Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO
trờng đại học vinh

Một tính chất Về linh hóa tử
của môđun artin
luận văn thạc sỹ toán học

Vinh - 2010
Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO
trờng đại häc vinh

1


lê thị hằng thu

Một tính chất Về linh hóa tử
của môđun artin

luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành: đại số - lý thut sè
m· sè:

60.46.05

C¸n bé híng dÉn khoa häc:

TS. Nguyễn Thị Hồng Loan

Vinh - 2010

mục lục
Mở
đầu

........................................................................

............

..4
2


Chơng

1.

Kiến

thức

chuẩn

bị ....................................................... ..6
1.1. Phổ

và

giá

của


môđun... .............................................................................
6
1.2.

Tập

các

iđêan

nguyên

tố

liên

kết

. .................................................7
1.3.

Sự

phân

tích

nguyên


sơ

của

môđun

Noether .................................................7
1.4.

Vành

địa

phơng

đầy

đủ

theo

tôpô

m-

adic.....................................................9
1.5.

Chiều


Krull

của

môđun................................................................................10
1.6.

Hệ

tham

số..................................................................................................
.10
1.7.

Đối

ngẫu

Matlis ..........................................................................................
11
1.8.

Biểu

diễn

thứ

cấp


của

môđun

Artin .............................................................11
1.9.

Chiều

Noether

của

môđun

Artin ................................................ ................12
1.10.

Môđun

đối

đồng

điều

ơng.............................................................13

3


địa

ph-


Chơng 2. Một tính chất về linh hoá tử của
môđun ARTIN.......15
2.1.Tính chất (*) của môđun Artin .............................................
.......................15
2.2. Tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phơng ....................................22
Kết
luận..................................................... .......................................
................28
Tài

liệu

tham

khảo...........................................................................................2
9

Mở đầu
Cho ( R, m) là vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan
cực đại duy nhất m; a là một R-môđun Artin và M là một Rmôđun hữu hạn sinh với chiỊu Krull dim M  d  0 . Tríc hÕt ta

4



thấy rằng nếu p là một iđêan nguyên tố của R chứa AnnRM, khi
đó p SuppM nên Mp 0. Theo Bỉ ®Ị Nakayama ta suy ra

 M pM 

 Mp
p

pMp





p  Supp M pM , tøc lµ p �AnnR

�0 . Vì thế

M pM . Do đó ta lu«n cã: Ann  M pM   p víi mọi iđêan nguyên
R

tố p AnnRM.
Một cách tự nhiên, đối với lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự Cờng và Lê Thanh Nhàn [5] đà xột tớnh cht sau v h gi tính chất này là
tính chất (*):
AnnR (0: A p)= p với mọi iđêan nguyên tố p  AnnRA.
Tuy nhiªn tÝnh chất (*) này lại không đúng cho tất cả các
môđun Artin A, kể cả trờng hợp A H md ( M ) là môđun đối đồng điều địa
phương cấp cao nhất của môđun hữu hạn sinh M với giá là iđêan cực đại m.
Mục đích của Luận văn là dựa vào các bài báo [5] cđa Nguyễn Tự Cường,
Lª Thanh Nhàn và [6] của Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh

Nhàn để nghiên cứu tính chất (*) của mơđun Artin và tính chất (*) của mơđun
đối đồng điều địa phương cấp cao nhất H md ( M ) .
Ngoài phần Mở đầu, Kết Luận và Tài liệu tham khảo, Luận
văn đợc chia làm 2 chơng. Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong
chơng này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của ại
số giao hoán có sử dụng trong Luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn
trích dẫn một số kết quả đà có nhằm phục vụ cho các chứng
minh ở phần sau. Chơng 2: Một tính chất về linh hoá tử của
môđun Artin. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày về tính
chất (*) của môđun Artin và tính chất (*) của môđun đối
đồng điều địa phơng cấp cao nhất.
5


Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2010 tại Trờng
Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng
Loan. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
cô, ngời đÃ

hớng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo và nghiêm

khắc trong suốt quá trình học và nghiên cứu. Cũng nhân dịp
này tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa
Sau đại học, các thầy cô giáo trong khoa Toán và tổ Đại số đÃ
giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trờng THPT Đông Sơn 2, các đồng
nghiệp trong tổ Toán, các anh, các chị và các bạn trong lớp Cao
học 16 Đại số và Lý thuyết số đà giúp đỡ động viên tôi trong
suốt quá trình học tập.
Mặc dù đà có nhiều cố gắng, song luận văn không tráng

khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các
thầy cô giáo và các bạn để luận văn đợc hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 11 năm
2010

6


Chương 1.

KiÕn thøc c¬ së

Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại số
giao hốn có sử dụng trong Luận văn như: Phỉ vµ giá của môđun, sự
phân tích nguyên sơ của môđun, vành địa phơng đầy đủ
theo tôpô m -adic, chiều Krull của môđun, hệ tham số, đối ngẫu
Matlis, biễu diễn thứ cấp của môđun Artin, chiều Noether của
môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phơng.
1.1 Phổ và giá của môđun
1.1.1. Phổ của vành. Iđêan p của vành R đợc gọi là iđêan
nguyên tố nếu a, b R mà ab p thì suy ra a p hoặc b p.
Tập tất cả của iđêan nguyên tố của R đợc ký hiệu là SpecR
gọi là phổ của vành R .
Với mỗi iđêan I của R ta ký hiÖu
V (I ) =

 p � Spec R, p I .

1.1.2. Giá của môđun. Cho M là một R -mô đun. Ta gọi giá

của môđun M là tập hợp đợc ký hiệu

7


Supp M =  p �Spec R M p �0 Spec R .
Với mỗi x M ta ký hiệu
Ann R  x    a �R / ax  0 ;
Ann R M   a �R / aM  0   a �R / ax  0, x �M  .
Ta cã Ann R  x và Ann R M là những iđêan của M ; Ann R M đợc gọi
là linh hoá tử của môđun M . Hơn nữa nếu M là R- môđun hữu
hạn sinh thì
Supp M = V (Ann R M ).

1.2. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.2.1. Định nghĩa. Cho M là một R -môđun. Ta gọi iđêan
nguyên tố p của R là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một
trong hai điều kiện tơng đơng sau đợc thoả mÃn :
(i) Tồn tại phần tử x M sao cho Ann( x )= p ;
(ii) M chøa mét môđun con đẳng cấu với R / p .
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M đợc ký hiệu là AssR M
hoặc AssR M nếu không để ý đến vành R.
1.2.2. Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và một
R-môđun. Khi đó các phát biểu sau đây là đúng :
(i). Iđêan nguyên tố p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và
chỉ khi M chứa một môđun con M ' sao cho M '  R / p .
(ii). Cho 0 �� M ' � M � M '' � 0 lµ d·y khớp các R -môđun. Khi đó
Ass M ' Ass M �Ass M '' �Ass M ' .

8



(iii). Các phần tử tối đại trong tập {Ann R x : x 0, x M } đều là
những iđêan nguyên tố liên kết của M . Vì thế nếu R là vành
Noether và

M 0 thì Ass M là tập hợp khác rỗng.

1.2.3. Mệnh đề. AssR M Supp M và mọi phần tử tối tiểu của
Supp M đều thuộc Ass M.
1.2.4. Mệnh đề. Nếu M là R -môđun Noether thì Ass M là
tập hữu hạn.
1.3. Sự phân tích nguyên sơ của Noether
1.3.1. Định nghĩa. Cho vành giao hoán và M là một R môđun.
(i). Iđêan q R của R đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi
r R , phép nhân bởi r trên R / q là đơn cấu hoặc luỹ linh. Trong

trờng hợp này Rad (q) là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn p và ta
gọi q là p-nguyên sơ.
(ii). Môđun con N M của M đợc gọi là nguyên sơ nếu tồn tại
một iđêan nguyên tè p cña R sao cho Ass( M / N )= p . Khi đó ta
cũng nói N là p -nguyên sơ.
(iii). Cho N là môđuncon của M . Một phân tích nguyên sơ của
N là một biểu diễn

N  M 1 �M 2 �... �M n ,
trong ®ã M i là các môđun con pi -nguyên sơ của M . Phân tích
trên đợc gọi là thu gọn nếu các pi là đôi một phân biệt và
không có M i nµo thõa.
1.3.2. Chó ý. (i). NÕu M 1 vµ M 2 là các môđun con p -nguyên sơ

của M thì M 1 M 2 cũng là môđun con p-nguyên sơ của M . Vì

9


thế mọi phân tích nguyên sơ của môđun con N ®Ịu cã thĨ
quy vỊ mét ph©n tÝch thu gän.
(ii). Khi M R và R là vành Noether thì khái niệm môđun con
nguyên sơ trùng với khái niệm iđêan nguyên sơ.
Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên
sơ của mọi môđun con của môđun Noether và tập các iđêan
nguyên tố liên kết có thể đợc xác định thông qua một phân
tích nguyên sơ thu gọn.
1.3.3. Định lý. Cho M là R - môđun Noether và N là môđun
con của M . Khi đó ta có :
(i). N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn;
(ii). Nếu N  N1 �N 2 �... �N n vµ N  N '1 �N 2 ' �... �N m ' là hai sự phân
tích nguyên sơ thu gọn của N , trong đó Ni là pi -nguyên sơ,
i 1, 2,...n

 p ,p
'
1

'
2

vµ Ni ' lµ

..., p ' n  .Vì thế,


pi ' -nguyên sơ thì

mn

và p1 , p2 ..., pn  =

 p1 , p2 ..., pn  không phụ thuộc vào sự phân tích

nguyên sơ thu gọn của N . Hơn nữa ta có

p1 , p2 ..., pn  =Ass( M / N ).
(iii). Cho N  N1 �N 2 �... �N n , trong ®ã Ni là pi -nguyên sơ, i 1, 2,...n
là phân tích nguyên sơ thu gọn của N . Nếu pi là phần tử tối
thiểu trong tập Ass( M / N ) thì môđun con Ni tơng ứng không
phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của N .
1.3.4. Mệnh ®Ị. Cho R lµ vµnh Noether, M lµ R - môđun
hữu hạn sinh và N là môđun con của M . Khi đó N là môđun
con nguyên sơ khi và chØ khi víi mäi r �R , phÐp nh©n bëi r trên
M / N là một đơn cấu hoặc luỹ linh. Trong trờng hợp này tập

Rad ( Ann( M / N )) là một iđêan nguyên tố p và N là p -nguyên sơ.

10


1.4. Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m -adic
Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu R chỉ

có duy


nhất một iđêan tối đại m. Khi đó vành thơng R/m là một trờng
và gọi là trờng thặng d của vành R. Ta thờng kí hiệu vành địa
phơng đó là ( R, m ). Vành R đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu
R chỉ có hữ hạn iđêan tối đại.
Cho ( R, m ) là một vành địa phơng. Ta xét R nh một vành
tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , t 0,1, 2... .
Chú ý cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý r R gồm các líp
ghÐp r  mt , t  0,1, 2... . Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m -adic của
R kí hiệu bởi R , đợc định nghĩa bằng cách thông thờng theo

ngôn ngữ của dÃy Cauchy nh sau: Một dÃy Cauchy trong R là một
dÃy ( rn ) các phÇn tư cđa R sao cho víi mäi t  0 ,tồn tại số tự nhiên
n0 để rn rm �mt víi mäi

n, m  n0 . D·y

( rn ) đợc gọi là hội tụ về dÃy

không nếu mọi t 0 tồn tại số tự nhiên n0 để rn - 0 = rn  mt t víi
mäi n >n0. Hai d·y Cauchy ( rn ) vµ ( sn ) đợc gọi là tơng đơng,

ký hiệu ( rn ) ( sn ) nÕu d·y ( rn -

sn )

lµ d·y không. Khi đó quan

hệ trên tập các dÃy Cauchy là quan hệ tơng tơng. Ta ký
hiệu


R

là tập các lớp tơng đơng của các dÃy Cauchy.
Chú ý rằng nếu ( rn ) v à ( sn ) là các dÃy Cauchy thì các

dÃy ( rn +

sn ), ( rn , sn )

của các dÃy ( rn +

cũng là các dÃy Cauchy và lớp tơng đơng

sn ), ( rn , sn )

là không phụ thuộc vào việc chọn

các đại diện của các lớp tơng đơng của các dÃy Cauchy ( rn )
vµ ( sn ) , tøc lµ nÕu ( rn )  ( r 'n ) vµ ( sn )  ( sn ) th× ( r 'n ) + ( sn )  (
r 'n )

+ ( s 'n ) và ( rn

sn )

( r 'n

s 'n ).


Vì thế

11

R đợc trang bị hai phép


toán 2 ngôi + và . ; cùng với 2 phép toán này R lập thành một
vành. Mỗi phần tử r R có thể đồng nhất với lớp tơng đơng của
dÃy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dÃy đều là r . Vì thế
ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành
R R
r (r )

trong đó ( r ) là dÃy mà tất cả các phần tử của nó đều là r .
1.5. Chiều Krull của môđun
Một dÃy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :
p0 p1 ... pn

đợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. Cho p Spec R . Cận
trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0=p đợc
gọi là độ cao cđa p, ký hiƯu lµ ht ( p) , nghÜa là
ht ( p) =sup {độ dài các xích nguyên tố với
p0=p}.
Cho I là một iđêan của R khi đó độ cao của iđêan I đợc định
nghĩa nh sau
ht ( I )  inf  ht ( p ) / p Spec R, p I

.


Cận trên của tất cả các xích nguyên tố trong R đợc gọi là chiều
Krull của vành R, ký hiệu là dimR.
Cho M là một R -môđun khi đó dim ( R Ann R M )đợc gọi là
chiều Krull của môđun M, kí hiệu là dim R M (hoặc dim M nếu ta
không để ý đến vành R ).
Chó ý r»ng :- dim M = dim Mˆ .
- dim R có thể vô hạn do ht ( P) có thể vô hạn và
dim M dim R .

12


1.6. Hệ tham số
1.6.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, địa phơng,
Noether với iđêan cực đại duy nhất m ; M là một R -môđun hữ
hạn sinh cã chiÒu Krull dim M  d f 0 .
(i). Mét hƯ gåm d phÇn tư x : ( x1 , x2 ,..., xd ) của m đợc gọi là mét hƯ
tham sè cđa M nÕu l ( M / ( x1 , x2 ,..., xd ) M )  (ở đây l (*) là kí hiệu
chỉ độ dài của R -môđun).
(ii). Iđêan đợc sinh bởi một hệ tham số đợc gọi là một iđêan
tham số.
(iii). Nếu x : ( x1 , x2 ,..., xd ) lµ mét hƯ tham số của môđun M thì hệ
các phần tử ( x1 , x2 ,..., xi ) đợc gọi là một phÇn hƯ tham sè víi mäi
i  1, 2,...d .

1.6.2. Mệnh đề. (i). Mọi hoán vị của một hệ tham số của
môđun M cũng là một hệ tham số của M .
(ii). NÕu x : ( x1 , x2 ,..., xd ) là một hệ tham số của môđun M vµ
n : (n1 , n2 ,..., nd ) lµ bé gồm d số nguyên dơng thì x(n) : ( x n11 , x n2 2 ,..., x nd d )


còng là một hệ tham số của môđun M .
(iii).Nếu x : ( x1 , x2 ,..., xd ) lµ mét hệ tham số của môđun M thì
dim M / ( x1 ,..., xi ) M  d  i, i  1, 2,..., d .

(iv). NÕu x : ( x1 , x2 ,..., xd ) lµ mét hƯ tham sè môđun M thì x cũng
là hệ tham số của M , trong đó M là bao đầy đủ m -adic của M
.
1.7. Đối ngẫu Matlis
Cho ( R, m ) là một vành địa phơng. Kí hiệu E ( R m) là bao
nội xạ của trờng thặng d R / m cđa R . XÐt hµm tư D() = HomR( -,
E ( R m) ) từ phạm trù các R -môđun đến chính nó. Vì

13

E ( R m) lµ


môđun nội xạ nên D() là hàm tử khớp. Hàm tử D() đợc gọi là
đối ngâũ Matlis. Với mỗi R môđun M thì R-môđun D( M ) =
HomR(M, E ( R m) ) đợc gọi là môđun đối ngẫu Matlis của môđun
M.
1.8. Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin
Chúng ta nhắc lại khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật
ngữ của

Macdonald.

1.8.1. Định nghĩa. (i). Một R -môđun M đợc gọi là thứ cấp
nếu với mọi r R , phép nhân bởi r trên M là toàn cấu hoặc luỹ
linh. Trong trờng hợp này Rad(Ann R M ) là một iđêan nguyên tố,

chẳng hạn p và ta gọi M là p -thứ cấp.
(ii). Cho M là một R -môđun. Một biểu diễn thứ cấp của môđun
M

là

một

sự

biểu

diễn

thành

tổng

các

môđun

con

M M 1  M 2  ...  M n , trong ®ã M i lµ pi -thø cÊp víi mäi i 1, 2,...n . Trong

trờng hợp M hoặc M cã mét biĨu diƠn thø cÊp th× ta nãi M
là biểu diễn đợc. Biểu diễn thứ cấp này gọi là tối thiểu
nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có
hạng tử M i nào thừa.

1.8.2. Nhận xét. (i). Khái niệm môđun con nguyên sơ theo
một nghĩa nào đó đỗi ngẫu với khái niệm môđun con thø cÊp.
(ii). NÕu M 1 vµ M 2 lµ các môđun con p -thứ cấp của R -môđun
M

thì M 1 + M 1 cũng là môđun con p -thứ cấp. Vì thế mọi biểu

diễn thứ cấp của M đều cã thĨ quy vỊ mét biĨu diƠn

tèi

thiĨu.
1.8.3. MƯnh ®Ị. Cho M = M 1 +...+ M n , trong ®ã M i là các pi thứ cấp, i 1, 2,...n lµ mét biĨu diƠn

14

thø cÊp tèi thiĨu cđa R -


môđun M . Khi đó tập p1, p2 ,..., pn là độc lập với việc chọn biểu
diễn thứ cÊp tèi thiĨu cđa M .
TËp

p

1,

p2 ,..., pn  x¸c định nh trên đợc gọi là các tập

iđêan


nguyên tố gắn kÕt cđa M vµ ký hiƯu Att R M . Các hạng tử M i ,
i 1, 2,...n gọi là các thành phần thứ cấp của M . Nếu pi là tối thiểu

trong Att R M thì M i đợc gọi là thành phần thứ cô lập. Chú ý
rằng các thành phần thứ cấp tối thiểu của M không phơ thc
vµo biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa M .
1.8.4. MƯnh ®Ị. Cho

0 � M�
� M � M �� là dÃy khớp các R-

môđun biểu diễn đợc. Khi ®ã

Att M �� Att M � Att M �� Att M

1.8.5. Định lý. Cho A là R -môđun Artin. Khi ®ã A cã biĨu
diĨn thø cÊp tèi thiĨu.
1.9. ChiỊu Noether của môđun Artin
1.9.1. Định nghĩa. Chiều Noether của M , ký hiệu bởi
N dim M , đợc định nghĩa nh sau: Khi M 0 đặt N dim M  1 .

B»ng qui n¹p, cho mét sè nguyên d 0, ta đặt N dim M d nÕu
N  dim M  d lµ sai vµ với mỗi dÃy tăng

M o M 1 ... M n ... các

môđun con của M tồn tại số nguyên n0 sao cho N  dim( M n 1 / M n )  d
, víi mäi n  n0 .
Nh vËy,


N  dim M  0 khi vµ chØ khi M 0 và M là Noether.

f
g
1.9.2. Mệnh đề. (i). Cho 0 � M ' ��
� M ��
� M '' � 0 là dÃy khớp

ngắn các R -môđun. Khi đó ta cã
N  dim R M  max  N  dim R M ' , N  dim R M ''  ;

(ii). Cho ( R, m ) lµ vµnh địa phơng. Khi đó ta có
N dim R A  N  dim Rˆ A .

15


Mọi môđun Artin A đều có một biểu diễn thứ cÊp tèi
thiÓu A  A1  A  ...  An , trong đó không có Ai nào là thừa. Tập hợp
2

p , p ,..., p không
1

2

n

phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn tối thiểu


của A và đợc ký hiƯu bëi Att R ( A ). TËp c¸c iđêan nguyên tố tối
thiểu của V ( Ann R A ) là tập tất cả các iđêan nguyên tố chứa
Ann R A , chính là tập các iđêan nguyên tố tèi thiĨu cđa Att R ( A ).
ChiỊu Krull cđa A , ký hiệu dim R A là cận trên của các số dim R / p
khi p chạy trên Att R A . §Ĩ thn tiƯn chóng ta quy ớc dim R A = -1
nếu2 A =0.
Định lý sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa N - dim R A

và

dim R A .

1.9.3. Định lý. Các phát biểu sau đây là đúng.
(i) N-dimR A =0 nếu và chỉ nếu dim R A =0. Trong trờng hợp này
A có độ dài hữu hạn và R /AnnR A và vành Artin.

(ii) N-dimR A � dimR A .
1.9.4. HƯ qu¶. NÕu ( R, m ) là vành địa phơng đầy đủ thì
N - dim RA = dim RA.

1.10. Môđun đối đồng điều địa phơng
1.10.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của vành giao hoán, có
đơn vị Noether R . Khi đó hàm tử I -xoắn I ( ) từ phạm trù các

n
R -môđun đợc xác định bởi I ( M ) n 1 (0:M I ) lµ hµm tư céng tÝnh

,khíp trái ,hiệp biến trong phạm trù các R -môđun với các hàm tử
dẫn xuất thứ i là R i I ( ) , i 1,2,... Ta có các hàm tử đối đồng điều

địa phơng H Ii . , i . Môđun đối đồng điều địa phơng thứ i
của M có giá là I,ký hiệu H Ii (M ) ,đợc xác định bởi
H Ii (M ) = R i I (M ) .

16


1.10.2. Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta ta có thể xác định
môđun đối đồng điều địa phơng H mi  M  nh sau: Tríc hÕt ta
lÊy lêi gi¶i néi x¹ I cđa M
1

i 1

0

i

d
d
d
d
I . : 0 ��
� I 0 ��
� I 1... ���
I i ��
�...

Khi ®ã cã mét R -®ång cÊu  : M � I 0 sao cho d·y sau lµ khíp
0


i 1

1

i


d
d
d
d
0 � M ��
� I 0 ��
� I 1 ��
�... ���
I i ��
�...

Do  I là hàm tử hiệp biến nên ta có phức
I  d0 
 I  d 1 
 I  d i 1 
I  d i 
0 ����
 I  I 0  ���
�... ����
 I  I i  ���
� ...


Do

®ã,







H Ii  M   Ker  I  d i  / Im  I  d i 1 

H I0  M    I ( M ) . Do

I  M 

.

V×

H I0 . I . ,

ta

là môđun con của M nên H I0 M

có
là

i

môđun con của M . CÇn chó ý r»ng H I  M không phụ thuộc

vào việc chọn lời giải nội xạ I của M .
1.10.3. Mệnh đề. Cho là tập các sè tù nhiªn, ta kÝ hiƯu
�*  �\  0 .

(1). Nếu M là R -môđun nội xạ thì H Ii  M   0, i ��* .
(2). NÕu I n M  0 víi mét sè tù nhiªn n nào đó thì H I0 M M vµ
H Ii ( M ) 0 , (i  0) .

(3). Cho r là một số tự nhiên. Khi đó H Ii M là một môđun hữ hạn
sinh với mọi i r nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên n sao
cho I n H Ii  M   0 víi mäi i r .
(4). Khi I m là iđêan cực đại của R thì H Ii M là R -môđun
Artin, hơn nữa H Ii ( M ) 0 , i d . Đặc biệt H md M hữu hạn sinh khi
và chỉ khi d 0 .
(5). Từ dÃy khớp ngắn các R - môđun ( R lµ vµnh Noether) :

17


0N M L0

ta nhận đợc dÃy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phơng
0 H I0 N  � H I0  M  � H I0  L  � H I1  N  � H I1  M  � ... � H Ii 1  L  �
H Ii  N  � H Ii  M  � H Ii  L  � H Ii 1  N  � ...

(6). H Ii ( M ) 0 , i  dim R M hoặc i depthM . Đặc biệt H mdim  M   M  �0 vµ
R


H mdimR M M

là R -môđun Artin, chứ không bao giờ là môđun

Noether khi dim R ( M ) 0 .

Chơng 2.

Một tính chất về

linh hoá tử của môđun ARTIN
Cho ( R, m) là vành giao hoán, địa phơng, Noether với iđêan
cực đại duy nhất m . a là một R-môđun Artin và M là một Rmôđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M d  0 . Tríc hÕt ta
thÊy r»ng nÕu p lµ một iđêan nguyên tố của R chứa AnnRM, khi
đó p SuppM nên Mp 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra

 M pM 

 Mp
p

pMp





p  Supp M pM , tức là p AnnR

0 . Vì thế


M pM . Do đó ta luôn có: Ann M pM p với mọi iđêan nguyên
R

tố p AnnRM.
Một cách tự nhiên, đối với lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự Cờng và Lê Thanh Nhàn [5] đà xột tớnh chất sau và họ gọi tính chất này là
tính chất (*):
18


AnnR (0: A p)= p với mọi iđêan nguyên tố p AnnRA.
Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho tất cả các môđun
Artin A, kể cả trờng hợp A  H md ( M ) là môđun đối đồng điều địa phương
cấp cao nhất của môđun hữu hạn sinh M với giá là iđêan cực đại m .
Trong cỏc bi bỏo [5] v [6], cỏc tỏc giả đà nghiên cứu tính chất (*) của
mơđun Artin và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
H md ( M ) . Trong chương này chúng tụi trình bày về tính chất (*) của

môđun Artin và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa
phơng cấp cao nhÊt dùa vµo [5] vµ [6].
2.1. TÝnh chÊt (*) của môđun Artin
Giả sử R là vành đầy đủ theo tôpô m -adic. Khi đó D( A) là
R -môđun hữu hạn sinh. Vì Ann R A = Ann R D( A) nên áp dụng tính

chất linh hoá tử cho môđun D( A) ta cã :
Ann R (0 :A p) = Ann R ( D(0 :A p)) = Ann R ( D( A) / pD( A)) p
với mọi iđêan nguyên tè p �Ann R A = Ann R D( A) .

Vì vậy tính


chất (*) luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phơng
đầy đủ. Tuy nhiên tính chất (*) lại không còn đúng khi vành R
không đầy đủ. Dới đây chúng tôi trình bày ví dụ về một
môđun Artin kh«ng tho· m·n tÝnh chÊt (*). Chó ý r»ng víi mỗi số
nguyên i , môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá cực
đại H mi ( M ) của M luôn là R -môđun Artin.
2.1.1. Ví dụ. Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa
phơng không thoà m·n tÝnh chÊt (*).
Chøng minh. Gäi ( R, m) lµ miền Noether địa phơng chiều 2 đợc
xây dựng bởi D. Ferrand vµ M. Raynaud tháa m·n tÝnh chÊt tån

19


tại một iđêan nguyên tố nhúng q Ass R với dim Rˆ / qˆ  1 . Khi ®ã
H m1 ( R ) là môđun

Artin và ta có đẳng cấu các

R môđun

H m1 ( R ) H m1 ( Rˆ ) . Tõ ®ã suy ra qˆ �Att R ( H m1 ( R )) . Mặt khác, Att R A =

 pˆ �R : pˆ �Att Rˆ

A

 , do ®ã

qˆ �R �AttR( H m1 ( R ) ). Ta l¹i cã Ass R


 pˆ �R : pˆ �Ass R  . V× thÕ ta cã

=

qˆ �R �Ass R . Do R là miền nguyên

nên Ass R  0 . Do ®ã 0  qˆ �R �Att R ( H m1 ( R) ). VËy nªn
Ann R ( H m1 ( R)) =

p �qˆ �R = 0.

I
p �Att R ( H m1 ( R ) )

Chän A  H m1 ( R ) . Khi ®ã A là R -môđun Artin. Lấy tuỳ ý một
iđêan nguyên tố p cđa R sao cho p �0 vµ p �m . Ta đà chứng minh
ở trên rằng Ann R A  0 . Do ®ã p �AnnR A . LÊy 0 �x �p . XÐt d·y khíp
x
0 � R ��
� R R / xR 0. DÃy này cảm sinh dÃy khớp dài các môđun

đối đồng điều địa phơng
x
0 � H m0 ( R / xR) � H m1 ( R) ��
� H m1 ( R ).

Tõ ®ã ta cã :
H m0 ( R / xR )  0 :H 1 ( R ) x  0 :A x.
m


V× H m0 ( R / xR ) là R -môđun có độ dài hữu hạn nên 0 :A x có độ dài
hữu hạn. Do x p nên 0 :A p 0 :A x và do đó 0 :A x có độ dài hữu
hạn. Vì thế Ann R (0 :A p ) là iđêan m -nguyên sơ, điều đó chứng tỏ
Ann (0 :A p) p .

Vậy

A

không

thoÃ

mÃn

tính

chất

(*).

W

Với mỗi iđêan I của vành R, kí hiệu V(I) là tập các iđêan
nguyên tố chứa I. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày đặc trng tÝnh

20



chất (*) của môđun Artin A thông qua mối quan hệ giữa các
tập hợp V(annRA) và V(Ann R A).
Vì M là R-môđun hữu hạn sinh nên Supp R(M)= V(AnnRM).
Tơng tự, vì M là R -môđun hữu hạn sinh nên Supp Rˆ ( Mˆ )= V(Ann
Rˆ

Mˆ ). Do ®ã tríc hÕt ta xét mối quan hệ giữa các tập hợp

SuppRM và Supp R M của một môđun hữu hạn sinh M.
2.1.2. Bỉ ®Ị. Supp M =  pˆ �R : pˆ �Supp Mˆ  .
Chøng minh. Cho pˆ �Supp Mˆ . Khi ®ã
pˆ �R �Ann Rˆ Mˆ �R �Ann R M .

Suy ra pˆ �R �Supp M . V× thÕ
Supp M �  pˆ �R : pˆ �Supp Mˆ  .
Ngỵc lại, cho p Supp M . Khi đó M p 0 . Vì đồng cấu tự nhiên
R R là hoàn toàn phẳng nên ánh xạ cảm sinh

cho tơng ứng mỗi q Spec R với
thế tồn tại

Spec R Spec R

q R Spec R là toàn ánh. Vì

p Spec R sao cho p p R . Mặt khác đồng cấu tự

nhiên R p R p cũng là đồng cấu hoàn toàn phẳng nên từ M p 0 ta
suy ra 0 �M p �Rˆ pˆ  Mˆ pˆ . Do ®ã pˆ �Supp Mˆ . VËy
Supp M � pˆ R : p Supp M .

W

Vì M là hữu hạn sinh nên Supp M = V (Ann R M ) . Tơng tự, vì
M là R -môđun hữu hạn sinh nªn Supp Mˆ = V (Ann Rˆ Mˆ ) . Do đó từ

Bổ đề trên ta có hệ quả sau.
2.1.3. HƯ qu¶. V (Ann R M ) =  pˆ �R : pˆ �V (Ann Rˆ ( Mˆ )  .

21


Hơn nữa, mỗi R -môđun Artin A đều có cấu trúc tự nhiên
là R -môđun Artin. Vì thế, rất tự nhiên chúng ta có câu hỏi sau
đây :

p R : p V (Ann R

V(Ann R A ) =

A



là xảy ra cho môđun Artin? Định lý dới đây cho ta thấy rằng
đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A thoả mÃn tính chất (*).
2.1.4. Định lý. Các điều kiện sau là tơng đơng :
(i)

A thoà mÃn tính chất (*) ;


(ii)

V (Ann R A )

Chøng minh.

=  pˆ �R : pˆ �V (Ann Rˆ A   .

(i) � (ii).

Cho pˆ �V (Ann Rˆ A ). Khi ®ã tån tại một

iđêan nguyên tố tối thiểu q chứa Ann R A sao cho p q . Do đó,
mỗi iđêan nguyên tố tối thiểu q chứa Ann R A đều là một iđêan
nguyên tố gắn kết của R -môđun Artin A . Suy ra q Att R A . Mặt
khác, ta cã
Att R A

  pˆ �R : pˆ �Att Rˆ A

.

V× thÕ pˆ �R �Att R A . Suy ra p R V (Ann R A ) và vì thế ta suy
ra pˆ �R �V (Ann R A ). Do ®ã
V (Ann R A ) � pˆ �R : pˆ V (Ann R A )

.

Ngợc lại, cho p V (Ann R A ). Theo gi¶ thiÕt (i), A tháa m·n
tÝnh chÊt (*). V× thÕ Ann R  0 :A p p . Rõ ràng mọi iđêan nguyên

tố chứa Ann R 0 :A p đều phải chứa p , do đó p là iđêan nguyên
tố bé nhất chøa Ann R  0 :A p  . V× p �Att R  0 :A p  vµ Att R  0 :A p 

=

 pˆ �R : pˆ � Att Rˆ  0 :A p   nªn tồn tại iđêan nguyên tố p Att R
0 :A p   sao cho pˆ �R  p . Do pˆ � Att Rˆ  0 :A p   nªn
Suy ra pˆ �V (Ann Rˆ A ) vµ pˆ �R  p , tøc lµ:
22

pˆ �Ann Rˆ ( 0 :A p ).


V (Ann A )

�

 pˆ �R : pˆ �V (Ann Rˆ

A

 .

(ii) � (i). Cho p �V (Ann A ). Theo giả thiết (ii), tồn tại iđêan nguyên
tố p V (Ann Rˆ A ) sao cho pˆ �R  p . Nh đà nói ở trên tính chất (*)
luôn thỏa mÃn cho môđun Artin A trên vành đầy đủ R . V× thÕ
ta cã Ann Rˆ  0 :A pˆ p . Lại do pR p nên ta cã
p �Ann

R


 0 :A p  =Ann

Suy

R

 0:

A



pRˆ �Ann

Rˆ

 0 :A pˆ  �R =

pˆ �R  p.

Ann  0 :A p p .

ra

W

Nh đà trình bày trong Chơng 1, đối với mỗi môđun R môđun Artin A thì có hai khái niệm chiều, đó là chiều Krull
dim R A vµ chiỊu Noether


N  dim R A và ta luôn có bất đẳng thức

N dim R A dim R A .

Một vấn đề đặt ra ở đây là tìm điều kiện cần và đủ để
dấu = trong bất đẳng thức trên xảy ra. Trớc hết ta có bổ đề
sau.
2.1.5. Bổ đề. Cho A là một môđun Artin trên vành địa phơng ( R, m ). Nếu R là vành đầy đủ hoặc A chứa một môđun
con đẳng cấu với bao nội xạ của R / m thì A thoả mÃn điều
kiện (*).
Chứng minh. Giả sử R là đầy đủ. Ký hiệu E là bao nội xạ của
R / m . Khi đó HomR ( A; E ) là R -môđun hữu hạn sinh. Lấy p � V (Ann
R

A ) tuú ý. Do V (Ann R A )= V (Ann R ( HomR ( A; E ) )) nên

HomR ( A; E ) ). Vì thế ta cã

Ann R (0 : p) A = Ann R ( HomR (0 : p) A ; E ) )

23

p �Supp(


=

Ann R ( HomR ( A; E ) /

pHomR ( A; E ))  p .


Gi¶ sư A chøa mét môđun con đẳng cấu với E . Lấy p V (Ann
R

A ) tuú ý, ta cã

Ass R p ( ( HomR ( R p ; E ( R / m)))   qR : q � p  .
Ass R p ( ( HomR ( Rp ; A)) �Ass R p ( ( HomR ( R p ; E ( R / m)) )

Mặt khác

nên pR p Ass R p ( ( HomR ( R p ; A)) . Do ®ã (0 : pRp ) Hom

R ( Rp ; A)

p � Ann R (0 : p ) A . Do ®ã

Suy ra HomR ( R p ;(o : p) A �0 . V× thÕ
R

�0 .
p  Ann

(0 : p ) A

Vậy

A

thoả


mÃn

điều

kiện

(*).

W

Kết quả sau đây chỉ ra rằng điều kiện (*) là điều kiện
đủ để một môđun Artin A có tÝnh chÊt N  dim R A  dim R A .
2.1.6. Định lý. Cho ( R, m ) là vành địa phơng và A là một R môđun

Artin.

Nếu

A

thoả

mÃn

điều

kiện

(*


)

thì

N dim R A  dim R A .

Chøng minh . Theo Định lý 1.9.3 (ii), ta chỉ cần chỉ ra
N dim R A dim R A là đủ.

Thật vậy, với mỗi iđêan a của R ta có
Rad(Ann R (0 : a) A ) � Rad( a +Ann R A ).
Vì A thoả mÃn điều kiện (*) nên với mọi p �V (a  Ann R A ) ta cã
Ann R (0 : a) A

� Ann R (0 : a ) A .

V× thÕ
Rad(Ann R (0 : a) A ) = Rad( a +Ann R A ).
Gi¶ sư r»ng N  dim R A  d . Khi ®ã tån t¹i x1, x2 ,..., xd �m sao cho
l�(0 : ( x1, x2 ,..., xd ) R) A  �. Do ®ã víi a  ( x1, x2 ,..., xd ) R , ta cã

24


0  dim R (0 : ( x1, x2 ,..., xd ) R) A ) = ( dim R / ( x1, x2 ,..., xd ) R +Ann R A ) �dim R A  d .

V× thÕ dim R A

�d  N  dim R A . Do ®ã định lý đợc chứng minh.


W

2.1.8. Hệ quả. Cho ( R, m ) là vành địa phơng, A là R -môđun
Artin, R là đầy đủ m -adic của R. Khi đó ta cã N  dim R A  dim Rˆ A .
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.6 thì A thoả mÃn điều kiện (*)
xét nh R -môđun.
Theo Định lý 2.1.7 ta cã
N  dim Rˆ A  dim Rˆ A .

(1)

Mặt khác theo tính chất về chiều Noether của môđun Artin
(1.9.2.(ii)) ta cã
N  dim Rˆ A  N  dim R A .

(2)

N  dim R A  dim Rˆ A .

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra
W

Chó ý rằng điều ngợc lại của Định lý 2.1.6 có thể không
đúng, tức là, tồn tại môđun Artin A trên vành địa phơng ( R, m )
sao cho N dim R A dim R A nhng A lại không thoả mÃn điều kiện
(*). Ví dụ sau đây chứng tỏ điều này.
2.1.98 Ví dụ. Tồn tại môđun Artin trên vành địa phơng ( R, m )
sao cho N dim R A  dim R A nhng A kh«ng tho· mÃn điều kiện (*).
Chứng minh. Trớc hết ta giả thiết rằng tồn tại các môđun Artin

A' và A'' trên vành địa phơng R có các tính chất sau :

(i). N  dim R A ' dim R A '  dim R A ''  N  dim R A' ' ;
(ii). Tồn tại iđêan nguyên tố p V ( Ann R A'' )\ (Ann R A' ) sao cho Ann
R ( 0 : p  " ) �p .
A

25