1

Mục lục
Trang
Mục lục ………………………………………..................................................
1
Mở đầu ……………………………………………………...............................
2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Vành và mơđun địa phương hố…………………………..........................
4
1.2. Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun…………….............................
5
1.3. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun…………...............................
7
1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic…..........................................
7
1.5. Hệ tham số và hệ tham số thu gọn……………...........................................
9
1.6. Dãy chính quy…………………………......................................................
10
1.7. Mơđun đối đồng điều địa phương……………............................................
11
1.8. Môđun Cohen-Macaulay………………….................................................
11
1.9. Môđun Cohen-Macaulay suy rộng……......................................................
12

Chương 2. Môđun lọc

2

2.1. Định nghĩa mơđun lọc………………….......………...................................
13
2.2. Một số tính chất và đặc trưng của môđun lọc………..................................
15
2.3. Điều kiện để một môđun lọc là mơđun Cohen-Macaulay suy rộng.............
20
2.4. Tính chất của mơđun lọc không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng........
23
Kết luận……………...………….......…............................................................
27
Tài liệu tham khảo…….....................................................................................
28


3

Mở đầu
Cho  R, m là vành giao hoán, địa phương, Noether. M là một R 
môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M  d . Năm 1978, N. T. Cường, P.
Schenzel và N. V. Trung [5] lần đầu tiên đưa ra khái niệm dãy chính quy lọc
đối với môđun như sau: Một dãy các phần tử  x1 ,..., xr  của iđêan cực đại m
được gọi là dãy chính quy lọc đối với M (hay cịn gọi là f  dãy của M )
nếu xi �p, p�Ass  M /  x1 ,..., xi 1  M  \  m , với mọi i  1,..., r . Khái niệm
này là một mở rộng trực tiếp của khái niệm dãy chính quy mà ta đã biết từ
lâu. Dãy chính quy lọc ngày càng có nhiều ứng dụng và nó đã chứng tỏ là một
cơng cụ hữu ích trong Đại số giao hốn. Trong luận văn này, dựa vào các tài
liệu tham khảo chúng tôi nghiên cứu lớp mơđun thoả mãn tính chất: Mọi hệ

tham số đều là dãy chính quy lọc. Lớp mơđun này được gọi là mơđun lọc hay
cịn gọi là f  mơđun.
Mơđun Cohen-Macaulay là lớp mơđun quan trọng trong Đại số giao
hốn. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu mọi hệ tham số của M
đều là dãy chính quy. Nếu M là mơđun Cohen-Macaulay thì M là mơđun
lọc. Thậm chí nếu M là mơđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M cũng là
mơđun lọc. Như vậy lớp các môđun lọc chứa thực sự lớp môđun CohenMacaulay suy rộng. Tuy nhiên lớp các môđun lọc vẫn có nhiều tính chất tốt
gần với mơđun Cohen-Macaulay hoặc mơđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Mục đích chính của luận văn này là dựa vào các tài liệu tham khảo mà
chủ yếu là các tài liệu [8] và [10] để trình bày lại các tính chất của mơđun lọc.
Ngồi phần Mở đầu; Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được
chia làm 2 chương.


4

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tơi trình bày
một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hốn có sử dụng trong luận văn. Ngồi
ra chúng tơi cịn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng
minh ở phần sau.
Chương 2: Mơđun lọc. Chương này là nội dung chính của luận văn.
Trong chương này chúng tơi trình bày định nghĩa, một số tính chất và đặc
trưng của mơđun lọc, đồng thời xét mối quan hệ giữa lớp môđun lọc và lớp
mơđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Luận văn được hồn thành vào tháng 11 năm 2010 tại trường Đại học
Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp
này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cơ, người đã hướng dẫn tận
tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cũng nhân dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo trong
khoa Tốn và khoa Sau đại học đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và

hồn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Cao
học khoá 16 - Đại số - Lý thuyết số - Thanh Hoá đã giúp đỡ động viên tác giả
trong suốt q trình học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy
giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 11 năm 2010
Tác giả


5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Vành và môđun địa phương hoá
1.1.1. Vành các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề các
,
,
,
,
R x S ta xét quan hệ hai ngôi:  r , s  :  r , s  � t �S : t  rs  sr   0 . Khi đó

 là quan hệ tương đương trên R x S. Với (r,s)  R x S, ký hiệu r/s là lớp
tương đương chứa (r,s) và S-1R là tập thương của R x S theo quan hệ tương
đương : S-1R = {r/s | r R, s S}.
Trên S-1R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S-1R
trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S.
Mỗi iđêan của vành R có dạng S-1I = {a/s | a I, s S}, trong đó I là iđêan của
I S
R. Ta có S-1I = S-1R �ǹ�


. Do đó S-1I là iđêan thực sự của S-1R khi và

chỉ khi I �S  �.
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó S  R \ p là một tập
nhân đóng của vành R. Vành S-1R trong trường hợp này là vành địa phương,
1
ký hiệu là Rp , với iđêan cực đại duy nhất pRp  S p   a / s a�p, s� R \ p

nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p.
1.1.2. Môđun các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó ta có
vành các thương S-1R. Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi:

 m, s  :

 m , s  � t �S : t  ms  sm   0 . Khi đó  là quan hệ tương đương
,

,

,

,

trên M x S. Do đó M x S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập
thương của M x S theo quan hệ tương đương  là S-1M và ký hiệu lớp tương
đương chứa (m,s) là m/ s. Như vậy S-1 M = { m/ s | m M, s S}.


6


Trên S-1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:

m/ s  m'/ s'   s'm sm' / ss', m/ s; m'/ s' �S1M và r / t.m/ s 
rm/ ts, r / t �S1R, m/ s�S1M . Khi đó S1M có cấu trúc là một S1R môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S. S1M cũng
có thể xem là một R-môđun với phép nhân vô hướng như sau: r.x / s  rx / s,
với mọi r �R, x / s�S1M .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và S  R \ p. Khi đó mơđun

S1M được gọi là mơđun địa phương hố của M tại iđêan nguyên tố p, ký
hiệu là Mp . Như vậy Mp có thể xem như là Rp -mơđun hoặc là R-môđun.

1.2. Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun
1.2.1. Phổ của vành. Ký hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của
vành R. Khi đó Spec R được gọi là phổ của vành R.
Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V (I )   p�SpecR p �I  .
1.2.2. Độ cao của iđêan. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :
p0 �p1 �... �pn được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n .

Cho p�Spec R , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với

p0  p được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht  p . Nghĩa là:
ht  p = sup {độ dài các xích nguyên tố với p0  p}.
Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa:
ht  I   inf  ht  p p�Spec R, p �I  .

1.2.3. Chiều Krull của mô đun. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích
nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R .


7


Cho M là một R  mơđun. Khi đó dim  R / Ann R M  được gọi là chiều Krull
� .
của môđun M , ký hiệu là dim M . Chú ý rằng dim M  dim M



1.2.4. Giá của môđun. Tập con Supp M  p SpecR Mp



0 của Spec R

được gọi là giá của môđun M.
Với mỗi x�M ta ký hiệu
AnnR x   a�R ax  0 ;

AnnR M   a�R aM  0   a�R ax  0, x�M .
Ta có AnnR x và AnnR M (hoặc Ann x và Ann M nếu không để ý đến vành R)
là những iđêan của M. Ann M được gọi là linh hoá tử của môđun M. Hơn nữa
nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

Supp M  V(AnnR M )   p�SpecR p �AnnR M .
Supp M được gọi là catenary nếu cho mỗi cặp iđêan p, q�SuppR M
mà p �q, thì chiều dài tối đa của mỗi chuỗi xích giữa p và q bằng ht p/ q .
Supp M được gọi là đẳng chiều nếu dim R / p= dim R M với mọi
iđêan cực tiểu p�SuppR (M ) .
1.2.5. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) SuppR M là catenary;
(ii) ht p/ q  dimR / q dimR / p với mọi cặp p �q trong SuppR M ;

(iii) dimR / q= dimR / p 1 với mọi cặp

p �q trong

SuppR M

mà

ht p/ q  1;

(iv) dimR / q= dimR / p 1 với mọi cặp p �q trong SuppR M \  m mà
ht p/ q  1.


8

1.3. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R  môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của
R là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương

đương sau được thoả mãn:
(i) Tồn tại phần tử x�M sao cho Ann x = p;
(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R / p .
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R M hoặc
Ass M nếu không để ý đến vành R . Như vậy

AssM   p�SpecR p= Ann x, v�
i x�M .
1.3.2. Mệnh đề. Ass M �Supp M và mọi phần tử tối tiểu của Supp M đều
thuộc Ass M .

1.3.3. Mệnh đề. Nếu M là R  mơđun Noether thì Ass M là tập hợp hữu
hạn.
Ký hiệu Assh R M   p�Ass R M dim R R / p= dim R M  . Khi đó ta có các
định nghĩa.
1.3.4. Định nghĩa. (i) M được gọi là không trộn lẫn (unmixed) nếu Ass R M
 Assh R M .
0
(ii) M được gọi là không trộn lẫn yếu (weak-unmixed) nếu M / Hm(M ) là

không trộn lẫn. Nói cách khác AssR (M ) \  m �AsshR (M ) .
1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic


9

Cho  R, m là một vành địa phương. Ta xét R như một vành tôpô với cơ
sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0,1,2.... Chú ý rằng cơ sở lân
cận của một phần tử tuỳ ý r �R gồm các lớp ghép r  mt với t = 0, 1,2....
� được định nghĩa
Khi đó vành đầy đủ theo tơpơ m adic của R ký hiệu bởi R

bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy
trong R là một dãy  rn  các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự
t
nhiên n0 để rn  rm �m với mọi n, m  n0 .

Dãy  rn  được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự
t
nhiên n0 để rn  0  rn �m với mọi n  n0 .


Hai dãy Cauchy  rn  và  sn  được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu
là  rn  :  sn  nếu dãy  rn  sn  là dãy khơng. Khi đó quan hệ  trên tập các
� là tập các lớp tương
dãy Cauchy là quan hệ tương đương. Ta ký hiệu R

đương của các dãy Cauchy.
Chú ý rằng nếu  rn  và  sn  là các dãy Cauchy thì các dãy  rn  sn  ,

 rn sn 

cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy  rn  sn  ,

 rn sn 

là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

,
,
đương của các dãy  rn  và  sn  , tức là nếu  rn  :  rn  và  sn  :  sn  thì

 rn  sn  :

r

,
n

� được trang bị hai phép toán
 sn,  và  rn sn  :  rn, sn,  . Vì thế R


� lập thành một vành.
hai ngôi + và . đồng thời cùng với hai phép tồn này, R

Mỗi phần tử r �R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà


10

tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa
các vành
�
R � R
r a

 r,

trong đó  r  là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r.
Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

 m M  . Khi đó M�
t

� -mơđun với phép nhân vơ hướng như sau: cho
là một R

� , x   x , x ,... �M
� . Ta có ax   a x ,a x ,... �M
�.
a   a1,a2 ,... �R
1

2
1 1
2 2
1.5. Hệ tham số và hệ tham số thu gọn
1.5.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với
iđêan cực đại duy nhất m; M là một R  môđun hữu hạn sinh có chiều Krull
dim M  d  0 .
(i) Một hệ gồm d phần tử x :  x1 ,..., xd  của m được gọi là hệ tham số của
M nếu l  M /  x1,..., xd  M   �.
(ii) Iđêan sinh bởi một hệ tham số gọi là iđêan tham số.
(iii) Nếu x :  x1 ,..., xd  là một hệ tham số của mơđun M thì hệ các phần tử
x1,..., xi được gọi là một phần của hệ tham số với mọi i = 1,…,d-1.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số cần dùng trong luận
văn.
1.5.2. Mệnh đề. (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của môđun M cũng là
một hệ tham số của M .


11

(ii) Nếu x :  x1 ,..., xd  là một hệ tham số của môđun M và n :  n1 ,..., nd  là
n
n
một bộ gồm d số nguyên dương thì x  n  :  x1 ,..., xd
1

d




cũng là một hệ tham

số của môđun M .
(iii) Nếu

x :  x1 ,..., xd 

là một hệ tham số của mơđun

M

thì

dimM /  x1,..., xi  M  d  i, i  1,...,d .
(iv) Nếu x :  x1 ,..., xd  là một hệ tham số của mơđun M thì x cũng là hệ
� , trong đó M
� là bao đầy đủ m-adic của M .
tham số của M

(v) x :  x1 ,..., xd  là một hệ tham số của M khi và chỉ khi xi �p, p�Ass

 M /  x ,..., x  M 
1

i 1

mà dim R / p  d  i  1, i  1,..., d .

1.5.3. Định nghĩa. Một hệ tham số x :  x1 ,..., xd  của M được gọi là hệ tham
số thu gọn nếu với mọi i=1,…,d ta có xi �p, p�AssM /  x1,..., xi 1  M

m�dimR / p�d  i .
1.6. Dãy chính quy
1.6.1. Định nghĩa. Dãy các phần tử x1,..., xr �m được gọi là dãy chính quy
hay còn gọi là M  dãy nếu các điều kiện sau được thoã mãn:
(i) M /  x1,..., xr  M �0,
(ii)  x1,..., xi 1  M :M xi   x1,..., xi 1  M, i  1,..., r.
Chú ý rằng, nếu R là vành địa phương thì điều kiện (i) luôn được thoả
mãn.
1.6.2. Mệnh đề. Cho x1,..., xr là một dãy các phần tử thuộc m. Các phát biểu
sau là tương đương:
(i)  x1,..., xr  là một dãy chính quy của M ;


12

(ii) Phần tử xi không là ước của 0 trong M /  x1,..., xi 1  M , i  1,...,r ;
(iii) xi �p, p�Ass  M /  x1 ,..., xi 1  M  , i  1,..., r .
Cho I là một iđêan tuỳ ý của R và  x1,..., xr  là một M  dãy trong I .
Khi đó  x1,..., xr  được gọi là dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại
y �I sao cho  x1,..., xr , y là dãy chính quy trong M . Ta biết rằng mọi dãy

chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài. Do đó độ dài
của một dãy chính quy cực đại trong iđêan I được gọi là độ sâu của M đối
với iđêan I, ký hiệu depth I M . Đặc biệt, nếu I  m thì depth m M được gọi
là độ sâu của M và ký hiệu là depth M .
Nếu  x1,..., xr  là một dãy chính quy của M thì nó cũng là một phần hệ
tham số của M . Do đó depth M �dim M .
1.7. Mơđun đối đồng điều địa phương
Cho a là một iđêan của R. Khi đó mơđun đối đồng điều địa phương
H ai ( M ) thứ i của M với giá là a được xác định bởi hàm tử dẫn xuất phải thứ i

i
i
của hàm tử a-xoắn a   : H a ( M ) : R a  M  , trong đó a   được định nghĩa
n
bởi: a  M   nU�0  0 : M a  là một hàm tử khớp trái. Ta có các tính chất sau đây

của môđun đối đồng điều địa phương:
(i) Cho B là một A  đại số phẳng. Khi đó ta có đẳng cấu:
H ai B ( B �A M )  B � A H ai  M  .

Khi a = m và kí hiệu t  depth M , ta có kết quả sau:
(ii) H ai ( M ) là R-môđun Artin với mọi i ��. Hơn nữa H ai ( M )  0 với mọi i  t
hoặc i  t . Đặc biệt H ad ( M ) luôn là vô hạn sinh khi d  0 .


13

1.8. Môđun Cohen-Macaulay
1.8.1. Định nghĩa. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu depth M =
dim M.
1.8.2. Mệnh đề. M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số
của M đều là dãy chính quy của M .
1.8.3. Mệnh đề. Cho M là một R  môđun Cohen-Macaulay khi đó ta có
(i) dim R/p  d , p�Ass R M ;
(ii) Nếu  x1,..., xi  là dãy chính quy của M thì M /  x1,..., xi  M cũng là
môđun Cohen-Macaulay;
(iii) M p là môđun Cohen-Macaulay với mọi p�Supp M .
i
1.8.4. Mệnh đề. M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi Hm  M   0


với mọi i ≠ d.
Cho

x   x1 ,..., xd 

là

một

hệ

tham

số

của

M.

Ký

hiệu

I M  x   l  M / xM   e  x; M  thì I M  x  �0 . Đặt I  M   sup X I M  x  với x chạy

trên tập các hệ tham số của M . Khi đó ta có mệnh đề sau.
1.8.5. Mệnh đề. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay;
(ii)Tồn tại một hệ tham số x   x1 ,..., xd  của M để I M  x   0 ;
(iii) Với mọi hệ tham số x   x1 ,..., xd  của M thì I M  x   0 ;

(iv) I  M   0 .
1.9. Môđun Cohen-Macaulay suy rộng
1.9.1. Định nghĩa. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu
I  M   �.


14

1.9.2. Mệnh đề. M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi
i
lR  H m
( M )   �, i �d .

1.9.3. Mệnh đề. Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì với mỗi phần
hệ tham số  x1,..., xr  của M ta có dim R / p  d  r hoặc p= m, với mọi

p�Ass M /  x1,..., xr  M .

Chương 2. MÔĐUN LỌC
Trong tồn bộ chương này ln giả thiết vành R là giao hốn, địa
phương Noether, M là một R-mơđun hữu hạn sinh với chiều Krull
dimM  d  0.
2.1. Định nghĩa môđun lọc
2.1.1. Định nghĩa. Cho  x1,..., xr  là một dãy các phần tử thuộc iđêan cực đại

m. Khi đó  x1,..., xr  được gọi là một dãy chính quy lọc (hay gọi tắt là
dãy) của M nếu thoả mãn

 x ,..., x  M :
1


i 1

M

f

xi � x1,..., xi 1  M :M  m  , với

mọi i  1, 2,..., r , trong đó

 x ,..., x  M :
1

i 1

M

 m   a�M mn.a �(x1,..., xi 1)M , n�� .

2.1.2. Nhận xét. (i) Cho a là một phần tử của iđêan cực đại m. Các điều
kiện sau là tương đương:
(a) a là phần tử lọc trên M . Nói cách khác: 0:M a  0:M  m  ;
(b) lR  0 : M a   �;
(c) a�p với mọi p�Ass R  M  \  m ;


15

0

(d) 0:M a �H m  M  .

x�
�x
(ii)  x1,..., xr  là dãy chính quy lọc của M khi và chỉ khi � 1 ,..., r �trong
1�
�1

Rp là M p  dãy, p�Supp M \  m

(iii)

 x ,..., x 
1

r

mà x1,..., xr �p.

là dãy chính quy lọc của M nếu xi �p, p� Ass  M /

 x1 ,...., xi 1  M  \  m .
2.1.3. Mệnh đề. (i)  x1,..., xr  là dãy chính quy lọc của M khi và chỉ khi nó
0
là dãy chính quy lọc của mơđun thương M / H m  M  .

(ii) Giả sử  x1,..., xr  là một dãy chính quy lọc của M . Khi đó với mọi n �1
ln tồn tại phần tử y �mn sao cho  x1,..., xr , y là một dãy chính quy lọc
của M .
(iii) Nếu


 x ,..., x 
1

r

là một dãy chính quy lọc của M thì dimM /  x1,

..., xr  M  sup dimM  r;0 .
Chứng minh: (i) là hiển nhiên.
0
(ii) Nếu H m  M   M thì ta chọn tuỳ ý phần tử y �mn .
0
0
0
0
Nếu H m  M  �M thì H m  M / H m  M    0 . Suy ra depth M / H m  M   0 .
0
Do đó tồn tại phần tử y �mn là M / H m  M   chính quy, từ (i) suy ra điều

cần phải chứng minh.
(iii) Trường hợp r = 0 là hiển nhiên vì khi đó dimM /  x1,..., xr  M  sup{
dimM  r; 0} =d .
Với r > 0. Nếu dimM =0 thì dimM /  x1,..., xr  M  sup{dimM  r;0}
0
=0. Nếu dim M  0 thì x1 là phần tử chính quy của M / H m  M  . Khi đó


16


0
Ass M / H m
 M   Ass M \  m , điều này chỉ ra rằng x1 khơng thuộc tất cả

các

iđêan

ngun

tố

tối

tiểu

của

M.

Đặt

M ' : M / x1M thì

dim M '  dim M  1 và chúng ta dễ dàng quy nạp được kết quả sau:

dimM /  x1,..., xr  M  dimM '/  x1,..., xr  M 
 sup{dimM ' (r  1); 0}=sup{dimM  r; 0}.

W


2.1.4. Mệnh đề. Cho M là một R  môđun Noether, nếu  x1,..., xr  là một
phần của hệ tham số của M thì tồn tại  y1,..., yr  là một dãy chính quy lọc
của M sao cho  x1,..., xr  R   y1,..., yr  R .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r .
Với r = 0 thì hiển nhiên đúng. Giả sử r �1 và  x1,..., xr 1  R   y1,...yr 1  R ,
với

 y ,..., y 
1

r 1

là dãy chính quy lọc của M . Bây giờ chúng ta chọn

yr � x1,..., xr  R \ m x1,..., xr  R sao cho yr �p với mọi p�Ass R  M / ( y1 ,

..., yr 1 ) M  \  m . Suy ra  x1,..., xr  R   y1,..., yr  R .

□

2.1.5. Định nghĩa. Một R  môđun hữu hạn sinh M có chiều dương được gọi
là một mơđun lọc hay cịn gọi là f  mơđun nếu mọi hệ tham số của M đều là
dãy chính quy lọc trong M .
Vành địa phương R được gọi là một vành lọc hay cịn gọi là f-vành
nếu R là mơđun lọc trên chính nó.
2.2. Một số tính chất và đặc trưng của môđun lọc
Ta biết rằng x :  x1 ,..., xd  là một hệ tham số của M khi và chỉ khi

x là hệ tham số của M / H m0  M  . Vì vậy từ Mệnh đề 2.1.3 ta có ngay hệ quả

sau.


17

0
2.2.1. Hệ quả. M là môđun lọc khi và chỉ khi M / H m  M  là môđun lọc.

2.2.2. Định lý. Cho M là R  môđun Noether với chiều dim M  d  0 . Các
điều kiện sau là tương đương:
(i) M là môđun lọc;
(ii) Mỗi phần của hệ tham số  x1,..., xr  là không trộn lẫn đến thành phần

m- nguyên sơ, nghĩa là, p�Ass  M /  x1 ,..., xr  M  \  m ta có dim

R / p= d  r ;
(iii)

Với mọi p�Supp M \  m ta có dim R M  dim R / p depth Rp M p ;

(iv) Với mọi p�Supp M \  m ta có dim R M  dim R / p dim Rp M p và

dim Rp M p=depth Rp M p ;
(v) Supp M là catenary, đẳng chiều và M p là môđun Cohen-Macaulay với
mọi p�Supp M \  m .
Chứng minh. (i ) � (ii) Ký hiệu  x1,..., xr  R  x , giả sử tồn tại một phần của
hệ tham số

 x ,..., x 
1


r

sao cho có một phần tử p�Ass R M / xM với

0  dim R / p  d  r . Khi đó chúng ta chọn y �p sao cho x1,..., xr , y cũng là

một phần của hệ tham số. Theo giả thiết (i) ta có xM :

M

y / xM �

�xM : M m/ xM và Ass M / xM �Supp R / yR �Ass M / xM � m
� m . Điều này mâu thuẫn khi p�Ass M / xM �Supp R / yR . Vậy
p�Ass R M /  x1 ,..., xr  M \  m và chúng ta có dim R / p= d  r .
(ii ) � (iii ) Lấy p�Supp R M \  m . Ta chọn số tự nhiên r lớn nhất
sao cho có dãy các phần tử x1,..., xr trong p là một phần của hệ tham số của


18

M. Bởi tính lớn nhất của r nên chúng ta có p�Ass R M /  x1 ,..., xr  M . Từ
điều kiện khơng trộn lẫn ta có
mọi i=1,…,r, nghĩa là

 x1 ,..., xi 1  M p : M

p


xi   x1 ,..., xi 1  M p với

r �depth Rp M p = dim Rp M p . Theo (ii) ta có

dim M  dim R / p+ r . Suy ra dim R / p= dim M  r , kết luận này chính
là điều cần chứng minh.

(iii ) � (ii ) Giả sử (ii) không đúng. Khi đó ta có  x1,..., xr  là một phần
hệ tham số với r nhỏ nhất sao cho điều giả sử là sai tức là tồn tại

p�AssM /  x1 ,..., xr  M \  m mà dimR / p  d  r . Đặt  x1,..., xr  R  x
và p�Ass R M / xM với 0  dim R / p  dim M  r . Do đó r �dim Rp M p .
Từ tính nhỏ nhất của r chúng ta có

x1
x
,..., r là dãy chính quy của M p với
1
1

chiều dài cực đại. Do đó depth Rp M p  r . Suy ra dim R / p= r . Vậy ta có
(ii).

(ii ) � (i) là hiển nhiên do Nhận xét 2.1.2.
Dễ thấy các Mệnh đề (iv) và (v) tương đương với (iii).
Vậy Định lý được chứng minh.

□

Hệ quả sau đây của định lý trên cho ta một ví dụ về môđun lọc.

2.2.3. Hệ quả. Mọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng đều là môđun lọc.
Chứng minh. Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì theo Mệnh đề
1.9.3, M thoả mãn điều kiện (ii) của Định lý 2.2.2. Do đó từ Định lý 2.2.2
suy ra M là f  môđun.

□

2.2.4. Bổ đề. Cho M là một R  môđun Noether và x �m. Giả sử hai điều
kiện sau được thoả mãn:


19

x�q với mọi q�AssR M \  m ;

(i)

(ii) Cho p là phần tử tối tiểu của AssR R /  q' xR với q'�AssR M \  m .
Khi đó p�AssR M / xM .
0
Chứng minh. Cho N : H q'  0 : M q' M �M . Từ

Supp N / xN  Supp

N �V  xR   V  q' �V  xR   V  q'  xR  và p là tối tiểu trong V  q' 
xR  kéo theo p�AssR N / xN . Từ 0 : M / N x  0 suy ra phép nhúng N �M
cảm sinh một đồng cấu: N / xN � M / xM . Do đó p�AssR M / xM , suy
ra điều phải chứng minh.

□


2.2.5. Định lý. Cho M là một R  môđun Noether với dim M  d �1 , các
điều kiện sau là tương đương:
(i) M là môđun lọc;
(ii) Mỗi hệ tham số của M là thu gọn, nghĩa là với mỗi hệ tham số

 x ,..., x 
1

d

ta có xi �p với mọi p�AssR M /  x1,..., xi 1  M mà dim R / p �

d  i với mọi i  1,..., d ;

(iii) Mỗi phần của hệ tham số của M có d-2 phần tử không trộn lẫn đến
thành phần m nguyên sơ.
Chứng minh. (i ) � (ii ) được suy ra từ (ii) của Định lý 2.2.2.

(ii ) � (iii ) là hiển nhiên. Do đó ta chỉ cần chứng minh (iii ) � (i ) .
Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử d �3 . Theo Mệnh đề 2.1.4,
chúng ta chỉ cần chứng minh rằng một phần của hệ tham số  x1,..., xr  của M
là không trộn lẫn đến m nguyên sơ.


20

Phát biểu trên đúng trong trường hợp r  d  2, r  d  1 , do đó chúng ta
giả sử rằng 0 �r �d  3 , thì


 x ,..., x 
1

r

là một phần của hệ tham số của

mơđun M / x1M có chiều bằng d  1 .
Điều kiện (iii) đúng với M / x1M , do đó có thể chứng minh bằng quy
nạp được rằng  x1,..., xr  M là không trộn lẫn đối với thành phần m nguyên
sơ. Để hoàn thành bước quy nạp ta phải chỉ ra rằng điều khẳng định trên cũng
đúng khi

r  0 . Giả sử một iđêan nguyên tố

p�AssR M

với

1  dim R / p d . Sau đó ta chọn một phần tử tham số x của M sao cho

x�q với mọi q�Ass R M \  m . Tiếp theo ta chọn q'�Ass R R /  p xR  với
dim R / q'  dim R /  p xR  

dim R / p 1 . Theo Bổ đề 2.2.4 ta có

q'�Ass M / xM với 0  dim R / q'  d  1 . Điều kiện này chính là giả thiết
quy nạp cho M / xM . Hơn nữa nếu tồn tại một phần tử p�AssR M với

dim R / p  1 , ta chọn một phần tử tham số x của M trong p. Ta có pRp �


AssR Mp và depthR Mp  0. Cho n ? 0 điều này dẫn đến depthR Mp /
p

p

p

xnMp  0 và do đó p�AssR M / xnM , điều kiện này chính là giả thiết quy
nạp cho M / xnM . Vậy phép chứng minh quy nạp được hoàn thành.

□

2.2.6. Mệnh đề. Các phát biểu sau là đúng.
� là một môđun lọc trên vành R
� thì M là mơđun lọc trên vành R .
(i) Nếu M
� là môđun lọc
(ii) Nếu R là vành thương của vành Cohen-Macaulay thì M

� khi và chỉ khi M là môđun lọc trên vành R .
trên R


21

Chứng minh. (i) Giả sử  x1,..., xr  là một phần của hệ tham số của M. Khi đó
� . Từ
nó cũng là một phần của hệ tham số của M


  x ,..., x

r 1

1

�:
M

�
M



xr �M

  x1,..., xr 1  M : M xr ta suy ra (i) được chứng minh.

 

�\ m
� là một iđêan nguyên tố, đặt p:  �R . Vì R là
(ii) Giả sử  �Spec R

� của đồng cấu
vành thương của vành Cohen-Macaulay nên vành k  p �R

� là vành Cohen-Macaulay. Từ
chính tắc Rp � R



�   dim M  dim k  p �R
� ,
dim R�  M
Rp
p

và

�   depth M +depth k  p �R
� ,
depth R�  M
Rp
p

Ta suy ra

�   depth M
�   dim M  depth M .
dim R�  M
�
Rp
p
Rp
p
R

 

� \ m

� là Cohen-Macaulay. Vì � là vành catenary
Từ giả thiết ta có Supp R� M
R
� là đẳng chiều.
nên theo Định lý 2.2.2 ta chỉ cần chứng minh Supp R� M
�  U
� là tối tiểu. Vì Ass � M
Giả sử  �Supp R� M
R
p�Ass

R

M

� / p.R
�
Ass R� R
ta có

� / p.R
� với p   �R là tối tiểu trong Supp M. Vì R là vành thương
 �Ass R� R
� /   dim R
�/p.R
� với mọi
của vành Cohen-Macaulay nên ta có dim R
�/p.R
� . Do dim R/p  dim M suy ra tính đẳng chiều của Supp M
�

 �Ass R� R
�
R
được chứng minh.

□


22

2.3. Điều kiện để một môđun lọc là môđun Cohen-Macaulay suy rộng
2.3.1. Định lý. Giả sử R là ảnh đồng cấu của vành Cohen-Macaulay địa
phương, M là R-môđun Noether với dim M  d �1 . Khi đó M là môđun
Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi M là môđun lọc.
Chứng minh. Nếu M là mơđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M là môđun
lọc (theo Hệ quả 2.2.3).
Nếu M là môđun lọc ta cần chứng minh M là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng. Giả sử B là vành địa phương Gorenstein với iđêan cực đại c mà bao
� của R là vành thương của B. Do R là ảnh đồng cấu của
đầy đủ m- adic R
vành Cohen-Macaulay, giả thiết của Mệnh đề không thay đổi nếu ta thay M

 

i
�
�  M �R R
� và R bởi R
� . Ta có H ci  M   H m
bởi M

� M

 

i
�
và H m
� M 

� . Điều này dẫn đến
H mi  M  �R R

     l  H  M�    l  H  M�    l  H

�
lB Hci M

i
�
m

B

�
R

i
�
m


R

i
m

M

.

Do đó khơng mất tính tổng qt ta giả thiết rằng R là vành địa phương
Gorenstein. Đặt n : dim R , lấy p�Supp M với dim R / p  0 . Giả sử có
j
một số nguyên j sao cho n  d �j �n và p�Supp Ext R  M , R  , p�

Supp Ext iR  M , R  , i  j . Từ tính chất của vành địa phương ta có







HpnRpdimR / pi  Mp   HomRp ExtiRp  Mp, Rp  , I  HomRp ExtiR  M, R p , I
0 v�
i i  j,
�
=�
0 v�
i i  j,
�

trong đó I là bao nội xạ của trường thặng dư Rp / p.Rp của Rp . Do đó

n  dim R / p j  depth M p  dim M p  d  dim R / p .




23

Vì M là mơđun lọc, theo Định lý 2.2.2, (i)  (v) ta có M p là Coheni
Macaulay. Vì vậy j = n – d; nói cách khác Supp Ext R  M , R  � m với mọi
i
i > n – d, điều này có nghĩa là Ext R  M , R  có độ dài hữu hạn với mọi

i  nd .

Do

đó

bởi

tính

đối

ngẫu

địa


phương

ta

có

H mi  M   Hom R  Ext nRi  M , R  , E  (trong đó E là bao nội xạ của trường
i
thặng dư R / m) nên l  H m  M    �, vì vậy M là mơđun Cohen-Macaulay

□

suy rộng.
Từ định lý trên ta có hệ quả sau.
2.3.2. Hệ quả. Các điều kiện sau là tương đương.
� là một R
�  môđun Cohen-Macaulay suy rộng;
(i) M
� là một môđun lọc trên R
� ;
(ii) M

(iii) M là một R  mơđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Chứng minh. Vì mỗi vành đầy dủ là vành thương của một vành chính quy, mà
mỗi vành chính quy là một vành Cohen-Macaulay. Do đó (i)(ii) là hệ quả
hiển nhiên của Định lý 2.3.1.
(i)(iii) là tính chất của mơđun Cohen-Macaulay suy rộng.

□


� ) thì
2.3.3. Hệ quả. Nếu R là vành đầy đủ theo tôpô m adic (tức là R  R
M là môđun lọc khi và chỉ khi M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
2.3.4. Định lý. Cho M là một R  môđun hữu hạn sinh có chiều dương. Khi
đó các diều kiện sau là tương đương:
(i) M là một R  môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii) M là môđun lọc trên R và đẳng thức sau được thoả mãn
� / pR
� = dimR
� /   depth R
� / pR
� ,
dimR
�


R



24

 

�) \ m
� , ở đây p:  �R .
với mọi  �SuppR (M
�

Chứng minh. (i ) � (ii ) Do Hệ quả 2.2.3 nên ta chỉ cần chứng minh nửa sau


 

�) \ m
� và đặt p:  �R . Vì � là Cohencủa (ii). Lấy  �SuppR (M
M
�

� là R
�  môđun lọc. Theo
Macaulay suy rộng nên theo Hệ quả 2.3.2 ta có M
Định lý 2.2.2 ta có

dim R M  dim R / p depth Rp M p và

� 
dim R� M

� /   depth M
� . Vì đồng cấu R � R
� là hồn tồn phẳng nên ta
dim R
�

p

R

có:


�  depth M  depth R
� / pR
� .
depth R� M
�

Rp
p


R


Từ những sự kiện trên ta được

� / pR
�  dim R / p  dim M  depth M
dim R
R
Rp
p
�  depth M
�  depth R
� / pR
�
 dim R� M
�
�




R
R




� /   depth R
� / pR
�.
 dim R
�


R


� là R
�  môđun lọc.
(ii ) � (i ) Do Hệ quả 2.3.2 nên ta chỉ cần chỉ ra rằng M

 

�) \ m
� và đặt p:  �R , khi đó p �m. Từ đồng cấu
Lấy  �SuppR (M
�

� là hoàn toàn phẳng ta có
Rp � R


�  depth M  depth R
� / pR
� .
depth R� M
�

Rp
p


R


Vì

M

là

mơđun

lọc

nên

theo

Định


lý

2.2.2

ta

có

dim R M  dim R / p depth Rp M p . Hơn nữa, bởi giả thiết (ii) ta có
� / pR
�  dim R
� /   depth R
� / pR
� . Kết hợp các cơng thức trên ta có
dim R
�


R



25

�  dim M  dim R / p+ depth M
dim R� M
R
Rp
p
� / pR

� +depth M
� - depth R
� / pR
�
 dim R
�
�





R
R




� /   depth M
� .
 dim R
�

R


� là R
�  môđun lọc. Vậy Định lý được
Vì vậy theo Định lý 2.2.2 ta có M


□

chứng minh.

2.4. Tính chất của những mơđun lọc khơng phải là mơđun CohenMacaulay suy rộng
Trong các tiết trước ta đã thấy rằng mọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng
đều là môđun lọc. Tuy nhiên điều ngược lại không phải khi nào cũng đúng,
nghĩa là tồn tại những môđun lọc không phải là môđun Cohen-Macaulay suy
rộng. Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã trở nên quen biết trong Đại số
giao hoán. Trong tiết này chúng ta sẽ tìm hiểu tính chất của những mơđun là
mơđun lọc không phải là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Các kết quả này
chúng tôi tham khảo từ bài báo [4] của Nguyễn Tự Cường.
Trước hết ta có khái niệm sau.
2.4.1. Định nghĩa. (i) Một phần hệ tham số  x1,..., xj  của M được gọi là
p- dãy nếu tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho

x

n1
1

,..., xin1  M : xin 
i 1

i

  x1n ,..., xin1  M : xin , với mọi n1,...,nj �n0 và i=1,…,j (ở đây ta đặt x0=0).
i 1

1


0

.
(ii) Dãy x1, x2,..., xj được gọi là p- dãy không điều kiện, ký hiệu gọn là updãy, nếu nó là p- dãy với mọi hốn vị thứ tự của dãy đó.
Khái niệm p- dãy và p- dãy không điệu kiện được Nguyễn Tự
Cường đưa ra với mục đích nghiên cứu tính đa thức của hàm độ dài
l  M /(x1n ,..., xdn )M  theo biến n1,...,nd .
1

d