1

Lời nói đầu
Trong học phần "Đại số đại cương" ở năm thứ 2 chúng tôi đã được học
một số kiến thức cơ bản về Lý thuyết nhóm. Các kiến thức này đã gợi cho chúng
tơi những hứng thú tìm hiểu thêm về toán học cao cấp, toán học hiện đại để mở
rộng thêm kiến thức và học hỏi thêm về phương pháp tư duy.
Trong khố luận này chúng tơi hệ thống hóa lại một số kiến thức về nhóm
đã được tiếp thu qua các bài giảng trong chương trình đào tạo bậc đại học, tìm
hiểu thêm một số kiến thức về Lý thuyết nhóm được trình bày trong các sách
chun khảo trong và ngồi nước. Các chủ đề về nhóm được tìm hiểu chủ yếu
xoay quanh các nhóm hữu hạn. Khoá luận gồm 2 chương:
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản về nhóm. Trong chương này chúng
tơi hệ thống hóa một số kiến thức cơ sở về nhóm. Việc hệ thống hóa này vừa
làm cho nội dung khóa luận có hệ thống, vừa cần thiết cho sự trình bày nội dung
của chương sau.
Chương 2: Nhóm hữu hạn. Trong chương này chúng tơi trình bày một số
định lý về nhóm hữu hạn có liên quan đến các vấn đề như P – nhóm, nhóm con
Sylow của một nhóm .
Do có những hạn chế về năng lực toán học và ngoại ngữ nên trong việc
tìm hiểu những kiến thức về một đề tài thuộc lĩnh vực toán học hiện đại như lý
thuyết nhóm hữu hạn chúng tơi đã phải vượt qua nhiều khó khăn. Dù chúng tơi
đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn khoa luận này vẫn cịn có những khiếm
khuyết. Dẫu vậy, việc hồn thành khóa luận đã mang lại cho chúng tơi những
kiến thức bổ ích và sự hứng thú trong việc tìm hiểu kiến thức tốn học hiện đại
để làm giàu thêm vốn kiến thức của mình.
Để hồn thành khố luận này, chúng tơi đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt
tình của TS. Chu Trọng Thanh. Nhân dịp này cho phép tơi bày tỏ lịng cảm ơn
sâu sắc đến thầy giáo về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực. Chúng
tơi cũng xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên
đã giúp đỡ chúng tơi hồn thành khoá luận.

2
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ NHÓM

1.1. KHÁI NIỆM VỀ NHĨM
1.1.1. Định nghĩa
Nhóm là một tập hợp khác rỗng các phần tử của G cùng và phép tốn hai
ngơi xác định trên G, kí hiệu là . và gọi là phép nhân, thoả mãn các tiên đề sau:
(1) Phép tốn . có tính chất kết hợp, nghĩa là:
(a.b).c  a.(b.c); a,b,c �G
(2) G có phần tử đơn vị, tức là  e  G sao cho se = e.a = a; a  G.
(3) Với mỗi phần tử a  G tồn tại trong G phần tử a’ sao cho a.a’ = a’.a =
e.
Ta thường dùng kí hiệu (G, .) để chỉ G là một nhóm đối với phép tốn
nhân (.).
Nếu phép tốn . trên nhóm G thoả mãn điều kiện a.b = b.a, a,b G thì
nhóm G được gọi là nhóm Abel (hay là nhóm giao hốn).
1.1.2. Ví dụ
a) Tập hợp tất cả các số ngun Z, tập hợp tất cả các số hữu tỷ Q, tập hợp tất cả
các số thực R, tập hợp tất cả các số phức C với phép toán cộng lập thành nhóm
Abel. Các nhóm này lần lượt được kí hiệu là (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +).
b) Tập hợp tất cả các số hữu tỉ khác 0, tập hợp tất cả các số thực khác 0, tập hợp
tất cả các số phức khác 0, tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương, tập hợp tất cả các
số thực dương, tập hợp tất cả các số phức có môđun bằng 1, tập hợp tất cả các
giá trị căn phức bậc n của 1 với phép toán nhân lập thành nhóm giao hốn. Các
nhóm này lần lượt được kí hiệu là (Q *, .), (R*,, .), (C*, .), (Q+, .), (R+, .), (C1, .),
(C1,n, .).
c) Tập hợp tất cả các vectơ trong khơng gian với phép tốn cộng vectơ là một
nhóm giao hốn với đơn vị (phần tử trung hịa) là vectơ khơng.

d) Tập hợp các ma trận vng khơng suy biến có các thành phần thuộc trường k
cho trước với phép toán nhân các ma trận lập thành một nhóm. Nhóm này


3
thường được gọi là nhóm tuyến tính tổng qt trên trường k và kí hiệu là GL(n,
k). Nhóm này khơng giao hoán.
e) Tập hợp Sn gồm tất cả các phép thế bậc n, tức là các song ánh từ {1. 2, . . . ,
n} lên chính nó với phép tốn tích ánh xạ làm thành một nhóm. Nhóm này
khơng giao hốn.
1.1.3. Tính chất. Từ định nghĩa của nhóm G ta có một số tính chất sau:
i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất.
ii) Mỗi phần tử x  G có phần tử nghịch đảo duy nhất.
iii) Trong G thực hiện được luật giản ước bên phải và bên trái, nghĩa là
x, y, z  G: xy = xz ( hoặc yx = zx)  y = z
iv) Trong một nhóm phương trình xa = b (ax = b) có nghiệm duy nhất x =
ba-1 (x = a-1b)
v) Trong nhóm G x, y G  (xy)-1 = y-1x-1
Tổng quát: Cho x1, x2, . . . , xn là các phần tử của một nhóm G. Khi đó: (x 1.x2…
xn)-1 = x n1.x n11...x 21.x11 với nN*.
Thực ra các điều kiện (2) và (3) trong định nghĩa nhóm cịn có thể làm
cho đơn giản hơn. Hai tính chất sau đây cho thấy điều đó:
vi) Nếu G là tập hợp có phép tốn thỏa mãn tính chất kết hợp thì G là một
nhóm nếu trong G tồn tại phần tử đơn vị trái e và mỗi phần tử xG, tồn tại
x’G sao cho x’x = e.
vii) Nếu G là một tập hợp có phép tốn thỏa mãn tính chất kết hợp thì G là
một nhóm nếu và chỉ nếu với mọi a, bG các phương trình ax = b và ya = b có
nghiệm trong G.
Trong tính chất vi) ta có thể thay cụm từ phần tử đơn vị trái e bởi phần tử
đơn vị phải e và điều kiện x’x = e bởi điều kiện xx’ = e.

Điều kiện các phương trình có nghiệm trong vii) có thể thay bởi điều kiện
aG = G và Ga = G, với mọi aG.


4
Các tính chất i) – v) có thể suy trực tiếp từ định nghĩa. Chứng minh các
tính chất vi) và vii) được trình bày trong các tài liệu tham khảo được liệt kê ở
cuối khóa luận này và thường được gọi là các định nghĩa tương đương của
nhóm.
1.1.4. Định lý. Cho G là một nhóm với phần tử đơn vị kí hiệu là e và g G. Nếu
gr = gk với hai số nguyên dương r và k khác nhau. Khi đó tồn tại số nguyên
dương t sao cho gt = e. Nếu kí hiệu m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho g m
= e thì
(1) i,jN (0 < i < j < m) (gi  gj)
(2) gt = e khi và chỉ khi m là ước của t.
(3) { gn: n là số nguyên dương} = {e, g, …, gm-1}
Chứng minh. Giả sử r > k và từ g r = gk thì bằng cách nhân hai vế của đẳng thức
này với phần tử (gk)-1 = g-k = (g-1)k ta có: gr-k = e. Vì vậy, có một số nguyên
dương t sao cho gt = e.
Ta chọn số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho gm = e.
Bây giờ, nếu 0  i < j < m và gi = gj thì j – i < m và g j-i = e. Điều này trái với sự
lựa chọn của m. Vì vậy (1) được chứng minh
Với t là bội số của m, tức là t = mk, với một số nguyên k nào đó, ta có gt =
gmk = (gm)k = ek = e. Ngược lại, giả sử gt = e ta chứng minh t là một bội số của m.
Từ tính chất 1.1.3(iv) chúng ta có thể viết t = mg + v (0  v < m). Khi đó, e = gt
= gmq + v = gmq .gv = (gm)q.gv = e.gv = gv
Từ sự lựa chọn của m thì khơng thể có 0 < v < m. Do đó v = 0  m là
một ước số của t và (2) được chứng minh.
Bây giờ ta xét gn, cũng như chứng minh trên, ta có n = mq + w, 0  w < m
và gn = gw. Điều này chứng tỏ có (3).

1.1.5. Cấp của phần tử của nhóm


5
Giả sử G là một nhóm với đơn vị là e, a G nếu am  e với mọi m > 0 thì
ta nói a có cấp vơ hạn. Nếu ngược lại, thì số nguyên dương nhỏ nhất m, sao cho
am = e được gọi là cấp của a.

1.2. NHÓM CON
Chúng ta bắt đầu phần này từ việc nhắc lại định nghĩa và tiêu chuẩn nhận
biết của nhóm con.
1.2.1. Định nghĩa. Một tập con S khác rỗng của một nhóm (G, .) được gọi là một
nhóm con của G nếu S khép kín đối với phép tốn . và nếu (S, .) là một nhóm.
1.2.2.Mệnh đề. Tập S  , S  G, (S, .) là nhóm con của (G, .)
ab �S ; a,b �S
�
khi và chỉ khi �1
.
a �S ; a �S
�
Chứng minh. Điều kiện cần: (S, .) là nhóm con của (G, .) nên theo định nghĩa (S,
.) là một nhóm. Do đó ta có: a, b  S thì a.b  S và  a S thì a-1  S.
Điều kiện đủ: Vì S   nên tồn tại x S. Khi đó x-1 S và x.x-1S, tức là
phần tử đơn vị e của G thuộc S.
Vì S  G nên tính chất kết hợp của phép tốn đã có trên G cũng có trên
tập hợp S.
Do với mỗi phần tử aS ta có phần tử a-1S nên mỗi phần tử trong S đều
có nghịch đảo thuộc S.
Vậy S làm thành một nhóm đối với phép tốn của G, tức là S là một nhóm
con của G.

1.2.3. Mnh . Giả sử G là một nhóm và S là tập hợp con khác
rỗng của G. (S,.) lập thành mét nhãm con cđa G khi vµ chØ khi:

a, b  S: ab-1  S.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Hiển nhiên


6
Điều kiện đủ: Do S khác rỗng nên tồn tại phần tử a của nhóm G mà aS.
Từ điều kiện trong mệnh đề, ta có: e = aa-1  S
x  S, x-1 = e . x-1  S  x-1  S
x, y  S, ta có y-1  S (vì y  S).
Từ đó, xy = x(y-1)-1  S
Vậy theo Mệnh đề 1.2.2. ta có S là nhóm con của G.
Mệnh đề sau đây là một ứng dụng của tiêu chuẩn nhận biết nhóm con.
1.2.4. Mệnh đề. Nếu A và B là các nhóm con của G thì A  B là nhóm con của
G.
Chứng minh: Rõ ràng e A  B nên A  B  . Với mọi x, y  A  B
�x �A
�x �B
�
và �
�y �A
�y �B
1
�
�xy �A
� xy 1 �A �B
Do đó: � 1

�xy �B

Vì thế, A  B là nhóm con.
Mệnh đề 2.1.4. khẳng định giao của 2 nhóm con của một nhóm G là một
nhóm con. Lập luận trong chứng minh của Mệnh đề 1.2.4. cịn đúng cho trường
hợp có một số hữu hạn n bất kì nhóm con của cùng một nhóm. Để tiếp tục mở
rộng kết quả này cho một số tùy ý nhóm con (có thể vơ hạn), trước hết chúng tôi
nhắc lại khái niệm về một họ phần tử của một tập hợp nào đó. Khi các phần tử là
nhóm con của một nhóm ta có một họ nhóm con.
Giả sử X là một tập hợp khác rỗng, I là một tập hợp. Ta gọi mỗi ánh xạ từ
tập hợp I vào tập hợp X là một họ phần tử của X được chỉ số hóa bởi tập hợp I.
Vì rằng mỗi ánh xạ từ I vào X hoàn toàn xác định khi biết được ảnh của
tất cả các phần tử của I, do đó cũng có thể coi họ phần tử của X chỉ số hóa bởi
tập hợp I là danh sách ảnh của các phần tử của I qua một ánh xạ từ I vào X. Khi
ánh xạ từ I vào X là đơn ánh thì danh sách này gồm các phần tử phân biệt. Trong
trường hợp ánh xạ đó khơng phải là đơn ánh thì trong danh sách có những phần


7
tử trùng nhau (tức là có một phần tử nào đó được liệt kê nhiều lần). Đây cũng là
một dấu hiệu để phân biệt một họ phần tử với một tập hợp các phần tử của một
tập hợp. Người ta thường kí hiệu một họ phần tử của X chỉ số hóa bởi tập hợp I
là F = {xi, iI} hoặc {xi}iI. Khi I là tập hợp rỗng ta có họ rỗng.
Ta có thể khái quát Mệnh đề 1.2.4. cho trường hợp giao của một họ khác
rỗng các nhóm con của một nhóm.
1.2.5. Định lý. Giao của một họ kh¸c rỗng bt k nhng nhúm con ca mt
nhúm G l một nhóm con của G.
Chứng minh:
Xét một họ bất kỳ (Aa)a  I những nhóm con của G và gọi A là giao của
chúng. Trước hết ta có A   vì phần tử trung lập e của G thuộc A a với mọi aI,

do đó e  A. Bây giờ ta lấy hai phần tử bất kỳ x, y  A.Vì x, y  A nên x, y 
Aa với mọi a I.Vì các Aa là những nhóm con nên xy -1  Aa với mọi a  I. Do
đó xy-1  A. Vậy A là nhóm con của G.
Định lý 1.2.5. trên đây là cơ sở để định nghĩa khái niệm nhóm con sinh
bởi một tập hợp cho trước trong một nhóm. Giả sử G là một nhóm và S là một
tập hợp con của G. Khi đó họ gồm các nhóm con của G chứa tập hợp S là một
họ khác rỗng (vì chính G là một nhóm con của G thuộc họ đó). Theo Định lý
1.2.5. trên đây, giao của họ nhóm con này của G cũng là một nhóm con của G.
Vì mỗi nhóm con của họ đều chứa tập hợp S nên rõ ràng giao của chúng cũng
chứa tập hợp S. Vì vậy giao của họ nhóm con của G chứa S là nhóm con của G
chứa tập hợp S và là nhóm con bé nhất theo quan hệ bao hàm có tính chất đó. Ta
gọi nhóm con này là nhóm con của G sinh bởi tập hợp S và kí hiệu là <S>. Vậy
ta có định nghĩa sau:
1.2.6. Định nghĩa. Cho S là một tập hợp con của một nhóm G. Ta gọi giao của
tất cả các nhóm con của G chứa tập hợp S là nhóm con của G sinh bởi tập hợp S
và kí hiệu là <S>. Trường hợp S chỉ gồm duy nhất 1 phần tử a thì nhóm con sinh
bởi {a} được kí hiệu đơn giản là <a> và gọi là nhóm con cyclic sinh bởi phần tử
a.


8
Từ định nghĩa này ta nhận thấy <S> là nhóm con bé nhất của G chứa tập
hợp S. Nếu kí hiệu phần tử đơn vị của G là e thì <e> = {e}, <> = {e}. Với a là
một phần tử bất kì của G ta có <a> = {a n | nZ}. Một cách khái quát, ta có mệnh
đề sau:
1.2.7. Mệnh đề. Cho G là một nhóm, S là một tập hợp con khác rỗng của G. Khi
đó <S> = {a1r(1).a2r(2). . . anr(n)|aiS, r(i) = 1 hoặc -1, nN*, i = 1, 2,. . ., n}.
Chứng minh. Ta chứng minh tập hợp A được mô tả trong { } ở vế phải
làm thành một nhóm con của G, nhóm con này chứa tập hợp S và là nhóm con
bé nhất chứa S của nhóm G. Thật vậy, vì S khác rỗng nên tồn tại phần tử s (của

nhóm G) thuộc S. Khi đó s.s -1 thuộc A, do đó eA. Lấy phần tử xA. Khi đó x
là tích của một số hữu hạn phần tử như mô tả ở trên. Ta có x -1 cũng là tích các
phần tử có dạng trên với thứ tự chỉ số đảo ngược lại và số mũ đổi dấu. Với các
phần tử x, yA ta có x, y là tích của hữu hạn phần tử như mơ tả ở trên. Do đó
tích xy cũng là tích hữu hạn như mơ tả đó, nên xyA. Vậy A làm thành một
nhóm con của G.
Hiển nhiên rằng A chứa mỗi phần tử thuộc S, do đó A chứa S.
Nếu có một nhóm con B của G chứa S thì B chứa tất cả các phần tử sS
và s-1 với sS. Do đó B chứa tất cả các phần tử của A.
Đối với các nhóm G giao hốn ta có ab = ba, tức là aba -1b-1 = e, với mọi a,
b thuộc G. Trong trường hợp nhóm G khơng giao hốn thì tồn tại những cặp
phần tử a, b thuộc G sao cho aba -1b-1  e. Ta sẽ tìm hiểu nhóm con của G sinh
bởi tập hợp tất cả các phần tử dạng aba-1b-1.
1.2.8. Định nghĩa. Cho G là một nhóm, a va b là các phần tử thuộc G. Ta gọi
tích aba-1b-1 là hốn tử của hai phần tử a, b và kí hiệu là [a, b]. Nhóm con của G
sinh bởi tập hợp tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con hốn tử của G và
kí hiệu là G’. G’ cịn được gọi là đạo nhóm của G.
Trong các nhóm con của một nhóm G, các nhóm con chuẩn tắc có một vai
trị quan trọng trong việc mơ tả cấu trúc của nhóm và ứng dụng vào nhiều lĩnh


9
vực nghiên cứu khác. Sau đây chúng tôi hệ thống hóa một vài kiến thức liên
quan đến nhóm con chuẩn tắc.
1.2.9. Định nghĩa. Cho G là một nhóm và A là một nhóm con của G. A được gọi
là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu với mọi phần tử a thuộc A, mọi phần tử g
thuộc G luôn có g-1ag là phần tử thuộc A.
Trong thực tế khi cho G là một nhóm và A là một nhóm con bất kì của G
thì với một phần tử x thuộc G, các tập hợp xA = {xa | a A} và tập hợp Ax =
{ax | a A} không nhất thiết bằng nhau. Đối với các nhóm con chuẩn tắc ta có

mệnh đề.
1.2.10. Mệnh đề. Nhóm con A của nhóm G là nhóm con chuẩn tắc nếu và chỉ
nếu xA = Ax, với mọi x G.
Chứng minh. Giả sử A là nhóm con chuẩn tắc của G và x là phần tử bất kì
thuộc G. Ta chứng minh xA = Ax. Ta chỉ chứng minh xA  Ax, phần còn lại
chứng minh tương tự. Thật vậy, lấy phần tử a bất kì thuộc A. Khi đó xa là phần
tử thuộc xA. Ta lại có xa = xax -1x = a’x, với a, = xax-1. Do A là nhóm con chuẩn
tắc nên a’ thuộc A. Điều này kéo theo a’x Ax, và do đó xA Ax.
Ta chứng minh chiều ngược lại. Giả sử có xA = Ax, với mọi x thuộc G.
Khi đó với mỗi phần tử a thuộc A, mỗi phần tử x thuộc G ta có axAx = xA nên
tồn tại a’A sao cho ax = xa’. Do đó x -1ax = x-1xa’ = a’A. Vậy A là nhóm con
chuẩn tắc của G.
1.2.11. Mệnh đề. Cho G là một nhóm và A là nhóm con của G. Khi đó tập hợp
{xA| xG} tạo thành một sự chia lớp trên G. Tập hợp {Ax| x G} cũng tạo thành
một sự chia lớp trên G. Khi A là nhóm con chuẩn tắc thì hai sự chia lớp này trên
G trùng nhau.
Để chứng minh khẳng định thứ nhất và khẳng định thứ hai của mệnh đề
trên ta chỉ cần chứng minh các tập hợp được mô tả ở trên hoặc trùng nhau hoặc
rời nhau và hợp của chúng bằng G. Khẳng định cuối cùng là hiển nhiên vì có Ax
= xA, với mọi x thuộc G.


10
Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của G thì sự chia lớp nói trong mệnh đề
1.2.11 được kí hiệu là G/A = {xA| xG} và gọi là tập hợp thương của G trên
nhóm con chuẩn tắc A. Ta sẽ đưa một phép toán vào tập hợp G/A sao cho G/A
với phép tốn này làm thành một nhóm.
Mệnh đề 1.2.12. Cho A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và G/A là tập
hợp thương của nhóm G trên nhóm con chuẩn tắc A. Khi đó quy tắc cho cặp
phần tử (xA, yA) ứng với xyA xác định một phép toán trên G/A và G/A cùng với

phép toán này làm thành một nhóm.
Nhóm G/A trong mệnh đề 1.2.12. được gọi là nhóm thương của nhóm G
trên nhóm con chuẩn tắc A.
1.2.13. Mệnh đề. Với mỗi nhóm G ta ln có nhóm thương G/G’ là một nhóm
giao hốn và nếu nhóm thương G/A, với A là một nhóm con chuẩn tắc của G
giao hốn thì A chứa G’.
Chứng minh. Do [a, b] = aba-1b-1 nên ([a, b])-1 = (aba-1b-1)-1 = bab-1a-1= [b,
a] cũng là một hốn tử. Kí hiệu S là tập hợp tất cả các hoán tử của nhóm G. Khi
đó G’ chính là tập hợp tất cả các tích hữu hạn các hốn tử. Giả sử sS và xG là
các phần tử bất kì. Khi đó x-1sx = x-1sxs-1s = (x-1sxs-1)s = [x-1, s]s cũng là tích của
một số hữu hạn các hốn tử. Do đó x-1sxG’. Vậy G’ là một nhóm con chuẩn tắc
của G. Ta chứng minh G/G’ là nhóm giao hốn. Thật vậy, giả sử xG’ và
yG’G/G’. Khi đó ta có xyx-1y-1=[x, y]G’. Vì x-1y-1 = (yx)-1 nên ta có (xy)(yx)G’. Do đó xyG’ = yxG’ hay là xG’.yG’ = yG’.xG’, tức G/G’ là nhóm giao

1

hốn.
Cuối cùng, giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G/A là
nhóm giáo hốn, ta chứng minh A chứa G’. Ta chỉ cần chứng minh A chứa tất cả
các hoán tử của G. Giả sử x, yG là các phần tử bất kì. Do G/A giao hoán nên
xA.yA = yA.xA, tức là xyA = yxA. Điều này kéo theo (xy)(yx) -1A, tức là xyxy A. Vậy [x, y]A. Vậy A chứa mọi hoán tử của G nên A chứa G’.

1 -1

1.3. ĐỒNG CẤU NHÓM


11
1.3.1. Định nghĩa. Cho A và B là các nhóm và f: AB là một ánh xạ. f được gọi
là một đồng cấu nhóm nếu f(a.b) = f(a).f(b), với mọi a, b thuộc A.

Một đồng cấu nhóm f từ nhóm A vào nhóm B được gọi là đơn cấu nếu f là
đơn ánh; được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh; được gọi là đẳng cấu nếu f là
một song ánh.
Nhóm A được gọi là đẳng cấu với nhóm B nếu tồn tại một ánh xạ đẳng
cấu nhóm từ A lên B.
Sau đây chúng tơi hệ thống hóa một số mệnh đề về tính chất của đồng cấu
nhóm mà khơng trình bày chứng minh chi tiết.
1.3.3. Mệnh đề. Cho f: AB là đồng cấu nhóm. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) f(eA) = eB;
(ii) f(x-1) = (f(x))-1, với mọi x thuộc A;
(iii) f(U) là nhóm con của B, với mọi nhóm con U của A;
(iv) f-1(V) là nhóm con chuẩn tắc của A, với mọi nhóm con chuẩn tắc V
của B;
(v) f(U) là nhóm con chuẩn tắc của Imf, với mọi nhóm con chuẩn tắc U
của A.
Từ Mệnh đề 1.3.3. ta suy ra Imf luôn là nhóm con của B và Kerf là nhóm
con chuẩn tắc của A. Hiển nhiên f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = B. Mệnh đề
sau đây cho một điều kiện để f là đơn cấu thông qua Kerf.
1.3.4. Mệnh đề. Cho f: A  B là một đồng cấu nhóm. Khi đó f là đơn cấu nếu và
chỉ nếu Kerf = eA.
Mệnh đề sau đây thường được gọi là định lý cơ bản của đồng cấu nhóm.
1.3.5. Mệnh đề. Cho f: A  B là một đồng cấu nhóm. Khi đó nhóm thương
A/Kerf đẳng cấu với Imf.
Hai định lí sau đây thường được gọi là các định lí đẳng cấu nhóm.
1.3.6. Định lí đẳng cấu thứ nhất. Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của một
nhóm G sao cho AB. Khi đó A cũng là nhóm con chuẩn tắc của B và ta có
đẳng cấu: G/B  (G/A)/(B/A).


12

1.3.7. Định lí đẳng cấu thứ hai. Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của một
nhóm G. Khi đó ta có đẳng cấu AB/B  A/(AB).
1.3.8. Định lý. Cho : G  H là một đồng cấu nhóm với hạt nhân N = ker. Khi
đó ánh xạ g: G/N  H cảm sinh từ ánh xạ  bằng cách đặt g (xN) = (x), x 
G là một đồng cấu nhóm và là một đơn cấu. Hơn nữa nếu  là tồn cấu thì g là
một đẳng cấu.
Chứng minh: Để chứng tỏ g xác định như trên là một ánh xạ, ta phải chỉ
ra rằng nó khơng phụ thuộc vào cách chọn các đại diện trên một lớp ghép xN,
tức (x) = (y) nếu xN = yN. Thật vậy, theo giả thiết tồn tại những phần tử a, b
 N sao cho xa = yN. Thật vậy, theo giả thiết tồn tại những phần tử a, b N sao
cho xa - yb. Với chú ý rằng (a) = (b) = eH, ta suy ra:
(x) = (x) eH = (x) (a) = (xa) = (yb) = (y) (b) = (y) eH = (y)
g là một đồng cấu là hiển nhiên vì:
g(xN.yN) = g(xyN) = (xy) = (x).(y) = g(xN)g(yN).
Mặt khác, từ g(xN) = eH  x  ker, tức xN = eGN.
Vậy g là một đơn cấu.
1.3.9. Định lý. Cho : G  H là một toàn cấu và N là một nhóm con chuẩn tắc
ker  của G. Đặt M = (N). Khi đó, M là một nhóm con chuẩn tắc của H và ta
có đẳng cấu.
G/NH/M
Chứng minh: Để chứng minh M là nhóm con chuẩn tắc của H ta phải chỉ ra
rằng y-1 by  M, y  H , b  M.
Thật vậy, vì  là toàn cấu nên tồn tại x  G và a  N sao cho (x) = y và
(a) = b. Từ đây suy ra.
y 1by  ( x)) 1  a (x)   x 1ax) �   y
Xét tồn cấu chính tắc P : H  H/M. Vì  là một toàn cấu nên đồng cấu
hợp thành của hai toàn cấu p ◦  : G  H/M cũng là một toàn cấu.


13

Dễ thấy rằng Ker(P o  1 (M) �N . Nếu a �1 (M) thì tồn tại bN,
(a) = (b)   ab 1 )   a ( b)) 1  e . Điều này chứng tỏ ab-1  N, tức là a
 N.
Vậy suy ra Ker(P o   . Theo định lý 1.3.8 ta có:
G / N  H / ker(P o  H / M
G

1.3.10. Định lý
Cho  là 1 toàn cấu từ G vào G với hạt
nhân K. Khi đó có sự tương ứng 1 -1 giữa các

G


H

H

nhóm con H của G và nhóm con H của G chứa
K. Trong sự tương ứng đó nhóm con chuẩn tắc
tương ứng với nhóm con chuẩn tắc.

K

{1}

(Hình trên biểu thị mối quan hệ đó).

Chứng minh:
Cho H là nhóm con của G sao cho G  H  K. Khi đó H   (h) : h �H

là một nhóm con của G . Hơn nữa, vì  là một toàn cấu nên nếu H là chuẩn tắc
trong G thì H cũng chuẩn tắc trong G .
Điều này có thể được chứng minh như sau:
1

Cho h �H và g �G lấy tuỳ ý. Chúng ta phải chứng minh ghg �H . Do
 là toàn cấu nên tồn tại h H và g  G sao cho: (h) = h và (g) = g . Khi đó
do H là chuẩn tắc trong G nên ta có: ghg -1 H. Do đó, (ghg 1 ) �H hay là
(g)(h)(g 1 )  ghg 1 �H . Điều này chứng tỏ H là nhóm con chuẩn tắc của
G.
Xét ánh xạ  được xác định bởi (H) = H . Ta chứng minh  là một ánh
xạ 1 -1 từ tập hợp các nhóm con H của G sao cho G ≥ H ≥ K lên tập hợp các
nhóm con của G .


14
Trước hết ta chứng minh đây là đơn ánh. Giả sử H và J là 2 nhóm con như
vậy của G sao cho H và J chứa K và (H)  (J) . Giả sử phần tử hH, ta có
(h) (H)  (J) nên tồn tại jJ sao cho j) = (h) . Kí hiệu phần tử đơn vị
của G là 1 , khi đó trong G ta có
1   ( j) (h)  ( j1 )(h)  ( j1h) � j1h �K �J
1

Như vậy: j1h  k với k �K �J . Do đó, h  jk �J � H �J .
Tương tự, ta cũng có J �H . Do đó H = J. Vậy  là một đơn ánh.
Bây giờ ta chứng minh  là một toàn ánh. Giả sử N là nhóm con của G .






Ta xét N  x : (x) �N . Khi đó N là nhóm con của G chứa K, 1�N và
(K)  1  . Rõ ràng φ(N) = N . Cuối cùng, nếu N là nhóm con chuẩn tắc trong
G thì N là chuẩn tắc trong G, điều này có thể kiểm tra bằng việc tính tốn dựa

vào tiêu chuẩn nhận biết nhóm con chuẩn tắc của một nhóm.
Trong nghiên cứu nhóm tâm của nhóm và các nhóm con chuẩn tắc đóng
một vai trị quan trọng. Các nhóm con chuẩn tắc của nhóm liên hệ mật thiết với
các ánh xạ đồng cấu nhóm. Trong phần sau đây chúng tơi trình bày một số vấn
đề về nhóm con chuẩn tắc và cái chuẩn hóa của các tập hợp trong một nhóm.
1.3.12. Định nghĩa. Cho G là một nhóm. Ta gọi tập hợp
Z = {aG| xa = ax, x  G}
là tâm của nhóm G và kí hiệu là Z hay C(G).
1.3.13. Mệnh đề. Tâm của nhóm G là một nhóm con chuẩn tắc của G.
Chứng minh. Với mọi a, b thuộc Z và x thuộc G ta có
(ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = a(ab).
Vậy a.bZ.
Với phần tử aZ ta chứng minh a-1Z. Thật vậy, với mọi xG ta có
a-1x = (x-1 a)-1 = (ax-1)-1 = xa-1. Vậy a-1Z.
Cuối cùng, với mọi aZ, mọi xG ta có x-1ax = x-1xa = ea = aZ.


15
Vậy ta có Z là một nhóm con chuẩn tắc của G.
Chú ý rằng điều kiện xa = ax, x  G tương đương với điều kiện
xax-1 = a, x  G. Do đó ta cũng có thể mơ tả tâm Z của nhóm G
như sau: Z = {aG| xax-1 = a, x  G}.
Nhớ lại rằng nhóm con H của nhóm G là nhóm con chuẩn tắc nếu và chỉ
nếu xH = Hx, với mọi xG. Ta có thể phỏng theo điều kiện tương tự để định
nghĩa một khái niệm liên quan đến nhóm con chuẩn tắc.

1.3.13. Định nghĩa. Cho G là một nhóm và S là một tập hợp con của G. Ta gọi
tập hợp {xG | xS = Sx} là cái chuẩn hóa của tập hợp S và Kí hiệu là NS.
Khi S = {a} ta có Na = {xG | xa = ax}, tức là tập hợp tất cả các phần tử
của G giao hoán được với phần tử a. Như vậy tâm Z của nhóm G là tập hợp tất
cả các phần tử a thuộc G sao cho Na = G.
Chú ý rằng trong định nghĩa của cái chuẩn hóa của tập hợp S ta chỉ đòi
hỏi xS = Sx, tức là với mỗi sS, tồn tại các phần tử s’ và s’’S sao cho xs = s’x
và sx = xs’’ chứ khơng địi hỏi xs = sx, với mọi sS. Ta có Mệnh đề sau đây về
NS.
1.3.14. Mệnh đề. Cho S là một nhóm con của nhóm G. Khi đó N S là một nhóm
con của G và S là một nhóm con chuẩn tác của NS..
Chứng minh. Giả sử a, b NS. Khi đó (ab)S = a(bS) = a(Sb) = (aS)b = (Sa)b =
S(ab). Vậy abNS. Để chứng minh a-1NS, với mọi aNS, ta chú ý rằng khi S là
một nhóm con của G thì S-1 = S. Do đó ta có có a -1S = (S-1a)-1 = (aS-1)-1 = Sa-1.
Vậy NS là một nhóm con của G.
Rõ ràng rằng với mọi aS ta có aS = Sa nên aNS và với mọi aS, bNS,
ta có abSb = bS nên tồn tại a’S sao cho ab = ba’. Khi đó ta có b -1ab = b-1ba’
= a’ S. Vậy S là nhóm con chuẩn tắc của NS.
Chú ý rằng S là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G khi và chỉ khi NS = G.
Cho G là một nhóm và a là một phần tử của G. Khi đó ánh xạ f: GG
cho bởi f(x) = a-1xa là một tự đồng cấu nhóm.


16
1.3.15. Định nghĩa. Tự đồng cấu f của nhóm G cho bởi f(x) = a -1xa, với a pà một
phần tử nào đó của G được gọi là tự đồng cấu trong của nhóm G.
Ta có mệnh đề sau;
1.3.16. Mệnh đề. Cho G là một nhóm và S là một nhóm con của G. Khi đó S là
nhóm con chuẩn tắc của G khi và chỉ khi S bất biến đối với tất cả các tự đồng
cấu trong của nhóm G, tức là f(S) = S, với mọi tự đồng cấu trong f của G.



17

CHƯƠNG 2. NHĨM HỮU HẠN
Nhóm hữu hạn là những nhóm có số phần tử hữu hạn. Số này được gọi là
cấp của nhóm. Trong lí thuyết trường, lí thuyết số, cũng như trong thực hành
máy tính lí thuyết nhóm hữu hạn được ứng dụng nhiều. Vì vậy trong chương này
chúng tơi tìm hiểu và trình bày lại một số vấn về nhóm hữu hạn. Như thơng lệ,
số phần tử của một tập hợp A được kí hiệu là | A |, do đó cấp của nhóm G sẽ
được kí hiệu là | G |.
2.1. NHÓM CON CỦA NHÓM HỮU HẠN
Hiển nhiên rằng nhóm con của một nhóm hữu hạn là một nhóm hữu hạn.
Trong chương 1 chúng tơi đã nhắc đến các lớp ghép bên phải và bên trái của một
phần tử của một nhóm đối với một nhóm con. Đối với các nhóm hữu hạn số lớp
ghép như vậy cũng là hữu hạn. Bổ đề sau đây cho mối liên hệ giữa các phần tử
trong các lớp ghép, số lớp ghép và cấp của nhóm hữu hạn G.
2.1.1.Định nghĩa. Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn G, với mỗi x  G
các tập hợp
Hx   ax | a �H

xH   xa | a �H

được gọi tương ứng là lớp kề phải (lớp ghép phải) và lớp kề trái (lớp ghép trái)
của H bởi x.
Vì He = H nên H cũng là lớp ghép phải của chính nó.
2.1.2. Bổ đề. Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con cấp m của G. Với mỗi x 
G, lớp ghép trái xH gồm m phần tử.
Chứng minh. Xét ánh xạ f: H  xH xác định bởi f(a) = xa, a H.
Khi đó, y xH, a = x-1y  H sao cho:

f(a) = xa = x(x-1y) = (xx-1)y = ey = y
 f là toàn ánh
Giả sử f(a1) = f(a2), a1, a2  H  xa1 = xa2
 a1 = a2 (vì G là nhóm nên có luật giản ước)


18
 f là đơn ánh
Do đó, f là song ánh. Suy ra H  xH mà H gồm m phần tử nên xH cũng
gồm m phần tử.
2.1.3. Định lý (Định lý Lagrang). Cấp của một nhóm hữu hạn bất kỳ là bội số
cấp của mọi nhóm con cuả nó.
Chứng minh. Giả sử G là một nhóm hữu hạn bất kỳ của cấp n và H là nhóm con
của G. Khi đó cấp của H cũng hữu hạn, giả sử là m. Ta chứng minh n chia hết
cho m. Thật vậy, ta phân hoạch G thành các lớp ghép trái (hoặc lớp phải). Giả sử
có k lớp ghép như vậy. Vì số phần tử của các lớp này đều bằng nhau và bằng m
(cấp của H) nên số phần tử của G là mk. Theo giả thiết G gồm n phần tử nên n
= mk. Điều này chứng tỏ G = |H|.[G: H], hay |G| là bội của H .
Chú ý rằng trong định lý Lagrang H chỉ là một nhóm con bất kì của G.
Trong trường hợp H là một nhóm con chuẩn tắc, ta có thể xây dựng nhóm
thương và cấp của nhóm thương chính là số lớp ghép trái của G theo H. Nói
cách khác, |G/H| = [G: H]. Từ đó ta có hệ quả.
2.1.4. Hệ quả. Cho G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con chuẩn tắc của
G. Khi đó cấp của G là một bội số cấp của nhóm thương G/H.
Từ định lý 2.1.4 ta có thể tổng quát hóa như sau:
2.1.5. Định lý. Giả sử T là một nhóm con của S và S là một con của G, trong đó
G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:
[G:T] = [G: S].[S: T]
Chứng minh. Giả sử {x1, …, xm}(tương ứng {y1, …yn} là các tập đại diện của
các lớp kề trái của S trong G (tương ứng của T trong S). Khi đó,

m  G : S ; n  S : T và G, S được phân tích thành các hợp rời rạc.

G  x1S �x 2S �... �x mS
S  y1T �y 2T �... �y n T
Theo luật giản ước ta có:


19
x iS  x i y1T �... �x i y n T
m

�G U
i 1



n

Ux y T
i

j

j1



Vậy x i y j , i  1,m; j  1,n là tập đại diện của các lớp kề trái của T trong
G.
 [G: T] = m.n = [G: S].[S: T].

Định lý được chứng minh.
Ta biết rằng mỗi phần tử của nhóm G cho trước sinh ra một nhóm con
cyclic. Trong trường hợp G là nhóm hữu hạn thì nhóm cyclic này cũng hữu hạn
và cấp của nhóm cyclic sinh bởi phần tử a được sử dụng để định nghĩa cấp của
a. Vì vậy, từ định lí Lagrang, ta có hệ quả.
2.1.6. Hệ quả. Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là một ước
cấp cuả G.
Một trường hợp đặc biệt của nhóm hữu hạn là các nhóm có cấp nguyên tố
p. Lúc này p chỉ có đúng 2 ước số là 1 và p. Vì vậy Hệ quả 2.1.6. cho thấy mọi
phần tử của G có cấp hoặc là 1 hoặc là p. Phần tử cấp 1 hiển nhiên là phần tử
đơn vị e của G. Những phần tử khác e chỉ có thể có cấp p. Như vậy mọi phần tử
khác đơn vị e sinh ra một nhóm cyclic cấp p trong nhóm G. Vì G cũng chỉ có p
phần tử nên các nhóm con cyclic sinh bởi phần tử khác e phải bằng nhóm G.
Như vậy G là nhóm cyclic . Từ đó ta có hệ quả sau.
2.1.7. Hệ quả. Mọi nhóm hữu hạn cấp nguyên tố đều là nhóm cyclic và ta có thể
chọn một phần tử bất kì khác đơn vị e của G làm phần tử sinh của nhóm G.
Từ Hệ quả 2.1.7. ta có thể khảo sát tính giao hốn của một số nhóm hữu
hạn đơn giản. Trước hết ta chứng minh một Bổ đề về các nhóm chỉ có các phần
tử cấp 1 và 2. Mệnh đề này vượt ra ngoài khn khổ các nhóm hữu hạn nhưng
nó được sử dụng trong lập luận chứng minh mệnh đề sau đó nên chúng tôi sẽ
chứng minh chi tiết Bổ đề này.
2.1.8. Bổ đề. Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị là e sao cho mọi phần tử
x thuộc G thỏa mãn điều kiện x2 = e. Khi đó G là một nhóm giao hốn.


20
Chứng minh. Giả sử a và b là các phần tử bất kì của G. Ta chứng minh ab = ba.
Thật vậy, từ điều kiện x2 = e, với mọi xG, ta có x-1 = x, với mọi xG. Do đó ta
có (ab)-1 = ab; a-1 = a; b-1 = b. Mặt khác (ab)-1 = b-1a-1 . Sử dụng các đẳng thức
trên ta có ab = ba.

2.1.9. Mệnh đề. Mọi nhóm có cấp bé hơn hay bằng 5 đều là nhóm giao hốn.
Chứng minh. Nếu nhóm G có cấp 1 thì G là nhóm chỉ có phần tử duy nhất
là phần tử đơn vị nên G rõ ràng là giao hốn. Nếu G có cấp 2, 3, 5 thì cấp của G
là số nguyên tố nên G là nhóm cyclic. Do đó G giao hốn. Ta chỉ cịn phải xét
trường hợp G là nhóm có cấp 4. Khi đó cấp của mọi phần tử của G chỉ có thể là
1, 2, 4, vì số 4 chỉ có các ước số là 1, 2 hay 4 mà thôi. Nếu trong G có một phần
tử cấp 4 thì G là nhóm cyclic nên nó là nhóm giao hốn. Nếu khơng có phần tử
nào của G có cấp 4 thì G chỉ có phần tử e cấp 1 và 3 phần tử còn lại có cấp bằng
2. Những nhóm như vậy là nhóm giao hốn theo bổ đề 2.1.8.
Mọi nhóm có cấp 7 cũng là nhóm giao hốn vì nó là nhóm cyclic (cấp
nguyên tố). Trong trường hợp tổng quát, các nhóm cấp 6 có giao hốn hay
khơng? Sử dụng nhóm các phép thế S 3 ta có câu trả lời: S3 là nhóm cấp 6 khơng
giao hốn, do đó nhóm cấp 6 có thể giao hốn (như nhóm cyclic cấp 6) mà cũng
có thể khơng giao hốn (như nhóm S3).
Chúng tơi nhắc lại rằng ta đã định nghĩa phép thế bậc n là song ánh từ tập
hợp {1, 2, …, n} vào chính nó. Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được kí hiệu là
Sn. Khi đó nhóm Sn làm thành một nhóm đối với phép tốn tích (hợp thành) ánh
xạ. Nhóm Sn cịn được gọi là nhóm đối xứng cấp n. Một cách tổng quát ta cũng
gọi mỗi song ánh từ tập X lên X là một phép thế của X. Trong trường hợp này
tập hợp tất cả các phép thế của X sẽ được kí hiệu là S(X) hay P(X). P(X) xét với
phép tốn tích ánh xạ làm thành một nhóm. Khi tập hợp X có n phần tử ta cũng
gọi P(X) là nhóm các phép thế bậc n. Trong kí hiệu S n ta đã lấy X = {1, 2, …,
n}. Tuy nhiên việc thay đổi X bởi một tập hợp khác có cùng n phần tử lập luận
trong các chứng minh khơng có gì thay đổi đáng kể (chỉ là sự chuyển dịch ngôn


21
ngữ cho thích hợp). Định lí sau đây cho thấy vai trị của các nhóm phép thế của
một tập hợp.
2.1.10. Định lý (Định lý Keli). Mọi nhóm hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một

nhóm con của nhóm đối xứng Sn.
Chứng minh. Giả sử G  {x1 ,..., x n } là nhóm con hữu hạn cấp n; P(G) là nhóm
các song ánh từ G lên G.
Với mỗi a  G, ta có ánh xạ a: G  G cho bởi a(a) = ax là một song
ánh. Thật vậy, x, y  G nếu có a (x)  a (y)
 ax = ay  x = y (sử dụng luật giản ước trong G). Vậy a là đơn ánh.
Với mọi g  G,  x = a-1g  G thỏa mãn
a (x)  a x  a(a 1g)  (a a 1 )g  eg  g   là toàn ánh .
Vậy  a là một song ánh. Điều này chứng tỏ a là một phép thế của tập hợp G,
tức là a P(G).
Ta chứng minh ánh xạ : G  P(G) cho bởi aa là một đồng cấu
nhóm. Thật vậy, ta có a.b) = ab . Với mọi x thuộc G ta có ab(x) = (ab)x =
a(bx) = a(bx) = a(b(x)) = (a. b) (x). Điều này chứng tỏ ab = a . b , a, b 
G. Do đó, (a.b) = (a) . (b); a, b  G. Vậy  là một đồng cấu nhóm từ G
vào P(G).
Mặt khác, nếu a, b  G mà (a) = (b)  a = b  a(e) = b(e) (e là
đơn vị của nhóm G)  ae = be  a = b. Điều này chứng tỏ  là đơn ánh. Vậy 
là đơn cấu nhóm từ G vào P(G).
Vậy G   G) , trong đó (G) là nhóm con của nhóm các phép thế bậc n, tức là
G đẳng cấu với nhóm con của nhóm các phép thế bậc n.
2.1.11.Định lý. Cho A và B là các nhóm con hữu hạn của nhóm G. Khi đó
AB 

A.B
, trong đó AB là tích các nhóm con A và B cho
A �B

bởi: AB = {ab| aA, bB}.



22
Chứng minh: Các tích xy chúng ta có thể hình thành với x  A và y  B. Tất
nhiên ta có A . B , rắc rối ở đây là cũng có thể có một số trùng lặp ab = a 1b1 với
a, b, a1, b1 có thể khác nhau. Điều này cho thấy chúng ta xét tích đề các A  B
chúng ta xét quan hệ ~ như sau: (a, b) ~ (c, d) nếu ab = cd
Quan hệ (∼) là một quan hệ tương đương. Dễ dàng thấy rằng A.B là số các
lớp tương đương riêng biệt như từng lớp tương đương tương ứng với một phần
tử của A. B. Để chứng minh định lý điều kiện đủ cho thấy rằng mỗi lớp tương
đương có yếu tố A �B . Trong thực tế, chúng ta chứng minh nếu E bao gồm
các lớp tương đương mà bất kỳ (a, b) thuộc nó. Khi đó:





E  (ax 1, xb) : x ��A �B

Rõ ràng nếu x  A  B thì ax-1  A và xb  B sao cho:
(ax 1, xb)  A B và (a, b) : (ax 1, xb)

Ngược lại, nếu (a, b) ∼ (a1, b1) thì ab = a1b1 và khi đó
x  a11; a  b1b 1�A �B . Như vậy a1 = ax-1 và b1 = xb và khẳng định

trên thoả mãn.
Cuối cùng, nếu (ax-1, xb) = (ay-1, yb) thì x = y.
Vậy E có phần tử A �B và định lý được chứng minh.
Trong phần tiếp theo sau đây chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức về
các nhóm hữu hạn có liên quan đến các P-nhóm con Sylow của một nhóm hữu
hạn và các định lý Sylow.
2.2. p – NHĨM VÀ NHÓM CON p- SYLOW

2. 2.1. Định nghĩa. Cho p là một số nguyên tố. Nhóm G được gọi là p - nhóm
nếu cấp của mỗi phần tử của G là hữu hạn và là luỹ thừa của p.
Chúng ta nhận thấy rằng nếu G là một nhóm hữu hạn và cấp của G là lũy
thừa của một số nguyên tố p thì cấp của mọi nhóm con của G và cấp của mọi
phần tử của G cũng là lũy thừa của số nguyên tố p. Do đó trong trường hợp ta có


23
G và mọi nhóm con của G đều là các p- nhóm. Các ví dụ sau đây thuộc loại
nhóm như vậy.
2.2.2. Ví dụ
1. Giả sử A3 là nhóm các phép thế chẵn bậc 3. Khi đó cấp của A3 là 3.
Trong đó
� �
1
e

� �
1
� �
A3  �
1
�
�
f2  �
� �
3
�

2 3�

1 2 3�
�
�
;
f


(1
2
3)
�
1
�
�
2 3�
�
�2 3 1 �
�
�
2 3�
�
 (1 3 2)
�
�
2 1�

Khi đó cấp của e là 1 = 30, cấp của f1 cad f2 là 3 = 31. Vậy mọi phần tử của A3đều
có cấp là bội số của số nguyên tố 3 nên A3 là 3- nhóm (p = 3).
2. Giả sử G là nhóm sinh bởi các phần tử a và b với quan hệ a 4 = b2 = e và
ba = a-1b.

Khi đó: G = {e; a; a2; a4; b ; ba; ba2; ba3}
 G có cấp 23 =8. Mọi phần tử của nhóm G đều có cấp là ước số của 8.
Vì 8 chỉ có các ước số là 1 = 2 0, 2 = 21, 4 = 22 và 8 = 23. Vậy cấp của các phần tử
của G đều là lũy thừa của 2 nên G là 2- nhóm (p = 2).
3. Mọi nhóm G thỏa mãn điều kiện x2 = e trong Bổ đề 2.1.8. là một 2nhóm (p = 2).
2.2.3. Mệnh đề. Nhóm con, nhóm thương của p – nhóm hữu hạn là p – nhóm hữu hạn.
Chứng minh. i) Chứng minh nhóm con của một p - nhóm là p - nhóm
Giả sử G là p - nhóm và cấp của G là p n với p là số nguyên tố và n là một
số tự nhiên. Giả sử H là nhóm con của G. Khi đó cấp của H là ước số của p n. Vì
p là số nguyên tố nên |H| = pm, với m là một số tự nhiên bé hơn hay bằng n. Cấp
của mỗi phần tử a thuộc H là ước số của p m. Lại vì p là số nguyên tố nên p m chỉ
có các ước số là lũy thừa của p. Do đó H là p-nhóm. Vậy, nhóm con của một p nhóm là p - nhóm.
ii) Ta chứng minh nhóm thương của p - nhóm là p - nhóm G.


24
Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của p – nhóm G và G/H là nhóm
thương của G theo nhóm con chuẩn tắc H. Ta có cấp của nhóm thương G/H
chính là số lớp ghép của G theo nhóm con H, tức là |G/H| = [G: H].
Sử dụng công thức |G| = |H|.[G: H], với chú ý rằng |G| = p n và |H| = pm (n
 m), ta có [G: H] = pn-m. Do đó |G/H| = pn-m. Từ đó mọi phần tử của G/H có cấp
là ước số của pn-m nên cũng là lũy thừa của p. Vậy G/H là một p-nhóm.
Giả sử ta có một họ các nhóm F = {Gi}iI với phần tử đơn vị của Gi kí
hiệu là ei. Ta xây dựng tích Descartes G của họ F và đưa vào phép toán theo
từng thành phần. Khi đó G làm thành một nhóm. Nhóm G được gọi là tích trực
tiếp của họ F các nhóm.
Đối với họ các p-nhóm hữu hạn ta có Mệnh đề sau:
2.2.4 Mệnh đề. Tích trực tiếp của một họ hữu hạn các p- nhóm là p - nhóm.






Chứng minh. Giả sử G i | i  1,n là họ hữu hạn các p – nhóm và G là tích trực
n





tiếp của họ đã cho. Ta có G  �G i  g  (g1 ,g 2 ,...,g n ) | g i �G i ,i 1,n
i 1

Phép toán trên G được xác định như sau:
với g = (g1, g2, …, gn) và h = = (h1, h2, . . ., hn), tích gh = (g1h1, g2h2, . . ., gnhn)
Ta chứng minh G là p – nhóm. Thật vây, rõ ràng G có cấp hữu hạn. Ta
chứng minh mọi phần tử của G có cấp là lũy thừa của p. Giả sử g = (g 1, g2,…,
gn) là một phần tử bất kì của G. Do gi là phần tử của p-nhóm Gi nên cấp của mỗi
phần tử gi là lũy thừa của p. Giả sử p mi là cấp của gi , với mỗi i = 1, 2, . . ., n.
1

Khi đó ta có p1 bằng bội chung của các p mi và g P  e  G. Điều này cho thấy
cấp của g là ước số của p1. Ước số này cũng là một lũy thừa của p. Vậy G là một
p-nhóm.
2.2.5. Định lý. Giả sử G là p - nhóm cấp hữu hạn với p là số nguyên tố. Khi đó
tâm Z của G chứa thực sự nhóm con đơn vị {e}.
Chứng minh. Theo đẳng thức phân tích nhóm G theo lớp các phần tử liên hợp, ta
có

|G| = |Z| + aZ[G: Na]. Do G là một p- nhóm nên p là ước của |G| và p là



25
ước của [G: Na], với mọi aZ. Do đó p là ước của |Z|. Vì vậy |Z| > 1. Lại có phần tử
đơn vị e của G ln thuộc tâm Z nên Z chứa thực sự nhóm con đơn vị {e}.
2.2.6. Hệ quả : Nếu G là một p - nhóm hữu hạn thì G chứa nhóm con chuẩn tắc
của cấp p.
Chứng minh: Thật vậy ta có Z là một nhóm con của G. Vì p là ước của |Z| nên Z
chứa một phần tử c cấp p. Khi đó ta có nhóm con cyclic C sinh bởi phần tử c
gồm các phần tử C = < c > = {1,c, …, cp-1}. Đây là nhóm con của G có cấp p. Ta
chứng minh C là nhóm con chuẩn tắc. Thật vậy, với mọi x  G và ci C (ci
cũng thuộc Z), ta có xcix-1 = xx-1ci = ciC.
Như vậy C là một nhóm con chuẩn tắc của G có cấp p.
2.2.7.Định lý. Nếu G là p - nhóm hữu hạn của cấp pr thì có một chuỗi nhóm
con:  1  G 0 �G1 �... �G r  G sao cho Gi là nhóm con chuẩn tắc của G và

 G i1 : G i   p .
Chứng minh: Bằng phương pháp quy nạp theo r.
Nếu r = 1 thì G1 = G và điều phải chứng minh là đã rõ. Theo hệ quả 2.2.7
thì G có nhóm con chuẩn tắc G1 của cấp p.
Xét G  G / G1 và đồng cấu tự nhiên : G ��
�G
G
r 1
Bây giờ G  p

và theo các giả thiết quy nạp có chuỗi:

 1  G


1

�G 2 �... �G r  G

Sao cho: Gi chuẩn tắc trong G
G i1 : G i �
và �
�
� p



G  G r  G / G1

G2

G2

G1

{1}  G1

{1}
Hình trên minh hoạ mối liên hệ

Vì Gi là nghịch ảnh của G i , tức là G i   g :g �G | (g) �G i }, ta có Gi là
nhóm con chuẩn tắc của G. Do đó ta có G i 1 / G i  G i 1 / G i = p. Do đó ta có

 G i1 : G i   p