Goc trong khong gian LTDH 2014

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Góc trong hình trong không gian. Quách Đăng Thăng. ~1~. GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 900 , góc ABC bằng 60 0 .Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 450 , hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung. điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G. Hướng dẫn giải. Tính được góc ∠C ' CH = 45 ; BC = 2a, AB = 4a, MC = 2a 0. HC = HC’ = a, GH = a/3 . VABC.A’B’C’ = C’H.SABC = a.1/2.AC.CB = 2 3a 3 (đvtt) Có B' G = B' C ' + C ' H + HG và B' C ' ⊥ C ' H ⇒ B' C '. C ' H = 0 , C ' H ⊥ HG ⇒ C ' H . HG = 0. (. nên B' G 2 = B' C ' 2 +C ' H 2 + HG 2 + 2 B' C '.HG. cos B' C ', HG. (. ). (. ). C'. B'. ). A'. 1 Do cos B' C ', HG = − cos BC , GH = − cos 600 = − 2. ⇒ B' G 2 =. B. 2. 40a a 10 , GC ' = HC ' 2 +GH 2 = 9 3. cos B' C ' G =. 45°. 2a H G. 4a. 2a 3. M. B' C ' 2 +GC ' 2 − B' G 2 1 = 2B ' C '.GC ' 2 10. A. ⇒ góc giữa BC và C’G bằng góc gữa B’C’ và C’G và có cosin bằng. 1 2 10. Cách khác:. (. ). cos(BC , C ' G ) = cos CB, C ' G =. Tính được C ' G = ⇒ C ' G.CB =. CB.C ' G. \. CB.C ' G. a 10 1 1 1 và C ' G = C ' H + HG = C ' H + CM = C ' H + CA + CB 3 6 12 12. 1 a2 CB 2 = 12 3. ⇒ cos(BC , C ' G ) =. 1 2 10. .. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 3a, AC = 2 a . Các mặt phẳng ( B ' AB), ( B ' AC ), ( B ' BC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 0 .. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu của B ' trên mp(ABC), M, N, P lần lượt là hình chiếu của H trên. AC, AB và BC.Khi đó AC ⊥ HM , AC ⊥ B ' H ⇒ AC ⊥ ( B ' BM ) . Vậy góc giữa ( B ' AC ) và. C.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Góc trong hình trong không gian. Quách Đăng Thăng. ~2~. ( BAC ) là góc B ' MH . Tương tự ta có B ' MH = B ' NH = B ' PH = 600 . Do đó. ∆B ' MH = ∆B ' NH = ∆B ' PH ⇒ HM = HN = HP . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp. tam giác ABC.Theo công thức S = p ( p − a )( p − b )( p − c) = 4a.a.2a.a = 2 2a 2 B'. C'. S 2 2a 2 2a Mặt khác S = pr ⇒ r = HM = = = 4a 2 p. Tam giác vuông B ' HM có B ' H = HM .tan 600 = Từ đó VABC . A' B ' C ' = S ABC .B ' H = 2 2a 2 .. A'. 2a a 6 . 3= 2 2. a 6 = 2 3a 3 ( đvtt). 2. B. C. P H M. N. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a 2 , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến A. mặt phẳng (ACD) bằng. a. . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể. 3. của khối tứ diện ABCD bằng. a 3 15 . 27. Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH Ta có ACD cân tại A nên CD. Mà BH. CD. AE suy ra BH. Do đó BH =. A. AE. AE. Tương tự BCD cân tại B nên CD Suy ra CD (ABE). Hướng dẫn giải. BE. H. BH D. (ACD). và góc giữa hai mặt phẳng. (ACD) và (BCD) là. C. Thể tích của khối tứ diện ABCD là. Mà. Khi đó :  2 a2  AE = 3  2  DE 2 = 5a  3. là 2 nghiệm của pt: x2 hoặc. trường hợp. E. B.  2 5a 2  AE = 3  2  DE 2 = a  3. vì DE<a. Xét BED vuông tại E nên BE =. x+. = 0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Góc trong hình trong không gian. Quách Đăng Th ăng. ~3~. Xét BHE vuông tại H nên sin = Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 600 , biết thể tích của khối chóp S.ABC bằng. a3 2 . 32. Hướng dẫn giải. Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ). S. Kẻ AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AKB ) ⇒ SC ⊥ KB. K. ⇒ (SAC ) ; (SBC )  = ( KA; KB). Ta có VS.ABC. 1 1 a 6 a 2 3 a3 2 = .SH.dt ∆ABC = . . = 3 3 8 4 32. suy ra được SH =. C A. a 6 8. H B. Trong ∆SHC vuông tại H,đường cao KH có. a 1 1 1 a 6 a 3 thay SH = và HC = vào ta được KH = . = + 2 2 2 KH HC HS 8 2 2 3. ∆ΚΑΒ cân tại K ⇒ ∠AKH = 600 ⇒ ∠AKB = 1200. Vậy ( SAC ) ; ( SBC )  = ( KA; KB ) = 600. Ví dụ 5: Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân với ∠BAC = 120 0 ,. AB = AC = a ,. cạnh bên BB ' = a . Gọi I là trung điểm của CC ' . Chứng minh tam giác AB ' I. vuông tại A và tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I ) Hướng dẫn giải. Ta có BC = a 3 . Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I Suy ra AI =. 5 13 a, AB ' = 2a, B ' I = a Do đó AI 2 + AB '2 = B ' I 2 . 2 2. Vậy tam giác AB’I vuông tại A 1 2. góc. + S AB ' I = AI . AB ' =. 10 2 a . 4. S ABC =. 3 2 a 4. Gọi α là góc giữa hai mp.. A'. C'. B'. Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I suy ra S A' BI cos α = S ABC. A. 10 3 3 ⇔ cos α = ⇔ cos α = 4 4 10 B. I. C.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Góc trong hình trong không gian. Quách Đăng Thăng. ~4~. Bài tập tự luyện. Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân, AB = AC = a. Hình. chiếu vuông góc của B xuống mp(A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’. Gọi M là. trung điểm của A’C’. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và góc giữa hai đường thẳng BC’ và MB’, biết rằng AA’ = a. B C. A H. B'. C' M A'. HD: B' C' = AB 2 = a 2 ; BH = AA' 2 −. B' C' 2 a 2 1 a3 2 = ⇒ V = BH .SABC = 4 2 3 12. B’MC’N là hình bình hành suy ra BC' = BB' = a C' N = B' M =
cos BC' N=. a 5 a 3 ; MN = 2 HM = A' B' = a ⇒ BN = BH 2 + HN 2 = 2 2. BC' 2 + C' N 2 − BN 2 3 5 = 2 BC' .C' N 10. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại C và D, AD = 3a;. BC = CD = 4a. Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy. Gọi E là điểm nằm trên cạnh. AD sao cho AE = a, F là trung điểm của CD. Tính thể tích khối chóp S.DEBF và góc. giữa hai đường thẳng SE và BF.. S. B. C. F. D. HD:. E. A.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Góc trong hình trong không gian. Quách Đăng Thăng. ~5~. 1 SBEDF = SABCD − SCBF − SABE = 6 a2 ⇒ VS .BEDF = SA.SBEDF = 2 a3 3 3. DQ//FB//EN. Tính được BF = 2 a 5 ⇒ DQ = BF = 6 7. SE = SA2 + EA2 = a 7 ; AN =
= Suy ra cos SEN. 12 a 5 2 8a 5 ⇒ EN = DQ = 7 3 7. 2 1 a 17 2 a 11 AQ = AB = ⇒ SN = SA2 + AN 2 = 3 3 3 3. SE 2 + EN 2 − SN 2 3811 35 = 2 SE.EN 35280. Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = a. Gọi E. là trung điểm của A’D’. Tính thể tích khối tứ diện BC’DE theo a, b và tính góc giữa hai mặt phẳng (BC’D) và (C’DE) khi a = b. D'. C'. E B'. A'. C. D. A. B. HD: Hệ trục Oxyz có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0), A’(0;0;a). Suy ra C(a;b;0), C’(a;b;a), B’(a;0;a), D’(0;ba), E(0;b/2;a).









  b  1









 a2 b BC' = ( 0 ; b; a ) ,BD = ( − a; b; 0 ) , BE =  − a; ; a  ⇒ VBC' DE =  BC' ,BD  .BE =  2  6 4 . Nếu a=b thì ta coi.  1  B (1; 0 ; 0 ) ,C' (1;1;1) , D ( 0 ;1; 0 ) , E  0 ; ;1  2 













  1  ⇒ BC' = ( 0 ;1;1) ,BD = ( −1;1; 0 ) , DC' = (1; 0 ;1) , DE =  0 ; − ;1 2   






 






  1 1 ⇒ n =  BC' ,BD  = ( −1; −1;1) ,u =  DC' , DE  =  ; −1; −      2 2  ⇒ n.u = 0. Vậy (BC’D) ⊥ (C’DE), suy ra góc bằng 900.. Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, có SA = SB = AC = BC = a, AB = a 2 . Tính thể tích hình. chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC, biết rằng mp(SAB) tạo. với đáy một góc bằng 60o..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Góc trong hình trong không gian. Quách Đăng Thăng. ~6~ S. C. A. B. HD:. M trung điểm AB. Suy ra SM = CM =. a 2 a 6 1 a2 a3 6 ; SH ⊥ CM ⇒ SH = SM . tan 600 = ; SABC = CM .AB = ⇒V = 2 4 2 2 24. ABCD là hình bình hành suy ra SA = AD = a. DH = CD2 + HC 2 =
= Nên cos SAD. a 14 a 62 ⇒ SD = SH 2 + DH 2 = 2 4. SA2 + AD2 − SD2 15 15 = − ⇒ cos ϕ = 2 SA.AD 16 16. Bài 5: (Thi thử C.Hưng Yên lần 2 khối A, A1 – 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a, SA vuông góc với (ABC) và SA=a . M là trung điểm AB. Mặt phẳng( α ) qua B và vuông góc với SC và cắt SC và AC tại K và H.. Tính thể tích khối tứ diện SBHK và tính góc giữa hai mặt phẳng (SMH), (SBC). S K C. H A M B. HD: VSABC =. 1 a3 1 a3 V SK 2 2 a3 a3 SA.BA.BC = ⇒ VSHBC = VSABC = ; SBKH = = ⇒ VSBKH = . = 6 6 2 12 VSBCH SC 3 3 12 18. 2 2 2
= SB + SM − BM = 3 cosϕ = cos BSM 2SB.SM 10.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>