1
mở đầu
1. lý do chọn đề tài.
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định :
Phải đổi mới phơng pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối
truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo cho
ngời học .
Luật Giáo dục nớc Cộng hoà XÃ hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm
1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS, phù hợp với
từng đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dỡng phơng pháp
tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn .
1.2. Nhận định về phơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ
thông trong giai đoạn hiện nay, các nhà toán học Hoàng Tụy và
Nguyễn Cảnh Toàn viết: Kiến thức, t duy, tính cách con ngời
chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng, hiện nay trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm trong kiến thức .
Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái
niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu
nội dung khái niệm, nội dung định lý, cố gắng vận dụng các
công thức, các định lý để tính toán, để chứng minh .
Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo
vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy
phát triển t duy mà làm cho HS thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và
chán nản.
1.3. Theo nhà toán học và là nhà s phạm nổi tiếng G. Pôlya,
nhiệm vụ chính của dạy học Toán ở trờng phổ thông là dạy học
sinh suy nghĩ. Ông cho rằng, để việc dạy học cã hiƯu qu¶ nhÊt,


2
HS phải tự mình khám phá trong chừng mực nào đó, có thể

phần lớn là nhờ tài liệu.
1.4. Rất nhiều những cuốn sách tham khảo cho các em HS
tính từ trớc tới nay đều đợc trình bày theo kiểu ra đề toán rồi
sau đó là trình bày lời giải ngay, mà không hề giải thích cho
các em hiểu tại sao lại làm nh thế. Theo chúng tôi, để mỗi cuốn
sách thực sự là những ngời bạn hữu ích cho các em HS thì nên
trình bày theo một lối khác, chẳng hạn nh trớc khi đi vào lời giải
chi tiết nên dẫn dắt các em từng bớc một, và cố gắng làm nh thế
nào đó, để các em với những sự gợi ý có thể tìm ra lời giải bài
toán. Nếu cứ trình bày theo lối áp đặt nh một số tài liệu thì rất
khó phát triển t duy cho các em, mà đôi khi buộc các em phải nhớ
một cách máy móc lời giải của những bài toán nào cụ thể đó.
Mặc dù vẫn biết rằng, để viết đợc một cuốn sách nh thế thì tác
giả của những cuốn sách đó phải là ngời thật tâm huyết với
nghề và rất quan tâm tới sự phát triển t duy cho thế hệ trẻ Có
một số ý kiến cho rằng không thể viết một quyển sách mà bất cứ
bài nào cũng phải dẫn dắt các em tìm lời giải đợc, bởi lẽ nếu làm
nh vậy thì không đủ về mặt thời gian và số lợng các bài toán
trong mỗi quyển cũng sách sẽ ít đi !. Thế nhng tại sao lại có trờng hợp chỉ cùng một tác giả mà viết rất nhiều cuốn sách tham
khảo cho học sinh, trong đó số bài toán và lời giải của chúng
trùng lặp giữa các cuốn đó thì rất nhiều? Có nên chăng, mỗi
cuốn sách tham khảo nên đề cập nhiều hơn phơng pháp học tập
cho các em và chỉ ra những sai lầm thờng gặp trong quá trình
giải Toán. Thực tế chúng tôi thấy, nếu đứng trớc một bài toán các
em không giải đợc, ngời giáo viên trình bày lời giải ngay một
cách đờng đột mà không đề cập đến phơng pháp giải, thì


3
chỉ sau một thời gian ngắn thôi, khi em học sinh đó bắt gặp lại

bài toán đó hay một bài toán tơng tự, thì các em vẫn bế tắc.
1.5. Khó khăn lớn nhất khi giải một bài toán bằng phơng pháp
đặt ẩn phụ đó là việc lựa chọn biểu thức để gán ẩn phụ cho
nó, và khó khăn tiếp theo đó là việc đi tìm điều kiện xác
định của ẩn phụ. Nhiều em học sinh quên mất hoặc tìm sai
điều kiện xác định của ẩn phụ, dẫn đến một kết quả sai. Ví
dụ, khi giải bài toán: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè
y = sin x + cos 2 x , một số em giải nh sau: đặt t = sin x ⇒ cos 2 x = 1 t 2 , khi

đó bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = t 2 + t + 1 . Sau đó các em kết luận là không tồn tại giá trị nhỏ

( t 2 + t + 1) = −∞ . Do vËy, khi đề cập đến những bài toán
nhất vì lim
t
cần thiết phải đặt ẩn phụ để giải, ngời giáo viên cần giúp học
sinh ghi nhớ các bớc không thể thiếu trong quá trình giải Toán, đó
là tuỳ thuộc vào từng bài toán, lựa chọn ẩn phụ cho thích hợp,
tìm điều kiện xác định của ẩn phụ, giải các bài toán đối với ẩn
mới và điều kiện xác định mới. Lu ý rằng không có một câu trả
lời chung nào để trả lời cho câu hỏi: Đối với những bài toán nào
thì ta nên đặt ẩn phụ, và đặt nh thế nào ?. Tuy nhiên, tuỳ
từng bài toán cụ thể thì ta trả lời đợc phần nào câu hỏi đó.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài : Góp phần rèn
luyện cho học sinh năng lực lựa chọn ẩn phụ để giải một
số bài toán Đại số và Giải tích ở bậc Trung học phổ thông.
2. MụC ĐíCH NGHIÊN CứU.
Mục đích nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu để xác
định những dấu hiệu đặc trng ở mỗi dạng toán, mỗi bài toán
để từ đó giúp cho HS khả năng lựa chọn cách đặt ẩn phụ hợp lý,

đồng thời từ đó góp phần phát triển năng lực này cho học sinh.


4
3. Giả thuyết khoa học.
Nếu thờng xuyên quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện
năng lực giải Toán trên cơ sở xây dựng các phơng pháp và sử
dụng các quy trình giải Toán Đại số và Giải tích bằng cách đặt
ẩn phụ, thì sẽ giúp HS nắm vững kiến thức về các dạng toán này
và phát triển năng lực tìm tòi lời giải các bài toán, đồng thời góp
phần nâng cao chất lợng dạy học Toán ở trờng phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Xây dựng cơ sở lý luận của việc rèn luyện năng lực giải
Toán.
- Xây dựng hệ thống các phơng pháp đặt ẩn phụ để giải
các bài toán trong chơng trình THPT.
- Tiến hành thực nghiệm.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về
các vấn đề có liên quan đến nội dung Khoá luận nh tâm lý học,
giáo dục học, phơng pháp dạy học môn Toán, các sách, các báo có
nội dung liên quan đến đề tài và với những bài giảng rất quý báu
của các Thầy, Cô giáo.
5.2. Điều tra quan sát:
Vấn đề dạy học về việc giải các bài toán bằng cách đặt ẩn
phụ.
Những khó khăn trong học tập và vận dụng phơng pháp đặt
ẩn phụ vào việc giải các bài toán.
5.3. Thực nghiệm s phạm: Tất cả nhng nội dung trong Khoá
luận này đều đợc đúc rút trong quá trình học tập, gia s và thực

tập s phạm tại Trờng THPT Lê Hữu Trác I của tác giả.
6. Đóng góp của khoá luận.


5
Khoá luận đà góp phần làm sáng tỏ thêm một số khía cạnh
của khái niệm năng lực toán học; đà phân tích tơng đối cụ thể
những tình huống liên quan đến phép đặt ẩn phụ trong giải
Toán Đại số và Giải tích. Đặc biệt, đà chú trọng đến những pha
dẫn dắt theo tinh thần phát huy sự suy nghĩ của HS nhằm hiện
thực hoá trong quá trình dạy học.
7. Cấu trúc của khoá luận.
Phần mở đầu.
Chơng I. Cơ sở lý luận.
Chơng II. Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực lựa
chọn ẩn phụ để giải các bài toán Đại số và Giải tích ở bậc THPT.
Chơng III. Thực nghiệm s phạm.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.

Chơng I
Cơ sở lý luận


6

1.1. Khái niệm năng lực
Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo
dục học cho thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bớc vào hoạt động. Qua quá trình hoạt động mà dần hình thành
cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết và ngày

càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức
độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên
trong để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác
xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có
đợc một năng lực nhất định. Dới đây là một số cách hiểu về
năng lực:
+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho
con ngời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất
lợng cao [56].
+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm
tâm lý của con ngời, đáp ứng đợc yêu cầu của một hoạt động
nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả
một số hoạt động nào đó [1].
+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của
con ngời đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và
là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt
động nào đó (Dẫn theo [2]).
Nh vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng
lực chỉ nảy sinh và quan sát đợc trong hoạt động giải quyết
những yêu cầu mới mẻ, và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo,
tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắn với mức độ
hoàn thành xuất sắc).
Mọi năng lực của con ngời đợc biểu lộ ở những tiêu chí cơ
bản nh tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính


7
nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm
vụ ...
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục

học đều thừa nhận rằng con ngời có những năng lực khác nhau
vì có những tố chất riêng, tức là sự thừa nhận sự tồn tại của
những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành
và phát triển của những năng lực khác nhau.

1.2. Khái niệm năng lực toán học.
Theo V. A. Krutecxki [33, tr. 13] năng lực toán học đợc hiểu
theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực
đối với việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trờng phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ
năng, kỹ xảo tơng ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng
lực hoạt động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách
quan có giá trị lớn đối với xà hội loài ngời.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự
ngăn cách tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập Toán không phải
là không đề cập tới năng lực sáng tạo. Có nhiều em HS có năng
lực, đà nắm giáo trình Toán học một cách độc lập và sáng tạo,
đà tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đà tự tìm ra
các con đờng, các phơng pháp sáng tạo để chứng minh các
định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phơng pháp
giải độc đáo những bài toán không mẫu mực.
Với mức độ HS trung bình và khá, Khoá luận chỉ chủ yếu
tiếp cận NLTH theo góc độ thứ nhất (năng lực học Toán). Sau
đây là một số định nghĩa về NLTH:


8
Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học là các đặc điểm
tâm lý cá nhân (trớc hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ)

đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc nắm giáo
trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tơng
đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo
toán học [33, tr. 14].
Định nghĩa 2: Những năng lực học Toán đợc hiểu là những
đặc điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là những đặc điểm hoạt
động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học, và trong
những điều kiện vững chắc nh nhau thì là nguyên nhân của
sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học
với t cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tơng đối nhanh,
dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực
Toán học [26, tr. 126].
Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có trí thông
minh trong việc học Toán. Tất cả mọi HS đều có khả năng và
phải nắm đợc chơng trình trung học, nhng các khả năng đó
khác nhau từ HS này qua HS khác. Các khả năng này không phải
cố định, không thay đổi: Các năng lực này không phải nhất
thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học
tập, luyện tập để nắm đợc hoạt động tơng ứng. Vì vậy, cần
nghiên cứu để nắm đợc bản chất của năng lực và các con đờng
hình thành, phát triển, hoàn thiện năng lực.
Tuy nhiên, ở mỗi ngời cũng có khác nhau về mức độ NLTH. Do
vậy, trong dạy học Toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung
và phơng pháp thích hợp để sao cho mọi đối tợng HS đều đợc
nâng cao dần về mặt NLTH. Về vấn đề này nhà Toán học
Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv cho rằng: Năng lực
bình thờng của HS trung học ®đ ®Ĩ cho c¸c em ®ã tiÕp thu,


9

nắm đợc Toán học trong trờng trung học với sự hớng dẫn tốt của
thầy giáo hay với sách tốt.

1.3. Cấu trúc năng lực toán học ở học sinh.
Để vạch ra cấu trúc năng lực học toán của học sinh có những
công trình nghiên cứu tâm lý học đợc tiến hành công phu, đặc
biệt là công trình của V. A. Krutecxki nguyên Phó Viện trởng
Viện nghiên cứu Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo
dục Liên Xô trớc đây, đà nghiên cứu tâm lý năng lực toán học với
công trình đồ sộ Tâm lý năng lực toán học Luận án Tiến sĩ
của ông đợc Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao. Công
trình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến
hành thực nghiệm hết sức công phu, đợc tiến hành từ năm 1955
đến 1968. Ông đà nghiên cứu sâu sắc về mặt lý luận, tham
khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài nớc. Về mặt thực tiễn:
Ông đà quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát triển của HS có năng
khiếu về Toán; thực nghiệm trên 157 HS giỏi, trung bình và
kém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) về các bộ môn
của khoảng 1000 HS từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với
62 giáo viên dạy Toán; phỏng vấn bằng giấy đối với 56 giáo viên
Toán; phỏng vấn bằng giấy đối với 21 nhà Toán học; nghiên cứu và
phân tích tiểu sử của 84 nhà toán học và vật lý học nổi tiếng
trong và ngoài nớc ... . Chính vì độ tin cậy trên về những kết
luận khoa học của V. A. Krutecxki nên Khoá luận sẽ kế thừa kết
quả và là điểm tựa quan trọng về cơ sở khoa học của đề tài.
Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ông đà chỉ ra cấu
trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm những thành phần
sau (dựa theo quan điểm của Lý thuyết thông tin):
1.3.1. Về mặt thu nhận thông tin to¸n häc



10
Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng
lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.
1.3.2. Về mặt chế biến thông tin toán học
1) Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng và
không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực t duy bằng các
ký hiệu toán học;
2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tợng, quan
hệ toán học và các phép toán;
3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống
các phép toán tơng ứng. Năng lực t duy bằng các cấu trúc rút
gọn;
4) Tính linh hoạt của quá trình t duy trong hoạt động toán
học;
5) Khuynh hớng vơn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp
lý của lời giải;
6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phơng hớng của
quá trình t duy, năng lực chuyển tõ tiÕn tr×nh t duy thuËn sang
tiÕn tr×nh t duy đảo (trong suy luận toán học).
1.3.3. Về mặt lu trữ thông tin toán học
Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học;
đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phơng pháp
giải toán; nguyên tắc, đờng lối giải toán).
1.3.4. Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hớng toán học của trí tuệ.
Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau,
ảnh hởng lẫn nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu
trúc toàn vẹn của năng lực toán học.
Sơ ®å triĨn khai cđa cÊu tróc NLTH cã thĨ ®ỵc biểu thị bằng

một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học đợc đặc tr-


11
ng bởi t duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các
quan hệ toán học, hệ thống ký hiệu số và dấu, và bởi khuynh hớng toán häc cđa trÝ t [33, tr. 170].
Cïng víi cÊu tróc nói trên, V. A. Krutecxki cũng đa ra những gợi
ý về phơng pháp bồi dỡng NLTH cho HS.
Nghiên cứu quan điểm của V. A. Krutecxki về năng lực toán
học, có thĨ thÊy mét sè vÊn ®Ị quan träng sau:
* VỊ mặt lý luận
1) Theo V. A. Krutecxki thì nói đến HS có NLTH là nói đến
HS có trí thông minh trong việc học Toán;
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi
nói về năng lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về những
mặt nào đó giữa các cá nhân, chẳng hạn về NLTH. Điều quan
trọng năng lực không chỉ là bẩm sinh mà còn đợc phát sinh và
phát triển trong hoạt động, trong đời sống của mỗi cá nhân;
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại
hoạt động nhất định của con ngời. Năng lực toán học cũng vậy,
nó chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân
tích hoạt động toán học mới thấy đợc biểu hiện của năng lực toán
học;
4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con
ngời thờng phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập
Toán cũng không nằm ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc
vào một số yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê, thái độ chăm
chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, của gia
đình và xà hội.
* Về mặt thực tiễn



12
1) Trong lĩnh vực đào tạo con ngời phải nghiên cứu NL của
mỗi ngời trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phơng pháp tốt
nhất để bồi dỡng năng lực đó;
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tởng
khái quát, tắt, linh hoạt, ngợc và hệ thống của chúng dựa trên tài
liệu toán học. Các năng lực đà nêu biểu hiện với các mức độ khác
nhau ở các em HS giỏi, trung bình, kém. ở các em năng khiếu và
giỏi thì các mối liên tởng đó đợc tạo thành ngay tức khắc sau
một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hình thành các
mối liên tởng phải
cần cả một hệ thống bài tập và phải có sự rèn luyện.
1.4. Năng lực giải Toán trong dạy học Toán ở trờng phổ
thông.
Năng lực giải Toán là một trong những năng lực Toán học quan
trọng ®èi víi häc tËp To¸n. Nãi ®Õn viƯc rÌn lun năng lực giải
Toán là phải nói đến việc rèn luyện hai nội dung chủ yếu:
* Tìm tòi suy nghĩ lời giải các bài toán.
* Giải các bài toán.
Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung trên tiến hành đồng
thời nhng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt.
Rèn luyện việc tìm lời giải các bài toán là khâu có tính
quyết định trong toàn bộ công việc giải Toán, là cơ sở quan
trọng cho việc rèn luyện và phát triển khả năng làm việc độc lập,
sáng tạo nhằm rèn luyện và phát triển t duy khoa học.
Phơng pháp tìm lời giải bài toán thờng tiến hành theo bốn bớc.
- Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Xây dựng chơng trình gi¶i.



13
- Thực hiện chơng trình giải.
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Bên cạnh đó, rèn luyện giải bài toán cũng có tính chất quan
trọng bởi vì từ chỗ tìm đợc phơng hớng giải bài toán đến chỗ
giải bài toán hoàn chỉnh là cả một quá trình rèn luyện bao gồm
nhiều khâu: Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội
dung lý thuyết và các phơng pháp thực hành đến việc luyện tập
thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kĩ thuật.
1.5. Chức năng của việc giải bài tập Toán.
Trong quá trình dạy học Toán ở Trờng THPT thì chúng ta tổ
chức hớng vào bốn hoạt động chủ yếu:
- Hoạt động dạy học khái niệm toán học.
- Hoạt động dạy định lý toán học.
- Hoạt động dạy học quy tắc, phơng pháp.
- Hoạt động dạy học giải bài tập toán học.
Dạy học giải bài tập Toán có ý nghĩa rất quan trọng trong quá
trình dạy học
Toán ở Trờng THPT, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán học. Các bài toán ở Trờng THPT là một phơng tiện rất
hiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp HS nắm
vững tri thức, phát triển t duy, kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán
học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập Toán là điều kiện để
thực hiện các mục tiêu dạy học Toán ở Trờng THPT. Vì vậy tổ chức
có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán có vai trò quyết định đối
với chất lợng dạy học Toán. Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán đợc sử dụng với những dụng ý khác nhau.
Mỗi bài tập Toán cụ thể đợc đặt ra ở mỗi thời điểm nào đó

của quá trình dạy học đều chứa đựng mét c¸ch “têng minh” hay


14
ẩn tàng những chức năng khác nhau. Trong môn Toán các bài
tập mang các chức năng sau:
1.5.1. Chức năng dạy học.
Bài tập nhằm hình thành, cũng cố cho HS những tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
1.5.2. Chức năng giáo dục.
Bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vËt
biƯn chøng, høng thó häc tËp, niỊm tin vµ phẩm chất ngời lao
động mới.
1.5.3. Chức năng phát triển.
Bài tập nhằm phát triển năng lực t duy cho HS, đặc biệt là
rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của t duy khoa học, phát triển năng lực hoạt động nhận thức, toán
học là các tình huống thực tế. Nâng dần các khả năng khái quát
và trừu tợng hoá các vấn đề.
1.5.4. Chức năng kiểm tra.
Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá
khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của HS, chẳng
hạn nh khả năng nắm vững các khái niệm, các định lý, các quy
tắc suy luận lôgic và khả năng áp dụng thành thạo các định lý,
các phơng pháp vào làm các bài tập.
Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ riêng lẻ và tách rời
nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài
tập cụ thể tức là hàm ý nói đến việc thực hiện chức năng ấy
tiến hành một cách tờng minh và công khai. Hiệu quả của việc
dạy học toán ở Trờng THPT phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác

và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một
bài tập. Ngời giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện những
dụng ý đó bằng năng lực s phạm và năng lực dạy học của mình.


15
1.6. Bồi dỡng năng lực giải Toán cho học sinh.
Việc bồi dỡng năng lực giải toán cho HS là một việc làm quan
trọng, có ý nghĩa trong quá trình dạy học Toán vì nhờ đó giúp
HS hiểu sâu sắc kiến thức toán học ở Trờng THPT, đồng thời rèn
luyện cho HS c¸c thao t¸c t duy, båi dìng c¸c phÈm chất trí tuệ,
phát triển năng lực suy luận logic chặt chẽ góp phần nâng cao
hiệu quả việc dạy học tích cực trong giai đoạn hiện nay.
Việc bồi dỡng năng lực giải toán cho HS bao gồm hai nội dung
sau:
* Hình thành các dạng Toán điển hình và quy trình giải.
* Bồi dỡng năng lực suy đoán, năng lực tìm tòi phơng pháp
giải các bài toán.
Đề tài Khoá luận này tập trung chủ yếu vào việc góp phần bồi
dỡng năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc xây dựng
quy trình giải một số bài toán Đại số và Giải tích trong chơng
trình THPT bằng phơng pháp lựa chọn ẩn phụ.

1.7. Kết luận chơng I
Trong Chơng I, Khoá luận đà trình bày một số khái niệm năng
lực toán học và quan điểm về những thành phần của năng lực
toán học của nhà khoa học V. A. Krutecxki. Tuy vẫn còn nhiều
quan điểm khác nhau của nhiều nhà khoa học khác nữa nhng
chúng tôi cha có điều kiện đề cập trong Khoá luận này. Và quan
điểm của V. A. Krutecxki đóng vai trò cơ sở lý luận của đề tài.



16

Chơng II
Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực Lựa chọn ẩn phụ để
giải một số bài toán đại số và giải tích ở bậc THPT

Giáo dục Toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp,
nhằm đạt đợc các mục tiêu:
- Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những
kiến thức cơ bản của toán học;
- Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng và kỹ xảo toán học;
- Phát triển t duy toán học cho häc sinh.
Cã quan niƯm cho r»ng, viƯc gi¶i qut có kết quả vấn đề
th nhất và thứ hai trong các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc
giải quyết vấn đề thứ ba. Có nghĩa là cho rằng, sù ph¸t triĨn t
duy to¸n häc diƠn ra mét c¸ch tự phát trong quá trình giảng dạy
Toán. Trong một chừng mực nào đó, điều này có thể đúng, nhng
chỉ trong một chừng mực nào đó mà thôi.
T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong
quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn là thành phần
mà nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng hớng thì không
thể đạt đợc có hiệu quả trong việc truyền thụ cho học sinh hệ
thống các kiến thức và kỹ năng toán học.
Chúng ta không thể dạy cho học sinh theo kiĨu, nhåi nhÐt
kiÕn thøc cho hä cµng nhiỊu càng tốt. Điều nên làm là, chúng ta
chỉ dạy cho họ một số kiến thức, một số kỹ năng, kỹ xÃo nhất
định, rồi từ đó họ tự đi tìm các kiến thức cần thiết khác.
Chúng ta nên lu tâm đến việc dạy t duy cho học sinh hơn là

dạy kiến thức. Đối với các bài toán sử dụng phép đặt Èn phô,


17
chúng ta hÃy tìm mọi cách cần thiết trong một chừng mực nào
đó, để giúp cho các em học sinh tự dự đoán, tìm tòi, mò mẫm
cách đặt ẩn phụ.
Thực trạng dạy học Toán của trờng phổ thông hiện nay là,
chỉ chú ý nhiều đến việc truyền thụ kiến thức, mà không chú ý
dạy cho học sinh tìm tòi kiến thức. Thậm chí vẫn còn tồn tại kiểu
dạy thầy giảng trò ghi, thầy đọc trò chép, vai trò của ngời HS có
phần thụ động. Theo kiểu dạy này, dờng nh rất ít có cơ hội để
HS dự đoán. Có ngời lý luận rằng, nếu để HS dự đoán thì rất
tốn thời gian, và do đó khối lợng kiến thức truyền thụ cho HS sẽ ít
đi. Tuy nhiên, nếu chúng ta để cho HS tìm tòi thì ở họ sẽ phát
huy đợc t duy độc lập của mình.
Đặt ẩn phụ là một phơng pháp rất hay và hiệu quả trong
việc giải Toán. Bởi thế, trong tác phẩm Giải bài toán nh thế
nào?, Pôlya cho rằng: Yêú tố phụ nh một nhịp cầu, nối bài toán
cần tìm ra cách giải với bài toán đà biết cách giải. Tuy nhiên,
nếu chúng ta cứ áp đặt cách đặt ẩn phụ cho mỗi bài toán,
khiến cho HS không hiểu vì sao ta lại làm nh thế, thì các em sẽ
gặp những khó khăn khi đứng trớc những bài toán, mà nó không
có dạng tơng tự nh những bài toán mà các em đà từng làm. Các
dạng toán thì rất phong phú, các bài toán thì còn nhiều hơn làm
sao chúng ta có thể nhồi nhét tất cả các dạng toán, bài toán vào
đầu HS đợc.
Trong việc dạy Toán nói chung, đối với các bài toán cần sử
dụng phơng pháp đặt ẩn phụ nói riêng, chúng ta không thể hoàn
toàn bỏ qua việc luyện tập cho HS dự đoán. Có một số bài toán

không cần thiết biến đổi, mà chỉ cần nhìn vào nó là ta có thể
dự đoán ngay đợc cần phải đặt ẩn phụ nh thế nào. Những bài
toán kiểu này hầu nh khá đơn giản. Tuy nhiên, các bài toán thờng


18
gặp hầu nh ta phải biến đổi một số bớc để rồi từ đó ta mới phát
hiện ra đợc nên đặt ẩn phụ nh thế nào?. Tuy nhiên, biến đổi
nh thế nào cho hợp lý không phải là điều dễ. Nếu HS làm đợc
điều này thì ta không còn gì để bàn. Tuy nhiên, rất nhiều em
gặp khó khăn trong việc định hớng, nên biến đổi nh thế nào?.
Đối với loại khó khăn này ta cũng không nên giúp HS theo kiểu,
cho hẳn một con cá, mà nên cho họ một cái cần câu và
cách câu.
Những khó khăn, sai lầm sau đây có thể xem là phổ biến
khi HS sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để chuyển một bài toán
ban đầu sang bài toán tơng đơng. Đó là:
* Khi đặt ẩn phụ thờng lÃng quên việc đặt điều kiện của
ẩn phụ, và cho rằng, phơng trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ
khi phơng trình g(t) = 0 có nghiệm, trong đó g(t) là biểu thức
thu đợc từ f(x) thông qua một phép đặt ẩn phụ t = (x) nào đó.
Nói cách khác, nếu phơng trình xuất phát có dạng f[g(x)] = 0

thì HS thờng đặt t = g(x) để đa về phơng trình f(t) = 0, và
quan niệm rằng, phơng trình f[g(x)] = 0 có nghiệm khi và
chỉ khi phơng trình f(t) = 0 có nghiệm;
* Khi đặt ẩn phụ, mặc dầu có thực hiện bớc đặt điều kiện
nhng điều kiện không sát. Nói cách khác, phơng trình ban đầu
có ẩn x, đặt ẩn phụ t = (x) để đa về một phơng trình ẩn t,


tuy nhiên HS chỉ đa ra đợc một điều kiện cần đối với t, chứ
cha phải là một điều kiện cần và đủ đối với t để phơng
trình t = (x) có nghiệm theo ẩn x;
Chẳng hạn, có nhiều HS giải bài to¸n:


19
Tìm m để phơng trình: ( x 2 2 x + 2)2 + ( x 2 − 2 x + m) = 0 có nghiệm
nh sau: Đặt t = x 2 − 2 x + 2 , ®iỊu kiƯn t > 0 , để phơng trình đà cho
có nghiệm thì phơng trình t 2 + t + m 2 = 0 ph¶i cã nghiƯm t > 0 , ...
* Không phát hiện đợc sự tơng ứng giữa số lợng x (ẩn ban
đầu) và số lợng t ;
Chẳng hạn, khi giải bài toán Tìm a để phơng trình
sin 2 x + sin x + a = 0 cã ®óng 2 nghiƯm x ∈ [0; π ] ”, nhiỊu HS lập luận

rằng: Đặt t = sinx , điều kiện của t là 0 t 1 , để phơng trình đÃ
cho có đúng hai nghiệm thuộc [0; ] thì phơng trình t 2 + t + a = 0 cã
®óng hai nghiƯm t ∈ [ 0;1] ⇔ 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 1 , ...”.

Cã nh÷ng HS đà gặp phải một trong ba kiểu sai lầm nêu
trên, nhng đáp số cuối cùng vẫn đúng. Phải tinh ý thì mới phát
hiện đợc sai lầm trong khâu suy luận.
Chẳng hạn bài toán:
Tìm m để phơng trình ( x 2) ( x + 2) + 3( x − 2)

x+2
= m(m + 3) cã
x−2

nghiƯm.

x ≠ 2

⇔ x > 2 hc x 2
Sau khi nêu điều kiện x + 2

0

x 2

nhiều

HS

đặt

u = (x 2)

x+2
x2

để

đa

về

phơng

trình


2
2
u2 + 3u = m2 + 3m; phơng trình này u + 3u − (m + 3m) = 0 . Do nhËn thÊy

∆ = 9 + 4(m2 + 3m) = 4m2 + 12m+ 9 =
= (2m+ 3)2 ≥ 0 víi mäi m, nªn HS kết luận rằng: Với mọi m thì phơng

trình luôn có nghiệm.

Thực ra, lập luận trên đây cha hoàn toàn chặt chẽ (mặc
dầu đáp số là đúng). HS cha chỉ ra đợc rằng, với mỗi t0 bất kỳ
thì phơng trình


20
(x 2)

x+2 =t
0 luôn có nghiệm đối với ẩn x. Cũng cần nói
x2

x+2
thêm, việc chứng minh với mỗi t0 bất kỳ, phơng trình (x 2)
x2
= t0 luôn có nghiệm không hoàn toàn đơn giản đối với học sinh

có học lực bình thờng.
Bởi vậy, hoặc không nên ra bài toán này cho mọi đối tợng học
sinh hoặc phải châm chớc đôi chút về mặt lôgic.
Liên hệ sang một ví dụ khác, bài toán: Tìm m để phơng

trình
x + m = 2 x + 1 có nghiệm. Với bài toán này, lời giải sau đây của
HS tuy có đáp số đúng, nhng thầy giáo không nên chấp nhận và
phải có sự chấn chỉnh kịp thời:
Đặt t = x + 1 , khi ®ã x + m = t2 + m− 1, để phơng trình đà cho

có nghiệm thì phơng trình t2 − 2t + m− 1 = 0 (1) ph¶i cã nghiÖm
theo Èn t
⇔ ∆ ' = 2 − m≥ 0 m 2 .

Cái may mà nhờ đó dẫn đến đáp số đúng, là ở chỗ: Nếu
' 0 tøc m≤ 2 th× t1 + t2 = 2 , do đó nghiệm lớn của (1) ắt sẽ lớn hơn

hoặc bằng 1 và đơng nhiên là không âm.
Trong nhiều bài toán Đại số, việc đa yếu tố phụ còn có tác
dụng nh một chiếc đòn bẩy giúp chúng ta giải bài toán một cách
nhẹ nhàng hơn.
Nh ở bài toán Phân tích đa thức (a b)3 + (b c)3 + (c a)3 thành
nhân tử (1). Bằng phơng pháp thô sơ: khai triển và nhóm các số
hạng thích hợp thì HS cũng sẽ tìm ra kết quả 3(a b)(b c)(c a) . Tuy
nhiên từ vẻ đẹp cân đối của đề ra và kết quả GV không nên để
HS hài lòng về cách giải của mình, mà giúp HS thấy đợc việc khai


21
triển của mình là thừa, nên hớng họ đi tìm lời giải tốt hơn. GV
nên hỏi HS: Mối liên hệ gi÷a (a− b) , (b − c) , (c − a) có gì đặc biệt?. ở
đây ta có:
c a = (a b + b c) và


từ đấy cho học sinh hớng tới nếu đặt

x = (a b), y = (b − c) th× c − a = −(x + y) . Ta sẽ có lời giải thú vị hơn nhiều.

Hoặc bài toán Chứng minh rằng nếu có x + y + z = 0 th× cịng cã
x3 + y3 + z3 = 3xyz . Đối với bài này mà tinh ý sử dụng bài toán (1) để

giải. Bằng cách đặt x = (a b), y = (b c) ; th× do x + y + z = 0 nên z = c a
từ đó ta có điều phải chứng minh. Tuy nhiên đây là một ý nghĩ
tơng đối kì quặc, vì đà đa một bài toán đơn giản về một bài
toán phức tạp hơn.
Hoặc bài toán tơng tự sau:
Đơn giản biểu thức (a+ b + c)3 + (a− b − c)3 + (b − c − a) + (c a b)3 . Nếu
giải bài này bằng cách khai triển và ớc lợng số hạng đồng dạng là
một phơng pháp thủ công và kém hấp dẫn. Tuy nhiên, nếu để ý
tổng các biểu thức dới dấu luỹ thừa bằng 0, ta đa vào ba biểu
thức phụ: x = a− b − c, y = b − c − a, z = c − a− b , th× ta cã x + y + z = −(a+ b + c) ,
rồi sau đó dùng hằng đẳng thức quen thuéc sau:
−(x + y + z)3 + x3 + y3 + z3 = −3(x + y)(x + z)(y + z) , ta sẽ có kết quả của biểu thức

là 24abc
Những bài toán đợc giải bằng phơng pháp đặt ẩn phụ ở bậc
THPT rất đa dạng và phong phú, nên chúng tôi không có ý định
thống kê tất cả, mà chỉ điểm qua những tình huống điển
hình cơ bản thờng gặp. Cụ thể ở đây chủ yếu chỉ nghiên cứu
các dạng toán không liên quan đến tham số. ở mỗi tình
huống điển hình, sẽ nêu lên đặc điểm của từng dạng và có thể
tiến hành phân tích, tìm lời giải một số ví dụ để ngời đọc
nhận thức sâu sắc cảm nhận tốt hơn về các dạng Toán. Những
nội dung mà chúng tôi trình bày dới đây chủ yếu thiên vÒ ý t-



22
ởng. Tức là nội dung của khoá luận là Góp phần rèn luyện cho
học sinh năng lực lựa chọn ẩn phụ để giải một số bài toán Đại số
và Giải tích ở bậc THPT, nên hoạt động chủ yếu của GV và HS
mà chúng tôi trình bày hầu nh sẽ dừng lại sau khi HS đà biết lựa
chọn biểu thức để đặt ẩn phụ. Các hoạt động của GV đợc đề
cập trong từng ví dụ, có thể có chỗ cha hợp lý, có chỗ quá tỉ mỉ
hoặc có chỗ quá vắn tắt Mặc dù rất muốn đi sâu để trình
bày kỹ hơn, cụ thể hơn và sâu sắc hơn từng vấn đề, nhng do
hoàn cảnh khách quan cũng nh chủ quan nên điều đó hiện tại
chúng tôi cha làm đợc. Tuy nhiên, chúng tôi hy vọng rằng những
vấn đề mà chúng tôi nói dới đây sẽ góp một phần nhỏ bé vào
việc phát triển t duy cho các em học sinh thân yêu!.
2.1. Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải các bài
toán liên quan đến phơng trình, hệ phơng trình (Chủ yếu
nghiên cứu các dạng toán không chứa tham số).
2.1.1. Phơng trình, hệ phơng trình đại số (Phơng
trình, hệ phơng trình không chứa căn thức)
Có thể nói đặt ẩn phụ là một phơng pháp chủ yếu để giải
phơng trình, hệ phơng trình. Có nhiều phơng pháp đặt ẩn
phụ, có thể đặt ngay ẩn phụ, có thể biến đổi rồi mới đặt ẩn
phụ, có thể dựa vào mối quan hệ giữa các hệ số để lựa chọn ẩn
phụ cho thích hợp. GV cần làm cho HS thấy rõ mục đích chủ yếu
sau khi đặt ẩn phụ là ta thu đợc phơng trình, hệ phơng trình
có bậc thấp hơn bậc của phơng trình, hệ phơng trình đà cho,
hoặc phơng trình, hệ phơng trình mà chúng tôi coi là có dạng
quen thuộc đối với HS là: Phơng trình bậc nhất, phơng trình
bậc hai một ẩn, phơng trình trùng phơng, hệ phơng trình bậc

nhất hai ẩn, hệ phơng trình đối xứng.
Sau đây là một số phơng trình cơ bản thờng gặp.


23
* ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = m

víi a + b = c + d ;

Ta viết lại phơng trình dới d¹ng nh sau:
[ x 2 + (a + b) x + ab] [ x 2 + (c + d ) x + cd ] = m.

4

Đặt t = x 2 + (a + b) x + ab ; §iỊu kiƯn lµ (t ≥ − ), ta cã:
x 2 + (c + d ) x + cd = t − ab + cd .

* Phơng trình hồi quy:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0; Víi

e
d
= ( ) 2 ; a, b ≠ 0 .
a
b

V× e 0 nên x = 0 không là nghiệm của phơng trình đÃ
cho,ta thực hiện phép chia cả hai vế của phơng trình cho x 2 0 ,
ta ®ỵc:
e 1  

d 1

a  x 2 + . 2 ÷+ b  x + . ÷+ c = 0 .
a x
b x

2

2

d 1
d
e 1
d 1
d 1
d
Đặt t = x + . , suy ra x 2 + . 2 = x 2 +  . ÷ =  x + . ÷ − 2 = t 2 − 2 .
b x
b
a x
b x
b
b x 

* ( ax 2 + b1 x + c )( ax 2 + b2 x + c ) = dx 2 ; Víi a, c, d ≠ 0 .
NhËn xÐt: x = 0 không phải là nghiệm, ta thực hiện phép
chia cả hai vế của phơng trình đà cho cho x 2 0 ta đợc:

ax + b1 +



c
c
ax + b2 + = d .
x
x

Đặt t = ax +

c
tuỳ theo a; c tìm điều kiện của t .
x

* ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = ex 2 ;Víi ab = cd .
B»ng c¸ch khai triĨn dƠ dàng đa về dạng:

( ax

2

)(

)

+ b1 x + c ax 2 + b2 x + c = dx 2 ;

VÝ dụ 1. Giải phơng trình

(7x + 11)4 10(7x + 11)2 x2 + 9x4 = 0


(1)

Mới nhìn vào bài toán này chắc hẳn không ít học sinh
choáng ngợp bởi những con số không lấy gì cho đẹp lắm!. Sẽ có
một sè HS nghÜ ngay ®Õn viƯc khai triĨn ®Ĩ ®a phơng trình


24
đà cho về dạng phơng trình bậc bốn ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 . Tuy
nhiên, ngay lúc này ngời GV cần nhắc nhở HS rằng không nên
biến đổi phơng trình đà cho về dạng bậc bốn. Bởi lẽ, những phơng trình dạng này mặc dù đà có cách giải nhng vô cùng phức
tạp. Nên lái học sinh đi theo hớng xem phơng trình ban đầu là
một Phơng trình bậc hai với ẩn là ( 7x + 11) , tuy nhiên hệ số
2

bậc nhất và hạng tử tự do của phơng trình này đều đợc biểu
diễn theo x đó là 10x2 và 9x4 . Do vËy, trong biƯt thøc ∆ cịng nh
trong biĨu thøc nghiƯm ®Ịu chøa x . Ta thÊy r»ng, sau ®©y ta
sÏ g¸n Èn phơ cho mét biĨu thøc chøa Èn cđa phơng trình đÃ
cho, đó là một cách hơi khác so với thông thờng.
Những hoạt động chủ yếu của giáo viên và học sinh trong quá
trình lựa chọn ẩn phụ:
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

* Ta xem phơng trình ban * Đặt t = ( 7x + 11) 2 0.
đầu là một phơng trình
bậc hai với ẩn là ( 7x + 11) ,
2


Phơng trình đà cho trở thành:
t2 10x2t + 9x4 = 0.

Từ đó hÃy đặt ẩn phụ rồi
biến đổi.
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
= (5 x 2 ) 2 9 x 4 = 16 x 4 = (4 x 2 ) 2 .
t1 =

5x 2 + 4 x 2
= 9x 2 ≥ 0 .
1

t2 =

5x 2 − 4 x 2
= x 2 ≥ 0.
1
9 x 2 = (7 x + 11) 2

*Khi đó phơng trình ban * (1) x 2 = (7 x + 11) 2



25
đầu tơng đơng với tuyển Giải hai phơng trình trên ta đợc
hai phơng trình nào?.


nghiệm của phơng trình

ban

đầu.
Xin nói thêm rằng những hoạt động trên đây của (cũng
nh trong nội dung của khoá luận này) của GV chỉ là dự kiến,
trong thực tiễn, tuỳ theo trình độ của HS mà có thể gợi mở cụ
thể hơn hoặc lợc bỏ những hoạt động nào đó. Do có nhiều
nguyên nhân nên chúng tôi chỉ trình bày những hoạt động
chính của GV và HS, cha thể tỉ mỉ hoá đợc những hoạt động
này.
Ví dụ 2. Giải phơng trình ( ax + b ) 4 + ( ax + c ) 4 = d .
Những hoạt động chủ yếu của giáo viên và học sinh trong
quá trình lựa chọn ẩn phụ:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
* Khai triển rồi rút gọn biÓu * Ta cã: ( u + v ) 4 = u 4 + 4u 3v + 6u 2 v 2 + 4uv3 + v 4 .
thøc sau:
S = ( u + v) + ( u − v) .
4

4

( u − v ) 4 = u 4 − 4u 3 v + 6u 2 v 2 − 4uv 3 + v 4
.
Tõ ®ã ta suy ra:

* Ta thÊy u + 6u v + v = 0 .
4


2

2

4

là một phơng trình trùng phơng (ẩn u ), là một dạng quen
thuộc đà có thuật giải. Từ đó
hÃy đặt ẩn phụ sao cho ta
có thể đa phơng trình ban

(

* Ta phải lựa chọn biểu thức thích
hợp để đặt ẩn phụ sao cho sau
khi đặt thì ax + b và ax + c có dạng
u + v và u v . Ta có:

đầu về dạng phơng trình
trùng
Hoạt động của giáo viên

)

4
4
S = ( u + v ) + ( u − v ) = 2 u 4 + 6u 2 v 2 + v 4 .

Hoạt động của học sinh