TRƯờNG ĐạI HọC VINH
KHOA TOáN gdqp

luõ
Chuyên ngành: xác suất thống kê
và toán ứng dụng.
TÊN Đề TàI:
Kỳ vọng có điều kiện vµ MARTINGALE

1


Lời nói đầu

Martingale bắt nguồn từ một trò chơi và ngày nay đà trở
thành một công cụ toán học quan trọng trong các lĩnh vực xác
suất và giải tích.
Lúc đầu lý thuyết martingale nghiên cứu những vấn đề
liên quan đến những khái niệm nói trên của trò chơi nhng về
sau đợc phát triển thành một lĩnh vực toán học chặt chẽ có
nhiều ứng dụng trong thống kê, giải tích hàm và có nhiều ứng
dụng thú vị trong thị trờng chứng khoán và trong thực tế.
Về phơng diện xác suất, lý thuyết martingale mở rộng
lý thuyết tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Công cụ then chốt
để nghiên cứu martingale là khái niệm kỳ vọng có điều kiện
và thời điểm dừng.
Vì những lý do trên việc nghiên cứu về kỳ vọng có
điều kiện và martingale và những ứng dụng của chúng trong
những bài toán thực tế đà đợc nhiều tác giả nghiên cứu trong
thời gian gần đây và cũng đợc đa vào nhiều trong các giáo
trình.

Vì điều kiện thời gianvà khuôn khổ của tiểu luận có
hạn nên trong tiểu luận này em chỉ xin trình bày một số khái
niệm, định nghĩa vµ tÝnh chÊt cđa martingale vµ øng dơng
cđa nã trong các bài toán và chứng minh định lý.
Tiểu luận này đợc hoàn thành dới sự giúp đỡ của thầy
giáo- Ths Nguyễn Thanh Diệu. Nhân đây em xin tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn, mặc dù công việc bận rộn
nhng vẫn dành thời gian tận tình chỉ đạo và hớng dẫn em
hoàn thành khoá luận này.

2


Mục lục

Lời nói đầu
1. Kỳ vọng có điều kiện........................................4
2. Thời ®iĨm dõng.................................................7
3. Martingale..........................................................6
4. Thêi ®iĨm dõng bÊt kú......................................7
5. BÊt ®¼ng thức Doobs.......................................8
6. Định lý hội tụ của martingale.............................9
7. ứng dụng cđa martingale.................................11
8. S ù héi tơ u...................................................14
9. Tµi liƯu tham kh¶o...........................................18

3


1. Kỳ vọng có điều kiện

F G là

Nếu

hai -trờng và X là biến ngẫu nhiên khả

tích, đo đợc ®èi víi G . Kú väng cã ®iỊu kiƯn cđa X đối với G ,
đợc viết là E [ X / F ] và đợc đọc là biến ngẫu nhiên (hoặc giá trị
kỳ vọng ) của X đối với F là biến ngẫu nhiên F -đo đợc Y sao
cho

E [ Y ; A] = E [ X ; A] víi mọi

A G đối với

A F .

Xác suất có điều kiện của

-trờng F đợc xác định bởi P ( A / F ) = E [ 1A / F ] .

Nếu Y1 , Y2 là hai biến ngẫu nhiên F - đo đợc thoả mÃn
E [ Y1 ; A] = E [ Y2 ; A] víi mäi

A ⊆ F , thì

Y1 = Y2 hầu chắc chắn, hoặc

kỳ vọng có điều kiện là tơng đơng duy nhất hầu chắc chắn.
Trong trờng hợp X là F -đo đợc, E [ X / F ] = X . NÕu X ®éc

lËp ®èi víi F th× E [ X / F ] = EX ,chøng minh hai tÝnh chÊt nµy cã
thĨ suy ra ngay từ định nghĩa .Cho một ví dụ khác, thờng đợc
dùng trong xác suất cơ bản, nếu { Ai } là c¸c tËp rêi nhau cđa Ω ,
P ( Ai ) > 0 víi mäi i vµ F

lµ σ -trêng sinh bởi Ai s thì:

n
P AI Ai ữ
P ( A \ F ) = ∑  i =1 1Ai
P ( Ai )
i

Từ đó suy ra vế phải là F - đo đợc và kỳ vọng của Ai là
n
P AI Ai ữ
i =1

Tơng tự ví dụ trên, giả sử chúng ta tung đồng tiền 5
lần và X i nhận giá trị 1 hoặc 0 phụ thuộc vào i nhận giá trị sấp
4


hoặc ngửa .Nếu

A

là kết quả cả 5 lần đều ngửa vµ

Fi = σ ( X 1 ,K , X n ) th× P ( A ) =


1

32

khi P ( A / F1 ) b»ng 1/16 th× ( X i = 1) vµ

b»ng 0 khi ( X i = 0 ) . P ( A / F2 ) nhận giá trị b»ng 1/8 khi ( X 1 = 1, X 2 = 0 )
và 0 trong các trờng hợp khác.
Chúng ta cã
E  E [ X / F ]  = EX (1.1)
E  E [ X / F ]  = E  E [ X / F ] ; Ω  = E [ X ; Ω ] = EX

bởi vì

Sau đây dễ dàng thiết lập đợc.
Mệnh đề 1.1. (a) Nếu X Y khả tích , thì E [ X / F ] ≥ E [ Y / F ] hầu
chắc chắn.
(b) Nếu X ,Y khả tích và a R , th× E [ aX + Y / F ] = aE [ X / F ] + E [ Y / F ]
Chứng minh. (a) Đ ặt Z = E [ X / F ] , T = [ Y / F ]
Khi đó theo định nghĩa cđa kú väng cã ®iỊu kiƯn ta cã
Z ∈ F , T ∈ F , vµ víi mäi A ∈ F , ta cã ∫ ZdP = ∫ XdP ≥ ∫ YdP = ∫ TdP
A

A

A

A


Do ®ã E [ X / F ] ≥ E [ Y / F ] hÇu chắc chắn.
(b) Đặt Z = E [ X / F ] , T = E [ Y / F ]
Khi ®ã theo ®Þnh nghÜa cđa kú väng cã ®iỊu kiƯn ta có
và do đó
Mặt khác với mọi

ta có

( aZ + T ) dP = a ∫ ZdP + ∫ TdP
A

A

A

= ∫ ( aZ + T ) dP = a ∫ XdP + ∫ YdP = ∫ ( aX + Y ) dP
A

A

A

A

Từ các lập luận trên suy ra
E ( aX + Y / F ) = aE ( X / F ) + E ( Y / F )

Tõ kết quả trên chúng ta có mệnh đề sau.
5


,


Mệnh đề 1.2. (Bất đẳng thức Jensens về kỳ vọng có điều
kiện) Nếu g là hàm lồi, X và g(X) là khả tích thì
E g ( X ) / F  ≥ gE [ X / F ] , hầu chắc chắn.

Chứng minh.
Do g là hàm lồi nên nó có đạo hàm trái và đạo
hàm phải tại mọi điểm .Hơn nữa ,các đạo hàm một phía này
là hàm không giảm ,do đó đo đợc. Ngoài ra với mọi

x, x0 ∈ ¡

g ( x ) ≥ g ( x0 ) + g −' ( x0 ) ( x − x0 )

Thay X b ëi X , X 0 b ëi E [ X / F ] vào bất đẳng thức trên ta đợc
g ( X ) g ( E ( X / F ) ) + g −' ( E ( X / F ) ) ( X − E ( X / F ) )
'
Đặt A = ( E ( X / F ) < M , M > 0 ) . Khi ®ã g − ( E ( X / F ) ) bị chặn trên A vµ

I A g ( X ) ≥ I A g ( E ( X / F ) ) + I A g −' ( E ( X / F ) ) ( X − E ( X / F ) )
'
Do I A ∈ F , g − ( E ( X / F ) ) ∈ F , g ( E ( X / F ) ) ∈ F

nªn I A g ( E ( X / F ) ) = E ( I A g ( X ) / F ) ≥ I A g ( E ( X / F ) )

hầu chắc chắn .

Khi M th ì I A 1 , nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra.

E g ( x ) / F  ≥ gE [ X / F ] ,

hầu chắc

chắn.
Chúng ta có kết quả sau đây.
Mệnh đề 1.3. Nếu X và XY là khả tích và Y là đo đợc đối
với F thì
E [ XY / F ] = YE [ E / F ]

(1.2)

Chøng minh. NÕu A ∈ F th× víi mét sè B F,
E 1∧ E [ X / F ] ; B  = E  E [ X / F ] ; A ∩ B  = E [ X ; A ∩ B ] = E [ 1∧ / B ]

Khi 1 E [ X / F ] đo đợc đối víi F ,tõ biĨu thøc (1.1) khi Y = 1∧ vµ
6


A ∈ F . Tõ biĨu thøc (9.1) ®èi víi Y bất kỳ đo đợc đối với F , X

và XY là khả tích.
Hai đẳng thức tơng đơng với nhau.
Mệnh ®Ị 1.4. NÕu ε ⊆ F ⊆ G th×
E  E [ X / F ] / ε  = E [ X / ε ] = E  E [ X / ε ] / F 

Chøng minh. VÕ phải dễ dàng suy ra đợc vì E [ X / ] là

đo


đợc, do đó F đo đợc. Đẳng thức bên trái xảy ra khi A . Khi ®
ã A cịng thc F,
E  E  E [ X / F ] / ε  ; A = E  E [ X / F ] ; A = E [ X ; A] = E  E [ X / ε ] ; A 

C¶ hai vế là

đo đợc, đẳng thức xảy ra.

Để chứng minh sự tån t¹i cđa E [ X / F ] ta làm nh sau.

Mệnh đề 1.5. Nếu X là khả tích , thì E [ X / F ] tồn tại.
Chứng minh. §Ĩ sư dơng tÝnh tun tÝnh, chóng ta chØ cần
xem nh X 0 . Xác định độ đo Q trªn F

bëi Q ( A) = E [ X ; A] với

A F . Độ đo này liên tục hoàn toàn đối với P \ F , những hạn chế

của P trên F .Cho E [ X / F ] là đạo hàm Radon Nykodym của Q
đối với P \ F . Đạo hàm Radon-Nykodym là F đo đợc từ xây dựng
và điều kiện xác định của biến ngÉu nhi ªn.
Khi F = σ ( Y ) , một trong những cách thờng viết E [ X / F ]
thay cho E [ X / F ] . Kí hiệu này thờng đựợc sử dụng (tuy nhiên
trong các trờng hợp khác với các mục đích khác nhau chúng ta
sư dơng c¸ch viÕt E [ X / F = y ] . Định nghĩa sau, nếu A ( Y ) th×

7


A = ( Y ∈ B ) víi B lµ các tập Borel trong ( Y ) , hoặc 1V = 1B ( Y ) . ¸p dơng


tÝnh tun tính và giới hạn, nếu Z là đo đợc đối víi σ ( Y ) ,
z = f ( Y ) , với f là các hàm Borel đo đợc. Đặt Z = E [ X / F ] là ®é ®o

Borel sao cho z = f ( Y ) thì E [ X / F = y ] là ®Þnh nghÜa cđa f ( y ) .
NÕu X ∈ L2 và M ={ Y L2 : Y đo ®ỵc ®èi víi F}, cã thĨ xem
E [ X / F ] chính là phép chiếu của X lên không gian con M. Chúng

ta sẽ không sử dụng điều này trong các ghi chú.
2. Thời điểm dừng
Tiếp theo chúng ta sÏ nãi vỊ thêi ®iĨm dõng. GØa sư
chóng ta cã mét d·y σ -tr êng Fi sao cho Fi ∈ Fi +1 cho mỗi i. Trong
ví dụ này có thể xem Fi = σ ( X 1 ,K , X n ) . Một ánh xạ ngẫu nhiên N đi
t ừ đ ến { 0,1 ,2 ,. } đợc gọi là thời điểm dừng của n nếu ,
( N Đn )

Fn. Thời điểm dừng còn đợc gọi là thời điểm tuỳ ý

trong nguyên lí Markov.
Định nghĩa: Giả sử : Ω → N ∪ { ∞} biÕn ngÉu nhiªn cã thể lấy
giá trị , ta nói rằng là thêi ®iĨm dõng Markow ®èi víi

{ ℑn ; n ∈ N } , nÕu { ω : τ ( ω ) = n} ∈ ℑn ; ∀n ∈ N . Nếu thêm vào đó

P ( < ) = 1

thì đợc gọi là thời điểm dừng.
Chú

ý:




là

thời

điểm

Markov

khi

và

chỉ

khi

{ : ( ω ) ≤ n} ∈ ℑ ; ∀n ∈ N
n

Chóng ta thêng sư dơng kÝ hiƯu a ∧ b = min ( a, b ) vµ a ∨ b = min ( a, b ) .
Mệnh đề 2.1.
(a)

n không ®ỉi lµ thêi ®iĨm dõng.

(b)


NÕu N1 vµ N2 lµ thêi điểm dừng thì N1 N2 và N1 N2
8


cũng là thời điểm dừng.
(c)

Nếu Nn là dÃy không giảm của thời điểm dừng thì N

=supn Nn cũng là thời điểm dừng .
(d)

Nếu Nn là dÃy không tăng của thời điểm dừng thì N

=inf Nn cũng là thời điểm dừng .
(e)

Nếu N là thời điểm dừng thì N +n cũng là thời

điểm dừng.
Ký hiệu FN ={ A : A ( N ≤ n ) ∈ Fn víi mäi n}.
Chøng minh.
(a) Dễ dàng suy ra từ định nghĩa của thời ®iÓm dõng.
(b) Ta cã : ( N1 ∧ N 2 ≤ n ) = { N1 ≤ n} ∪ { N 2 ≤ n}
mµ

{ N1 ≤ n} ∈ Fn , { N 2 ≤ n} ∈ Fn

Suy ra


( N1 ∧ N 2 ≤ n ) = { N1 ≤ n} ∪ { N 2 ≤ n} ∈ Fn

T¬ng tù ta cã :

( N1 ∨ N 2 ≤ n ) = { N1 ≤ n} ∩ { N 2 ≤ n} Fn

Từ đó rút ra điều phải chứng minh.
( c) + ( d) Điều phải chứng minh suy ra từ
N = sup n { N k ≤ n} = ∩ { N k ≤ n} ∈ Fn

vµ
N = inf n { N k ≤ n} = ∪ { N k n} Fn

(e) áp dụng (a) và định nghĩa của thời điểm dừng suy ra
điều phải chứng minh.
3. Martingales
Trong phần này chúng ta sẽ nói về martingale. Cho Fn là dÃy
không giảm của -trờng. Một dÃy biến ngẫu nhiên M n là phù hợp với
9


Fn nếu với mỗi n, M n đo đợc đôí víi Fn .
M n lµ martingale nÕu M n lµ phù hợp với Fn , M n khả tích với mäi n

vµ E [ M n / Fn −1 ] = M n 1 hầu chắc chắn với n = 2,3...

(11.1)

NÕu chóng ta cã E [ M n / Fn−1 ] M n1 ,hầu chắc chắn với
mọi n chúng ta có martingale trên, martingale trên có tính chất

tăng.
Bây giờ chóng ta lÊy ngay mét vÝ dơ. NÕu X i là
một dÃy biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối và Sn là
tổng riêng, thì M n = Sn là một martingale ,áp dụng tính độc lập
ta có
E [ M n / Fn −1 ] = M n−1 + E [ M n − M n −1 / Fn−1 ] = M n−1 + E [ M n − M n −1 ] = M n −1 .

NÕu X i ' s có phơng sai 1 và M n = S n2 − n th×
2
E  Sn2 / Fn −1  = E ( S n − S n −1 ) / Fn −1  + 2S n −1  S n2 / Fn −1  − S n2 = 1 + Sn2−1 (sư dơng



tÝnh ®éc lËp) .Tõ ®ã suy ra M n là martingale.
Từ đó ta có nếu X ∈ L1 vµ M n = E [ X / Fn ] , thì M n là martingale.
Nếu M 2 lµ martingale vµ H n ∈ Fn −1 víi mỗi n, khi đó có thể dễ
dàng kiểm tra rằng N n = ∑ i =1 H i ( M i − M i −1 ) cịng lµ martingale.
n

NÕu M n lµ martingale vµ g ( M n ) lµ khả tích với mỗi n,áp
dụng bất đẳng thức Jensen ta cã:
E  g ( M n −1 ) / Fn  ≥ g ( E [ M n −1 / Fn ] ) = g ( M n )

hc g ( M n ) là martingale trên. Tơng tự nếu g là hàm lồi và
không tăng trên [ 0, ) và

M n là martingale trên dơng,thì M n là

martingale trên bởi vì


10


E  g ( M n −1 ) / Fn  ≥ g ( E [ M n −1 / Fn ] ) = g ( M n )

4. Thêi ®iĨm dõng bÊt kú.
Chó ý nÕu lÊy kú väng ë (11.1), th ì EM n = EM n 1 ,bằng
phơng pháp quy nạp ta có EM n = EM 0 . Đ ịnh lí về martingale đối
với tất cả các kết quả cơ bản khác là định lý Doob về thời
điểm dừng bất kỳ,cùng là đ úng nếu chúng ta thay thế n bởi
thời điểm dừng N .Đó là các dạng khác nhau phụ thuộc vào kỳ
vọng đặt tại thời điểm dừng.

Định lý 4.1. Nếu N là thời điểm dừng bị chặn hoàn toàn trên
Fn và M n là martingale, th× EM n = EM 0 .

Chøng minh. Khi N bị chặn, đặt K là giá trị lớn nhất có thĨ
cã cđa N. Chóng ta viÕt
K

K

k =0

k =0

EM N = ∑ E [ M N ; N = k ] = ∑ E [ M k ; N = k ]

Chú ý ( N = k ) là Fi đo đợc nếu j k , thì
E [ M K ; N = k ] = E [ M k +1 ; N = k ]


= E [ M k + 2 ; N = k ] = ... = E [ M k ; N = k ]

Do ®ã
K

K

k =0

k =0

EM N = ∑ E [ M N ; N = k ] = ∑ E [ M k ; N = k ]

Ta ®· chøng minh xong.
GØa thiÕt N bị chặn không cần dùng đến. ở một vài
ví dụ, khi M n là tổng từng phần của một dÃy biến ngẫu nhiên
độc lập có cùng phân phối nhận giá trị 1 , các khả năng khác
nhận giá trị 1/2. NÕu N = min { i : M i = 1} , chóng ta thÊy r»ng khi N < ∞
11


hầu chắc chắn nhng EM N = 1 0 = EM 0
Chứng minh hoàn toàn nh định lí 12.1 cho ta hệ quả
sau.
Hệ quả 4.2. Nếu N bị chặn bởi K và M n là martingale trên
thì EM N EM K
Hệ quả 4.3. Nếu N bị chặn bởi K , A Fn và M n là martingale
trên th×
E [ M ∧ ; A] ≤ E [ M K ; A ]


MƯnh ®Ị 4.4. NÕu N1 ≤ N 2 là thời điểm dừng bị chặn bởi K
và M là martingale thì E M N / FN = M N ,hầu chắc chắn.
2

Chứng

minh.

Gỉa

sử

1

A FN1

1

Chúng

ta

cần

chỉ

ra

E M N 1 ; A = E  M N 2 ; A . Xác định thời điểm dừng N 3 bëi


N1 ( ) , nÕu

A

N3 ( )
N2 ( ), nÕu

A.

D ễ dàng kiểm tra đợc N3 là thời điểm dừng ,vì vậy
EM 3 = EM K = EM 2 và hƯ qu¶
E  M N1 ; A + E  M N2 ; Ac  = E  M N2 
c
Trõ E  M N ; A  ta suy ra điều phải chứng minh.
2

Mệnh đề 4.5. Gỉa sử X k là martingale dới với dÃy tăng các trờng Fk . Khi ®ã chóng ta cã thĨ viÕt X k = M k + Ak sao cho M k là
martingale phù hợp với Fk và Ak là dÃy các biến ngẫu nhiên với Ak
đo đợc đối với Fk 1 vµ A0 ≤ A1 ≤ ...
12


Chøng minh. Cho ak = E [ X n / Fn −1 ] − X k −1 víi k =1 ,2 ,....Khi X k

là

k

martingale trên,đối với ak 0 . Đặt AK = ai . Mặt khác Ak tăng và

i =1

đo đợc với mọi Fk 1 . Đặt M k = X k − Ak th×
E [ M k +1 − M k / Fk ] = E [ X k +1 − X k ] − ak +1 = 0

hoặc M k là một martingale.
Tổng hợp mệnh đề 4.4 và 4.5 chúng ta có
Hệ quả 4.6. Gỉa sử X k là một martingale trên và N1 N 2 là các
thời điểm dừng bị chặn, thì
E X N 2 / FN1 X N1

5. Bất đẳng thức Doob
Định lí 5.1. Nếu M n là martingale hoặc martingale dới không
âm
P ( M n* a ) E  M n : M n* ≥ a  / a E M n / a

Chứng minh. Đặt M n +1 = M n vµ N = min { j : M j ≥ a} ∧ ( n + 1) Khi . låi, M n
*
lµ martingale díi. NÕu A = ( M n ≥ a ) , th× A FN v à từ hệ quả 12.3

aP ( M n* ≥ a ) ≤ E [ M n ; A] ≤ E  M k ; A ≤ EM n

Khi p>1 ta có bất đẳng thức sau
Định lí 5.2. NÕu p > 1 v µ EM ip < với i n thì
E( M

)

* p
n


p

p

ữ E Mn
 p −1 

n

p

*
Chøng minh. V× M n ≤ ∑ M n nªn M n* ∈ Lp . Chóng ta viÕt
i =1

13


∞

∞

p
E ( M n* ) = ∫ pa p −1 P ( M n* ≥ a ) da ≤ ∫ pa p −1E  M n 1 M * ≥ a / a da

( n ) 
0
0
M n*


= E ∫ pa p − 2 M n da =
0

≤

(

p
p
E ( M n* )
p −1

)

p −1
p
E ( M n* ) M n 

p −1 

( p −1) / p

(

E Mn

)

p 1/ p


BÊt đẳng thức cuối cùng chính là bất đẳng thức Holders.

(

Bây giờ chia hai vế bởi đại lợng E ( M n* )

p

)

( p −1) / p

6. Sù héi tơ ®èi với Martingale.
Định lí hội tụ của martingale là một trong những
hệ quả quan trọng của thời điểm dừng ngẫu nhi ên. Chính là
bổ đề cắt ngang.Số lần cắt ngang của khoảng [ a, b] là số lần
chéo hoá từ dới lên từ giá trị a tới giá trị b.
Tiếp theo, ®Ỉt S1 = min { k : X k ≤ a} ; T1 = min { k ≥ S1 : X k ≥ b}
vµ

Si +1 = min { k ≥ Ti : X k ≤ a} ; Ti +1 = min { k ≥ Si +1 : X k ≥ b}

Số lần cắt ngang U n trớc thời điểm n lµ

U n = max { j : T j ≤ n}

Định lí 6.1. (Bổ đề cắt ngang) Nếu Xk là maringale díi
−1
+

EU n ≤ ( b − a ) E ( X n − a ) 



Chøng minh. Sè lÇn c¾t ngang cđa [ a, b] bëi X k cịng chính là
+
số lần cắt ngang của [ 0,b a ] bëi d·y Yk = ( X k − a ) .Hơn nữa Yk là

còn martingale trên. Nếu chúng ta thu đợc bất đẳng thức cắt
ngang của đoạn [ 0,b a ] bởi Yk , chúng ta sẽ đạt đợc bất đẳng
thức cắt ngang của X .
Gỉa sử a = 0 , Cố định n và từ tính chất cđa
martingale ta suy ra Yn +1 = Yn . T¬ng tự nh trên ta suy ra Si v à Ti ,
'
và đặt Si = Si ( n + 1)

14


Tn' = Ti ∧ ( n + 1)

Tõ Ti +1 > Si +1 > Ti th× Tn'+1 = n .
Chóng ta viÕt

n +1

n +1

EYn +1 = EYS' ' + ∑ E YT ' − YS '  + ∑ E YT ' − YS ' 
1

 i
i 
 i−1
i −1
i =0
i =0

Tất cả các số hạng của vế phải là không âm khi Yk là
chạy, YT YS b − a ,khi ®ã

martingale díi. Cho j

i

'

'
i

YT ' − YS ' lớn hơn
i
i

hoặc bằng 0. Nh vậy

( Y


Ti'


i =0

)

YS ' ≥ ( b − a )U n
i

EU n ≤ EYn +1 / ( b − a )

Suy ra
(4.8)

Tõ đó ta có định lý hội tụ martingale.
Định lý 6.2. Nếu X n là martingale trên sao cho sup n EX n+ < , thì
X n hội tụ hầu chắc chắn khi n .

Chứng minh. Đặt U ( a, b ) = lim n→∞ U n . Cho a, b là các số hữu tỷ và
dÃy đơn ®iÖu.
EU ( a, b ) ≤ c ( b − a ) E ( X n − a ) < ∞
−1

+

Nh vËy U ( a, b ) < ∞ hÇu chắc chắn. Hợp của tất cả các cặp số
hữu

tỷ

a,b


chúng

ta

thấy

dÃy

Xn (U )

kh«ng

thĨ

cã

lim sup X n > lim inf X n . Bởi vậy X n hội tụ hầu chắc chắn mặc dù

chúng ta vẫn có những quy luật giới hạn không đếm đợc của
xác suất. Khi X n là martingale dới, EX n EX 0 , và vì vậy
E X n = EX n+ + EX n− = 2 EX n+ − EX n ≤ 2 EX n+ − EX 0 áp

dụng bổ đề Fatous, ta có E lim n X n ≤ sup n E X n < ∞ , hoặc X n hội tụ
hầu chắc chắn tới một giới hạn hữu hạn.
Hệ quả 6.3. Nếu X n là martingale trên dơng hoặc martingale
bị chặn trên hoặc dới, X n hội tụ hầu chắc chắn.
15


Chứng minh. Nếu X n là martingale trên dơng , X n bị chặn

trên bởi O. Bây giờ áp dụng định lý 4.12.
Nếu X n là martingale bị chặn trên bëi − X n , chóng ta cã thĨ
gi¶ sư X n cũng bị chặn dới. Khi đó X n + M với M không đổi sẽ
không ảnh hởng gì ®Õn sù héi tơ ,do ®ã chóng ta cã thĨ giả
sử X n bị chặn dới bởi 0. Bây giờ là khẳng định đầu tiên của
hệ quả.
Mệnh đề 6.4. Nếu X n lµ martingale víi sup n Enp < ∞ với p > 1 thì
sự hội tụ trong Lp là hôị tụ hầu chắc chắn. Điều đó cũng
đúng khi X n là martingale dới. Nếu X n là marting khả tÝch th×
héi tơ trong L1 . Khi X n → X ∞ trong L1 th × X n = E [ X ∞ / Fn ] .
X n lµ martingale khả tích nếu tập hợp các biến ngẫu

nhiên của X n là khả tích .
Chứng minh. Sự hội tụ trong Lp đợc suy ra từ bất đẳng thức
Doobs (Định l í 13.2) và hội tụ chắc chắn. Sự hội tụ trong L1
đợc suy ra từ kh ẳng định sau khi hội tu hầu chắc chắn và
khả tích thì hội tụ trong L1 .Cuèi cïng nÕu j X j = E  X ∞ / Fj  , nÕu A ∈ Fj
E  X j ; A = E [ X n ; A] → E [ X ∞ ; A]

Trong L1 , X n héi tơ tíi X . Điều đó cũng đúng với tất cả A ∈ Fj vµ
X j = E  X ∞ / Fj

7. Martingale trong các bài toán ứng dụng thực tế.
Tập hợp Sn là vận may của bạn tại thời điểm n. Tại sòng
bạc, E [ Sn +1 / Fn ] = S n . NÕu N lµ thêi điểm dừng, theo định lí dừng
ngẫu nhiên th ì ES N = ES0 , trong các trờng hợp khác sẽ không có
vấn đề gì nếu bạn ngừng sử dụng những phơng pháp cá cợc,

16

trung bình những gì bạn thu đợc sẽ không nhiều hơn so với
những gì bạn có ban đầu.
Một trong những ứng dụng hay của martingale là chứng mình
của SLLN. Cố định N và Yi là độc lập có cùng phân phèi,
Z n = E [ Y1 / S n , S n +1 ,..., S N ] . Chóng ta cÇn chøng minh Z n = Sn / nS . Dĩ nhiên
Sn đo đợc đối với ( S n ,..., S N ) . NÕu A ∈ σ ( Sn ,..., S N ) víi mét sè n th×
A = ( ( S n ,..., S N ) ∈ B ) víi c¸c tËp Borel B cđa ¡

N − n +1

. Khi đ ó Yi là độc

lập có cùng ph©n phèi víi k ≤ n ,
E Y1 ; ( S n ,..., S N ) ∈ B  = E Yk ; ( S n ,..., S N ) B

Lấy tổng trên theo k và chia cho n ta đợc
E Y1 ; ( S n ,..., S N ) ∈ B  = E  S n / n; ( S n ,..., S N ) ∈ B 

Do ®ã E [ Y1 ; A] = E [ S n / n; A] víi A ∈ σ ( Sn ,..., S N ) ,tõ ®ã suy ra Z n = S n / n .
Đặt X k = Z N − k v µ Fk = = σ ( S N − k , Sn − K +1..., S N ) . Chó ý r»ng Fk cµng lớn khi k
càng tăng và từ X k = E [ Y1 / Fk ] , tõ ®ã ta cã thể thấy rằng X k là
martingale. áp dụng bất đẳng thức cắt ngang Doobs ,nếu U nX
là

số

lần

cắt

ngang

của

[ a, b ]

bởi

X,

thì

EU nX ≤ EX N+ / ( b − a ) ≤ E Y1 / ( b − a ) §iỊu này khác với hầu hết các số cắt

ngang của [ a, b]

bëi Z1 ,..., Z N . Do ®ã kú vọng của số lần cắt

ngang khoảng [ a, b] bởi Z k với k N là bị chặn bởi Z1 là hữu hạn.
Lý luận tơng tự chứng minh trong định lý hôi tụ của
martingale, định lý này nói rằng Z n = S n / n không đổi.
Nó đợc hiĨu r»ng Sn / n → ∞ nhng theo bỉ ®Ò Fatou’s
E  lim S n / n  ≤ lim inf E S n / n ≤ lim inf nE Y1 / n = E Y1 < ∞

Víi c¸c dạng martingale khác áp dụng kỹ thuật Walds.

17

Mệnh đề 7.1. Giả sử Yi là độc lập có cùng phân phối với
E Y1 < , N là thời điểm dừng với EN < và N độc lËp víi Yi i th×
ES N = ( EN ) ( EY1 ) ở đây S n là tổng riêng cña Yi .

Chøng minh. Sn − n ( EY1 ) là martingale, còn ESn N = E ( n N ) EY1 do
thời điểm dừng là tuỳ ý. Vế phải dẫn đến ( EN ) ( EY1 )

bởi hội tụ

đơn điệu. Sn N hội tụ hầu chắc chắn tới S N và chúng ta cần
chứng minh giá tr ị kỳ vọng là hội tụ. Vì


nk

k =0

k =0 j = 0

S n ∧ N = ∑ S n∧ N 1( n = k ) ≤ ∑∑ Y j 1( n = k )
n

∞

n

∞

j =0

j =0

Tõ biÓu thøc ∑∑ Y j 1( N = k ) = ∑ Y j 1( N ≥ j ) ≤ ∑ Y j 1( N ≥ j )
k =0 k > j

lËp, ta có giá biểu thức

và sử dụng tính độc



( E Y ) P ( N ≥ j ) ≤ ( E Y ) ( 1 + EN ) < ∞
j =0

j

1

Tõ sù héi tơ tréi chóng ta cã ESn ∧ N → ES N .
§ång nhÊt Wald’s hai vÕ cđa biĨu thøc cho kú väng cđa S N .
Chóng ta có thể dùng martingale để tìm xác suất
chắc chắn.
Mệnh ®Ị 7.2. GØa sư Yi l µ ®éc lËp cã cïng ph©n phèi víi
P ( Y1 = 1) = 1 , P ( Y1 = −1) = 1 vµ Sn là tổng riêng .Gỉa sử a và b là các
2
2

số nguyên dơng thì
P ( Sn đạt đợc a trớc b) = b ( a + b )

NÕu N = min { n : S n ∈ ( −a, b ] } th× EN = ab
Chøng minh. Sn2 − n là martingale ,do đó Sn2 n = En N .Cho n
thì vế phải hội tụ tới EN do hội tụ đơn điệu.Khi Sn N bị chặn
tuyệt đối bởi a + b ,thì vế trái hội tụ bởi hội tụ đơn điệu tới ES N2
,giá trị này là hữu hạn. Do EN hữu hạn nên N hữu hạn hầu chắc

18


chắn.
Sn là martingale, do đó ES n N = ES0 = 0 .Do hội tụ đơn điệu,

mặt khác N < hầu chắc chắn nên từ Sn N → S N , chóng ta cã
ES N = 0 hc
−aP ( S N = − a ) + bP ( S N = b ) = 0

Chóng ta cịng cã
P ( S N = −a ) + P ( S N = b ) = 1

Giải hai phơng trình cho kết quả là P ( S N = a ) vµ P ( S N = b ) . Khi
EN = ES N2 = a 2 P ( S N = −a ) + b 2 P ( S N = b ) , còng cho ta hai kết quả nh trên.

Mệnh đề trên, nếu chúng ta cho a → ∞ , chóng ta cã
thĨ thÊy P ( Nb < ∞ ) = 1 vµ ENb = ∞ khi Nb = min { n : S n = b}
Tiếp theo chúng ta có một dạng khác của bổ ®Ị B
orel -Cantelli.
MƯnh ®Ị 7.3. Gi¶ sư An ∈ Fn thì P ( lim sup An )

và P ( An Fn −1 ) = ∞ ÷
 n =1


khác nhau trên tập có độ đo không.
N

Chứng minh. Đặt X n = ∑ 1AN − P ( AM / FM −1 )  , do X n − X n−1 ≤ 1 cịng dƠ
M =1

dµng suy ra E [ X n − X n −1 / Fn ] = 0
nên X n là martingale.
Chúng ta cần chứng minh rằng với hầu hết thì lim
Xn

tồn tại và hữu hạn hoặc ngợc lại nếu lim sup X n = và

lim inf X n = . Mặt khác nếu N = min { n : X n ≤ −k } , th× X n ∧ N ≥ −k − 1 , áp

dụng định lí hội tụ của martingale thì X n ∧ N héi tô. Bëi vËy
lim X n tån tại và hữu hạn trên tập

( N = ) . Còn nếu

lim X n không

tồn tại hoặc không hữu hạn thì N < . Điều đó đúng với mäi k,
tõ ®ã lim inf X n = −∞ . Từ đó lim sup X n = là dĩ nhiªn.
19

Bây giờ nếu lim X n tồn tại và hữu hạn thì khi và chỉ
khi

P( A

n

/ Fn 1 ) < . Mặt khác nếu giới hạn không tồn tại hoặc

không hữu hạn thì

1

A0

= và

P( A

n

/ Fn −1 ) = ∞ .

8.Sù héi tơ u
TiÕp theo chóng ta sẽ thấy nếu X i là độc lập có cùng
phân phối với kỳ vọng 0 và phơng sai 1 th× Sn

n héi tơ nh

sau

((

P Sn

)

)

n ∈ [ a, b ] → P ( Z ∈ [ a, b ] )

với Z là chuẩn thông thờng. Nếu Sn

n hội tụ theo xác suất

hoặc hội tụ hầu chắc chắn thì theo lt 0 − 1 nã sÏ héi tơ tíi
mét h»ng số, mâu thuẫn với giả thiết. Chúng ta cần tổng quát
dạng hội tụ trên.
Chúng ta nói Fn hội tụ yếu tíi F nÕu Fn ( x ) → F ( x ) với mọi
x và F là liên tục. ở đây Fn và F là các hàm phân phối. Chúng
ta nãi X n héi tơ u tíi X nÕu FX hội tụ yếu tới FX , Đôi khi chúng
0

ta còn nói X n hội tụ theo phân phối hoặc hôi tụ theo quy tắc
tới X . Xác suất àn hội tụ yếu hàm phân phối tơng ứng của
chúng hội tụ, điều này tơng đơng với nếu FM ( x ) = µn ( −∞, x ] héi tơ
0

u.

VÝ dơ sau sẽ giải thích tại sao chúng ta hạn chế sự hội tụ tới
điểm liên tục của F . Cho X n = 1/ n với xác suất 1, và X = 0 víi x¸c
st 0, FX b»ng 0 nÕu x < 1 và bằng 1 trong các trờng hợp khác
n

FX n ( x )

héi tơ tíi FX ( x ) víi mäi x trõ x = 0

MƯnh ®Ị 8.1. X n héi tơ u tíi X khi vµ chØ khi Eg ( X n ) → Eg ( X )
20


với mọi g liên tục và bị chặn.
Khái niệm Eg ( X n ) héi tơ tíi Eg ( X ) với mọi g liên tục và bị
chặn với một vài không gian metric và đợc dùng nh định nghĩa
sự hội tụ yếu của X n trong các không gian metric tổng quát.
Chứng minh. Đầu tiên giả sử Eg ( X n ) héi tơ tíi Eg ( X ) . Cho x là một
điểm mà tại đó F liên tơc vµ ε >0, chän g sao cho F ( y ) − F ( x ) < ε
nÕu y − x < δ . Chän g liªn tơc sao cho g là một trên ( , x ] , nhận
giá

trị

giữa

0

và

1,

và

bằng

0

trên

[ x + , ) thì

FX n ( x ) ≤ Eg ( X n ) → Eg ( X ) ≤ FX ( x + δ ) ≤ F ( x ) + ε

T¬ng tù nÕu h là hàm liên tục, nhận giá trị giữa 0 và
1,

nó

bằng

0

trên

( , x ] và

0

trên

[ x, ) , FX ( x ) ≥ Eh ( X n ) → Eh ( X ) ≥ FX ( x − δ ) ≤ F ( x ) − ε , khi ε tuú ý th×
n

FX n ( x ) → FX ( x )

Bây giờ giả sử X n hội tơ u tíi X . NÕu a vµ b lµ các điểm
mà tại các
giá trị này F và F ( X n ) liên tục thì
E1[ a ,b] ( X n ) = FX n ( b ) − FX n ( a ) → F ( b ) − F ( a ) = E1[ a ,b] ( X ) .

¸p dơng tÝnh tun tÝnh chóng ta cã Eg ( X n ) → Eg ( x ) víi g là
hàm gián đoạn với các điểm là khoảng cách cđa F ( X n ) vµ F ( x )
là liên tục. Do tập hợp các điểm mà

tại đó F ( X n ) hoặc F ( x )

không liên tục là đếm đợc, chúng ta có thể xem một vài hàm
liên tục về khoảng cách là các hàm cã cïng d¹ng, chóng ta cã
Eg ( X n ) → Eg ( x ) víi tÊt c¶ g sao cho g đóng trên khoảng có các

điểm đầu mút mà

tại đ ó F ( x ) liên tục và g liên tục trên

khoảng đó.
21


Cho ε > 0 v µ chän M sao cho FX ( M ) < 1 − ε vµ FX ( M ) < ,từ đó

M và M là tại các điểm đó thì FX và

FX n liên tục Từ đối số

trên E ( 1[ M ,M ] g ) ( X n ) → E ( 1[ − M ,M ] g ) ( X ) ở đây g là hàm liên tục bị
chặn. Điểm khác nhau giữa E ( 1[ M ,M ] g ) ( X ) vµ Eg ( X ) là bị chặn bởi
g



P ( X n [ M , M ] ) 2 g



nhau là bị chặn bởi

Tơng tự khi thay X bởi X n thì sù kh¸c
g

∞

P ( X n ∉ [ −M , M ] ) ≤ g

∞

P ( X ∉ [ − M , M ] ) Khi n t

ăng thì nó nhỏ h¬n 3ε g ∞ . Khi ε tuú ý Eg ( X n ) → Eg ( X ) víi g là hàm
liên tục và bị chặn.
Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa hội tụ yếu

và héi tơ theo x¸c st. Tõ vÝ dơ Sn

n cho ta thÊy nã cã thĨ héi

tơ u nhng kh«ng héi tụ theo xác suất.
Mệnh đề 8.2. (a) Nếu X n hội tụ theo xác suất tới x thì nó hội
tụ u.
(b) NÕu X n héi tơ u tíi mét h»ng số thì nó hội tụ theo xác
suất.
( c) (Định lý Slutsky’s ) NÕu X n héi tơ yªó tíi X và Yn hội tụ yếu
tới hằng số c thì X n + Yn héi tơ u tíi X + c và X nYn hội tụ yếu tới cX
.
Chứng minh: Để chứng minh (a) ta cho g là hàm bị chặn và
liên tục. Nếu n j là dÃy con thì tồn tại một dÃy con lớn hơn sao
cho X ( n jk ) hội tụ hầu chắc chắn tới X . Thì từ hội tụ đơn điệu

(

)

Eg X ( n jk ) Eg ( X ) . Thoả mÃn để Eg ( X n ) héi tơ tíi Eg ( X )

Tõ (b), nÕu X n héi tơ u tíi c
P ( X n − c > ε ) = P ( X n > c + ε ) = 1− P ( X n > c + ε ) → 1− P ( c ≤ c + ε ) = 0

Chóng ta sư dơng ý nÕu Y ≡ c thì c + là một điểm liên tục của
22


FY .Vế còn lại cho ta P ( X n − c ≤ ε ) → 0 th× P ( X n − c > ε ) → 0

B©y giê chúng ta chứng minh vế đầu của ( c), phần còn lại
dành cho ngời đọc. Cho x là một điểm sao cho x c là điểm
liên tục của FX. Chän ε sao cho x − c + ε lµ một điểm liên tục thì
P ( X n + Yn ≤ x ) ≤ P ( X + c ≤ x + ε ) + P ( Yn − c > ε ) → P ( X ≤ x − c + ε )

Tõ limsupP ( X n + Yn ≤ x ) ≤ P ( X + c ≤ x + ε ) , do ε bÐ tuú ý nên x-c là liên tục
của FX thì limsupP ( X n + Yn ≤ x ) ≤ P ( X + c x ) , với lim inf đợc làm tơng tự.
Chúng ta nói một dÃy hàm ph ân phối { Fn } là chặt nếu với
mỗi > 0 , tån t¹i M sao cho Fn ( M ) ≤ 1 − ε vµ Fn ( − M ) ≤ ε víi mäi n .Mét
d·y biÕn ngÉu nhiªn chặt nếu hàm phân phối tơng ứng của nó
là chặt, ®iỊu ®ã cã nghÜa lµ P ( X n ≥ M )
Định lí 8.3. (Định lý Hellys) Cho Fn là dÃy hàm phân phối
chặt. Thì tồn tại dÃy con n j và hàm phân phối F sao cho Fn héi
1

tơ u tíi F.
Chøng minh. Cho qk lµ tËp hợp đếm đợc các số hữu tỷ. Khi
Fn ( qk ) ∈ [ 0;1] mét v µi d·y con cã mét con d·y héi tơ. Sư dơng chÐo

ho¸ cho Fn ( qk ) hội tụ với mỗi qk và gọi giới hạn F ( qk ) . F không giảm
1

và xác định F ( x ) = inf q F ( qk ) , do F liên tục phải và không giảm.
k +n

Nếu x là một điểm liên tục của F và

thì r tồn tại và s hữu

tỷ sao cho r < x < s vµ F ( s ) − ε < F ( x ) < F ( s ) + ε th×
Fn1 ( x ) ≥ Fn1 ( γ ) → F ( γ ) > F ( x ) − ε

vµ
Fn1 ( x ) ≤ Fn1 ( s ) → F ( s ) > F ( x ) + ε

Khi ε tuú ý Fn ( x ) → F ( x )
1

23


Khi Fn chặt, tồn tại M sao cho Fn ( − M ) < ε th×
Fn ( − M ) , điều này có nghĩa là lim x →∞ F ( x ) = 0 . T¬ng tù ta thÊy
lim x →∞ F ( x ) = 1 . Từ đó F là hàm phân phối.

Kết luận của chúng ta đa ra một cách dễ dàng nhờ
kiểm tra tiêu chuẩn của tập chặt.

24


Tài liệu tham khảo
1. Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lý thut x¸c st, NXB Gi¸o
dơc, 2000 .
2. Ngun Duy TiÕn- Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, NXB
Gíao dục, 2000 .
3. Nguyễn Văn Quảng, Các định lý giới hạn trong lý thuyÕt
x¸c suÊt, Vinh, 2008.
4. Y.S.

Chow

and

H.

Teicher

;

Probability

Theory:

Independence,
5. Interchangeability, martingale. Gebiete 55. 119 - 122.
1981.
6. J. Neveu , Discrete – Parameter Martingales, Amsterdam
.Oxford, Inc.
7. New York 1975.
8. D. Williams,

Probability with

martingales,

Cambridge

University Press

9. 1991.
10.

P. Hall, C. C. Heyde ; Martingale Limit Theory and its

application,
11.

Academic Press, Inc. New York 1980.

25