Chủ đề: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Thời lượng dự kiến: 03 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Hiểu định nghĩa của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái
niệm này với đạo hàm.
- Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
2. Kĩ năng
- Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó.
- Biết vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải quyết các bài toán thực tế.
3.Về tư duy, thái độ
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác
xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển:
+ Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập, tự nhận ra được sai
sót và khắc phục sai sót.
+ Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp cận câu hỏi bài tập, biết đặt câu hỏi, phân tích các
tình huống trong học tập.
+ Năng lực tự quản lý: Làm chủ các cảm xúc của bản thân trong học tập và trong cuộc sống.
Trưởng nhóm biết quản lí nhóm của mình, biết phân cơng nhiệm vụ cho các thành viên và
biết đôn đốc, nhắc nhở các thành viên hồn thành cơng việc được giao.
+ Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thơng qua hoạt động nhóm.
Có thái độ, kĩ năng trong giao tiếp.
+ Năng lực hợp tác: xác định nhiệm vụ của nhóm của bản thân, biết hợp tác với các thành
viên trong nhóm để hồn thành nhiệm vụ học tập.
+ Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Biết nói và viết đúng theo ngơn ngữ Tốn học.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài

+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

A

Mục tiêu: Tiếp cận khái niệm đồng biến, nghịch biến.

Trang 1


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của
học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết
quả hoạt động

Trò chơi “Quan sát hình ảnh”. Mỗi nhóm viết lên giấy
A4 các khoảng đồng biến, nghịch biến của của các
hàm số tương ứng từ đồ thị sau:
Đội nào có kết quả đúng, nộp bài
nhanh nhất, đội đó sẽ thắng.

Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

B

Mục tiêu: Nắm được mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu, lập được bảng
biến thiên của hàm số

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học
sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

* Hồn thành chính xác
phiếu học tập số 1, từ đó rút
1. Nhắc lại định nghĩa
ra nhận xét mối liên hệ giữa
1. Nhắc lại định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc tính đơn điệu và dấu của
y = f ( x)
đạo hàm cấp một của hàm
nữa khoảng. Giả sử hàm số
xác định trên K .
số trên khoảng đơn điệu.
y = f ( x)
K
đồng
biến
trên
⇔ x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
y = f ( x)

nghịch

trên K


biến

⇔ x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

*Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ
trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của
nó đi xuống từ trái sang phải.
Ví dụ 1. Hoàn thành phiếu học tập số 1
Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm số

y = f ( x)

• Nếu

f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K

• Nếu

f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K

thì

thì

có đạo hàm trên K .

y = f ( x)


y = f ( x)

KQ1.
a) y′ = 2 > 0, ∀x ∈ ¡

đồng biến trên K .

nghịch biến trên K .

VD2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
Trang 2

b) y′ = −2 x + 2


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học
sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

a) y = 2 x − 1
2
b) y = − x + 2 x

Chú ý: Giải sử hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm trên K . Nếu


f ′( x) ≥ 0

f′ x ≤0
f′ x =0
( ( ) ) , ∀x ∈ K và ( )
chỉ tại một số hữu
hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K .
3
VD3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y = x

KQ2.
y′ = 3x 2
x

y'

−∞

+

+∞

0

+
+∞

y


Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

0

−∞

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Quy tắc
1. Tìm tập xác định. Tính
2. Tìm các điểm tại đó
định.

f ′( x)

*Đọc hiểu quy tắc xét tính
đơn điệu của hàm số.

.

f ′( x) = 0

hoặc

f ′( x)

khơng xác

3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng
biến thiên.
4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của

hàm số.
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
2. Áp dụng
VD4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
3
a) y = x − 3x + 2

y=

*Thực hiện vào tập, bạn nào
thực hiện nhanh và chính
xác nhất lên bảng thực hiện
từng câu.
−∞; −1)
a) Hàm số ĐB trên (

x −1
x +1

1; +∞ )
và (
. Hàm số NB trên

b)

( −1;1) .

4
2
c) y = x − 2 x + 2


Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

−∞; −1)
b) Hàm số ĐB trên (
−1; +∞ )
và (
.

−∞; −1)
c) Hàm số NB trên (

0;1
và ( ) . Hàm số ĐB trên

( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) .

Trang 3


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học
sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

*Hàm số

 π
 0; ÷

x
>
sin
x
VD5. Chứng minh rằng
trên  2  bằng cách xét
f ( x ) = x − sin x

f ′ ( x ) = 1 − cos x ≥ 0

nên hàm số

f ( x)

đồng biến

 π
0; ÷
trên nửa khoảng  2  . Do
f ( x ) = x − sin x > 0

khoảng đơn điệu của hàm số

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

đó

.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP


C

Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh
1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số y = x − 3x + 2 .
3

2

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt
động
 D=¡
2
 y′ = 3 x − 6 x

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

x = 0 ⇒ y = 2
⇒
2
Cho y′ = 0 ⇒ 3x − 6 x  x = 2 ⇒ y = −2 .

 Bảng biến thiên:

 Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng


( −∞;0 ) và ( 2; +∞ ) .

−∞;0 )
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (
.

2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số

y=

−x + x − 7
x−2 .
2

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

Các nhóm thảo luận, trình bày kết quả
của nhóm lên giấy A0, giáo viên đánh giá
kết quả theo gợi ý:


D = ¡ \ { 2}
y′ =



− x2 + 4 x + 5

( x − 2)


2

2
Cho y′ = 0 ⇒ − x + 4 x + 5 = 0

Trang 4


 x = −1 ⇒ y = 3
⇒
 x = 5 ⇒ y = −9 .

 Bảng biến thiên:

 Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng

( −1; 2 ) và ( 2;5) .

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng

( −∞; −1) và ( 5; +∞ ) .
D = [ −2; 4]


3. Chứng minh rằng hàm số
y = − x 2 + 2 x + 8 đồng biến trên khoảng
( −2;1)
( 1; 4 )


, và nghịch biến trên khoảng

.

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.



y′ =

−x +1
− x2 + 2x + 8

Cho y′ = 0 ⇒ − x + 1 = 0 ⇒ x = 1 .
 Bảng biến thiên:

 Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng

( −2;1) và hàm số nghịch biến trên khoảng
( 1; 4 ) .

4. Chứng minh rằng

sin x + cos x − 2 x < 1, ∀x ∈ ( 0; +∞ )

.

Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.


Các nhóm thảo luận, trình bày kết quả
của nhóm lên giấy A0, giáo viên đánh giá
kết quả theo gợi ý:
 Ta có: sin x + cos x − 2 x < 1
π

⇔ 2 sin  x + ÷− 2 x < 1
4


π

f ( x ) = 2 sin  x + ÷− 2 x, x ∈ ( 0; +∞ )
4

 Xét
Trang 5


π

f ′ ( x ) = 2 cos  x + ÷− 2
4


π

− 2 ≤ 2 cos  x + ÷ ≤ 2
4


Do

π

⇒ f ′ ( x ) = 2 cos  x + ÷− 2 ≤ 0
4

.
⇒ Hàm số nghịch biến trên ( 0; +∞ ) .
⇒ f ( x ) ≤ f ( 0) = 1 .

Vậy : sin x + cos x − 2 x < 1, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) .

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG

D,E

Mục tiêu: Làm được một số bài tập tìm giá trị của tham số m .
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh
1. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số
biến trên ¡ .

y=

1 3
x − mx 2 + ( 2m + 3) x + 1
3

đồng

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt
động
TXĐ: D = ¡ .
Ta có

y′ = x 2 − 2mx + ( 2m + 3)

.

Để hàm số đồng biến trên khoảng ¡ thì

Phương thức tổ chức: Cá nhân - ở nhà.

y′ ≥ 0 , ∀x ∈ ¡

⇔ x 2 − 2mx + 2m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ ¡

⇔ ∆′ ≤ 0
⇔ m 2 − 2m − 3 ≤ 0

⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .

Vậy −1 ≤ m ≤ 3 là giá trị cần tìm.
2. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m

TXĐ: D = ¡ .
3
2

2
y
=
−
x
+
mx
+
m
x
+
3
để hàm số
đồng biến
y′ = −3 x 2 + 2mx + m 2 .
Ta
có
( 0; 4 )
trên khoảng

.

Phương thức tổ chức: Cá nhân - ở nhà.

x = m
⇔
x = − m
2
2
y′ = 0 ⇔ −3 x + 2mx + m = 0

3.


0; 4
Để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) thì
 m
− ≤ 0
⇔ 3
m
− ≤0<4≤m
m ≥ 4
⇔ m≥ 4.
3

Trang 6


Vậy m ≥ 4 là giá trị cần tìm.

3. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm TH1: m = 1 . Ta có: y = − x + 4 là phương trình
y = ( m 2 − 1) x 3 + ( m − 1) x 2 − x + 4
số
nghịch của một đường thẳng có hệ số góc âm nên
hàm số ln nghịch biến trên ¡ . Do đó
−∞; +∞ )
(
biến trên khoảng
.
nhận m = 1 .
Phương thức tổ chức: Cá nhân - ở nhà.

2
TH2: m = −1 . Ta có: y = −2 x − x + 4 là
phương trình của một đường Parabol nên
hàm số khơng thể nghịch biến trên ¡ . Do
đó loại m = −1 .
TH3: m ≠ ±1 .
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng

( −∞; +∞ ) thì

y′ ≤ 0 ∀x ∈ ¡

⇔ 3 ( m 2 − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x − 1 ≤ 0 ∀x ∈ ¡
,

m2 − 1 < 0
a < 0 ⇔ 
2
⇔
2
( m − 1) + 3 ( m − 1) ≤ 0
 ∆′ ≤ 0
 −1 < m < 1
2

m − 1 < 0
⇔ 1
⇔
 − 2 ≤ m ≤ 1
( m − 1) ( 4m + 2 ) ≤ 0

1
⇔ − ≤ m <1
2
.
Vì m ∈ ¢ nên m = 0 .

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0
hoặc m =1 .
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT

1

Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
biến trên khoảng

( −∞; −2 )

.
Trang 7

D. Hàm số nghịch



Câu 2.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 0;1) .
Câu 3.

C. ( 1; +∞ ) .

D. ( −1; 0 ) .

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ?
A.

Câu 4.

B. ( −∞;0 ) .

y=

x +1
x+3 .

Cho hàm số

B. y = x + x .
3


f ( x)

C.

y=

x −1
x−2 .

3
D. y = − x − 3x .

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
−2;0 )
A. (
.
Câu 5.

Cho hàm số

2; + ∞ )
B. (
.

0; 2
C. ( ) .

0; + ∞ )

D. (
.

y = x 4 + x 2 − 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .
biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(−∞; +∞) .

B. Hàm số nghịch
D. Hàm số nghịch

biến trên khoảng ( −∞; 0 )
Câu 6.

2
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′( x) = x + 1, ∀x ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 ) .

B. Hàm số nghịch

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

D. Hàm số đồng biến

biến trên khoảng ( 1; +∞ ) .

trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

THÔNG HIỂU

2

Câu 7.

3
2
Cho hàm số y = x − 3x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .

B. Hàm số nghịch

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( −∞; 0 ) .

Trang 8


Câu 8.

1
y = x3 − x 2 − 3x
3
Khoảng đồng biến của hàm số

là:

A. ( −∞ ; − 1) .

( 3 ; + ∞) .

Câu 9.

C. ( 3 ; + ∞ ) .

B. (-1; 3).

( −∞ ; − 1)

D.

và

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A.

y=

2x +1
x +1 .

Câu 10. Hàm số

y=


B.

y=

x +1
2x +1 .

C.

y=

2x +1
x −1 .

D.

y=

x+2
x +1 .

2
x + 1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
2

A. ( 0; +∞ ) .

B. ( −1;1) .

C. ( −∞; +∞ ) .


D. ( −∞; 0 ) .

2
Câu 11. Cho hàm số y = 2 x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

B. Hàm số đồng biến

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;0 ) .

D. Hàm số nghịch

trên khoảng ( 0; +∞ ) .

biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

2
Câu 12. Hàm số y = x − x nghịch biến trên khoảng

( 1; +∞ ) .

1 
 ;1÷
C.  2  .

3

Câu 13. Tất cả giá trị của m để hàm số


D. ( −∞; 0 )

VẬN DỤNG

A.

 1
 0; ÷
B.  2  .

y=

x3
− ( m − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x + 2
3
đồng biến trên tập xác

định của nó là
A. 1 ≤ m ≤ 3 .

B. m ≤ 3 .

C. m ≥ 1 .

Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( 10; +∞ )

khoảng
A. 3 .


Câu 15. Cho hàm số

D. 1 < m < 3 .
y=

x+6
x + 5m nghịch biến trên

.

B. Vô số.
y = − x3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5

D. 5 .

C. 4 .

với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để hàm số nghịch biến trên ( −∞; +∞ ) .
A. 7 .

C. 6 .

B. 4 .

D. 5 .

(


)

y = x 3 − 3mx 2 + m 2 + 1 x + 2
m
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
luôn đồng
¡
biến trên .

Trang 9


A.

−

2
2
≤m≤
2
2 .

B.

−

2
2

2
2 .

C. − 2 < m < 2 .

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
( −∞ ; − 10 )

khoảng

D. − 2 ≤ m ≤ 2 .
x+2
x + 5m đồng biến trên

y=

?

A. 3 .

B. 2 .

D. 0 .

C. 1 .

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = mx − sin x đồng biến trên ¡ .

B. m > 1 .

4

Câu 1.

Cho hàm số
nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử
của S .
B. 4 .
y=

D. 3 .

C. Vô số.

mx − 2m − 3
x−m
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

Cho hàm số
nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của
S.
A. 5 .

Câu 3.

D. m > 0.

mx + 4m
x + m với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

y=

A. 5 .
Câu 2.

C. m ≥ 1 .
VẬN DỤNG CAO

A. m ≥ 0 .

B. 4 .

D. 3 .

C. Vơ số.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm số

1
y = x3 − ( m + 1) x 2 + ( m2 + 2m ) x − 3
3
nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

A. −1 ≤ m ≤ 0 .
Câu 4.

C. m ≥ −1 .

y = x 3 + mx −

biến trên khoảng ( 0; + ∞ ) .

C. 3 .

B. 4 .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
 π
 0; ÷
trên khoảng  4  .

A. ( −∞ ;0] ∪ [ 1; 2 ) .
Câu 6.

D. −1 < m < 0 .

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
A. 5 .

Câu 5.

B. m ≤ 0 .

B. ( −∞ ;0] .

C. [ 1; 2 ) .

1
5 x 5 đồng

D. 3 .
y=

tan x − 2
tan x − m đồng biến

D. ( −∞ ; 0 ) ∪ ( 1; 2 ) .

y = ( m 2 − 1) x3 + ( m − 1) x 2 − x + 4
Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
nghịch biến

trên khoảng ( −∞ ; + ∞ ) ?
A. Vô số.

B. 1.

C. 2.

V. PHỤ LỤC
Trang 10

D. 3.


PHIẾU HỌC TẬP

1

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Cho hai hàm số sau và đồ thị của chúng
2
a) y = x

b)

y=

1
x

Sử dụng máy tính cầm tay tính đạo hàm và hồn thành bảng biến thiên sau

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
2

Nhận thức

MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ

Nội
dung

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

…………………………………………………
Hết…………………………………………..
Chủ đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Thời lượng dự kiến: 3 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Biết các khái niệm cực đại, cực tiểu; biết phân biệt các khái niệm lớn
nhất, nhỏ nhất.
Trang 11


- Biết các điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
- Nắm vững định lí 1 và định lí 2
2. Kĩ năng
- Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị của hàm số.
- Vận dụng được quy tắc I và quy tắc II để tìm cực trị của hàm số
3.Về tư duy, thái độ
- Hiểu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.
- Cẩn thận, chính xác; Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy trực quan,
tương tự.
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có
tinh thần hợp tác xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng
lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao
tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên

+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

A

Mục tiêu: Làm cho hs thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu cực trị của
hàm số
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của

Dự kiến sản phẩm, đánh giá
kết quả

học sinh

hoạt động

Trang 12


GV: Em hãy nhìn cổng chào của trường
ĐHBK Hà Nội và nêu nhận xét về hình Hình dạng Parabol, có điểm
dạng, điểm cao nhất?
cao nhất là đỉnh?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

B

Mục tiêu: Học sinh nắm được đn về cực trị hàm số, phát hiện cách tìm cực
trị của hàm số bằng quy tắc 1 va quy tắc 2.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt
động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá
kết quả
hoạt động

Hoạt động 1: Hình thành kiến thức định nghĩa

y

4
3
x
O

1
2

1

3

2

3

4

2

Giao nhiệm vụ cho các nhóm
GV: Chiếu bằng máy chiếu đồ thị
1
y = − x( x − 3) 2
3
hàm số

H1: Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các
điểm tại đó hàm số có giá trị
1 3
 ; ÷
lớn nhất trên khoảng  2 2  ?

TL1: x = 1

H2: Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các TL2: x = 3
điểm tại đó hàm số có giá trị nhỏ nhất
3 
 ;4 ÷
trên khoảng  2  ?

HS phát hiện và nêu định nghĩa
GV: Gợi ý để HS phát hiện định nghĩa và nắm các yếu tố của chú ý
và chú ý

Nhận xét: nếu f '( x0 ) ≠ 0 thì x0 khơng
Trang 13


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt
động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá
kết quả
hoạt động

phải là điểm cực trị.
Hoạt động 2: Hình thành kiến thức định lí 1:
Chuyển giao: GV chiếu lại đồ thị HĐ1 -Các nhóm thảo luận và trả lời:
H: Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp Ta thấy x = 1 và x = 3 là
1 và những điểm tại đó hàm số có có nghiệm phương trình f '( x) = 0
giá trị lớn nhất?
- HS tiếp thu kiến thức định lí 1
Báo cáo, thảo luận Đánh giá,
nhận xét, chốt kiến thức : Cho HS
nhận xét và GV chính xác hố kiến
thức, từ đó dẫn dắt đến nội dung định
lí 1 SGK. Giáo viên nêu chú ý cho học
sinh đk cần để hàm số đạt cực trị tại
x0
Ví dụ:Tìm cực trị của các hàm số sau :
1) y = x 3 − 3x + 1

2) y = − x 4 + 4 x 2 + 2

x +1
3) y =
2x − 3

Thực hiện : Học sinh tự nghiên cứu,
mỗi bài khoảng 5 phút để nháp

1) D = R
y ' = 3 x 2 − 3; y ' = 0 ⇔ x = ±1

Bảng xét dấu y’
x
y’

-∞

-1
0

+

y

1
-

3
-1

Báo cáo, thảo luận : Các cá nhân

nhận xét bài của bạn

Cực trị của hàm số

Đánh giá, nhận xét, chốt kiến
thức :

y ' = −4 x3 + 8 x; y ' = 0 ⇔ x = ± 2; x = 0

GV nhấn mạnh trình tự bài xét cưc trị
của hàm số bằng xét dấu đạo hàm,
kết luận như nào cho chuẩn xác.

2) D= R
Bảng xét dấu y’
x

-∞

y’

- 2

+

y

0

2

0
- 0

+ 0

3

Cực trị của hàm số
3)

D = R \ { −1}

y' =

−5

( x + 1)

2

<0

3

2

∀x ≠ − 1

Hàm số khơng có cực trị

HS phát biểu được quy tắc tim
Trang 14

0


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt
động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá
kết quả
hoạt động
cực trị của hàm số

GV: Gợi ý để học sinh nêu quy tắc tim
cực trị của hàm số
Hoạt động 3: Hình thành kiến thức định lí 2
Giao nhiệm vụ cho các nhóm:

f’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

Cho hàm số f(x) = x4 – 2x2 + 1.

f’(x) = 0 ⇔ x = ±1 ; x = 0

a) Giải phương trình
nghiệm

xi ( i = 1,2,..)

b) Tính

f ''( x) f ''( xi )

dấu của

,

f '( x) = 0

, tìm các

f”(x) = 12x2 - 4
f”( ± 1) = 8 >0
f”(0) = -4 < 0

và nhận định về

f ''( xi )

Các nhóm thảo luận, báo cáo sản
phẩn
Đánh giá, nhận xét chốt kiến thức
và gợi ý để học sinh phát hiện
định lí 2 và quy tắc 2

Học sinh phát biểu được định lí
2 và quy tắc 2

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

C

Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt
động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá
kết quả
hoạt động

Bài 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực
trị của các hàm số
1/

y = x+

1
x;

1/

2
2/ y = x − x + 1

y = x+

1
x

TXĐ: D = R \{0}
Trang 15


y' =

x2 −1
x2

y ' = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên
−∞

x
y’

-1
+

0
0

-

1
-

0

-2
y
Hàm số đạt cực đại tại x= -1 và
yCĐ= -2
Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 và
yCT = 2
2
2/ y = x − x + 1

-Báo cáo, thảo luận : Cho các em bàn
bạc phương hướng để giải quyết,thảo
luận việc ứng dụng một cách tổng
quát
-Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức :
GV nhận xét lời giải của học sinh và
chuẩn hóa kết quả

vì x2-x+1 >0 , ∀x ∈ R nên TXĐ
của hàm số là: D=R
y' =

2x −1
2 x 2 − x + 1 có tập xác định là

R
y'= 0 ⇔ x =

1
2

x

1
2

−∞

y’

-

y

0
3
2

1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và

yCT

3
= 2

Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm
cực trị của các hàm số y = sin2x-x

TXĐ D =R

-Báo cáo, thảo luận : Cho các em bàn
bạc phương hướng để giải quyết,thảo

y' = 0 ⇔ x = ±

Trang 16

y ' = 2cos2x-1

π
+ kπ , k ∈ Z
6

+


luận việc ứng dụng một cách tổng
quát
-Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức :
GV nhận xét lời giải của học sinh và
chuẩn hóa kết quả

y’’= -4sin2x
π
+ kπ
y’’( 6
) = -2 3 <0, hàm số
π
+ kπ
đạt cực đại tại x= 6

, k ∈ Z và
3 π
− − kπ , k ∈ z
yCĐ= 2 6

π
+ kπ
y’’( 6
) =8>0,hàm số đạt
−

cực tiểu tại
π
+ kπ
k ∈ Z ,và
x= 6
−

yCT=

−

3 π
+ − kπ , k ∈ z
2 6

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi giá trị TXĐ: D =R.
của tham số m, hàm số y =x 3-mx2 –2x y’=3x2 -2mx –2
+1 ln có 1 cực đại và 1 cực tiểu
Ta có: ∆ = m2+6 > 0, ∀m ∈ R nên

phương trình y’ =0 có hai
-Báo cáo, thảo luận : Cho các em bàn nghiệm phân biệt
bạc phương hướng để giải quyết,thảo
Vậy: Hàm số đã cho ln có 1
luận việc ứng dụng một cách tổng
cực đại và 1 cực tiểu
quát
-Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức :
GV nhận xét lời giải của học sinh và
chuẩn hóa kết quả

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG

D,E

Mục tiêu: Giúp học sinh giải quyết những bài tốn khó hơn
Nội dung, phương thức tổ chức
hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết
quả hoạt động

Bài 1. Xác định giá trị của tham số m
TXĐ:
để D =R\{-m}
x 2 + mx + 1
y=
x+m
hàm số
đạt cực đại tại x =2 2

x + 2mx + m 2 − 1
y' =
( x + m) 2

-Báo cáo, thảo luận : Cho các em
Trang 17


bàn bạc phương hướng để giải
quyết,thảo luận việc ứng dụng
một cách tổng quát
-Đánh giá, nhận xét, chốt kiến
thức : GV nhận xét lời giải của học
sinh và chuẩn hóa kết quả

y '' =

2
( x + m) 3

Hàm số đạt cực đại tại x =2
 m 2 + 4m + 3
=0

2
 (2 + m)
⇔
 y '(2) = 0
 2
<0

⇔
 (2 + m)3
⇔ m = −3
 y ''(2) < 0

Vậy:m = -3 thì hàm số đã cho đạt
cực đại tại
x =2
TXĐ: D = R

Bài 2. Cho hàm số
y = 3 x 4 − 2 mx 2 + 2 m + m4 .

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ
thị hàm số
đã cho có ba điểm cực trị tạo
thành tam giác
có diện tích bằng 3 .
-Báo cáo, thảo luận : Cho các em
bàn bạc phương hướng để giải
quyết,thảo luận việc ứng dụng
một cách tổng quát
-Đánh giá, nhận xét, chốt kiến
thức : GV nhận xét lời giải của học
sinh và chuẩn hóa kết quả

3
= 4 x ( 3x 2 − m )
Ta có y′ = 12 x − 4mx
.

Đề đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
thì m > 0 , khi đó tọa độ các điểm cực
trị là

A ( 0; 2m + m 4 )

 m 4 m2

B 
;m −
+ 2m ÷
÷
3
3
,
, 

 m 4 m2

C  −
;m −
+ 2m ÷
÷
3
3

.

Tam giác ABC cân tại A nên có diện

tích

S ABC

1
m m2
1
=
.2
.
= .BC.d ( A; BC )
2
3 3
2

m m2
=
.
3 3 .

Theo đề bài ta có

m m2
.
=3⇔ m=3
3 3
.

IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

NHẬN BIẾT

1

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên:

Trang 18


Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . D. Hàm số đạt cực đại tại x = −2 .
4
2
Câu 2. Cho hàm số y = x − 2 x + 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.
trị.

B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực

C. Hàm số khơng có cực trị.
cực trị.

D. Hàm số chỉ có đúng một điểm

THƠNG HIỂU

2

7
5
Câu 3. Cho hàm số y = x − x . Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
cực trị .

B. Hàm số có đúng 3 điểm

C. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.
cực trị.

D. Hàm số có đúng 4 điểm

2
3
4
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x ) = ( x + 1)( x − 2) ( x − 3) ( x + 5) . Hỏi hàm

số
y = f ( x) có mấy điểm cực trị?

B. 3.

C.4.

D. 5.

VẬN DỤNG

A. 2.

3

3
Câu 5. Biết đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 có hai điểm cực trị A, B . Khi đó

phương trình đường
thẳng AB là:
A. y = x − 2.

B. y = 2 x − 1.

C. y = −2 x + 1.

D. y = − x + 2.

Trang 19


y = mx 4 − ( m + 1) x 2 + 2m − 1
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
có

3 điểm cực trị ?
 m < −1

A.  m > 0 .
Câu 7. Tìm

tất

B. −2 < m < 0 .
cả

để hàm số

các

giá

trị

C. −2 < m < 2 .
thực

của

D. 0 < m < 2 .
số m để

tham

hàm

số:

1 3
x + mx 2 + ( m + 6 ) x + m
3

có cực đại và cực tiểu .

A. −2 < m < 3 .

 m < −2

B.  m > 3 .
4

Câu 9. Tìm

A.

m

m 3
x + 2 x 2 + mx + 1
3
có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ < xCT .

Câu 8. Tìm

y=

D. m > −1 .

tất cả các giá trị thực của tham số

A. m < 2 .

y=

C. −1 < m < 0 .

tất

các

giá

trị

 m ≤ −2

C.  m ≥ 3 .

D. −2 ≤ m ≤ 3 .

VẬN DỤNG CAO

y=

B. m < −1 .

thực

của

tham

số

m

để

hàm

số

1 3
x + (m + 3) x 2 + 4 ( m + 3) x + m3 − m
3
đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn −1 < x1 < x2 .
−

7
< m < −2
2
.

 m < −3

C.  m > 1 .

B. −3 < m < 1 .

7
< m < −3
D. 2

.
−

1
1
y = mx3 − (m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x +
3
6
Câu 10. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2 x2 = 1.

A.

1−

2

m = 3

B.  m = 2 .

6
6
< m < 1+
2
2 .


6

6
m ∈  1 −
;1 +
÷\ { 0}
2
2 ÷


C.
.

D. m = 2 .

V. PHỤ LỤC
PHIẾU HỌC TẬP

1

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ

Trang 20

2


Nội
dung

Nhận thức

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng
cao

Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Thời lượng dự kiến : 04 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
−
−

Biết các khái niệm GTLN, GTNN của hàm số trên một tập hợp số.
Nắm được qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một
đoạn

2. Kĩ năng
−

Biết cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, một khoảng.

−

Phân biệt việc tìm GTLN, GTNN với tìm cực trị của hàm số.

− Dựa vào đồ thị chỉ ra được GTLN,GTNN của hàm số.

− Biết vận dụng GTLN và GTNN vào giải các bài tốn có chứa tham số
−

Biết vận dụng GTLN và GTNN vào giải các bài toán thực tế.

3.Về tư duy, thái độ
−

Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tư duy các vấn đề tốn học một
cách lơgic và hệ thống.

−

Tích cực, chủ động, tự giác trong chiếm lĩnh kiến thức, trả lời các câu
hỏi.

−

Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có
tinh thần hợp tác xây dựng cao.

4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển :
−

Năng lực tự học : Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập;
tự đánh giá và điều

chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục
sai sót.
– Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn

Trang 21


đề hoặc đặt ra câu hỏi.
Phân tích được các tình huống trong học tập.
– Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá
trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình,
phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự
ý thức được nhiệm vụ của mình và hồn thành được nhiệm vụ được giao.
– Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè
thơng qua hoạt động nhóm; có thái độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng
tích cực trong giao tiếp.
– Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của
bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hồn thành nhiệm vụ của chủ đề.
– Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng
ngơn ngữ Tốn học .
– Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý,
năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

A

Mục tiêu: Biết phối hợp hoạt động nhóm và sử dụng tốt kỹ năng tìm

GTLN và GTNN
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

Trang 22

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động


Câu 1. Cho hàm số y = x − 2 x + 2 có đồ thị
hình bên. Nhìn vào đồ thị tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
trên ¡ .
2

+ Dự kiến sản phẩm : Học
sinh nắm được tình huống
dựa vào BBT, đồ thị để tìm
GTLN và GTNN.
+ Đánh giá hoạt động :
Học sinh tham gia hoạt
động nhóm sơi nổi để tìm
ra lời giải
Câu 2. Một vị trí trên bờ biển cách một hịn
đảo một khoảng ngắn nhất là 1km, đồng
thời vị trí đó cách nhà máy phát điện 4km.
Người ta muốn làm đường dây điện nối từ
nhà máy tới đảo. Biết rằng chi phí làm
đường điện trên mặt đất là 3000USD mỗi

ki-lơ-mét và dưới đường bờ biển là
5000USD mỗi ki-lơ-mét. Hỏi để có thể
truyền điện tới đảo, chi phí làm dường dây
ít tốn kém nhất bằng bao nhiêu ?
A. 16.0000USD
20.0000USD
12.0000USD
18.0000USD

B.
C.
D.

Trang 23

Nhìn vào đồ thị tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
GTLN của hàm số khơng
có
GTNN của hàm số bằng 1


HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

B

Mục tiêu: - Nắm được định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
- Nắm được kí hiệu GTLN, GTNN của hàm số.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động

1. Định nghĩa
Cho hàm số

y = f ( x)

xác định trên tập D .

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của

+ Nắm được định nghĩa
giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số

∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M

∃x ∈ D, f ( x0 ) = M
y = f ( x)
D
hàm số
trên nếu  0

+ Học sinh nắm được
định nghĩa

M = max f ( x )

Kí hiệu :

D

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của
∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m

∃x ∈ D, f ( x0 ) = m
y = f ( x)
hàm số
trên D nếu  0

Kí hiệu:

M = min f ( x )
D

Ví dụ 1. Hàm số
thiên:

y=

Như vậy để có được M
(hoặc m ) là giá trị lớn nhất
(giá trị nhỏ nhất) của hàm
số f trên D ta phải chỉ ra
được :

f x ≤ M ( f ( x ) ≥ m ) ∀x ∈ D
x2 + 1

a) ( )
x
có bảng biến

b) Tồn tại ít nhất một

điểm ∃x0 ∈ D sao cho
f ( x0 ) = M

a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
−∞;0 )
khoảng (

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
0; +∞ )
khoảng (

Lời giải :
−∞;0 )
a) Trên khoảng (
hàm số khơng có

GTNN; GTLN của hàm số là
m ax y = −2
( −∞;0)

.
Trang 24

(hoặc

f ( x0 ) = m

)

+ Học sinh quan sát bảng
biến thiên và đồ thị để
hiểu và tìm được giá trị
lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)
của hàm số f
+ Kết quả 1. Học sinh
tiếp thu được định nghĩa
và áp dụng làm được ví
dụ, thảo luận nhóm và đại
diện các nhóm nêu kết


Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh
giá kết quả hoạt động
quả tìm được.

) hàm số khơng có
b) Trên khoảng (
GTLN; GTNN của hàm số là
0; +∞

+ Giáo viên nhận xét bài

giải của các nhóm, chỉnh
sửa.

m in y = 2
( 0;+∞ )

+ Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân .
- tại lớp
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) và có bảng
é
biến thiên trên ë- 5;7) như sau :

T
ìm GTLN và GTNN của hàm số y = f ( x) trên
é
nửa khoảng ë- 5;7)

Lời giải :
Nhìn vào BBT ta thấy
é
giá trị lớn nhất của hàm số trên ë- 5;7) khơng
có
é- 5;7)
ë

là

+ Kết quả 2. Học sinh
tiếp thu được định nghĩa
m in y = 2

[ −5;7 )
và áp dụng làm được ví
+ Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân dụ, thảo luận nhóm và đại
- tại lớp
diện các nhóm lên bảng
thực hiện được ví dụ 2.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

+ Giáo viên nhận xét bài
giải của các nhóm, chỉnh
sửa, u cầu các nhóm
hồn thiện bài giải, từ đó
lấy làm cơ sở để đánh giá
và cho điểm các nhóm.

Trang 25