Mục lục
Mở đầu
Lí do chọn đề tài
Nội dung
Phần 1: Cơ së lÝ ln cđa viƯc ngiªn cøu “mèi liªn hƯ giữa
các hình hình học trong
không gian.
1. Cơ sở triết học
2. Cơ sở tâm lí học
3. Cơ sở giáo dục học
4. Thuyết liên tởng
Phần 2: Mối liên hệ giữa các hình hình học trong không
gian và ứng dụng
1. Một số thể hiƯn cđa h×nh häc cao cÊp
1.1 H×nh hoc Afin
1.2 H×nh học Euclice
2. Mối liên hệ giữa các hình trong không gian
2.1 Xem một hình là bộ phận của hình khác
2.2 Phân chia một khối đa diện thành nhiều khối đa
diện
3. Khai thác các bài toán ứng dụng trong chơng trình
hình học không gian 11 và 12 (chơng 1 và chơng 2)
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.

1


MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
“Hình học khơng gian là một bộ mơn tốn học nghiên cứu các tính chất

của những hình trong khơng gian”. Trong chương trình hình học phổ thơng ,
việc nghiên cứu hình khơng gian dựa trên hình biểu diễn của chúng trên mặt
phẳng. Từ hình biểu diễn học sinh hình dung được hình đã cho và nghiên cứu
các mối quan hệ, tính chất của chúng trên những hình biểu diễn. Đây là cái khó
đối với học sinh khi chuyển từ hình học phẳng sang hình học không gian, từ tư
duy cụ thể sang tư duy trừu tượng.
Theo GSTS. Đào Tam, trong dạy học hình học khơng gian giáo viên cần
chú trọng cho học sinh biết khai thác các phương pháp khác nhau, giải các dạng
tốn hình học không gian bằng con đường tổng hợp, cần bồi dưỡng cho học sinh
năng lực thiết lập mối liên hệ giữa các kiến thức hình học khơng gian với các
kiến thức hình học phẳng đã dược học ở trường trung học phổ thơng. Ngồi ra
giáo viên cũng cần chú ý quan tâm bồi dưỡng cho học sinh khả năng chuyển các
tính chất từ hình học khơng gian này sang hình học không gian khác đơn giản
hơn nhờ xét mối quan hệ giữa các hình hình học.
Việc nghiên cứu mối liên hệ giữa các hình học trong khơng gian có vai trị
rất quan trọng trong chương trình hình học phổ thơng vì:
- Nghiên cứu mối liên hệ giữa các hình sẽ giúp học sinh có điều kiện củng
cố được tính chất của các hình, thiết lập mối liên hệ giữa các hình, từ đó có thể
nhìn nhận được một hình là một bộ phận của hình khác hay biêt tách một bộ
phận hình ra để nghiên cứu.
- Nhận biết được mối liên hệ giữa các hình sẽ giúp học sinh chuyển hóa
bài tốn từ hình ban đầu sang hình khác đơn giản hơn, góp phần giải quyết một
lớp bài tốn mà nếu tính tốn trực tiếp sẽ gặp khó khăn phức tạp.
- Góp phần phát triển tư duy trừu tượng, tư duy thuật tốn và trí tưởng
tượng khơng gian cho học sinh.

2


Nội dung

Phần 1: Cơ sở lí luận của việc ngiên cứu mối liên
hệ giữa các hình hình học trong không gian và ứng
dụng.
1. Cơ sở triết học
Ăngghen đà viết: phép biện chứng là lí luận về mối liên
hệ phổ biến, là môn khoa học về những quy luật phổ biến
của sự vận động, phát triển của tự nhiên, xà hội, loài ngời, và t
duy. Theo những quan điểm duy vật biƯn chøng, tÝnh thèng
nhÊt vËt chÊt cđa thÕ giíi lµ cơ sở của mối liên hệ giữa các sự
vật, hiện tợng. Các sự vật hiện tợng tạo thành thế giới dù đa
dạng, phong phú, dù khác nhau bao nhiêu song chúng đều là
những dạng khác nhau của một thế giới duy nhÊt, thèng nhÊtthÕ giíi vËt chÊt. Nhê cã tÝnh thống nhất đó mà chúng không
thể tồn tại biệt lập, tách rời nhau mà tồn tại trong sự tác động
qua lại, chuyển hóa lẫn nhau theo những quan hệ xác định.
Thuyết duy vật biện chứng cũng khẳng định: mâu
thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Trong dạy học
chính mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức mới với kiến thức và
kinh nghiệm sẵn có sẽ đa ngời học vào một tình huống có vấn
đề. Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng
quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kĩ năng cũ, kinh nghiệm
cũ với yêu cầu tìm hiểu, giải thích sự kiện mới, t duy mới, thay
đổi tinh thế mới hoặc bài toán nào đó. Và cứ mỗi lần mâu
thuẫn xuất hiện rồi lại đợc giải quyết thì hiểu biết của học
sinh lại tiến thêm một bớc theo một quy luật gọi là phủ định
của phủ định. Nh thế nghĩa là nói có mâu thuẫn xuất hiện
tức là có một sự bất lực nào đó. Trớc tình hình đó yêu cầu

3



học sinh phải tìm cách giải quyết hiện tợng. Nghiên cứu khoa
học sẽ đa đến những kiến thức mới cho phép giải quyết hiện
tợng. Những kiến thức này ban đầu tởng nh mâu thuẫn kiến
thức cũ (phủ định một lần) nhng sau khi đà hiểu sâu nó lại
thấy thống nhất với kiến thức cũ, đó là kế thừa và mở rộng
kiến thức cũ.
Hêghen đà khẳng định mâu thuẫn là nguồn gốc của tất
cả sự vận động và của tất cả sù sèng, chØ trong chõng mùc
mét vËt chøa ®ùng trong đó một mâu thuẫn thì nó mới vận
động, mới có xung lực và hoạt động.
Sự phủ định là thay thế sự vật này bằng sự vật khác
trong quá trình vận động và phát triển, nhng phủ định biện
chứng không phải là phủ định sạch trơn, bác bỏ tất cả sự phát
triển trớc đó mà nó mang tính khách quan. Kế thừa là điều
kiện cho sự phát triển, nó duy trì gìn giữ những nội dung
tích cực của các giai đoạn trớc, lặp lại một số điểm cơ bản của
cái xuất phát nhng trên cơ sở mới cao hơn, do sự phát triển tiến
lên không phải theo đờng thẳng mà là đờng xoáy trôn ốc.
Nhiệm vụ của nhận thức khoa học là phải tìm ra nguyên
nhân của những hiện tợng trong tự nhiên, xà hội,t duy. Để giải
thích đợc những hiện tợng đó và trong dạy học chúng ta phải
chú ý rèn luyện cho học sinh khả năng nhìn nhận đối tợng toán
học trong mối quan hệ nhân quả để tìm ra cách chứng minh
định lí hay giải một bài toán một cách không khó khăn.
Chẳng hạn với bài toán: (Bài 15a chơng 1, Hình học 12
nâng cao)

4



Cho tam giác ABC và một điểm S thay đổi. ThĨ tÝch
cđa khèi chãp S.ABC cã thay ®ỉi nÕu ®Ønh S di chuyển trên
một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC).
Với bài toán này câu trả lời sẽ là có hoặc không. ể đi
đến kết luận của bài toán học sinh phải bám sát đề bài, liên
hệ với các kiến thức đà học để tìm lời giải thích cho hiện tợng.
Thể tích của khối chóp là V = d .SABC = SH.SABC
(?) Khi S thay đổi thì yếu tố nào sẽ thay đổi?
SH thay đổi còn SABC thì không thay đổi do ABC c
định
Giả sử (P) // (ABC) và S thay đổi trên (P).
Khi đó
S

SH = d = d = const.
Từ đó suy ra V(S.ABC)

P

không

đổi. Vậy câu trả lời là không.
Từ kết luận của bài toán cho

O

B
A

H


O

C

ta rút ra các kết luận sau
+d =d

với O Là điểm bất kì thuộc (p) và (p) // (ABC).

+ d =3V(S,ABC)/ S.
Phân tích tổng hợp là 2 thao tác t duy cơ bản mà mọi
thao tác t duy khác đều có thể xem là những dạng xuất hiện
(biến thể) khác của 2 thao tác này. Phân tích là tách (trong t tởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những
hiện tợng riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong t tởng) những bộ
phận thành 1 vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân
tích là chia một chỉnh thể thành nhiều bộ phận. Tổng hợp là
nhìn bao quát lên một chỉnh thể, cố miêu tả đợc bức tranh

5


toàn cảnh của cả chỉnh thể, các mối quan hệ, các bộ phận của
chỉnh thể và liên hệ chỉnh thể với môi trừơng xung quanh.
Phân tích, tổng hợp là 2 quá trình trái ngợc nhau, nhng lại là 2
mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là 2 hoạt động trí
tuệ cơ bản của quá trình t duy, những hoạt động trí tuệ khác
diễn ra trên nền tảng phân tích - tỉng hỵp.
Lênin đã nói rằng: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ
đó trở về thực tiễn là con đường nhận thức chân lí”. Đặc điểm của mơn tốn là

tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng. Với tốn học tốn học càng
phát triển bao nhiêu thì càng trừu tượng bấy nhiêu. Chẳng hạn từ những hình
ảnh về hạt bụi, sợi dây căng thẳng, mặt hồ khi lặng gió … tiến lên xây dựng các
khái niệm toán học như điểm, đường thẳng, mặt phẳng … Từ Hình học phẳng
xây dựng trừu tượng lên Hình học khơng gian, từ có chỗ dựa trực quan đến mất
đi chỗ dựa trực quan của hình học.
2. Cơ sở tâm lí học
Hoạt động học là hoạt động chiếm lĩnh, hay nói cách khác là hoạt động
lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng với tri thức đó. Nghĩa là tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo là đối tượng của hoạt động học. Như vậy học sinh thực hiện hoạt
động học cũng chính là chiếm lĩnh (lĩnh hội) tri thức, kĩ năng, kĩ xảo mới. Khi
một học sinh thực hiện hoạt động học thì chính học sinh đó đã trở thành chủ thể
chiếm lĩnh nội dung học tập mới, chủ thể hoạt động tích cực cả trí óc và chân
tay, trong quá trình này các chức năng tâm lí của học sinh được hoạt động tích
cực. Hoạt động học làm thay đổi chính chủ thể, chủ thể lĩnh hội được tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo mới nhờ vậy tạo được sự phát triển về tâm lí người học. Có thể nói
rằng hoạt động học tạo ra sự biến đổi ở chính người học, hình thành nhân cách
cho học sinh.
Xét về mặt tâm lí học, học sinh có thể lĩnh hội những kiến thức mới vừa
sức của các em với sự nỗ lực trí tuệ nhất định, phù hợp với sự phát triển tâm lí
và trình độ tư duy. Các em dễ nhận ra vấn đề mới trong điều quen thuộc, nhìn
6


thấy chức năng mới của đối tượng quen biết, suy đốn các đối tượng có căn cứ
dựa trên những quy tắc, những kinh ngiệm nhất định mà khơng phải đốn mò.
Từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành hay sáng
tạo ra những hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc chưa có trong đời
sống.
Cuộc sống là dòng chảy các hoạt động. Dạy học không chỉ hướng cho học

sinh lĩnh hội tri thức học tập, kĩ năng, kĩ xảo mà còn lĩnh hội phương thức của
hoạt động học tập, điều đó yêu cầu giáo viên khơng chỉ dạy học kiến thức mà
cịn phải biết định hướng cách học, phương pháp học tập tạo cho học sinh niềm
vui hứng thú trong học tập.
3. Cơ sở giáo dục học
Tốn học là mơn học có tính hệ thống và tuần tự một cách chặt chẽ, kiến
thức toán học chỉ có thể hiểu kĩ và vững chắc nếu học sinh nắm chúng một cách
có hệ thống, có thể vận dụng chúng một cách linh hoạt và cũng từ đó có cơ sở để
rèn luyện tư duy, thế giới quan khoa học, nâng cao khả năng nhận thức của học
sinh. Vì thế trong dạy học giáo viên phải làm cho học sinh thấy được mối liên hệ
giữa những kiến thức của bài toán trước với các bài toán sau, bài tập này với bài
tập khác, tài liệu này với tài liệu khác. Theo phương châm tư tưởng Hồ Chí
Minh đã chỉ “Từ gốc đến ngọn, từ gần đến xa, từ dễ đến khó, chớ có tham mau
tham nhiều trong cùng một lúc”.

4. Thuyết liên tưởng
Thuyết liên tưởng là trường phái tâm lí học lớn được bắt nguồn từ triết
học của Aristotle, đặc biệt là từ triết học duy cảm Anh. Các đại biểu hàng đầu là
Thomas Hobbes (1588 – 1679), J.Hartley (1705 - 1757), J.Mill (1737 - 1836)
… Những luận điểm chính của thuyết liên tưởng là:
Thứ nhất: Tâm lí (hiểu theo nghĩa là yếu tố ý thức) được cấu thành từ
cảm giác. Cấu thành cao hơn như biểu tượng, ý nghĩ, tình cảm … là cái thứ hai
7


xuất hiện nhờ liên tưởng các cảm giác. Nói cách khác con đường hình thành tâm
lí là liên kết các cảm giác và ý tưởng.
Thứ hai: Điều kiện hình thành các liên tưởng là sự gần gũi của các quá
trình tâm lí.
Thứ ba: Sự liên kết các cảm giác và ý tưởng để hình thành ý tưởng mới

khơng phải là sự kết hợp giản đơn các cảm giác và các ý tưởng đã có mà giống
như sự kết hợp của các nguyên tố hóa học để tạo thành hợp chất mới.
Thứ tư: Các mối liên tưởng bị quy định bởi sự linh hoạt của các cảm giác
và các ý tưởng thành phần được liên tưởng và tần số nhắc lại của chúng trong
kinh nghiệm. Nghĩa là các cảm giác hay ý tưởng sống động hơn, thường xuyên
hơn thì tạo ra các cảm giác và ý tưởng mạnh hơn các cảm giác và các ý tưởng
yếu hơn ít thường xuyên hơn.
Thứ năm: Các liên tưởng được hình thành theo 1 số quy luật:
- Quy luật tương tự: ý thức của chúng ta dễ dang đi từ ý tưởng này sang ý
tưởng khác tương tự với nó.
- Quy luật tương cận: khi ta nghĩ đến một vật ta có khuynh hướng nhớ lại
những vật khác đã trải qua ở cùng một nơi và ở cùng một thời gian.
- Quy luật nhân quả: khi có ý tưởng về kết quả sẽ thường xuyên xuất hiện
các ý tưởng là nguyên nhân dẫn đến các kết quả đó.Sự phát triển nhận thức đó là
q trình tích lũy các mối liên tưởng. Sự khác biệt về trình độ nhận thức được
quy định về số lượng và tốc độ hoạt hóa của các liên tưởng.
Trong dạy học nói chung và trong dạy học tốn nói riêng một kiến thức
mới đặt ra cho học sinh học tập, lĩnh hội khơng phải là những kiến thức hồn
tồn xa lạ tách rời với những kiến thức cũ. Kiến thức mới được đặt ra ln có sự
liên hệ gần gũi với kiến thức cũ, kiến thức đã có trước đó. Học sinh tạo ra sự
liên kết đó dựa vào một số quy luật: “sự tương tự của vấn đề mới với vấn đề cũ
là nội dung hay hình thức,sự gần gũi nhau giữa các kiến thức, quy luật nhân quả
… Người học nào có khả năng liên tưởng tốt, có nhiều sự liên tưởng hơn thì sẽ
có sự phát triển nhận thức tốt hơn người khác.
8


PHẦN II: Mối liên hệ giữa các hình hình học
trong không gian và ứng dụng.
1. Một số thể hiện của hình học cao cấp.

1.1. Hình học afin (A )


m _ phẳng

9


Cho không gian afin A liên kết với không gian véc tơ . Gọi I là một điểm
của A và là khơng gian con của . Khi đó  = {M A /  } được gọi là cái
phẳng  đi qua điểm I và có phương .
- Trong Hình học sơ cấp: . Điểm là 0_ phẳng
. Đường thẳng là 1_ phẳng
. Mặt phẳng là 2_phẳng.


Siêu phẳng

(n -1)- phẳng trong không gian afin A (R) được gọi là siêu phẳng của A .
-Trong Hình học sơ cấp
. Siêu phẳng trong mặt phẳng là đường thẳng
. Siêu phẳng trong không gian là mặt phẳng


Tâm tỉ cự của một hệ điểm

Trong không gian Afin A cho họ hữu hạn điểm { P , P , …, P }.
* Điểm G A được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm { P , P , …, P }  bộ số
thực { ,  , …, } thõa mãn ≠0 và  = .
(Với O là điểm tùy ý trong không gian).

* Điểm G A được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm { P , P , …, P }  bộ số
thực { ,  , …, } thõa mãn  = 1 và =  .
Nếu  =  = … =  = thì điểm G được gọi là trọng tâm của hệ điểm
{ P , P , …, P }.
- Trong Hình học sơ cấp
. Trọng tâm G của 2 điểm A, B là trung điểm của đoạn AB và
+ =
. Trọng tâm của 3 điểm không thẳng hàng { A, B, C} là trọng tâm của tam
giác ABC. Ta có hệ thức vecto
+ +=
hay = ( + + ) (với O là điểm bất kỳ).

10




Đơn hình m chiều

Trong A (R) (n  1) cho m+1 điểm độc lập P , P , …, P (m 1). Tập hợp
S(P , P , …, P) = {MA (R) /  = } được gọi là một m-đơn hình
đóng với các đỉnh {P , P , …, P}
- Trong Hình học sơ cấp
. 2- đơn hình chính là một miền tam giác
. 3- đơn hình chính là một khối tứ diện.


Hình hộp m chiều (m- hộp).

Trong A (R) (n  1) cho m+1 điểm độc lập P , P , …, P (m 1).

Tập hợp
H(P , P , …, P) = {M A /  ; o 1}
Gọi là m_hộp xác định bởi mục tiêu {P , , …, }.
{P , P , …, P} là các đỉnh của m- hộp H.
- Trong Hình học sơ cấp:
. 2- hộp là hình bình hành
. 3-hộp là hình hộp theo nghĩa thơng thường.
Ngồi ra mỗi m-hộp có 2 đỉnh.
1.2. Hình học Euclice (E )
a. Khoảng cách trong khơng gian Euclice


T rong E (n 1) cho 1 mục tiêu trực chuẩn và giả sử 2 điểM, N có tọa

độ M = ( x, x, …, x) và N = (y, y, …, y). Ta gọi số là khoảng cách giữa 2 điểm
M, N hay độ dài đoạn thẳng [MN] và kí hiệu d(M,N) thì
d(M,N) = .


Cho hai hình H và H của E thì ta định nghĩa khỏang cách giữa H và

H , kí hiệu d( H,H), là một số được xác định bởi
d(H,H)= inf{d(M,N)/ M H, N H}

11


b. Thể tích của m-hộp và thể tích của m-đơn hình trong khơng gian
Euclice .



Thể tích của m-hộp.
Xét m-hộp H = H(P , P , …, P), đặt = , i = .
Khi đó thể tích của m-hộp H:

V(H) =

trong đó

=
- Trong Hình học phổ thơng
. m = 1 thì V(H) là độ dài đoạn PP
. m = 2 thì V(H) là diện tích của hình bình hành
. m = 3 thì V(H) là thể tích của khối hộp.
-

Trong m-hộp H(P , P , …, P), xét (m-1) hộp H’ xác định bởi

(P, P,…,P) gọi là đáy của hộp H. Khoảng cách từ đỉnh P tới m-1 phẳng
chứa H’gọi là chiều cao của hộp tương ứng với đáy H’.
Định lí: Thể tích của hộp bằng tích thể tích đáy với chiều cao tương ứng
Chứng minh
Gọi I là hình chiếu của P lên (m-1) phẳng chứa H’ thì
= = +

P

Vậy = Gr( , , …, , + )
Do  , i =
 . = 0 , i = , nên ta có

Gr( , , …, , + ) =

I

P

P

Mặt khác = 0 nên
Gr( , , …, , + ) = Gr( , , …, , ) +
Gr( , , …, ) =

Gr( , , …, )

(do , , …, , phụ thuộc tuyến tính)
 V(H) = IP.
Vậy V(H) = V(H’).d(P,(H’)).

12


Thể tích của m- đơn hình



Cho m- đơn hình S(P , P , …, P). Thể tích của m- đơn hình S kí hiệu là
V(S) được định nghĩa :
V(S) = V(H) = d .V(H’)
Trong đó H là m- hộp H(P , P , …, P).
-Khi m = 3  V(S ) = V[H(ABCD)] =


N

A

P

d .V(H(B,C,D)) = d .(2. S )
= AH.S (1)

D

H

B

Q trong HìnhC học sơ
(1) là cơng thức tính thể tích hình chóp tam giác ABCD

cấp.
Trong khơng gian Euclide E , m- đơn hình S(P , P , …, P) là m- đơn



hình đều nếu khoảng cách giữa 2 điểm P và P bất kì đều bằng nhau.
m- đơn hình S(P , P , …, P) gọi là m- đơn hình vng tại đỉnh P



nếu . = 0 với i,j = mà i≠ j.



m- hộp H(P , P , …, P) gọi là hình chữ nhật m chiều nếu m- đơn

hình S(P , P , …, P) là m- đơn hình vng tại P.


m- hộp H(P , P , …, P) gọi là hình lập phương m- chiều canh a nếum-

đơn hình S(P ,P , …, P) gọi là m- đơn hình vng tại đỉnh P và các cạnh PP = a
với i = .
Khi m =2 các khái niệm trên tương ứng sẽ là tam giác đều, tam giác
vng, hình chữ nhật, hình vng.
Khi m = 3 các khái niệm trên tương ứng sẽ là tứ diện đều, tứ diện vng,
hình hộp chũ nhật, hình lập phương.
Hơn nữa ta cũng thấy được tứ diện và hình hộp có mối quan hệ chặt chẽ
với nhau.
Tóm lại hình học sơ cấp là mơ hình thu nhỏ của hình học afin và hình học
Euclide nên các khái niệm, các định lí trong hình học afin và hình học Euclide

13


khi cho m =1, 2, 3 ta được các khái niệm và các định lí đúng trong hình học sơ
cấp.
2. Mối liên hệ giữa các hình hình học trong khơng gian.
2.1 Xem một hình là một bộ phận của hình khác.
Mọi sự vật hiện tượng đều có mối liên hệ với nhau, có thể là liên hệ cái
bên trong hoặc bên ngoài, cái bộ phận trong cái tổng thể … Hình học khơng
gian cũng vậy các hình khơng gian có những mối liên hệ mật thiết với nhau. Nếu

trong quá trình học mà người học chú ý quan sát đồng thời thực hiện các thao
tác tư duy phân tích, tổng hợp … thì sẽ nhận ra được các mối liên hệ giữa các
hình. Các mối liên hệ này khi ứng dụng vào giải toán sẽ giúp giải quyết một lớp
bài toán với nhưng cách làm hay và thú vị. Hơn nữa cịn góp phần rèn lun tư
duy, nâng cao trí tưởng tượng khơng gian. Chẳng hạn:


Hình tam giác là một bộ phận của hình bình hành, tam giác vng

là bộ phận của hình chữ nhật
A

D

B
C

A

B

D

C

Và ta cũng có sự liên hệ về diện tích S = S


Xem tứ diện là một bộ phận của hình hộp


-Trường hợp 1: 3 cạnh của tứ diện cũng chính là 3 cạnh của hình hộp
A

D

B
C

Trong trường hợp này ta có sự liên hệ về thể tích
V = V với V là thể tích của hình hộp.
14


-Trường hợp 2: các cạnh của tứ diện là cá đường chéo của hình hộp.
B

A

D
C

Trong trường hợp này ta có sự liên hệ về thể tích
V= V,

với V là thể tích của hình hộp

Đối với từng bài tốn, học sinh phân tích giả thiết để biết áp dụng trường
hợp 1 hay trường hợp 2. Một số trường hợp cụ thể:
. Tứ diện đều là một bộ phận của hình lập phương (hình a)


B

A
A
C
D

a
B

D
C

b
. Tứ diện gần đều là một bộ phận của hình hộp chữ nhật (hình b)
Ngồi ra có thể xem tứ diện gần đều là một bộ phận của tứ diện vuông

15


A
D’
C
B’

B

D’

B


D
A

C

C’
D

C’

B’

. Tứ diện trực tâm là một bộ phân của hình hộp thoi (là hình hộp có tất cả
các cạnh đều bằng nhau)

B
A

D
C

Người học nếu nắm chắc được các tính chất của các hình và có trí tưởng
tượng khơng gian tốt, nhận biết được các mối quan hệ này thì có thể linh hoạt
chuyển hóa bài tốn từ làm việc trên hình ban đầu sang hình mới mà việc giải
tốn dựa trên hình mới là đơn giản hơn.
2.2 Phân chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện
Phân chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện là dùng các mặt phẳng
cắt các khối đa diện thành nhiều khối đa diện mà các khối đa diện khơng có
điểm chung trong với nhau.

Một khối đa diện bất kì ln có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
Việc phân chia các khối đa diện thành nhiều khối tứ diện rất quan trọng
cho việc tính thể tích các khối đa diện đồng thời góp

A

phần nâng cao trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh.

B
C

Ví dụ 1:
Phân chia khối lăng trụ tam giác thành 3 khối tứ
diện.

B’

A’
C’

Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được chia làm
16


3 khối tứ diện: A.A’B’C’; A.CC’B’; A.BCB’. Hơn nữa còn có
V = V= V

A

= V


M

Ví dụ 2 (Bài 2- trang 5, Hình
nâng cao)
Hãy dùng 4 mặt phẳng để

học

M’

12

C
N

B

chia khối

N’

tứ diện đã cho thanh 9 khối tứ diện.

D
D

Giả sử ABCD là khối

tứ diên đã


cho.
Chia AB thành 3 doạn bởi 2 diểm chia M và M’,
chia đoạn CD bởi 2 diểm chia N và N’ N’.
Khi đó 4 mặt phẳng (ABN), (ABN’), (CDM), (CDM’)
chia khối tứ diện thành 9 khối tứ diện.
B

Ví dụ 3
Phân chia khối hộp thành 5 khối tứ diện.

C
D

A

Khối hộp ABCD.A’B’C’D’
được phân chia thành 5 khối tứ diện

B
A ’
’

A’AB’D’, BAB’C, C’CB’D’, DACD’
Và ta cũng có sự liên hệ về thể tích

C
D ’
’


V=V=V=V=
V = V - = (V là thể tích khối hộp).
Ví dụ 4 (Hình học 12 nâng caoHãy phân chia khối tứ diện
khối tứ

trang 7)

A

thành 4

M

diện bởi 2 mặt phẳng.

Xét tứ diện ABCD
Chọn điểm M nằm giữa A và B,
nằm giữa C và D.
Hai mặt phẳng (AND) và

C

B
N
D
D

điểm N
(CMD)


chia tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện
17


AMND, AMNC, BMND, BMNC.
V í dụ 5
Phân chia khối hộp thành 6 khối tứ diện
Ta dễ dang phân chia khối hộp thành 2 khối
lăng trụ tam giác, ở mỗi khối lăng trụ tam

B
A

C
D

giác ta lại chia thành 3khối tứ diện. Cách làm như
vậy ta phân chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’
thành 6 khối tứ diện AA’B’D’, ABB’D’, ABD’D,

B’
A’

C’
D’

C’BB’D’, C’DD’B, C’CBD
Hơn nữa thể tích của 6 khối tứ diện này là bằng nhau và bằng thể tích
khối hộp.
Việc phân chia một khối đa diện sẽ gắn liền với các bài tốn tính thể tích.

Một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện thì thể tích của nó
bằng tổng các thể tích của các khối đa diện bộ phận. Vì vậy ngay từ đầu lớp 12
giáo viên cần chú trọng rèn luyện cho học sinh thực hiện phân cắt các hình vừa
rèn luyện kĩ năng, vừa nâng cao trí tưởng tượng không gian cho học sinh, thuận
lợi cho việc dạy học tính thể tích các khối đa diện về sau.Tuy nhiên để trở thành
kĩ năng là rất khó vì với những bài tốn cần sự phân chia phức tạp, nếu trí tưởng
tượng của học sinh chưa cao thì các phần rất dễ bị trồng lên nhau và dẫn đến liệt
kê thiếu hoặc thừa hình. Thực hiện phân cắt tốt thì học sinh sẽ thực hiên các bài
tốn tính thể tích các hình phức tạp tốt hơn.
3. Một số bài tốn ứng dụng trong chương trình hình học khơng gian
lớp11 và lớp12.
Mỗi bài tốn thường có nhiều cách giải, việc phát hiện khám phá ra những
cách giải khác nhau phụ thuộc vào khả năng nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều
góc độ trong các môi trường khác nhau của mỗi người. Để rèn luyện cho học
sinh khai thác các mối liên hệ giữa các hình và ứng dụng trong giải tốn giáo
viên cần hướng đẫn cho học sinh khai thác tính chất của các hình và liên hệ
chúng với các tính chất của hình khác, nhìn nhận bài tập giải trong tổng thể hình
18


dạng không gian. Định hướng và hướng dẫn cho học sinh chuyển đổi hình thức,
ngơn ngữ của bài tốn để tìm ra được những lời giải hay, súc tích khơi dậy tinh
thần hứng thú học tập cho học sinh. Học sinh vừa có dịp ơn lại tính chất của các
hình, vừa góp phần nâng cao trí tưởng tượng khơng gian, rền luyện tính linh
hoạt trong học tập, rền luyện khả năng tự học cho học sinh.

Ví dụ 1
Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu thõa mãn một trong các
điều kiện sau:
a) Tứ diện AB’CD’ có các cặp cạnh đối bằng nhau.

b) Tứ diên AB’CD’ có các cặp cạnh đối vng góc.
c) Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều.
A

Giải

B

C

D

a) Ta có AB’= CD’ mà AB’ = C’D  CD’ =C’D
 CC’D’D là hình chữ nhật.
Tương tự cho 2 cặp cạnh cịn lại.

C’

B’

A’

D’

Vậy ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
b) Ta có AB’  C’D

B

CD�

D,CD�
 = � C �
 = 90
 � AB,�

C
A

D

 CC’D’D là hình thoi.
Tương tự cho các cặp cạnh cịn lại.
Vậy hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thoi.

B’

C’

A’

D’

c) Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều, theo câu a suy ra hình hộp
ABCD,A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
Mặt khác AB’ = AD’  A’B’ =A’D’
Và AB’ = AC  AA’ = BC =A’D’
Vậy AA’ = A’B’ = A’D’ nên ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương.
19



Ví dụ 2 (Bài 20 - trang 103, Hình học 11 nâng cao)
Cho tứ diện trực tâm ABCD. Chứng minh

B

M
A

rằng tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng

N

nhau.
Với bài tốn náy có thể giải trực tiếp, ngồi

P

D
Q

ra khi găp dấu hiệu là tứ diện trực tâm giáo viên có

C

thể hướng dẫn cho học sinh đưa vao trong một hình hộp thoi. Hơn nữa cịn đưa
bài tốn về tổng bình Với với bài tốn này có thể giải trực tiếp, ngoài ra khi gặp
dấu hiệu là tứ diện trực tâm giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh đưa vào
một hình hộp thoi. Hơn nữa cịn đưa bài tốn tổng bình phương độ dài 2 đoan
thẳng chéo nhau về tính tổng độ dài 2 đoạn thẳng cùng nằm trong mặt phẳng.
Yêu cầu bài toán là chứng minh

AB + CD = AC + BD = AD + BC
Xem tứ diện ABCD là một bộ phận của hình hộp AMBN.PCQD
Khi đó bài tốn chuyển về chứng minh tổng bình phương của các cặp
đường chéo của các mặt bên và mặt đáy của hình hộp thoi AMBN.PCQD bằng
nhau.
Đây là bài tốn mà học sinh có thể giải quyết đơn giản.
Ví dụ 3 (Bài 33 Hình hoc 11 nâng cao_trang 118)
Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và
�BAA�
 �DAA�
 �BAA�
 �DAA�= 60. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáy

Từ

giả

thiết

bài

toán
B

�BAD  �BAA�
 �DAA�= 60

và AB = AD= AA’ =a

A


D

 tứ diện AA’BD đều, cạnh a.
Mặt khác
d=d

C

A’

B
’

D
’

C
’

 bài toán chuyển về tính chiều cao của tứ diện đều cạnh a.

20


Tách tứ diện AA’BD và tính chiều cao của tứ diện đều, đây là bài toán
quen thuộc đối với học sinh.
Khi có những dấu hiệu quen thuộc giáo viên phải tổ chức hướng dẫn cho
học sinh nhận biết, suy luận để có thể xem một hình là một bộ phận của hình
khác hoặc phát hiện ra những bộ phận hình đặc biệt trong một hình, từ đó đưa

bài tốn về giải quyết trên những hình đặc biệt hơn, cách làm đơn giản hơn,
không những làm cho học sinh dễ hiểu mà còn tạo được những hứng thú học tập
khi khám phá ra được những cách làm mới, dần dần trở thành kĩ năng. Và khi đã
trỏ thành kĩ năng thi trí tưởng tượng khơng gian cua các em tốt hơn, sự trừu
tượng trên các mơ hình đã giảm xuống và có thể liên hệ với thực tiễn cuộc sống.
Ví dụ 4 (Bài 9, trang 46 Hình học 12 nâng cao)
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết rằng SA = a, SB=
b, SC =c và 3 cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc. Chứng minh
M

rằng điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp thẳng hàng.

P

A

Đây là bài tốn mà học sinh có thể giải

O

theo cách thơng thường là xác định tâm và bán
kính rồi tính diện tích mặt cầu.

N

B

G


S

Q
C

Cách làm này phù hợp với suy nghĩ của học
sinh tuy nhiên nó sẽ lâu và địi hỏi tính tốn nhiều.
Nếu trong q trình học, người học có được sự phân tích
.Trong một hình hộp chữ nhật, tại mỗi đỉnh của nó ln có một góc tam
diện vng.
. Qua 4 điểm khơng đồng phẳng luôn tồn tại duy nhất một mặt cầu.
. Một hình hộp chữ nhật ln nội tiếp một mặt cầu.
Do đó mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
vng có đỉnh trùng với một đỉnh của hình hộp chữ nhật đó là một. Vậy ta có
thể giải bài tốn một cách đơn giản khi xem tứ diên SABC là một bộ phận của
hình hộp chữ nhật AMNP.SBQC. Khi đó ta sẽ có
21


. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp SABC là tâm O của hình hộp
. bán kính R = .
Diện tích mặt cầu S = 4R = (a +b + c).
_ Cũng dễ dàng nhận ra trọng tâm G của tam giác ABC  SN (bài toán
quen thuộc) và O  SN  S, G, O thẳng hàng.
Vậy từ bài toán hoạt động trên hình chóp chuyển hóa linh hoạt đưa bài
tốn về hoạt động trên hình hộp là hình “có nhiều tính chất” nên việc giải tốn
trở nên đơn giản hơn. Có được điều này người học phải trải qua một q trình
rèn luyện, nắm vững tính chất của các hinh, có tư duy cao, sự phân tích liên hệ
sắc sảo góp phân nâng cao trí tưởng tượng khơng gian. Chẳng hạn:
Ví dụ 5

Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau.
AB = CD = a, AC = BD = b, AD =BC = c.
Khi nói đến thể tích của tứ diện học sinh sẽ nghĩ ngay đến công thức đã
học nhưng cách làm này sẽ gặp khó khăn trong khi tính chiều cao của hình
chóp. Nhưng nếu người học biết nhìn nhận

M

sẽ thấy trong một hình hộp chữ nhật, đường
chéo của các mặt đối diện bằng nhau, các đường

B
N

A

chéo này nếu lựa chọn hợp lí ln tạo ra cho ta một
tứ diện có cáccặp cạnh đối bằng nhau. Bây giờ người
học chỉ còn phải xem xét mối quan hệ về thể tích của

P

D
Q

C

tứ diện với thể tích của hình hộp. Việc tính V
chỉ cịn là việc tính thể tích hình hộp và so sánh thể
tích của tứ diện với thể tích của hình hộp, trong khi thể tích của hình hộp được

tính dễ dàng hơn.
Xem tứ diện ABCD là một bộ phận của hình hộp AMBN.CPDQ. Theo ví
dụ 1phần III thì AMBN.CPDQ là hình hộp chữ nhật,và có thể tích là V. Đặt AM
= x, AN = y, AR = z khi đó ta có

22



Dễ thấy V= V = V= V= V  V = V
 V = xyz  điều cần phải chứng minh.
Cách 2: Nếu quan sát kĩ trong quá trình học người học cũng rút ra được
trong tứ diện vuông A.BCD (đỉnh A), nếu ta lấy B, C, D lần lượt là các trung
điểm của CD, BD, BC, khi đó tứ diện ABCD cũng là tứ diện có các cặp đối bằng
nhau. Người học cần xét mối quan hệ về thể tích của tứ diện ABCD với thể tích
của tứ diện A.BCD.
Trên mặt phẳng (BCD) ta dựng d, d, d lần lượt đi qua các đỉnh B, C, D và
song song với CD, BD, BC; 3 đường thẳng này cắt
D

nhau theo 3 giao điểm B, C, D.
Ta có BCDC là hình bình hành  BC = CD

B
C

= c, BC = CD = a
∆DBC = ΔCBD  BC = BD  CD= DB=

C

D

A

B

c  D là trung điểm của CB
 CB =2c =2AD  ΔACB vuông tại A .
Chứng minh tương tự ta cũng có ΔACD, ΔABD cũng là các tam giác
vng tại A.
Đặt AB=x, AC = y, AD = z, làm tương tự như cách 1 cũng cho ta kết quả
của bài toán.
Vậy những bài toán liên quan đến tứ diện vng, tứ diện gần đều,tứ diện
đều mà phải tính tốn phức tạp có thể chuyển bài tốn về hoạt động trên hình
hộp.
Đối với các bài tốn tính thể tích, đặc biệt tính thể tích khối đa diện mà
chưa có cơng thức tính thì thường phải thực hiện thao tác phân cắt khối đa diện
thành các khối đa diện quen thuộc và đã có cơng thức tính.

23


Ví dụ 6 (Bài 22_trang 28, Hình học 12 nâng cao)
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của
AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính tỉ số thể
tích của 2 phần đó.
Đặt V = V, V = V. Rõ ràng cả V và V đều chưa có cơng thức tính  thực
hiện phân cắt 1 trong 2 khối đa diện. Chẳng hạn phân chia khối đa diện
MA’B’C’C thành 2 khối tứ diện MA’B’C’ và MB’CC’
. So sánh V MA’B’C’ với V (V là thể tích của khối lăng trụ).

V = MA’.S = AA’. S = V

A

C
B

. So sánh V MCC’B’ với V
V = d .S
= d .S = AB. S
= V = V.
 V = V + V = V tỉ lệ thể tích

M
A’

của 2 phần là 1.

C’
B’

Các cơng thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ chỉ liên quan đến
chiều cao và diện tích đáy tương ứng, nên khi phân cắt các hình người học phải
phân tích, so sánh để tìm ra mối liên hệ giữa chiều cao và diện tích đáy với
những chiều cao và diện tích đáy đã biết hay tính được, để có sự phân cắt hợp lí.
Ví dụ 7 (Bài 1.20_ Bài tập Hình học 12 cơ bản)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c.
Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc các cạnh BB’ và DD’ sao cho
BE = EB’, DF = FD’. Mặt phẳng (AEF) chia khôi hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ thành 2 khối đa diện H và H’. Gọi H’ là khối đa diện chứa

đỉnh A’. Hãy tính thể tích của H và tỉ số thể tích của H và H’.


Dựng thiết diện: Trên CC’ lấy điểm K sao cho CK = KC’

 BK//AF. EM là đường thẳng qua E và song song với BK cắt CC’ tại M

24


 Thiết diện là AEMF.
A

D

B

C
E

F

K
A’

M

B’

D’

C’

Ta có BE = CK = DF = AA’ = KM  diện tích hình thang BCME và
DCMF là tính được nên ta chia H thành 2 khối chóp tứ giác là A.BCME và
A.DCMF. Nhận biết được điều này bài tốn sẽ khơng cịn là khó khăn.
Ví dụ 8 ( Bài 2.46, Hình học 12 nâng cao)
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ canh a. Các điêm E, F lần lượt là
trung điểm của C’B’ và C’D’
a) Dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳngAEF.
b) Tính tỉ số thể tích 2 phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng
(AEF)

A

Lời giải
+ kéo dài

D
C

B

EF cắt AB’
tại P và AD’
tại Q
AP  BB’ =
M
AQ  DD’
=N


D’

A’
B’
P

E

C’

Q

F

 Thiết diện là AMEFN.

25