1
Mục lục
Trang
Mở đầu.........................................................................................2
CHNG 1. KIN THC CHUN B ..................................................3
1.1. Vành chính ............................................................................3
1.2. Môđun con xoắn ..................................................................3
1.3. Linh hóa tử của môđun .........................................................3
1.4. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp ..............................................4
1.5. DÃy khớp .................................................................................5
1.6. Môđun hữu hạn sinh ...........................................................5
1.7. Môđun tự do..........................................................................5
1.8. Môđun nội xạ ........................................................................7
1.9. Nguyên lý Zermelo.................................................................7
1.10. Nguyên lý quy nạp siêu hạn...................................................7
1.11. Sự phân tích các môđun ..................................................7
chơng 2. môđun trên vành chính ..............................................8
2.1. Môđun tự do trên vành chính ...............................................8
2.2.
Môđun
hữu
hạn
sinh
trên
vành
chính
.......................................................................................................
12
Kết
luận
.......................................................................................................

22
Tài

liệu
23

tham

khảo


2

Mở đầu
Môđun và vành là một trong những đề tài đà đợc nghiên
cứu khá nhiều từ trớc đến nay. Có thể thấy rằng cấu trúc môđun
xuất hiện hầu hết trong các lý thuyết toán học hiện đại, nó có
khả năng thống nhất một cách bản chất với các cấu trúc vành,
iđêan, nhóm Aben, không gian véctơvà có khả năng linh hoạt tơng đối lớn. Ta thấy rằng cùng một môđun nhng gắn với những
lớp vành cơ sở khác nhau thì cÊu tróc cđa nã cã nhiỊu sù thay
®ỉi. Trong khãa luận tốt nghiệp này, trên cơ sở các kiến thức về
lý thuyết môđun đà đợc học và tìm hiểu ở các tài liệu, chúng
tôi trình bày một số vấn đề về lý thuyết môđun trên vành
chính. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội
dung khóa luận đợc chia làm hai chơng.
Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày (không chứng minh) các
kiến thức cơ sở của lý thuyết môđun có liên quan đến các kết
quả và chứng minh ở Chơng 2.
Chơng 2. Môđun trên vành chính: Trình bày một số tính chất
về môđun trên vành chính, cụ thể là môđun tự do và môđun

hữu hạn sinh trên vành chính. Đồng thời chỉ ra sự phân tích một
số môđun trên vành chính.
Khóa luận này đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự
hớng dẫn tận tình, chu đáo của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan.
Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất
đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực
cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận. Đồng thời tác


3

giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán,
các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô
tổ Đại số đà nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong suốt
quá trình học tập. Xin cảm ơn tập thể 47 B Toán đà động viên
chúng tôi trong thời gian làm khóa luận này.
Mặc dù đà có nhiều cố gắng nhng vì trình độ và thời
gian có hạn nên khóa luận còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong
nhận đợc những lời chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự góp ý của
bạn đọc để khóa luận đợc hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 05 năm 2010
Tác giả
CHNG 1. KIN THC CHUN B
Trong chơng này chúng tôi trình bày (không chứng
minh) một số khái niệm và kết quả đợc dùng trong Chơng 2.
Trong toàn bộ chơng, vành luôn đợc giả thiết là giao hoán và có
đơn vị.
1.1. Vành chính
1.1.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành chính nếu R l min
nguyên v mi iđêan của R đều là iđêan chính.

1.1.2. Ví dụ. Vành các số nguyên  là vành chính.
1.1.3. Mệnh đề. Giả sử là một phần tử khác 0, không khả
nghịch của một vành chính R có phân tích tiêu chuẩn l
= p1e1 ... pkek . Khi đó
R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ... ⊕ R / Rpkek .

1.2. Môđun con xoắn
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử R là miền nguyên và M là một Rmôđun. Một phần tử x của M đợc gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại


4

mét phÇn tư 0 ≠ a ∈ R sao cho ax = 0. Tập các phần tử xoắn của
M đợc kí hiệu là (M).
1.2.2. Mệnh đề. Cho R là một miền nguyên và M là một Rmôđun. Khi đó (M) là một môđun con của M.
1.2.3. Định nghĩa. Giả sử M là một môđun trên miền nguyên R.
Tập (M) các phần tử xoắn của M đợc gọi là môđun con xoắn
của M. Nếu (M) = {0M} thì M đợc gọi là môđun không xoắn.
Nếu (M) = M thì M đợc gọi là môđun xoắn.
1.2.4. Mệnh đề. Giả sử R là một miền nguyên và M là một Rmôđun. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) (M) là một R-môđun xoắn.
(ii) M / (M) là một R-môđun không xoắn.
1.3. Linh hóa tử của môđun
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun.
(i) Với mỗi x M, ta kí hiệu Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0}.
(ii) Linh hãa tö của môđun M, kí hiệu là Ann(M), là tập tất cả các
phần tử a R sao cho ax = 0 víi mäi x ∈ M.
Ann(M) = {a∈R | ax = 0, xM}.
1.3.2.Nhận xét. Ann(x) và Ann(M) là những iđêan của vành R.
1.4. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp

1.4.1. Định nghĩa. Cho I là một tập khác rỗng và (M)I là một
họ các R-môđun chỉ số hóa bởi I. Kí hiệu M = I M là tích Đềcác
của (M)I. Trên M trang bị phép cộng và phép nhân với v« híng
nh sau:

( xα ) α∈I + ( yα ) α∈I = ( xα + yα ) α ∈I
a ( xα ) α ∈I = ( axα ) α∈I ,

,


5

víi mäi a ∈ R vµ mäi ( xα ) α∈I ; ( yα ) α ∈I ∈ M . Khi đó hai phép toán vừa xác
định ở trên làm cho M trở thành một R-môđun. M đợc gọi là tích
trực tiếp của họ các R-môđun (M)I.
Trong M = I M α ta lÊy ra tËp con α⊕∈I Mα bao gồm tất cả các phần
tử của M với các thành phần bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu
hạn. Khi đó I M cũng là một R-môđun và đợc gọi là tổng trực
tiếp của họ các môđun (M)I.
1.4.2. Chú ý. (i) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiÖu αΠ∈I M α bëi
N I.
(ii) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiƯu α⊕∈I M bởi N(I).
1.4.3. Mệnh đề. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị, I và
J là những tập khác rỗng, (M)I và (N)I là họ các R-môđun. Khi
®ã

(

)


HomA ⊕ M α , Π N β ≅
α ∈I

β ∈J

Π

( α , β ) ∈IxJ

HomA ( M α , N ) .

1.4.4. Định lí. Cho R-môđun M và N là một môđun con của nó.
Khi đó nếu N là một hạng tử trực tiếp của M thì M / N F , trong
đó F là môt môđun con nào đó của M.
1.5. DÃy khớp
1.5.1. Định nghĩa. Một dÃy đồng cấu các R-môđun
fi
f i+1
...
M i
M i +1
M i + 2
...

đợc gọi lµ mét d·y khíp nÕu Im fi = Ker fi+1, víi mäi i. Mét d·y khíp
cã d¹ng
f
g
0 

→ M 
→ N
P
0

đợc gọi là một dÃy khớp ngắn.
1.5.2. §Þnh nghÜa. D·y khíp


6
f
g
...
M
N
P
...

đợc gọi là chẻ ra tại M nếu Im f = Ker g là một hạng tử trực tiếp
của M. Nếu một dÃy khớp chẻ ra tại mọi môđun không ở hai đầu
mút của dÃy thì ta nói rằng nó chẻ ra.
1.5.3. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị.
Một tập con khác rỗng S của A đợc gọi là tập đóng nhân của A
nếu 1 S và víi mäi a, b ∈ S th× ab ∈ S.
f
g
1.5.4. Mệnh đề. Cho dÃy khớp các R-môđun N
M
L và S


là một tập đóng nhân của A. Khi đó ta có dÃy khớp các S -1Rmôđun sau:
s f
s g
S −1 N 
→ S −1M 
→ S −1 L .
1

1

1.6. Môđun hữu hạn sinh. Cho M là một R-môđun và S là tập
con của R-môđun M. Khi đó giao của tất cả các môđun con của
M chứa S cũng là một môđun con của M. Môđun con này đợc gọi
là môđun con của M sinh bởi S.
Nếu môđun con sinh bởi S của M chính là M thì ta bảo rằng S là
một hệ sinh của M. Nếu M có hệ sinh hữu hạn thì ta nói M là
một môđun hữu hạn sinh. Khi M có một hệ sinh chỉ gồm một
phần tử thì M đợc gọi là một môđun đơn sinh, hay môđun
xyclic.
1.7. Môđun tự do
1.7.1. Định nghĩa. Tập con S của một R-môđun M đợc gọi là
một tập độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thøc
a1x1 + ... + anxn = 0
víi x1, ..., xn S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a 1 = ... = an =
0. Nếu trái lại thì S đợc gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu
môđun M có một hệ sinh độc lập tuyến tính thì nó đợc gọi là
một môđun tự do và tập S đợc gọi là một cơ sở của M.


7


1.7.2. Ví dụ
(i) Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở {1}. Tổng
quát hơn, với I lµ mét tËp chØ sè bÊt kú, R (I) là một R-môđun tự do
với cơ sở {ei| i I} trong đó ei có thành phần thứ i bằng 1, các
thành phần còn lại bằng 0. Cơ sở này đợc gọi là cơ sở tự nhiên
hay cơ sở chính tắc của A(I).
(ii) Mỗi không gian vectơ trên một trờng K là một K-môđun tự do
vì nó luôn có cơ sở.
(iii) Vành  6 tất cả các lớp số nguyên mod 6 là một  -môđun. Tuy
nhiên do 6 x = 0 với mọi x  6 nên  6 không có cơ sở nên nó không là
môđun tự do.
(iv) Xét vành R = Â 6 . Gọi M và N lần lợt là các R-môđun con của R
sinh bởi 2 và 3 của R. Hai môđun này không tự do trên R vì 2.3 = 0 .
1.7.3. Định lý. Nếu M là một R-môđun tự do với cơ sở S thì M

R(S).
1.7.4. Định lý. Một R-môđun là hữu hạn sinh khi và chỉ khi nó
đẳng cấu với một môđun thơng của R n, với n là số nguyên dơng
nào đó.
1.7.5. Mệnh đề. DÃy khớp các R-môđun
0
M
N
F
0

là chẻ ra nếu F là môđun tự do.
1.7.6. Định nghĩa. Cho M là một môđun tự do trên vành giao
hoán có đơn vị R. Khi đó lực lợng của một cơ sở của M đợc gọi là

hạng của R-môđun M và kí hiệu là r(M).
1.7.7. Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán. M, N, P là các
môđun tự do trên vành R. Khi đó nếu có dÃy khớp ngắn các Rmôđun


8
0 
→ N 
→ M 
→ P 
→0

th× r(M) = r(N) + r(P).
1.8. Môđun nội xạ
1.8.1. Định nghĩa. Một R-môđun I đợc gọi là nội xạ nếu và chỉ
I và mọi đơn cấu à : M '
M các
nếu với mọi đồng cấu : M '
I sao cho à = .
R-môđun, đều tồn tại mét ®ång cÊu λ :M 

1.8.2. MƯnh ®Ị. NÕu I là một R-môđun nội xạ và M ' M là các
R-môđun thì mọi đồng cấu R-môđun từ M đến I đều mở rộng
đợc thành một đồng cấu R-môđun từ M đến I.
1.8.3. Định nghĩa. Một nhóm Aben D đợc gọi là chia đợc nếu
với mọi d D và mäi / 0, tån t¹i c ∈ D sao cho d = nc.
1.8.4. Mệnh đề. Một nhóm Aben là chia đợc nếu và chỉ nếu
nó là một  môđun nội xạ.
1.9. Nguyên lý Zermelo. Mọi tập hợp đều có thể sắp thứ tự
tốt.

1.10. Nguyên lý quy nạp siêu hạn. Giả sử (X, ) là một tập sắp
thứ tự tốt và là một tính chất nào đó đối với các phần tử của X
thỏa mÃn hai điều kiện sau:
(i) Phần tử đầu tiên có tính chất .
(ii) Nếu mäi y ∈ X mµ y < x (x ∈ X) đều có tính chất thì suy ra
x cũng có tính chất .
Khi đó mọi phần tử của X đều có tính chất .
1.11. Sự phân tích các môđun. Một R-môđun M đợc gọi là
không phân tích đợc nếu M không thể biểu diễn đợc dới dạng
tổng trực tiếp của hai R-môđun con không tầm thờng.


9

chơng 2. môđun trên vành chính
2.1. Môđun tự do trên vành chính
Ta biết rằng, trên một vành bất kỳ, không phải môđun con
của môđun tự do nào cũng là môđun tự do. Chẳng hạn, lấy R =
 6 thì R là R-môđun tự do. Xét M là R-môđun con của R sinh bởi

phần tử 2 R thì M không phải là một R-môđun tự do (xem Ví dụ
1.7.2).Tuy nhiên trên một vành chính thì tình hình khác hẳn,
bởi mọi môđun con của một môđun tự do trên vành chính lại là
một môđun tự do. Ta có định lý sau.
2.1. 1. Định lý. Giả sử R là một vành chính. Khi đó mọi môđun
con của một R-môđun tự do là một R-môđun tự do.
Chứng minh. Giả sử T là một môđun tự do trên vành chính R với
cơ sở I. Khi đó T đẳng cấu với R-môđun tự do R (I) và theo
nguyên lý Zermelo ta có thể trang bị cho I mét thø tù tèt. Bëi
vËy, ta lu«n xem T = R(I) với I là tập sắp thứ tự tốt. Giả sử M là một

môđun con khác môđun con không của T và {ei}iI là cơ sở tự
nhiên của T. Kí hiệu Ti là môđun con sinh bởi {e j}j i và đặt Mi =
Ti M. Xét c¸c phÐp chiÕu
pi :

R ( I ) 
→R
→ xi
( xi ) iI

.

Với mỗi i I ta có pi(Mi) là một iđêan của R. Do R là vành
chính nên tồn tại ai R để pi(Mi) = Rai. Lấy bi ∈ Mi sao cho pi(bi)


10

= ai với quy định rằng: nếu ai = 0 thì chọn bi = 0. Khi đó ta thu
đợc một họ {bi}iI.
Sử dụng nguyên lý quy nạp siêu hạn (xem Môc 1.10), ta chøng
tá r»ng hä {bj}j ≤ i sinh ra Mi với mọi i I. Để làm đợc điều này ta
sẽ chứng minh:
a) Nếu i0 là phần tử đầu tiên của I thì bi sinh ra M i .
0

0

Rõ ràng < bi > M i . Mặt khác vì bi M i suy ra bi Ti = < ei >,
0


0

0

0

0

0

0

do đó tồn tại a R sao cho bi = aei .
0

0

Gi¶ sư x ∉ < bi >. Khi ®ã víi mäi b ∈ R th× x ≠ b bi = ab ei ∈ Ti nªn x
0

0

0

0

∉ M i , suy ra M i ⊂ < bi >. VËy M i sinh bëi bi .
0


0

0

0

0

b) NÕu mäi k ∈ I mµ k < i (i∈I) ta có Mk đợc sinh bởi {bj}j k thì Mi
đợc sinh bởi {bj}j i.
Thật vậy, giả sử x ∈ Mi, khi ®ã ta cã pi(x) = αai, α R. Do vậy ta
nhận đợc:
pi(x - bi) = pi(x)- pi(bi) = ai - ai = 0.
Thành phần thứ i của phần tử x - bi bằng 0 nên x - αbi ∈ Mk, víi k
< i. Theo gi¶ thiÕt b»ng quy n¹p x - αbi ∈ <{bj}j ≤ k> ⊂ <{bj}j ≤ i>,
dÉn ®Õn x ∈ <{bj}j

>, suy ra Mi ⊂ <{bj}j

≤ i

>. Do ®ã: Mi =

≤ i

<{bj}j ≤ i>.
VËy Mi = <{bj}j ≤ i> víi mäi i ∈ I.
TiÕp theo ta sÏ chøng minh hä {bi}i∈I sinh ra M. Dễ thấy rằng
với mỗi y M, đều tồn tại số tự nhiên m sao cho y có thể viết đợc
dới dạng

y = 1ei1 + 2ei2 + .... + α m eim víi i1 < i2 < ... < im.

Do đó y Ti và vì thế y ∈ M i ⊂ < { bi } i∈I > . VËy M =< { bi } i∈I > .
m

m


11

Đặt I ' = { i I bi 0} thì họ {bi}iI cũng là một hệ sinh của M.
Ta cần chứng minh họ này độc lập tuyến tính. Thật vậy giả sử
ngợc lại, khi đó tồn tại một tỉ hỵp tun tÝnh
α1bi1 + α 2bi2 + .... + α mbim = 0 víi i1 < i2 < ... < im thuộc I và

m 0 .

Tác động phép chiếu pi vào tổ hợp tuyến tính này ta đợc:
m

m

pim  ∑ α j bi j ' ÷ = α m ai m = 0 .
 j =1


Do R là một miền nguyên và m 0 nên ai = 0 , dẫn đến bi = 0 (mâu
m

m


thuẫn). Vậy {bi}iI lập thành một cơ sở của M và do đó M là một
R-môđun tự do.
2.1.2. Định lý. Giả sử T là một môđun tự do trên một vành
chính R và M là một môđun con của T có hạng hữu hạn n. Khi đó
tồn tại n phần tử α1 , α 2 ,..., α n cđa R vµ một cơ sở của T chứa n phần
tử e1, e2, ... , en sao cho:
(i) Các phần tử e11, e22, ... , enn lập thành một cơ sở của M.
(ii) α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, ... , n-1.
Chøng minh. NÕu M = 0 thì kết quả tầm thờng, ta sẽ chứng minh
định lý với M 0.
Gọi I là một cơ sở cña R, ta xem T = R (I). Gäi F là tập hợp các ánh
xạ tuyến tính từ T vào R. Khi đó ta nhận đợc tập hợp các iđêan
{f(M) | f ∈ F} cđa R. Gi¶ sư f 1(M) là một phần tử tối đại của tập
này. Vì R là vành chính nên tồn tại phần tử khác không α1 ∈ R sao
cho f1(M) = α1 . Víi g ∈ F, ta sÏ chØ ra r»ng g (u ) R1 .
Thật vậy, đặt g(u) = và giả sử R1 + R = R , khi đó tồn tại λ,
µ ∈ R sao cho λα1 + µβ = γ . Xét dạng tuyến tính f = f1 + àg, ta
cã:


12

f(u) = λf1(u) + µg(u) = λα1 + µβ = γ ∈ f(M).
Tõ ®ã suy ra f(M) ⊇ Rγ ⊇ R1. Do tính tối đại của R1 nên f(M) =
R1.
Do đó R1 = R . Điều này dẫn đến ∈ Rα1.
R ta ®Ịu cã g (u ) ∈ Rα1 .

Vậy mọi dạng tuyến tính g: T


áp dụng kết quả vừa rồi vào các phép chiếu
pi: T = R(I)
(xi)i I

R
xi

Ta cã pi(u) ∈ Rα1 víi mäi i ∈ I. Suy ra các tọa độ của u là bội của
1.
Giả sử u = (1i) i I = 1(i) i I. Đặt e1 = (εi) i∈ I, ta cã:
u = α1e1 vµ 1 = f1(u) = 1 .f1(e1).
Vì R là một miền nguyên nên suy ra f 1(e1) =1. Đặt T1 = f1−1 (0) , ta sÏ
chøng minh:
a) T = Re1 ⊕ T1.
Giả sử x Re1 T1. Khi đó x T1 = f11 (0) nên f1(x) = 0. Từ đó suy ra
x = 0, tøc lµ Re1 ⊕ T1 = {0} (1).
Bây giờ viết mỗi x T dới dạng
x = f1(x). e1 + (x - f1(x). e1). Ta cã f1(x). e1 Re1.
Mặt khác từ
f1(x - f1(x). e1) = f1(x) - f1(x). f1(e1) = f1(x) - f1(x) = 0,
ta rót ra

x - f1(x). e1 ∈ T1.

VËy T = Re1 ⊕ T1 (2).
Tõ (1) vµ (2) ta cã T = Re1 ⊕ T1.
b) M = Rα1e1 ⊕ M1 víi M1 = M ∩ T1.



13

Trớc hết vì Re1 T1 = {0} nên R1e1 T1 = {0}. Mặt khác, với x
M, thì f1(x) ∈ f1(M) = Rα1, nªn f1(x) = λα1 víi R nào đó. Ta viết
mỗi x M díi d¹ng:
x = f1(x). e1 + (x - f1(x). e1) = λα1 e1+ x - λα1 e1.
Ta cã λα1e1 ∈ Rα1e1, vµ do x ∈ M, u = α1e1 ∈ M nên x - 1 e1 M.
Hơn nữa
f1(x - λα1e1) = f1(x) - λα1f1(e1) = λα1 - λα1 = 0
nên suy ra x-1e1 T1.
Từ đó ta có: x - λα1 e1 ∈ M ∩ T1 = M1.
VËy M = R1e1 M1.
Bây giờ giả sử g: T

R là một ánh xạ tuyến tính tùy ý, ta

cần chứng minh rằng:
c) g(M1) ⊆ Rα1
ThËt vËy, gi¶ sư g(M1) ⊆ Rα1, ta chän ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh:
h: T = Re1 ⊕ T1

R

sao cho trùng với f1 trên Re1 và trùng với g trên T1, th×:
h(M) = h(Rα1e1⊕ M1) = Rα1 + g(M1) ⊇ R1.
Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của iđêan R1. Vậy (c) đợc
chứng minh.
Trên đây ta đà xác định đợc phần tử 1 và e1, đồng thời có
đợc các tổng trực tiếp (a) và (b). Bây giờ ta sẽ chứng minh định
lý bằng quy nạp theo hạng của M.

Giả sử định lý đúng với n -1. Vì T 1 là một môđun tự do, M 1
là một môđun con của T 1 có hạng n - 1, nên theo giả thiết quy
nạp, tồn tại n - 1 phần tử 2, ...., n của R và một cơ sở B 1 cđa T1
chøa n - 1 phÇn tư e 2, ...., en sao cho {α2e2, ... , αnen} lµ mét c¬ së


14

cđa M1, ®ång thêi α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 2, ... , n-1. Tõ (a) ta
có: {1e1, 2e2, ... , nen} là một cơ së cđa M vµ tõ (b) ta cã B = B 1
{ e1} là một cơ sở của T. §Ĩ kÕt thóc ta cÇn chøng minh α1 chia
hÕt α2.
ThËt vậy, xét ánh xạ tuyến tính g: T

R sao cho trên tập

cơ sở B của T thì g(e 2)= 1 vµ g(e) = 0 víi mäi e ∈ B \ {e2}. Ta đợc
g(M1) = R2. Vậy theo (c) ta có R2 R1, suy ra 1 chia hết 2.
Định lý đợc chứng minh.
2.1.3. Mệnh đề. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị và
mọi iđêan của R đều là môđun con tự do của R. Khi đó vành R
là một vành chính.
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan tùy ý của R. Với mọi phần tử a,
b I, a ≠ 0, b ≠ 0, ta cã ab = ba hay ab - ba = 0. Suy ra hai phần tử
khác 0 bất kỳ của I đều phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy mỗi cơ sở
của I không thể có quá một phần tử. Do đó I là iđêan chính. Vậy
mọi iđêan của vành R đều là iđêan chính nên để chứng minh R
là vành chính ta chỉ cần chỉ ra R là một miền nguyên.
Thật vậy, lấy a là một phần tử khác 0 tùy ý của R. Vì
iđêan <a> là một R- môđun tự do nên tập {a} độc lập tuyến

tính. Tức là Ann(a) = 0. Từ đó suy ra R không có ớc của 0. Do đó
R là một miền nguyên. Vậy R là vành chính.
2.2. Môđun hữu hạn sinh trên vành chính
Trong mục này, chúng ta sẽ tìm hiểu các kết quả về
môđun hữu hạn sinh trên vành chính. Trớc hết ta có định lý sau
đây mà thực chất có thể xem nh một hệ quả của Định lý 2.1.1.
2.2.1. Định lý. Cho M là một môđun sinh bởi n phần tử trên
vành chính R. Khi đó mọi môđun con của M đều có một hệ
sinh chứa không quá n phần tử.


15

Chứng minh. Giả sử {x1, ..., xn} là một hệ sinh của M. Khi đó dễ
thấy ánh xạ
f : R n 
→M
n

∑a x

cho bëi ( a1 ,..., an ) a

i =1

i i

là một toàn cấu R-môđun. Nếu N là một

môđun con của M thì B = f -1(N) là một môđun con của R n. Do R

là vành chính nên B là một R-môđun tự do hạng s n. Nếu lấy
{y1, ..., ys} là một cơ sở của B thì rõ ràng {f(y 1), ..., f(ys)} là một
hệ sinh của N.
Do đó N có một hệ sinh chứa không quá n phần tử.
Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau.
2.2.2. Hệ quả. Trên một vành chính mọi môđun con của
môđun xyclic là môđun xyclic.
Ta biết rằng, môđun con của một môđun hữu hạn sinh có
thể không là môđun hữu hạn sinh. Thật vậy, cho R là một vành
giao hoán có đơn vị 1. Gọi A là tích trực tiếp của vô hạn vành R.
A = Ri , Ri = R, ∀i ∈ I . Khi ®ã A là một A-môđun hữu hạn sinh, sinh
iI
Ri , Ri = R, i I . Khi đó
bởi một phần tư { e = (...,1,...,1,...)}. Gäi B = ⊕
i∈I

B lµ một A-môđun con của A. Tuy nhiên B không phải là A-môđun
hữu hạn sinh. Vì, nếu B có một hệ sinh hữu hạn:

{b =(b )
1

ta

gọi

1i iI

{


}

, b2 = ( b2i ) i∈I ,..., bn = ( bni ) i∈I ,

}

k = max i / i ∈ I , bmi ≠ 0, m = 1, n . Khi đó phần tử b =

(...,0,...,0,1,0,...) B (thành phần thứ k + 1 bằng 1 còn tất cả các
thành phần khác đều bằng 0). Dễ thấy b không thể là tổ hợp
tuyến tính của { b1 ,..., bn } . Điều này mâu thn víi { b1 ,..., bn } lµ hƯ


16

sinh của B. Do đó B là A-môđun không hữu hạn sinh. Từ Định lý
2.2.1 ta có hệ quả sau.
2.2.3. Hệ quả. Trên một vành chính mọi môđun con của
môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh.
Định lý sau là một hệ quả của Định lý 2.1.2.
2.2.4. Định lý. Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh trên một
vành chính R. Thế thì M đẳng cấu với một R-môđun dạng
R/ R1 ... R/ Rn,
trong đó 1, α2, ... , αn thuéc R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1,
2, ... , n-1.
Chøng minh. Gi¶ sư M cã mét hƯ sinh gồm n phần tử. Khi đó ta
có M Rn/ N (theo Định lý 1.7.4) với N là một môđun con nào đó
của Rn. Vì Rn cũng là R-môđun tự do nên theo Định lý 2.1.2 tồn tại
một cơ sở {e1, e2, ... , en} của Rn và m phần tư α1, α2, ... , αm cđa R
víi m ≤ n sao cho {α1e1, α2e2, ... , αmem} lËp thµnh một cơ sở của

N và i chia hết i +1 víi mäi i = 1, 2, ... , m-1. Ta đặt m + 1 = ... =
n = 0. Khi ®ã:
M ≅ Rn/N ≅ Re1/Rα1e1⊕ ... ⊕ Ren/ Rnen
R/R1 ... R/ Rn .
Từ Định lý 2.2.4 ta lập tức suy ra hệ quả sau đây giúp quy bài
toán phân loại môđun hữu hạn sinh trên vành chính về bài toán
phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh.
2.2.5. Hệ quả. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một
vành chính R. Khi đó:
(i) M = (M) F với (M) là môđun con xoắn của M và F là một
môđun tự do.
(ii) M là một môđun tự do nếu và chỉ nếu M không xoắn.


17

Chứng minh: Từ Định lý 2.2.4, ta suy ra nếu M là một môđun hữu
hạn sinh trên vành chính R thì M phân tích đợc thành tổng trực
tiếp của các môđun con xyclic
M = M1 M2 .... Mn,
trong ®ã Mi ≅ R / R α i víi α1, α2, ... , αn ∈ R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi
i = 1, 2, ... , n-1. DƠ thÊy r»ng tỉng trùc tiÕp cđa những hạng tử
Mi ứng với i 0 chính là môđun con xoắn (M) của M, còn tổng
trực tiếp của những hạng tử Mi ứng với i = 0 cho ta một môđun
con tự do của M. Do ®ã (i) ®ỵc chøng minh.
Tõ (i) ta thÊy nÕu M không xoắn, tức (M) = 0, thì M = F là
môđun tự do. Ngợc lại, vì M là môđun tự do hữu hạn sinh nên M
có một cơ sở hữu hạn, giả sử là {1, 2, ... , n}. Khi đó, mọi x
(M), tồn tại a R, a ≠ 0 sao cho ax = 0. Gi¶ sư x ≠ 0, ta cã:
0 = ax = a(x1λ1 + x2λ2 + ... + xn λn)

Suy ra x1 = x2 = ... = xn = 0 hay x = 0 mâu thuẫn với giả sử x 0.
Vậy (M) = {0}. Hệ quả đợc chứng minh.
2.2.6. Nhận xét. Có thể chứng minh 2.2.5 một cách trực tiếp
mà không cần thông qua Định lý 2.2.4.
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh (ii).
Giả sử M là một R-môđun không xoắn với hệ sinh {x 1, x2, ..., xn}.
Chän ra trong hÖ sinh này một hệ sinh con độc lập tuyến tính
cực đại {y1, y2, ..., yk}. Gọi N là môđun con của M sinh bëi {y 1, y2,
..., yk}. V× {y1, y2, ..., yk} độc lập tuyến tính nên N là một Rmôđun tự do. Lại vì {y1, y2, ..., yk} là một hệ con độc lập tuyến
tính cực đại của {x1, x2, ..., xn} nªn víi mäi i = 1, 2, ..., n hä {y 1,
y2, ..., yk, xi} phô thuéc tuyến tính, tức là tồn tại phần tử khác
không ai R sao cho aixiN. Đặt a = a1...an 0 th× aixi∈ N víi mäi


18

i=1,2, ..., n. Do đó aM N. Từ đây suy ra aM cũng là một Rmôđun tự do.
Xét đồng cÊu
λa : M 
→ aM

cho bëi λa(m) = am víi mäi m ∈ M. Râ rµng λa lµ mét toµn cấu. Do
M là R-môđun không xoắn nên a cũng là đơn cấu, tức M aM.
Do đó M cũng là một R-môđun tự do.
Ta còn phải chứng minh (i). Chú ý rằng M/(M) là một Rmôđun không xoắn (xem Mục 1.2.4 (ii)), do đó theo (ii) nó là
một môđun tự do. XÐt d·y khíp ng¾n
0 
→τ ( M ) 
→ M 
→ M / τ ( M ) 

→0.

Bëi MÖnh đề 1.7.5, dÃy khớp này chẻ ra, tức là M = (M) F với F
là môđun con của M. Vì F M/(M) nên F là một môđun tự do.
2.2.7. Nhận xét. Hệ quả 2.2.5 (i) không còn đúng khi bỏ đi giả
thiết hữu hạn sinh.
Chứng minh. Đặt M = pP Â p và N = pP ¢ p , tríc tiªn ta sÏ chøng minh
r»ng N chính là môđun con xoắn của  -môđun M.
Thật vậy, nÕu ( a p ) p∈P ∈τ ( M ) thì có số nguyên dơng n sao cho
n ( ap )

pP

= 0 , tức là nap = 0 trong  P víi mäi p ∈ P. V× (n, p) = 1 với

mọi p > n nên từ đó suy ra ap = 0 víi mäi p > n. Nh vËy phần tử

(a )
p

pP

chỉ có hữu hạn thành phần khác 0, nghĩa là ( a p ) pP N .

Đảo lại, giả sử ( a p ) pP N , khi đó có tập con hữu hạn J P sao cho
ap = 0 víi mäi p ∉ J. Đặt N = pJ p thì dẽ thấy rằng n ( a p ) p∈P = 0 . Do
®ã ( a p ) p∈P ∈τ ( M ) .


19


VËy τ ( M ) = N
B©y giê ta sÏ chứng tỏ Hệ quả 2.2.5 (i) không còn đúng khi
bỏ đi giả thiết hữu hạn sinh bằng cách chỉ ra rằng N không phải
hạng tử trực tiếp của M. Để thực hiện điều này, ta sẽ lần lợt chứng
minh Hom  ( Ô , M) =0 và Hom  ( Ô , M/N) 0 trong đó Ô là tập hợp
các số hữu tỉ.
Giả sử p là một số nguyên tố tùy ý, với mọi f Hom  ( Ô ,  ) và mọi r
Ô , ta có:

f(r) = f (p(r|p))=p.f (r|p) = 0.
Tõ ®ã suy ra Hom  ( Ô ,  p) = 0. Theo Mệnh đề1.4.2 ta có
Hom  ( Ô ,M) pP Hom  ( Ô ,  p) = 0.

Để chứng minh Hom  ( Ô , M/N) 0, trớc tiên ta chỉ ra rằng M/N
là một nhóm Aben chia đợc. Thật vậy, giả sử n là một số nguyên
khác 0 và (ap)pP+ N là một phần tử tùy ý của M/N. Với mỗi p > n ,
vì ảnh của n trong  p là khả nghịch nên tồn tại b p  p sao cho
ap= nbp.
Đặt bp= 0 với p n khi đó (ap)pP và n(bp)pP là hai phần tử của M
chỉ có hữu hạn thành phần khác nhau, do vậy
(ap)pP + N = n[(bp)pP+N].
Điều này chứng tỏ M/N là một nhóm Aben chia đợc. Theo Mệnh
đề 1.8.4, M/N là một  -môđun nội xạ. Với mỗi p P và mỗi n  ,
kí hiệu n p là ảnh của n trong  p. Xét ánh xạ:
g :Â M / N
na

(n )
p


pP

+N


20

Rõ ràng g là một  đồng cấu khác 0. Vì M/N là một  -môđun
nội xạ nên theo Mệnh ®Ị 1.8.2 g cã thĨ më réng thµnh mét
→M / N .
đồng cấu g1 : Ô

Nh vậy Hom  ( Ô , M/N) 0.
Bây giờ nếu N là một hạng tử trực tiếp của M thì M/N
đẳng cấu với một môđun con của M (xem Mục 1.4.3). Do vậy
tồn tại đơn cấu
h : M / N
M .

Khi đó dễ thấy rằng đồng cấu cảm sinh
h* : Hom ( Ô , M / N ) Hom ( Ô , M )
f a hf

cũng là một đơn cấu, nhng điều này là không thể, vì nh ta vừa
chứng minh ở trên, Hom  ( Ô ,M) = 0 và Hom  ( Ô ,M/N) 0.
Từ Hệ quả 2.2.5, ta thu đợc hệ quả sau.
2.2.8. Hệ quả. Một môđun trên vành chính có hạng bằng 0 nếu
và chỉ nếu nó là một môđun xoắn.
2.2.9. Định lý. Cho R là một vành chính, M là một R-môđun

hữu hạn sinh và N là một môđun con của M. Khi đó M và N có
cùng hạng nếu và chỉ nếu M|N là một môđun xoắn.
Chứng minh. Trớc hết ta sẽ chứng minh rằng nếu N là một Rmôđun con của M thì
r(M) = r(N) + r(M/N).
Thật vậy, kí hiệu S là tập các phần tử không là ớc của 0
trong R. Xét dÃy khớp ngắn các R-môđun
0
N
M 
→ M / N 
→0 ,

bëi MƯnh ®Ị 1.5.4, tõ dÃy khớp trên ta thu đợc dÃy khớp ngắn các
S-1R-môđun sau:


21
0 
→ S −1 N 
→ S −1M 
→ S −1 ( M / N ) 
→0 .

Do M, N, M|N là những môđun có hạng nên S-1M, S-1N, S-1(M|N) là
các S-1R-môđun tự do. Khi đó theo Mệnh đề 1.7.7, ta cã:
r(S-1M) = r(S-1N) + r(S-1(M/N)).
Do ®ã r(M) = r(N) + r(M/N).
Từ đó suy ra r(M) = r(N) nếu và chỉ nếu r(M/N) = 0 và theo Hệ
quả 2.2.6, ta có ngay M/N là một môđun xoắn.
2.2.10. Định nghĩa. Giả sử M là một môđun xoắn hữu hạn

sinh trên vành chính R. Với mỗi x M, tập Ann(x) = {a R| ax =
0} là một iđêan khác 0 của R. Vì R là một vành chính, tồn tại
phần tö α ∈ R, α ≠ 0 sao cho Ann(x) = R . Phần tử xác định duy
nhất, sai khác một nhân tử khả nghịch, đợc gọi là cấp của x ,kí
hiệu 0(x).
Cũng vì R là một vành chính, tồn tại duy nhất, sai khác một
nhân tử khả nghịch, một phần tử khác không R sao cho
Ann(M) = R β . Ta gäi β lµ sè mị cđa M vµ kÝ hiƯu lµ exp(M).
2.2.11. NhËn xÐt. Tõ Định nghĩa 2.2.10, ta dễ dàng nhận thấy :
(i) Số mị cđa M chia hÕt cho cÊp cđa mäi phÇn tử của nó.
(ii) Nếu M là một môđun xyclic sinh bởi phần tử x thì exp(M) =
0(x).
2.2.12. Định lý. Cho R lµ mét vµnh chÝnh vµ M 1, M2 lµ những
môđun xyclic trên vành R với các số mũ lần lợt là , . Khi đó M1
M2 là một R-môđun xyclic nếu và chỉ nếu và nguyên tố cùng
nhau.
Chứng minh. Giả sử M1 đợc sinh bởi phần tử x. Khi đó M1 = Rx và
từ Nhận xét 2.2.11, ta cã Ann(x) = Ann(M1) = <α> = Rα.
XÐt toµn cÊu


22
f : R 
→ M1

cho bëi f(a) = ax víi mäi a ∈ R. Ta thÊy Ker f = Ann(x) = R, do đó
theo Định lý đồng cấu cảm sinh ta cã M1 ≅ R/Rα.
T¬ng tù M2 ≅ R/R β . Bëi vËy ta chØ cÇn chøng minh r»ng R/R
R/R là một R-môđun xyclic nếu và chỉ nếu và nguyên tố
cùng nhau.

Thật vậy, nếu và nguyên tố cùng nhau thì với Định lý Trung
Hoa vÒ d ta cã: R/R α ⊕ R/R β R/R là một R-môđun xyclic.
Để chứng minh điều ngợc lại, giả sử rằng R/R R/R là
một R môđun xyclic với phần tử sinh là (a + R α , b + R β ). Khi ®ã
tån t¹i s ∈R sao cho s(a + R α , b + R β ) = (1 + R α , 0 + R β ) do vËy
sa = 1 + t với t R nào đó. Điều này chứng tỏ a và nguyên tố
cùng nhau. Mặt khác, vì sb R nên ta suy ra β | sb, do ®ã β | s.
Thay s = u (uR) vào đẳng thức sa = 1 + t ta đợc 1 = (au) t.
Vậy và nguyên tố cùng nhau.
2.2.13. Mệnh đề. Cho R là một vành chính và M là một Rmôđun xyclic với số mũ . Khi đó M là một R|R mô đun tù do.
Chøng minh. LËp ln t¬ng tù Mơc 2.2.12 ta có M R/R .
Do đó M là một R/R -môđun tự do.
2.2.14. Định lý. Mỗi môđun xoắn hữu hạn sinh M trên một vành
chính R đều có ph©n tÝch
M = M1 ⊕ M2 ⊕ .... ⊕ Mn,
trong đó mỗi Mi là một môđun con xyclic có số mị exp(M i) = pi e

i

lµ lịy thõa cđa mét phần tử bất khả quy pi R.


23

Chứng minh.Từ Định lý 2.2.4 ta có nếu M là một môđun hữu hạn
sinh trên vành chính R thì M đẳng cấu với một R-môđun dạng
R / R1 R / Rα 2 ⊕ ... ⊕ R / Rα n

trong ®ã α1, α2, ... , αn ∈ R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, ... , n1. Kết hợp điều này với Mệnh đề 1.1.3, ta suy ra ngay điều phải
chứng minh.

Có thể chứng minh rằng các môđun con xyclic M i xuất
hiện trong phân tích của M cho bởi Định lý 2.2.14 là duy nhất.
Bây giờ ta sẽ chứng minh dạng này của M là duy nhất. Để đơn
giản, trong khuôn khổ của khóa luận này, ta sẽ xét bài toán trong
trờng hợp M có số mũ là lũy thừa của một phần tử bất khả quy.
2.2.15. Định nghĩa. Cho R là một vành chính. Với mỗi phần tử
bất khả quy p R, ta kí hiệu Cp(M) là tập các phần tử của M có
cấp là một lũy thừa của p.
Dễ thấy từ định nghĩa trên, Cp(M) là một môđun con của M.
2.2.16. Định lý. Cho M là một môđun xoắn hữu hạn sinh trên
vành chính R với số mũ exp(M) = có phân tích tiêu chuẩn
= p1e1 . p2e2 ... pkek . Khi ®ã
M = C p1 ( M ) ⊕ ... ⊕ C pk ( M ) ,
e
trong ®ã exp ( C p ( M ) ) = p víi mäi i = 1, 2, ... , k.
i

i

i

Hơn nữa, phân tích dạng này của M là duy nhất nếu không kể
đến thứ tự hạng tử.
Chứng minh. DƠ thÊy r»ng trong ph©n tÝch cđa M cho bëi Định lý
2.2.14, Cp(M) chính là tổng trực tiếp của những hạng tử M i mà pi
liên kết với p. Nh vậy, M phân tích đợc thành tổng trực tiếp của
những môđun con dạng Cp(M) với p là một phần tử bất khả quy
của R, do đó M luôn có thể viết đợc dới dạng



24
M = C p1 ( M ) ⊕ ... ⊕ C pk ( M ) .

Bây giờ giả sử M còn có phân tích M = Cq ( M ) ... Cq ( M )
1

l

trong đó qj là những phần tử bất khả quy của R, đôi một không
e'
liên kết và exp ( Cq ( M ) ) = q , víi j = 1, 2, ... , l. Khi ®ã ta cã:
j

j

j

l

l

j =1

j =1

Rα = Ann( M ) = I Ann(Cq j ( M )) = I Rq j j = Rq1e '1 ...qle 'l
e'

Suy ra α = v.q1e ' ...qle ' víi v | 1. Tõ đây nhận thấy đợc k = l, và đánh
1


l

số lại nếu cần thiết, pi liên kết với qi với mọi i = 1, 2, .... , k. Do ®ã
C pi ( M ) = Cqi ( M ) vµ ei = e’i víi mäi i = 1, 2, ..., k. Điều này chứng tỏ

dạng phân tích của M là tồn tại duy nhất. Định lý đà đợc chứng
minh.
2.2.17. Mệnh đề. Cho R là một vành chính. Khi đó các phát
biểu sau là đúng.
(i) R là một R-môđun không phân tích đợc.
(ii) Trờng các thơng của R cũng là một R-môđun không phân
tích đợc.
(iii) Nếu p là một phần tử bất khả quy của R và e là một số
nguyên dơng thì R-môđun R|Rpe là không phân tích đợc. Và
ngợc lại, nếu một R môđun xyclic là không phân tích đợc, thì số
mũ của nó liên kết với lũy thừa của một phần tử bất khả quy của
R.
Chứng minh. (i) Giả sư cã ph©n tÝch R = X ⊕ Y víi X, Y là những
môđun con không tầm thờng của R. Khi đó tìm đợc các phần tử
khác không xX và yY. Ta có xyXY, vì R là một miền nguyên
nên xy ≠ 0 suy ra X∩Y ≠ {0}, m©u thuÉn.
(ii) Giả sử trờng các thơng F của R có phân tích F= X Y, với X, Y
là những môđun con không tầm thờng của F. Chọn các phần tử


25

khác không a/bX và c/dY khi đó 0 ac =(bc).(a/b)=(ad).
(c/d)XY. Suy ra XY{0}, mâu thuẫn.

(iii) Giả sử ta có ph©n tÝch R/Rp e= X ⊕ Y víi X, Y là những Rmôđun con không tầm thờng của R/Rpe. Khi đó rõ ràng X, Y cũng
là những iđêan của vành thơng R/Rpe. Vì R là một vành chính
nên X, Y là những R-môđun xyclic.
Giả sử a và b là hai phần tử của R sao cho ảnh của chúng trong
R/Rpe lần lợt sinh ra X và Y. Viết a = p s.a1, b = pt.b1 víi (a1,p) =
(b1,p) = 1. Khi đó dễ thấy ảnh của p s và pt trong R/Rpe tơng ứng
là phần tử sinh của X và Y. B©y giê tïy theo s ≤ t hay s > t mµ ta
cã X ⊇ Y hay X ⊂ Y. Nh vËy kh«ng thĨ cã X∩Y={0}, do X, Y là
những môđun con không tầm thờng. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy
R/Rpe là R-môđun không phân tích đợc.
Để chứng minh khẳng định cuối cùng, giả sử M là một Rmôđun xyclic không phân tích đợc với số mũ exp(M) = ≠ 0.Khi
®ã dƠ thÊy M ≅ R/R α (xem chøng minh Định lý 2.2.12). Giả sử
= u. p1e1 ... pkek là phân tích tiêu chuẩn của thành tích của các

nhân tử bất khả quy. Bởi Mệnh đề 1.1.3, ta cã
R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ... R / Rpkek .

Vì M không phân tích đợc nên phải có k =1, và do đó liên kết
với p1e .
1

Kết luận
Dựa vào tài liệu tham khảo, Khóa luận đà trình bày đợc
một số tính chất
của môđun trên vành chính. Cụ thể là Khóa luận đà hoàn thành
đợc nh÷ng viƯc sau :