3
CHƯƠNG I
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Định nghĩa và ví dụ
1.1.1. Định nghĩa. Cho R là một vành. Một tập M được gọi là một R–mơđun
trái, hay cịn gọi mơđun trái trên vành R, nếu các điều kiện sau đây được thỏa
mãn:
(i) M là một nhóm Abel cộng.
(ii) Tồn tại một ánh xạ
R×M → M
( x, m)  xm

gọi là phép nhân vơ hướng sao cho các tính chất sau được thỏa mãn đối với các
phần tử tùy ý x, y ∈ R và m, m1 , m2 ∈ M :
(+) Kết hợp: (xy)m = x(ym) ;
(+) Phân phối: x(m 1 + m 2 ) = xm 1 + xm 2
và (x +y)m = xm + ym ;
(+) Unitar: 1m = m.
Nếu R là một trường thì một R–mơđun được gọi là khơng gian vectơ trên trường
đó.
Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R–mơđun phải bằng cách xét phép
nhân với vô hướng ở bên phải.
Tuy nhiên để cho đơn giản ta chỉ xét R–mơđun trái trong suốt khóa luận này và
gọi tắt là R–mơđun.
1.1.2. Ví dụ.
a) Một vành R ln có thể xem là một mơđun trên chính nó với phép nhân với
vơ hướng chính là phép nhân của vành.
b) Mọi nhóm Abel G đều có thể xem là mơđun trên vành các số ngun ¢ . Với a
∈ G và n ∈ ¢ tùy ý, phép nhân vi vụ hng c xỏc nh l:
 ìG G
(n, a )  na = a + a+........

  + a
n −lan


4
c) Giả sử R là vành giao hoán với đơn vị và X = {a = [ aij ] n×n | aij ∈ R} là tập hợp các
ma trận vuông cấp n với phần tử trên R.
Trên X ta xác định hai phép tốn:
(i) Phép cộng: X × X → X

( a, b ) 

a + b = [cij ] n×n , với cij = aij + bij

(ii) Phép nhân với vơ hướng: R × X → X

( λ, a) 

λa = [d ij ] n×n , với d ij = λaij

Khi đó X trở thành mơđun trên vành R và được gọi là một môđun các ma trận cỡ
n × n trên R.

4) Giả sử R là vành giao hốn với đơn vị. Khi đó
n


R[ x ] =  f ( x ) = ∑ ai x i \ ai ∈ R  cùng với phép cộng đa thức thông thường và phép
i =0




n

i
nhân cho bởi λf ( x ) = ∑ λai x là một môđun và được gọi là môđun các đa thức ẩn
i =0

x với hệ số thực.
1.2. Môđun con, môđun đơn, môđun thương
1.2.1. Định nghĩa. Cho M là một R–môđun và N là tập con khác rỗng của M.
Khi đó N được gọi là R–mơđun con (hay gọi tắt là môđun con) của R–môđun M
nếu N cũng là một R–mơđun với các phép tốn của M hạn chế trên N.
1.2.2. Tiêu chuẩn môđun con.
Cho M là một R–môđun và N là tập con khác rỗng của M. Khi đó ba điều kiện
sau đây tương đương:
(i) N là môđun con của M.
(ii) x + y ∈ N , ∀x, y ∈ N và ax ∈ N , ∀x ∈ N , ∀a ∈ R .
(iii) ax + by ∈ N , ∀x, y ∈ N , ∀a, b ∈ R .
1.2.3. Định nghĩa. Môđun con N của môđun M được gọi là môđun con cực đại
nếu N ≠ M và không tồn tại môđun P sao cho P ⊂ M và P ⊃ N.
1.2.4. Định nghĩa. Cho M là một R–mơđun. Khi đó M được gọi là mơđun đơn
nếu M ≠ 0 và M chỉ có duy nhất hai mơđun con là 0 và chính M.


5
1.2.5. Định nghĩa. Cho M là R–môđun và N là mơđun con của M. Khi đó N là
nhóm con chuẩu tắc của nhóm cộng abel M. Do đó tồn tại nhóm thương
M


N

(

)

= {x + N \ x ∈ M} và M ,+ là nhóm abel.
N

Xét phép nhân với vơ hướng trên R:
R×M

N

→M

( r, x ) 

N

rx = rx + N .

Khi đó M N là một R–mơđun với phép cộng và phép nhân với vơ hướng nói
trên. Mơđun này được gọi là môđun thương của M theo môđun N.
1.2.6. Mệnh đề. Cho M là R–môđun và G là môđun con của M. Khi đó
'
(i) Nếu G ' là mơđun con của M mà G ' ⊇ G thì G G là môđun con của M G .
"
(ii) Mỗi môđun con của M G có dạng G G của đúng một môđun con G " của M


mà G " ⊇ G .
(iii) Cho G1 ,G2 là môđun con của M mà chứa G. Khi đó G1 ⊆ G2 nếu và chỉ nếu
G1

G

⊆ G2

G .

1.3. Đồng cấu môđun
1.3.1. Định nghĩa. Cho M và N là hai R–môđun. Một ánh xạ
f :M → N

được gọi là đồng cấu mơđun hay cịn gọi là R–đồng cấu, nếu nó thỏa mãn hai
điều kiện sau đối với mọi phần tử x, y ∈ M và r ∈ R :
f(x+y) = f(x)+f(y)
f(rx) =rf(x).
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu f tương ứng là đơn
ánh, tồn ánh hay song ánh.
Hai mơđun M và N đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cấu
f: M → N
Kí hiệu là M ≅ N.


6
1.3.2. Định lý. Giả sử f : M → N là một đồng cấu từ môđun M đến môđun N , p :
M → M Kerf là tồn cấu chính tắc từ môđun M đến môđun thương của M trên
Kerf. Khi đó có một đồng cấu duy nhất sao cho tam giác:
M


f

N

p

f
M

Kerf

là giao hoán.
1.3.3. Hệ quả. Giả sử f : M → N là đồng cấu từ môđun M đến mơđun N. Khi đó
M

Kerf

≅ Im f .

1.3.4. Định lý. Giả sử N và P là hai môđun con của R–môđun M. Khi đó

( N + P)

≅P

N

N ∩P.


1.3.5. Định lý. Giả sử N và P là hai môđun con của R–môđun M, và N là mơđun
con của P. Khi đó
M

P

=

M

N

P

N

.

1.3.6. Mệnh đề. Cho một R–môđun M. Ký hiệu S M là tập hợp tất cả các môđun
con của M. Cho f : M → M ' là một toàn cấu của R–mơđun.
Khi đó ánh xạ θ : { G ∈ S M : G ⊇ Kerf } → S M
G

'

f (G )



−1

'
−1
'
'
là song ánh và θ (G ) = f (G ), ∀G ∈ S M .
'

1.4. Dãy khớp, môđun Noether, môđun Artin
1.4.1. Định nghĩa. Cho
f
f
( ξ )  →
 M i −1 →
Mi
i−2

i −1

fi
f i +1
→
M i +1 →


là một dãy các R–môđun và R–đồng cấu.
(i)Dãy ( ξ ) được gọi là một phức các R–môđun, nếu Imf i ⊆ Kerf i +1 , ∀i .
(ii)Dãy ( ξ ) được gọi là một dãy khớp, nếu Imf i = Kerf i +1 , ∀i .


7

(iii) Một dãy khớp có dạng :
f
g
0 → M’ →
M →
M” → 0

được gọi là dãy khớp ngắn.
1.4.2. Định nghĩa. Cho M là một R–mơđun. Khi đó M được gọi là mơđun
Noether, một cách chính xác khi nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) Khi ( Gi ) i∈N là một họ các môđun con của M mà
G1 ⊆ G2 ⊆ ....... ⊆ Gi ⊆ Gi +1 ⊆ .....

thì tồn tại k ∈ ¥ để Gk = Gk +1 , ∀i ∈ ¥
(ii) Mọi tập khác rỗng các mơđun con của M ln chứa ít nhất một phần tử cực
đại (theo quan hệ bao hàm).
1.4.3. Định nghĩa. Cho M là một R–mơđun. Khi đó M được gọi là mơđun Artin
một cách chính xác khi nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) Khi ( Gi ) i∈¥ là một họ các môđun con của M mà
G1 ⊇ G2 ⊇ ...... ⊇ Gi ⊇ Gi +1 ⊇ .....

thì tồn tại k ∈ ¥ để Gk = Gk +1 , ∀i ∈ ¥ .
(ii) Mọi tập khác rỗng các mơđun con của M ln chứa ít nhất một phần tử cực
tiểu (theo quan hệ bao hàm).
1.4.4. Định lý. Cho
f
g
0→ L
→
M

→
N →0

là một dãy khớp ngắn của R–môđun và R–đồng cấu.
(i) R–môđun M là Noether nếu và chỉ nếu L và N là Noether.
(ii) R–môđun M là Artin nếu và chỉ nếu L và N là Artin.
1.4.5. Mệnh đề. Cho M 1 và M 2 là đẳng cấu R–mơđun. Khi đó
(i) M 1 là Noether nếu và chỉ nếu M 2 là môđun Noether.
(ii) M 1 là Artin nếu và chỉ nếu M 2 là môđun Artin.


8
CHƯƠNG II
DÃY HỢP THÀNH CỦA MƠĐUN
Ta ln xét R là vành giao hốn có đơn vị kí hiệu là 1.
2.1. Định nghĩa và ví dụ
2.1.1. Định nghĩa. Cho M là một R–mơđun. Xét hai xích hữu hạn các mơđun
con của M
α : 0 ⊆ M 0 ⊆ M 1 ⊆ ........ ⊆ M k −1 ⊆ M k = M .
β : 0 ⊆ M 0' ⊆ M 1' ⊆ ......... ⊆ M l'−1 ⊆ M l' = M .

Kí hiệu I = {0,1,……k}, J = {0,1,…….l} và gọi tập hợp I là tập chỉ số của xích
α , J là tập chỉ số của xích β . Khi đó:

(i) Số tự nhiên k được gọi là độ dài của xích α , ký hiệu là l( α ) = k.
(ii) Môđun thương
{

M1


M0

,........,

Mk

Mi

M i −1 được gọi là thương thứ i và tập các R–môđun

M k −1 } được gọi là tập thương của xích

α.

(iii) Ta nói hai xích α và β là đẳng cấu với nhau, ký hiệu là α ≅ β , nếu tồn tại
một song ánh giữa hai tập chỉ số φ : I → J sao cho
Mi

M i −1

≅

M φ' ( i )

M φ' (i ) −1 ,

∀i = 1,.........k .

(iv) Xích α gọi là một dãy hợp thành của môđun M, nếu M i −1 là môđun con cực
M

đại của M i , ∀i = 1,……,k. Điều này tương đương với điều kiện i M , i = 1,
i −1

…..,k là những môđun đơn.
2.1.2. Chú ý.
(i) Giả sử α ≅ β là một đẳng cấu giữa hai xích các mơđun con của M và với một
chỉ số i nào đó ta có M i −1 = M i .
Vì

Mi

M i −1 = 0 nên

các thương

Mi

M φ' ( i )

M i −1

M

=0=

'
φ ( i ) −1

M φ' ( i )


'
'
'
= 0, tức M φ (i )−1 = M φ (i ) . Vậy khi bỏ M i và M φ (i ) thì

M φ' (i ) −1 cũng bị bỏ đi, trong khi các thương khác


9
trong hai xích vẫn giữ nguyên. Từ đây suy ra các xích mới sau khi bỏ đi M i và
M φ' (i ) vẫn đẳng cấu với nhau.

Hơn nữa, ta thấy định nghĩa (iii) về đẳng cấu ở trên là một quan hệ tương trên
tập hợp các xích của mơđun M. Điều này cho phép chúng ta có thể giả thiết mà
khơng mất tính tổng qt rằng trong một xích α của M thỏa mãn M i −1 ≠ M i , ∀i .
(ii) Trong trường hợp không thể mở rộng xích (tăng ngặt) bởi sự đưa vào của số
hạng đặc biệt làm cho xích có độ dài n + 1. Khi đó một xích (tăng ngặt) các
mơđun của M là một dãy hợp thành của M nếu và chỉ nếu nó là một xích (tăng
ngặt) cực đại.
2.1.3. Ví dụ.
(a) Cho V là một K–không gian vectơ n chiều với { x1 , x 2 ,......., x n } là một cơ sở.
Khi đó xích :
n

0 ⊂ x1 K ⊂ x1 K + x2 K ⊂ ...... ⊂ ∑ xi K = V
i =1

là một dãy hợp thành của V có độ dài là n.
Thật vậy, Xét mơđun thương x1 K 0 .
Ta có x1 K là khơng gian vectơ con của V và có số chiều là 1.

Do đó x1 K chỉ có hai mơđun con là 0 và chính x1 K .
Suy ra x1 K là mơđun đơn hay x1 K 0 là môđun đơn.
Xét môđun thương

( x1 K + x 2 K )

x1 K .

Theo Định lý 1.3.4 ta có:
( x1 K + x 2 K )

x1 K

≅ x2 K

( x1 K ∩ x 2 K )

Mặt khác x1 K ∩ x 2 K = 0 (Vì x1 , x 2 là độc lập tuyến tính).
Khi đó
Do đó

x2 K

( x1 K ∩ x 2 K )

( x1 K + x 2 K )

x1 K

= x 2 K , mà x 2 K là môđơn.


là môđun đơn.

Bằng cách chứng minh tương tự và quy nạp ta cũng có


10
n

∑x K
i =1

i

n −1

∑x K
i =1

là môđun đơn.

i

Theo Định nghĩa 2.1.1(iv) suy ra V có dãy hợp thành là
n

0 ⊂ x1 K ⊂ x1 K + x 2 K ⊂ ....... ⊂ ∑ x1 K = V
i =1

và độ dài bằng n.

(b) Xét ¢ là ¢ –mơđun. Khi đó ¢ khơng có dãy hợp thành.
Thật vậy, giả sử 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ....... ⊂ ¢ là dãy các mơđun con của ¢
Ta có Ai là mơđun con của ¢ khi và chỉ khi Ai là iđêan của ¢ .
Giả sử A1 = n ¢ (Vì A1 là iđêan của ¢ nên ∃n ∈ ¢ sao cho A1 = n ¢ ).
Khi đó ln tồn tại một mơđun con nằm giữa 0 và A1 . Chẳng hạn A1' = n 2 ¢
thỏa mãn 0 ⊂ A1' = n 2 Z ⊂ A1
Điều đó suy ra 0 = A0 khơng phải là môđun con cực đại của A1 . Theo Định nghĩa
2.1.1.(iv) suy ra ¢ khơng có dãy hợp thành.
(c) Xột Ô l Ô mụun . Khi ú Ô cú chuỗi hợp thành với độ dài là 1.
Thật vậy, Ta cú mi mụun con ca Ô l mt iờan ca .
Mt khỏc Ô l mt trng nờn Ô ch cú hai iờan l 0 v Ô .
Do ú Ô cú dóy hp thnh l 0 Ô v cú dài bằng 1.
Sau đây là một số kết quả cơ bản về dãy hợp thành.
2.2. Độ dài của dãy hợp thành
2.2.1. Định nghĩa. Cho M là R–mơđun có một dãy hợp thành là :
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ … ⊂ M n −1 ⊂ M n = M.
Ta gọi độ dài của dãy hợp thành này là số các mắt xích của nó, có nghĩa độ dài
bé thua số các số hạng trong dãy 1 đơn vị.
2.2.2. Định lý. Cho M là R–môđun và giả sử M có một dãy hợp thành có độ dài
n. Khi đó
(i) Khơng có một xích (tăng ngặt) các mơđun con nào của M có độ dài lớn
hơn n.


11
(ii) Mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài đúng bằng n.
(iii) Mỗi xích (tăng ngặt) các mơđun con của M có độ dài n’ ≤ n có thể mở rộng
thành một dãy hợp thành của M bằng cách đưa thêm vào xích đó n-n’ số hạng.
(iv) Mọi xích (tăng ngặt) các mơđun con của M có độ dài n đều là dãy hợp
thành của M.

Chứng minh. Chúng ta có thể giả thiết n > 0. Cho mỗi R–mơđun M, chúng ta kí
hiệu l(M) là độ dài nhỏ nhất của một dãy hợp thành của M nếu M có một dãy
hợp thành và l(M) = ∞ nếu M khơng có dãy hợp thành.
Bước đầu tiên chúng ta chứng minh rằng: nếu A là môđun con thực sự của M thì
l(A) < l(M).
Cho l(M) = t và
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ … M t −1 ⊂ M t = M
là một dãy hợp thành cho M với độ dài t.
Với mỗi i = 0,….,t , cho Ai = A ∩ M i .
Theo Hệ quả 1.3.3 : Với mỗi i = 1, …,t hợp thành R–đồng cấu
Mi
f
g
A i = A ∩ M i →
M i →
M i −1

(mà trong đó ánh xạ f là đồng cấu bao hàm và g là tồn cấu chính tắc) có hạt
nhân bằng A ∩ M i ∩ M i −1 = A ∩ M i −1 = A i −1 và cũng cảm sinh một R- đơn cấu
ϕ

Khi đó

Ai

Vì vậy,

Ai

i


:

Ai −1

→

Mi

M i −1

a + Ai −1  a + M i −1

Ai −1 là đẳng cấu tới một môđun con nào đó của
Mi

Mặt khác
Do đó

Ai

Mi

M i −1 là mơđun đơn.

Ai −1 là 0 hoặc đơn.

Ai

ϕ

Ai −1 là đơn nếu và chỉ nếu i là một đẳng cấu.

Khi đó nếu chúng ta bỏ đi vài số hạng lặp lại trong
0 = A 0 ⊆ A 1 ⊆ … ⊆ A i −1 ⊆ A t = A ∩ M t = A

M i −1 .


12
chúng ta sẽ thu được một dãy hợp thành của A.
Khi đó l(A) ≤ l(M).
Hơn nữa chúng ta phải có l(A) < l(M), mặt khác quá trình trên phải dẫn tới
A 0 ⊂ A 1 ⊂ … ⊂ A t −1 ⊂ A t
như là một dãy hợp thành của A, với

Ai

Ai ∩ M i −1

=

Ai

Ai −1 ≠ 0 ∀i =1,……,t.

Từ A i = 0 = M i , nó kéo theo trình tự
A 1 = M 1 , A 2 = M 2 ,……….,A t = M t ,
mâu thuẫn với thực tế có A ⊂ M.
Khi đó chúng ta chứng tỏ rằng l(A) < l(M).
Chú ý chúng ta cũng chứng tỏ rằng mọi mơđun con của M có một dãy hợp thành

(i) Bây giờ cho 0 = M '0 ⊂ M 1' ⊂ M '2 ⊂ ...... ⊂ M 'r −1 ⊂ M 'r = M là một xích (tăng
ngặt) các mơđun con của M.
Ta có l(0) = 0 và áp dụng kết quả chứng minh ở trên ta có
0 = l(M '0 ) < l(M 1' ) < ……..< l(M 'r −1 ) < l(M 'r ) = l(M).
Từ đó r ≤ l(M) ≤ n (Vì M có dãy hợp thành với độ dài n mà ở phần đầu của
chứng minh ta kí hiệu l(M) là độ dài nhỏ nhất của một dãy hợp thành).
Vậy khơng có xích các mơđun con nào của M có độ dài lớn hơn n.
(ii) Giả sử M có dãy hợp thành với độ dài n 1 .
Theo cách kí hiệu ở phần đầu của chứng minh ta có l ( M ) ≤ n1 .
Mặt khác theo cách chứng minh ở phần (i) ta có l ( M ) ≥ n1 (vì dãy hợp thành là
trường hợp đặc biệt của xích ngặt) .
Do đó l (M ) = n1 .
Theo giả thiết M có dãy hợp thành với độ dài n. Lí luận tương tự như trên ta có
l (M ) = n .

Từ đó ta có l ( M ) = n = n1 .
Như vậy mọi dãy hợp thành của M đều có độ dài đúng bằng n.
(iii), (iv) Được suy ra ngay từ phần (i) và (ii) và chú ý 2.1.2(ii): một xích ngặt
các mơđun con của M với độ dài n ' < n = l(M) không thể là một dãy hợp thành


13
của M, bởi vì từ phần (ii): tất cả các dãy hợp thành của M đều có độ dài n và nó
có thể mở rộng được một xích ngặt có độ dài n ' +1 bởi đưa vào số hạng giữa hai
số hạng mà thương của chúng chưa phải là môđun đơn.
Chẳng hạn

Mi

'

M i −1 không phải là môđun đơn thì sẽ tồn tại mơđun M sao cho

M i ⊃ M ' ⊃ M i −1 và M i ≠ M ' ≠ M i −1 . Khi đó ta đưa vào môđun M ' vào giữa M i −1

và M i . Mở rộng cho đến khi được một dãy có độ dài n thì ta thu được một dãy
hợp thành.
Thật vậy giả sử chưa được một dãy hợp thành ta lại chèn tiếp được một số hạng
vào giữa hai môđun mà thương của chúng chưa phải là môđun đơn. Suy ra được
độ dài lớn hơn n. Mâu thuẫn với phần (i).
Ngược lại một xích ngặt các mơđun con của M có độ dài n phải là một dãy hợp
thành của M bởi vì nếu có thể mở rộng một xích ngặt các mơđun con của M có
độ dài n + 1. Mâu thuẫn với phần (i).
Chú ý trong chứng minh trên l(M) chưa phải là kí hiệu của độ dài dãy hợp thành.
Sau đây ta mới đưa ra kí hiệu của độ dài dãy hợp thành trong định nghĩa 2.3.
2.2.3. Định nghĩa. Giả sử M là R–môđun. Ta nói rằng M có độ dài hữu hạn nếu
M có dãy hợp thành. Khi đó độ dài của M được kí hiệu là l(M) hay l R (M) (nếu
muốn nhấn mạnh R là vành cơ sở) là độ dài của dãy hợp thành nào đó của M.
Chúng ta đã biết ở Định lý 2.2.2 rằng tất cả các dãy hợp thành của M có độ dài
như nhau.
Khi M khơng có độ dài hữu hạn có nghĩa là M khơng có dãy hợp thành và ta có
thể kí hiệu l(M) = .
2.2.4. Vớ d.
(1) l Ô ( Ô ) = 1 (Ở ví dụ 2.1.3 đã nêu).
(2) l ¢ ( ¢ ) = ∞ (Ở ví dụ 2.1.3 đã nêu).
(3) l ¢ ( ¢ 6¢ ) = 2 .
Thật vậy, Mỗi mơđun con của ¢ 6¢ đều có dạng X 6¢ trong đó X là mơđun con
của ¢ chứa 6 ¢ .


14

Khi đó X có dạng n ¢ với n là ước của 6.
Suy ra n = 1, 2, 3, 6.
Ta có các mơđun con của ¢ 6¢ là 0, ¢ 6¢ , 2¢ 6¢ , 3¢ 6¢
Vậy ¢ 6¢ chỉ có hai dãy hợp thành là:
0 ⊂ 2¢

6¢

⊂¢

6¢

0 ⊂ 3¢

6¢

⊂¢

6¢

và đều có độ dài bằng 2.

(

)

Do đó l¢ ¢ 6¢ = 2 .
2.2.5. Mệnh đề. Cho M là R–môđun. Khi đó M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ
nếu M vừa là Noether vừa là Artin nghĩa là nếu và chỉ nếu M thỏa mãn cả chuỗi
điều kiện tăng và giảm cho các môđun con.

Chứng minh. ⇒ : Giả sử M có độ dài hữu hạn l(M).
Khi đó từ Định lý 2.2.2 có vài xích tăng các mơđun con của M khơng thể có
nhiều hơn l(M) của nó trong bao hàm ngặt và cuối cùng cũng phải dừng.
Đồng thời vài xích giảm các mơđun con của M cuối cùng cũng phải dừng.
Theo Định nghĩa 1.4.2 vàsuy ra M vừa là môđun Noether vừa là môđun Artin.
⇐ : Giả sử M là môđun Noether và Artin.

Từ định nghĩa của môđun Noether và Artin M thỏa mãn cả điều kiện môđun con
cực đại và cực tiểu.
Chúng ta giả sử M không có một dãy hợp thành và tìm một mâu thuẫn.
Khi đó θ ={A : A là mơđun con của M và l(A) = ∞ }.
Tập θ khơng rỗng vì M ∈ θ , do đó theo điều kiện cực tiểu, θ có một phần tử cực
tiểu gọi là H.
Vì 0 mơđun con của M và có một dãy hợp thành.
Theo định nghĩa của θ suy ra 0 ∉ θ . Mặt khác H ∈ θ
Do đó H ≠ 0 . Khi đó theo điều kiện cực đại tập mơđun con thực sự của H có ít
nhất một thành viên cực đại gọi là H ' .


15
Bằng sự lựa chọn của H và thực tế H ' ⊂ H, vì H là phần tử cực tiểu nên H ' ∉ θ
do đó H ' có dãy hợp thành. Cho
0 = H '0 ⊂ H 1' ⊂ …. ⊂ H t' −1 ⊂ H t' = H '
là dãy hợp thành của H ' và l( H ' ) = t .
Từ H ' là một môđun con cực đại thực sự của H, nó kéo theo H H ' có đúng hai
mơđun con và cũng là đơn. Từ đó
H '0 ⊂ H 1' ⊂ …. ⊂ H t' −1 ⊂ H t' ⊂ H
là dãy hợp thành cho H. Đây là một mâu thuẫn (vì H khơng có dãy hợp thành).
Từ đó M phải có một dãy hợp thành.
Chúng ta có trong định lý 2.2.2 rằng hai chuỗi hợp thành cho một môđun hữu

hạn chiều trên vành giao hốn có cùng độ dài. Thực tế hai dãy hợp thành có
những điểm tương đồng mạnh mẽ hơn liên quan tới cái mà người ta gọi là họ các
thương hợp thành. Những điểm tương đồng được cụ thể hóa trong giả thuyết nổi
tiếng của Jordan-Holder mà được đưa ra trong mục 2.3.3.
2.3. Định lý Jordan-Holder
2.3.1. Định nghĩa. Cho M là R–mơđun và giả sử M có độ dài hữu hạn. Gọi
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ....... ⊂ M n−1 ⊂ M n = M
là dãy hợp thành của M. Khi đó ta gọi họ các R–môđun đơn (

Mi

M i −1 ) i = 1, n là

họ các thương hợp thành của dãy hợp thành trên. (Tất nhiên họ này là rỗng khi
M = 0).
Bây giờ giả sử rằng M ≠ 0 và có
0 = M '0 ⊂ M 1' ⊂ ..... ⊂ M n' −1 ⊂ M n' = M
là dãy hợp thành thứ hai của M (ở đây chúng ta đã sử dụng điều đã được chứng
minh ở định lý 2.2.2 rằng hai dãy hợp thành tuỳ ý của mơđun M có độ dài như
nhau).
Ta nói rằng hai dãy hợp thành của M đẳng cấu nều tồn tại một hoán vị φ của tập
{1,…n} của n số nguyên dương đầu tiên sao cho với mọi i =1,…,n ta có


16
Mi

M i −1

≅


M φ' ( i )

M φ' (i ) −1

2.3.2. Bổ đề. Cho M là R–môđun và A, A ' môđun con của M, A ≠ A ' và cả M A
và M A' là đơn. Từ đó :
M

A

≅ A'

M ≅A
A ∩ A' và
A'
A ∩ A'

Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chỉ ra A ⊂ A + A'. Nếu đây khơng phải là trường
hợp, khi đó chúng ta giả sử A = A + A ' .
Mặt khác A ≠ A' , khi đó ta có A ' ⊂ A ⊂ M .
Từ đó suy ra A A ' là môđun con của M A ' . Mâu thuẫn với thực tế M A' là đơn (Vì
mơđun đơn chỉ có đúng hai mơđun con là 0 và chính nó).
Do đó A ⊂ A+A ' ⊆ M (vì A, A ' là môđun con của M)
Mà M A là đơn hay A là mơđun con cực đại của M.
Khi đó A+A ' = M
Vì thế theo Định lý 1.3.4 ta có
M

A


= ( A + A' )

A

≅ A'

( A ∩ A' )

Những cái đẳng cấu khác cũng tuân theo sự đảo ngược vai trò của A và A ' .
2.3.3. Định lý (Jordan-Holder). Cho M là R–mơđun khác khơng có độ dài hữu
hạn. Khi đó mỗi cặp dãy hợp thành cho M đều đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Từ M ≠ 0, chúng ta có n : = l(M) ≥ 1.
Chúng ta sử dụng phương pháp quy nạp trên n.
Rõ ràng đúng khi n = 1.
Chúng ta cũng giả thiết rằng n > 1 và có kết quả chứng minh cho giá trị nhỏ nhất
của n.Cho
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ....... ⊂ M n −1 ⊂ M n = M
0 = M 0' ⊂ M 1' ⊂ ..... ⊂ M n' −1 ⊂ M n' = M

là hai dãy hợp thành của M.
Ta chia bước quy nạp thành hai trường hợp.


17
Trường hợp đầu tiên là khi M n−1 = M 'n−1 .
Khi đó chúng ta có

Mn


M n −1

M n'

=

M n' −1 và

0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ...... ⊂ M n −1 ⊂ M n = M
0 = M 0' ⊂ M 1' ⊂ ........ ⊂ M n' −1 ⊂ M n' = M

là hai dãy hợp thành của M n−1 = M 'n−1 .
Bởi vì l(M n−1 ) = n - 1 nên chúng ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp cho hai dãy
hợp thành của M n −1 và kết quả được mong muốn trong trường hợp này dễ dàng
suy ra.
Trường hợp thứ hai là khi M n −1 ≠ M n' −1 .
Khi đó chúng ta có tập H = M n −1 ∩ M n' −1 theo Bổ đề 2.3.2 ta có
Mn

M n −1

≅

M n' −1

H và

M n'

M n' −1


≅

M n −1

H

Vì vậy bốn môđun trong những số môđun này là đơn.
Vi vậy, nếu H = 0 (vì M n −1 và M n' −1 là đơn và n = 2), chúng ta đạt được kết luận
như mong muốn.
Giả sử rằng H ≠ 0.
Trong trường hợp 0 ⊂ H ⊂ M n −1 ⊂ M n là một dãy tăng ngặt của các môđun con
của M = M n ,

Mn

M n −1 và

M n −1

H là đơn .

Theo Định lý 2.2.2(iii), dãy ngặt ở trên có thể mở rộng bởi sự đưa vào số hạng
tới một dãy hợp thành của M.
Như vậy một dãy hợp thành của M phải có độ dài n.
Nó kéo theo l(H) = n - 2.
Đặc biệt chúng ta có được một dãy hợp thành của H là:
0 = H 0 ⊂ H 1 ⊂ ......... ⊂ H n −3 ⊂ H n −2 = H

Do đó chứng tỏ có hai dãy hợp thành

H 0 ⊂ H 1 ⊂ ........ ⊂ H n −3 ⊂ H n − 2 ⊂ M n −1 ⊂ M n
H 0 ⊂ H 1 ⊂ .......... ⊂ H n −3 ⊂ H n − 2 ⊂ M n' −1 ⊂ M n'


18
của M là đẳng cấu.
Bây giờ chúng ta có thể áp dụng lý thuyết quy nạp (trên hai dãy hợp thành của M
n −1

) thấy có hai dãy hợp thành
M 0 ⊂ M 1 ⊂ ........ ⊂ M n−1 ⊂ M n và
H 0 ⊂ H 1 ⊂ ........ ⊂ H n−3 ⊂ H n− 2 ⊂ M n−1 ⊂ M n

của M là đẳng cấu.
Tương tự hai dãy hợp thành
H 0 ⊂ H 1 ⊂ ........... ⊂ H n −3 ⊂ H n −2 ⊂ M n' −1 ⊂ M n'

và M 0' ⊂ M 1' ⊂ ........... ⊂ M n' −1 ⊂ M n'
là đẳng cấu và chúng ta cũng có thể hồn thành bước quy nạp.
2.3.4. Ví dụ
Xét ¢ –mơđun M = ¢ 6¢ . Theo Ví dụ 2.4 : M có hai dãy hợp thành là
(1) 0 ⊂ 2¢ 6¢ ⊂ ¢ 6¢
(2) 0 ⊂ 3¢ 6¢ ⊂ ¢ 6¢
Khi đó dãy (1) và (2) là đẳng cấu với nhau.
Thật vậy, xét môđun thương
Theo Định lý 1.3.5 ta có
Mặt khác 3¢
Do đó

¢


6¢

6¢

2¢

=

3¢

6¢

≅ 3¢
6¢

Tương tự ta có

¢

6¢

¢

0

¢

6¢


≅¢

6¢

2¢

2¢

2¢

6¢

≅¢
6¢

.
2¢ .

.

6¢ .

3¢

≅ 2¢
6¢

6¢ .

Vì vậy dãy (1) và (2) là đẳng cấu

2.3.5. Định lý. Cho R là một vành giao hoán và
f
g
M
→
N →0
0 → L →


19
là dãy khớp ngắn của các R–môđun và R–đồng cấu.
(i) R–mơđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu cả L và N đều có độ dài hữu
hạn.
(ii) Khi L, N, M tất cả đều có độ dài hữu hạn thì l(M) = l(L) + l(N).
Chứng minh. (i) Điều này dễ dàng từ Định lý1.4.4 và Định lý 2.2.5
Theo Định lý 2.2.5: R–mơđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu nó vừa là
Noether vừa là Artin.
Theo Định lý 1.4.4: M là Noether nếu và chỉ nếu L và N là Noether và M là
Artin nếu và chỉ nếu L và N là Artin.
Theo Định lý 2.2.5: L vừa là Noether vừa là Artin nếu và chỉ nếu L có độ dài hữu
hạn, và N vừa là Noether vừa là Artin nếu và chỉ nếu N có độ dài hữu hạn.
Do đó M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu L và N có độ dài hữu hạn.
ii) Ta có L ≅ Imf = Kerg và theo Hệ quả 1.3.3 chúng ta cũng có M Kerg ≅ N .
Khi đó l(N) = l( M Kerg ) và l(L) = l(Kerg), Kerg và M Kerg có độ dài hữu hạn.
Do đó ta chứng minh được rằng nếu A là một môđun con của R–môđun M (và M
có độ dài hữu hạn) thì l(M) = l(A) + l( M A ) .
Rõ ràng nếu một trong hai A = 0 hoặc A = M thì đẳng thức trên hiển nhiên đúng.
Bây giờ ta giả sử 0 ⊂ A ⊂ M .
Theo Định lý 2.2.2 dãy ngặt ở trên của mơđun con của M có thể bổ sung các số
hạng để được một dãy hợp thành của M là

0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ......... ⊂ M n −1 ⊂ M n = M và n = l(M).

Giả sử rằng M t = A . Khi đó
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ........ ⊂ M t = A

là dãy hợp thành của A, và từ Mệnh đề 1.2.6 có
Mt

A

⊂

M t +1

A

⊂ ........... ⊂

Mn

A

là dãy hợp thành cho M A .
Từ đó l(A) + l( M A ) = t +(n-t) = l(M), như được yêu cầu.


20
2.3.6. Ví dụ

((


) (

(a) Tìm l¢ ¢ 20¢ ⊕ ¢ 27¢

))

và chỉ ra một dãy hợp thành của ¢ -mơđun

( ¢ 20¢ ) ⊕ ( ¢ 27¢ )
Trước hết xác định dãy hợp thành và độ dài của ¢ –mơđun ¢ 20¢
Ta có mỗi mơđun con của ¢ 20¢ đều có dạng X 20¢ , trong đó X là mơđun con
của ¢ chứa 20¢
Mặt khác X có dạng n ¢ với n là ước của 20.
Do đó các mơđun con của ¢ 20¢ là:
0, ¢

20¢

, 2¢

20¢

, 4¢

20¢

, 5¢

20¢


,10¢

20¢ .

Vậy ¢ 20¢ có ba dãy hợp thành là:
0 ⊂ 4¢

20¢

⊂ 2¢

20¢

⊂¢

20¢

,

0 ⊂ 10¢

20¢

⊂ 2¢

20¢

⊂¢


20¢

,

0 ⊂ 10¢

20¢

⊂ 5¢

20¢

⊂¢

20¢

,

và đều có độ dài bằng 3.

(

)

Khi đó l¢ ¢ 20¢ = 3
Tiếp theo xác định dãy hợp thành và độ dài của ¢ –mơđun ¢ 27¢ .
Tương tự như môđun ¢ 20¢ ta cũng tìm được các mơđun con của ¢ 27¢ là
0, ¢

27¢


, 3¢

27¢

, 9¢

27¢ .

Khi đó ¢ 27¢ có dãy hợp thành là :
0 ⊂ 9¢

27¢

⊂ 3¢

27¢

⊂¢

27¢ .

và có độ dài bằng 3.

(

)

Vậy l¢ ¢ 27¢ = 3
Xét dãy khớp 0 → ¢ 20¢ → ¢ 20¢ ⊕ ¢ 27¢ → ¢ 27¢ → 0



21

(

)(

)

Theo chứng minh trên ¢ 20¢ , ¢ 27¢ đều có độ dài hữu hạn nên theo Định lý

(

) (

)

2.3.5 ta có ¢ 20¢ ⊕ ¢ 27¢ có độ dài hữu hạn và

( ( ¢ 20¢ ) ⊕ ( ¢ 27¢ ) ) = l ( ¢ 20¢ ) + l ( ¢ 27¢ ) = 3 + 3 = 6
Vậy l ( ( ¢ 20¢ ) ⊕ ( ¢ 27¢ ) ) = 6 và ¢ –mơđun ( ¢ 20¢ ) ⊕ ( ¢ 27¢ ) có dãy hợp thành là.
l¢

¢

¢

¢


⊕ 9¢
⊂ 2¢
⊕ 9¢
20¢
27¢
20¢
27¢
3
¢
3
¢
⊂ 2¢
⊕
⊂¢
⊕
⊂¢
⊕¢
.
20¢
27¢
20¢
27¢
20¢
27¢
0 ⊂ 4¢

20¢

⊕ 0 ⊂ 4¢


Cho K là một trường. Chúng ta nhận thấy rằng khái niệm của K–môđun Noether
và K–môđun Artin đồng nhất và thật vậy, nếu có V là một khơng gian vectơ trên
trường K. Khi đó V là một khơng gian hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó vừa là
K–mơđun Noether vừa là K–môđun Artin. Thật vậy theo Mệmh đề 2.2.5 có V là
một K–khơng gian hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó là một K–mơđun có độ dài
hữu hạn.
Bây giờ chúng ta kiểm rằng trong trường hợp này vdim K v =l(V).
2.3.7. Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên trường K. Khi đó V là một
K–khơng gian véctơ hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó là K–mơđun có độ dài hữu
hạn, và trong trường hợp này vdim K V = l(V).
Chứng minh. Sự khẳng định thứ nhất đã được giải thích ngay ở trên, đối với
khẳng định thứ 2 chúng ta chứng minh theo quy nạp trên n=vdim K V.
Khi n = 0, chúng ta có V = 0 và kết quả thì rõ ràng .
Khi n = 1, tập không gian con duy nhất của V là 0 và chính V.
Vì vậy 0 ⊂ V là một chuỗi hợp thành cho K–môđun V và l(V) = 1.
Do đó chúng ta giả thiết rằng n >1 và kết quả đã được chứng minh với mọi giá
trị nhỏ hơn n .
Cho v∈ V với v ≠ 0; tập U = Kv là một không gian con một chiều của V .
Khi đó có một dãy khớp
i
f
V →0
→
V
→
0→U 
U


22

của các K–khơng gian và các K–ánh xạ tuyến tính, trong đó i là ánh xạ nhúng và
f là tồn cấu chính tắc. Bây giờ (U và V U là hữu hạn chiều)
vdim K V = vdim K (Kerf) + vdim K (Imf) = vdim K U + vdim K ( V U ) , do đó suy ra
vdim K ( V U ) = n – 1.
Khi đó vdim K ( V U ) = l( V U ) bởi lý thuyết quy nạp, trong khi vdim K U = l(U) đã
được chứng minh trong trường hợp n = 1.
Từ đó vdim K V = vdim K U + vdim K ( V U ) =l(U) +l( V U ) = l(V) theo Mệnh đề
2.3.5 và các bước quy nạp đã được hoàn thành.


23

KẾT LUẬN
Sau một thời gian làm việc nghiêm túc dưới sự hướng dẫn tận tình của cơ
giáo TS. Đào Thanh Hà khóa luận thu được một số kết quả:
1. Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản về lý thuyết mơđun.
2. Trình bày khái niệm, cung cấp ví dụ về dãy hợp thành của mơđun.
Đồng thời chứng minh chi tiết các tính chất về dãy hợp thành.
3. Đưa ra mối quan hê giữa độ dài của dãy hợp thành và số chiều của một
không gian hữu hạn.


24

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
[1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số hiện đại, NXB Đại học quốc gia
Hà Nội, 2003
[2]Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hà Nội,
1998

[3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun và
vành, NXB Giáo dục Hà Nội, 2001.
Tiếng Anh
[4] Sharp, Step on commutative in Algebra