1

Tran
g

1
2
3
6
1.1. Khái niệm về một số lớp môđun
6
1.2. Các khái niệm về tổng trực tiếp và sự phân tích 7
MC LC
DANH MC CC Kí HIU
M U
Chơng 1. CáC KHáI NIệM Mở ĐầU

của các môđun

Chơng 2. MÔĐUN TựA LIÊN TụC

9
2.1. Môđun tựa liên tục
9
2.2. Một số tính chất của môđun tựa liên tục
16
Chơng 3. Sự PHÂN TíCH CủA CáC MÔĐUN TựA LIÊN TụC
24
3.1. Sự phân tích ca cỏc môđun tựa liên tục thành tổng 24
trực tiếp các môđun con không phân tích ợc
3.2. Sự phân tích ca cỏc môđun tựa liên tục thành tổng 29

trực tiếp của các môđun con hữu hạn trực tiếp và vô
hạn thuần túy trực giao
kếT LUậN
TàI LIƯU THAM KH¶O

Mơc lơc

32
33


2

Danh mục các ký hiệu
N M : N là môđun con của môđun M.
N

e M: N là môđun con cốt yếu của môđun M.

K M: K là hạng tử trực tiếp của môđun M.
M
iI i : Tổng trực tiếp các môđun Mi.
E(M): Bao nội xạ của môđun M.
: Vành các số nguyên.

Mở đầu


3


Có hai hớng chính để nghiên cứu lý thuyết vành. Hớng
thứ nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các
iđêan và hớng thứ hai là đặc trng vành qua tính chất của
một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng. Theo hớng
thứ hai, lớp môđun nội xạ là một trong hai cột trụ trong nghiên
cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Vì thế lớp môđun
này có rất nhiều sự mở rộng. Một trong những sự mở rộng
đó là môđun liên tục và môđun tựa liên tục.
Những môđun liên tục, tựa liên tục đà đợc nghiên cứu
bởi nhiều tác giả và phát triển thành mét lý thut phong
phó víi nhiỊu vÊn ®Ị hÊp dÉn và các ứng dụng của nó đang
còn cần tiếp tục nghiên cứu. Trong các vấn đề đó có những
vấn đề liên quan đến sự phân tích của các môđun tựa liên
tục.
Mục đích của luận văn là dựa trên tài liệu [7] của
Mohamed-Muller, chúng tôi hệ thống hóa các kiến thức và
đặc trng của môđun tựa liên tục và chứng minh chi tiết
một số định lí và một số mệnh đề mà tài liệu không chứng
minh hoặc chứng minh tóm tắt. Hơn nữa luận văn cũng tập
trung nghiên cứu một số điều kiện để một môđun tựa liên
tục phân tích đợc thành tổng trc tip ca các môđun không
phân tích đợc cũng nh một số kiểu phân tích các môđun
tựa liên tục thành tổng trực tiếp .
Xuất phát từ hớng nghiên cứu nói trên và dới sự hớng dẫn
của PGS.TS Ngô S Tùng đề tài luận văn của chúng tôi đợc
chọn là Sự phân tích ca các môđun tựa liên tục .


4


Luận văn đợc chia làm ba chơng cùng với phần mở đầu,
kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chơng 1. Các khái niệm cơ sở
Nội dung chính của chơng này là giới thiệu các khái
niệm cơ bản mà các chơng sau của luận văn cần đến. Để
ngời đọc tiện theo dõi chúng tôi giới thiệu các định nghĩa
về lớp các môđun nội xạ, tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục,
môđun đều và một số khái niệm về sự phân tích của các
môđun.
Chơng 2. Môđun tựa liên tục
Chơng này đợc chia làm hai phần.
Phần 1. Trình bày một cách có hệ thống khái niệm về
môđun tựa liên tục, chøng minh mét c¸ch chi tiÕt c¸c mèi
quan hƯ cđa môđun liên tục, tựa liên tục với các môđun nội
xạ, tựa nội xạ.
Phần 2. Một số tính chất của môđun tựa liên tục:
Chúng tôi giới thiu một số đặc trng của môđun tựa liên
tục vi Định lý 2.1.10 đợc chứng minh chi tiết về một số đặc
trng của môđun tựa liªn tơc.
Chúng tơi cũng chứng minh chi tiết rằng “hạng tử trực tiếp của các
môđun tựa liên tục là tựa liên tục” ( Hệ quả 2.1.9 ), tuy vậy tổng trực tiếp của
các môđun tựa liên tục không nhất thiết là mơđun tựa liên tục (Ví dụ 2.2.6).
Do đó câu hỏi tự nhiên được đặt ra là : “Với những điều kiện nào thì tổng
trực tiếp của các mơđun tựa liên tục là môđun tựa liên tục ?”. Trả lời cho câu
hỏi nêu trên chúng tơi đã tìm hiểu ®iỊu kiện để một tổng trực tiếp
các môđun tựa liên tục là tựa liên tục. Sau ú chúng tôi trình
bày một sè hƯ qu¶ nh HƯ qu¶ 2.2.9 + HƯ qu¶ 2.2.10 thiÕt


5


lập các điều kiện về tính liên tục của các môđun đều, dựa
vào khái niệm phân tích bù trực tiếp đều.
Chơng 3. Sự phân tích của các môđun tựa liên tục
Bài toán phân tích các môđun tựa liên tục là một trong
những vấn đề đợc nhiều ngời quan tâm. Chơng này trình
bày một số tiêu chuẩn để một môđun tựa liên tục phân tích
đợc thành

tổng trực tiếp và cũng trình by một số hớng

phân tích của các môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp
của các môđun tựa liên tục.
Luận văn đợc bt u t thỏng 3 nm 2010, thực hiện và hoàn
thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ
Tùng.
Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu
sắc và kính trọng của mình đến thầy, ngời đà trực tiếp
giảng dạy, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm khắc trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Qua luận văn này tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Đại số & Lý thuyết
số-Khoa toán trờng Đại học Vinh: PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS
Nguyễn Thành Quang, TS Mai Văn T, TS Nguyễn Thị Hồng
Loan; Xin đợc cảm ơn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Tiến Quang
Đại học s phạm Hà Nội 1, ngời đà trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ
và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập
tại lớp cao học 16 chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số.
Cũng nhân dịp này tác giả xin đợc cảm ơn các thầy
giáo, cô giáo trong khoa sau đại học trờng Đại học Vinh, tất cả

các bạn bè, đồng nghiƯp trêng THPT Thä Xu©n 5 (hun Thä


6

Xuân, tỉnh Thanh Hoá) và gia đình đà động viên giúp đỡ
để luận văn đợc hoàn thành đúng kế hoạch.
Mặc dù đà rất nhiều cố gắng nhng thật khó tránh khỏi
thiếu sót, sai lầm. Vì vậy tác giả rất mong nhận đợc các ý
kiến góp ý của các thầy giỏo, cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 11 năm 2010
Tác giả

Chơng 1
Các khái niệm cơ sở
Chơng này chúng tôi trình bày các định nghĩa và một
số kết quả cơ bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, các
tính chất cơ bản và các ký hiệu chúng tôi dựa chủ yếu theo
Anderson-Fuller [5], Dung-Huynh-Smith and Wisbauer [6] và
Mohamed-Muller [7].
Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị,
các môđun trên một vành luôn đợc hiểu là các môđun phải
unita ( nếu không nói gì thêm )


7

Mi là tổng trực tiếp của các môđun Mi (i
Giả sử M i
I

I). Khi đó với mỗi tập con K �I, ta sÏ ký hiƯu M(K) ®Ĩ chØ
�M
i�I i . Bao nội xạ của môđun M luôn đợc ký hiệu là E(M).
1.1. Khái niệm về một số lớp môđun
1.1.1. Môđun con cốt yếu.
Cho M là R-môđun phải và N là môđun con của M.
(1) Môđun con N đợc gäi lµ cèt u (essential) trong M
vµ ký hiƯu: N e M hay N M, nếu với mọi môđun con K �M,
K �0 th× N ǹ K

0. NÕu N là môđun con cốt yếu của M ta

nói rằng M là mở rộng cốt yếu của N.
(2) Môđun con N đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu
N không có më réng cèt yÕu thùc sù trong M. Nãi kh¸c đi N
gọi là đóng trong M nếu mọi môđun con K của M mà N e K
thì K=N.
(3) Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng (closune)
của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong
M sao cho N là cốt yếu trong K.
(4) Bao đóng của một môđun con luôn luôn tồn tại
( xem [7] ).
1.1.2. Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ và bao nội xạ.
(1) Giả sử A, M là các R-môđun phải ta nói M là A-nội xạ
(A-injective) nếu với mọi môđun con X A và mọi đồng cấu h:
X M đều tồn tại một mở rộng g: A M của h.
(2) Môđun M đợc gọi là nội xạ (injective) nếu M là A-nội xạ
với mọi môđun A.
(3) Môđun M đợc gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu M là
M - nội xạ.



8

(4) Ta gọi bao nội xạ của môđun M là môđun nội xạ X
sao cho M eX.
Bao nội xạ của môđun M luôn tồn tại và ký hiệu là E(M).
1.1.3. CS-môđun, môđun tựa liên tục, môđun liên tục.
Cho M là R-môđun phải. Ta xét các điều kiện sau:
(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử
trực tiếp của M.
(C2) Nếu A, B là các môđun con của M đẳng cấu với
nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử
trực tiếp của M.
(C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A B=0
thì A B cũng là hạng tử trực tiếp của M.
(1) Môđun M đợc gọi là CS-môđun (hay môđun
extending) nếu thỏa mÃn điều kiện (C1).
(2) Môđun M đợc gọi là liên tục (continuous) nếu M thỏa
mÃn điều kiện (C1) và (C2).
(3) Môđun M đợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous),
nếu M thỏa mÃn điều kiện (C1) và (C3).
1.1.4. Môđun đều.
Một môđun U đợc gọi là đều (hay Uniform) nếu U0 và
A B 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U. Hay
nói cách khác U là đều nếu
U 0 và mọi môđun khác không là cốt yếu trong U.
1.2. Các khái niệm về tổng trực tiếp và sự phân tích
các môđun
1.2.1. Định nghĩa.



9

Ai =
Cho một họ R-môđun (Ai/iI). Khi đó tích ®Ị c¸c i�
I

 (ai / ai �I 

cïng víi phÐp toán cộng và phép nhân vô hớng theo

thành phần
(ai)+(bi)=(ai+bi);
(ai).r=(ai.r),
là một R-môđun. Môđun này đợc gọi là tích trực tiếp
của họ (Ai/ i �I)
 Ai=AI.
Trêng hỵp Ai=A, i �I, ta ký hiệu i
I
Ai Aj là một R- đồng cấu, jI
Phép chiếu Pj: i
I
(ai)

a

aj

1.2.2. Định nghĩa.

Môđun A đợc gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các
môđun con

(Ai/ iI) nếu các điều kiện sau đợc thỏa mÃn:
1) A =
2)

�A .
i

i�I

Aj � � Ai  0,  j �I
.
i�j

1.2.3. Các khái niệm về sự phân tích.
(1) Môđun M đợc gọi là phân tích đợc nếu nó có hạng
tử trực tiếp khác không và khác M
(2) Môđun M 0 đợc gọi là không phân tích đợc nếu nó
không có hạng tử trực tiếp khác không và khác M.
(3) Một môđun con N của M đợc gọi là hạng tử trực tiếp
tối đại của M nếu M = N N, với N không phân tích đợc.
Mi đợc gọi là bù hạng tử trực
(4) Một sự phân tích M= i
I
tiếp (tơng ứng là bù hạng tử trực tiếp tối đại) nếu ®èi víi mäi


10


hạng tử trực tiếp (tơng ứng hạng tử trực tiếp tối đại ) A của M
Mi ) .
tồn tại tập con J �I sao cho: M= A �(i�
�I

(5) Mét hä

 Mi / i I

các môđun con của M đợc gọi là

Mi là tổng trực
hạng tử trực tiếp địa phơng của M nếu i
I
Mi là hạng tử trực tiếp
tiếp và với mỗi tập con hữu hạn F I, i
F
của M. Nếu một họ hạng tử trực tiếp địa phơng của M là
hạng tử trực tiếp của M thì ta nói rằng hạng tử trực tiếp địa
phơng là hạng tử trực tiếp.

Chơng 2
Môđun tựa liên tục
Chơng này chúng tôi sẽ trình bày một cách có hệ thống
các kiến thức về môđun tựa liên tục và các tính chất đặc trng của nó.
2.1. Môđun tựa liên tục
Trớc hết để chỉ ra mối liên hệ giữa môđun liên tục, tựa
liên tục với môđun nội xạ, tựa nội xạ chỳng ta có mệnh đề :
2.1.1. Mnh . Mỗi môđun nội xạ M đều có hai tính chất

sau đây:
(C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử
trực tiếp của M.
(C2) Nếu A, B là các môđun con của M đẳng cấu với
nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử
trực tiếp của M.


11

Chứng minh. Giả sử M là môđun nội xạ. Ta chøng minh M
cã tÝnh chÊt (C1). ThËt vËy LÊy N là môđun con bất kỳ của
M, khi đó ta có: E(M)=E(N) X. Do M là tựa nội xạ nên từ ®ã
suy ra: M=M �(E(N) � (M �X)). Theo tÝnh chÊt bao nội xạ: N
eE(N), mặt khác N M, do đó ta cã N �eE(N) �M nghÜa lµ
N cèt yÕu trong h¹ng tư trùc tiÕp E(N) �M hay M cã tÝnh chất
(C1).
- M có tính chất (C2).
Giả sử A và B là các môđun con của M sao cho A đẳng
cấu với B và B là hạng tử trực tiếp của M. Vì M là nội xạ và B
là hạng tử trực tiếp của M nên B là M nội xạ, do ®ã d·y khíp
sau chẻ ra: 0 � B � M M/B 0
Mặt khác A B, do ®ã d·y khíp

0 � A � M � M/A � 0 cũng

ch ra và vì vậy A là hạng tử trùc tiÕp cđa M. VËy M cã tÝnh
chÊt (C2).
2.1.2. MƯnh ®Ị. NÕu M cã tÝnh chÊt (C2) th× cịng cã tính
chất sau đây:

(C3) Nếu M1 và M2 là các hạng tư trùc tiÕp cđa M vµ M 1 �
M2 = 0 thì
M1 M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Vì M1 là hạng tử trực tiếp cđa M do ®ã:
M  M �X , víi X là môđun con nào đó của M. Gọi là phÐp
1
chiÕu
lÊy

 : M1Ů X

X . Khi ®ã: M �M  M � (M ) . ThËt vËy
1
2
1
2
x  m  m �M �M , v×
1
2
1
2


12

m  m'  x �M , m' �M , x �X � x  (m  m' )  x ,
2
1 1
1
1

1 1
1

trong

đó:



(m2)=x1, nghĩa là x M1 M2.
Ngợc lại lấy y = m1+x2 M1 M2, khi đó x2=  (m2) víi
m1’+x2�

M1 �X,

m1’�M1,

x2�X.

� y  (m  m' )  (m'  x )  (m  m' )  m �M �M
1 1
1 2
1 1
2
1
2
B©y giê do M1 � M2=0 hay M2 �ker  nªn  |M2 là một
đơn cấu, nghĩa là: M2 (M2) và khi đó do tính chất (C2) ta
có (M2) là h¹ng tư trùc tiÕp cđa M, ta viÕt  (M2) �N=M, M1
�X=M. Tõ ®ã suy ra M=  (M2) �M1 � ( N � X). VËy  (M2) �

M1=M1 �M2, do đó M1 M2 là hạng trực tiếp của M.
Từ Định lý 2.1.1. và 2.1.2 chúng ta có:
2.1.3. Định lý. Các phép kéo theo sau đây là đúng:
Môđun nội xạ Môđun tựa nội xạ Môđun liên tục
Môđun tựa liên tục CS-môđun.
Chú ý.
Trong [7] đà chỉ ra các chiều ngợc lại của các phép kéo
theo trên là không đúng và nh vậy các lớp môđun của định
lý này là mở rộng thực sự của lớp môđun đi trớc.
Bây giờ ta nhắc lại rằng một môđun con N của M đợc
gọi là đóng trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự
trong M.
Một môđun con X cđa M gäi lµ bï giao nÕu nã lµ tối đại
trong M với tính chất X Y = 0, đối với mọi môđun con Y nào
đó.


13

2.1.4. Hệ quả. Môđun con A là đóng trong môđun M khi
và chỉ khi A là môđun con bù giao trong M. Môđun con
đóng hay bù luôn tồn tại.
Chứng minh. Giả sử A là môđun con đóng của môđun
M khi đó A là bù vì:
+ Nếu A = M rõ ràng A là bù ( vì A 0=0 và A tối đại)
+ Nếu A M do A đóng nên A không đối cốt yếu trong
M vì vậy tồn tại C tối đại trong M mà A C= 0.
Khi đó A là môđun con bù, bởi vì giả sử có B M mà B
C=0 và A B lúc đó ta lấy X B, X 0, ta đợc X A 0. Trái lại
(C X) A=0, mâu thuẫn với tính tối đại của C, Vậy A eB

và do đó A = B hay A là môđun con bù.
Ngợc lại, giả sử A là môđun con bù tức A là tối đại mà A
C= 0 với C là môđun con nào đó của M và giả sử A eB khi
đó dễ thấy B C= 0. Từ tính tối đại của A ta có A = B hay A
là môđun con đóng. Sự tồn tại của môđun con đóng hay bù
là từ bổ đề Zorn.
2.1.5. Mệnh đề. Một môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi
môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Giả sử M là CS và A là môđun con đóng
của M. Do tính CS của M nên tồn tại B M mà A eB và B là
hạng tử trực tiếp của M. Do A đóng nên A = B nghĩa là A là
hạng tử trực tiếp của M.
Ngợc lại mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp
của M và X là môđun con bất kỳ của M. Bởi bỉ ®Ị Zorn, tån


14

tại A là mở rộng cốt yếu tối đại của X, nghĩa là X A và A là
đóng. Vì A là hạng tử trực tiếp của M, vậy M là CS-môđun.
2.1.6. Mệnh đề. Mỗi môđun không phân tích đợc M là
CS-môđun khi và chỉ khi M là đều. Mỗi môđun đều là tựa
liên tục.
Chứng minh. Giả sử M là CS -môđun không phân tích
đợc và A là môđun con bất kỳ của M. Vì M là CS nên ta có B
�M mµ A �eB, B �� M. Nhng do M không phân tích đợc nên B
= M và nh vậy A eM, nghĩa là M đều.
Ngợc lại môđun đều M là CS và không phân tích đợc là
hiển nhiên. Mỗi môđun đều V rõ ràng là tựa liên tục.
2.1.7. Mệnh đề. Giả sử A là môđun con của môđun M.

Nếu A là đóng trong một hạng tử trực tiếp của M thì A đóng
trong M.
Chứng minh. Giả sử M1 M2 và A đóng trong M1 . Xét
phép chiếu : M1 �M2 � M1
Gäi B lµ mét më réng cốt yếu nào đó của A trong M. Bởi
vì: A M1 nên A= (A). Mặt khác từ A eB ta cã  (A) �e  (B)
�M1 hay A �e  (B) �M1. Nhng bëi A ®ãng do ®ã  (B) A B.
Khi đó ta có: (1- )(B) B.
Mặt khác nếu a A mà a=(1- )(b)=b- (b), víi b �B suy
ra: b=a+  (b) �A �M1 � (b) = b, vậy a 0 . Điều đó chøng tá
(1-  )(B) �A= 0. Tõ gi¶ thiÕt A eB và nh trên đà chứng minh
(1- )(B) B.
Vậy (1- )(B)=0 và do đó (B)=B hay B M1, nh vậy A
= B và A đóng trong M.


15

B©y giê chóng tơi sÏ chøng minh mét sè tÝnh chất về
hạng tử trực tiếp.
2.1.8. Mệnh đề. Hạng tử trực tiếp của môđun thỏa mÃn
điều kiện (Ci) là môđun thỏa m·n ®iỊu kiƯn (Ci), i= 1,3
Chøng minh. a. Với i=1
Cho M là môđun thỏa mÃn điều kiện (C1), giả sử N là
một hạng tử trực tiếp của M và U là một môđun con đóng
trong N. Ta chứng minh N thỏa mÃn điều kiện (C1). Ta có U là
một môđun con đóng của M (theo Hệ quả 2.1.4.), do vậy U
là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là: M= U X, với X là môđun
con nào đó của M. Khi đó bởi vì: N M nên theo luật
Môđunla ta cã: N=M �N=(U �X) �N=U � (X �N), vËy U là

hạng tử trực tiếp của N. Hay N thỏa mÃn điều kiện (C1).
b. Vi i=2.
Giả sử M là môđun thỏa mÃn điều kiện (C 2) và N là một
hạng tử trùc tiÕp cña M. Ta chøng minh N tháa m·n điều kiện
(C2).
Thật vậy giả sử A là một hạng tử trực tiếp của N và B là
một môđun con của N sao cho A  B, ta sÏ chøng minh B là
hạng tử trực tiếp của N.
Do A là hạng tư trùc tiÕp cđa N nªn N= A �X, víi môđun
X nào đó của N. Do N là một hạng tư trùc tiÕp cđa M nªn N �
Y=M, víi Y là một môđun con nào đó của M. Vì vậy M= N �
Y=( A �X) �Y=A � ( X �Y). Suy ra A là hạng tử trực tiếp của
M. Vì B là môđun con của N nên B cũng là môđun con của
M. Do M thỏa mÃn (C2), A là hạng tử trực tiếp của M, B là
môđun con của M đẳng cấu với A nên B là hạng tử trùc tiÕp


16

của M. Do B N nên theo luật Môđunla ta suy ra B là hạng tử
trực tiếp của N. Vậy N thỏa mÃn điều kiện (C2).
c.Vi i=3.
Giả sử M là môđun thỏa mÃn điều kiện (C3) và N là một
hạng tư trùc tiÕp cđa M. Ta chøng minh N tháa m·n ®iỊu kiƯn
(C3). Ta cã N=A �K1, N=B �K2. Do M= A �K1 �K, M= B �K2 �K,
víi K lµ môđun con nào đó của M. Suy ra A M, B � M. Do M
tháa m·n (C3) nªn A �B �� M. Suy ra M= A �B �L, L M. Vì A,
B N nên A B N. Theo luật Môđunla, N= M N=( A B L)
N=( A B) (L �N) suy ra A �B �� N. Hay N thỏa mÃn điều
kiện (C3).

Từ 2.1.8 ta dễ dàng suy ra:
2.1.9. Hệ quả. Hạng tử trực tiếp của môđun liên tục (tựa
liên tục) là môđun liên tục (tựa liên tục).
Bây giờ chúng ta trỡnh by một số đặc trng của môđun
tựa liên tục
2.1.10. Định lý. Các phát biểu sau đây là tơng đơng với
một môđun M.
(1) M là tựa liên tục.
(2) M=X Y đối với 2 môđun con X, Y sao cho chóng bï
lÉn nhau.
(3) f(M) �M ®èi víi mäi lũy đẳng f End[E(M)].
Ei thì M = (M �Ei).
(4) NÕu E(M) = i�
I
i�I
Chứng minh: (1)� (2):


17

Vì M là tựa liên tục và X là bù của M nên X là hạng tử trực tiếp của M
(bởi mệnh đề 2.1.5 ), nghĩa là M=X �Y, trong đó Y là mơđun con nào đó của
M
Bây giờ ta chứng minh X và Y bù lẫn nhau. Thật vậy,giả sử  A �X
mà A�Y  0. khi đó M=A �Y và từ đó A=X. Tương tự ta nhận được Y là
bù của X
(2)� (3): Giả sử A1= M �( f (E(M)) và A2  M �(1 f )(E(M)) . Giả sử
B1 là bù của A2 mà B1 chứa A1 và B2 là bù của B1 mà B2 chứa A2 (lưu ý rằng
A1 �A2  0, vì (1 f )(E(M))  E  M   f (E(M) ). Từ đó ta thấy rằng B1 và B2
là bù lẫn nhau trong M , do vậy từ giả thiết của (2) ta có : M = B1 � B2. Gọi 

là phép chiếu,  : B1 � B2 � B1
Ta sẽ chứng minh

f (M) �M.

Thật vậy giả sử x, y �M mà M �( f   )(M)  0. x  ( f   )(y) , hay
x  f (y)   (y). Từ đó ta có f (y)  x   (y)�M , nên f (y)�A1. Mặt khác bởi
vì (1 f )(y)  y f (y)�M nên (1 f )(y) �A2 Do  (1 f )(y)  0 � (y)   ( f (y))  0.
e
Bây giờ từ M � E  M  , ta có ( f   )(M)  0 hay f (M)   (M). Mà 

là phép chiếu từ M � B1�M , do vậy f (M) �M.
(3)� (4):
� (M �Ei) �M. Giả sử m là phần tử bất kỳ của M khi đó
Ta có i�
I
m�� Ei , với F là tập con hữu hạn của I. Ta viết: E(M)  � Ei � E ', khi
i�F
i�F
đó tồn tại họ dãy đẳng trực giao fi �EndE(M) (i �F) sao cho Ei =
fi(E(M)) . Bởi vì
M ��(M �Ei ).

fi(M)
Thật

�M do giả thiết
vậy

k


để

ta sẽ chứng tỏ rằng :
m�E  E  ...  E .
1 2
k

Vì

E(M)  E  E  ...  E � E ' . Lấy fi là phép chiếu từ E(M) � E ( i �1,k
1 2
i
k


18

). Thế thì fi2  i và

Ei = fi(E(M)). Do

fi(M)

�M nên ta có :

m m  � m  ... m  f (M) f (M) ... f (M )
1
2
2

k 1
k
k
k
Mi .
 � f (M ) ��(M �E ) , (i �F). Vậy m� �(M �Ei ), hay M  i�
�I
i
i
i

1
ii
(4)� (1):
Giả sử A là môđun con của M. Ta viết E(M) = E(A) + E’ khi đó ta có:
M  M � E(A)�M �E , trong đó A�e E(M)�E(A).
Điều đó có nghĩa là A có mở rộng cốt yếu là hạng tử trực tiếp của M .
Như vậy M có M có tính chất (C1) .
Bây giờ ta chứng minh M có tính chất (C3). Thật vậy giả sử M1, M2 là
các hạng hạng tử trực tiếp của M với

M �M  0 ta có E(M) =
1
2

E �E �M �E '' , trong đó E1 = E(M1) , E2 = E(M2) . Khi đó :
1 2
M  M �E1 � M �E2 �E ''. Từ Mi là hạng tử trực tiếp của M và
Mi �e (M �Ei ) chúng ta có Mi = (M �Ei ) (do các Mi đóng trong M với
i  1,2 ), vậy M  M1  M2  M �E '', nghĩa là M có tính chất (C3).

2.2. Một số tính chất của mơđun tựa liên tục
Bây giờ chúng tôi nghiên cứu các điều kiện để tổng trực tiếp họ bất kỳ
các môđun tựa liên tục là tựa liên tục. Trước hết chúng tôi trình bày khái niệm
bù hạng tử trực tiếp đều và một số tính chất của mơđun tựa liên tục
� Mi được gọi là bù hạng tử trực
2.2.1.Định nghĩa. Một sự phân tích M  i�
I
tiếp đều , nếu với mọi hạng tử trực tiếp đều U của M, tồn tại tập con J �I
sao cho :

M  U �( � Mi ).
i�J


19

� Mi là bù hạng tử trực tiếp, khi đó
2.2.2. Mệnh đề. Nếu sự phân tích M  i�
I
sự phân tích đó cũng là bù hạng tử trực tiếp đều.
� Mi là sự phân tích bù hạng tử trực tiếp đều,
2.2.3. Mệnh đề. Giả sử M  i�
I
� M j là bù hạng tử
khi đó đối với mỗi tập con J của I, sự phân tích M(J )  j�
J
trực tiếp đều.
Chứng minh. Giả sử U là một hạng tử trực tiếp đều của M(J). Bởi vì
M(J) là hạng tử trực tiếp của M. Do vậy U cũng là hạng tử trực tiếp của M. Do
vậy U cũng là hạng tử trực tiếp đều của M. Khi đó bởi giả thiết tồn tại tập con

K của I sao cho M = U � M(K). Từ đó bởi luật Mơđunla, ta có:
M(J )  U �[M(K)�M(J)] (1)
Đặt   K �J , ta sẽ chứng minh rằng M(K) � M(J) = M(  ). Thật
vậy nếu x�M(K )�M(J ) , khi đó tồn tại các sự biểu diễn
x x  x  ... x �M � M �... �M �M(K )
1 2
2
k 1
k
x x  x  ... x �M � M �...M �M(J )
j
j
j
j
j
j
.
1
2
t
1
2
t

� Mi , do đó t = k và
Vì sự phân tích của x là duy nhất trong M  i�
I
xi  xj  i 1,2,...,k
M j  M j ,i 1,...,k.
và

nghĩa
là
Từ đó ta có
i
i

 1,2,...,k   j1, j2,..., jt �K �J   .
Do vậy M1�M2 �...�Mk �M() và suy ra x�M() . Ngược lại
nếu x�M() , khi đó có sự biểu diễn
x x1  x2  ...  x �M1 � M2 �...�Mm �M().
m

Nhưng vì

  K �J

do đó

1, 2,..., m�K �J . Từ đó

M1 � M2 �...�Mm �M() �M(K )�M(J ).


20

Nghĩa là chúng ta có

x x  x  ...  x �M(K )�M(J ).



m
Vậy ta
1
2

đã chứng minh được M(K) � M(J) = M(  ), trong đó   K �J . Từ đó và
� M j là sự phân tích bù hạng tử
(1) ta có M(J )  U �M() , và M(J )  j�
J
trực tiếp đều.
2.2.4.Bổ đề. Giả sử M là môđun bất kỳ . Khi đó mọi hạng tử trực tiếp địa
phương của M là hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu hợp của một họ các
hạng tử trực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M.
2.2.5.Định lý. Nếu mọi hạng tử trực tiếp địa phương của M là hạng tử trực
tiếp của M thì M là tổng trực tiếp của các mơđun khơng phân tích được.
Chứng minh. Bởi bổ đề Zorn M chứa một hạng tử trực tiếp tối đại





B X : � , trong đó mỗi X là khơng phân tích được. Giả sử

X � X
 �  , khi đó X là hạng tử trực tiếp của M bởi giả thiết ta viết
M  X �Y . Ta phải chứng tỏ rằng Y = 0. Thật vậy giả sử ngược lại rằng Y �0
và gọi y Y , y 0. Bởi bổ đề 2.2.4, tồn tại một hạng tử trực tiếp A của Y tối
đại sao cho y�A . Khi đó Y  A Ź B, B 0.
Bây giờ từ tính tối đại của B, B phân tích được nghĩa là B B1 �B2 ,
trong đó Bi �0(i 1,2) . Từ tính tối đại của A chúng ta có y�A�Bi (i 1,2) ,

nghĩa là  bi �Bi , a, a'�A sao cho y = a+b1, y = a’+b2.
Điều đó kéo theo (a - a’) + (b1 - b2) = 0 hay b1  b2�A� b1 b2  0 và
do đó b1 = b2 = 0. Vậy ta phải có y �A và mâu thuẫn. Mâu thuẫn đó chứng tỏ
Y = 0 và

MX  � X
 �  .


21

Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của tổng trực tiếp các
môđun tựa liên tục.
Theo hệ quả (2.1.9), chúng tôi đã chỉ ra một hạng tử trực tiếp của
môđun tựa liên tục là tựa liên tục. Tuy nhiên một tổng trực tiếp các môđun tựa
liên tục khơng nhất thiết là tựa liên tục.
2.2.6. Ví dụ .
Giả sử F là một trường và
��
�
�
�
a b�
�
M�
a
,
b
,
c

�
F
�
�
�
��
�
0 c�
�
�
��
�
�
�
�

�
�
�
�
a b�
A �
�a, b�F
�
�
��
0 0�
�
�
�

�
�
�
�
��
�
�
0 0�
B �
�
�c�F
��
�
0
c
�
�
�
�
��
�
�

�
�
�
�

�
�

�
�

Khi đó R là một vành và A, B là các môđun tựa liên tục trên R nhưng
M  A �B không phải là môđun tựa liên tục.
Trong Mệnh đề sau đây, chúng tơi sẽ trình bày một điều kiện cần để
M1 � M2 là môđun tựa liên tục.
2.2.7. Mệnh đề. Nếu M1 � M2 là tựa liên tục thì M1, M2 là nội xạ lẫn nhau.
Chứng minh. Khơng mất tính tổng qt ta sẽ chứng minh M2 là M1 - nội
xạ. Đặt M = M1 �M2 , giả sử X là môđun con tùy ý của M1 và  : X � M2
là đồng cấu. Đặt B  x  (x): x�X dễ thấy B�M2  0. Ta gọi M1’ là bù
của M2 mà M1’ �B. Khi đó M1’ và M2 là bù lẫn nhau, do vậy áp dụng định lý
2.1.10 thì M = M1’ �M2 . Xét phép chiếu  : M1 'Ů M2
Khi đó với mọi x �X chúng ta có:

M2


22

0  (x   (x))   (x)   ( (x))  (x)  (x) suy ra  (x)  (x),x�X. Từ
đó chúng ta thấy  / M2 là mở rộng của  , nghĩa là M2 là M1- nội xạ.
Sau đây chúng ta sẽ chú ý đến tổng trực tiếp.
M  � M
của các môđun tựa liên tục M . Câu hỏi đặt ra là khi
 �
nào M là tựa liên tục. Ta có định lý sau đây:
2.2.8. Định lý. Cho  M : � là một họ các mơđun tựa liên tục. Khi đó
các điều kiện sau là tương đương.
M

i) M �
�  là tựa liên tục,
ii)

M

 �
 �

là M - nội xạ,  � , vµ điều kiện (A2) đúng.

Chứng minh. Trước hết ta nhắc lại điều kiện (A2) là: “Cho họ các Rmôđun  M : � ,đối

với

mỗi

cách

chọn

x�M ( �)

và

m �M ,  � (i��) sao cho m0 �x0 dãy tăng � mi0( n��) sẽ dừng.”
i
i i
i �n
i

i) � ii) được suy ra từ mệnh đề 2.2.5.
Bây giờ ta chứng minh ii) � i).
Theo định lý 2.1.7 ta cần chứng minh eM �M với mọi lũy đẳng e�End
E(M). Do eM = e(

�M
� eM . Chúng ta chứng minh rằng
) = �

�

eM �M , � (*) Cố định  � . Từ M là M -nội xạ,  � , và [7,
mệnh đề 1.5] nên

M là

M

 �
 �

M
- nội xạ. Đặt N1 = M và N2 =  � . Khi đó N1,
 �

N2 là nội xạ lẫn nhau và N1 là tựa liên tục. Cho E, E1, E2 lần lượt là các bao nội


23


xạ của M , N1, N2. Khi đó

�e
e �
11 12 �
�
e
trong đó
�
e
e �
�
�
�21 22 �

E  E1 �E2 và

e : E j � Ei . Vì N2 là N1- nội xạ và theo [7, Lemma 1.13] nên ta có e21 N1
ij
� N2. Dễ dàng kiểm tra được eN1 = e11N1 + e21N1 � e11N1 + N2. Do đó để
chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh

e11N1 � M. Từ e = e2 ta có

e  e2  e e . Ký hiệu a = e11 ,b = e21 . Khi đó ta nhận được: ab = ba = a
11 11 12 21

– a2e12e21 �End E1. Đặt K = Ker(ab). Giả sử a(x) = b(y) (x,y �K) suy ra a2(x)
= ab(y) = 0 (do y � Ker(ab)) mà a = 1-b do đó a[1-b]x = 0 hay a[x – b(x)] =
0


� a(x)=

a(bx)

=

0.

Vậy

chúng

ta

có

aK �bK  0

và

aK �Ker(b)�Ker(ab)  K . Do đó K  aK �bK .
Từ E1 nội xạ, nên tồn tại lũy đẳng trực giao f và g trong End E1 sao cho
E  fE �gE ,aK �fE , bK �gE .
1
1
1
1
1


Khi

đó

chúng

ta

có

:

fK  f (aK �bK )  faK  aK . Do vậy K �fE1� fK  aK �K �fE1. Từ đó ta
nhận được: K �fE1 aK �Ker b, suy ra a/bfE1 là một đơn cấu. Bởi vì E1 là
nội xạ do đó tồn tại  �End E1 sao cho: bf =  ab f. Bây giờ do N1 tựa
liên tục và N1, N2 là nội xạ lẫn nhau và từ định lý 2.1.10 ta có : bfN1 = 
abfN1 �  abN1 =  e12e21N1 �  e12N2 �N1. Vậy ta nhận được :
e11N1 = aN1 � N1, vµ do đó e11N1 � M.
Điều phải chứng minh.
2.2.9. Hệ quả. Giả sử M1, ..., Mn là các môđun bất kỳ .
n
�
M là tựa liên tục nếu và chỉ nếu mỗi M i là tựa liên tục và
Khi đó
i�I i
j  1,2,...,n .
Mi lµ Mj – nội xạ ,  i ��


24


n
Chứng minh. Nếu � Mi là tựa liên tục hiển nhiên rằng các Mi là tựa
i �I
liên tục  i�I và theo định lý 2.2.8 M(F) là Mj –nội xạ ( với F = I \ |{j} ) và
do đó Mi là Mj nội xạ ,  i�F hay  i �j . Ngược lại nếu mỗi Mi là tựa nội xạ
và Mi là Mj –nội xạ với  i �j . Khi đó ta có

n
� Mi là Mj –nội xạ, hay
i �,
j i 1

M(F) là Mj –nội xạ.
Từ đó theo định lý 2.2.8 ta nhận được M là môđun tựa liên tục.
� Mi là tổng trực tiếp các môđun đều và M(J)
2.2.10. Hệ quả. Giả sử M  i�
F
là M(K) -nội xạ, với mọi tập con J và K của I sao cho K �J  �, khi đó M là
một mơđun tựa liên tục.
Chứng minh. Trước hết vì mỗi môđun đều là tựa liên tục , nghĩa là Mi
là tựa liên tục, vậy áp dụng định lý 2.2.8 kết luận của hệ quả trên là hiển
nhiên.

Ch¬ng 3


25

Sự phân tích của các môđun tựa liên tục

3.1. Sự phân tích ca cỏc môđun tựa liên tục thành tổng
trực tiếp các môđun con không phân tích đợc
Trong phn ny chúng tơi sẽ trình bày một số điều kiện để một mơđun
tựa liên tục phân tích được thành tổng trực tiếp của các mơđun khơng phân
tích được. Đầu tiên chúng tơi trình bày các khái niệm về tính chất mở rộng
của một môđun .
3.1.1. Định nghĩa. i) Một môđun M được gọi là có tính chất mở rộng nếu
� Ai các môđun con A của
đối với mỗi tập chỉ số I và mỗi tổng trực tiếp i �
i
I



M, tồn tại một họ Mi / i �I



e
các môđun con của M sao cho Ai � Mi và

�M
i �I i là một hạng tử trực tiếp của M. Nếu tập chỉ số I là hữu hạn thì ta gọi
M có tính chất mở rộng hữu hạn.
ii) Với mỗi số tự nhiên n ta nói M có tính chất n-mở rộng nếu M có tính
chất mở rộng đối với tập chỉ số I có lực lượng là n.
3.1.2.Bổ đề. Giả sử M là một mơđun bất kỳ. Khi đó:
(i). M có tính chất 1-mở rộng nếu và chỉ nếu M là CS – mơđun.
(ii). M có tính chất mở rộng hữu hạn nếu và chỉ nếu M có tính chất 2
-mở rộng nếu và chỉ nếu M là tựa liên tục.

(iii). M có tính chất mở rộng nếu và chỉ nếu M có tính chất mở rộng
hữu hạn và mọi hạng tử trực tiếp của địa phương của M là hạng tử trực tiếp
của M.