9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học

Diễn đà n T oá n h ọc →
Ng h iên cứu T oá n h ọc →
T oá n h ọc h iện đại




Giới thiệu về bó
Bắt đầu bởi nm linh1 6 , 2 4 -05-2 02 1 - 2 0:3 2
bó ,








Đã g ửi 2 4 -0 5 -2 0 2 1 - 2 0 :3 2

nmlinh16

Khái niệm bó (sheaf) thể hiện một ý tưởng cơ bản: để hiểu một khơng gian hình học, ta có thể nghiên cứu các hàm trên
khơng gian đó. Bó vốn có nguồn gốc từ Tơ pơ đại số và hình học vi phân (Leray đã xây dựng nó để chứng minh
các định lý điểm bất động trong PDE). Sau này, người ta sử dụng bó một cách có hệ thống trong hình học đại số hiện
đại.
 

1. "Hàm" và "điểm"
 
Trước khi đến với nội dung chính, ta bắt đầu một phiên bản baby của định lý biểu diễn Gelfand-Naimark.
 
Nếu A là một vành (giao hốn và có đơn vị), ta ký hiệu Spm(A) là phổ cực đại của A, tức là tập hợp tất cả các ideal
cực đại của A. Trên tập hợp này có một tơ-pơ được gọi là tơ-pơ Zariski, trong đó các tập đóng là các tập hợp
V (I ) := {m ∈ Spm(A) : I ⊆ m},

trong đó I là một ideal nào đó của A. Thật vậy, ∅
⋂ V (Ii ) = V (∑ Ii )
i

,

,

= V ((1)) Spm(A) = V ((0)) V (I ) ∪ V (J ) = V (I J )

và

. Tơ-pơ này sinh bởi các tập mở có dạng

i

D(f ) := {m ∈ Spm(A) : f ∉ m},

với f

, được gọi là các tập mở chính. Như vậy, ta có thể coi các phần tử của A như các hàm trên không gian tô-


∈ A

pô Spm(A). Các ideal cực đại của A chính là các điểm. Việc tính giá trị của một hàm f tại một điểm m chính là việc
tính f

, đó là một phần tử của trường thặng dư A/m. Như vậy, hàm f nhận giá trị trong một trường biến

mod m

thiên theo từng điểm. 
Quote
Slogan: Trong hình học, điểm là một cái gì đó mà tại đó ta có thể tính giá trị của các hàm, các giá trị này nằm trong một trường
nào đó.
 

 
Cho X là một không gian tô-pô. Ký hiệu C(X) là vành các hàm liên tục X

→ R

(phép cộng và phép nhân được định

nghĩa một cách hiển nhiên). Nhóm các phần tử khả nghịch của vành này là
∗

C(X)

Với mỗi điểm x


, tập hợp mx

∈ X

= {f ∈ C(X) : ∀x ∈ X, f (x) ≠ 0}.

:= {f ∈ C(X) : f (x) = 0}

là một ideal của C(X). Chính xác thì nó là hạch của

tồn cấu
C(X) → R,

Nó là một ideal cực đại vì C(X)/mx

≃ R

f ↦ f (x).

là một trường. Ta có một ánh xạ
X → Spm(C(X)),

x ↦ mx .

 

Mệnh đề. Nếu X là Hausdorff và compact thì ánh xạ trên là một phép đồng phơi (trong đó tơ-pơ trên
Spm(C(X))

là tơ-pơ Zariski).


Chứng minh
/>
1/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học
T ính tồn ánh. Cho m là một ideal cực đại của C(X). Ta chứng minh rằng tồn tại x
thế m =

mx

vì chúng là các ideal cực đại). Thật vậy, nếu ngược lại thì với mọi x

. Lấy Ux

fx (x) ≠ 0

⊆ X

sao cho X

= ⋃ Ux

. Đặt f

do đó f khả nghịch trong C(X)× , suy ra m =
≠ y


. Thế thì f (y) >

2

0

với mọi y

,

∈ X

x∈S

, mâu thuẫn.

C(X)

là hai điểm của X. Vì X là Hausdorff và compact nên chuẩn tắc. Theo định lý Urysohn,

: X → R

sao cho f (x) =

0

và f (y) ≠ 0, suy ra mx

T ính liên tục. Xét một tập mở chính D(f ) của Spm(C(X)), với f

X → Spm(C(X)),

là {x

(và vì

mx

sao cho

∈ m

:= ∑ fx ∈ m

x∈S

tồn tại hàm liên tục f

sao cho m ⊆

là một lân cận mở của x sao cho fx nhận giá trị khác 0 trên tồn Ux . Vì X là compact nên

⊆ X

tồn tại một tập con hữu hạn S

T ính đơn ánh. Cho x

∈ X


, tồn tại fx

∈ X

≠ my

: X → R

.

liên tục. Ảnh ngược của nó bởi ánh xạ

x ↦ mx

, hiển nhiên đây là một tập mở. Các tập mở chính là một cơ sở cho tô-pô Zariski trên 

∈ X : f (x) ≠ 0}

Spm(C(X))

nên ánh xạ trên liên tục.

T ính đóng. Cho Y là một tập con đóng của X. Ta sẽ chứng minh rằng
{mx : x ∈ Y } = V (I ),

với I

= ⋂ mx = {f ∈ C(X) : f |

= 0}


Y

. Hiển nhiên ta có {mx

. Ngược lại, xét m ∈

: x ∈ Y } ⊆ V (I )

. Ta có

V (I )

x∈Y

m = mx

với x

∈ X

nào đó. Nếu x

∉ Y

tắc, nói riêng là chính quy). Khi đó, f
có {mx

thì tồn tại f


∈ I

và f

∉ mx

: X → R

liên tục sao cho f (x) ≠

. Nhưng mx

∈ V (I )

nên I

⊆ mx

0

và f | Y

= 0

. Tóm lại, x

(vì X là chuẩn

∈ Y


và do đó ta

 là một tập đóng. □

: x ∈ Y } = V (I )



Đã g ửi 2 4 -0 5 -2 0 2 1 - 2 1 :2 7

nmlinh16

2. Tiền bó
 
Cho

X

là một khơng gian tô-pô. Như ở bài trước, ta đã thấy rằng nếu

nghiên cứu

X

thơng qua vành các hàm liên tục X

hàm trên tồn bộ

X


→ R

là Hausdorff và compact thì ta có thể

X

(mà khơng bị mất thơng tin). Tuy nhiên, việc chỉ xét các

nói chung là khơng đủ (chẳng hạn, trong hình học đại số, các không gian tô-pô mà chúng ta

xét là các lược đồ (scheme), chúng hầu như không bao giờ là Hausdorff). Từ đó người ta nghĩ đến việc xét các
hàm xác định trên một tập mở của

, đó là cơ sở của khái niệm bó.

X

 
Để gọn gàng, mình sẽ trình bày các định nghĩa bằng ngôn ngữ phạm trù và hàm tử, nhưng mình cũng sẽ giải thích
các định nghĩa sao cho người đọc chưa biết đến ngôn ngữ này cũng có thể hiểu.
 
Ký hiệu bởi O(X) phạm trù các tập mở của

, trong đó các cấu xạ là các phép bao hàm (như vậy, nếu

X

là các tập mở thì có duy nhất một cấu xạ

U → V


Một tiền bó (presheaf) nhóm abel trên

X

cách cụ thể, một tiền bó

trên

F

X

nếu

U ⊆ V

, và khơng có cấu xạ

U → V

U, V ⊆ X

nào nếu ngược lại).

là một hàm tử phản biến từ O(X) vào phạm trù các nhóm abel. Một

được cho bởi các dữ liệu sau đây

1. với mỗi tập mở U của X, một nhóm abel F (U );

2. với V

⊆ U

là các tập mở của X, một đồng cấu nhóm rU →V

, thường được gọi là phép hạn

: F (U ) → F (V )

chế từ U vào V .
sao cho các tính chất sau đây được thỏa mãn
1. với mọi tập mở U

⊆ X rU →U : F (U ) → F (U )

2. với W

là các tập mở của X, ta có rV →W

⊆ V ⊆ U

,

là cấu xạ đồng nhất;
.

∘ rU →V = rU →W : F (U ) → F (W )

Tương tự, ta có thể nói về tiền bó tập hợp, tiền bó vành, tiền bó module...

 

Ví dụ. 
1. Ta có (tiền) bó C 0 các hàm liên tục trên X cho bởi U
tục U

→ R

↦ C

0

, trong đó C 0 (U , R) là vành các hàm liên

(U , R)

. Các phép hạn chế được hiểu theo nghĩa thông thường.

2. Tương tự, cho X là một đa tạp trơn. Ta có (tiền) bó C ∞ các hàm khả vi trên X cho bởi U

↦ C

∞

.

(U , R)

3. Tương tự, cho X là một đa tạp giải tích phức (chẳng hạn, một diện Riemann). Ta có (tiền) bó O các hàm chỉnh
hình) U


.

↦ O(U , C)

/>
2/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học
pre

4. Cho A là một nhóm abel. Tiền bó hằng A
–
–

đồng nhất A
5. Cho x

∈ X

trên X được cho bởi U

. Các phép hạn chế là các cấu xạ

↦ A

.


→ A

và A là một nhóm abel. (Tiền) bó chọc trời ix,∗ A trên X được cho bởi U

. Các phép hạn chế đều hiển nhiên (cấu xạ đồng nhất A

, hoặc A

→ A

6. Cho A là một vành (giao hốn, có đơn vị). Khơng gian tơ-pơ X

= Spec(A)

, hoặc 0

→ 0

↦ {

ế
ế

A

n u x ∈ U ,

0


n u x ∉ U .

).

→ 0

được định nghĩa là tập hợp các ideal

nguyên tố của A cùng với tô-pô Zariski (tương tự như Spm(A)), đó là phổ (nguyên tố) của A. Có duy nhất
một bó (sẽ định nghĩa bó ở bài sau) vành OX trên X sao cho trên mỗi tập mở chính
,

, ta có OX (D(f )) =

D(f ) = {p ∈ Spec(A) : f ∉ p} f ∈ A
{1, f , f

2

Af

, địa phương hóa của A tại tập con nhân tính

. Các phép hạn chế giữa các tập mở chính là các cấu xạ địa phương hóa. Bó OX được gọi là bó

, …}

cấu trúc của X. Đây là viên gạch cơ bản trong hình học đại số: cặp (X, OX ) được gọi là một lược đồ
affine. Một lược đồ được xây dựng bằng cách "dán" các lược đồ affine.
Cho


F

là một tiền bó (nhóm abel) trên

. Với mỗi tập mở U , ta cũng dùng các ký hiệu

X

chỉ nhóm F (U ). Các phần tử của nhóm này được gọi là các lớp cắt (section) của
tập mở và

là một lớp cắt, ta cũng dùng ký hiệu

s ∈ Γ(U , F )

s|

V

để chỉ hạn chế

F

Γ(U , F )

trên

U


và

. Nếu

0

H (U , F )

V ⊆ U

để

là một

. Một lớp cắt trên

rU →V (s)

X

đưuọc gọi là một lớp cắt toàn cục (global section).
 
Cho
X

F

và

là các tiền bó trên


G

. Theo định nghĩa, chúng là các hàm tử phản biến từ phạm trù các tập mở của

X

vào phạm trù các nhóm abel. Một cấu xạ ϕ

: F → G

là một biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử này. Một cách

cụ thể, nó được cho bởi một họ các đồng cấu nhóm ϕ(U ) :
bởi các tập mở U của

, sao cho nếu

X

V ⊆ U

F (U ) → G (U )

là các tập mở của

X

các đồng cấu nhóm, được đánh số


thì ta có biểu đồ giao hốn

( />Nếu

U

là một tập mở của

của

G

trên

tiền bó trên

U

X

và

s

là một lớp cắt của

F

trên


U

, ta ký hiệu

. Tính giao hốn của biểu đồ trên có thể viết lại thành

X

ϕ(s|

ϕ(s)

V

thay cho

) = ϕ(s)|

V

. Đó là một lớp cắt

ϕ(U )(s)

với mọi s

. Các

∈ Γ(U , F )


cùng các cấu xạ giữa chúng tạo thành một phạm trù mà ta ký hiệu bởi PSh(X). Đây là một phạm

trù tiền cộng tính: nếu

ϕ, ψ : F → G

là các cấu xạ giữa hai tiền bó trên

, cấu xạ

X

ϕ + ψ : F → G

được định

nghĩa một cách hiển nhiên,
(ϕ + ψ)(U ) := ϕ(U ) + ψ(U ).

 
Một cách thủ tục, ta kiểm tra được rằng

PSh(X)

là một phạm trù abel. Tổng trực tiếp của hai tiền bó

F

và


G

là

tiền bó
F ⊕ G : U ↦ F (U ) ⊕ G (U ).

Nếu

ϕ : F → G

là một đồng cấu giữa hai tiền bó thì hạch (tương ứng, đối hạch; tương ứng, ảnh) của

Kerϕ : U ↦ Ker(ϕ(U ))
ϕ

(tương ứng, Cokerϕ

; tương ứng, Imϕ

: U ↦ Coker(ϕ(U ))

là một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu; tương ứng, đẳng cấu) trong phạm trù

đơn cấu (tương ứng, toàn cấu; tương ứng, đẳng cấu) với mọi tập mở U
mọi tập mở U

thì ta gọi F là một tiền bó con của

⊆ X


G

là tiền bó
). Cấu xạ

khi và chỉ khi ϕ(U ) là một

PSh(X)

. Nói riêng, nếu

⊆ X

và tiền bó thương

ϕ

: U ↦ Im(ϕ(U ))

G /F

F (U ) ⊆ G (U )

với

được cho bởi

.


U ↦ G (U )/F (U )

 

Hình gửi kèm

/>
3/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học

( />

Đã g ửi 2 4 -0 5 -2 0 2 1 - 2 2 :2 9

nmlinh16

3. Thớ và bó
 
Ta vẫn cho

là một khơng gian tơ-pơ.

X

 
Cho


F

là một tiền bó trên

. Cho

X

. T hớ (stalk) của

x ∈ X

F

tại x là giới hạn xuôi

F x := lim F (U ).
−→
U ∋x

Cụ thể, ta có các đồng cấu chính tắc F (U ) →
bởi đồng cấu này được ký hiệu bởi sx

∈ Fx

Fx

với mỗi lân cận mở U của x. Ảnh của mỗi lớp cắt s


, và được gọi là mầm (germ) của

là mầm của một lớp cắt nào đó xác định trong lân cận của x. Nếu
t ∈ Γ(V , F )

thì sx

= tx

khi và chỉ khi tồn tại lân cận mở W

U, V

s

là các lân cận mở của
của

⊆ U ∩ V

x

∈ Γ(U , F )

tại x. Mỗi phần tử của

sao cho

s|


W

và

x

= t|

W

Fx

đều
,

s ∈ Γ(U , F )

.

 

Ví dụ.
1. Xét tiền bó O các hàm chỉnh hình trên C (Đây là một tiền bó C-đại số). Với mỗi a

∈ C

, thớ Oa đẳng cấu với

vành C{z − a} các chuỗi lũy thừa với tâm tại a và bán kính hội tụ dương. 
pre


2. Cho A là một nhóm abel. Tiền bó hằng A
–
–
3. Cho A là một nhóm abel và x

: U ↦ A

trên X có thớ bằng A tại mọi điểm.

. Tiền bó chọc trời ix,∗ A có thớ A tại mọi điểm y

∈ X

¯¯¯¯¯¯¯¯¯

(các điểm đặc biệt

∈ {x}

hóa của x) và 0 tại các điểm khác.
4. Cho A là một vành (giao hốn, có đơn vị) và X

, với mỗi ideal nguyên tố p

= Spec(A)

, thớ OX ,p của bó

∈ X


cấu trúc OX là địa phương hóa Ap của A tại p.
 
Một tiền bó
phủ mở U

trên

F

được gọi là một bó nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây với mọi tập mở U của

X

= ⋃ Ui

X

và mọi

.

i∈I

1. (Tính địa phương) Nếu s
2. (Tính dán được) Nếu si
s ∈ F (U )

sao cho s| U


i

∈ F (U )

∈ F (Ui )

= si

sao cho s| U

với mỗi i

với mọi i

∈ I

= 0

với mọi i

∈ I

thì s

.

= 0

i


∈ I

sao cho si | U ∩U
i

j

= sj |

Ui ∩Uj

với mọi i, j

∈ I

thì tồn tại

(lớp cắt s này là duy nhất do tính địa phương).

Nhận xét.
1. Từ tính địa phương, ta suy ra rằng với mọi tập mở U thì F (U ) →

∏ Fx

là một đơn cấu (nói riêng, nếu

x∈U

Fx 0


với mọi x

cận mở Ux

∈ U

⊆ U

thì F (U ) = 0). Thật vậy, giả sử s

của x sao cho s| U

x

2. Áp dụng tính dán được duy nhất cho U
Phạm trù

Sh(X)

các bó trên

X

∈ F (U )

sao cho sx

. Vì các tập mở Ux phủ U nên ta có s

= 0


= ∅

= 0

với mọi x

∈ U

. Tồn tại lân

.

= 0

, ta thấy F (∅) = 0.

được định nghĩa là phạm trù con đầy của phạm trù con đầy của phạm trù

Psh(X)

các tiền bó. Nói cách khác, một đồng cấu giữa hai bó đơn giản là một đồng cấu giữa hai tiền bó tương ứng.
 
 

/>
4/19


9/6/2021


Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học

Ví dụ.
1. Tiền bó các hàm liên tục, tiền bó các hàm khả vi và tiền bó các hàm chỉnh hình đều là các bó.
2. Tiền bó chọc trời là một bó.
3. Nếu A là một vành giao hốn có đơn vị và X
4. Cho X

= {0, 1}

thì tiền bó cấu trúc OX là một bó.

= Spec(A)

pre

với tô-pô rời rạc và A là một abel khác 0. Tiền bó A
–
–

5. Bó hằng A
trên khơng gian tơ-pơ X được cho bởi U
–
–

à

ằ


↦ {h m h ng

  trên A khơng phải là một bó. 

địa phương U

.

→ A}

 
Việc lấy thớ có tính hàm tử. Cho
có một cấu xạ

ϕ x : F x → Gx

ϕ x (s x ) = ϕ(s)x

là một cấu xạ giữa hai tiền bó trên

ϕ : F → G

được mô tả như sau. Nếu

. Cho

X

là một lân cận mở của


U

và

x

. Lấy giới hạn, ta

x ∈ X

s ∈ F (U )

thì

.

 
Sau đây là các tính chất của bó có thể kiểm tra trên thớ.
 

Mệnh đề. Cho ϕ : F
1. Nếu ϕx

= 0

là một cấu xạ giữa hai bó trên

→ G

với mọi x


∈ X

thì ϕ

. 

X

.

= 0

2. ϕ là một đơn cấu (theo nghĩa tiền bó) khi và chỉ khi ϕx là một đơn cấu với mọi x

.

∈ X

3. ϕ là một đẳng cấu (theo nghĩa tiền bó) khi và chỉ khi ϕx là một đẳng cấu với mọi x

.

∈ X

Chú ý rằng tính tồn cấu (theo nghĩa tiền bó) nói chung không kiểm tra được trên thớ.

Chứng minh
1. Giả sử ϕx


= 0

với mọi x

. Cho

∈ X

U

là một tập mở của

. Thật vậy, cho

ϕ(U ) = 0 : F (U ) → G (U )

bó nên

G (U ) → ∏ Gx

, ta cần chứng minh rằng

X

. Khi đó

s ∈ F (U )

là một đơn cấu, suy ra


ϕ(s)x = ϕ x (s x ) = 0

với mọi x

∈ U

. Mà

là một

G

.

ϕ(s) = 0

x∈U

2. Giả sử ϕ là một đơn cấu. Cố định
s ∈ F (U )
V ⊆ U

nào đó và

của

x

sao cho


. Lấy α ∈

x ∈ X

ϕ(s|

V

) = ϕ(s)|

V

∈ U

, suy ra

. Cho

∈ X

sx = 0

s ∈ F (U )

= tx

với t

sao cho


∈ G (U )

nào đó và

, suy ra

t = ϕ(s)

U

ϕx

X

và

V

, suy ra

= 0

sao cho

∈ F (U )

.

sx = 0


, ta chứng minh rằng

X

. Thế thì ϕx (sx ) =

ϕ(s) = 0

ϕ(s)x = 0

.

s = 0

là một toàn cấu với mọi x

. Thật vậy, xét β

∈ X

∈ Gx

. Ta

là một lân cận mở của x. Vì ϕ(U ) là một tồn cấu nên tồn tại
.

β = tx = ϕ(s)x = ϕ x (s x )

Ngược lại, giả sử ϕx là một đẳng cấu với mọi x

mở tùy ý của

ϕx

s|

là một tập mở tùy ý của

vì x là một đơn cấu. Vì F là một bó nên

3. Giả sử ϕ là một đẳng cấu. Ta chỉ cần chứng minh
có thể viết β

U

với

sx

, nên tồn tại lân cận mở

. Vì ϕ(V ) là một đơn cấu nên

là một đơn cấu. Thật vậy, xét s

ϕ(U ) : F (U ) → G (U )

. Ta có thể viết α =

ϕ x (α) = 0


= ϕ x (s x ) = ϕ x (α) = 0

= 0

Ngược lại, giả sử ϕx là một đơn cấu với mọi x
với mọi x

sao cho

Fx

là một lân cận mở của x. Thế thì ϕ(s)x

U

. Ta cần tìm s

t ∈ G (U )

. Ta chỉ cần chứng minh

∈ X

sao cho

∈ F (U )

ϕ


là một toàn cấu. Cho

U

là một tập

. Ta sẽ thấy rằng chỉ tính tồn cấu của

t = ϕ(s)

là chưa đủ.

Với mỗi x

∈ U

, tồn tại αx

∈ Fx

lân cận mở của x. Thế thì tx
x

ϕ(r )|

Ux

= t|

Ux


sao cho

ϕ x (αx ) = tx

. Viết αx

x

x

= ϕ x (αx ) = ϕ x (rx ) = ϕ(r )x

. Ta thu được phủ mở U

của

= ⋃ Ux

U

x

= rx

, với rx

∈ F (Vx )

nào đó và


, nghĩa là tồn tại lân cận mở Ux

. Đặt sx

x

:= r |

Ux

⊆ U

. Với x, y

∈ F (Ux )

Vx ⊆ U

là một

sao cho

∈ U

, ta có

x∈U

ϕ(s


x

|

Ux ∩Uy

) = ϕ(s

x

)|

x

Ux ∩Uy

= ϕ(r )|

Ux ∩Uy

= t|

Ux ∩Uy

.

Tương tự,
y


ϕ(s |

Vì ϕ(Ux

∩ Uy )

là một đơn cấu (theo phần 2.) nên

cắt s thành một lớp cắt s
x

là một bó nên

. Với mỗi x

∈ F (U )

Ux ∩Uy

s

∈ U

x

|

) = t|

Ux ∩Uy


.

y

Ux ∩Uy

, ta có

= s |

t|

Ux ∩Uy
(

Ux

. Vì F là một bó nên ta có thể dán các lớp

x

= ϕ r )|

Ux

= ϕ(s

x


) = ϕ(s|

Ux

) = ϕ(s)|

Ux

. Vì G

.

t = ϕ(s) □



Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 2 4 -05-2 02 1 - 2 2 :3 0

Đã g ửi 2 5 -0 5 -2 0 2 1 - 0 5 :3 7

nmlinh16

4. Bó hóa
 

/>
5/19


9/6/2021


Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học
Cho

X

là một khơng gian tơ-pơ

Ta dễ dàng kiểm tra được rằng, nếu

F

và

G

là các bó trên

thì tiền bó tổng trực tiếp

X

F ⊕ G : U ↦ F (U ) ⊕ G (U )

là một bó. Tương tự, nếu

ϕ : F → G

là một cấu xạ thì tiền bó hạch
Kerϕ : U ↦ Ker(ϕ(U ))


cũng là một bó. Nếu

là một đơn cấu thì nó cảm sinh một đẳng cấu giữa

ϕ

và tiền bó ảnh

F

Imϕ : U ↦ Im(ϕ(U )),

vì thế

Imϕ

cũng là một bó. Tuy nhiên, nói chung thì Imϕ khơng phải là một bó. Điều tương tự xảy ra với các tiền

bó đối hạch

và thương

Cokerϕ

G /F

(khi F là một bó con của

G


.

 
Để khắc phục điều này, ta xây dựng hàm tử bó hóa (sheafification) như sau. Cho
là một tập mở. Một bộ

U ⊆ X

là một tiền bó trên

F

. Cho

X

được gọi là một mầm tương thích (compatible germ) của

(αx )x∈U ∈ ∏ F x

F

x∈U

trên

nếu với mỗi x

U


∈ U

, tồn tại lân cận mở V

Các mầm tương thích của

F

trên

U

⊆ U

của

và lớp cắt s

x

∈ F (V )

lập thành một nhóm con của tích trực tiếp

sao cho

∏ Fx

s y = αy


với mọi y

∈ V

.

. Ta ký hiệu nhóm này bởi

x∈U

F

#

. Nếu

(U )

V ⊆ U

là các tập mở, phép chiếu

∏ Fx → ∏ Fx
x∈U

F

#


#

(U ) → F

cảm sinh một đồng cấu hiển nhiên

x∈V

. Dễ thấy ta có một tiền bó

(V )

F

Ta khẳng định rằng đây là một bó. Thật vậy, cho

#

: U ↦ F

U = ⋃ Ui

#

(U ).

là một phủ mở. Cho

i


α

i

= (αx )x∈Ui ∈ F

#

với

(Ui )

i∈I

mỗi i

, sao cho

∈ I

α = (αx )x∈U

j

i

với mọi i, j

αx = αx


như sau: với mỗi x

∈ U

∈ I

và mọi x

, lấy một chỉ số

∈ Ui ∩ Uj

i ∈ I

. Điều này cho phép ta định nghĩa bộ

tùy ý sao cho

và đặt αx

x ∈ Ui

là một mầm tương thích (do tính "địa phương" của định nghĩa mầm tương thích), vậy α ∈
α|

i

Ui

= α


với mọi i

∈ I

i

:= αx

F

#

(U )

. Hiển nhiên đây
thỏa mãn

. Hiển nhiên đây là lớp cắt duy nhất thỏa mãn tính chất này.

 

Định nghĩa. Bó F

#

được gọi là bó liên kết với tiền bó

Bó hóa có tính hàm tử theo nghĩa hiển nhiên: Mỗi đồng cấu
ϕ

ϕ

#

#

#

: F

→ G

#

. Cụ thể, nếu
#

(α) = (ϕ x (αx ))x∈U ∈ G

U

là một tập mở của

X

và

F

.


ϕ : F → G

cảm sinh một đồng cấu bó

α = (αx )x∈U ∈ F

#

(U )

là một mầm tương thích thì

.

(U )

 
Ta có một cấu xạ tiền bó

#

i : F → F

như sau: với mỗi tập mở U của

X

và


,

s ∈ F (U ) i(s) = (s x )x∈U

.

 

Mệnh đề. Cấu xạ i cảm sinh đẳng cấu trên từng thớ. Nói riêng, nếu F

là một bó thì i là một đẳng cấu.

Chứng minh
Cố định

. Với mỗi lân cận mở U của x, ký hiệu

x ∈ X

thay đổi, các cấu xạ
#

px : F x

→ Fx

. Hợp thành
#

Fx


#

(U ) → F x

tương thích với các đồng cấu hạn chế của

pU

pU ∘ i(U ) : F (U ) → F x

tính chất phổ dụng của đối giới hạn. Từ đó suy ra
Tiếp theo, xét α ∈

pU : F

ix

F

#

s y = βy

Nếu

F

với mọi y


là đồng cấu chính tắc s

tùy ý. Thế thì α là mầm tại x của một lớp cắt β

∈ V

, nghĩa là

i(s)|

V

= β|

x ∈ U

. Khi U

↦ sx

. Do đó

px ∘ i x = idF

x

theo

là một đơn cấu.
= (βy )y∈U ∈ F


lân cận mở của x. Vì β là một mầm tương thích nên tồn tại lân cận mở V
cho

là phép chiếu lên tọa độ

, vì thế chúng cảm sinh một đầu cấu

. Từ đó ta có
V

⊆ U

của

x

#

(U )

nào đó, với U là một

và lớp cắt s

∈ F (V )

sao

, vậy ix là một toàn cấu.


i x (s x ) = i(s)x = α

là một bó thì i là một đẳng cấu, vì tính chất "là một đẳng cấu" kiểm tra được trên thớ. □

 

Tính chất phổ dụng của bó liên kết. Với mỗi cấu xạ ϕ : F
tồn tại duy nhất cấu xạ

ϕ

′

: F

#

→ G

sao cho

′

ϕ = ϕ ∘ i

→ G

, trong đó


G

là một bó trên

,

X

.

Chứng minh
Cấu xạ bó hóa
thế, cấu xạ

ϕ

′

j : G → G

#

là một đẳng cấu (theo mệnh đề trước). Tính tốn trực tiếp, ta có

duy nhất thỏa mãn

′

ϕ = ϕ ∘ i


là

ϕ

′

= j

−1

∘ ϕ

#

ϕ

#

∘ i = j ∘ ϕ

. Vì

.□

 
Như vậy, ta có một đẳng cấu tự nhiên
#

(−)


: Psh(X) → Sh(X)

/>
Hom Sh(X ) (F

#

. Nói cách khác, hàm tử bó hóa

, G ) ≃ Hom Psh(X ) (F , G )

là liên hợp bên trái của hàm tử qn

. Vì thế, bó hóa là một hàm

Sh(X) → Psh(X)

6/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học
tử khớp phải và bảo tồn đối giới hạn. Nếu
cấu xạ bó hóa
ra

ϕ

F → F


#

và

là một đơn cấu vì F

#

là một đơn cấu giữa hai tiền bó thì với mỗi x

ϕ : F → G

,

∈ X

là một đơn cấu (xem chứng minh ở Bài 3; bước này khơng cần dùng đến tiên đề bó của

ϕx : F → G

Tuy nhiên, hàm tử quên

#

#

G → G

và


G

#

cảm sinh đẳng cấu trên thớ, do đó

là các bó. Tóm lại, bó hóa  (−)#

Sh(X) → Psh(X)

#

ϕx

: F

#

→ G

#

F

). Các

là một đơn cấu, suy
là một hàm tử khớp.


: Psh(X) → Sh(X)

nói chung chỉ khớp trái.

 
Sử dụng tính chất phổ dụng của bó hóa, ta chứng minh được rằng
là một đồng cấu giữa hai bó thì (Cokerϕ)

#

ϕ : F → G

trù

). Tương tự, (Imϕ# chính là ảnh của

Sh(X)

F (U ) ⊆ G (U )

ϕ

Sh(X)

là một phạm trù abel. Hơn nữa, nếu

chính là đối hạch của

theo nghĩa bó. Nếu


với mọi tập mở U ) thì (G /F )# chính là thương của

F

G

ϕ

theo nghĩa bó (i.e. trong phạm

là một bó con của

G

(nghĩa là

bởi F theo nghĩa bó.

 
Kể từ nay, ta sẽ dùng các ký hiệu

Cokerϕ

, Imϕ và

G /F

để chỉ đối hạch, ảnh và thương theo nghĩa bó. Các đối

tượng tương ứng theo nghĩa tiền bó sẽ được ký hiệu lần lượt bởi (Cokerϕ)


pre

, (Imϕ)

pre

và

pre

(G /F )

.

 

Mệnh đề. Cho ϕ : F

→ G

là một cấu xạ giữa hai bó. Các khẳng định sau đây là tương đương.

1. ϕ là một tồn cấu (theo nghĩa bó).
2. ϕx

là một tồn cấu nhóm với mọi x

: Gx → F x


3. Với mỗi tập mở U
sao cho

s ∈ F (V )

, mỗi lớp cắt t

⊆ X

ϕ(s) = t|

∈ G (U )

.

∈ X

và mỗi x

∈ U

, tồn tại lân cận mở V

("một cách địa phương, mỗi lớp cắt của

V

G

của


⊆ U

x

và lớp cắt

đều là ảnh của một lớp cắt của

F

").

Chứng minh
1. ⇒ 2.

Cho

U

Cố định

x ∈ X

và đặt A

là một tập mở của

. Nếu


X

= Cokerϕ x
x ∈ U

. Ta xây dựng một cấu xạ

, ta đặt ψ(U ) :

ψ

từ G vào bó chọc trời ix,∗ A như sau.

G (U ) → i x,∗ A(U ) = A

là hợp thành

. Trong trường hợp này, ta có biểu đồ giao hoán

G (U ) → Gx → Cokerϕ x = A

( />Vì hợp thành
Nếu

x ∉ U

ϕx

Fx −
→ Gx → A


, ta đặt ψ(U ) =

, suy ra

ψ ∘ ϕ = 0

ψ = 0

, suy ra

Cho

ϕ x (α) = tx

′

′

t|

V

và

. Mà

ψx

, nghĩa là


ψ(U ) ∘ ϕ(U ) = 0

chính là phép chiếu

, nên

Gx → A

là một toàn cấu.
′

sx

∈ G (U )

với s

′

và

x ∈ U
′

∈ F (U )

. Vì ϕx là một tồn cấu nên tồn tại α ∈

nào đó, và


, nghĩa là tồn tại lân cận mở V

⊆ U

′

U

⊆ U

′

sao cho

Fx

là một lân cận mở của x, từ đó

của

x

sao cho

t|

′

V


= ϕ(s )|

V

. Lấy s

′

= s |

V

, ta

.

Giả sử ψ

: G → H

. Với mỗi x

t ∈ G (U )

suy ra

. Trong mọi trường hợp, ta có

ψx = 0


= ϕ(s)

3. ⇒ 1.
X

ϕx

. Ta có thể viết α =

tx = ϕ x (s x ) = ϕ(s )x

có

0 : G (U ) → i x,∗ A(U ) = 0

là một tập mở, t

U ⊆ X

.

ψ(U ) ∘ ϕ(U ) = 0

vì ϕ là một tồn cấu. Từ đó

Cokerϕ x = A = 0
2. ⇒ 3.

bằng 0, nên ta có


ψ(t)|

Ux

= ψ(t|

. Vậy ψ

ψ(t) = 0

Ux

ϕ

H

, tồn tại lân cận mở Ux

) = ψ(ϕ(s

, suy ra

= 0

là một cấu xạ (trong đó

∈ U

x


. Mà

)) = 0

là một bó) sao cho

⊆ U

{Ux }x∈U

của

x

. Cho

ψ ∘ ϕ = 0

và lớp cắt sx

là một phủ mở của

U

∈ F (Ux )

và

H


U

là một tập mở của

sao cho

ϕ(s

x

) = t|

Ux

,

là một bó nên ta có

là một tồn cấu. □

 
Từ kết quả trên, ta có mơ tả khá dễ chịu sau đây cho ảnh (theo nghĩa bó) của một đồng cấu bó. Cho ϕ
một đồng cấu bó. Ký hiệu bởi I tiền bó con của G được xây dựng như sau. Với mỗi tập mở U
các lớp cắt t
ϕ(s) = t|

∈ G (U )

sao cho với mỗi x


∈ U

. Tiền bó I là một bó; vì nếu U
V

, tồn tại lân cận mở V
= ⋃ Ui

⊆ U

là một phủ mở và ti

của

x

và lớp cắt s

∈ F (V )

∈ I (Ui ) ⊆ G (Ui )

: F → G

,

⊆ X I (U )

là


là nhóm

sao cho

với mỗi i

∈ I

sao cho

i∈I

ti |

Ui ∩Uj

= tj |

Ui ∩Uj

với mọi i, j

∈ I

thì ta có thể dán các lớp cắt ti thành một lớp cắt t

phương, mỗi lớp cắt ti đều là ảnh bởi ϕ của một lớp cắt của F , nên t cũng vậy, nghĩa là t
xạ ϕ


: F → G

có một phân tích F

→ I → G

, trong đó F

→ I

. Một cách địa

∈ G (U )

. Hiển nhiên, cấu

∈ I (U )

là một toàn cấu (mệnh đề trên) và I

→ G

là

một đơn cấu (đơn cấu theo nghĩa bó và tiền bó là như nhau!). Theo định nghĩa, I đẳng cấu với bó ảnh Imϕ.
 
Sau đây là một kết quả quan trọng.

Mệnh đề. Tính khớp của một dãy các đồng cấu bó có thể kiểm tra trên thớ.
/>

7/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học

Chứng minh
ϕ

Cho

ψ

F → G → H
ϕ

Nếu dãy F
Cố định

là một dãy các đồng cấu bó. 

ψ

→ G → H

khớp thì Kerψ

= Imϕ


. Bó hóa bảo tồn thớ, nên ta có

x ∈ X

pre

khớp, nên ta có

Imϕ x = (Imϕ)x
ϕx

(như những bó con của
pre

(Imϕ)x

. Nói riêng, ψ ∘ ϕ

∈ X

. Từ đó, ta có một đơn cấu giữa hai tiền bó
Imϕ → Kerψ

=→ Kerψ

.

ψx

pre


(Imϕ)

→ Kerψ

, vì (ψ ∘ ϕ)x

= 0

= ψ x ∘ ϕx = 0

. Theo chính chất phổ dụng, nó cảm

. Đây là một đẳng cấu vì nó cảm sinh đẳng cấu trên thớ (bó hóa bảo
ϕ

tồn thớ). Vậy Imϕ

Imϕ

. Lấy đối giới hạn là một hàm tử

, nghĩa là dãy F x −
→ Gx −
→ H x khớp.

ψx

∈ X


sinh một cấu xạ giữa hai bó

, ta dùng mơ tả ở trên của bó ảnh
ϕx

= (Kerψ)x = Kerψ x

Ngược lại, giả sử dãy F x −
→ Gx −
→ H x khớp với mọi x
với mọi x

G

= (Imϕ)x = (Kerψ)x

, nghĩa là dãy F

ψ

→ G → H

khớp

□

.

 


Ví dụ. Xét X = C. Xét O là bó hàm chỉnh hình trên C. Phép đạo hàm chỉnh hình cho ta một cấu xạ
∂ /∂ z : O → O

. Ta có một dãy khớp các bó

C

-khơng gian véc-tơ
∂/∂z

0 → C → O−
−
−
→ O → 0
–
–

 (một hàm chỉnh hình có đạo hàm bằng

0

khắp nơi khi và chỉ khi nó là hàm hằng địa phương; mọi hàm chỉnh hình

đều có ngun hàm địa phương). Ta cũng có thể chứng minh điều này bằng cách kiểm tra trên thớ (nhắc lại rằng
với a

∈ C

thì Oa


, vành cái chuỗi lũy thừa với tâm tại a và bán kính hội tụ dương).

= C{z − a}

 
Nếu ta xét vành lớp cắt trên U

= C

×

thì ta chỉ có một dãy khớp
∂/∂z

0 → C → O(C

Cấu xạ cuối cùng không là một tồn cấu vì hàm z

×

)−
−
−
→ O(C

↦ 1/z

×

).

×

chỉnh hình trên C nhưng khơng có ngun hàm (tồn

cục).
 
×

Tương tự, xét O là bó hàm chỉnh hình khơng triệt tiêu. Hàm mũ cho ta một cấu xạ exp

: O → O

×

. Ta có một dãy

khớp các bó nhóm abel
exp

0 → 2πiZ → O −
−
→ O
–––––

Nếu ta xét vành lớp cắt trên U

= C

×


×

→ 1.

thì ta chỉ có một dãy khớp
exp

0 → 2πiZ → O(C

Cấu xạ cuối cùng khơng là một tồn cấu vì hàm z

↦ z

×

)−
−
→ O

×

(C

×

).
×

chỉnh hình và khơng triệt tiêu trên C nhưng khơng có lơ-


ga-rít (tồn cục).
 

Hình gửi kèm

( />

Đã g ửi 2 5 -0 5 -2 0 2 1 - 1 5 :5 8

nmlinh16

5. Ảnh ngược
 

/>
8/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học
Ở bài này, ta cố định một ánh xạ liên tục f

giữa hai không gian tô-pô.

: Y → X

 
Cho


F

là một bó trên

Với mỗi tập mở V của

. Ta muốn dùng

X

, một bộ

Y

để kéo lùi nó thành một bó trên

f

Y

. Xây dựng này rất giống với bó hóa.

được gọi là một mầm f -tương thích của

(αy )y∈V ∈ ∏ F f (y)

F

trên


V

nếu

y∈V

với mỗi y

, tồn tại các tập mở U

∈ V

với mọi y

αy ′ = s f (y ′ )

′

′

∈ V

⊆ X

và

V

′


⊆ V ∩ f

. Các mầm f -tương tích của

−1

F

(U )

với y

trên

V

∈ V

′

và một lớp cắt s

∈ F (U )

lập thành một nhóm con của

sao cho

∏ F f (y)


, ta ký

y∈V

hiệu nhóm này bởi f −1 F (V ).
Nếu

W ⊆ V

là các tập mở của

Y

, phép chiếu

∏ F f (y) → ∏ F f (y)
y∈V

f

−1

F (V ) → f

−1

. Hiển nhiên ta có một tiền bó trên

F (W )


f

−1

Ta khẳng định rằng đây là một bó. Thật vậy, cho

cảm sinh một đồng cấu hiển nhiên

y∈W

Y

,

−1

F : V ↦ f

F (V ).

là một phủ mở (gồm các tập mở của

V = ⋃ Vi

Y

). Cho

i∈I
i


α

i

= (αy )y∈V i ∈ f

−1

F (Vi )

phép ta định nghĩa bộ
i

αy := αy
α ∈ f

−1

với mỗi i

α = (αy )y∈V

∈ I

, sao cho

j

i


αy = αy

như sau. Với mỗi y

∈ V

với mọi i, j

, lấy chỉ số

và mọi y

∈ I

∈ Vi ∩ Vj

tùy ý sao cho

i ∈ I

. Điều này cho

y ∈ Vi

và đặt

. Đây là một mầm f -tương thích (vì tính địa phương của định nghĩa mầm f -tương thích), vậy

F (V )


thỏa mãn

α|

i

Vi

= α

với mọi i

∈ I

. Hiển nhiên

α

là lớp cắt duy nhất của

f

−1

F

trên

V


thỏa mãn

tính chất này.
 

Định nghĩa. Bó f

−1

được gọi là ảnh ngược (hay kéo lùi) của bó

F

Ảnh ngược có tính hàm tử theo nghĩa hiển nhiên. Mỗi đồng cấu
cấu

f

−1

ϕ : f

−1

F → f

−1

F


một mầm f -tương thích thì f

′

các bó trên

−1

Y

bởi f .

F
′

ϕ : F → F

các bó trên

. Cụ thể, với V là một tập mở của

ϕ(α) = (ϕ f (y) (αy ))y∈V

Y

và

X


cảm sinh một đồng

α = (αy )y∈V ∈ f

−1

là

F (V )

.

 
Bước đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng phép kéo lùi bó bảo tồn thớ.
 
Cho

U

là một tập mở của

. Ta có một đồng cấu liên hợp (adjunction map)

X

a U : F (U ) → f

Với mỗi y

∈ f


F (U ) → (f

−1

−1

−1

F (f

−1

(U )),

s ↦ (s f (y) )y∈f −1 (U ) .

, hợp thành của cấu xạ chính tắc f −1 F (f −1 (U )) →

(U )

F )y

a y : F f (y) → (f

−1

. Cố định

F )y


y

và lấy đối giới hạn khi U

∋ f (y)

(f

−1

F )y

với aU cho ta một cấu xạ

thay đổi, ta thu được cấu xạ

.

 

Mệnh đề. a

y

: F f (y) → (f

−1

F )y


là một đẳng cấu với mỗi y

∈ Y

.

Chứng minh
Với mỗi lân cận mở V của y, ký hiệu
cấu xạ
py : (f

pV
−1

pV : f

−1

F (V ) → F f (y)

tương thích với các đồng cấu hạn chế của
F )y → F f (y)

chính tắc s

↦ s f (y)

. Với mỗi lân cân mở U của


. Do đó

py ∘ a y = idF

f (y)

f

−1

F

là phép chiếu lên tọa độ

y ∈ V

. Khi V thay đổi, các

, vì thế chúng cảm sinh một đồng cấu

, hợp thành

f (y)

pf −1 (U ) ∘ a U : F (U ) → F f (y)

là đồng cấu

theo tính chất phổ dụng của đối giới hạn. Nói riêng, ay là một đơn


cấu.
Tiếp theo, xét α ∈

(f

−1

F )y

. Thế thì α là mầm tại y của một lớp cắt β

= (βy )y∈V ∈ f

cận mở của y. Vì β là một mầm f -tương thích nên tồn tại các tập mở U
một lớp cắt s

∈ F (U )

sao cho

βy ′ = s f (y ′ )

với mọi y

′

∈ V

′


, nghĩa là

⊆ X

a U (s)|

và

V

′

V

′

−1

= β|

V

′

, với V là một lân

F (V )

⊆ V ∩ f


−1

, từ đó

(U )

với y

∈ V

′

và

. Mặt

a U (s)y = α

khác, biểu đồ 

( />giao hoán, do đó α =

/>
a U (s)y = a y (s f (y)

, vậy ay là một toàn cấu. □

9/19



9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học
 

Hệ quả. Hàm từ ảnh ngược f

−1

: Sh(X) → Sh(Y )

là một hàm tử khớp.

Chứng minh
Cho

F

′

là một dãy khớp các bó trên

′′

→ F → F

. Với mỗi y

X


∈ Y

, ta có biểu đồ giao hốn

( />trong đó các mũi tên dọc là các đẳng cấu cảm sinh từ các đồng cấu liên hợp. Vì tính khớp có thể kiểm tra trên thớ
nên ta có dãy khớp

f

−1

F

′

−1

→ f

F → f

−1

F

′′

.□

 

Ta có một mơ tả khác cho bó

f

−1

F

như sau. Xét P là tiền bó trên

Y

cho bởi V

↦

lim
−→

F (U )

(các đồng cấu

U ⊇f (V )

hạn chế được định nghĩa một cách hiển nhiên). Với V là một tập mở của
có đồng cấu

ϕ(V ) : P(V ) → f


Với y

∈ Y

vào

U ⊇ f (V )

là một tập mở của

, ta

X

f −1 (U )→V

F (U ) −
→ f
−1

Y

r

aU

−1

F (f


−1

U )) −−
−
−
−→ f

−1

. Chúng cảm sinh một đồng cấu

F (V )

. Khi V thay đổi, ta thu được một cấu xạ giữa hai tiền bó

F (V )

, ta tính thớ Py

=

. Với U là lân cận mở tùy ý của

lim
−→

F (U )

Y


ϕ : P → f

thì V

= f

−1

−1

(U )

F

.

là một lân cận

U ⊇f (V ),V ∋y

mở của

và

y

. Do đó đối giới hạn vừa xét là cofinal, nên ta có

U ⊇ f (V )


Py =

lim
−→

F (U ) = F f (y)

. 

U ∋f (y)

Với V là lân cận mở của

y

và

U ⊇ f (V )

là một tập mở trong

, ta có biểu đồ giao hốn

X

( />Theo mệnh đề trên thì ϕy
xạ ϕ

′


: P

#

→ f

bó ảnh ngược f

−1

−1

F

F

= ay

là một đẳng cấu. Theo chính chất phổ dụng của bó liên kết, ϕ cảm sinh một cấu

. Đây là một đẳng cấu, vì nó cảm sinh đẳng cấu trên từng thớ (bó hóa bảo tồn thớ). Như vậy,

chính là bó liên kết với tiền bó
V ↦

lim
−→

F (U ).


U ⊇f (V )

 

Ví dụ.
1. Cho U
bởi U

′

⊆ X

là một tập mở i
′

∈ X

3. Cho Z
(f

−1

F

là bó hạn chế F | U của F trên U cho

.

và i


g

−1

là phép bao hàm. Thế thì i

↦ F (U )

2. Cho x

g

: U → X

−1

: {x} → X

là phép bao hàm. Thế thì i−1 F là bó trên {x} cho bởi ∅

↦ 0

và {x}

↦ Fx

.

f


→ Y → X

là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tơ-pơ. Với mỗi bó F trên X, ta có đẳng cấu tự nhiên
−1

F ) ≃ (f ∘ g)

F

.

Hình gửi kèm

/>
10/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học

( />
( />
( />

Đã g ửi 2 6 -0 5 -2 0 2 1 - 0 4 :0 5

nmlinh16

6. Ảnh xuôi

 
Cho f
f∗ G

: Y → X

là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian tô-pô. Nếu G là một bó trên Y thì ta định nghĩa tiền bó

trên X bởi f∗ G (U ) =

G (f

−1

. Đây là một bó, vì nếu U

(U ))

= ⋃ Ui

là một phủ mở (gồm các tập mở của X)

i∈I

thì f −1 (U ) =

⋃ f

−1


(Ui )

là một phủ mở (gồm các tập mở của Y ); sau đó ta áp dụng tiên đề dán cho bó G trên phủ

i∈I

mở này để chứng minh tiên đề dán cho tiền bó f∗ G .
Xây dựng trên có tính hàm tử: Nếu ϕ
f∗ ϕ : f∗ G → f∗ G

′

: G → G

′

là một đồng cấu giữa hai bó trên Y thì ta có một đồng cấu bó

giữa hai bó trên X, trong đó f∗ ϕ(U ) =

ϕ(f

−1

(U )) : G (f

−1

′


(U )) → G (f

−1

(U ))

với mọi tập

mở U của X.
 
Cho F là một bó trên X. Ở bài trước, ta đã xây dựng đồng cấu liên hợp
a(U ) : F (U ) → f

−1

F (f

−1

(U )) = f∗ f

−1

F (U ),

với mỗi tập mở U của X. Khi U thay đổi, ta thu được cấu xạ liên hợp a
G

s ↦ (s f (y) )y∈f −1 (U )


: F → f∗ f

−1

F

giữa hai bó trên X. Cho

là một bó trên Y . Ta xây dựng đồng cấu
η : Hom Sh(Y ) (f

−1

F , G ) → Hom Sh(X ) (F , f∗ G ),

ϕ ↦ f∗ ϕ ∘ a.

 

Hệ quả. η là một đẳng cấu, tự nhiên theo F và G .
/>
11/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học

Chứng minh
η


là một đơn cấu. Cho ϕ

: F

−1

là một cấu xạ. Cố định y

→ G

∈ Y

. Với mỗi lân cân mở U của f (y), ta có biểu

đồ giao hoán

( />Lấy giới hạn khi U

∋ f (y)

thay đổi, ta thu được biểu đồ giao hoán.

( />Ta đã biết rằng biết rằng ay là một đẳng cấu. Nếu η(ϕ) =

0

thì từ đây ta suy ra ϕy

= 0


với mọi y

∈ Y

, do đó

.

ϕ = 0

 
η

là một tồn cấu. Cho ψ

: F → f∗ G

là một cấu xạ. Với mỗi y

đồ giao hoán ở trên. Cụ thể, nếu U là một lân cận mở của f (y) và s
xây dựng cấu xạ ϕ
f

−1

: f

F → G


∈ Y

, xét cấu xạ by

∈ f∗ G (U ) = G (f

như sau. Cho V là một tập mở của Y và α =

-tương thích. Khi đó (by (ψ f (y)(αy )))y∈V

∈ ∏ Gy

: (f∗ G )f (y) → Gy

−1

(U ))

(αy )y∈V ) ∈ f

trong biểu

thì by (sf (y)) =

−1

F (V )

sy


. Ta

là một mầm

là một mầm tương thích. Vì G là một bó nên tồn tại một lớp

y∈V

cắt suy nhất, mà ta ký hiệu là ϕ(α) ∈
Ta chứng minh rằng ψ
minh rằng ψ(s) =

, sao cho ϕ(α)y

G (U )

= f∗ ϕ ∘ a : F → f∗ G

ϕ(a(s)) ∈ G (f

−1

= by (ψ f (y) (αy ))

với mọi y

∈ V

. Thật vậy, cho U là một tập mở của X và s


: với mọi y

(U ))

∈ f

−1

.
. Ta cần chứng

∈ F (U )

, ta có

(U )

ϕ(a(s))y = by (ψ f (y) (a(s)y )) = by (ψ f (y) (s f (y) )) = by (ψ(s)f (y )) = ψ(s)y ,

do đó ψ(s) =

. Vậy ψ

ϕ(a(s))

.

= f∗ ϕ ∘ a = η(ϕ)

 

η

tự nhiên theo F và G . Cho ψ

: F

′

→ F

là một đồng cấu giữa hai bó trên X và θ

: G → G

′

là một đồng

cấu giữa hai bó trên Y . Ta cần chứng minh rằng biểu đồ

( />giao hốn. Cho ϕ

: f

/>
−1

F → G

là một cấu xạ. Ta cần chứng minh rằng


12/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học
f∗ θ ∘ f∗ ϕ ∘ a ∘ ψ = f∗ (θ ∘ ϕ ∘ f

Vì tính hàm tử của f∗ nên ta chỉ còn phải chứng minh rằng a ∘ ψ

−1

= f∗ f

ψ) ∘ a.

−1

ψ ∘ a : F

′

→ f∗ f

−1

F

. Đây chính là


tính tự nhiên của cấu xạ liên hợp a. □
 

Mệnh đề. Ảnh xuôi f

∗

là liên hợp bên phải của hàm tử ảnh ngược f

−1

. Nói riêng, f∗ khớp trái.

 

Ví dụ. 
g

1. Cho Z

f

là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô. Từ định nghĩa của f∗ và g∗ , ta có

→ Y → X

(f ∘ g)∗ = f∗ ∘ g ∗ : Sh(Z) → Sh(X)
−1


(f ∘ g)

(theo H

≃ g

−1

∘ f

−1

= Hom Sh(Y ) (g

−1

∘ g)

−1

f

F , H ) = Hom Sh(X ) (F , (f ∘ g)∗ H ) = Hom Sh(X ) (F , f∗ g ∗ H ) = Hom Sh(Y ) (f

−1

∈ X

F ≃ g


và ix

−1

F , g∗ H

F , H ),

−1

f

−1

F

theo bổ đề Yoneda. Đẳng cấu này tự nhiên theo F vì các đẳng cấu ở trên

đều như vậy, do đó hai hàm tử (f
2. Cho x

một cách hiển nhiên. Từ đây, ta có một chứng minh đơn giản rằng

. Thật vậy, cho F là một bó trên X. Với mọi bó H trên Z , ta có các đẳng cấu tự nhiên

)

Hom Sh(Z ) ((f ∘ g)

từ đó (f


−1

: {x} → X

−1

∘ g)

và g −1

∘ f

−1

đẳng cấu.

là phép bao hàm. Cho A là một nhóm abel, mà ta có thể xem là bó
∅ ↦ 0,

{x} ↦ A

trên X. Khi đó đẩy xi ix,∗ A chính là bó chọc trời tại x của X.

Hình gửi kèm

( />
( />
/>
13/19



9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học

( />

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 2 6 -05-2 02 1 - 1 7 :09

Đã g ửi 2 6 -0 5 -2 0 2 1 - 1 7 :2 3

nmlinh16

7. Đối đồng điều
 
Cho X là một không gian tô-pô.
 

Mệnh đề. Phạm trù Sh(X) các bó trên X có đủ nội xạ.
Chứng minh
Cho F là một bó trên X. Với mỗi x
bó I trên X bởi U

↦ ∏ Dx

, nhúng F x vào một nhóm abel chia được (i.e. nội xạ) Dx . Ta định nghĩa tiền

∈ X


, trong đó các đồng cấu hạn chế là các phép chiếu. Dễ thấy I là một bó.

x∈U

Vì F là một bó nên hợp thành F (U ) →

∏ F x ↪ ∏ Dx = I (U )
x∈U

U

thay đổi, ta thu được một đơn cấu F

↪ I

. 

Ta chỉ còn phải chứng minh rằng I là một bó nội xạ. Cho ϕ
ψ : G → I

: G → H

là một cấu xạ tùy ý. Ta cần xây dựng cấu xạ θ

phép chiếu I (U ) →

Dx

lân cận mở của x và α =


là một đơn cấu với mỗi tập mở U của X. Khi

x∈U

: H

là một đơn cấu giữa hai bó trên X, và

→ I

sao cho θ ∘ ϕ

(với U là lân cận mở của x) cảm sinh một đồng cấu jx

(dx )x∈U ∈ I (U )

thì jx (αx ) =

dx

(nói cách khác, α =

một đơn cấu và Dx là một nhóm abel chia được nên tồn tại cấu xạ θx

θ(ϕ(s)) = (θ

Vậy θ ∘ ψ

x


: H

→ I

(ϕ(s)x ))x∈U = (θ

x

. Với mỗi s

. Các

∈ X

. Cụ thể, nếu U là một
). Vì θx

sao cho θx

là

: Gx → H x

∘ ϕx = jx ∘ ψ x

. Với

x

x∈U


θ

. Khi U

(U ) → ∏ H x −
−
−
−→ ∏ Dx = I (U )
x∈U

thay đổi, ta thu được một cấu xạ θ

. Cố định x

(j x (αx ))x∈U

: H x → Dx
∏

mỗi tập mở U của X, ký hiệu bởi θ(U ) đồng cấu hợp thành H

= ψ

: Ix → Dx

x∈U

, ta có


∈ G (U )

(ψ x (s x )))x∈U = (j x (ψ x (s x )))x∈U = (j x (ψ(s)x )x∈U = ϕ(s).

.

= ϕ □

 

Hệ quả. Phạm trù Psh(X) các tiền bó trên X có đủ nội xạ. Hàm tử quên ι : Sh(X) → Psh(X) bảo toàn nội xạ.
Chứng minh
Cho I là một bó nội xạ trên X. Ta có đẳng cấu tự nhiên Hom Psh(X )(−, I ) =
#

(−)

#

Hom Sh(X ) ((−)

. Vì bó hóa

, I)

và Hom Sh(X )(−, I ) là các hàm tử khớp nên Hom Psh(X )(−, I ) cũng vậy, nghĩa là I cũng nội xạ với tư cách là

một tiền bó. Ngồi ra, nếu P là một tiền bó bất kỳ trên X thì ta có thể nhúng bó P

#


vào một bó nội xạ I . Tính

đơn cấu theo nghĩa tiền bó kiểm tra được trên thớ, và bó hóa bảo tồn thớ, nên tiền bó P nhúng vào tiền bó nội xạ
i

I

qua cấu xạ hợp thành P

→ P

#

→ I

.□

 
Hàm tử quên ι

: Sh(X) → Psh(X)

là liên hợp bên phải của hàm tử bó hóa (−)#
ϕ

hàm tử khớp trái. Cụ thể, nếu 0

: Psh(X) → Sh(X)


nên là một

ψ

là một dãy khớp các bó trên X thì dãy nó cũng là một dãy khớp

→ F → G → H

các tiền bó. Vì ϕ là một đơn cấu nên tiền bó ảnh U

↦ Imϕ(U )

là một bó, do đó
ϕ(U )

, nghĩa là ta có dãy khớp 0

Im(ϕ(U )) = Imϕ(U ) = Kerψ(U ) = Ker(ψ(U ))

ψ(U )

.

→ F (U ) −
−
−
→ G (U ) −
−
−
→ H (U )


Tóm lại, hàm tử lớp cắt
Γ(U , −) : Sh(X) → Ab,

/>
F ↦ F (U )

14/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học
khớp trái. Vì Sh(X) có đủ nội xạ, ta có thể định nghĩa các hàm tử dẫn xuất phải
q

q

H (U , −) := R Γ(U , −),

q ≥ 0.

 

Định nghĩa. Cho F là một bó trên X và U là một tập mở của X. Với q ≥ 0, nhóm H

q

(U , F )


được gọi là nhóm

đối đồng điều thứ q của U với hệ số trong F .
 
Vì là những hàm tử dẫn xuất, các hàm tử đối đồng điều Hq (U , F ) thỏa mãn các tính chất tổng quát từ đại số
đồng điều.
1. Để tính Hq (U , F ), chọn một giải nội xạ

0 → F → I

d

0

0

d

1

−
→ I

1

−
→ ⋯.

Áp dụng hàm tử khớp trái Γ(U , −), ta thu được phức
0


0

d (U )

0 → I

0

d (U )
1

(U ) −
−
−
→ I

(U ) −
−
−
→ ⋯,

và khi đó
q

0

0

Ker(d (U ))


q

H (U , F ) = Ker(d (U )) = F (U ),

H (U , F ) =
Im(d

2. Một dãy khớp ngắn 0

→ F → G → H

q−1

,

q ≥ 1.

(U ))

các bó trên X cảm sinh một dãy khớp dài

→ 0

1

1

1


0 → F (U ) → G (U ) → H (U ) → H (U , F ) → H (U , G ) → H (U , H ) → ⋯

3. Một bó A được gọi là U -acyclic nếu Hq (U , A ) =

0

với mọi q

. (nghĩa là A là Γ(U , −)-acyclic). Các bó

≥ 1

nội xạ đều U -acyclic.
4. Các hàm tử Hq (U , F ) được định nghĩa thông qua giải nội xạ, nhưng để tính chúng thì ta chỉ cần sử dụng giải U acyclic (định lý đẳng cấu de Rham-Weil). Thật vậy, trước hết nhận xét rằng nếu 0

→ F → G → H

→ 0

là một dãy khớp ngắn các bó trên X, trong đó G là U -acyclic thì ta có dãy khớp dài
q

q

q+1

⋯ → H (U , G ) → H (U , H ) → H

Vì Hq (U , G ) =
q+1


H

0

với mọi q

≥ 1

q

(U , F ) = H (U , H )

nên ta có H1 (U , F ) =

với mọi q

q

(U , G ) → ⋯

Coker(G (U ) → H (U ))

và

. Bây giờ, giả sử

≥ 1

0 → F → A


là một dãy khớp dài, trong đó mỗi A

q+1

(U , F ) → H

0

1

→ A

→ ⋯

đều U -acyclic. Ta chẻ nó thành các dãy khớp ngắn
0

0 → F → A

0 → I

0

→ I

1

→ A


→ I

0

1

→ 0

→ 0

⋮

với I

q

= Im(A

q

→ A

q

q+1

) = Ker(A

q−1


H (U , F ) = H

Vì Γ(U , −) khớp trái nên I
đơn cấu, nên Im(A

q−1

q

H (U , F ) = Coker(A

(U , I

q−1

q+2

→ A

. Từ nhận xét trên, ta có

)

1

) = ⋯ = H (U , I

(U ) = Ker(A

(U ) → I


q−1

0

q+1

q−1

(U ) → I

q

(U ) → A

(U )) = Im(A

q−1

q−1

q+1

q−1

(U ) → I

. Tương tự, I

(U ))


I
(U )) =

q−1

q−1

q

q−1

q−1

(U )).

(U ) → A

q

(U )

là một

. Do đó,

(U ))

(U )


(U ) → I

Ker(A
q−1

=
(U ))

Im(A

q

(U ) → A

q−1

q+1

(U ) → A

q

(U ))

(U ))

.

≥ 1


Nhắc lại rằng hàm tử quên ι
q

) = Coker(A

(U ) → A

Im(A

với mọi q

q−2

: Sh(X) → Psh(X)

khớp trái. Với q

, ta có thể xét hàm tử dẫn xuất bên phải thứ

≥ 0

của ι,
H

q

q

:= R ι.


Ta sẽ chỉ rằng rằng nếu F là một bó trên X thì Hq (F ) chính là tiền bó Hq (−, F ) :

q

. 

U ↦ H (U , F )

 

/>
15/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học

Mệnh đề. Cho F là một bó trên X và U là một tập mở của X. Với q ≥ 0, ta có một đẳng cấu tự nhiên
q

q

H (F )(U ) = H (U , F ).

Chứng minh
Ta sử dụng lý thuyết về ∂ -hàm tử, tham khảo Tôhoku paper của Grothendieck.
Nếu 0

→ F → G → H


→ 0

là một dãy khớp ngắn các bó trên X thì với mọi tập mở U , ta có khớp dài các nhóm

abel,
1

1

1

0 → F (U ) → G (U ) → H (U ) → H (U , F ) → H (U , G ) → H (U , H ) → ⋯

Dãy khớp dài này tự nhiên theo U , vì thế cho ta một dãy khớp dài các tiền bó trên X,
0 → F → G → H

1

1

1

→ H (−, F ) → H (−, G ) → H (−, H ) → ⋯

Nói riêng, ta có các đồng cấu nối Hq (−, G ) →

q+1

H


. Các hàm tử F

(−, F )

cấu nối này tạo thành một ∂ -hàm tử từ Sh(X) vào Psh(X), trong đó H

0

trên X thì H

q

(−, I ) = 0

tử dẫn xuất R

q

ι = H

q

với mọi q

= ι

q

↦ H (−, F )


cùng với các đồng

. Mặt khác, nếu I là một bó nội xạ

, vì thế ∂ -hàm tử nói trên là khớp và phổ dụng, và do đó trùng với các hàm

≥ 1

.□

 
 
Cho f

: Y → X

là một ánh xạ liên tục giữa các khơng gian tơ-pơ. Ảnh xi f∗

trái (vì nó là liên hợp bên phải của hàm tử ảnh ngược f −1

: Sh(Y ) → Sh(X)

là một hàm tử khớp

.

: Sh(X) → Sh(Y )

 


Định nghĩa. Với q ≥ 0, ta gọi dẫn xuất bên phải thứ q của f

∗

,

q

R f∗ : Sh(Y ) → Sh(X)

là hàm tử ảnh xuôi bậc cao thứ q (higher direct image).
 

Mệnh đề. Cho G là một bó trên Y . Khi đó R

q

f∗ G

là bó liên kết với tiền bó U

q

↦ H (f

−1

(U ), G )


trên X. 

Chứng minh
Trước hết, ta định nghĩa hàm tử ảnh xi trên tiền bó fp
f∗

: Psh(Y ) → Psh(X)

một cách hoàn toàn tương tự như

,
fp P(U ) = P(f

−1

(U )).

Đây là một hàm tử khớp (tính khớp theo nghĩa tiền bó có thể kiểm tra trên từng tập mở. Nhắc lại rằng bó hóa
#

(−)

: Psh(X) → Sh(X)

ι : Sh(Y ) → Psh(Y )

Mặt khác, rõ ràng fp

là một hàm tử khớp, do đó hàm tử (−)#


∘ fp : Psh(Y ) → Sh(X)

gửi mỗi bó nội xạ vào một tiền bó nội xạ trên Y , nói riêng là ((−)#

∘ ι = ι ∘ f∗

, nghĩa là nếu G là một bó trên Y thì f∗ G

khớp. Hàm tử quên
-acyclic.

∘ fp )
#

= fp G = (fp ιG )

. Nói cách khác, hàm

tử ảnh xi f∗ phân tích thành
#

(−)

ι

∘f p

Sh(Y ) → Psh(Y ) −
−
−

−
−
→ Sh(X).

Vì thế ta có dãy phổ Grothendieck
E

pq

Dãy phổ này suy biến, cụ thể là E2

pq
2

p

q

q

= R ((−)# ∘ fp )(H (G )) ⇒ R f∗ G .

= 0

với mọi p

, vì (−)#

> 0


∘ fp

là một hàm tử khớp. Từ đó suy ra rằng đồng

cấu edge
q

q

#

R f∗ G → (fp H (G ))

là một đẳng cấu với mọi q

. Nói cách khác, Rq f∗ G là tiền bó liên kết với bó

≥ 0

q

q

U ↦ fp H (G )(U ) = H (f

−1

(U ), G )

trên X. □

 
Một tính chất khác của ảnh xi đó là bảo tồn nội xạ. Thật vậy, cho I là một bó nội xạ trên Y . Ta có đẳng cấu tự
nhiên Hom Sh(X )(−, f∗ I ) =

Hom Sh(Y ) (f

−1

. Vì ảnh ngược f −1 và Hom Sh(Y )(−, I ) là các hàm tử khớp

(−), I )

nên Hom Sh(X )(−, f∗ I ) cũng vậy, nghĩa là f∗ I là một bó nội xạ trên X.
 

/>
16/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học
g

Chẳng hạn, nếu Z

f

→ Y → X


là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô thì g∗ gửi mỗi bó nội xạ trên Z vào một

bó f∗ -acyclic trên Y . Từ đó ta có dãy phổ Grothendieck
E

pq
2

p

q

= (R f∗ (R g ∗ H )) ⇒ R

p+q

(f ∘ g)∗ H

với mỗi bó H trên Z .
 
Cho f
Γ(f

: Y → X

−1

là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian tô-pô. Với mỗi tập mở U của X, ta có

(U ), −) = Γ(U , −) ∘ f∗


. Mặt khác, f∗ gửi mỗi bó nội xạ trên Y vào một bó nội xạ (nói riêng là U -acyclic) trên

. Do đó ta có dãy phổ

X

E

pq
2

p

q

p+q

= H (U , R f∗ G ) ⇒ H

(f

−1

(U ), G )

với mỗi bó G trên Y , được gọi là dãy phổ Leray.


Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 2 6 -05-2 02 1 - 2 1 :4 9


Đã g ửi 2 6 -0 5 -2 0 2 1 - 1 8 :4 8

nmlinh16

8. Bó flasque
 
Cho X là một khơng gian tơ-pơ. Một bó F trên X được gọi là flasque (hoặc flabby) (nhũn?) nếu các đồng cấu
hạn chế của nó là các tồn cấu. Dễ thấy điều này tương đương với việc mọi lớp cắt của F đều là hạn chế của
một lớp cắt toàn cục.
 

Mệnh đề. Cho 0 → F

ϕ

ψ

→ G → H

→ 0

là một dãy khớp các bó trên X, trong đó F là flasque. Thế thì dãy

trên cũng khớp trong phạm trù các tiền bó

Chứng minh
Đây là một định lý trong ZFC. Cho U là một tập mở, ta cần chứng minh rằng dãy 
ϕ(U )


ψ(U )

0 → F (U ) −
−
−
→ G (U ) −
−
−
→ H (U ) → 0

khớp. Tính khớp trái đã được đảm bảo bởi hàm tử Γ(U , −) nên ta chỉ

cần chứng minh rằng ψ(U ) là một toàn cấu.
Cố định t

. Xét tập hợp S các bộ (s, V ) với V

∈ H (U )

⊆ U

là một tập mở và s

∈ G (V )

sao cho ψ(s)|

= t|

V


. Ta có

thể giả sử rằng U khác rỗng. Thế thì tập hợp S khác rỗng vì ψ cảm sinh toàn cấu trên từng thớ. Xét quan hệ thứ tự
≤

trên S sao cho (s, V ) ≤

′

′

(s , V )

khi và chỉ khi V

⊆ V

′

và s′ | V

= s

. Nếu một họ {(si , Vi )}i∈I các phần tử của S

được sắp thứ tự tồn phần thì ta có thể dán các lớp cắt si thành một lớp cắt s của G trên V

:= ⋃ Vi ⊆ U


. Ta có

i∈I

ψ(s)|

mọi i

Vi

= ψ(s|

∈ I

Vi

) = ψ(s i ) = t|

Vi

với mọi i

∈ I

, suy ra ψ(s) =

t|V

, vậy (s, V ) ∈


Theo bổ đề Zorn, S có một phần tử tối đại (s, V ). Ta khẳng định rằng V
toàn cấu nên tồn tại α ∈

Gx

. Thế thì ψ(r)x

r ∈ G (W )
ψ(r)|

W

S

. Rõ ràng (si , Vi ) ≤

(s, V )

với

.

= t|

sao cho ψ x (α) =

Vì F là flasque nên tồn tại lớp cắt w
), ta suy ra s| V ∩W
′


= r|

, do đó V

(s, V ) ≤ (s , V ∪ W )

. Ta có thể viết α =

= ψ x (rx ) = ψ x (α) = tx

. Bây giờ, ψ(s| V ∩W ) =
W

ψ ∘ ϕ = 0

tx

t|

W ∩W

= U

. Thật vậy, xét x

, với W

∈ U

V ∩W


, nên s| V ∩W

)

= v

= r|

V ∩W

+ ϕ(v)

. Vì ψ x là một

với v

∈ V ∩ W

. Thay r bởi r − ϕ(w) (ta vẫn có ψ(r) =

. Do đó s và r có thể dán thành một lớp cắt s′
V ∩W

∪ W = V

∈ U

là một lân cận mở của x và


. Thu nhỏ W nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng

= ψ(r|

sao cho w| V ∩W

∈ W

rx

nào đó.

t|

W

thì

. Nói riêng,

∈ G (V ∪ W )

vì (s, V ) là một phần tử tối đại, nghĩa là x

∈ W ⊆ V

.□

 


Hệ quả. Cho  0 → F

ϕ

ψ

→ G → H

→ 0

là một dãy khớp các bó trên X, trong đó F và G là flasque. Khi đó H là

flasque.

Chứng minh
Dùng bổ đề 5 trong đại số đồng điều. □
 
Xây dựng Godement. Cho F là một bó bất kỳ trên X. Tiền bó C 0 F trên X cho bởi U

↦ ∏ Fx

(các đồng

x∈U

cấu hạn chế là các phép chiếu) hiển nhiên là một bó flasque. Với mỗi tập mở U , F (U ) →
cấu, vì thế ta có một đơn cấu bó F

↪ C


0

F

C

0

F (U )

là một đơn

. Vậy, mọi bó đều nhúng được vào một bó flasque. 

 

/>
17/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học

Mệnh đề. Mỗi bó nội xạ đều flasque.
Chứng minh
Cho F là một bó nội xạ trên X. Nhúng F vào một bó flasque ϕ
ψ : G → F

. Nói riêng, với mọi tập mở U thì ψ(U ) ∘ ϕ(U ) =


: F ↪ G

idF (U )

. Vì F nội xạ nên ϕ có một rút gọn

, nên ψ(U ) là một toàn cấu. Với V

⊆ U

là các

tập mở của X, ta có biểu đồ giao hốn 

( />
74278600-1622028176.png)
Vì ψ(U ), ψ(V ) và hạn chế G (U ) →

G (V )

là các toàn cấu nên F (U ) →

F (V )

cũng là một tồn cấu. □

 

Mệnh đề. Mỗi bó flasque đều acyclic trên từng tập mở. Nói riêng, đối đồng điều bó có thể tính được bằng

giải flasque.

Chứng minh
Cho F là một bó flasque trên X. Nhúng F vào một bó nội xạ G và gọi H là bó thương G /F . Khi đó ta có dãy khớp
0 → F → G → H

→ 0.

Bó G là nội xạ nên flasque, suy ra H cũng là một bó flasque. 
Cố định một tập mở U . Ta sẽ chứng minh rằng Hq (U , F ) =

với mọi bó flasque F  và mọi q

0

≥ 1

chiều (dimension shifting). Thật vậy, vì G là nội xạ nên U -acyclic, nói riêng, ta có Hq+1 (U , F ) =
mọi q

≥ 1

(xem bài trước). Điều này cho phép ta thực hiện bước quy nạp. Ở bước q

1

H (X, F ) = Coker(G (U ) → H (U )) = 0

(vì F là flasque nên G (U ) →


bằng nhảy
q

H (U , H )

với

, ta có

= 1

H (U )

là một tồn cấu). Điều này

kết thúc chứng minh. □
 
Cho F là một bó tùy ý trên X. Ta dùng xây dựng Godement để thu được dãy khớp
0 → F → C

trong đó mỗi bó C q F đều flasque. Ở đây, C 1 F
q+1

C

F = C

0

Coker(C


q−1

q

F → C F)

0

= C

với mọi q

F → C

0

1

F → ⋯,

Coker(F → C

0

F)

và 

. Nó được gọi là giải chính tắc Godement của F . Với


≥ 1

mỗi tập mở U , ta có
q

Ker(C F (U ) → C

q

H (U , F ) =
Im(C

q−1

q+1

F (U ))
,

q

q ≥ 1.

F (U ) → C F (U ))

Về mặt lịch sử, đây là định nghĩa các nhóm đối đồng điều H

q


(U , F )

mà Godement đã đưa ra.

 

Ví dụ. Cho X là một đa tạp trơn. Với q ≥ 0, ký hiệu Ω

q

là bó các q-dạng vi phân trơn trên X (Ω0

= C

∞

. Các bó này

flasque (sử dụng phân hoạch đơn vị!). Ta có một dãy khớp
d

0 → R → C
–
–

trong đó d :

Ω

q


→ Ω

q+1

∞

→ Ω

d
1

d

→ Ω

2

→ ⋯,

là phép đạo hàm ngồi (theo bổ đề Poincaré, và tính chất rằng mỗi điểm của X đều một

cơ sở lân cận gồm các tập mở hình sao). Áp dụng hàm tử lớp cắt toàn cục, ta thu được đối đồng điều de Rham
q

H

dR

. Vì thế đối đồng điều de Rham đẳng cấu với đối đồng điều với hệ số trong bó hằng R,


(X)

–
–

q

H

q

dR

(X) = H (X, R ),
–
–

q ≥ 0.

q

Tương tự, xét tiền bó Csing (−, R) các q-đối dây chuyền kỳ dị với hệ số thực, q
0 → R
–
–

pre

0


δ

1

. Ta có một dãy khớp

≥ 0

δ

→ C sing (−, R) → C sing (−, R) → ⋯

các tiền bó trên X, trong đó δ là các đồng cấu đối biên (kiểm tra trên thớ, và lấy giới hạn trên cơ sở lân cận gồm
các tập mở hình sao). Sau khi bó hóa, ta thu được một giải flasque khác của bó hằng R. Từ đó ta có chứng minh được
–
–

/>
18/19


9/6/2021

Giới thiệu về bó - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học
(khơng dễ!) rằng đối đồng điều Betti cũng đẳng cấu với đồng điều với hệ số trong bó hằng,
q

q


H (X, R ) = H
(X, R),
sing
–
–

q ≥ 0.

Ta thu được định lý de Rham cổ điển (so sánh giữa đối đồng điều de Rham và đối đồng điều Betti)! 

Hình gửi kèm

( />
74278600-1622028176.png)


Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 2 7 -05-2 02 1 - 1 3 :3 6

Trở lại Toán học hiện đại





Diễn đà n T oá n h ọc → Ng h iên cứu T oá n h ọc → T oá n h ọc h iện đại

/>
19/19