3
CHƯƠNG I
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Định nghĩa và ví dụ
1.1.2 Định nghĩa. Cho R là một vành. Một tập M được gọi là một R – mơđun
trái, hay cịn gọi môđun trái trên vành R, nếu các điều kiện sau đây được thỏa
mãn:
(i) M là một nhóm Abel cộng
R M  M

(ii) Tồn tại một ánh xạ : ( x, m)  xm
gọi là phép nhân vơ hưóng sao cho các tính chất sau được thỏa mãn đối với các
phần tử tùy ý x, y  R và m, m1 , m2  M
(+)Kết hợp : (xy)m = x(ym) ;
(+)Phân phối : x(m 1 + m 2 ) = xm 1 + xm 2
(x +y)m = xm + ym ;
(+)Unitar : 1m = m.
Nếu R là một trường thì một R – môđun được gọi là không gian vectơ trên
trường đó.
Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R – môđun phải bằng cách xét phép
nhân với vô hướng ở bên phải.
Tuy nhiên để cho đơn giản ta chỉ xét R – mơđun trái trong suốt khóa luận này và
gọi tắt là R – mơđun.
1.1.2 Ví dụ.
a) Một vành R ln có thể xem là một mơđun trên chính nó với phép nhân với
vơ hướng chính là phép nhân của vành.
b) Mọi nhóm Abel G đều có thể xem là môđun trên vành các số nguyên Z . Với a
 G và n  Z tùy ý, phép nhân với vô hướng được xác định là:
Z G  G
(n, a )  na a  a........
   a

n  lan


4
c)Giả sử R là vành giao hoán với đơn vị và X  a  aij  nn \ aij  R là tập hợp các
ma trận vuông cấp n với phần tử trên R.
Trên X ta xác định hai phép toán:
(i) Phép cộng: X X  X

 a, b  

a  b [cij ] nn , với cij aij  bij

(ii)Phép nhân với vô hướng: R X  X

, a 

a [d ij ] nn , với d ij = aij

Khi đó X trở thành mơđun trên vành R và được gọi là một môđun các ma trận cỡ
n n trên R
n




R

x



f
x

ai x i \ ai  R 
4)Giả sử R là vành giao hoán với đơn vị. Khi đó


i 0



n

i
cùng với phép cộng đa thức thơng thường và phép nhân cho bởi f  x   ai x
i 0

là một môđun và được gọi là môđun các đa thức ẩn x với hệ số thực.
1.2 Môđun con, môđun đơn, môđun thương
1.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R – môđun và N là tập con khác rỗng của M.
Khi đó N được gọi là R – môđun con (hay gọi tắt là môđun con) của R – môđun
M nếu N cũng là một R – môđun với các phép toán của M hạn chế trên N.
1.2.2 Tiêu chuẩn môđun con.
Cho M là một R – môđun và N là tập con khác rỗng của M. Khi đó ba
điều kiện sau đây tương đương:
(i) N là mơđun con của M.
(ii) x  y  N , x, y  N và ax  N , x  N , a  R .
(iii) ax  by  N , x, y  N , a, b  R .
1.2.3 Định nghĩa. Môđun con N của môđun M được gọi là môđun con cực đại

nếu N M và không tồn tại môđun P sao cho P  M và P  N.
1.2.4 Định nghĩa. Cho M là một R – mơđun. Khi đó M được gọi là mơđun đơn
nếu M  0 và M chỉ có duy nhất hai mơđun con là 0 và chính M.


5
1.2.5 Định nghĩa. Cho M là R – môđun và N là mơđun con của M. Khi đó N là
nhóm con chuẩu tắc của nhóm cộng abel M. Do đó tồn tại nhóm thương
M

N





{x  N \ x  M} và M , là nhóm abel.
N

Xét phép nhân với vơ hướng trên R:

R M

 r, x  

N

 M

N

rx rx  N

Khi đó M N là một R – mơđun với phép cộng và phép nhân với vơ hướng nói
trên. Môđun này được gọi là môđun thương của M theo môđun N.
1.2.6 Định lý. Cho M là R – môđun và G là mơđun con của M. Khi đó
'
(i) Nếu G ' là môđun con của M mà G '  G thì G G là mơđun con của M G
"
(ii) Mỗi mơđun con của M G có dạng G G của đúng một môđun con G "

của M mà G "  G .
(iii) Cho G1 ,G2 là môđun con của M mà chứa G. Khi đó G1  G2 nếu và
chỉ nếu G1 G  G2 G .
1.3 Đồng cấu môđun
1.3.1 Định nghĩa. Cho M và N là hai R – môđun. Một ánh xạ f : M  N được
gọi là đồng cấu mơđun hay cịn gọi là R - đồng cấu, nếu nó thỏa mãn hai điều
kiện sau đối với mọi phần tử x, y  M và r  R :
f(x+y) = f(x)+f(y)
rf(x)= f(rx).
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu f tương ứng là đơn
ánh, toàn ánh hay song ánh.
Hai môđun M và N đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cấu f: M  N.
Kí hiệu là M N.
1.3.2 Định lý. Giả sử f : M  N là một đồng cấu từ môđun M đến môđun N , p :
M  M Kerf là tồn cấu chính tắc từ mơđun M đến mơđun thương của M trên
Kerf. Khi đó có một đồng cấu duy nhất sao cho tam giác:


6


M

f

N

p

f
M

Kerf

là giao hoán.
1.3.3 Hệ quả. Giả sử f : M  N là đồng cấu từ môđun M đến môđun N. Khi đó
M

 Im f

Kerf

1.3.4 Định lý. Giả sử N và P là hai môđun con của R – môđun M. Khi đó

 N  P

N

P

N P


1.3.5 Định lý. Giả sử N và P là hai môđun con của R – mơđun M. Khi đó
M

M
P



N

P

N

.

1.3.6 Định lý. Cho một R – môđun M. Ký hiệu S M là tập hợp tất cả các môđun
con của M. Cho f : M  M ' là một toàn cấu của R – mơđun.
Khi đó ánh xạ  :  G  S M : G  Kerf   S M
G



'

f (G )

1
'

1
'
'
là song ánh và  (G )  f (G ), G  S M .
'

1.4 Dãy khớp, môđun Noether, môđun Artin
1.4.1 Định nghĩa. Cho

f
f
    
  M i 1  
 Mi
i 2

i 1

f i 1
f i  M i 1  


là một

dãy các R – môđun và R – đồng cấu
(i) Dãy   được gọi là một phức các R – môđun nếu Imf i  Kerf i 1 , i
(ii) Dãy   được gọi là một dãy khớp nếu Imf i = Kerf i 1 , i .
(iii) Một dãy khớp có dạng : 0  M’ f  M g  M”  0 được gọi là dãy
khớp ngắn.
1.4.2 Định nghĩa. Cho M là một R – mơđun. Khi đó M được gọi là mơđun

Noether, một cách chính xác khi nó thỏa mãn các điều kiện sau đây


7
(i) Khi ( Gi ) iN là một họ các môđun con của M để mà
G1  G2  .......  Gi  Gi 1  .....

thì tồn tại k  N để Gk Gk 1 , i  N .
(ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M ln chứa ít nhất một phần
tử cực đại (theo quan hệ bao hàm).
1.4.3 Định nghĩa. Cho M là một R – mơđun. Khi đó M được gọi là mơđun Artin
một cách chính xác khi nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) Khi ( Gi ) iN là một họ các môđun con của M để mà
G1  G2  ......  Gi  Gi 1  .....

thì tồn tại k  N để Gk Gk 1 , i  N .
(ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M ln chứa ít nhất một phần
tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm).
1.4.4 Định lý. Cho 0  L f  M g  N  0 là một dãy khớp ngắn của R –
môđun và R – đồng cấu.
(i) R – môđun M là Noether nếu và chỉ nếu L và N là Noether.
(ii) R – môđun M là Artin nếu và chỉ nếu L và N là Artin.
1.4.5 Định lý. Cho M 1 và M 2 là đẳng cấu R – mơđun. Khi đó
(i) M 1 là Noether nếu và chỉ nếu M 2 là môđun Noether.
(ii) M 1 là Artin nếu và chỉ nếu M 2 là môđun Artin.


8

CHƯƠNG II

DÃY HỢP THÀNH CỦA MƠĐUN
Ta ln xét R là vành giao hốn có đơn vị là 1
2.1 Định nghĩa và ví dụ
2.1.1 Định nghĩa. Cho M là một R – mơđun. Xét hai xích hữu hạn các mơđun
con của M
 : 0  M 0  M 1  ........  M k  1  M k M .
 : 0  M 0'  M 1'  .........  M l' 1  M l' M .

Kí hiệu I = {0,1,……k}, J = {0,1,…….l} và gọi tập hợp I là tập chỉ số của xích
 , J là tập chỉ số của xích  . Khi đó

(i) Số tự nhiên k được gọi là độ dài của xích  , ký hiệu là l(  ) = k
(ii) Môđun thương
{

M1

M0

,........,

Mk

Mi

M i  1 được gọi là thương thứ i và tập các R – môđun

M k  1 } được gọi là tập thương của xích

.


(iii) Ta nói hai xích  và  là đẳng cấu với nhau, ký hiệu là    , nếu
tồn tại một song ánh giữa hai tập chỉ số  : I  J sao cho
Mi

M i 1



M ' (i )

M ' (i )  1 ,

i 1,.........k .

(iv) Xích  gọi là dãy hợp thành của môđun M, nếu M i  1 là môđun con
M
cực đại của M i , i 1,……,k. Điều này tương đương với điều kiện i M , i =
i 1

1,…..,k là những môđun đơn.
2.1.2 Chú ý.
(i) Giả sử    là một đẳng cấu giữa hai xích các mơđun con của M và
với một chỉ số i nào đó ta có M i  1  M i . Vì

Mi

M i  1 = 0 nên

M ' ( i )


M ' ( i )  1 = 0, tức


9
M ' ( i )  1  M ' ( i ) . Vậy khi bỏ M i và M ' (i ) thì các thương

Mi

M i 1

0 

M ' ( i )

M ' (i )  1

cũng bị bỏ đi, trong khi các thương khác trong hai xích vẫn giữ nguyên. Từ đây
'
suy ra các xích mới sau khi bỏ đi M i và M  (i ) vẫn đẳng cấu với nhau.

Hơn nữa, ta thấy định nghĩa (iii) về đẳng cấu ở trên là một quan hệ tương
trên tập hợp các xích của mơđun M. Điều này cho phép chúng ta có thể giả thiết
mà khơng mất tính tổng quát rằng trong một xích  của M thỏa mãn
M i  1  M i , i

(ii) Trong trường hợp khơng thể mở rộng xích (tăng ngặt) bởi sự đưa vào
của số hạng đặc biệt làm cho xích có độ dài n + 1. Khi đó một xích (tăng ngặt)
các mơđun của M là một dãy hợp thành của M nếu và chỉ nếu nó là một xích
(tăng ngặt) cực đại.

2.1.3 Ví dụ.
(a) Cho V là một K – không gian vectơ n chiều với { x1 , x 2 ,......., x n } là một cơ sở.
Khi đó xích :
n

0  x1 K  x1 K  x2 K  ......   xi K V
i 1

là một dãy hợp thành của V có độ dài là n.
Thật vậy ; Xét môđun thương x1 K 0 .
Ta có x1 K là khơng gian vectơ con của V và có số chiều là 1
Do đó x1 K chỉ có hai mơđun con là 0 và chính x1 K
Suy ra x1 K là môđun đơn hay x1 K 0 là môđun đơn.
Xét môđun thương

( x1 K  x 2 K )

x1 K

Theo định lý 1.3.4 ta có:
( x1 K  x 2 K )

x1 K

 x2 K

( x1 K  x 2 K )

Mặt khác x1 K  x 2 K 0 (Vì x1 , x 2 là cơ sở của V)
Khi đó


x2 K

( x1 K  x 2 K )

 x 2 K , mà x 2 K là môđơn (giống x1 K )


10
Do đó

( x1 K  x 2 K )

x1 K

là môđun đơn.

Bằng cách chứng minh tương tự và quy nạp ta cũng có
n

x K
i

i 1

n 1

x K

là mơđun đơn


i

i 1

Theo định nghĩa 2.1(iv) suy ra V có dãy hợp thành là
n

0  x1 K  x1 K  x 2 K  .......   x1 K V
i 1

và độ dài bằng n
(b) Xét Z là Z – môđun. Khi đó Z khơng có dãy hợp thành.
Thật vậy ; giả sử 0  A0  A1  .......  Z là dãy các mơđun con của Z
Ta có Ai là môđun con của Z khi và chỉ khi Ai là iđêan của Z
Giả sử A1 nZ (Vì A1 là iđêan của Z nên n  N sao cho A1 nZ )
Khi đó ln tồn tại một mơđun con nằm giữa 0 và A1 . Chẳng hạn A1' n 2 Z
thỏa mãn 0  A1' n 2 Z  A1
Điều đó suy ra 0 = A0 không phải là môđun con cực đại của A1 .Theo định
nghĩa 2.1(iv) suy ra Z khơng có dãy hợp thành.
(c)Xét Q là Q – mơđun . Khi đó Q có chuỗi hợp thành với độ dài là 1.
Thật vậy ; Ta có mỗi mơđun con của Q là một iđêan của Q.
Mặt khác Q là một trường nên Q chỉ có hai iđêan là 0 và Q.
Do đó Q có dãy hợp thành là 0  Q và có độ dài bằng 1.
Sau đây là một số kết quả cơ bản về dãy hợp thành.
2.2 Độ dài của dãy hợp thành
2.2.1 Định nghĩa. Cho M là R – mơđun có một dãy hợp thành là :
0 = M 0  M 1  …  M n  1  M n = M.
Ta gọi độ dài của dãy hợp thành này là số các mắt xích của nó, có nghĩa độ dài
bé thua số các số hạng trong dãy 1 đơn vị.

2.2.2 Định lý. Cho M là R – môđun và giả sử M có một dãy hợp thành có độ dài
n. Khi đó


11
(i) Khơng có một xích (tăng ngặt) các mơđun con nào của M có độ dài lớn
hơn n.
(ii) Mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài đúng bằng n.
(iii) Mỗi xích (tăng ngặt) các mơđun con của M có độ dài n’  n có thể mở
rộng thành một dãy hợp thành của M bằng cách đưa thêm vào xích đó n-n’ số
hạng.
(iv) Mọi xích (tăng ngặt) các mơđun con của M có độ dài n đều là dãy hợp
thành của M.
Chứng minh: Chúng ta có thể giả thiết n > 0. Cho mỗi R – môđun M, chúng ta
kí hiệu l(M) là độ dài nhỏ nhất của một dãy hợp thành của M nếu M có một dãy
hợp thành và l(M) =  nếu M khơng có dãy hợp thành.
Bước đầu tiên trong chứng minh, chúng ta chứng minh rằng: nếu A là
môđun con thực sự của M thì l(A) < l(M).
Cho l(M) = t và 0 = M 0  M 1  … M t  1  M t = M là một dãy hợp thành
cho M với độ dài t.
Với mỗi i = 0,….,t , cho Ai  A  M i
Theo hệ quả 1.3.3 : Với mỗi i = 1, …,t, hợp thành R – đồng
M
A i = A  M i f  M i g  i M
i 1

(mà trong đó ánh xạ f là đồng cấu bao hàm và g là tồn cấu chính tắc) có hạt
nhân bằng A  M i  M i  1 = A  M i  1 = A i  1 và cũng cảm sinh một R- đơn cấu



Khi đó

Ai

i

:

Ai  1



Mi

M i 1

a  Ai  1  a  M i  1

Ai  1 là đẳng cấu tới một mơđun con nào đó của
Mi

Mặt khác
Do đó

Ai

Ai

Mi


M i  1 là môđun đơn

Ai  1 là 0 hoặc đơn.

Thật vậy ;

Ai


Ai  1 là đơn nếu và chỉ nếu i là một đẳng cấu.

M i 1 .


12
Khi đó nếu chúng ta bỏ đi vài số hạng lặp lại trong
0 = A 0  A 1  …  A i 1  A t = A  M t = A
chúng ta sẽ thu được một dãy hợp thành của A.
Khi đó l(A)  l(M).
Hơn nữa chúng ta phải có l(A) < l(M), mặt khác quá trình trên phải dẫn tới
A 0  A 1  …  A t 1  A t
như là một dãy hợp thành của A, với

Ai

Ai  M i  1



Ai


Ai  1 0 i =1……t.,

Từ A i = 0 = M i , nó kéo theo trình tự
A 1 = M 1 , A 2 = M 2 ,……….,A t = M t ,
mâu thuẫn với thực tế có A  M.
Khi đó chúng ta chứng tỏ rằng l(A) < l(M).
Chú ý chúng ta cũng chứng tỏ rằng mọi mơđun con của M có một dãy hợp thành
(i) Bây giờ cho 0 = M '0  M 1'  M '2  ......  M 'r  1  M 'r = M là một xích
(tăng ngặt) các mơđun con của M
Ta có l(0) = 0 và áp dụng kết quả chứng minh ở trên ta có
0 = l(M '0 ) < l(M 1' ) < ……..< l(M 'r  1 ) < l(M 'r ) = l(M).
Từ đó r  l(M)  n (Vi M có dãy hợp thành với độ dài n mà ở phần đầu
của chứng minh ta kí hiệu l(M) là độ dài nhỏ nhất của một dãy hợp thành).
Vậy khơng có xích các mơđun con nào của M có độ dài lớn hơn n
(ii) Giả sử M có dãy hợp thành với độ dài n 1
Theo cách kí hiệu ở phần đầu của chứng minh ta có l ( M ) n1 .
Mặt khác theo cách chứng minh ở phần (i) ta có l ( M ) n1 (vì dãy hợp
thành là trường hợp đặc biệt của xích ngặt)
Do đó l (M ) n1
Theo giả thiết M có dãy hợp thành với độ dài n. Lí luận tương tự như trên
ta có l ( M ) n
Từ đó ta có l ( M ) n n1 .
Như vậy mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài đúng bằng n


13
(iii), (iv) Được suy ra ngay từ phần (i) và (ii) và chú ý 2.1.2(ii): một xích
ngặt các mơđun con của M với độ dài n ' < n = l(M) không thể là một dãy hợp
thành của M, bởi vì từ phần (ii): tất cả các dãy hợp thành của M đều có độ dài n

và nó có thể mở rộng được một xích ngặt có độ dài n ' +1 bởi đưa vào số hạng
giữa hai số hạng mà thương của chúng chưa phải là môđun đơn.
Chẳng hạn

Mi

'
M i  1 khơng phải là mơđun đơn thì sẽ tồn tại môđun M sao

cho M i  M '  M i  1 và M i  M '  M i  1 . Khi đó ta đưa vào môđun M ' vào giữa
M i  1 và M i . Mở rộng cho đến khi được một dãy có độ dài n thì ta thu được một

dãy hợp thành.
Thật vậy giả sử chưa được một dãy hợp thành ta lại chèn tiếp được một số
hạng vào giữa hai môđun mà thương của chúng chưa phải là môđun đơn. Suy ra
được độ dài lớn hơn n. Mâu thuẫn với phần (i).
Ngược lại một xích ngặt các mơđun con của M có độ dài n phải là một
dãy hợp thành của M bởi vì nếu có thể mở rộng một xích ngặt các mơđun con
của M có độ dài n + 1. Mâu thuẫn với phần (i).
Chú ý trong chứng minh trên l(M) chưa phải là kí hiệu của độ dài dãy hợp
thành.
Sau đây ta mới đưa ra kí hiệu của độ dài dãy hợp thành trong định nghĩa 2.3
2.2.3 Định nghĩa. Giả sử M là R – mơđun. Ta nói rằng M có độ dài hữu hạn nếu
M có dãy hợp thành. Khi đó độ dài của M được kí hiệu là l(M) hay l R (M) (nếu
muốn nhấn mạnh R là vành cơ sở) là độ dài của dãy hợp thành nào đó của M.
Chúng ta đã biết ở Định lý 2.2 rằng tất cả các dãy hợp thành của M có độ
dài như nhau.
Khi M khơng có độ dài hữu hạn có nghĩa là M khơng có dãy hợp thành và
ta có thể kí hiệu l(M) =  .
2.2.4 Ví dụ.

(1) l Q (Q) = 1 (Ở ví dụ 2.1.3 đã nêu)
(2) l Z (Z) =  (Ở ví dụ 2.1.3 đã nêu)


14
(3) l Z ( Z 6Z ) = 2
Thật vậy ; Mỗi mơđun con của Z 6Z đều có dạng X 6Z trong đó X là mơđun con
của Z chứa 6Z.
Khi đó X có dạng nZ với n là ước của 6.
Suy ra n = 1, 2, 3, 6
Ta có các môđun con của Z 6Z là 0, Z 6Z , 2Z 6Z , 3Z 6Z
Vậy Z 6Z chỉ có hai dãy hợp thành là 0  2Z 6Z  Z 6Z và 0  3Z 6Z  Z 6Z
đều có độ dài bằng 2.
Do đó l Z ( Z 6Z ) = 2.
2.2.5 Mệnh đề. Cho M là R – mơđun. Khi đó M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ
nếu M vừa là Noether vừa là Artin nghĩa là nếu và chỉ nếu M thỏa mãn cả chuỗi
điều kiện tăng và giảm cho các môđun con.
Chứng minh
 Giả sử M có độ dài hữu hạn l(M).

Khi đó kéo theo từ định lý 2.2.2 có vài xích tăng các mơđun con của M
khơng thể có nhiều hơn l(M) của nó trong bao hàm ngặt và cuối cùng cũng phải
dừng.
Đồng thời vài xích giảm các mơđun con của M cuối cùng cũng phải dừng.
Theo định nghĩa suy ra M vừa là môđun Noether vừa là môđun Artin.
 Giả sử M là môđun Noether và Artin

Từ định nghĩa của môđun Noether và Artin M thỏa mãn cả điều kiện
môđun con cực đại và cực tiểu.
Chúng ta giả sử M không có một dãy hợp thành và tìm một mâu thuẫn.

Khi đó  ={A : A là mơđun con của M và l(A) =  }.
Tập  khơng rỗng vì M   , do đó theo điều kiện cực tiểu,  có một phần
tử tiểu gọi là H.
Vì 0 mơđun con của M và có một dãy hợp thành
Theo định nghĩa của  suy ra 0   . Mặt khác H  


15
Do đó H 0 . Khi đó theo điều kiện cực đại tập mơđun con thực sự của H
có ít nhất một thành viên cực đại gọi là H ' .
Bằng sự lựa chọn của H và thực tế H '  H, vì H là phần tử cực tiểu nên
H '   do đó H ' có dãy hợp thành.

Cho 0 = H '0  H 1'  ….  H t'  1  H t' = H ' là dãy hợp thành của H ' và l(
H ') = t

Từ H ' là một môđun con cực đại thực sự của H, nó kéo theo H H ' có
đúng hai mơđun con và cũng là đơn.
Từ H '0  H 1'  ….  H t'  1  H t'  H là dãy hợp thành cho H. Đây là một
mâu thuẫn (vì H khơng có dãy hợp thành).
Từ đó M phải có một dãy hợp thành.
Chúng ta có trong định lý 2.2.2 rằng hai chuỗi hợp thành cho một môđun hữu
hạn chiều trên vành giao hốn có cùng độ dài. Thực tế hai dãy hợp thành có
những điểm tương đồng mạnh mẽ hơn liên quan tới cái mà người ta gọi là họ các
thương hợp thành. Những điểm tương đồng được cụ thể hóa trong giả thuyết nổi
tiếng của Jordan-Holder mà được đưa ra trong mục 2.3.3
2.3 Đẳng cấu của dãy hợp thành
2.3.1 Định nghĩa. Cho M là R – môđun và giả sử M có độ dài hữu hạn.Gọi
0 = M 0  M 1  .......  M n 1  M n = M
là dãy hợp thành của M. Khi đó ta gọi họ các R – môđun đơn (


Mi

M i  1 ) i 1, n là

họ các thương hợp thành của dãy hợp thành trên. (Tất nhiên họ này là rỗng khi
M = 0).
Bây giờ giả sử rằng M 0 và có
0 = M '0  M 1'  .....  M n'  1  M n' = M
là dãy hợp thành thứ hai của M (ở đây chúng ta đã sử dụng điều đã được chứng
minh ở Định lý 2.2.2 rằng hai dãy hợp thành tuỳ ý của mơđun M có độ dài như
nhau).
Ta nói rằng hai dãy hợp thành của M đẳng cấu nều tồn tại một hoán vị  của tập


16
{1,…n} của n số nguyên dương đầu tiên sao cho với mọi i =1,…,n ta có
Mi

M i 1



M ' (i )

M ' (i )  1

2.3.2 Bổ đề. Cho M là R – môđun và A, A ' môđun con của M, A  A ' và cả M A
và M A' là đơn. Từ đó :
M


A

 A'

M A
A  A' và
A'
A  A'

Chứng minh: Đầu tiên chúng ta chỉ ra A  A  A'. Nếu đây không phải là
trường hợp, khi đó chúng ta giả sử A  A  A ' .
Mặt khác A  A' , khi đó ta có A '  A  M .
Từ đó suy ra A A ' là mơđun con của M A ' . Mâu thuẫn với thực tế M A' là
đơn (Vì mơđun đơn chỉ có đúng hai mơđun con là 0 và chính nó).
Do đó A  A+A '  M (vì A, A ' là mơđun con của M)
Mà M A là đơn hay A là mơđun con cực đại của M.
Khi đó A+A ' = M
Vì thế theo định lý 1.3.4 ta có
M

A

( A  A' )

A

 A'

( A  A' )


Những cái đẳng cấu khác cũng tuân theo sự đảo ngược vai trò của A và A ' .
Bổ đề được chứng minh
2.3.3 Định lý Jordan-Holder. Cho M là R – môđun khác không có độ dài hữu
hạn. Khi đó mỗi cặp dãy hợp thành cho M đều đẳng cấu với nhau.
Chứng minh: Từ M 0, chúng ta có n : = l(M) 1.
Chúng ta sử dụng phương pháp quy nạp trên n.
Xác nhận đúng khi n = 1.
Chúng ta cũng giả thiết rằng n > 1 và có kết quả chứng minh cho giá trị nhỏ nhất
của n.Cho
0  M 0  M 1  .......  M n  1  M n M
0  M 0'  M 1'  .....  M n'  1  M n' M


17
là hai dãy hợp thành của M.
Biện chứng cho bước quy nạp chia thành hai trường hợp.
Trường hợp đầu tiên là khi M n 1 = M 'n 1 .
Khi đó chúng ta có

Mn

M n 1

M n'

=

M n'  1 và


0  M 0  M 1  ......  M n  1  M n M
0  M 0'  M 1'  ........  M n'  1  M n' M

là hai dãy hợp thành của M n 1 = M 'n 1 .
Bởi vì l(M n 1 ) = n - 1 nên chúng ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho hai dãy
hợp thành của M n  1 và kết quả được mong muốn trong trường hợp này dễ dàng
suy ra.
Trường hợp thứ hai là khi M n  1  M n'  1 .
Khi đó chúng ta có tập H = M n 1  M n'  1 bởi bổ đề 2.7 ta có
Mn

M n 1



M n'  1

H và

M n'

M

'
n 1



M n 1


H

Để cho bốn môđun trong những số môđun này là đơn.
Thật vậy: Nếu H = 0 (cả M n 1 và M n'  1 là đơn và n = 2), chúng ta đạt được kết luận
như mong muốn.
Giả sử rằng H 0
Trong trường hợp 0  H  M n  1  M n là một dãy ngặt của các môđun con của
M = Mn ,

Mn

M n  1 và

M n 1

H là đơn .

Theo định lý 2.2.2(iii), dãy ngặt ở trên có thể mở rộng bởi sự đưa vào số hạng
tới một dãy hợp thành của M.
Như vậy một dãy hợp thành của M phải có độ dài n.
Nó kéo theo l(H) = n - 2.
Đặc biệt chúng ta có được một dãy hợp thành của H là:
0  H 0  H 1  .........  H n  3  H n  2  H

Ý kiến trong đoạn trước bây giờ chứng tỏ có hai dãy hợp thành


18
H 0  H 1  ........  H n  3  H n  2  M n  1  M n
H 0  H 1  ..........  H n  3  H n  2  M n'  1  M n'


của M là đẳng cấu.
Nhưng bây giờ chúng ta có thể áp dụng lý thuyết quy nạp (trên hai dãy hợp
thành của M n 1 ) nhìn thấy có hai dãy hợp thành
M 0  M 1  ........  M n 1  M n
H 0  H 1  ........  H n 3  H n 2  M n 1  M n
của M là đẳng cấu
Tương tự hai dãy hợp thành
H 0  H 1  .......... .  H n  3  H n  2  M n'  1  M n'
M 0'  M 1'  ...........  M n'  1  M n'

là đẳng cấu và chúng ta cũng có thể hoàn thành bước quy nạp.
Định lý được chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
2.3.4 Ví dụ
Xét Z – mơđun M = Z 6Z . Theo ví dụ 2.4 : M có hai dãy hợp thành là
(1) 0  2Z 6Z  Z 6Z M ,
(2) 0  3Z 6Z  Z 6Z M .
Khi đó dãy (1) và (2) là đẳng cấu với nhau.
Thật vậy ;
2.10 Định lý. Cho R là một vành giao hoán và 0  L f  M g  N  0 là dãy
khớp ngắn của các R – môđun và R – đồng cấu.
(i) R – mơđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu cả L và N đều có độ
dài hữu hạn
(ii) Khi L, N, M tất cả đều có độ dài hữu hạn thì l(M) = l(L) + l(N)
Chứng minh: (i) Điều này dễ dàng từ 1.4.4 và 2.2.5
Bởi định lý 2.2.5 : R – mơđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu nó vừa
là Noether vừa là Artin


19

Bởi định lý 1.4.4 : M là Noether nếu và chỉ nếu L và N là Noether và M
là Artin nếu và chỉ nếu L và N là Artin.
Bởi 2.2.5 : L vừa là Noether vừa là Artin nếu và chỉ nếu L có độ dài hữu
hạn, và N vừa là Noether vừa là Arrtin nếu và chỉ nếu N có độ dài hữu hạn.
Do đó M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu L và N có độ dài hữu hạn
ii) Chú ý rằng L  Imf = Kerg và bằng hệ quả 1.3.3 chúng ta cũng có
M

Kerg

N .

Thật vậy ; Bởi 7.40, Kerg và M Kerg có độ dài hữu hạn và l(L) = l(Kerg) và
l(N) = l( M Kerg ). Điều đó đủ cho chúng tôi chứng tỏ rằng nếu A là một môđun
con của R – mơđun M (và M có độ dài hữu hạn) thì l(M) = l(A)+l( M A )
Các kết quả mong muốn là rõ ràng nếu một trong hai A = 0 hoặc A = M,
và chúng ta cũng giả sử 0  A  M
Bởi định lý 2.2 dãy ngặt ở trên của mơđun con của M có thể bổ sung bởi
sự đưa vào số hạng đến một dãy hợp thành của M là
0  M 0  M 1  .........  M n  1  M n M và n = l(M).

Giả sử rằng M t G . Khi đó
0  M 0  M 1  ........  M t  M

là dãy hợp thành của A và từ 6.24 có
Mt

A




M t 1

A

 ........... 

Mn

A

là dãy hợp thành cho M A .
Từ đó l(A) + l( M A ) = t +(n-t) = l(M), như được u cầu.
2.11 Ví dụ



 



(a) Tìm l Z Z 20Z  Z 27 Z và chỉ ra một dãy hợp thành của Z – môđun

Z 20Z   Z 27Z 
Trước hết xác định dãy hợp thành và độ dài của Z – môđun Z 20Z


20
Ta có mỗi mơđun con của Z 20Z đều có dạng X 20Z , trong đó X là mơđun con
của Z chứa 20Z.

Mặt khác X có dạng nZ với n là ước của 20.
Do đó các mơđun con của Z 20Z là:
0, Z

20 Z

, 2Z

20Z

, 4Z

20Z

, 5Z

20Z

,10 Z

20Z

Vậy Z 20Z có ba dãy hợp thành là:
0  4Z

20Z

0  10Z
0  10Z


 2Z

20 Z
20 Z

Z

20Z

 2Z
 5Z

20 Z
20 Z

20Z ,

Z

20 Z ,

Z

20 Z ,

và đều có độ dài bằng 3.






Khi đó l Z Z 20Z 3
Tiếp theo xác định dãy hợp thành và độ dài của Z – môđun Z 27 Z
Tương tự như mơđun Z 20Z ta cũng tìm được các môđun con của Z 27 Z là
0, Z

27 Z

, 3Z

27 Z

, 9Z

27

Khi đó Z 27 Z có dãy hợp thành là :
0  9Z

27 Z

 3Z

27 Z

Z

27 Z

và có độ dài bằng 3.






Vậy l Z Z 27 Z 3



 



Xét dãy khớp 0  Z 20 Z  Z 20 Z  Z 27 Z  Z 27 Z  0
Theo chứng minh trên Z 20Z , Z 27 Z đều có độ dài hữu hạn nên theo định lý 1.10



 



ta có Z 20Z  Z 27 Z có độ dài hữu hạn và



  Z 27Z  l Z 20Z   l Z 27 Z  3  3 6 .
Z 20Z   Z 27Z  6 và Z – môđun Z 20Z   Z 27Z  có dãy hợp thành là:

lZ Z


Vậy l Z

20 Z

Z

Z


21
 9Z
 4Z
 3Z
20 Z
27 Z
20 Z
27 Z
 2Z
 3Z
Z
 3Z
Z
Z
20 Z
27 Z
20 Z
27 Z
20 Z
27 Z

0  4Z

20 Z

 0  4Z

*Cho K là một trường.Trong 7.12 chúng ta nhận thấy rằng khái niệm của K –
môđun Noether và K – môđun Artin đồng nhất và thật vậy, nếu có V là một
khơng gian vectơ trên trường K. Khi đó V là một khơng gian hữu hạn chiều nếu
và chỉ nếu nó vừa là K – mơđun Noether vừa là K – mơđun Artin. Thật vậy theo
mục 7.36 có V là một K – không gian hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó là một K
– mơđun có độ dài hữu hạn.
Bây giờ chúng ta kiểm rằng trong trường hợp này vdim K v =l(V).
1.12 Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên trường K. Khi đó V là một K
– khơng gian véctơ hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó là K – mơđun có độ dài hữu
hạn, và trong trường hợp này vdim K V = l(V).
Chứng minh
Sự khẳng định đầu tiên đã được giải thích ngay lập tức trước sự tường thuật của
mệnh đề, đối với giả định thứ 2 chúng ta bàn luận bởi sự quy nạp trên n=vdim K
V.
Khi n = 0, chúng ta có V = 0 và kết quả thì rõ ràng .
Khi n = 1, tập khơng gian con duy nhất của V là 0 và chính V.
Vì vậy 0  V là một chuỗi hợp thành cho K – mơđun V và l(V) = 1.
Do đó chúng ta giả thiết rằng n >1 và kết quả đã được chứng minh nhỏ hơn giá
trị của n .
Cho v V với v 0; tập U = Kv là một khơng gian con một chiều của V .
Khi đó có một dãy khớp
i
f
0  U   V   V U  0


của K – không gian và K – ánh xạ tuyến tính, trong đó i là ánh xạ nhúng và f là
tồn cấu chính tắc. Bây giờ (U và V U là hữu hạn chiều)


22
vdim K V = vdim K (Kerf) + vdim K (Imf) = vdim K U + vdim K ( V U ) và vdim K (
V

U ) = n – 1.

Khi đó vdim K ( V U ) = l( V U ) bởi lý thuyết quy nạp, trong khi vdim K U = l(U)
bởi đoạn đầu của chứng minh này
Từ đó vdim K V = vdim K U + vdim K ( V U ) =l(U) +l( V U ) = l(V) bởi 7.41 và bước
quy nạp hồn thành
Vì thế kết quả chứng minh bởi phương pháp quy nạp


23

KẾT LUẬN
Sau một thời gian làm việc nghiêm túc dưới sự hướng dẫn tận tình của cơ
giáo T.S Đào Thanh Hà khóa luận thu được một số kết quả:
1. Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản về lý thuyết mơđun
2. Trình bày khái niệm, cung cấp ví dụ về dãy hợp thành của mơđun.
Đồng thời chứng minh chi tiết các tính chất về dãy hợp thành.
3. Đưa ra mối quan hê giữa độ dài của dãy hợp thành và số chiều của một
không gian hữu hạn



24

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
[1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số hiện đại, NXB Đại học quốc gia
Hà Nội ,2003
Tiếng anh