( R + N a ) = e
u R ≡ u R + Ni ai
i


i

i qN i ai

()

uR

2π

=> e i qN a = 1 => q a i = N ni ( ni ∈ Z )
i
i

i

2π

N

N

i
i
mµ: − π ≤ q a i ≤ π ⇔ −π ≤ N ni ≤ π ⇒ − 2 ≤ ni ≤ 2
i

2π

2π


ni . Râ rµng q phơ thc ni
Tõ q a i = N ni q =
Ni ai
i

=> q gián đoạn và q nhận đợc N=N1N2N3 giá trị gián đoạn
(N - số ô cơ sở mạng tinh thể)
Ta đà xây dựng phơng trình dao động mạng 1 cách tổng
quát, bây giờ ta đi xét các trờng hợp riêng của bài toán dao
động mạng
I.2. Các trờng hợp riêng của bài toán dao động mạng
I.2.1. Dao động mạng 1 chiều, 1 nguyên tử
Đây là trờng hợp đơn giản nhất của bài toán dao động
mạng. Xét 1 chuỗi các nguyên tử trong hệ 1 chiều mà mỗi ô
mạng chỉ chứa 1 nguyên tử (1 mạng Bravais) với khối lợng M,
chúng cách đều nhau 1 khoảng bằng a và nó chỉ tơng tác với
các nguyên tư gÇn nhÊt

11


un-2

un-1

a un

un+1


un+2

Theo (1) thì thế năng tơng tác trong trờng hợp này là:
=

1
( u n u n +1 ) 2 (17)
∑
2 n

(β - h»ng sè lùc - hệ số đàn hồi)
Gọi u n , u n1 , u n+1 lần lợt là độ dịch chuyển của nguyên tử ở vị
trí n, n-1 và n+1 khi dao động
Theo (6), phơng trình chuyển động của nguyên tử n:
Mun = − β ( u n − u n +1 ) − β ( u n − u n −1 ) ⇔ Mun = − β ( 2u n − u n +1 − u n −1 ) (18)

NghiÖm (18) cã d¹ng: u n = U 0 e i ( q R

n +ω q t

)

= U qe

iω q t

(19)

(U


q

= U 0 e i q Rn

)

Với q là tần số của dao động mạng và q là vectơ sóng.
Thay (19) vào (18) ta đợc:
q2 MU q e

i q t

(

)

= − β 2 − e iqa − e − iqa U q e

iω q t

(20)

i ( ωt ± qa )
Trong ®ã, ta sư dơng: u n±1 = U q e

iω t
(21) un = −ω q2U q e (22)
q

Sư dơng c«ng thøc: e ± iqa = cos qa ± i sin qa

2
Thay vµo (20): − ω q MU q = −2β (1 − cos qa )U q

(

)

⇔ − ω q2 M + 4 β sin 2 qa U q = 0

(23)
(23) là phơng trình dao động của 1 dao động tử điều hoà
đơn giản
Từ

(23)

q = 2

2
2
=> q M + 4 sin qa = 0


qa
sin
M
2

=>


Tần

số

dao

động:

(24)

Biểu thức (24) cho biết sự phụ thuộc của tần số dao động
vào số sóng q . Đây chính là biểu thức tán sắc. Các nhận xÐt:

12


1> Biểu thức (24) =>



q
2
2

(25). Đây chính là vùng Brillouin

thứ nhất.
q
Vùng Brillouin
I


q

0

Do mỗi giá trị q nằm ngoài vùng trên thông qua các vectơ
mạng đảo g đợc đa về vïng Brillouin thø nhÊt
=> u n = Ue i ( q + g ) R ≡ Ue i q R
n

n

§iỊu này cho phép ta xác định tất cả các vectơ sóng nằm
ngoài vùng Brillouin thứ nhất
Tần số q xác định theo (24) là hàm tuần hoàn đối với q
cho nên tất cả các giá trị của q đợc đa về cïng 1 ®iĨm trong
vïng Brillouin thø nhÊt sÏ øng cïng tÇn sè
2> Khi q rÊt nhá (qa<<1) => ω phơ thuộc tuyến tính vào
q =>

q = 2

qa

=a
qq
M 2
M

Khi đó: + VËn tèc pha (Vp): VËn tèc trun cđa 1 pha đơn

sắc: V p =

q
q

=a


M

+ Vận tốc nhóm (Vn): Vận tốc truyền bó sóng - tốc
độ truyền năng lợng: Vn =

dω q
dq

=a

β
M

Tõ ®ã suy ra: Vn = V p => sóng dao động mạng tinh thể trùng
sóng âm thanh

13


3> Khi q lín => VËn tèc trun sãng kh«ng còn là hằng số
nữa
Vp =


q
q

=

2
q


qa
sin
;
M
2

Vn =

d q
dq

=a


qa
cos
M
2

4> Khi qa = . Khi q tăng thì giảm dần, giảm đến mức

cùng bậc với hằng số mạng. Lúc này, ta không thể coi tinh thể là
1 môi trờng liên tục và dao động của tinh thể cũng không trùng
với dao động của âm thanh nữa. Khi đó, không còn sự phụ
thuộc tun tÝnh vµo sè sãng vµ xt hiƯn tÝnh chÊt gọi là sự
tán sắc.
Tại q =



= max = 2
a
M

(26) và Vn= 0

Khi đó, (24) viết lại: q = max sin

qa
2

(27)

max đối với các tinh thể thông thờng nằm trong vùng ánh
sáng hồng ngoại:
+ a ~ 3A0 (h»ng sè m¹ng)
+ V ~ 10 cm/s (tèc ®é sãng ©m thanh)
+ ω max = 2

β
2V

=
≅ 6.1012 ( s 1 )
M
a

I.2.2 Dao động của mạng 3 chiều, 1 nguyên tử
Dao động mạng 3 chiều 1 nguyên tử khác dao động 1
chiều 1 nguyên tử ở chỗ:
+ Thay cho việc xét dao động của 1 nguyên tử thì trong
mạng 3 chiều ta phải xét dao động của 1 mặt phẳng nguyên
tử
+ Đối với chuyển động 1 chiều của nguyên tử thì chỉ có 1
bậc tự do nên phơng chuyển động và phơng truyền sóng là
trùng nhau. Còn đối với mạng 3 chiều 1 nguyên tử thì nó có 3
bậc tự do nên phơng truyền sóng sẽ không trùng với ph¬ng dao

14


động của nguyên tử mà nó làm với phơng dao động của
nguyên tử 1 góc nào đó => Có sự phân cực sóng
Trong trờng hợp mạng 3 chiều 1 nguyên tử thì q có thể
phân tích thành 3 thành phần:
- Trùng phơng dao động của các nguyên tử (sóng dọc L)
- Hai thành phần còn lại, nó vuông góc phơng dao động các
nguyên tử (sóng ngang T).
Chỉ trong 1 số trờng hợp đặc biệt, khi sóng đàn hồi lan
truyền theo 1 hớng cụ thể nào đó của tinh thể thì các sóng
đàn hồi mới là hoàn toàn phân cực dọc hoặc hoàn toàn phân
cực ngang.


q

q
`

n-2

n-1
n
n+1
(Sóng dọc L)

n+2
(Sóng ngang T)

I.2.3 Dao động mạng 1 chiều, 2 nguyên tử
Mạng 1 chiều 2 nguyên tử là mạng gồm 2 mạng Bravais
lồng vào nhau hay mạng có 2 nguyên tử trên 1 ô cơ sở.
Xét 1 chuỗi tuyến tính gồm các nguyên tử có khối lợng M1 +
M2 cách nhau 1 khoảng là a. Ta có ô mạng cơ sở với 2 nguyên tử
khác nhau và hằng số mạng là 2a.
2a
a
u1,n-2
u2,n+2

u2,n-2

u1,n


M1 15 M2

u2,n

u1,n+2


T¬ng tù, ta cã hƯ ph¬ng:
 M 1u1,n = − β ( 2u1,n − u 2,n − u 2,n − 2 )
⇔
(28)
M 2 u2,n = − β ( 2u 2,n u1,n u1,n + 2 )

Nghiệm hệ phơng trình (28) cã d¹ng:
u1,n + 2 = U 1e i ( 2 qa +ωt ) ;

 u1,n = U 1e iωt

iωt vµ
u 2,n = U 2 e

u 2,n − 2 = U 2 e i ( − 2 qa +ωt )

Thay vào (28) ta nhận đợc:

(

)


(

)

2 2 M 1 U 1 − β 1 + e −i 2 qa U 2 = 0

i 2 qa
U 1 + 2β − ω 2 M 2 U 2 = 0
− β 1 + e

(

)

(

)

⇒

2β − ω 2 M 1

(

− β 1 + e i 2 qa

(

− β 1 + e i 2 qa


)

2 M 2
2

) =0

=> phơng trình ®èi víi ω:
M1M2 ω4-2β(M1+M2) ω2 + 2 β2(1- cos2qa)=0. Tõ ®ã suy ra:
M + M2
ω =β 1
±β
M 1M 2
2
±

 M1 + M 2

 M 1M 2

2


4 sin 2 qa
 −
M 1M 2


(29)


Ngoài ra, ta còn có:
u1, n
u 2,n

=

U1
2 M 1 cos qa
=
U 2 ( M 1 − M 2 )  M 12 + M 22 + 2 M 1 M 2 cos qa

(30)

Các kết quả này cho thấy khác với trờng hợp tinh thể 1
chiều 1 nguyên tử dao động của mạng 1 chiều có nền 2
nguyên tử gồm 2 nhánh - và +
u

1, n
1> Nhánh tần số ứng -: Nhánh âm học (A): u > 0
2,n

+ Tại q = 0 =>

u1,n
u 2, n

= 1 và -=0

2

2
+ Tại q ≈ 0 => sin qa ≈ ( qa ) ⇒ ω − =

16

2β
aq (31)
M1 + M 2


+ T¹i q = ±

π
2β
⇒ sin 2 qa = 1 =
a
M1

(32)

Nh vậy, nhánh ứng - có dạng giống nh chuỗi có chứa 1 loại
nguyên tử. Tại tâm vùng Brillouin q = 0 nên = 0 và gần tâm
vùng Brillouin theo (31) tần số - tỷ lệ q:
V=

dω −
=
dq

2β

a = const
M1 + M 2

ChÝnh nã b»ng vËn tốc truyền âm => Nhánh ứng - gọi là
nhánh âm học, các nguyên tử dao động gần nh cùng pha với
nhau, giống nh dao động âm học có bớc sóng lớn.

















q


u

1, n
2> Nhánh tần số ứng với +: Nhánh quang häc (0): u < 0

2,n

u

M +M

M

1, n
1
2
+ T¹i q = 0 => u = − M vµ ω + = 2 1
M
M
2, n
2
1
2

z+ Tại q =


2
+ =
2a
M2

Trong nhánh này, các nguyên tử khác loại dao động lệch
pha nhau (M1u1,n + M2u2,n = 0). Nghĩa là các nguyên tử khác
nhau dao động sao cho từng cặp một có khối tâm ở trạng thái

tĩnh (toạ độ khối tâm không đổi). Nếu các nguyên tử khác loại
là các ion trái dấu (trong tinh thể Nacl) thì dao động loại này
giống nh dao động của 1 mômen lỡng cực điện. Để kích thích
chúng, ta phải tác dụng bằng sóng điện từ vì sóng điện từ tác
cực điện
dụng lên mômen lỡng
theo
2 chiều ngợc nhau (sóng

q
hồng ngoại).
Do đó, nó có
quang học
tên là nhánh




17


* Sự phụ thuộc của vào q

0

q

Trên phổ (q) có 1 khoảng giá trị từ =

2

tới + =
M1

2
M2

không ứng với nghiệm nào của phơng trình truyền sóng trong
mạng tinh thể . Nói cách khác, trong mạng tinh thể không có
dao động ứng với tần số trong khoảng này. Đây chính là đặc
điểm của mạng tinh thể có nhiều nguyên tử trong 1 ô cơ sở.
Trong trờng hợp này ở biên vùng Brillouin thứ nhất có vùng cấm.
Sóng ứng với tần số trong khu vực này không lan truyền đợc
trong tinh thể mà bị hấp thụ mạnh. Về mặt toán học ta thấy
các giá trị nằm trong vïng cÊm th× øng víi sè sãng q cã giá
trị ảo thoả mÃn các phơng trình chuyển động. Vùng tần số
cấm ứng vùng năng lợng cấm.
I.2.4 Dao động 3 chiều, 2 nguyên tử
Dao động 3 chiều 2 nguyên tử so với các loại dao động
khác đà khảo sÃt có những điểm khác nhau sau:
+ Dao động của 1 nguyên tử trở thành dao động của cả 1
mặt phẳng nguyên tư (cïng lo¹i)

18


+ Hiện tợng phân cực trở nên phức tạp hơn: Tõ 1 sãng däc
(L) vµ 2 sãng ngang (T) cđa trờng hợp mạng 3 chiều 1 nguyên tử,
kết hợp 2 nhánh tần số (dao động âm (A)) và dao động quang
(A) sÏ dÉn tíi 6 kiĨu (mode) dao ®éng:
+ Mét sóng âm dọc (LA) và 2 sóng âm ngang (TA)

+ Mét sãng quang däc (LO) vµ 2 sãng quang ngang (TO)

LO
TO


LA
TA
Một số cách dao
động của 2 loại
nguyên tử tại các
khác nhau

Đồ thị định luật tán
sắc

Ta mở rộng cho trờng hợp dao động của mạng tinh thể với
nền tinh thể gồm S nguyên tử => có 3S kiểu dao động
+ 3 sóng âm (1LA và 2TA)
+ 3(S -1) sóng quang ((S -1) LO vµ 2(S -1) TO)

19


Tóm lợc quá trình xét dao động mạng tinh thể:
Loại mạng

1 nguyên tử

2 nguyên tử


S nguyên tử

Mạng 1
chiều

1 nhánh dao 2
nhánh
dao S mode dao
động (chỉ có động:
động
sóng dọc), cha
1A và 10 (ở giữa + 1 âm (A)
có phân cực
là 1 vùng cấm)
+(S - 1) quang
(0) (giữa chúng
là
các
vùng
cấm)

Mạng 2
chiều

Xuất
hiện 4
nhánh
dao
phân cực (sóng động:

dọc và sóng
1LA + 1TA +
ngang)
1LO + 1TO

Mạng 2
chiều

Phân cực phức 6
mode
dao 3S dao động:
tạp (1 sóng dọc động:
1LA + 2TA + (S
vµ
2
sãng
1LA + 2TA + 1LO -1) LO + 2(S ngang)
+ 2TO
1)TO

2S mode dao
®éng: 1LA +
1TA + (S -1) LO
+ (S - 1)TO

I.3 Dao động của mạng thực
ở trên, ta đà xét các trờng hợp lý tởng của chuỗi nguyên tử
(không có nhiễu loạn). Trên thực tế, mạng tinh thể luôn không
hoàn hảo Xét trờng hợp đơn giản nhất mạng 1 chiều 1
nguyên tử

Gọi u0 là độ dịch chuyển của nguyên tử lạ, khối lợng M0 =
M (1- ) khi dao động ( có thể âm hoặc dơng). Khi đó hằng
số lực của nguyên tử khuyết tật là β0 vµ tiÕp theo sư dơng tû lƯ
β
=γ
β0

M
u-2
u2

M

M0

M

u-1 20 u0

M
u1


Tơng tự ta đi đến các phơng trình:

Mu1 = β 0 ( u −1 − u 0 ) − β ( u −1 − u − 2 )
M 0 u0 = − β 0 ( 2u 0 − u1 − u −1 )
Mu1 = − β 0 ( u1 − u 0 ) − β ( u1 − u 2 )

(33)


…………………………
Mul = − β 0 ( 2u l − u l −1 − u l +1 )

C¸c nghiƯm cđa hệ phơng trình (33) đều chứa thừa số
phụ thuộc thời gian e it nên (33) chuyển về dạng:
..
M 2 u −1 = − β 0 ( u −1 − u 0 ) − β ( u −1 − u − 2 )
− M 0 ω 2 u 0 = − β 0 ( 2u 0 − u1 − u −1 )

(34)

− Mω 2 u 1 = − β 0 ( u 1 − u 0 ) − β ( u 1 − u 2 )

………………………….
− Mω 2 u l = − β 0 ( 2u l − u l −1 − u l +1 )
2
=
Theo (26): ω max

β
4β
. Sö dơng M0 = M (1-ε) vµ β = γ
M
0

 4ω 2

u1 + u −1 +  2 γ (1 − ε ) − 2u 0 = 0
 ω max


 4ω 2

u ± 2 + u 0 +  2 γ − γ − 1u ±1 = 0
 ω max


(35)
(36)

……………………………….
u l +1 + u l −1

 4ω 2

+  2 − 2u l = 0 (l ≠ ± 1,0) (37)
 ω max


21


Ta giải phơng trình (37):
Phơng trình đặc trng:
4 2

l +1 +  2 − 2 λl + λl −1 = 0
 ω max



Chia

c¶

hai

 4ω 2

λ 2 +  2 − 2 λ + 1 = 0
 ω max


2ω 2

λ
=
1
−
=> 1, 2
2
max

vế

của

phơng

trình


cho

l 1 :

(38)
2
2

max


2
2 − ω max

(39)

Ta xÐt 2 trêng hỵp:
1> ω < max: Khi đó, (39) có dạng:
1, 2 = a ib = r ( cos ϕ ± i sin ϕ ) ; r = a 2 + b 2
 4ω 2 4ω 4
 2 − 4

b  ω max ω max
tg = =
a
2 2
1 2
max

(40)


1

2




(41)

Nghiệm tổng quát của phơng trình (37) cho trờng hợp
này:
u l = c1 cos l + c 2 sin l

(42)

Các nghiệm này có thể là ®èi xøng hay ph¶n ®èi xøng
khi ph¶n chiÕu qua gèc toạ độ tại l=0.
+ Phản đối xứng: ul = - u-l. Tõ (42) => c1 = 0 vµ sin ϕl = 0 .
Nh vậy u0 = 0 và nguyên tử đứng yên => Ta có thể bỏ qua
+ Đối xứng: ul = u-l => c2 = 0 vµ gãc φ nhận đợc từ (41)
- Nếu chuỗi không nhiễu loạn, ta thay (27) vào (41) => =
qa
- Nếu nhiễu loạn là nhỏ. Xét phơng trình (35) với

u1 = cos( qa l + δ ) (43)

22



(: độ lệch pha)
Thay (43) vào (35), sử dụng (27) và các công thức lợng giác:
tg = ( + 1 − γ ) tg

qa
2

(44)

Nh vËy ®èi víi ω < max sự khuyết tật mạng đa đến 1 sự
dịch pha của các dao động. Với nhỏ và 1 => δ rÊt nhá
2> ω< ωmax : Khi ®ã nghiệm phơng trình (37) có dạng:
ul = c1l + c2-l (45)
Ta xét với < 1 và xét các trờng hợp giới hạn l ->
+ l > 0 ⇒ C 2 = 0

+ l < 0 ⇒ C1 = 0 

u l = c1 λl ( l > 0 ) (46)
⇒
u l = c 2 λ −l ( l < 0 ) (47)

Tơng tự ta xét các nghiệm ®èi xøng => c1 = c2 = c (48)
⇒λ =

γ ( ε − 1)
(49)
γ ( ε − 1) + 2

 γ (1 − ε ) 

Thay (49) vµo (46) => u l = u 0 ( − 1) 

 γ ( 1) + 2
l

l

(50)

(c1=u0: là độ dịch chuyển của nguyên tử lạ)
và 2 =

2
max
[ ( ε − 1) + 2]γ (1 − ε ) (51) Biểu thức tán sắc

Với các trờng hợp giới hạn:
2
lim =

γ →1

2
ω max
;
1− ε 2

2
lim ω =


ε →0

2
ω max
(52)
γ (2 )

Vậy khi > max, phơng trình (50) mô tả dao động mà biên
độ của nó với khoảng cách xa nguyên tử lạ bị giảm nhanh và
các nguyên tử lân cận dao động nghịch pha nhau. Dao động
này đợc định xứ xung quanh nguyên tử lạ.

23


I.4 Tiểu kết chơng I
Khi biểu diễn dao động mạng bằng các dao động tử điều
hoà, nghiên cứu các tính chất của tinh thể gặp nhiều khó khăn
vì phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử,
phân tử) tơng tác với nhau. Tuy nhiên, ta cũng rút ra 1 số nhận
xét:
+ Năng lợng của dao động tử điều hoà là liên tục
+ Các dao động tử điều hoà dao động với các tần số nằm
trong khoảng min < < max. Tuy nhiên, giữa min và max lệch
nhau không nhiều, cho nên nếu trong trờng hợp gần đúng ta có
thể coi chúng dao động với cùng tần số
+ Biên độ dao động của các dao động tử điều hoà tại các
nút mạng khác nhau là nh nhau (vì các nút mạng tơng đơng
nhau về phơng diện vật lý)
+ Trong tinh thể có 3NS kiểu (mode) dao động đợc chia

thành:
- Mode âm dọc (LA): N
- Mode âm ngang (TA): 2N
- Mode quang häc (LO): (S-1)N
- Mode quang quang (TO): 2(S-1)N
Nh vËy: H¹n chÕ lín nhÊt cđa viƯc biĨu diƠn dao động
mạng bằng các dao động tử điều hoà là ta không thể xét đến
các n quá lớn (tức là các dao động có biên độ quá lớn) vì khi đó
giả thiết về tính điều hoà của dao động không còn đúng
nữa (lúc này các dao động tử không thể dao động độc lập với
nhau đợc nữa)
Để giải quyết khó khăn trên, ngời ta phải sử dụng đến 1
quan điểm khác về dao động mạng tinh thể, tổng quát hơn,
bao gồm quan điểm cổ điển nh là các trờng hợp riêng của nó.
Đó là quan điểm lợng tử. Ta sẽ khảo sát biểu diễn dao động
mạng tinh thể theo quan ®iĨm lỵng tư.
24


Chơng II. Dao động mạng tinh thể theo quan điểm lợng
tử
II.1. Lợng tử hoá các dao động mạng. Phonon
Để lợng tử hoá các dao động mạng, ta sử dụng phơng pháp
chung của cơ học Hamilton. Xét hệ 1 chiều 1 nguyên tử:
=> Phơng trình chuyển động của nguyên tử thứ n:
Mun = − β ( 2u n − u n +1 u n 1 ) (53)
và nghiệm có dạng: u n = Ce i ( qan −ωt ) (54)
Thay (54) vào (53) ta có: 2 =
Tơng tự ta cã: ω = ω max sin


β
( 2 − e iqa − e −iqa ) (55)
M

qa
β
víi ω max = 2
2
M

NÕu chØ xét tơng tác của các nguyên tử lân cận
=> =
T=

M
2

G

∑ u
n =1

β G
( u n − u n −1 ) 2
∑
2 n =1
2
n

(56) (G - Sè nguyªn tư cđa chuỗi) và


(57)

=> Năng lợng hay hàm Hamilton H:
G
P2 β

ε = H = ∑  n + ( u n − u n −1 ) 2  (58) ( Pn = Mu n )
2
n =1 2 M


Phơng trình chuyển động dới dạng Hamilton chính tắc:
u n =

H Pn
=
Pn M

∂H
Pn = −
= − β [ ( u n − u n −1 ) − ( u n −1 − u n ) ]
∂u n
⇔ Mun = − β [ 2u n − u n +1 − u n −1 ]

(59) cã d¹ng gièng (53)

Do: u n+G ≡ u n (60) vµ e ia q G = 1 ⇒ q =

2πm

(m Є Z)
aG

25