Chơng I: Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1: Giử sử E là không gian vectơ (trên K) và N hàm
.E K
x x
đợc gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mÃn các điều kiện sau:

i, x 0 ,  x  E
x 0  x 0

ii, x   x ,  λ  K,  x  E
iii, x  y  x  y ,  x,y  E
Kh«ng gian tun tÝnh E cïng víi mét chuẩn . , x,y E
trên nó đợc gọi là không gian định chuẩn, khi đó ta ký hiệu (E,
. ) hay E.

Định nghĩa 1.2: X là không gian mªtric,  x n   X ,  x đợc gọi
là dÃy côsi nếu > 0, n0: n, m n0 cã d  x n  x m     d  xn , x m 0 khi
n, m

Định nghĩa 1.3: Không gian mêtri X đợc gọi là không gian
mêtric đầy đủ nếu mọi dÃy côsy trong X đều hội tụ tới một
điểm thuộc X.
Định nghĩa 1.4: Giả sử E là không gian định chuẩn nếu E
là không gian mêtric đầy đủ thì E đợc gọi là không gian
banach.
Định nghĩa 1.5: Cho V là không gian vectơ trên đờng K.
Giả sử trong V có một hệ vectơ sau đây 1 ,, n . Ta nói hệ (1)
là

độc

lập

tuyến

tính

nếu

1 x1   2 x 2     n x n 0

  1 0  2  n . Tập hợp con S của V là độc lập tuyến tính

nếu mỗi tập con xác định khác 0 của S là độc lập tuyến tính.
Và S là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu nó không độc
lập tuyến tính
Quy ớc: Tập rỗng là độc lập tuyến tính
Định nghĩa 1.6: Một tập con của không gian vectơ V cã
c¬ sè Hamel nÕu
1


i, S là độc lập tuyến tính
ii, V = Sfan S, tức V là tổ hợp tuyến tính hữu hạn cña S. ( 
n

x  V: x   i xi ), xi  S, αi  K)
i 1

§inh nghÜa1.7: Mọi không gian tuyến tính V {0} có cơ
sở Hamel

Chứng minh: Gọi M là tập hợp tất cả các tËp con ®éc lËp
tun tÝnh cđa V. Do V ≠ {0} nên trong V luôn tồn tại một phần
tử x 0 và {x} M. Do đó M . Giả sử ={Mi} tuỳ ý thuộc M.
n
Thì M(=UMi) trong M. LÊy  xi  i 1 lµ mét dÃy hữu hạn bất kỳ trong
n
M thì xi i 1  M i

Suy ra:  xi  in1 độc lập tuyến tính
Vì vậy M M
Mặt khác, theo điều kiện của Zon'sLamme (135). Đợc
thoả mÃn và M có phần tử lớn nhất S. Bây giờ ta sẽ chứng minh
Sfan S = V:
Giả sử ngợc lại nếu Sfan S ≠ V suy ra  z  V - Sfan S.
Rõ ràng (S {z}) là độc lập tuyến tính cđa V vµ chøa z. Nh
vËy S  {z} M và (1) S Z . Mâu thuẫn với S là phần tử lớn
nhất. Vậy Sfan S = V. Do đó S là cơ số Hamel trong V.
Thí dụ 1: Cho V={} là không gian tuyến tính tầm thờng,
khi đó V có cơ sở Hamel
Chứng minh: Giả sử V là không gian tuyến tính khác 0.
Gọi Mi là tập hợp tất cả các tập con độc lập tuyến tính của
Mi
V và Mi chứa . Khi đó ta có Sfan
M V
i

Theo giả thiết V = {} là không gian tuyến tính tầm thờng. Do Mi Sfan M i V (1)
Mặt khác ta l¹i cã M i  V  Sfan M i  V (2)
Tõ (1) vµ (2) SfanΦ = V
VËy Φ là cơ sở của V


2


ThÝ dơ 2: Trong kh«ng gian tun tÝnh thøc, bÊt kỳ tập hợp
nào chứa phần tử khác 0 của R đều hình thành nên cơ sở
Hamel của R. Nh vậy R hữu hạn chiều.
Chứng minh: Giả sử E = R, A  E ,
A={1}. Khi ®ã A ®éc lËp tuyÕn tÝnh (1)
Sfan A={r.1, r  R} = R
VËy Sfan A = R (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: A lµ cơ sở Hamel trong R
Thí dụ 3: Trong không gian tuyến tính phức C, bất kỳ tập
hợp nào chứa phần tử khác không thì đều hình thành nên cơ
sở Hamel trong C.
Chøng minh: Gi¶ sư F  C, B  F, B = {1 + 0i}. Khi đó. B là
tập độc lập tuyến tính (1)'
Mặt khác Sfan B ={(x + iy)(1 + 0i), x + iy  C} = C
VËy Sfan B = C (2)'
Tõ (1) vµ (2)' ta suy ra: B là cơ số Hamel trong C.
Thí dụ 4: Trong không gian tuyến tính thực CR liên kết với
không gian tuyến tính phức có cơ sở Hamel là hệ (1, i) = B
Chøng minh: ThËt vËy, ta nhËn thÊy B = {1, i)=} là độc
lập tuyến tính.
Vì .1 M .i 0    M i 0   0, M 0  M N 0 (1)
Ta l¹i cã  α  C,  a  ib (a,b  B) th×  1.a  b.i
Suy ra α biĨu diễn đợc qua hệ {1; i} = B (2)
Vậy từ (1) và (2) ta suy ra B là cơ sở Hamel trong C
ThÝ dơ 5: Trong kh«ng gian tun tÝnh thực hữu hạn chiều
Rn cũng có 1 cơ sở Hamel.

Chứng minh: Xét các vectơ đơn vị: e1,,en với e1=(1, 0, 0,
…, 0); e2(0, 1, 0,…, 0); en(0, 0,…, 1)  Rn. Khi đó B = {e1,, en}
là độc lập tuyến tÝnh tõ ®ã
  1e1   2 e2  ...   n en  1 ,..., n  
  1  2 ...  n 0 , ( i R, i 1, n )

Mặt khác, cho x 1 ,  2 ,...,  n   Rn th×
3


x 1e1 ... n en

Nh vậy mỗi vectơ bất kỳ x Rn là tổ hợp tuyến tính của
các phần tử trong B hay Rn = Sfan B. Vậy B là cơ sở trong Rn.
Định 1.8: Cho V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó tất
cả các cơ sở của V có cùng số lợng các phần tử hay có cùng số
vectơ.
Chứng minh: Cho S và T là 2 cơ sở Hamel của V. Cho S có
n phần tử x1, x2,, xn, và T có n + 1 phần tử y1, y2,, yn+1
Khi đó chúng ta cã thĨ viÕt:
n

y i  a¹i x j , i=1,2,…,n
j 1

Tõ ®ã y1, y2,…, yn ®éc lËp tuyÕn tÝnh, ma trận [a ij] có
hạng bằng n, từ đó ta có:
n

y n 1  a n 1, j x j

j 1

Vµ vect¬  a n1 ,1, a n1 ,2,..., a n1 , n là tổ hợp tuyến tính của các
hàng vect¬ trong ma trËn [aij]. Nh vËy vect¬ y1, y2,…, yn, yn+1
không độc lập tuyến tính. Chứng tỏ bất kỳ tập hợp n + 1 vectơ
trong T đều phụ thuộc tuyến tính. Nhng T là cơ sở Hamel gồm
các vectơ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. T cã m ( n ) vectơ. Tơng tự nh
vậy sự n m . Vì vậy các phần tử của T và S biểu diễn nh nhau.
Định nghĩa 1.11: Cho v là không gian tuyến tính hữu hạn
chiều ta gọi n là số chiều của không vectơ V và ký hiệu là dim
V
Thí dụ: 1> dim R = 1 = dim C
2> dim CR = 2
3> dim Rn = n = dim Cn
Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vô hạn chiều không tìm đợc chính
xác cơ sở Hamel
Định nghĩa 1.12: Cho X là không gian banach trên trờng K
một dÃy x n X đợc gọi là cơ sở Schauder trong X nếu mỗi x X
, tån t¹i duy nhÊt mét d·y  x n   K sao cho



x   i xi (1)
i 1

4


Sự hội tụ của chuỗi (1) là sự hội tụ theo chuẩn X


lim

x

n

n

x
i

0

i

i 1

Rõ ràng các phần tử cđa d·y   n  phơ thc vµo x và ta xác
định hàm tuyến tính f n trong X: f n  x   n  n  n  (n=1, 2,…).
D·y  f n  là dÃy số kết hợp của hệ số hàm tơng ứng ứng với cơ sở

x n . Mỗi i là hàm duy nhất của x. Kéo theo mỗi phần tử trong
dÃy kết hợp với hệ số hàm thì mỗi x X ta có thể biểu diễn duy
nhất dới dạng


x f i x x i
i 1

Mỗi fn liên tục, thì cơ sở x n đợc gọi là cơ sở Schauder.

Định lý 1.13: Không gian ba nácl có cơ sở là không gian
khả ly
Chứng minh: Cho X là không gian ba nácl trên đờng K (R
hoặc C) với cơ sở x n . XÐt tËp hỵp

 n
A   ri xi : ri ' là hữu tỷ trên K
i 1

và a N. Rõ ràng A là tập con đếm đợc của X. B©y giê ta sÏ
chøng minh A trï mËt trong X
Cho ε > 0 tuú ý bëi v× d·y  x n là cơ sở trong X, Sfan nn   X
Khi ®ã x  X ,  y y  Sfan ·nn  sao cho x  y   2 . Ta cã thÓ viÕt
k

y   i x m . Khi ®ã:
i 1

 x
i

 

k



 ...   k xnk  r1 x n1  ...  rk x nk   i  ri x ni

n1


i 1


> 0, tìm đợc các số hữu tû ri ®Ĩ  i  ri  2k x
ni

Ta cã:
x

k

r x
i

i 1

k

ni

 x

k

 x
i

i 0


k

n

i 1

i 1

k

ni



k

 x   r x
i

i 1

ni

i

i 1

ni

  i xn1    i  ri xn1

5


k

k

i 1

i 1

  i xn1  

 x


x n1
2k x ni



2 2

Điều này chỉ ra rằng khi cho mỗi x X luôn tồn tại 1 phÇn
 n

Z

  ri x ni    sao cho x  Z  
tư

 i 1


V× vËy A trù mật trong X
Thí dụ 1.14:
Thí dụ 1; Các vectơ đơn vị li là cơ sở Schauder của C0.
Cho x i k là phần tư bÊt kú cđa C0. Nh vËy víi n  N cho
ta
x

n

  i   1e1  ...   n en 

 e

i i

i 1

C0

  1 ,...,  n ,  n 1 ,...   1  ...   n 
 0,0,...,  n 1 ,  n 2 ... C  Sup  i  0
0

n

nt i 


C0

C0

(v×

lim
i 

i

0 )



VËy x lim   i ei   i ei (2)
n   i 1

i 1

D·y   i   K tho¶ m·n (2) lµ duy nhÊt. NÕu cã thĨ cho   i K là
một dÃy khác thoả mÃn (2). Khi ®ã





  e   e
i i


i 1





 

i

i i

i 1

  i ei 0

i 1

n



lim  

i

  i ei 0 

n  i 1


lim  Sup 

i

 i 0

1i n

Hơn nữa: i i Sup  i   i  0 khi n  
1i n

  i  i , i N . Vậy {ei} là cơ sở Schauder củ C0

Thí dụ 2: các vectơ đơn vị {ei} là cơ së Schauder cña l1
Chøng minh: Cho x   i K là phần tử bất kỳ của l1 th×





i

,

i 1

u  N ta cã:

6



x

n

  0,0,...,  n 1 ,  n 2 ,...

  i ei
i 1



lim

e1
n

  i ei

x

n 

i 1

0  x 

e

i n 1


n

lim   e

i i

0

n  i 1

e1

n



   i  0 (khi n -> ∞)

1



 x lim   i ei   i ei (3)
n   i 1

i 1

Râ rµng   i thoả mÃn (3) là duy nhất. NÕu cã thĨ cho   i   
lµ dÃy khác thoả mÃn (3) thì



i i

i i

i 1



lim 

i

n   i 1

lim  

i

  i ei 0

n   i 1

i 1

n




n



  e   e

  i 0   i  i , i N

Do vậy {ei} là cơ sở Schauder của e1
Thí dụ 3: Các vectơ đơn vị {ei} là cơ së cña lp, 1 P 
Chøng minh: Cho x  i k là phần tử bất kỳ cđa lP th×

P





i

,

i 1

víi n  n. Ta cã:
x

n

 e


  0,0,...,  n 1 ,  n2 ,0,...

i i

i 1

eP

 
P 
   i 
 i n 1


1

P

eP

 0 (khi n   )
n



VËy x lim   i ei   i ei (4)
n   i 1

i 1


Râ rµng d·y   i    thoả mÃn (4) là duy nhất. Nếu có thể
cho i là dÃy thoả mÃn (4) th×:




i 1

i 1

  i ei   i ei 
n



lim  

i

n

lim  

i

  i ei 0

n   i 1


  i 0   i  i , i  N

n   i 1

Do vËy {ei} là cơ sở Schauder của lP

7


Thí dụ 4: Các vectơ đơn vị {ei} không là cơ sở Schauder của
l . Đúng hơn trong không gian l không thể chỉ ra đợc cụ thể
cơ së Schauder
Chøng minh: Gi¶ sư x   i  k là phần tử bất kỳ của l . Thì {i}

Sup

bị chặn hay


x

e

, n N . Ta cã:

  0,0,...,  n 1 , n 2 ,...

i i

i 1


i

n

e

e

Sup  i  0
n 1i


Vậy không tồn tại x i ei
i 1

Bây giờ ta đa ra sự so sánh giữa cơ sở Hamel và cơ sở
Schauder.
Trờng hợp 1: dim X
Trong trờng hợp này mỗi cơ sở Hamel của X là cơ sở
Schauder và ngợc lại. Thật vậy:
Lấy A={x1,x2,,xn} X. Khi đó A là cơ sở Hamel trong X.
ta sẽ chứng minh cho A là cơ sở Schauder.
Vì A là cơ sở Hamel nên với mỗi x X ta có thĨ biĨu diƠn
n

duy nhÊt nh sau x   i xi với i K
i 1

n=

nếu
i
Đặt n  i
0
nÕu n ≠


VËy k   n xn ... nên A là cơ sở Schauder trong X.
n 1

Ngợc lại: LÊy B  x1 , x2 ,..., xn , xn1 ,... X là cơ sở Schauder trong
X. Ta sẽ chúng minh B là cơ sở Hamel trong X.
Vì B là cơ sở Schauder trong X nên với mỗi x X luôn tồn
tại 1 dÃy n k sao cho



x n xn
i 1

i=n

n
Đặt  i  i ≠ n
 0

8


n


thì x i xi . Vậy A là cơ sở Hamel trong
i 1

Trờng hợp 2: dim X = N0 (lực lợng của N = N ~ đếm đợc)
Trong trờng hợp này cơ sở Hamel cũng là cơ sỏ
Schauder. Thật vậy. Đặt S xn : n N là cơ sở Hamel trong X. Mỗi
n

x X ta cã thĨ biĨu diƠn duy nhÊt nh sau x   ni x ni (  ni  K, k  N 
i 1

)
  ni , n ni
0, n ni

Đặt: n


Thì x n xn
n 1

Điều ngợc lại không còn đúng tức cơ sở Schauder
không là cơ sở Hamel trong X. Thật vậy, xÐt kh«ng gian tuyÕn
tÝnh
    i   K : i 0 tại hầu hết các giá trÞ cđa i}

Víi chn   i 




Sup  i . Xét các vectơ đơn vị {e , e ,,
1
2
1i 

en} trong Φ víi e1 = (1, 0,…, 0); e2 = (0, 1,, 0),,en(0, 0,, 1).
Khi đó {en} là dÃy vectơ trong thoả mÃn.
Sfan en , n 1

Vậy {en} là cơ sở Hamel trong . Ta cũng chứng minh đợc
{en} là cơ sở Schauder trong , .
Thật vậy với mỗi x : x 1 , 2 ,.... n ... . Ta cã


x 1e1   2 e2  ...   n en ... i ei
i 1

Vậy {en} là cơ së Schauder trong , .  
B©y giê ta x©y dựng một cơ sở Schauder trong nhng
không phải là cơ sở Hamel trong
Giả sử {xn} là dÃy vectơ trong Φ víi
 1

x1 1, ,0,0,...
 2


9



 1 1

x 2  0, , ,0,...
 2 3


1


x n 0,0,0,...,0, ,0,...
n



Khi đó {xn} là cơ sở Schauder nhng không là cơ sở Hamel
trong . Thật vậy, giả sö x 1 2 ,..., m ,0,0   . Khi đó ta có thể
m
tìm đợc 1 dÃy i  i 1  K . Tho¶ m·n:

 1  1
1
1
 2  1   2
2
2
1
1
3   2  3
3

3

………………….
1
1
 m   m 1   m
m
m
m

Khi ®ã: x   i xi 
i 1

j



   1

i m 1

1 lỴ
 j i, m
 m xi với
, m chẵn
j i

và chuỗi hội tụ theo chuẩn trong
Nh vậy {xn} là cơ sở Schauder nhng không là cơ sở



Hamel vì e1 1 xi là cách biểu diễn duy nhất của e nhng nó
i 1

i 1

là tổng vô hạn.
Ta có thể diễn giải

m



 x     1
i

i 1

i

j

 m xi  x . Nh sau:

i m 1

Tõ x 1 , 2 ,..., m ,0,0,...
1
1
1

1
1
1

 x  1 , 1   2 ,  2   3  ... 
 m 2 
 m 2 ,
2
2
3
3
m 1
m 1



1
1

 m 1   m ,0,... 
m
m


1 1
 1

 1 1



 x 1, ,0,..., 1   0, , ,0,...  2   0,0,...,
,   m 1
m 1 m
 2

 2 3


1 1


  0,0,...0, ,
,0,...   m  ...
m m 1



10


m 1
1 1
1
1




 xi  i   0,0,..., 0, ,
,0,...   m   0,0,..., 0,

,
,0,...   m
m m 1
m 1 m  2




i 1

1
1


  0,0,..., 0,
,
,0,...   m
m 2 m 3


m

 xi  i 
i 1



   1

j


 m xi

i in 1
m

VËy x   i xi 
i 1



j
   1  m xi , víi

i m 1

 j i ,1m lỴ
 j i, m chẵn


và chuỗi hội tụ theo chuẩn .
Nh vậy {xn} là cơ sở Schauder nhng không là cơ së


i 1
Hamel. V× e1    1 xi x1 x2 x3 x4 ... là cách biểu diễn duy nhất
i 1

của e nhng nó là tổng vô hạn.
Trờng hợp III: dim X > N0 hay dim X =

Trong trờng hợp này cơ sở Hamel không là cơ sở Schauder
và cơ sở Schauder cũng không là cơ sở Hamel.
Vì giả sử E ei iI là cơ sở Hamel trong X, nhng lực lợng
của E lại không đếm đợc. Xét không gian Banácl C0 , .   ta cã
dim C0 2 N 0  N 0 . Mà ta đà chứng minh đợc ei iI là cơ sở Schauder

trong C0. Vậy ei iI là cơ sở Schauder nhng lực lợng của nó lại
đếm đợc. Vậy lực lợng của ei iI là không tơng thích với nhau
nên cơ sở Hamel không là cơ sở Schauder và ngợc lại.
2.20. Ví dụ:
1>. Trong C0 d·y xn  nj  j i (1) (n=1,2,) là cơ sở
,nếu
n=j
1


Thật vậy nj ,nếu n j(n, j = 1, 2,…)
0




víi x   n   C0 ta cã: x 

n

 x
i

i 1


i

 Sup  i 0 khi n
n 1i

Mặt khác:
từ





i xi  Di xi ta cã
i 1

i 1

lim max 
n 

i

 Di 0

1i n

Suy ra  i Di (i = 1, 2,…)

11




2> Trong eP (P ≥ 1) d·y xn  nj j 1 (n = 1, 2,) là cơ sở.

Thật vậy:
1

Với x n e P

Mặt khác tõ

P P
 

ta cã: x    i xi    i   0 khi n  
i 1

i n 1
n





  x  D x
i

i


i 1

i

i

ta cã:

i 1



lim  
n 

P

n

 i 1

i

1
P


 Di  0



suy ra  i Di (i = 1, 2,...). C¬ së (1) đợc gọi là cơ sở tự
nhiên hay cơ sở vectơ đơn vị của C0 hay eP (P 1)

3> Trong kh«ng gian C, d·y: x0 1,1,..., xn  nj j 1 (n = 2, 3)

(2)
là một cơ sở. Thật vậy:
Với mỗi x n C ta cã biĨu diƠn duy nhÊt d¹ng:




x  lim  n  x0     i 
 n  
i 1 

lim
n 

n


 xi


4>, Trong KG Banach C([0,1]) d©y
x0  t  1 , x1  t  t
2l  2 2l 
, k 1 
k 1

2 
 2
0
(3)
x 2 k e  t  
2
l

1
 1 nÕu t  k 1
2
 2l  2 2l  1
 2l  1 2l 
tuyÕn tÝnh trªn  k 1 , k 1  vµ  k 1 , k 1 
2 
2 
 2
2

nÕu t  

(l = 1, 2,, 2k; k = 0, 1, 2,) là một cơ sở
Tổng quát hơn, giả sử an 0,1 lµ d·y t ý trï mËt trong
[0,1] vµ víi mỗi n 2, gọi n là 1 trong n đoạn con của [0,1]. Xác
định bởi phân hoạch 0 < a1< a2<...< an-1< 1 chøa an. Khi ®ã
d·y:
 0víi t   n  1
xn  t  
t a n 1
(n = 2, 3,…) (4)

 1víi
tuyÕn tÝnh víi t khác
là một cơ sở của KG C([0,1])

12


x  C   0,1  tho¶ m·n x(0) = x(1) = 0 đặt:

Thật vậy với

2 x a1  ,  n  x a n  1  

n 1

 x  a 
i

i

n 1

(n = 3, 4,…) (5)

i 2

n

S n  x    i xi (n = 2, 3,…) (6)
i 2


Khi ®ã, bëi vì x2,, xn tuyến tính trên mỗi đoạn con của
[0,1] xác định bởi phân hoạch trên nên Sn cũng tuyến tính.
Hơn nữa từ (4) ta có:
x j 1 a j  1 vµ xi  a j  0 víi i = j + 2, j +3,…, n (j = 1,, n - 1)

Từ (5) ta nhận đợc:
j

n

i 2

i j 2

 S n  x  a j    i xi a j    j 1 x j 1  a j     i xi a j  (7)
j

  i xi  a j    x  a j  
i 2


j


  x  a   x a
i

i


j

i 2

j



(j = 1,, n - 1)

Ngợc lại, giả sử Sn(x) là hàm thoả mÃn nếu ai , ai là 2 điểm
1

ai in11 , thì ta cã  a  1 0, a1 , a2 ,..., a n 1 , a1 1 .

liªn tiÕp bÊt kú cña



2



 

   0  1 (8)

S n ai1  1    ai2 x ai1  1    x ai2

Cho ε > 0 tuú ý. Vì x liên tục đều trên [0,1] nên tồn tại

     0 sao cho x t '  x t"   víi mäi t ' , t"  0,1 , tho¶ m·n t ' t"   .

Do d·y {aj} trï mËt trong [0,1] nªn tồn tại số nguyên đơng
N N   tho¶ m·n víi n > N, ta cã max ai1 ai2 , (giá trị max lấy

trên cặp điểm liên tiếp của dÃy ai in11
Bây giờ, lấy t [0,1] tuỳ ý, khi đó tồn tại với 0 1 thoả
n 1
mÃn t ai  1    ai víi ai , ai là hai điểm liên tiếp của ai i  1
1

2

1

 n  N     thoả mÃn



2



t ai1 , ai2 . Khi đó theo (8)

 

 

x t   S n  t   x t   x ai1  1    ai2




 



 

  x t   x ai1  1    x t   x ai2

 max x t '  x t"  
,  n  N    , và do đó x S n   ,  n  N      
t ',t " ai1 , ai 2 


tøc x lim S n   i xi
n 

i

Bây giờ với x(0) = x(1) = 1, giả sử x    0,1  tuú ý
13


Khi đó với x 0,1 xác ®Þnh bëi
x t  x t   x 0   x1  x 0  t ,  t   0,1 


Ta cã: x 0 x1 0 tøc x cã biĨu diƠn d¹ng x   i xi

i 2

Do đó bằng cách đặt 0 = x(0)


1 = x(1) - x(0) ta nhận đợc x i xi
i 0

Mặt khác giả sử rằng



x
i

i 0

i

0 . Khi ®ã



  x  t  0 ,
i

i

t   0,1 .


i 0

Bằng cách đặt t = 0, 1, a1, a2, và từ (4) ta nhận đợc tơng ứng
n = 0 (n = 0,1, 2,) và từ đó chứng tỏ (4) là cơ sở của C 0,1 .
Đặc biệt, cơ sở (3) đợc gọi là cơ sở Schauder cña C   0,1 

14