Chơng 1. kiến thức cơ sở
Trong chơng này chúng tôi đa ra một số khái niệm và kết
quả đợc dùng trong chơng 2.
1.1. Vành chính
1.1.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành chính nếu mọi
iđêan của R đều là iđêan chính, tức iđêan đợc sinh bởi một
phần tử.
1.1.2. Ví dụ. Vành các số nguyên  là vành chính.
1.1.3. Mệnh đề. Giả sử là một phần tử khác 0, không
khả nghịch của một vành chính R có phân tích tiêu chuẩn là:
= p1e1 ... pkek . Khi đó
R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ... ⊕ R / Rpkek

1.2. Môđun con xoắn
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử R là miền nguyên, và M là một
R-môđun. Một phần tử x của M đợc gọi là phần tử xoắn nếu
tồn tại một phần tử 0 a R sao cho ax = 0. Tập các phần tử
xoắn của M đợc kí hiệu là (M).
1.2.2. Mệnh đề. Cho R là một miền nguyên và M là một Rmôđun. Khi đó (M) là một môđun con của M.
1.2.3. Định nghĩa. Giả sử M là một môđun trên miền
nguyên R. Tập (M) các phần tử xoắn của M đợc gọi là môđun
con xoắn của M. Nếu (M) = {0M} thì M đợc gọi là môđun
không xoắn. Nếu (M) = M thì M đợc gọi là môđun xoắn.
1.2.4. Mệnh đề. Giả sử R là một miền nguyên và M là một
R-môđun. Khi đó ta có các khẳng định sau:

1


(i) (M) là một R-môđun xoắn.
(ii) M/(M) là một R-môđun không xoắn.

1.3. Cái triệt của môđun.
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun.
(i) Với mỗi x M, ta kí hiệu Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0}.
(ii) C¸c triƯt cđa M , kÝ hiƯu lµ Ann(M) ,lµ tËp tÊt cả
các phần tử a R sao cho ax = 0 víi mäi x ∈ M.
Ann(M) = {a∈R | ax = 0, xM}.
1.4. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp.
1.4.1. Định nghĩa. Cho I là một tập khác rỗng và (M )I là
một họ các R-môđun chỉ số hóa bởi I. Kí hiệu M = I M là tích
đề các của (M)I. Trên M trang bị phép cộng và phép nhân với
vô hớng nh sau:

( x ) I + ( yα ) α∈I = ( xα + yα ) α∈I
a ( xα ) α ∈I = ( axα ) α ∈I
víi mäi a∈R vµ mäi ( xα ) α∈I ; ( yα ) α ∈I ∈ M . Khi ®ã hai phép toán vừa
xác định ở trên làm cho M trở thành một R-môđun, và M đợc
gọi là tích trực tiếp của họ các R-môđun (M )I.
Trong M = ∈I M α ta lÊy ra tËp con ⊕Mα bao gồm tất cả các
phần tử của M với các thành phần bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một
số hữu hạn. Khi đó

M cũng là một R-môđun và đợc gọi là

I

tổng trực tiếp của họ các môđun (M)I.
1.4.2. Chú ý.
(i) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiÖu αΠ∈I M α bëi NI.
2



(ii) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiƯu α⊕∈I M α bëi N(I).
1.4.3. MƯnh ®Ị. Cho R là một vành giao hoán, có đơn
vị, I và J là những tập khác rỗng, (M )I và (N)I là họ các Rmôđun. Khi đó

(

)

HomA M , Π N β ≅
α ∈I

β ∈J

Π

( α , β ) IxJ

HomA ( M , N )

1.4.4. Định lí. Cho R-môđun M và N là một môđun con
của nó. Khi đó nếu N là một hạng tử trực tiếp của M thì
M /N F,

trong đó F là môt môđun con nào đó của M.
1.5. DÃy khớp.
1.5.1. Định nghĩa. Một dÃy đồng cấu các R-môđun
fi
f i+1

...
M i
M i +1
M i + 2
...

đợc gọi lµ mét d·y khíp nÕu Im f i = Ker fi+1, víi mäi i. Mét d·y
khíp cã d¹ng.
f
g
0 
→ M
N
P
0

đợc gọi là một dÃy khớp ngắn.
1.5.2. Định nghĩa (DÃy khớp chẻ ra).
DÃy khớp
f
g
...
M
N
P
...

đợc gọi là chẻ ra tại M nếu Im f=Ker g là một hạng tử trực
tiếp của M. Nếu một dÃy khớp chẻ ra tại mọi môđun không ở hai
đầu mút của dÃy thì ta nói rằng nó chẻ ra.

1.5.3. Định nghĩa (Tập đóng nhân). Cho R là một
vành giao hoán có đơn vị. Một tập con khác rỗng S của A đợc

3


gọi là tập đóng nhân của A nếu 1 S và với mọi a, b S thì
ab S.
1.5.4.

Mệnh

đề.

Cho

dÃy

khớp

các

R-môđun

f
g
N
M
L , và giả sử S là một tập đóng nhân của A. Khi đó


ta có dÃy khớp các S-1R-môđun sau:
s f
s g
S 1 N
S 1M
S 1L .
1

1

1.6. Môđun hữu hạn sinh.
1.6.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun và S là tập
con của R-môđun M. Khi đó giao của tất cả các môđun con
của M chứa S cũng là một môđun con của M. Môđun con này
đợc gọi là môđun con của M sinh bởi S.
Nếu môđun con sinh bởi S của M chính là M thì ta bảo
rằng S là một hƯ sinh cđa M. NÕu M cã hƯ sinh h÷u hạn thì ta
nói M là một môđun hữu hạn sinh. Khi M cã mét hƯ sinh chØ
gåm mét phÇn tư thì M đợc gọi là một môđun đơn sinh, hay
môđun xyclic.
1.7. Môđun tự do.
1.7.1. Định nghĩa. Tập con S của một R-môđun M đợc gọi
là một tập độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức
a1x1 + ... + anxn = 0
với x1, ..., xn S từng đôi một kh¸c nhau, ta rót ra a 1 = ... = an =
0. Nếu trái lại thì S đợc gọi là mét tËp phô thuéc tuyÕn tÝnh.

4



Nếu môđun M có một hệ sinh độc lập tuyến tính thì nó đợc
gọi là một môđun tự do và tập S đợc gọi là một cơ sở của M.
1.7.2. Ví dụ.
(i) Vành R là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở {1}.
Tổng quát hơn, với I lµ mét tËp chØ sè bÊt kú, R (I) lµ một Rmôđun tự do với cơ sở {ei| i I} trong đó ei có thành phần thứ i
bằng 1, các thành phần còn lại bằng 0. Cơ sở này đợc gọi là cơ
sở tự nhiên hay cơ sở chính tắc của A(I).
(ii) Mỗi không gian vectơ trên một trờng K là một K-môđun
tự do vì nó luôn có cơ sở.
(iii) Vành  6 tất cả các lớp số nguyên mod 6 là một môđun.
Tuy nhiên do 6 x = 0 với mọi x  6 nên  6 không có cơ sở nên nó
không là môđun tự do.
(iv) Xét vành R = Â 6 . Gọi M và N lần lợt là các R-môđun con
của R sinh bởi 2 và 3 của R. Hai môđun này không tự do trên R
vì 2.3 = 0 .
1.7.3. Định lý. Nếu M là một R-môđun tự do với cơ sở S
thì M R(S).
1.7.4. Định lý. Một R-môđun là hữu hạn sinh khi và chỉ khi
nó đẳng cấu với một môđun thơng của Rn, với n nguyên dơng
nào đó.
1.7.5. Mệnh đề. DÃy khớp các R-môđun
0
M
N
F
0

là chẻ ra nếu F là môđun tự do.

5



1.7.6. Định nghĩa (Hạng của môđun tự do). Cho M là một
môđun tự do trên vành giao hoán R. Khi đó lực lợng của một cơ
sở của M đợc gọi là hạng của R-môđun M và kí hiệu là r(M).
1.8. Môđun nội xạ.
1.8.1. Định nghĩa. Một R-môđun I đợc gọi là nội xạ nếu
I và mọi đơn cấu
và chỉ nếu với mọi đồng cấu : M '

à : M '
M các R-môđun, đều tồn tại một đồng cấu :M
I

sao cho à = .
1.8.2. Mệnh đề. Nếu I là một R-môđun nội xạ và M ' M là
các R-môđun thì mọi đồng cấu R-môđun từ M đến I đều
mở rộng đợc thành một đồng cấu R-môđun từ M đến I.
1.8.3. Định nghĩa (Nhóm Aben chia đợc). Một nhóm Aben
D đợc gọi là chia đợc nếu với mọi d D và mọi n ≠ 0, tån t¹i c ∈
D sao cho d = nc.
1.8.4. Mệnh đề. Một nhóm Aben là chia đợc nếu và chỉ
nếu nó là một  môđun nội xạ.
1.9. Nguyên lý Zermelo. Mọi tập hợp đều có thể sắp thứ
tự tốt.
1.10. Nguyên lý quy nạp siêu hạn. Giả sử (X, ) là một tập
sắp thứ tự tốt và là một tính chất nào đó đối với các phần tử
của X thỏa mÃn hai điều kiện sau:
(i) Phần tử đầu tiên có tính chất .
(ii) Nếu mọi y ∈ X mµ y < x (x ∈ X) ®Ịu cã tÝnh chÊt τ th×

suy ra x cịng cã tính chất .
Khi đó mọi phần tử của X đều cã tÝnh chÊt τ.

6


1.11. Định nghĩa (Về sự phân tích các môđun).
Một R-môđun M đợc gọi là không phân tích đợc nếu M
không thể biểu diễn đợc dới dạng tổng trực tiếp của hai
môđun con không tầm thờng.
Ta biết rằng mỗi nhóm Aben với phép toán cộng là một Â
môđun, do đó các khái niệm nhóm con xoắn, nhóm xoắn,
nhóm không xoắn... Lớp nhóm Aben, hay các khái niệm hạng
của nhóm Aben tự do, sự phân tích nhóm Aben... đợc hiểu
theo ngôn ngữ Â môđun.

Chơng 2. môđun trên vành chính
7


2.1. Môđun tự do trên vành chính
Ta biết rằng, trên một vành bất kỳ, không phải môđun con
của môđun tự do nào cũng là môđun con tự do. Chẳng hạn,
lấy R = Â 6 thì R là R-môđun con tự do. Xét M là R-môđun con
của R sinh bởi phần tử 2 R thì M không phải là một R-môđun
tự do (xem ví dụ 1.7.2 chơng1).Tuy nhiên trên một vành chính
thì tình hình khác hẳn, bởi mọi môđun con của một môđun
tự do trên vành chính lại là một môđun tự do. Ta có định lý
sau:
2.1. 1. Định lý. Giả sử R là một vành chính, khi đó mọi

môđun con của một R-môđun tự do là một R-môđun tự do.
Chứng minh.Giả sử T là một môđun tự do trên vành chính
R với cơ sở I. Khi đó T đẳng cấu với R-môđun tự do R (I) và theo
nguyên lý Zermelo ta cã thĨ trang bÞ cho I mét thø tù tèt. Bëi
vËy, ta lu«n xem T = R (I) với I là tập sắp thứ tự tốt. Giả sử M là
một môđun con khác môđun con không của T và {e i}iI là cơ
sở tự nhiên của T. Kí hiệu Ti là môđun con sinh bởi {ej}j

i

và

đặt Mi = Ti ∩ M. XÐt c¸c phÐp chiÕu
pi :

R ( I )
R
xi
( xi ) iI

Với mỗi i I ta có pi(Mi) là một iđêan con của R. Do R là vành
chính nên tồn tại ai R ®Ĩ pi(Mi) = Rai. LÊy bi ∈ Mi sao cho pi(bi)
= ai với quy định rằng: nếu a i = 0 thì chọn bi = 0. Khi đó ta
thu đợc một họ {bi}iI.
Sử dụng nguyên lý quy nạp siêu hạn (xem 1.10 chơng 1), ta
chứng tỏ rằng họ {bj}j ≤ i sinh ra Mi víi mäi i ∈ I. Để làm đợc điều
này ta sẽ chứng minh:

8



a) Nếu i0 là phần tử đầu tiên của I thì bi sinh ra M i .
0

0

Rõ ràng < bi > M i . Mặt khác vì bi M i suy ra bi ∈ Ti = < ei >,
0

0

0

0

0

0

0

do đó tồn tại a R sao cho bi = aei .
0

0

Giả sử x< bi >. Khi đó với mäi b∈R th× x≠ b bi = ab ei ∈ Ti nªn x ∉
0

0


0

0

M i0 , suy ra M i0 ⊂ < bi0 >. VËy M i0 sinh bëi bi0 .

b) NÕu mäi k ∈ I mµ k < i (iI) ta có Mk đợc sinh bởi {bj}j

k

thì Mi đợc sinh bởi {bj}j i.
Thật vậy, giả sử x ∈ Mi, khi ®ã ta cã pi(x) = αai, α∈R. Do vậy ta
nhận đợc:
pi(x - bi) = pi(x) pi(bi) = ai - ai = 0.
Thành phần thứ i của phần tử x - bi bằng 0 nên x - bi Mk, với
k>, dÉn ®Õn x∈ <{bj}j ≤ i>, suy ra Mi ⊂ <{bj}j ≤ i>. Do ®ã: Mi =

i

<{bj}j ≤ i>.
VËy Mi = <{bj}j ≤ i> víi mäi i ∈ I.
TiÕp theo ta sÏ chøng minh hä {bi}i∈I sinh ra M. DÔ thấy rằng
với mỗi y M, đều tồn tại số tự nhiên m sao cho y có thể viết
đợc dới d¹ng:
y = α1ei1 + α 2 ei2 + .... + α m eim víi i1 < i2 < ... < im.

Do đó y Ti và vì thế y M i ⊂ < { bi } i∈I >
m

m

VËy M =< { bi } i∈I > .

9


§Ỉt I ' = { i ∈ I bi ≠ 0} thì họ {bi}iI cũng là một hệ sinh của M. Ta
cần chứng minh họ này độc lập tuyến tính. Thật vậy giả sử
ngợc lại, khi đó tồn tại một tỉ hỵp tun tÝnh
α1bi1 + α 2bi2 + .... + α mbim = 0 víi i1 < i2 < ... < im thuộc I và m 0 .

Tác động phép chiếu pi vào tổ hợp tuyến tính này ta đợc:
m

m

pim j bi j ' ÷ = α m ai m = 0 .
 j =1


Do R là một miền nguyên và m 0 nên ai = 0 , dẫn đến bi = 0
m

m

(mâu thuẫn). Vậy {bi}iI lập thành một cơ sở của M và do đó
M là một R-môđun tự do.
2.1.2. Định lý: Giả sử T là một môđun tự do trên một vành

chính R và M là một môđun con của T có hạn hữu hạn n. Khi
đó tồn tại n phÇn tư α1 , α 2 ,..., α n cđa R và một cơ sở của T chứa n
phần tử e1, e2, ... , en sao cho:
(i)

các phần tử e11, e22, ... , enn lập thành một cơ sở của

M.
(ii) α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, ... , n-1.
Chøng minh. NÕu M = 0 thì kết quả tầm thờng, ta sẽ chứng
minh định lý với M 0.
Gọi I là một cơ sở cña R, ta xem T = R (I). Gäi F là tập hợp các
ánh xạ tuyến tính từ T vào R. Khi đó ta nhận đợc tập hợp các
iđêan {f(M) | f ∈ F} cđa R. Gi¶ sư f 1(M) là một phần tử tối đại
của tập này. Vì R là vành chính nên tồn tại phần tử khác không
1 ∈ R sao cho f1(M) = α1 . Víi g ∈ F, ta sÏ chØ ra r»ng g (u ) ∈ Rα1 .

10


Thật vậy, đặt g(u) = và giả sử R1 + R = R , khi đó tồn
tại , à R sao cho λα1 + µβ = γ . XÐt dạng tuyến tính f = f1 +
àg, ta có:
f(u) = λf1(u) + µg(u) = λα1 + µβ = γ ∈ f(M).
Tõ ®ã suy ra f(M) ⊇ Rγ ⊇ Rα1. Do tính tối đại của R1 nên f(M)
= R1.
Do đó R1 = R . Điều này dẫn đến R1.
R ta ®Ịu cã g (u ) ∈ Rα1 .

VËy mäi dạng tuyến tính g: T

áp dụng kết quả vừa rồi vào các phép chiếu
pi: T = R(I)

R

(xi)i I

xi

Ta có pi(u) ∈ Rα1 víi mäi i ∈ I. Suy ra c¸c tọa độ của u là bội của
1.
Giả sử u = (1i) i I = 1(i) i I. Đặt e1 = (εi) i∈ I, ta cã:
u = α1e1 vµ α1 = f1(u) = 1 .f1(e1).
Vì R là một miền nguyên nên suy ra f 1(e1) =1. Đặt T1 = f11 (0) , ta
sÏ chøng minh:
a) T = Re1 ⊕ T1.
Gi¶ sư x ∈Re1 ∩ T1. Khi ®ã x ∈ T1 = f11 (0) nên f1(x) = 0. Từ đó
suy ra x = 0, tức là Re1 T1 = {0} (1).
Bây giờ viết mỗi x T dới dạng
x = f1(x). e1 + (x - f1(x). e1). Ta cã f1(x). e1 Re1.
Mặt khác từ

11


f1(x - f1(x). e1) = f1(x) - f1(x). f1(e1) = f1(x) - f1(x) =
0,
x - f1(x). e1 ∈ T1.

ta rót ra

VËy T = Re1 ⊕ T1 (2).
Tõ (1) vµ (2) ta cã T = Re1 ⊕ T1.
b) M = Rα1e1 ⊕ M1 víi M1 = M ∩ T1.
Tríc hÕt v× Re1 ∩ T1 = {0} nªn Rα1e1 ∩ T1 = {0}. Mặt khác,
với x M, thì f1(x) f1(M) = Rα1, nªn f1(x) = λα1 víi λ ∈ R nào
đó. Ta viết mỗi x M dới dạng:
x = f1(x). e1 + (x - f1(x). e1) = λα1 e1+ x - λα1 e1.

Ta cã λα1e1 ∈ Rα1e1, vµ do x ∈ M, u = α1 e1 ∈ M nªn x 1 e1
M. Hơn nữa
f1(x - 1e1) = f1(x) - λα1f1(e1) = λα1 - λα1 = 0
nªn suy ra x-λα1e1∈ T1.
Tõ ®ã ta cã: x - λα1 e1 ∈ M ∩ T1 = M1.
VËy M = Rα1e1⊕ M1.
B©y giờ giả sử g: T

R là một ánh xạ tuyến tÝnh tïy ý, ta

cÇn chøng minh r»ng:
c) g(M1) ⊆ Rα1
ThËt vậy, giả sử g(M1) R1, ta chọn ánh xạ tuyÕn tÝnh:
h: T = Re1 ⊕ T1

R

sao cho trïng víi f1 trên Re1 và trùng với g trên T1, thì:
h(M) = h(Rα1e1⊕ M1) = Rα1 + g(M1) ⊇ Rα1.

12


Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của iđêan R1. Vậy (c) đợc
chứng minh.
Trên đây ta đà xác định đợc phần tử 1 và e1, đồng thời
có đợc các tổng trực tiếp (a) và (b). Bây giờ ta sẽ chứng minh
định lý bằng quy nạp theo hạng của M.
Giả sử định lý đúng với n -1. Vì T 1 là một môđun tự do, M 1
là một môđun con của T1 có hạng n 1, nên theo giả thiết quy
nạp, tồn tại n 1 phần tử 2, ...., n của R và một cơ sở B 1 cđa T1
chøa n – 1 phÇn tư e2, ...., en sao cho {2e2, ... , nen} là một cơ
sở của M1, ®ång thêi α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 2, ... , n-1. Tõ (a)
ta có: {1e1, 2e2, ... , nen} là một cơ sở cđa M vµ tõ (b) ta cã B
= B1 ∪ { e1} là một cơ sở của T. Để kết thóc ta cÇn chøng minh
α1 chia hÕt α2.
ThËt vËy, xÐt ánh xạ tuyến tính g: T

R sao cho trên tập

cơ sở B của T thì g(e 2)= 1 và g(e) = 0 với mọi e B \ {e2}. Ta
đợc g(M1) = Rα2. VËy theo (c) ta cã Rα2 ⊆ R1, suy ra 1 chia hết
2. Định lý đợc chứng minh.
2.1.3. Mệnh đề. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị
và mọi i đêan của R đều là một mô đun con tự do của R. Khi
đó vành R là một vành chính.
Chứng minh. Giả sử I là một i đêan tùy ý của R. Với mọi phần
tử a, b∈I, a≠0, b≠0, ta cã ab = ba hay ab ba = 0. Suy ra hai
phần tử khác 0 bÊt kú cđa I ®Ịu phơ thc tun tÝnh. Vì vậy
mỗi cơ sở của I không thể có quá một phần tử. Do đó I là

iđêan chính. Vậy mọi i đêan của vành R đều là iđêan chính
nên để chứng minh R là vành chính ta chỉ cần chỉ ra R là
một miền nguyên.

13


Thật vậy, lấy a là một phần tử khác 0 tùy ý của R. Vì iđêan
<a> là một R- môđun tự do nên tập {a} độc lập tuyến tính.
Tức là Ann(a) = 0. Từ đó suy ra R không có ớc của 0. Do đó R là
một miền nguyên. Vậy R là vành chính.
2.2. Môđun hữu hạn sinh trên vành chính
Trong mục này, ta sẽ xem xét các kết quả về môđun hữu
hạn sinh trên vành chính. Trớc hết ta có định lý sau đây mà
thực chất có thể xem nh một hệ quả của định lý 2.1.1.
2.2.1. Định lý. Cho M là một môđun sinh bởi n phần tử
trên vành chính R. Khi đó mọi môđun con của M đều có một
hệ sinh chứa không quá n phần tử.
Chứng minh. Giả sử {x1, ..., xn} là một hệ sinh của M. Khi
đó dễ thấy ánh xạ
f : R n 
→M
n

cho bëi ( a1 ,..., an ) a ∑ ai xi là một toàn cấu R-môđun. Nếu N là một
i =1

môđun con của M thì B = f -1(N) là một môđun con của R n. Do
R là vành chính nên B là một R-môđun tự do hạng s n. Nếu
lấy {y1, ..., ys} là một cơ sở của B thì rõ ràng {f(y 1), ..., f(ys)} là

một hệ sinh cđa N. Do ®ã N cã mét hƯ sinh chứa không quá n
phần tử.
2.2.2. Hệ quả. Trên một vành chính mọi môđun con của
môđun xyclic là môđun xyclic.
Nhớ lại rằng mỗi nhóm Aben với phép toán cộng là một Â
môđun. Hơn nữa vành các số nguyên  là vành chính, do đó
từ định lý 2.1.1, 2.1.2 và 2.2.1 ta có ngay hệ quả sau đây.

14


2.2.3. Hệ quả. Cho F là một nhóm Aben tự do hạng n. Khi
đó mỗi nhóm con G của F đều là một nhóm Aben tự do hạng
r(G) = m n. Hơn nữa tồn tại một cơ sở S = {u 1, ..., un} của F
và một cơ sở T = {v 1, ..., vm} cña G sao cho v i = tiui víi i = 1,
2, ..., m; trong đó t1, ..., tm là những số nguyên dơng tháa m·n ti
chia hÕt ti+1 víi mäi i = 1,..., m-1.
2.2.4. Định lý. Giả sử M là một môđun hữu hạn sinh trên
một vành chính R. Thế thì M đẳng cấu với một R-môđun
dạng
R/ R1 ... R/ Rn,
trong ®ã α1, α2, ... , αn thuéc R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2,
... , n-1.
Chøng minh: Gi¶ sư M cã mét hệ sinh gồm n phần tử. Khi
đó ta có M

Rn/N (theo định lý 1.7.4, chơng 1) với N là một

môđun con nào đó của Rn. Vì Rn cũng là R-môđun tự do nên
theo định lý 2.1.2 tồn tại một c¬ së {e 1, e2, ... , en} cđa Rn và m

phần tử 1, 2, ... , m của R víi m ≤ n sao cho {α1e1, α2e2, ... ,
αmem} lập thành một cơ sở của N và i chia hÕt α i +1 víi mäi i =
1, 2, ... , m-1. Ta đặt m + 1 = ... = αn = 0. Khi ®ã:
M ≅ Rn/N ≅ Re1/Rα1e1⊕ ... ⊕ Ren/ Rαnen
≅ R/Rα1⊕ ... ⊕ R/ Rαn .
Tõ định lý 2.2.4 ta lập tức suy ra hệ quả sau đây giúp ta
quy bài toán phân loại môđun hữu hạn sinh trên vành chính về
bài toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh.

15


2.2.5. Hệ quả: Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên
một vành chính R. Khi đó:
(i) M = (M) F với (M) là môđun con xoắn của M và F là
một môđun tự do.
(ii) M là một môđun tự do nếu và chỉ nếu M không xoắn.
Chứng minh: Từ hệ quả 2.2.4, ta suy ra nếu M là một
môđun hữu hạn sinh trên vành chính R thì M phân tích đợc
thành tổng trực tiếp của các môđun con xyclic
M = M1 ⊕ M2 ⊕ .... ⊕ Mn,
trong ®ã Mi ≅ R/R α i víi α1, α2, ... , αn ∈ R vµ α i chia hÕt α i +1 víi
mäi i = 1, 2, ... , n-1. DƠ thấy rằng tổng trực tiếp của những
hạng tử Mi ứng với i 0 chính là môđun con xoắn (M) của M,
còn tổng trực tiếp của những hạng tử M i øng víi α i = 0 cho ta
mét môđun con tự do của M. Do đó (i) đợc chứng minh.
Từ (i) ta thấy nếu M không xoắn, tức (M) = 0, thì M = F là
môđun tự do. Ngợc lại, vì M là môđun tự do hữu hạn sinh nên
M có một cơ sở hữu hạn, giả sử là {1, 2, ... , n}. Khi đó, mọi x
∈ τ(M), tån t¹i a ∈ R, a ≠ 0 sao cho ax = 0. Gi¶ sư x ≠ 0, ta cã:

0 = ax = a(x1λ1 + x2λ2 + ... + xn λn)
Suy ra x1 = x2 = ... = xn = 0 hay x = 0 m©u thn víi giả sử x
0.
Vậy (M) = {0}. Hệ quả đợc chứng minh.
Từ hệ quả 2.2.5, ta thu đợc một số hệ quả sau:
2.2.6. Hệ quả. Một môđun trên vành chính có hạng bằng
0 nếu và chỉ nếu nó là một môđun xoắn.

16


2.2.7. Hệ quả. Nếu X là một nhóm Aben hữu hạn sinh
thì:
(i) X = (X) F, trong đó F lµ mét nhãm con Aben tù do cđa
X.
(ii) X lµ mét nhãm Aben tù do nÕu vµ chØ nÕu τ(X) = 0.
2.2.8. Định lý. Cho R là một vành chính, M là một Rmôđun hữu hạn sinh và N là một môđun con của M. Khi đó M
vàN có cùng hạng nếu và chỉ nếu M|N là một môđun xoắn.
Để chứng minh định lý 2.2.8. ta cần bổ đề sau

2.2.8.1. Bổ đề.
Cho R là vành giao hoán. M, N, P là các môđun tự do trên
vành R. Khi đó nếu có dÃy khớp ngắn các R-môđun
0
N
M
P
0

thì r(M) = r(N) + r(P).

Chứng minh. Giả sử có dÃy khớp ngắn các R-môđun tự do
0
N
M
P
0 .

Do P là môđun tự do nên theo mệnh đề 1.7.5, chơng 1, dÃy
khớp trên chẻ ra. Điều này có nghĩa là M N P. Giả sử N, P là
những R-môđun tự do có hạng lần lợt là lực lợng của các tập hợp
rời nhau I và J. Khi đó theo 1.7.3, N A(I) và P A(J) nên
M N P A(I) A(J) A(IJ).
Vì vậy hạng của M là lực lợng của tập I J. Do ®ã r(M) = r(N) +
r(P).

17


Ta cịng cã thĨ lËp ln nh sau: NÕu N và P lần lợt có cơ sở
là (xi)iI và (yj)jJ thì N P có cơ sở là {(xi,0) | i∈I} ∪ {(0,yj) |
j∈I}.
Do ®ã ta cã r(M) = r(N) + r(P).
Chứng minh định lý 2.2.8. Trớc hết ta sẽ chứng minh rằng
nếu N là một R-môđun con của M thì
r(M) = r(N) + r(M/N).
Thật vậy, kí hiệu S là tập các phần tử không là ớc của 0
trong R. Xét dÃy khớp ngắn các R-môđun
0
N
M

M / N
0 ,

bởi mệnh đề 1.5.4, chơng 1, từ dÃy khớp trên ta thu đợc dÃy
khớp ngắn các

S-1R-môđun sau:

0
S 1 N
S 1M
S −1 ( M / N ) 
→0

Do M, N, M|N là những môđun có hạng nên S-1M, S-1N, S-1(M|N)
là các S-1R-môđun tự do. Khi đó theo bổ đề 2.2.8.1, ta cã:
r(S-1M) = r(S-1N) + r(S-1(M/N)).
Do ®ã r(M) = r(N) + r(M/N).
Từ đó suy ra r(M) = r(N) nếu và chỉ nếu r(M/N) = 0, và theo
hệ quả 2.2.6, ta có ngay M/N là một môđun xoắn.

2.2.9. Định nghĩa. Giả sử M là một môđun xoắn hữu hạn
sinh trên vành chính R. Với mỗi x M, tập Ann(x) = {a R| ax =
0} là một iđêan khác 0 của R. Vì R là một vành chính, tồn tại
phần tö α 0∈ R, α ≠ 0 sao cho Ann(x) = R . Phần tử xác định duy
nhất, sai khác một nhân tử khả nghịch, đợc gọi là cÊp cđa x
,kÝ hiƯu 0(x).

18

Cũng vì R là một vành chính, tồn tại duy nhất ,sai kac một
nhân tử khả nghịch ,một phần tử khác không R sao cho
Ann(M) = R . Ta gäi β lµ sè mị cđa M vµ kÝ hiệu là exp(M).
2.2.10. Nhận xét. Từ định nghĩa 2.2.9, ta dƠ dµng nhËn
thÊy
(i) Sè mị cđa M chia hÕt cho cấp của mọi phần tử của nó.
(ii) Nếu M là một môđun xyclic sinh bởi phần tử x thì
exp(M) = 0(x).
2.2.11. Định lý. Cho R là một vành chính và M 1, M2 là
những môđun xyclic trên vành R với các số mũ lần lợt là , . Khi
đó M1M2 là một R-môđun xyclic nếu và chỉ nếu và
nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh. Giả sử M1 đợc sinh bởi phần tử x. Khi đó M 1 =
Rx và tõ nhËn xÐt 2.2.10, ta cã Ann(x) = Ann(M1) = <α> = Rα.
XÐt toµn cÊu
f : R 
→ M1

cho bëi f(a) = ax víi mäi a ∈ R. Ta thÊy Ker f = Ann(x) = R , do
đó theo định lý đồng cấu cảm sinh ta có M 1 R/Rα.
T¬ng tù M2 ≅ R/R β . Bëi vËy ta chỉ cần chứng minh rằng R/R
R/R là một R-môđun xyclic nếu và chỉ nếu và nguyên tố
cùng nhau.
Thật vậy, nếu và nguyên tố cùng nhau thì với định lý Trung
Hoa về d ta có: R/R R/R R/R là một R-môđun xyclic.
Để chứng minh điều ngợc lại, giả sử rằng R/R R/R là một
R môđun xyclic với phần tử sinh lµ (a+R α , b + R β ). Khi đó tồn
tại s R sao cho

19


s(a+R α , b + R β ) = (1+R α , 0 + R β )
do vËy sa = 1 + t với tR nào đó. Điều này chứng tỏ a và
nguyên tố cùng nhau. Mặt khác, vì sbR nên ta suy ra | sb,
do đó | s. Thay s = u (uR) vào đẳng thức sa = 1 + t ta
đợc 1 = (au) - t.
Vậy và nguyên tố cùng nhau.
2.2.12. Mệnh ®Ị. Cho R lµ mét vµnh chÝnh vµ M lµ một
R-môđun xyclic với số mũ . Khi đó M là một R|R mô đun tự
do.
Chứng minh. Lập luận tơng tù 2.2.11 ta cã M ≅ R/R α .
Do ®ã M là một R/R -môđun tự do.
2.2.13. Định lý.Mỗi môđun xoắn hữu hạn sinh M trên một
vành chính R ®Ịu cã ph©n tÝch
M = M1 ⊕ M2 ⊕ .... Mn,
trong đó mỗi Mi là một môđun con xyclic cã sè mị exp(M i) =
pi ei lµ lịy thõa của một phần tử bất khả quy pi

R.

Chứng minh.Từ định lý 2.2.4 ta có nếu M là một môđun
hữu hạn sinh trên vành chính R thì M đẳng cấu với một Rmôđun dạng
R / R1 R / R 2 ⊕ ... ⊕ R / Rα n

trong ®ã α1, α2, ... , αn ∈ R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, ... ,
n-1. Kết hợp điều này với mệnh đề 1.1.3 chơng 1, ta suy ra
ngay điều phải chứng minh.
Có thể chứng minh rằng các môđun con xyclic Mi xuất hiện

trong phân tích của M cho bởi định lý 2.2.13 là duy nhất
(xem định lý 2.2.3). Bây giờ ta sẽ chứng minh dạng này của M
20


là duy nhất. Để đơn giản, trong khuôn khổ của khóa luận
này,ta sẽ xét bài toán trong trờng hợp M có số mũ là lũy thừa của
một phần tử bất khả quy.
2.2.14. Định nghĩa. Cho R là một vành chính. Với mỗi
phần tử bất khả quy p R, ta kí hiệu Cp(M) là tập các phần tử
của M có cấp là một lũy thừa của p.
Ta có định lý sau:
2.2.15. Định lý. Cho M là một môđun xoắn hữu hạn sinh
trên vành chính R với số mũ exp(M) = có phân tích tiêu
chuẩn = p1e . p2e ... pke . Khi ®ã
1

k

2

M = C p1 ( M ) ⊕ ... ⊕ C pk ( M ) ,
e
trong ®ã exp ( C p ( M ) ) = p víi mäi i = 1, 2, ... , k.
i

i

i

H¬n nữa phân tích dạng này của M là duy nhất nếu không
kể đến thứ tự hạng tử.
Chứng minh. Dễ thấy rằng trong phân tích của M cho bởi
định lý 2.2.13, Cp(M) chính là tổng trực tiếp của những hạng
tử Mi mà pi liên kết với p. Nh vậy, M phân tích đợc thành tổng
trực tiếp của những môđun con dạng C p(M) với p là một phần tử
bất khả quy của R, do đó M luôn có thể viết đợc díi d¹ng
M = C p1 ( M ) ⊕ ... C pk ( M ) .

Bây giờ giả sử M còn có phân tích M = Cq ( M ) ⊕ ... ⊕ Cq ( M )
1

l

trong ®ã qj là những phần tử bất khả quy của R, đôi một
e'
không liên kết và exp ( Cq ( M ) ) = q , víi j = 1, 2, ... , l. Khi ®ã ta cã:
j

j

j

l

l

j =1

j =1

Rα = Ann( M ) = I Ann(Cq j ( M )) = I Rq j j = Rq1e '1 ...qle 'l

21

e'


Suy ra α = v.q1e ' ...qle ' víi v | 1. Từ đây nhận thấy đợc k = l, và
1

l

đánh số lại nếu cần thiết, pi liên kết với qi víi mäi i = 1, 2, .... , k.
Do ®ã C p ( M ) = Cq ( M ) vµ ei = e’i víi mäi i = 1, 2, ..., k. Điều này
i

i

chứng tỏ dạng phân tích của M là tồn tại duy nhất. Định lý đÃ
đợc chứng minh.
2.3. Một số kết quả khác
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu thêm một số kết quả liên
quan đến nội dung ë c¸c mơc tríc nh»m soi s¸ng cho c¸c lý
thuyết đó.
2.3.1. Mệnh đề. Hệ quả 2.2.7 (i) không còn đúng khi bỏ đi
giả thiết hữu hạn sinh.
Chứng minh. Đặt M = pP Â p và N = pP Â p , trớc tiên ta sẽ chứng
minh rằng N chính là môđun con xoắn của  -môđun M.
Thật vËy, nÕu ( a p ) p∈P ∈τ ( M ) thì có số nguyên dơng n sao cho

n ( ap )

pP

= 0 , tức là nap =0 trong  P víi mäi p ∈P. V× (n, p) = 1 với

mọi p>n nên từ đó suy ra ap=0 với mọi p>n. Nh vậy phần tử

(a )
p

pP

chỉ có hữu hạn thành phần khác 0, nghĩa là ( a p ) pP N .

Đảo lại, giả sử ( a p ) pP N , khi đó có tập con hữu h¹n J ⊂ P sao cho
ap =0 víi mäi p J. Đặt N = pJ p thì dẽ thÊy r»ng n ( a p ) p∈P = 0 . Do
®ã ( a p ) p∈P ∈τ ( M ) .
VËy τ ( M ) = N
B©y giê ta sẽ chứng tỏ hệ quả 2.2.7 (i) không còn đúng khi
bỏ đi giả thiết hữu hạn sinh bằng cách chỉ ra r»ng N kh«ng

22


phải hạng tử trực tiếp của M. Để thực hiện điều này, ta sẽ lần lợt chứng minh
Hom  ( Ô , M) =0 và Hom  ( Ô , M/N) 0 trong đó Ô là tập hợp

các số hữu tỉ.
Giả sử p là một số nguyên tố tùy ý, với mọi f Hom  ( Ô ,  ) và mọi

r Ô , ta có:
f(r) = f (p(r|p))=p.f (r|p) = 0.
Từ đó suy ra Hom  ( Ô ,  p) = 0. Theo mệnh đề1.4.2 chơng 1 ta
có
Hom  ( Ô ,M) pP Hom  ( Ô ,  p) = 0.

Để chứng minh Hom  ( Ô , M/N)0, trớc tiên ta chỉ ra rằng M/N
là một nhóm Aben chia đợc. Thật vậy, giả sử n là một số nguyên
khác 0 và (ap)pP+N là một phần tử tùy ý của M/N. Với mỗi p> n ,
vì ảnh của n trong  p là khả nghịch nên tồn tại bp  p sao cho
ap=nbp.
Đặt bp=0 với p n khi đó (ap)pP và n(bp)pP là hai phần tử của M
chỉ có hữu hạn thành phần khác nhau, do vậy
(ap)pP +N=n[(bp)pP+N].
Điều này chứng tỏ M/N là một nhóm Aben chia đợc. Theo mệnh
đề 1.8.4 chơng 1, M/N là một  -môđun nội xạ. Với mỗi pP và
mỗi n  , kí hiệu n p là ảnh của n trong  p. Xét ánh xạ:
g :Â M / N
na

(n )
p

p∈P

23

+N

Rõ ràng g là một  đồng cấu khác 0. Vì M/N là một  -môđun
nội xạ nên theo mệnh ®Ị 1.8.2 ch¬ng 1 g cã thĨ më réng
→ M / N . Nh vậy Hom  ( Ô , M/N)0.
thành một đồng cấu g1 : Ô

Bây giờ nếu N là một hạng tử trực tiếp của M thì M/N
đẳng cấu với một môđun con của M (xem 1.4.3 chơng 1). Do
vậy tồn tại đơn cấu
h : M / N
M .

Khi đó dễ thấy rằng đồng cấu cảm sinh
h* : Hom ( Ô , M / N ) Hom ( Ô , M )
f a hf

cũng là một đơn cấu, nhng điều này là không thể, vì nh ta
vừa chứng minh ở trên, Hom  ( Ô ,M) = 0 và Hom  ( Ô ,M/N) 0.

2.3.2. Mệnh đề. Cho R là một vành chính, khi đó:
(i) R là một R-môđun không phân tích đợc.
(ii) Trờng các thơng của R cũng là một R-môđun không
phân tích đợc.
(iii) Nếu p là một phần tử bất khả quy của R và e là một số
nguyên dơng thì R-môđun R|Rpe là không phân tích đợc. Và
ngợc lại, nếu một R môđun xyclic là không phân tích đợc, thì
số mũ của nó liên kết với lũy thừa của một phần tử bất khả quy
của R.
Chứng minh.
(i) Giả sử có phân tÝch R = X ⊕ Y víi X, Y lµ những môđun
con không tầm thờng của R. Khi đó tìm đợc các phần tử khác

24


không xX và yY. Ta có xyXY, vì R là mét miỊn nguyªn nªn
xy ≠ 0 suy ra X∩Y ≠ {0}, mâu thuẫn.
(ii) Giả sử trờng các thơng F của R cã ph©n tÝch F= X ⊕ Y,
víi X, Y là những môđun con không tầm thờng của F. Chọn các
phần tử khác không a/bX và c/dY khi đó 0 ac =(bc).
(a/b)=(ad).(c/d)XY. Suy ra XY{0}, mâu thuẫn.
(iii) Giả sử ta cã ph©n tÝch R/Rp e= X ⊕ Y víi X, Y là những Rmôđun con không tầm thờng của R/Rpe. Khi đó rõ ràng X, Y
cũng là những iđêan của vành thơng R/Rpe. Vì R là một vành
chính nên X, Y là những R-môđun xyclic.
Giả sử a và b là hai phần tử của R sao cho ảnh của chúng trong
R/Rpe lần lợt sinh ra X và Y. Viết a=ps.a1, b =pt.b1 với
(a1,p)=(b1,p)=1. Khi đó dễ thấy ảnh của p s và pt trong R/Rpe tơng ứng là phần tử sinh của X và Y. Bây giờ tùy theo s≤ t hay
s>t mµ ta cã X⊇Y hay X⊂Y. Nh vậy không thể có XY={0}, do
X, Y là những môđun con không tầm thờng. Ta gặp mâu
thuẫn. Vậy R/Rpe là R-môđun không phân tích đợc.
Để chứng minh khẳng định cuối cùng, giả sử M là một Rmôđun xyclic không phân tích đợc với số mũ exp(M) = 0.Khi
đó dễ thấy M R/R (xem chứng minh định lý 2.2.11). Giả sử
= u. p1e1 ... pkek là phân tích tiêu chuẩn của thành tích của các

nhân tử bất khả quy. Bởi mệnh đề 1.1.3 chơng 1, ta có
R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ... ⊕ R / Rpkek .

Vì M không phân tích đợc nên phải có k =1, và do đó liên
kết với p1e .
1

25