De thi thu THPT Quoc gia

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Website: www.Moon.vn. THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 Môn thi: TOÁN; Lần 01 – GV: ĐẶNG VIỆT HÙNG Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT chỉ có tại website MOON.VN Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =. x −1 , có đồ thị là (C). x +1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt: ( 3x + 1) . y ' ( x ) = 2. Câu 2 (1,0 điểm). a) Cho góc α thỏa mãn 0 < α <. π 3 và sin 4α = . Tính giá trị biểu thức A = tan 2 α + cot 2 α. 8 5. (. ). b) Tìm số phức z ≠ 0 , biết zz = 10 z + z và phần ảo của z bằng ba lần phần thực của nó.  1  Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 53 x + 27  3 x + 5− x  + 9.5 x = 64. 5 . Câu 4 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A (1;0; 0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, C sao cho các khoảng cách từ A và B đến (P) bằng nhau. 7. Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ 2. x + 2 −1 dx. x +1. Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; tam giác SAB vuông cân tại S. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD), (ABCD) đôi một vuông góc. Biết SC = a 3 , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC).. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong góc
ACB cắt các đường cao AH của tam giác ABC và đường tròn đường kính AC lần lượt tại  11 13  N  ;  và M 2 2. (M ≠ C). biết đường thẳng AM cắt BC tại F ( 5;5 ) , điểm A thuộc đường thẳng. x − 2 y + 7 = 0 và có tung độ nguyên. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.. Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình x3 − 2 x 2 + 3 x + 3 10 − x 2 ≥ 11 . Câu 9 (0,5 điểm). Tại một địa điểm thi của kì thi Trung học phổ thông quốc gia có 10 phòng thi, gồm 6 (mỗi phòng có 25 thí sinh) và 4 phòng (mỗi phòng có 26 thí sinh). Sau mỗi buổi thi, một phóng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh trong số các thí sinh dự thi để phỏng vấn. Giả sử khả năng được chọn để phỏng vấn của các thí sinh là như nhau, tính xác suất để trong 10 thí sinh được chọn phỏng vấn không có 2 thí sinh nào cùng thuộc một phòng thi. Câu 10 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương.. (. 5 2 1  2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  +  + 2 5 3a + 2b + 2c 3  4a + b a + b + 3c . ). Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Website: www.Moon.vn. THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 Môn thi: TOÁN; Lần 01 – GV: ĐẶNG VIỆT HÙNG Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT chỉ có tại website MOON.VN Câu 1 (2,0 điểm). Ta có y ' ( x ) =. 2. ( x + 1). 2. .. PT tiếp tuyến có dạng d : y = y ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0 ⇔ y = Khi đó ( 3 x + 1) . y ' ( x ) = 2 ⇔ ( 3 x + 1) .. 2. ( x + 1). 2. 2. ( x0 + 1). . ( x − x0 ) + y0 ..  x = 0 ⇒ y = −1 = 2 ⇔ 3x + 1 = x 2 + 2 x + 1 ⇔  x = 1⇒ y = 0. •. Với x0 = 0; y0 = −1 ⇒ d : y = 2 ( x − 0 ) − 1 ⇔ y = 2 x − 1.. •. Với x0 = 1; y0 = 0 ⇒ d : y =. Đ/s: y = 2 x − 1 hoặc y =. 2. 1 1 1 ( x − 1) + 0 ⇔ y = x − . 2 2 2. 1 1 x− . 2 2. Câu 2 (1,0 điểm). a) Ta có: A = tan 2 α + cot 2 α = ( tan α + cot α ) − 2 =. 4. 2. Ta có cos 2 4α = 1 − sin 2 4α = 1 −. 2. sin 2α. −2=. 8 2 cos 4α + 6 −2= 1 − cos 4α 1 − cos 4α. 9 16 = 25 25. 4 2 cos 4α + 6  π  π = 38 Vì α ∈  0;  ⇒ 4α ∈  0;  nên cos 4α > 0 ⇒ cos 4α = ⇒ A = 5 1 − cos 4α  8  2. (. ). b) Gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ) ⇒ z = a − bi , zz = 10 z + z ⇔ a2 + b2 = 20a . Theo giả thiết b = 3a . a = 0 Ta có 10a2 = 20a ⇒  a = 2
Với a = 0 ⇒ b = 0 không thỏa mãn bài toán.
Với a = 2 ⇒ b = 6 thì z = 2 + 6i thỏa mãn. Câu 3 (0,5 điểm). 27 3  1 1  Đặt a = 5 x > 0 ta có a 3 + 27  3 +  + 9a = 64 ⇔ a 3 + 3 + 9  a +  = 64 a a a a  3. 3. 3 3 3  3 3 3   ⇔  a +  − 3a.  a +  + 9  a +  = 64 ⇔  a +  = 64 ⇔ a + = 4 ⇔ a 2 − 4a + 3 = 0 a a a  a a a   x a = 1 ⇒ 5 = 1 ⇔ x = 0 ⇔ x  a = 3 ⇒ 5 = 3 ⇒ x = log 5 3 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0; x = log 5 3 Câu 4 (1,0 điểm).. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Điều kiện − 10 ≤ x ≤ 10 . Bất phương trình đã cho tương đương với. (. 3 3 − 10 − x. 2. 3 ( x 2 − 1). ) ≤ x − 2 x + 3x − 2 ⇔ 3 + 3. Website: www.Moon.vn. 2.  3 ( x + 1) ⇔ ( x − 1)  x 2 − x + 2 − 3 + 10 − x 2 . 10 − x.  ≥0 . 2. ≤ ( x − 1) ( x 2 − x + 2 ). (1). 2. 1 7  Dễ thấy x − x + 2 =  x −  + > 0, ∀x ∈ ℝ nên xét các khả năng 2 4   3 ( x + 1) 3 ( x + 1)  +) Nếu x + 1 < 0 ⇒ x − 1 < 0; x 2 − x + 2 − > 0 ⇒ ( x − 1)  x 2 − x + 2 −  < 0. 2 3 + 10 − x 3 + 10 − x 2   Khi đó (1) vô nghiệm. 3 ( x + 1) 2 +) Nếu x + 1 ≥ 0 ⇒ x 2 − x + 2 = ( x − 1) + x + 1 ≥ x + 1 ≥ ( 2) . 3 + 10 − x 2  x − 1 = 0  x = 1 Mặt khác ta có  ⇔ ⇔ x ∈∅ nên (2) không xảy ra dấu đẳng thức. 2  x ∈ − 10; 10  10 − x = 0 3 ( x + 1) > 0 . Suy ra (1) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . Vì vậy x 2 − x + 2 − 3 + 10 − x 2 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là 1 ≤ x ≤ 10 . Câu 5 (1,0 điểm). 2. {. }. Đặt t = x + 2 ⇒ x + 2 = t 2 ⇒ x = t 2 − 2 ⇒ dx = 2tdt x =2⇒t =2 Đổi cận : x=7⇒t =3 7. Khi đó ta có I = ∫ 2. = ( 2t − 2 ln t + 1 ). 3 2. 2t ( t − 1) ( t + 1) − 1 dt = 2 1 − 1  dt x + 2 −1 2t dx = ∫ 2 dt = ∫ dt = 2 ∫ ∫2  t + 1  x +1 t −1 t +1 t +1 2 2 2 3 = ( 6 − 4 ln 2 ) − ( 4 − 2 ln 3) = 2 + 2 ln 4 3. 3. 3. 3. 3 4 Câu 6 (1,0 điểm).. Vậy I = 2 + 2 ln. ( SHC ) ⊥ ( ABCD ) Do  ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ( SHD ) ⊥ ( ABCD ) Tương tự ta có CH ⊥ ( SHD ) ; DH ⊥ ( SHC ) Do H là trung điểm của AB nên ∆CHD vuông cân tại H. Đặt SH = x ⇒ AB = 2 SH = 2 x Khi đó CD = 2 x ⇒ HC = HD = x 2 Ta có SC 2 = SH 2 + HC 2 ⇒ 3a 2 = x 2 + 2 x 2. ⇒ SH = a, AB = 2a ⇒ BC = HC 2 − HB 2 = a. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Website: www.Moon.vn. 1 2a 3 VS . ABCD = .SH .S ABCD = 3 3  Gọi K = HC ∩ AD . Dựng CI ⊥ SD , lại có SD ⊥ CH ⇒ SD ⊥ ( KIC ) . Ta tính KIC. 2a 2 2 a 4a 4a Ta có: DI .SD = HD ⇒ DI = = ⇒ CI = CD 2 − DI 2 = ; KI = KD 2 − DI 2 = a 3 3 6 6 2. 2 2 2  = CI + KI − KC = − 1 ⇒ KIC  = 1200 KC = 2 HC = 2a 2 ⇒ cos KIC 2.IK .IC 2. Vậy góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC) bằng 600 . Câu 7 (1,0 điểm). Dễ thấy  AMC = 900 (góc chắn đường kính AC ) ⇒ AF ⊥ CM . Ta có tam giác AFC cân tại C do có phân giác góc  ACB đồng thời là đường cao. Do vậy CM là trung trực của AF. 2. 2. 25   13  5  Gọi A ( 2t − 7; t ) . Ta có: NA = NF ⇔  2t −  +  t −  = 2   2 2  t = 7 ⇒ A ( 7;7 ) ⇒ M ( 6;6 ) ⇒ CM : x + y − 12 = 0  ⇔  28  21 28  ⇒ A  ;  ( loai ) t=  5  5 5   AH ⊥ BC Lại có:  ⇒ NF ⊥ AC (do N là trực tâm tam giác AFC) CM ⊥ AF Phương trình đường thẳng AC qua A vuông góc với NF là: x + 3 y − 28 = 0 . Khi đó C = CM ∩ AC ⇒ C ( 4;8 ) ⇒ AB : 3x − y − 14 = 0 ..  17  Từ đó ta có: BC : 3 x + y − 20 = 0 ⇒ B  ;3   3   17  Kết luận: A ( 7;7 ) ; B  ;3  ; C ( 4;8 ) là các điểm cần tìm.  3  Câu 8 (1,0 điểm). Giả sử ( P ) : ax + by + cz + d = 0 , ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ). O ( 0;0; 0 ) ∈ ( P ) d = 0 Theo bài,  ⇒ ⇒ c = d = 0 . Vậy ( P ) : ax + by = 0 C ( 0; 0;3) ∈ ( P ) 3c + d = 0 a 2b Ta có d ( A, ( P ) ) = ; d ( B, ( P ) ) = 2 2 2 a +b a + b2 a 2b Mà d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) ) ⇔ ⇔ a = 2 b ⇔ a = ±2b a2 + b2 a2 + b2 • Với a = 2b chọn a = 2, b = 1 khi đó ta có mặt phẳng ( P ) : 2 x + y = 0. • Với a = −2b chọn a = 2, b = −1 khi đó ta có mặt phẳng ( P ) : 2 x − y = 0 Câu 9 (0,5 điểm). +) Tổng số thí sinh của điểm thi là 6.25 + 4.26 = 254 (thí sinh) 10 Không gian mẫu Ω là tập hợp số cách chọn 10 thí sinh từ 254 thí sinh. Ta có Ω = C254. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Website: www.Moon.vn. +) Gọi A là biến cố “ trong 10 thí sinh được chọn phỏng vấn không có 2 thí sinh nào thuộc cùng một phòng thi ” 1 Ta dễ dàng có Ω A = ( C25 ) .( C261 ) = 256.264 6. 4. Từ đó suy ra xác suất cần tính là P ( A ) =. ΩA Ω. =. 256 .26 4 10 C254. Câu 10 (1,0 điểm).  a 2 a 2 ( a1 + a2 )2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:  1 + 2 ≥  b1 b2 b1 + b2 .   ta có  . ( 2 + 1) = 2 1 22 12 3 + = + ≥ 4a + b a + b + 3c 8a + 2b a + b + 3c 9a + 3b + 3c 3a + b + c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2 ( a + b + 3c ) = 8a + 2b ⇔ a = c Mặt khác, theo đánh giá không âm: 2. (b − c ). 2. ≥ 0 ⇔ b 2 + c 2 ≥ 2bc ⇔ 2 ( b 2 + c 2 ) ≥ ( b + c ) ⇔ 2b 2 + 2c 2 ≥ b + c 2. 5 3 5 Khi đó, biểu thức P được viết lại thành P ≥ . + 2 5 ( 3a + b + c ) = + 2 5 ( 3a + b + c ) 3 3a + b + c 3a + b + c 5 Đặt t = 3a + b + c > 0 suy ra P ≥ f ( t ) = + 2 5t t 1 5 t 2 − 5 5t Xét hàm số f ( t ) ta có f ' ( t ) = − 2 = 2 = 0 ⇔ t 2 = 5 5t ⇔ t = 5 t 5t 5t t Dựa vào bảng biến thiên, suy ra P ≥ f ( t ) ≥ f ( 5 ) = 11 . Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 11 .. a = b = c Dấu xảy ra khi và chỉ khi  ⇔ a = b = c =1. 3a + b + c = 5  Ý tưởng để giải quyết bài toán. Quan sát biểu thức, trước hết nhận thấy rằng có sự đối xứng giữa trong biểu thức ngay đến đánh giá. 2b 2 + 2c 2 do đó nghĩ. 2b 2 + 2c 2 ≥ b + c , một trong những đánh giá quen thuộc. Khi đó biểu thức cuối cùng trở. thành: 2 5 ( 3a + b + c ) và đến đây, kinh nghiệm đi thi đó là nhìn thấy biểu thức độc lập thì sẽ dồn biến về nó, do vậy bài này cần dồn về biến t = 3a + b + c . 2 1 Vì thế, cần đánh giá biểu thức + về biến, đây là biểu thức phân số, không khó để ta nghĩ 4a + b a + b + 3c t ới bất đẳng thức Cauchy – Schwarz nhưng rõ ràng đánh giá sao cho m ( 4a + b ) + n ( a + b + 3c ) = k ( 3a + b + c ) .. Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>