CHƯƠNG II. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG

1. Những năng lực cần thiết của việc học tập mơn tốn
1.1 Năng lực:
Phần lớn các cơng trình tâm lí học và giáo dục học đều thừa nhận
rằng con người có năng lực khác nhau, những năng lực đó được hình
thành qua hoạt động, học tập, cuộc sống. Dưới đây là một số cách hiểu về
năng lực:
Định nghĩa 1: (Theo từ điển tiếng Việt). Năng lực là phẩm chất tâm lí tạo
cho con người khả năng hồn thành một loại hoạt động nào đó với chất
lượng cao.
Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lí của con người
đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện
cần thiết để hồn thành có kết quả một số hoạt động nào đó.
Định nghĩa 3: Năng lư là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người
đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện
cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó.
Như vậy cả ba định nghĩa đều có những đặc điểm chung là: Năng lực
chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quýết những yêu cầu
mới mẻ vá nó gắn liền với tính sáng tạo, tư duy (tuy nhiên có khác nhau
về mức độ).

1.2 Năng lực tốn học :
Theo. V.A. Krutecxki: năng lực toán học được hiểu từ hai góc độ:
Góc độ lĩnh hội tốn học (q trình học tập). Năng lực học toán đối với
việc nắm vững giáo trình mơn tốn trong trường học, nắm vững một cách
nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng kỹ xảo tương ứng.
Góc độ khoa học (tính sáng tạo): Năng lực sáng tạo, tạo ra những kết quả
mới, khách quan có một giá trị lớn đối với loài người
Cũng theo Krutecxki:Những năng lực toán học được hiểu là những đặc
điểm tâm lý cá nhân(trước hết là những hoạt động trí tuệ) đáp ứng những

yêu cầu của hoạt động toán học, trong những điều kiện vững chắc như
nhau là nguyên nhân của sự thành cơng trong việc nắm vững một cách
sáng tạo tốn họcvới tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương
đối nhanh,dễ dàng, sâu sắc những kiến thức,kỹ năng,kỹ xảo trong lĩnh
vực toán học”.
Tất nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực tốn học.
Do vậy trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung,

1


phương pháp thích hợp để giúp cho mọi đối tượng học sinh đều được
nâng cao dần về mặt năng lực toán học.

1.3 Cấu trúc năng lực toán học:
Dựa theo quan điểm của lí thuyết thơng tin, Krutecxki đã chỉ ra cấu trúc
năng lực của học sinh là:
1.3.1 Về mặt thu nhận những thơng tin tốn học:
Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu tốn học, năng lực nắm được
cấu trúc hình thức của bài tốn.
1.3.2 Về mặt chế biến những thơng tin tốn học:
1.3.2.1 Năng lực tư duy lơ gic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng về
không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các
kí hiệu tốn học.
1.3.2.2 Năng lực kết quả hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan
hệ toán học và các phép toán.
1.3.2.3 Năng lực rút gọn q trình suy luận tốn học và hệ thống các
phép toán tương ứng, năng lực tư duy bằng các cấu trúc được rút
gọn.
1.3.2.4 Tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động tốn học.

1.3.2.5 Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm hợp lí
của lời giải.
1.3.2.6 Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá
trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến
trình tư duy đảo (trong suy luận toán học).
1.3.3 Về mặt lưu trữ thơng tin tốn học :
Trí nhớ tốn học (tức là trí nhớ khái qt về các quan hệ tốn học,về
các đặc điểm điển hình , về các sơ đồ suy luận và chứng minh,về các
phương pháp giải toán, nguên tắc đường lối giải toán).
1.3.4 Về thành phần tổng hợp khái qt:
Khuynh hướng tốn học của trí tuệ.
Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ với nhau có ảnh hưởng
lẫn nhau, tạo thành một hệ thống, một cấu trúc hồn chỉnh.
Trong quan điểm của Krutẽcki về năng lực tốn học, cho ta thấy
trong cùng một điều kiện dạy- học tốn như nhau có những học sinh
tiếp thu chậm hơn, vận dụng kém hơn so với các em khác. Tuy nhiên
các khả năng đó được hình thành thơng qua hoạt động giải tốn là
chủ yếu. Do đó cần nghiên cứu để nắm vững được bản chất của năng
lực và các con đường hình thành, phát triển hồn thiện năng lực. Kết
2


quả học tập toán của học sinh là hiệu quả hoạt động trong lĩnh vực
học tập và nghiên cứu toán học , ngồi ra cịn phụ thuộc vào một số
yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập,
sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, gia đình và xã hội.
Để bồi dưỡng năng lực tốn học cho học sinh, ngồi việc cần tìm
hiểu chỗ mạnh, nhằm giúp các em phát triển năng lực ấy, đồng thời
cần tìm hiểu những năng lực cịn yếu của học sinh để tìm cách giúp
học sinh khắc phục.

Theo A.N.Kơlmơgơrơv, trong thành phần của năng lực tốn học có:
1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng
lực tìm con đường giải các phương trình khơng theo quy tắc
chuẩn.
2) Trí tưởng tượng hình học.
3) Nghệ thuật suy luận logic theo các bước được phân chia một
cách đúng đắn. Đặc biệt có kĩ năng vận dụng đúng đắn ngun
lí quy nạp tốn học.
Quan điểm của Pelley như sau:
1) Nhìn thấy những quan hệ , những điều cần phải phân biệt
(chẳng hạn giả thiết và kết luận)
2) Lưu trữ và dịch chuyển (qua đồ thị và kí hiệu)
3) Năng lực theo dõi một hướng suy luận
4) Năng lực hiểu bài toán
5) Năng lực theo dõi những con đường giải tốn
6) Khái qt hóa, mở rộng bằng tương tự. tìm một mơ hình thích
hợp (trong các mơ hình đã biết)
7) Xây dựng một mơ hình tốn học có thể giải bài toán
8) Xây dựng một thuật toán để giải bài tập.
Quan điểm của A.I. Mrcuxevich về các phẩm chất trí tuệ cần
được giáo dục cùng với việc dạy học tốn bao gồm:
1) Có kỹ năng tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi
tiết không cơ bản, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa.
2) Có kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ
giữ lại những vấn đề cần thiết cho việc giải thích vấn đề về tốn
học. Bao gồm các quan hệ thuộc, thứ tự, lượng và độ đo, phân
bố khơng gian, kỹ năng đồ họa.
3) Có kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiền đề đã cho

3



4) Có kỹ năng phân tích các vấn đề đã cho thành các trường hợp
riêng, kỹ năng phân biệt khi nào chúng chỉ là các ví dụ chứ
khơng bao qt hết mọi khả năng.
5) Có kỹ năng vận dụng các kết luận rút ra từ các suy luận lý
thuyết cho các vấn đề cụ thể và biết đối chiếu các kết quả đó
với các vấn đề đã dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc
thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả.
6) Khái quát hóa các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề
mới.
Quan điểm của X.I.Svacbuôc về các yếu tố trong sự phát triển
của năng lực toán học:
1) Các biểu tượng không gian
2) Tư duy trừu tượng
3) Chuyển sang sơ đồ tốn học
4) Tư duy suy diễn
5) Phân tích xem xét các trường hợp riêng
6) Vận dụng các kết luận
7) Tính phê phán
8) Kiên trì khi giải tốn
Quan điểm của A.Ia Khin-chin về những nét đọc đáo của phong
cách tư duy toán học là:
1) Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế
2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích
3) Phân chia rành mạch các bước suy luận
4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu tốn học có một ý
nghĩa xác định chặt chẽ)
5) Tính có căn cứ các lập luận, đặc biệt khơng bao giờ chấp nhận
những khái qt khơng có suy luận , những phép tương tự

khơng có cơ sở
Quan điểm của B.V.Gonhedencơ:
1) Năng lực nhìn thấy được tính khơng rõ ràng của suy luận , thấy
được sự thiếu mắt xích cần thiết của chứng minh
2) Có thói quen trình bày lời giải của bài toán một cách đày đủ
3) Phân chia rành mạch tiến trình suy luận
4) Sự cơ đọng
5) Sự chính xác của suy luận

4


Quan điểm A.Ph.Lavuxki về những yếu tố đặc trưng cho tư duy
khi nghiên cứu số học gồm các yếu tố:
1) Tính hệ thống và tính tuần tự của tư duy.
2) Tính rõ ràng và khúc chiết của tư duy.
3) Năng lực khái qt hóa của tốn học.
4) Sự nhanh trí.
5) Năng lực thiết lập mối liên hệ giữa các tri thức toán học đã
được lĩnh hội và các hiện tượng của cuộc sống.
6) Trí nhớ trong lĩnh vực của các số.
Cuối cùng xin nêu lên quan điểm của tổ chức quốc tế về đánh giá
thành tích tốn học (UNESCO), với 10 yếu tố cơ bản của nâng lực
tốn học đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, ký hiệu các phép
toán và các khái niệm.
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận và sử dụng các ký hiệu.
3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện ký hiệu.
4) Năng lực biễu diễn dữ kiện thành dạng kí hiệu.
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh.

6) Năng lực xây dựng một chứng minh.
7) Năng lực giải một bài tốn đã tốn học hóa.
8) Năng lực giải một bài tốn có lời văn (chưa tốn học hóa).
9) Năng lực phân tích bài tốn và xác định các phép tốn cos thể
áp dụng để giải.
10) Năng lực tìm cách khái qt hóa tốn học.

CHƯƠNG V. DẠY HỌC PHÂN MƠN SỐ HỌC
THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP

1. Đặc điểm nội dung chương trình mơn Số học:
Số học là một mơn học có nhiều ứng dụng thực tiễn trong việc trang bị
thêm các kiến thức nghề nghiệp cho sinh viên sư phạm Toán, phục vụ cho việc
giảng dạy sau này của sinh viên. Các kiến thức số sinh viên viên đã được làm
quen ngay từ những năm đầu của tiểu học, nhưng được đưa vào chương trình
CĐSP ở mức độ khái quát và trừu tượng.
Chương trình Số học của Cao đẳng sư phạm được chia làm hai phân môn:
Lý thuyết số và Cơ sở số học. Phần Lý thuyết số được học ngay từ năm đầu,
trước khi học Đại số đại cương, phần Cơ sở số học được trình bày sau khi sinh
5


viên đã đươc học Đại số đại cương và Nhập mơn Tốn học cao cấp, do đó về
nội dung chương trình có những đặc điểm sau:
Phần Lý thuyết số:
Lý thuyết số cung cấp cho sinh viên các tính chất của tập hợp số nguyên,
giúp sinh viên nắm được các phương pháp nghiên cứu cơ bản của số học. Một
mặt lý thuyết số làm cho sinh viên biết vận dụng các kiến thức đã học để soi
sáng, nắm vững chương trình sách giáo khoa Toán Trung học cơ sở về phần số
học, một mặt nó cung cấp những ví dụ cần thiết cho sinh viên khi học đại số

đại cương sau này. Lý thuyết số được học trước khi học đại số đại cương cho
nên các vấn đề đưa ra được trình bày một cách hồn tồn sơ cấp với đặc thù
riêng của số học theo một sự lựa chọn phù hợp với những khái niệm của đại
số hiện đại một mặt cho sinh viên dễ tiếp thu, dễ vận dụng, mặt khác giúp cho
sinh viên thuận lợi khi nghiên cứu một số khái niệm tổng quát hơn trong đại
số đại cương.
Phần Cơ sở số học:
Nội dung của phần Cơ sở số học là trình bày việc xây dựng và mở rộng
một cách có hệ thống từ nửa nhóm các số tự nhiên đến vành số nguyên,
trường số hữu tỷ, trưòng số thực và trường số phức trên cơ sở lý thuyết tập
hợp và các cấu trúc đại số tổng quát mà sinh viên đã học trong Đại số đại
cương. Cơ sở các tính chất của các tập hợp đó giúp sinh viên giải được các bài
toán liên quan, đặc biệt là nắm được các kỹ thuật và kỹ năng thực hiện các
phép toán và các thuật toán quen thuộc trên chúng.
Chương trình Số học ở trường CĐSP tuy được tách thành hai phần riêng
biệt: Lý thuyết số và Cơ sở số học nhưng hai phần này có liên quan chặt chẽ
với nhau. Phần Lý thuyết số sẽ làm cơ sở cho phần Cơ sở số học, đặc biệt là
việc nghiên cứu nửa nhóm các số tự nhiên và vành số nguyên, còn phần Cơ sở
số học làm sáng tỏ các vấn đề đã học ở Lý thuyết số dưới quan điểm của đại
số hiện đại.
Chương trình Số học ở CĐSP cịn góp phần thiết thực trong việc đào tạo
giáo viên Tốn ở trường trung học cơ sở vì nó giúp các sinh viên hệ thống lại
và nâng cao các kiến thức số học ở chương trình Tốn của trung học cơ sở,
đồng thời nắm được bản chất và hệ thống của các kiến thức đó trong chương
trình Tốn học nói chung.
So với chương trình Số học ở Đại học, chương trình Số học ở CĐSP được
trình bày ở mức độ nhẹ hơn, chẳng hạn thừa nhận một số định lý về tập hợp
hữu hạn khi xây dựng tập hợp số tự nhiên, khơng trình bày chi tiết bài tốn đối
xứng hóa khi xây dựng tập số nguyên hoặc việc xây dựng trường các thương
của miền nguyên Z khi xây dựng tập số hữu tỷ...

Các kiến thức số học ở CĐSP được trình bày với mục tiêu là soi sáng sách
giáo khoa Toán trung học cơ sở, nhằm giúp cho sinh viên có cái nhìn tổng thể
về kiến thức số học ở phổ thơng. Nhiều bài tập liên quan đến Tốn phổ thông
6


có ý nghĩa thiết thực trong việc củng cố thêm cho sinh viên sư phạm Toán các
kiến thức trong hành trang nghề nghiệp của mình.

2. Thực trạng dạy – học môn Số học
2.1 Thực trạng về việc học tập của sinh viên
2.1.1 Có nhiều “lỗ hổng” về kiến thức, kỹ năng.
Từ những năm đầu của tiểu học và trung học cơ sở, sinh viên đã
được làm quen với bộ môn số học, mặc dầu mới chỉ là các kiến thức cơ
sở nhưng nó đã tạo tiền đề cho việc đi sâu nghiên cứu bộ mơn này. Tuy
nhiên, do chương trình Tốn ở phổ thơng trung học ít đề cập đến các
kiến thức của số học mà chủ yếu là đại số, hình học, giải tích nên sinh
viên CĐSP, đặc biệt là sinh viên dân tộc thiểu số quên khá nhiều khái
niệm và các kỹ năng trong Lý thuyết số. Chẳng hạn khi tìm ước số chung
lớn nhất của hai số tự nhiên, đa số sinh viên khơng nhớ thuật tốn Ơclit
hoặc phương pháp phân tích một số tự nhiên thành thừa số nguyên tố,
hay các khái niệm về số nguyên tố, hợp số, các tính chất chia hết của số
tự nhiên, các dạng biểu diễn và các phép toán của số phức...
Trong các lớp sinh viên dân tộc thiểu số của các trường CĐSP, sự
phân hóa cịn khá cao. Điều này chủ yếu là do đầu vào của sinh viên khác
nhau: một số do thi tuyển, một số do cử tuyển. Những sinh viên trước đây
được học ở các trường PTTH dân tộc nội trú của tỉnh đa số đều nắm vững
các kiến thức cơ bản của sách giáo khoa phổ thơng, cịn những sinh viên
do các huyện gửi đến hầu như mới chỉ ở dạng “đọc thông viết thạo”. Sinh
viên cịn chưa giải được phương trình bậc nhất, chưa thực hiện tốt các

phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân số hay số âm... nên đối với việc học
các môn Tốn cao cấp nói chung và bộ mơn Số học nói riêng sinh viên
hầu như khơng tiếp thu nổi, do đó dẫn đến tình trạng khơng chịu học bài,
đến lớp khơng để ý đến bài giảng vì “có nghe cũng không hiểu”. Đặc
biệt những lớp sinh viên dân tộc thiểu số học chung với sinh viên người
Kinh thi vào, sự phân hóa càng rõ nét. Ở các lớp này, việc phát biểu, xây
dựng bài, giải bài tập đều do một số sinh viên học khá trong lớp thực
hiện, còn sinh viên khác chỉ biết ngồi nghe một cách thụ đông.
2.1.2. Khả năng tiếp thu chậm, kỹ năng vận dụng hạn chế.
Khi tiếp cận với bộ môn Số học của giáo trình CĐSP, do hổng nhiều kiến
thức nên các kiến thức lại trở nên mới mẻ và đòi hỏi phải tư duy nhiều.
Đặc biệt những khái niệm tổng quát và các định lí cần phải có tư duy trừu
tượng.
Đối với sinh viên dân tộc thiểu số, khả năng tư duy trừu tượng cịn
hạn chế vì sinh viên mới chỉ tiếp xúc với lý luận cụ thể, con số cụ thể.
7


Cịn các khái niệm, tính chất được diễn đạt bằng chữ sinh viên khó tiếp
thu.Ví dụ như khái niệm và tính chất của hệ thặng dư đầy đủ, hệ thặng dư
thu gọn sinh viên tiếp thu rất khó khăn,vì những khái niệm này khá mới
mẻ đối vối sinh viên. Hoặc như trong bài hàm số số học có tính chất nhân
và bài hàm số Ơle, ngay cả đối với sinh viên khá cũng gặp khó khăn khi
tiếp thu phần này , còn đối với sinh viên dân tộc thiểu số thì q vất vả để
hiểu được các khái niệm đó.
Sinh viên các trường cao đẳng mới làm quen với lý thuyết tập hợp,
mà lý thuyết tập hợp được trình bày ở giáo trình Đại số đại cương, nhập
mơn Tốn học cao cấp... cũng trên “quan điểm sơ đẳng”. Mặt khác sinh
viên chỉ mới bước đầu hiểu các cấu trúc đại số và các tính chất đơn giản
của chúng nên khi tiếp thu phần Cơ sở số học có ít nhiều khó khăn, đặc

biệt là phần xây dựng các hệ thống số theo một lý thuyết chặt chẽ và có
hệ thống trên cơ sở Toán học hiện đại.
Một số khái niệm cụ thể như khái niệm số tự nhiên liền sau thì sinh
viên hiểu rất rõ thơng qua các ví dụ cụ thể mà sinh viên đã được học ở
phổ thông, như “số 11 là số tự nhiên liền sau của số 10”, nhưng khi xây
dựng khái niệm đó theo quan điểm lý thuyết tập hợp dựa trên bản số của
các tập hợp hữu hạn thì sinh viên lúc đầu rất khó tiếp thu.
Phần liên quan đến lực lượng các tập N, Z, Q, R, quan hệ thứ tự trên
N, Z, Q, R là những phần trừu tượng, khó tiếp thu đối với sinh viên
CĐSP. Việc nhìn nhận các tập hợp đã học theo quan điểm mở rộng số N
 Z  Q  R và ý nghĩa của các mở rộng ấy trong Tốn học là q trình
lâu dài đối với các sinh viên CĐSP vì đa số sinh viên, đặc biệt là sinh
viên dân tộc thiểu số còn chưa có cách nhìn tổng quan đối với các mơn
học “thấy cây mà chẳng thấy rừng”.
Đối với SVDTTS khả năng áp dụng của sinh viên còn nhiều hạn
chế, nhất là sinh viên học yếu,ngay cả những bài tập chỉ cần lắp vào cơng
thức để tính tốn nhưng nếu phép tính hơi rắc rối là sinh viên trở nên
lúng túng. Ví dụ khi dùng thuật tốn Ơ-clít mở rộng một số sinh viên ví
dụ đầu tiên thường làm sai, có thể do tính tốn sai ,có thể do sai lầm khi
chọn r0, r1, x0, x1, y0, y1, hoặc chưa biết quá trình dừng lại khi nào. Mặc
dầu trong phần lí thuyết giáo viên đã giảng kĩ và lưu ý những sai lầm
thường mắc phải. Sau khi học điều kiện có nghiệm của hệ phương trình
đồng dư bậc nhất một ẩn giáo viên đã hướng dẫn sinh viên thực hành giải
hệ một cách cẩn thận. Nhưng khi làm bài tập sinh viên thường áp dụng
máy móc chưa biết sử dụng linh hoạt điều kiện có nghiệm.Chẳng hạn nếu
cho hệ phương trình mà hai phương trình khơng thõa mãn điều kiện để hệ
có nghiệm được sắp xếp xen kẽ giữa các phương trình của hệ thõa mãn
điều kiện hệ có nghiệm thì SVDTTS nhất là sinh viên tiếp thu chậm
không biết cách biện luận để đưa ra ngay kết quả,mà thường giải cho đến
8



khi nào gặp cặp phương trình khơng thõa mãn điều kiện thì mới dừng lại.
Một số sinh viên áp dụng lý thuyết một cách máy móc, khi giải hệ
phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn một số sinh viên chưa tìm cách áp
dụng tính chất của đồng dư thức, phép biến đổi tương đương phương
trình hệ phương trình đồng dư để rút ngắn được quá trình giải, mà thường
áp dụng tuần tự các bước giải từ trên xuống. Ví dụ như khi giải hệ:
 x 1(mod 3)
 x 2(mod 5)


 x 3(mod 7)
 x 9(mod 11)

Một số SVDTTS thường giải tuần tự từ trên xuống cho nên mất nhiều
thời gian.Nhưng chúng ta có thể giải một cách ngắn gọn như sau: hệ đã
cho tương đương với hệ:
 x 1(mod 3)
 x 2(mod 5)


 x 3(mod 7)
 x  2(mod 11)

Xét các phương trình:
5.7.11x 1(mod 3) suy ra x  1(mod3)
3.7.11x  1(mod 5) suy ra x  1(mod 5)
3.5.11x  1(mod 7) suy ra x  2(mod 7)
3.5.7x  1(mod11) suy ra x 2(mod11)

Suy ra nghiệm của hệ là
x= 1.385.1+ 1.231.2+ 2.165.3 – 2.105.2
 262(mod1155).
Vậy x = 262.
Một trong những đặc thù của môn số học là áp dụng các kiến toán học
vào giải các bài toán thực tế, bài tốn có lời văn nhưng đối với SVDTTS
điều này rất hạn chế. Do hạn chế về khả năng tiếp thu, khả năng áp dụng,
hạn khả năng diễn đạt. Chẳng hạn ngay cả ví dụ quen thuộc trong bài
phương trình Đi-ơ-phăng là bài tốn cổ trăm trâu trăm cỏ nhưng một số
em rất lúng túng khi nghiên cứu ví dụ này. Hoặc như các bài tập 1.2;
1.53; 4.15; 4.16; 4.20; 4.22 (Giáo trình Lý thuyết số - Nguyễn Hữu
Hoan). Bài tập 28; 30 ( Cơ sở số học- Nguyễn Tiến Tài).
Phần lớn các bài tập trong Lý thuyết số là các bài tập địi hỏi
những kỹ năng tính tốn và các kỹ thuật sử dụng khá phức tạp đòi hỏi tư
duy sáng tạo. Các kỹ năng đó thường quen thuộc với học sinh khá giỏi ở
trường phổ thông nhưng sinh viên CĐSP, đặc biệt là sinh viên dân tộc
9


thiểu số, thường khơng thuộc diện ấy.Ví dụ như các bài tập 3.1 đến 3.12
trang 124 (Lý thuyết số-Giáo trình cao đẳng sư phạm- Nguyễn Hữu
Hoan) .
Một số bài tập có phương pháp giải rõ ràng nhưng do nắm chưa
vững lý thuyết mà đã bắt tay vào giải nên sinh viên thường nhầm lẫn, đặc
biệt là sinh viên dân tộc thiểu số nếu không được nhắc nhở và lưu ý sẽ
phạm sai lầm đó nhiều lần. Ví dụ như khi áp dụng tính chất của đồng dư
thức (1.2.4) để giải phương trình Đi-ơ-phăng sinh viên thường qn điều
kiện “ngun tố với mô đun” dẫn đến kết quả sai. Hoặc khi tìm nghiệm
riêng của phương trình Đi-ơ-phăng bằng cơng cụ thuật tốn Ơ-clít mở
rộng thường qn điều kiện a>b do đó khi lấy nghiệm tổng quát sai.

Các bài tập số học tương tự các bài tập ở chương trình phổ thơng ,
những bài tập đã có dạng, có cơng thức thì phần lớn sinh viên có thể giải
được nhưng các bài tập có tính chất lý thuyết liên quan đến các khái niệm
mới (đặc biệt là các cấu trúc đại số ) sinh viên khi giải thường gặp khó
khăn vì tính trừu tượng của các loại toán ấy khá cao.Đặc biệt đối với các
sinh viên dân tộc thiểu số thường quen với tư duy cụ thể, sinh viên càng
ngại loại bài tập định tính, mặc dầu những bài tập loại này rất quan trọng
trong việc bổ sung thêm các tính chất của bài học mà do khn khổ của
giáo trình, chưa được trình bày ở phần lý thuyết. Ví dụ khi giải các bài
tập sử dụng nguyên lí ngăn kéo của Đi-ric-lê sinh viên rất lúng túng (bài
1.7 trang 64 Lý thuyết số-Nguyễn Hữu Hoan), bài 12 trang 69 (Cơ sở số
học-Nguyễn Tiến Tài).
Một thực trạng của sinh viên dân tộc thiểu số là hầu hết sinh viên
chưa biết cách trình bày bài toán nên thi cử thường đạt kết quả không
cao, điều này được thể hiện ở kết quả học tập của sinh viên dân tộc thiểu
số khoa Tự nhiên (trường CĐSP Nghệ An) với con số cụ thể như sau:

2.2 Thực trạng về việc dạy của giáo viên.
Việc giảng dạy cho sinh viên dân tộc thiểu số là một vấn đề gây trăn
trở rất nhiều cho giáo viên CĐSP. Đa số giáo viên đã tìm cách đổi mới
phương pháp giảng dạy, lựa chọn nhiều phương pháp để tạo niềm hứng
thú cho sinh viên, kích thích việc học tập của sinh viên đạt kết quả tốt
hơn nhưng do kiến thức của đối tượng sinh viên này bị hổng quá nhiều và
sự tiếp thu của sinh viên còn quá chậm nên trong việc giảng dạy vẫn còn
rất nhiều hạn chế.
Do chương trình của bộ mơn số học tương đối dài so với thời lượng
sáu trình kết hợp với việc đổi mới phương pháp dạy sinh viên phải tự
nghiên cứu một số phần dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Nhưng đối với
10



sinh viên sinh viên dân tộc thiểu số thực hiện với hiệu quả thấp cho nên
khi giảng dạy giáo viên lại phải giảng lại dẫn đến tình trạng quá tải cho
một số tiết học. Ví dụ sau khi học bài ước chung lớn nhất ,chuyển sang
học bài bội chung nhỏ nhất trình tự trình bày và cách xây dựng hồn toàn
tương tự . Giáo viên hướng dẫn sinh viên đọc kỹ bài ước chung lớn nhất
rồi từ đó đọc hiểu bài bội chung nhỏ nhất, nhưng đa số sinh viên sinh
viên dân tộc thiểu số đã không trả lời được các câu hỏi mà giáo viên đưa
ra sau khi sinh viên đã đọc ở nhà.
Trong bộ mơn Số học, có một số khái niệm trừu tượng, khó tiếp thu
nên phần lớn giáo viên khi dạy lý thuyết thường theo phương pháp thuyết
trình, ít phân tích ý nghĩa, bản chất của các khái niệm vừa được hình
thành và đặt mối quan hệ của các khái niệm ấy trong hệ thống chung của
tồn bộ chương trình Số học. Khi xây dựng các khái niệm ít tìm các ví dụ
mới, đặc biệt các phản ví dụ để sinh viên nắm được bản chất của khái
niệm và tránh được những nhầm lẫn khi nhận dạng các đối tượng liên
quan đến khái niệm. Khi trình bày các tính chất, các định lý liên quan đến
khái niệm ít phân tích ý nghĩa Tốn học và các ứng dụng của chúng trong
việc giải quyết các vấn đề và các bài tốn liên quan.
Khi hình thành các thuật tốn, giáo viên thường theo thói quen thực
hành như ở bậc phổ thơng cơ sở mà ít phân tích cơ sở toán học của chúng
theo quan điểm của toán học hiện đại ở bậc CĐSP, chưa hướng dẫn cho
sinh viên tìm mối liên hệ giữa chương trình số học ở THCS và chương
trình số học ở CĐSP, dẫn đến việc không gây được hứng thú cho sinh
viên khi tiếp thu bài giảng, ví dụ : khi xây dựng cách tìm ước chung lớn
nhất, bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số hoặc xây dựng dấu hiệu
chia hết cho 2;5;3;9…định nghĩa các phép toán trên N, Z , Q,.... Khi giải
các bài tập Lý thuyết số hoặc Cơ sở số học liên quan đến chương trình số
học ở bậc phổ thông, giáo viên thường chỉ cho sinh viên giải như đã làm
ở THCS mà cịn thiếu việc phân tích cơ sở lý luận để phù hợp với yêu

cầu của chương trình CĐSP. Mặt khác các bài tập khó nhưng quan trọng
nhằm bổ sung lý thuyết thì bỏ qua hoặc chỉ nêu sơ lược, trong khi việc bổ
sung những kiến thức này là rất cần thiết để sinh viên hiểu sâu thêm nội
dung của bài và áp dụng vào các bài tập có liên quan, chẳng hạn bài tập
1.35 đến bài 1.42 trang 68; 2.20,2.24, 2.28 trang 98 ; 3.11, 3.19, 3.27,
3.28 trang 126; 4.2, 4.9, 4.10,4.25 4.34 trang 158 đến 165 (Giáo trình Lý
thuyết số. Nguyễn Hữu Hoan).
Tuy nhiên có nhiều giáo viên do tiếp xúc với các nội dung số học
tương ứng ở bậc Đại học nên khi trình bày một số vấn đề lý thuyết quá
phức tạp, định lý, cơng thức ở chương trình CĐSP được cơng nhận không
chứng minh hoặc cho sinh viên tự đọc nhưng giáo viên vẫn trình bày trên

11


lớp làm cho đa số sinh viên, đặc biệt là sinh viên dân tộc thiểu số khó tiếp
thu.
Do đặc điểm của các lớp SVDTTS là lực học của sinh viên khơng
đồng đều, trong lớp có nhiều em học q kém và hổng kiến thức ở các
lớp dưới quá nhiều nên giáo viên khi dạy thường chỉ tập trung vào những
sinh viên khá trong lớp. Do đó kết quả của giờ dạy là chỉ những sinh viên
khá hiểu bài, còn sinh viên khác hầu như bị “bỏ rơi”, lên lớp chỉ ghi lại
bài giảng một cách thụ động, dẫn đến việc ngày càng bị hổng kiến thức
nhiều hơn. Vì vậy, việc quan tâm đến nhiều đối tượng sinh viên khác
nhau trong cùng một lớp là một vấn đề mà giáo viên cần lưu ý khi giảng
dạy cho SVDTTS.
Một thực trạng nữa mà một số giáo viên còn chưa thực sự đổi mới
hình thức kiểm tra đối với SVDTTS. Do trong lớp học trình độ của sinh
viên khơng đồng đều, có những lớp vừa có sinh viên miền xi vừa có
sinh viên vùng dân tộc thiểu số. Những sinh viên học toán khá bậc trung

học cơ sở thì những bài tập số học nâng cao sinh viên đã dược làm quen
trong các buổi học chuyên đề bồi dưỡng sinh viên khá giỏi. Vì vậy khi ra
đề kiểm tra hay đề thi giáo viên thường yêu cầu cao. Do đó sinh viên dân
tộc thiểu số thường chán nản và cảm thấy sợ , hoặc buông xuôi khi học
môn số học, mặc dầu biết rằng môn số học phục vụ trực tiếp cho việc
giảng dạy ở phổ thơng sau này.Vì vậy việc cải tiến hình thức kiểm tra
đánh giá đối với sinh viên dân tộc thiểu số là một trong những vấn đề rất
quan trọng góp phần thúc đẩy, động viên, khích lệ sinh viên học tập tốt
mơn số học nói riêng các mơn học khác nói chung.

3. Một số giải pháp
3.1. Nâng cao chất lượng đầu vào.
Những mục tiêu và định hướng cơ bản đã được nêu rõ trong phần
4.1.2. Do đặc thù riêng của môn số học là các kiến thức được trình bày
nhằm để soi sáng sách giáo khoa tốn THCS. Vì vậy trong chương trình
dành cho lớp dự bị cử tuyển khơng có phân mơn số học mà chỉ được nêu
ra rất ít ỏi trong phần đại số. Khi giảng dạy chương trình đại số cho lớp
dự bị cử tuyển, giáo viên cần lưu ý: khi gặp những phần có liên quan đến
môn số học cần hướng dẫn cho sinh viên ơn tập theo chương trình, đồng
thời ơn tập những kiến thức có liên quan đến kiến thức số học mà sinh
viên được học trong chương trình CĐSP sau này. Trước mỗi bài dạy giáo
viên hướng dẫn cho sinh viên một hệ thống câu hỏi, tài liệu cụ thể để sinh
viên chủ động trong ôn tập. Những bài tập áp dụng dù đơn giản vẫn yêu
cầu sinh viên làm đến nơi đến chốn, sau đó tổ chức cho sinh viên kiểm
tra lẫn nhau theo nhóm tổ. Cần tăng cường cho sinh viên tự học kết hợp
với học tập theo nhóm trong giờ học trên lớp cũng như tự học ở nhà. Khi
12


chia nhóm phân chia đủ các loại sinh viên khá giỏi, trung bình, yếu kém

trong một nhóm để sinh viên tương trợ, giúp đỡ lẫn nhau.
Một thực tế cho thấy nhiều sinh viên của lớp dự bị cử tuyển ngay cả
nhân chia cộng trừ số nguyên cũng chưa thành thạo. Trong chương trình
đại số đã hướng dẫn cho sinh viên sử dụng máy tính bỏ túi. Khi dạy giáo
viên cần lưu tâm hướng dẫn sinh viên một cách chu đáo và bắt buộc đến
từng sinh viên đều phải sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi trong tính
tốn, giải phương trình, hệ phương trình cũng như một số bài tốn đơn
giản.
Giáo viên cần quan tâm đến việc đổi mới phương pháp kiểm tra
đánh giá và phối hợp nhiều hình thức kiểm tra đối với sinh viên lớp dự bị
cử tuyển. Không chỉ là bài thi kết thúc học phần mà ngay cả các bài kiểm
tra định kỳ và kiểm tra trong các tiết dạy, giáo viên cần tăng cường kiểm
tra vấn đáp kết hợp với kiểm tra viết. Vì hình thức kiểm tra vấn đáp sẽ
đánh giá rất chính xác kết quả học tập và góp phần phân hóa được sinh
viên trong môn học. Đề kiểm tra rất cơ bản, từ dễ đến khó, u cầu phù
hợp với trình độ của từng sinh viên.
Sinh viên lớp dự bị cử tuyển vừa rời ghế phổ thông vào học, chưa
làm quen với phương pháp học ở bậc đại học và cao đẳng nên giáo viên
vừa dạy cho sinh viên kiến thức lại vừa hướng dẫn sinh viên làm quen
với phương pháp học ở bậc đại học, cao đẳng, đó là tăng cường tự đọc, tự
học. Giáo viên cần phối hợp các phương pháp dạy học một cách linh
hoạt, kết hợp với sử dụng phương tiện dạy học hiện đại. Giáo viên cần
hướng dẫn cho sinh viên một cách cụ thể hệ thống câu hỏi, bài tập và tài
liệu giúp sinh viên thuận lợi trong việc tự học ở nhà.

3.2. Đổi mới phương pháp dạy học
3.2.1 Đổi mới phương pháp dạy học môn Lý thuyết số
Hiện nay giáo viên càng ngày càng có ý thức hơn về việc cần phải
đổi mới phương pháp dạy học nhằm khuyến khích sinh viên hoạt động
tích cực hơn trong học tập và đã chú ý tới việc phân hóa trong dạy học,

sử dụng phương tiện dạy học hiện đại... Tuy nhiên trước thực trạng của
SVDTTS trong trường CĐSP và đặc điểm môn lý thuyết số chúng ta cần
lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với thực tiễn đó.
3.2.1.1 Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy cao độ tính tích
cực chủ động sáng tạo của sinh viên trong quá trình lĩnh hội tri thức.
1) Hướng dẫn sinh viên tự học
a. Hướng dẫn sinh viên ôn tập những kiến thức đã học ở phổ thông có
liên quan đến bài học. Do đặc điểm mơn lý thuyết số làm cho sinh viên
biết vận dụng các kiến thức đã học để soi sáng nắm vững chương trình
13


sách giáo khoa Toán Trung học cơ sở … Mặt khác một số kiến thức sinh
viên học từ đầu cấp THCS mà trong năm học dự bị sinh viên không được
ơn lại. Vì vậy rất nhiều sinh viên đã qn dù là những kiến thức cơ bản,
nhất là SVDTTS không cịn nhớ gì cả nếu khơng hướng dẫn cho sinh
viên đọc lại.
Ví dụ: Chương 1 Bài §1. Chia hết và chia có dư
Bài §2. Ước số chung lớn nhất
Bài §3. Bội chung nhỏ nhất.
Giáo viên có thể hướng dẫn cho sinh viên ôn tập theo hệ thống câu hỏi
như sau:
Câu hỏi 1: Hãy ôn lại phép chia hết, phép chia có dư, tính chất chia hết
của một tổng, một tích (Sách giáo khoa toán 6- tập 1- NXBGD 2004)
Câu hỏi 2: Hãy ôn lại định nghĩa ước và bội, ước chung, bội chung, ước
chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và cách tìm ước chung, bội chung,
ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các số tự nhiên ( Sách giáo
khoa tốn 6- tập 1). Cho ví dụ minh họa về cách tìm ước chung lớn nhất,
bội chung nhỏ nhất của các số tự nhiên.
Câu hỏi 3: Hãy ôn tập định nghĩa số nguyên tố, hợp số, cách thành lập

bảng số nguyên tố (Sách giáo khoa toán 6 – Tập 1). Cho ví dụ minh họa
cách kiểm tra một số là số ngun tố.
Có những cơng thức, những thuật toán sinh viên sinh khá ở THCS
đã thực hiện rất thành thạo. Nhưng đối với SVDTTS thì chưa được biết
đến mặc dù các kiến thức đó đã có trong sách bài tập, sách tham khảo của
phổ thông. Giáo viên hướng dẫn cho sinh viên tìm đọc trong các tài liệu
đó, sau đó giáo viên kiểm tra.Ví dụ
Chương I, §5. Phương trinh Đi-ơ-phăng ax + by = c.
Có thể hướng dẫn cho sinh viên ơn tập
- Cách tìm nghiệm ngun của phương trình ax+by=c với a, b, c là những
số nguyên a,b khơng đồng thời bằng khơng.
- Tìm nghiêm ngun của các phương trình:
a) x+y-xy=7
b) 6x+4y= 10
c) 6x+ 4y = 5
Chương III, §1. Phần nguyên và phần lẻ của số thực
Hãy tìm đọc khái niệm phần nguyên, phần lẻ của một số thực (nâng cao
và phát triển toán 7 – Vũ Hữu Bình).
Chương III, §3. Số các ước và tổng các ước của một số tự nhiên.
Hãy ôn tập khái niệm số hoàn chỉnh – Cách xác định số lượng các ước
của một số tự nhiên (Sách giáo khoa toán 6-tập 1).

14


b. Hướng dẫn sinh viên ôn tập những kiến thức của bài trước, phần trước
trong giáo trình Lý thuyết số, trong chương trình tốn cao cấp đã học có
liên quan đến bài mới.
Ví dụ 1: Chương I, §5. Phương trình Đi-ơ-phăng ax+by=c
Hãy ơn lại thuật tốn Ơclit mở rộng, các tính chất ước chung, ước chung

lớn nhất.
Ví dụ 2: Chương III, §2. Hàm số số học có tính chất nhân.
- Hãy ôn tập định nghĩa ánh xạ, cách lập ánh xạ, cho ví dụ minh họa
- Hãy ơn tập định lý cơ bản của số học và dạng phân tích tiêu chuẩn
của một số tự nhiên.
Ví dụ 3: Chương III, §4. Hàm số Ơ le:
- Hãy ôn tập ước chung lớn nhất của một lớp (định nghĩa ước chung
lớn nhất của một lớp, định nghĩa Zm*, số phần tử của Zm*)
- Định nghĩa, các tính chất của hàm số có tính chất nhân.
c. Hướng dẫn sinh viên tự đọc, tự nghiên cứu giáo trình
Những phần mà sinh viên có thể tự đọc, tự nghiên cứu là những phần có
cấu trúc hồn tồn tương tự phần trước đó hoặc trong giáo trình trình bày
đơn giản và có những kiến thức tương tự như ở phổ thông. Tuy nhiên đối
với SVDTTS, giáo viên cần hướng dẫn tỉ mỉ, rõ ràng những yêu cầu cần
đọc và có kiểm tra đánh giá sinh viên sau khi đã đọc. Lần đầu giáo viên
hướng dẫn cho sinh viên cách tự đọc, tự nghiên cứu trên lớp để sinh viên
làm quen, sau đó hướng dẫn sinh viên tự đọc, tự nghiên cứu ở nhà.
Ví dụ 1: Ngay bài học đầu tiên giáo viên hướng dẫn cho sinh viên đọc
nhanh phần mở đầu tai lớp để hiểu được nội dung cuốn sách, cấu trúc
chương trình. Sau đó đọc kỹ những lưu ý khi sử dụng cuốn sách đặc biệt
là các mệnh đề cần sử dụng trong các bài học trong chương trình, sau đó
giáo viên u cầu sinh viên trả lời câu hỏi.
Hãy nêu rõ nội dung từng mệnh đề được nêu trong phần mở đầu?
Mệnh đề nào em cảm thấy khó hiểu nhất? Ai có thể giải thích được?
Sau đó giáo viên hướng dẫn cách đọc cho sinh viên, khi đọc cần lưu ý
những phần chưa hiểu có thể trao đổi với sinh viên cùng nhóm tổ hoặc có
thể đánh dấu để đến lớp trao đổi với các sinh viên khác hoặc với giáo
viên. Những phần đã hiểu có thể tự đặt câu hỏi tự trả lời để tự kiểm tra
kết quả đọc được của mình hoặc cũng có thể nhờ sự kiểm tra của nhóm
tổ.

Ví dụ 2: Đọc kỹ §2. Bơi chung nhỏ nhất.
15


Yêu cầu cần nắm được định nghĩa bội chung, bội chung nhỏ nhất, phát
biểu và chứng minh định lý sự tồn taị bội chung nhỏ nhất (sinh viên khá
giỏi), cách tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số, các tính chất của
bội chung nhỏ nhất.
So sánh trình tự trình bày bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất. Tìm
mối liên hệ giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất (sinh viên khá
giỏi).
Ví dụ 3: Chương I, §4. Số nguyên tố.
Đọc kỹ phần tập hợp các số nguyên tố. Nắm được bổ đề, cách lập bảng
các số nguyên tố.
Đọc định lý cơ bản của số học và một số ứng dụng của định lý cơ bản.
Sau đó trả lời câu hỏi: cách tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất
của hai hay nhiều số lớn hơn 1 của sách giáo khoa toán 6-THCS được
đưa ra dựa vào cơ sở lý thuyết nào (sinh viên khá giỏi ).
Ví dụ 4: Chương I, §5. Phương trình Đi-ơ-phăng
Đọc kỹ các ví dụ về tìm nghiêm ngun của phương trình, trình bày cách
tìm nghiệm riêng của các ví dụ đó.
Ví dụ 5: Chương II, §1 Đồng dư thức
- Đọc và nắm được cách tìm số dư trong một phép chia, cách
chứng minh số a chia hết cho m bằng công cụ đồng dư thơng qua
các ví dụ.
- Đọc và nắm vững cách xây dựng dấu hiệu chia hết cho 2, chia hết
cho 3, chia hết cho 9, chia hết cho 4 và chia hết cho 25 bằng công
cụ đồng dư và liên hệ với cách trình bày của sách giáo khoa tốn
6 THCS.
Ví dụ 6: Chương II, §3. Hệ thặng dư đầy đủ - hệ thặng dư thu gọn.

- Đọc và nắm được cách trình bày định nghĩa, tính chất của hệ
thặng dư thu gọn. Lấy ví du minh họa.Chỉ ra mối liên hệ giữa hệ
thặng dư đầy đủ và hệ thặng dư thu gọn.
Ví dụ 7: Chương IV, §1. Các khái niệm chung phương trình đồng dư
- Đọc và nắm vững những phép biến đổi tương dương hay gặp. So
sánh với các phép biến đổi tương đương các phương trình nói
chung trong chương trình lớp 8 (SV khá giỏi).
- Đọc phần hệ phương trình đồng dư: nắm được định nghĩa hệ
phương trình đồng dư, hệ phương trình tương đương, nghiệm của
hệ phương trình đồng dư.

16


Ví dụ 8: Chương IV, §2. Phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn.
- Đọc mối liên hệ giữa phương trình đồng dư bậc nhất và phương
trình Đi-ơ-phăng bậc nhất hai ẩn: ax+by=c.
Thơng qua đọc các ví dụ cần nắm vững cách giải phương trình Đi-ơphăng bằng cơng cụ đồng dư.
2) Hướng dẫn sinh viên tự học kết hợp với học nhóm, chuẩn bị xê-mi-na;
tiến hành xê-mi-na.
SVDTTS bị hổng nhiều kiến thức, tiếp thu chậm nên việc học nhóm là
điều thiết yếu đối với sinh viên. Nhóm học tập do lớp phân định kết hợp
với giáo viên bộ mơn. Nhóm phân theo trình độ của sinh viên kết hợp với
địa bàn sinh viên cư trú. Trong một nhóm có từ 7 đến 8 em trong đó có
sinh viên khá giỏi, sinh viên học tập trung bình, sinh viên yếu kém để
thuận lợi cho sinh viên hướng dẫn giúp đỡ nhau trong học tập.
Ví dụ 1: Đọc mối liên hệ giữa phương trình đồng dư bậc nhất và phương
trình Đi-ơ-phăng bâc nhất hai ẩn: ax+by=c.
Yêu cầu: Tất cả các sinh viên đều đọc mối liên hệ giữa phương trình
đồng dư bậc nhất và phương trình Đi-ơ-phăng bâc nhất hai ẩn (tài liệu Lý

thuyết số- Nguyễn Hữu Hoan).
+ Yêu cầu nhóm I nghiên cứu kỹ mối liên hệ, nhóm II nghiên cứu kỹ ví
dụ 1, nhóm III nghiên cứu kỹ ví dụ 2 (nghiên cứu ở nhà).
+ Đến tiết học tiếp theo mỗi nhóm cử một sinh viên đại diện trình bày
(lực học trung bình khá hoặc trung bình).
Sau đó trong nhóm cử ra một sinh viên khác bổ sung câu trả lời của nhóm
mình. Sau mỗi lần các nhóm đã trình bày xong thì có thể nêu câu hỏi để
thảo luận, câu hỏi do sinh viên, hoặc giáo viên đưa ra:
+ Giải phương trình Đi-ơ-phăng ax+by=c bằng cơng cụ đồng dư gồm
những bước nào?
+ Giải phương trình Đi-ơ-phăng ax+by=c bằng cơng cụ đồng dư có ưu
điểm gì so với cách giải phương trình Đi-ơ-phăng bằng cách sử dụng
thuật tốn Ơclit mở rộng, cách giải bằng cách tách phần nguyên?
+ Trong các cách giải phương trình Đi-ơ-phăng: ax+by=c thì cách nào dễ
sử dụng hơn – Bạn thích dùng cách nào hơn?
Sau đó các nhóm đánh giá chéo nhau: nhóm I, II đánh giá nhóm III;
nhóm II, III đánh giá nhóm I; nhóm I, III đánh giá nhóm II.
Ví dụ 2: u cầu sinh viên khi đọc phần số nguyên tố (bài §4 chương I)

17


Tất cả các sinh viên đều đọc để nắm được số nguyên tố, hợp số, cách
thành lập bảng số nguyên tố. Nắm được định lý cơ bản của số học và một
số ứng dựng định lý cơ bản.
Nhóm I: Đọc kỹ mục 4.1. Số nguyên tố và hợp số.
Nhóm II: Đọc kỹ mục 4.2 Định lý cơ bản
Nhóm III: Đọc kỹ mục 4.3. Một số ứng dụng định lý cơ bản.
SV trình bày trên lớp trong tiết lý thuyết, mỗi nhóm cử hai sinh viên lên
trình bày.

Nhóm I: sinh viên thứ nhất trình bày 4.1.1 và 4.1.2; sinh viên thứ hai
trình bày 4.1.3.
Nhóm II: sinh viên thứ nhất trình bày 4.2.1; sinh viên thứ hai trình bày
4.2.2 và 4.2.3.
Nhóm III: sinh viên thứ nhất trình bày 4.3.1; sinh viên thứ hai trình bày
4.3.2.
Sau mỗi lần sinh viên của từng nhóm trình bày, các sinh viên trong nhóm
bổ sung; sinh viên nhóm khác nhận xét và đặt câu hỏi. Nếu chưa hồn
chỉnh thì sinh viên nhóm khác bổ sung hồn chỉnh.
Giáo viên ra câu hỏi để cả lớp cùng suy nghĩ trả lời: Dựa vào cơ sở lý
thuyết nào (định lý, tính chất, bổ đề, …) mà sách giáo khao tốn 6 THCS
đã đưa ra cách tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của 2 hay
nhiều số lớn hơn 1. Các nhóm suy nghĩ cử đại diện trả lời, sau đó nhận
xét chấm điểm tồn bộ phần trình bày vừa rồi của các nhóm khác. Cuối
cùng giáo viên nhận xét đánh giá từ khâu chuẩn bị đến cách trình bày, nội
dung và kết quả và cho điểm.
3) Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng sử dụng và phối hợp các
phương tiện dạy học.
Dạy học theo hướng thuyết trình có đặt vấn đề, có câu hỏi gợi mở, kết
hợp với sử dụng phương tiện dạy học hiện đại để xây dựng những tình
huống có dụng ý sư phạm cho sinh viên học tập trong hoạt động và bằng
hoạt động.
Dạy học cần chú trọng tới trình độ của đối tượng, đặc điểm của đối
tượng nhưng vẫn phải đảm bảo nội dung chương trình và theo hướng
nâng cao chất lượng. Đối với SVDTTS để làm được điều này đòi hỏi
giáo viên phải có sự chuẩn bị chu đáo trước khi lên lớp.
Phương tiện, công nghệ dạy học nếu sử dụng đúng mục đích nó có tác
dụng giúp thiết lập những tình huống có dụng ý sư phạm, tổ chức những
hoạt động và giao lưu giữa thầy và trò, giúp tối đa hóa thời gian học tập
thực sự diễn ra, tối thiếu hóa các hoạt động cấp thấp, nâng cao tính hấp

dẫn và hiệu quả của bài giảng.
Một số phương tiện, công nghệ dạy học:
18


Tài liệu in ấn, đồ dùng dạy học đơn giản, các phương tiện kỹ thuật hiện
đại như Overhead (dùng giấy trong và bút dạ màu). Loại này sử dụng tốt
cho thuyết giảng và thảo luận.
Công nghệ đa phương tiện (multimedia) như văn bản, đồ họa, âm
thanh...
Máy chiếu (Projector) đơn năng hoặc đa năng.
Máy vi tính chiếu hắt lên màn ảnh rộng.
Sử dụng Internet...
Với điều kiện cơ sở vật chất ở các trường CĐSP, trình độ sinh viên, và
căn cứ vào đặc điểm mơn Lý thuyết số là mơn học có một số thật tốn đã
được lập trình, nội dung trình bày theo một trình tự thống nhất, nội dung
khá nhiều so với số tiết được phân phối trong chương trình. Do đó việc
sử dụng phương tiện, cơng nghệ vào dạy học đối với môn học này là việc
làm cần thiết.
Trong tiết dạy trước hết cho xuất hiện cấu trúc bài học lên màn hình.Các
khái niệm, định lý, tính chất, cơng thức và một số ví dụ cho xuất hiện lên
màn hình máy vi tính với hình thức giảng đến đâu cho xuất hiện đến đấy.
Cuối tiết học cho xuất hiện một bảng tổng kết các kiến thức cốt lõi của
bài giúp sinh viên tiện ghi nhớ.
Ví dụ 1: Chương I, §2 Ước chung lớn nhất
1. Các định nghĩa ước chung, ước chung lớn nhất, số nguyên tố.
Định lý sự tồn tại ước chung lớn nhất, hệ quả, các bổ đề cách tìm ước
chung lớn nhất, các tính chất ước chung lớn nhất đều cho hiện lên máy
tính với hình thức vừa giảng đến đâu vừa hiện lên đến đấy. Đồng thời cho
hiện lên một bảng tổng kết cuối cùng để nhắc nhở sinh viên những điều

cốt lõi cần ghi nhớ.
Đối với thuật toán Ơclit giáo viên cho sinh viên làm ví dụ tìm ước chung
lớn nhất của hai số bằng thuật tốn Ơclít (đã ơn tập ở nhà) .Giáo viên cho
sinh viên làm trên giấy trong, sau đó chiếu lên màn hình một số bài làm
của sinh viên , cho cả lớp nhận xét, giáo viên sửa đổi bổ sung. Dựa trên
ví dụ giáo viên hướng dẫn sinh viên nêu lên các bước hình thành thuật
tốn Ơclit.Giáo viên cho xuất hiện trên màn hình thuật tốn Ơ-clít. Sau
đó giới thiệu cho sinh viên bằng thuật ngữ tin học người ta diễn tả thuật
tốn Ơ-clít như thế nào, cách sử dụng nó ra sao, đồng thời hướng dẫn cho
sinh viên cách nhập số liệu và đưa ra kết quả (có thể kiểm tra lại ví dụ đã
làm). Giáo viên có thể hướng dẫn sinh viên dùng máy tính bỏ túi để tìm
ƯCLN của hai số.

19


Tương tự cũng giới thiệu cho sinh viên thuật toán Ơ-clít mở rộng bằng
cách như trên ( với các phương tiện bảng viết, đèn chiếu, máy tính điện
tử).
Thể hiện trên máy tính những yêu cầu cần nắm vững của bài học và
hướng dẫn học ở nhà.
4) Dạy học theo hướng thuyết trình có vấn đề, có câu hỏi gợi mở, xây
dựng những tình huống có dụng ý sư phạm cho sinh viên học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động
Ví dụ 1: Chương I, §5 Phương trình Đi-ơ-phăng ax+by=c
Đặt vấn đề: ở phổ thơng ta đã biết cách tìm nghiệm của phương trình bậc
nhất hai ẩn. Vậy đối với Phương trình Đi-ơ-phăng ax+by=c (1) với a; b;c
là những số ngun; a, b khơng đồng thời bằng khơng. Chúng ta có thể
ln ln tìm được các số ngun x, y thỏa mãn phương trình (1) hay
khơng? Và cách tìm các số nguyên đó như thế nào?

Hỏi bài cũ: Giáo viên cho sinh viên lên trình bày các ví dụ về tìm nghiệm
nguyên của các phương trình:
a) 6x+4y= 10 (2)
b) 6x+ 4y = 5 (3)
Gọi 2 sinh viên của hai nhóm lên trình bày bài đã chuẩn bị sẵn ở nhà, sau
đó cả lớp và giáo viên nhận xét đánh giá.
Giáo viên nêu phương trình (2) ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm
ngun của nó. Cịn đối với phương trình (3) ta khơng tìm được nghiệm
ngun của nó.
Từ hai ví dụ trên có thể dự đốn được khi nào thì phương trình (1) có
nghiệm ngun và khi nào phương trình (1) khơng có nghiệm ngun.
Giáo viên hướng dẫn sinh viên nêu lên nội dung định lý và hướng dẫn
sinh viên chứng minh định lý.
Để chứng minh định lý điều kiện có nghiệm ngun của phương trình Điơ-phăng ta cần chứng minh mấy phần?
Với giả thiết của định lý muốn chứng minh d|c ta cần chứng minh điều
gì?
Với giả thiết của định lý muốn chứng minh phương trình (1) có nghiệm
ngun ta làm thế nào? Muốn chỉ ra x 0, y0 ta cần dựa vào điều kiện nào?
Từ điều kiện d = ƯCLN(a;b) ta suy ra được điều gì?
Giáo viên tóm tắt các bước chứng minh trên máy vi tính.
Giáo viên hướng dẫn cho sinh viên phát biểu hệ quả, minh họa phương
diện hình học của định lý trên máy vi tính để hướng dẫn cho sinh viên
đưa ra định lý về tập hợp nghiệm ngun của phương trình Đi-ơ-phăng.
Sau đó hướng dẫn sinh viên chứng minh định lý tương tự như hướng dẫn
chứng minh định lý về điều kiện có nghiệm.
20


Về phần ví dụ đề bài giáo viên cho xuất hiện trên màn hình máy vi tính
sau đó chia nhóm cho sinh viên thực hành giải vào giấy trong. Các nhóm

nộp bài và giáo viên dùng máy chiếu chiếu lên màn hình bài làm của sinh
viên, cho sinh viên nhận xét đánh giá kết quả của các nhóm, giáo viên bổ
sung và đưa ra nhận xét, cho điểm.
Để tìm nghiệm riêng của phương trình Đi-ơ-phăng ta làm thế nào? Có
phải bao giờ cũng làm phép thử được không?
Giáo viên giới thiệu cách tìm nghiệm riêng của phương trình bằng thuật
tốn Ơclit mở rộng.
Với ví dụ giáo viên cho sinh viên tìm nghiệm riêng bằng cách lập bảng,
một sinh viên khác lên kiểm tra trên máy vi tính kết quả đó bằng thuật
tốn đã được lập trình (đã có sẵn chương trình trong bài ƯCLN).
Sau đó giáo viên hướng dẫn sinh viên về đọc phần thực hành giải phương
trình với hệ thống câu hỏi: muốn giải phương trình Đi-ơ-phăng ax+by=c
ta có thể làm như thế nào (có mấy cách giải? theo em cách nào tiện lợi
hơn? Hãy so sánh các cách giải đó với cách giải mà em đã biết trong
chương trình phổ thơng). Trong phần ví dụ cụ thể u cầu sinh viên chỉ rõ
cách tìm nghiệm riêng.
Cuối bài học giáo viên cho xuất hiện trên máy vi tính định lý điều kiện có
nghiệm, định lý về cơng thức nghiệm tổng qt, các cách giải phương
trình Đi-ơ-phăng và những u cầu học ở nhà (giáo viên đã chuẩn bị sẵn
ở nhà).
Ví dụ 2: Chương III, §2. Hàm số số học có tính chất nhân. (xem phần
một số giáo án minh họa)
5) Hướng dẫn sinh viên giải bài tập
Xét về tổng thể số học cũng như các mơn tốn khác là một mơn học
mang tính trang bị những khái niệm, mệnh đề phương pháp xây dựng
chứng minh, chúng kết hợp với nhau thành một hệ thống logic chặt chẽ.
Sinh viên thường xuyên được tập luyện với các thao tác phân tích, tổng
hợp, so sánh khái quát hóa, hệ thống hóa… trong q trình suy luận để
tìm tịi và trình bày lời giải bài tốn. Mặt khác q trình giải quyết một số
bài tập Lý thuyết số có khi khơng u cầu nhiều về kiến thức mà lại đòi

hỏi rất cao về kỹ năng tính tốn, về suy luận (hính xác, lập luận có căn
cứ, linh hoạt, sáng tạo…) thì mới có thể tìm lời giải đúng, đầy đủ của bài
tốn. Với đặc điểm của SVDTTS, giáo viên cần phân loại bài tập và yêu
cầu đối với từng sinh viên khác nhau, sinh viên yếu bước đầu chỉ yêu cầu
giải các bài tập đơn giản (lắp vào cơng thức tính ngay ra kết quả hoặc bài
tập chứng minh thì đã có các bước rõ ràng…), sau đó làm quen dần với
các bài tập mức độ cao hơn. Đối với những bài tập có hướng giải chưa rõ
ràng giáo viên cần hướng dẫn cho sinh viên nhất là sinh viên yếu bằng
21


một hệ thống câu hỏi dẫn dắt sinh viên đến từng bước giải, chỉ rõ cho
sinh viên cần áp dụng thuật tốn nào, cơng thức nào. Khi áp dụng cần chú
ý những vấn đề gì? Cần tránh những sai lầm nào thường mắc phải. Sau
khi đã hiểu rõ đường lối giải yêu cầu sinh viên trình bày đầy đủ, rõ ràng
bài giải. Giáo viên cần kiểm tra việc chuẩn bị bài tập ở nhà của sinh viên.
Đối với sinh viên yếu có những lúc giáo viên cần dùng hình thức chấm
vở bài tập qua đó uốn nắn được các sai lầm và giúp sinh viên có ý thức
hơn trong việc làm bài tập ở nhà.
Giáo viên hướng dẫn sinh viên tự làm bài tập kết hợp với sự giúp đỡ của
nhóm tổ, những bài tập chưa giải được nếu là loại bài tập đơn giản có thể
chữa vào mười lăm phút sinh hoạt đầu buổi hoặc các sinh viên khá có thể
giảng cho những sinh viên chưa làm được qua hình thức học nhóm tổ.
Đến lớp giáo viên dành thời gian kiểm tra đánh giá sự chuẩn bị của sinh
viên, sau đó hướng dẫn cho sinh viên một số bài trong các dạng mà chưa
làm được hoặc chưa hiểu.
Sau mỗi chương yêu cầu sinh viên tổng kết các dạng bài tập và nêu
phương pháp giải (sinh viên khá giỏi). Có một số bài tập yêu cầu sinh
viên liên hệ với chương trình phổ thơng dưới các hình thức:
- So sánh với phương pháp giải ở phổ thông?

- Bài tập này ở phổ thông được diễn đạt như thế nào? Cách giải như thế
nào? Hãy chuyển cách giải dùng kiến thức Lý thuyết số sang cách giải
dùng kiến thức phổ thông.
- Hướng dẫn sinh viên cách đề xuất bài tập tương tự và cách kiểm tra
nhanh kết quả (dùng kiến thức Lý thuyết số), sau đó đề ra cách giải
phù hợp với kiến thức phổ thông.
- Hướng dẫn sinh viên đưa ra dạng tổng quát (nếu có thể) cho một số bài
tập.
Giáo viên cần nói rõ để sinh viên nhận thức được mối liên hệ và tầm
quan trọng của các loại bài tập Lý thuyết số đối với các bài tập số học
trong chương trình phổ thơng, để từ đó sinh viên có ý thức trong việc giải
bài tập và tích lũy các bài tập Lý thuyết số cho hành trang bước vào nghề
sau này.
Giáo viên yêu cầu SVDTTS làm hầu hết bài tập có trong giáo trình Lý
Thuyết số, những bài tập đánh dấu (*) dành cho sinh viên khá, những bài
tập đánh dấu (**) dành cho sinh viên giỏi.
Ngoài ra giáo viên hướng dẫn cho sinh viên đọc và làm thêm các bài tập
sách tham khảo của phổ thơng.
Ví dụ các bài tập trong các sách :
 Nâng cao và phát triển tốn 6 tập 1 (Vũ Hữu Bình).
 Các chuyên đề số học bồ dưỡng học sinh giỏi trung học cơ sở (Phạm
Minh Phương).
22


 Bài tập số học (Nguyễn Tiến Quang).
Ví dụ về hướng dẫn sinh viên giải một số bài tập.
Bài tập chương I: Đa số các bài tập tương tự ở trung học cơ sở và có
thuật tốn rõ ràng nên giáo viên yêu cầu sinh viên giải sau đó kiểm tra.
Hướng dẫn sinh viên giải một số bài tập sau:

Hướng dẫn sinh viên giải bài 1.3 (tr. 63):
Chứng minh rằng trong hai số chẵn liên tiếp có một và chỉ một số chia
hết cho 4.
Công thức tổng quát biểu diễn một số chẵn như thế nào?
Hãy tóm tắt bài tốn? Bài tốn u cầu chứng minh vấn đề gì?
Giả sử gọi hai số chẵn liên tiếp 2n; 2n + 2 với n  N* ta cần chứng
minh điều gì?
Những khả năng nào có thể xẩy ra đối với n?
(n chẵn, n lẻ)
Hãy trình bày lời giải chi tiết của bài toán
+n chẵn  n=2k  2n=4k 4 (k Z)
 2n+2 = 4k+2 / 4
+ n lẻ  n=2k+1  2n+2=2(2k+1)+2
2n+2=4k+4 4
2n=4k+2/ 4
Về nhà hãy trình bày lại các bước giải bài tốn trên (Sinh viên trung bình
và sinh viên yếu)
Nêu một số bài tập tương tự và nêu cách giải các bài tập đó.(Sinh viên
khá)
Bài tập 1.10 (trang 64) Bài tập dạng này ở THCS các học sinh khá đã
làm nhiều ở phần BT nâng cao. Nhưng đối với SVDTTS xem như là mới
hịan tịan, khơng hướng dẫn SVDTTS giải các em sẽ gặp khó khăn
a) Tìm giá trị ngun x để biểu thức
y

2x 2 1
nhận giá trị là một số nguyên
2x  1

Cách 1:

Thực chất của bài toán trên yêu cầu chúng ta làm gì? (tìm x  Z , y Z )
Hãy nêu các bước giải bài toán?
Trước hết ta nên biến đổi như thế nào? y 

1
3
2x 2 1
= x+ 2  2(2 x  1)
2x  1

Nếu x  Z thì y  Z khơng? Vậy bước tiếp theo ta cần biến đổi như thế
nào? (nhân 2 vế với 2)
2 y 2 x  1 

3
2x  1

Hãy tự trình bày các bước giải tiếp theo bài tốn (Để 2y  Z cần điều kiện
gì của x? x Z và 2x-1  Ư(3))
23


Khi tìm được x  Z bước giải bài tốn đã dừng lại chưa? Vì sao?
Hãy đưa ra kết quả
Về nhà trình bày chi tiết lời giải của bài tốn. Nêu các bước biải bài tốn.
Bài tốn trên có cách giải khác nào nữa không? (Sinh viên khá)
Hãy diễn đạt bài tập đó dưới dạng khác
Cách 2:
Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 xy  1 2 x 2  y (1)

Có thể đưa phương trình (1) về phương trình ước số hay không?
Hãy nhân hai vế của (1) với 2 và làm xuất hiện hằng đẳng thức
(1)  2 x 2  2 xy  y  1
 4 x 2  4 xy  2 y  2
 (2 x  y ) 2  ( y  1) 2  3
 (2 x  y  y  1)(2 x  y  y  1)  3
 (2 x  2 y  1)(2 x  1)  3
suy ra 2 x  2 y  1  Ư(-3) và 2x  1  Ư(-3)

(Về nhà trình bày tiếp lời giải và so sánh với lời giải cách 1)
Cách 3:
+ Đưa phương trình (1) về phương trình bậc 2 đối với x
2 x 2  2 xy  y  1 0
+ '  y 2  y  1

Để phương trình (1) có nghiệm ngun điều kiện ' phải như thế nào?
( ' phải là số chính phương: '  y 2  y  1 k 2 với k  Z )
+ Đưa về phương trình ước số để tìm y, k
+ Về nhà tiếp tục giải
Hãy đề xuất các bài tập tương tự và nêu ra các cách giải. Trình bày một
cách giải chi tiết
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
1. 5 x  3 y 2 xy  11
2. x 2  2 x  11  y 2
3. xy  2 y  3 3x  x 2
Tìm mối liên hệ giữa dạng bài tập trên với bài tập trong chương trình
THCS.
b) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau:
 x  y  z 2(1)
 2

 2 x  xy  x  2 z 1(2)

Em hiểu đề bài toán trên như thế nào? Ta có thể đưa về dạng như câu a
khơng? Bằng cách nào? Ở bài tốn cho 2 phương trình nhưng 3 ẩn, em
suy nghĩ đến cách biến đổi như thế nào?
24


Từ phương trình (1) biểu thị z theo x, y sau đó thay vào phương trình (2)
ta sẽ được phương trình như thế nào?
(1)  z 2  x  y
Thay vào (2) ta có: 2 x 2  xy  3x  2 y 5(3)
Hãy nêu các cách tìm nghiệm nguyên của phương trình (3)
Sau khi tìm nghiệm nguyên phương trình(3) bước tiếp theo ta làm gì?
Về nhà hãy trình bày chi tiết bài giải
Tương tự như câu a hãy nêu các cách giải khác. Đề xuất các bài tốn
tương tự, trình bày cách giải.
Bài 1.11(trang 64): Chứng minh rằng với n  N* ta có tích: (n+1).(n+2)
…….(n+n) chia hết cho 2n và khơng chia hết cho 2n+1
Đặt tích (n+1)(n+2)…….(n+n) = A
Muốn chứng minh A 2n và A /22n+1 ta biến đổi A như thế nào?
Hãy nhớ lại các phương pháp để chứng minh A B và A /C từ đó hãy nêu
lên cách giải của bài tập trên?
Muốn biến đổi để tích A xuất hiện thừa số 2n ta làm thế nào?
(nhân và chia A với n!)
n!(n  1)(n  2)......( n  n)
n!
(2n)! 1.2.3.....n(n  1).....( n  n)
A


n!
1.2.3.......n
1.3.5.7....( 2n  1).2.4.6.8...... 2n
A
1.2.3.....n
1.3.5.7...( 2n  1).2 n.12.3.4.....n
A
1.2.3......n
A 1.3.5.7....( 2n  1)2 n 2 n
A

1.3.5.7....7....(2n  1).2 n 1
A

Tiếp tục nhân và chia A cho 2: ta có
2
1.3.5.7....7....(2n  1)
 Z vì 1.3.5…7….(2n-1) là số lẻ, suy ra A không chia
2

hết cho 2n+1.
Bài tập 1.7: (HS khá) Cho m là 1 số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a) Trong m số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho m
Hướng dẫn:
- Hãy nhắc lại nội dung nguyên tắc Đi-ric-lê
- Hãy sử dụng nguyên tắc Đi-ric-lê để giải bài tập trên
+ Đưa ra cách biểu diễn m số nguyên liên tiếp (a; a+1; ….; a+m-1 (1) với
m Z )
+ Bài toán yêu cầu chứng minh mấy phần (tồn tại một số chia hết cho m
và chỉ một số chia hết cho m)


25