Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

LỜI NĨI ĐẦU
Bài giảng “Giải tích 1” được biên soạn theo đề cương chi tiết của
học phần Giải tích 1 – là học phần bắt buộc đối với Sinh viên hệ Cao
đẳng và hệ Đại học chính quy, nhằm phục vụ cho nhu cầu về tài liệu
học tập của Sinh viên Trường Đại học Giao thơng Vận tải Thành phố
Hồ Chí Minh.
Nội dung bao gồm các chương: Giới hạn và tính liên tục của hàm
một biến; Phép tính vi phân hàm một biến; Phép tính tích phân hàm
một biến; Phép tính vi phân hàm nhiều biến số. Lý thuyết được trình
bày ngắn gọn, có ví dụ minh họa đầy đủ, và sau mỗi chương có hệ
thống bài tập đa dạng, phong phú được chọn lọc phù hợp để sinh viên
tự luyện tập, góp phần nâng cao khả năng tư duy về logic cho sinh viên.
Đặc biệt là hệ thống bài tập mẫu và bài tập khó dành cho Sinh viên ơn
thi Olympic Tốn.
Với sự phát triển của Cơng nghệ thơng tin nói chung và các phần
mềm hỗ trợ tính tốn, đã giúp cho việc tính tốn và lập trình ngắn gọn
giải quyết các bài tốn một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn. Bài
giảng được trình bày phối hợp giữa phương pháp giải tốn bằng thủ
cơng và sử dụng phần mềm Mathematica, giúp người học nắm bắt được
phương pháp giải toán bằng phần mềm và bước đầu làm quen với lập
trình tính toán.
Tuy đã cố gắng nhiều trong việc biên soạn nhưng chắc chắn
khơng thể tránh khỏi những sai sót. Bộ mơn Tốn ln hoan nghênh và
lắng nghe những ý kiến đóng góp quý báu của các đồng nghiệp và học
viên để bài giảng hoàn thiện hơn ở lần tái bản sau.
Xin chân thành cảm ơn !
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2019

Bộ mơn Tốn

Trang 2


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

CHƯƠNG 1
GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
1.1. Hàm số một biến số thực
1.1.1. Hàm số và đồ thị của hàm số
a) Các ví dụ dẫn nhập:
1) Diện tích của hình trịn phụ thuộc vào bán kính của hình tròn.
2) Quãng đường đi được của một chất điểm chuyển động thẳng đều
với vận tốc không đổi phụ thuộc vào thời gian chuyển động.
3) Số tiền gửi xe gắn máy tại một bãi giữ xe phụ thuộc vào thời gian
gửi xe.
Trong mỗi ví dụ, giá trị thu được của một đại lượng biến thiên,
gọi là y , phụ thuộc vào một đại lượng khác chúng ta gọi là x . Ta nói
rằng “ y là hàm số theo x ” và kí hiệu: y  f ( x) ( y theo x )
Trong đó: f là hàm số, x là biến độc lập thể hiện giá trị đầu vào
của f , và y là biến phụ thuộc hay giá trị đầu ra của hàm f tại x .
b) Định nghĩa hàm số:
Hàm số f đi từ tập hợp D vào tập hợp Y là một quy tắc cho ra
một phần tử duy nhất f ( x)  Y tương ứng với mỗi phần tử x  D . Khi
D là tập hợp con của tập hợp các số thực thì ta nói f là hàm số một
biến số thực.
Tập hợp chứa tất cả các giá trị đầu vào được gọi là tập xác định

(cũng còn gọi là miền xác định) của hàm số (Domain – ký hiệu là D ).
Tập hợp tất cả các giá trị f ( x)  Y thu được từ những giá trị x khác
nhau của tập D được gọi là tập giá trị của hàm số (Range – ký hiệu là
R ). Tập giá trị có thể khơng bao gồm tất cả mọi phần tử của tập hợp Y .
Một hàm số y  f ( x) giống như một cái máy xuất giá trị đầu ra
f ( x) ở tập giá trị của nó khi chúng ta cho giá trị đầu vào là x từ tập
xác định của nó (hình 1.1). Phím hàm số trên máy tính bỏ túi là một ví
dụ thể hiện hàm số như một cái máy. Chẳng hạn phím x trên máy
Trang 3


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

tính sẽ cho giá trị đầu ra (căn bậc hai) bất kể lúc nào ta nhập vào một số
không âm x và nhấn phím x .
Một hàm số có thể được biểu diễn như một phương trình, một đồ
thị, một bảng số hay thậm chí bằng một đoạn mơ tả.

Hình 1.1. Sơ đồ thể hiện hàm số như một loại máy

Ví dụ 1.1. Chúng ta dễ dàng kiểm tra tập xác định và tập giá trị tương
ứng của một số hàm số đơn giản sau. Tập xác định trong mỗi trường
hợp là tập hợp các giá trị x làm cho công thức có nghĩa.
Hàm số
Tập xác định
Tập giá trị
3
(, )

(, )
yx
y  1/ x

(, 0)  (0, )

(, 0)  (0, )

y  4 x

(, 4]

[0, )

y  1  x2

[1,1]

[0,1]

Ví dụ 1.2. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số sau:
y   x2  4x  3
Giải. Hàm số xác định khi:  x 2  4 x  3  0  1  x  3
Mặt khác: 0  y  1  ( x  2) 2  1, x  [1;3] .
Vậy tập xác định và tập giá trị của f tương ứng là [1;3] và [0;1] .
Ví dụ 1.3. Một thùng chứa hàng hình hộp chữ nhật khơng nắp có thể
tích 10 (m3 ) . Mặt đáy của nó có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Vật liệu
làm đáy trị giá $10/m2, vật liệu làm các mặt bên trị giá $6/ m2. Hãy biểu
diễn chi phí vật liệu làm thùng hàng trên như một hàm số phụ thuộc
chiều rộng đáy.

Giải. Gọi w và 2w là chiều rộng và chiều dài của mặt đáy, h là chiều
cao.
Trang 4


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

- Diện tích mặt đáy: 2w2 (m2)
- Tổng diện tích của các mặt bên:
2 wh  2(2 wh) (m2)
- Tổng chi phí vật liệu làm thùng:
C  10(2w2 )  6  2( wh)  2(2 wh) 
 20w2  36 wh
Hình 1.2. Thùng chứa hàng

Thể tích của thùng chứa hàng là

10m3

h.(2 w2 )  10  h 

nên:

5
w2

180
, w0

w
c) Đồ thị của hàm số: Nếu f là một hàm số xác định trên D , thì đồ
thị của có sẽ chứa tất cả các điểm trên mặt phẳng Đề các vuông góc và
tọa độ của các điểm đó là cặp hai số đầu vào – đầu ra của hàm f . Theo

Biểu diễn của hàm C theo w : C ( w)  20w2 

kí hiệu tập hợp, thì đồ thị là tập: G f   x, f ( x)    2 : x  D
Ví dụ 1.4. Vẽ đồ thị, tìm tập xác định
và tập giá trị của hàm số f ( x)  x 2 .
Giải. Đây là phương trình của parabola,
đỉnh A(0, 0) .
Tập xác định: D  
Tập giá trị: R  [0, )
Đồ thị : Hình 1.3
Hình 1.3. f ( x)  x 2

d) Tiêu chuẩn đường thẳng đứng (the vertical line test):
Không phải bất kì đường cong nào trong mặt phẳng tọa độ cũng là
đồ thị của một hàm số. Một hàm f chỉ có thể có một giá trị f ( x) ứng
với mỗi x trong tập xác định của nó, nên khơng có đường thẳng đứng
nào có thể giao với đồ thị hàm số nhiều hơn một lần. Nếu a là một
điểm thuộc tập xác định của hàm f , thì đường thẳng đứng x  a sẽ
Trang 5


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM


giao đồ thị của hàm f tại một điểm duy nhất (a, f (a )) .
Tiêu chuẩn: Đường cong trong mặt phẳng 0xy là đồ thị của hàm f
khi và chỉ khi khơng có đường thẳng đứng (song song với 0 y ) nào cắt
đường cong nhiều hơn 1 điểm.

Hình 1.4
Đồ thị của một hàm số y  f ( x)

Hình 1.5. Không tồn tại hàm số
y  f ( x) để có đồ thị này

Ví dụ 1.5. Parabola trong hình vẽ (a) dưới đây không phải là đồ thị của
một hàm theo x vì có đường thẳng đứng cắt đồ thị tại hai điểm. Nếu
xem x như là một hàm theo y thì (a) là đồ thị của hàm x  y 2  2 .
Vì x  y 2  2  y 2  x  2  y   x  2 nên (b) là đồ thị của
hàm y  x  2 , (c) là đồ thị của hàm y   x  2 .

Hình 1.6. Mô tả tiêu chuẩn đường thẳng đứng

e) Hàm xác định từng khúc:
Đôi khi một hàm số được mô tả bằng nhiều công thức khác nhau
trên những phần khác nhau của tập xác định của nó.

Trang 6


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM


Ví dụ 1.6
1) Hàm giá trị tuyệt đối (absolute
value function)
 x, x  0
y | x | 
  x, x  0
Tập xác định: D  
Tập giá trị: R  [0, )
Đồ thị : Hình 1.7
2) Hàm số
 x , x  0

y  f ( x)   x 2 , 0  x  1
 1 , x 1

Tập xác định: D  
Tập giá trị: R  [0, )
Đồ thị : Hình 1.8

Hình 1.7. Đồ thị hàm số y  | x |

Hình 1.8. Hàm y  f ( x)

f) Hàm chẵn và hàm lẻ:
Định nghĩa: Hàm y  f ( x) xác định trên tập đối xứng D (nếu x  D
thì ( x)  D, x  D ) được gọi là hàm chẵn theo x nếu f ( x)  f ( x) ;
và gọi là hàm lẻ theo x nếu f ( x)   f ( x) đúng với mọi x  D .
Tính đối xứng: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục 0 y ; Đồ thị
của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
Ví dụ 1.7. Hàm y  x 2 là hàm chẵn; hàm y  x 3 là hàm lẻ.


Hình 1.9. Đồ thị hàm số y  x 2

Hình 1.10. Đồ thị hàm số y  x3
Trang 7


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

Ví dụ 1.8. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
1) f ( x)  1  x 4

2) f ( x)  ln( x  x 2  1)

Giải. 1) Tập xác định D  
f ( x)  1  ( x) 4  1  x 4  f ( x), x  

Vậy f là hàm số chẵn.
2) Tập xác định D  



1
f ( x)  ln( x  x 2  1)  ln 

2
 x  x 1 
  ln( x  x 2  1)   f ( x), x  

Vậy f là hàm số lẻ.
Sử dụng phần mềm Mathematica:
1) Khai báo hàm số:
f [ x _ ] : “Biểu thức” hoặc f [ x _ ]  “Biểu thức”
2) Vẽ đồ thị: Plot[ f ( x),{x, a, b}]
Có thể xem thêm hướng dẫn của phần mềm (bấm F1, gõ Plot)
Thực hành: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
1) f ( x)  x 2 , x  [2, 2] .
 x ,

2) g ( x)   x 2 ,
 1 ,

x0
0  x  1, x  [2,3]
x 1

Giao diện của phần mềm Mathematica 5.0

Trang 8


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

Hình 1.11. Giao diện Mathematica, đồ thị hàm số y  x 2
In[19]:=

G1  Plot x, x,  2, 0, PlotStyle  Thickness0.01, Hue0.1

G2  Plotx2, x, 0, 1, PlotStyle  Thickness0.01, Hue0.3
G3  Plot1, x, 1, 3, PlotStyle  Thickness0.01, Hue0.5
ShowG1, G2, G3, AxesLabel  x, y
y
2

1.5

1

0.5

x
-2

-1

1

2

3

Hình 1.12. Đồ thị hàm từng khúc g ( x)

1.1.2. Các phép toán đối với hàm số
Xét hai hàm số f ( x) và g ( x) có miền xác định tương ứng là
D( f ) và D( g ) . Ta có các phép toán cộng (sums), trừ (differences),
Trang 9



Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

nhân (products) và chia (quotients) trên các hàm f và g như sau:
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)

với x  D( f )  D( g )

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)

với x  D( f )  D( g )

( fg )( x)  f ( x) g ( x)

với x  D( f )  D( g )

 f 
f ( x)
  ( x) 
g ( x)
g

với x  D( f )  D( g ) và 0

Hình 1.65
x  0 là điểm giá đoạn vơ hạn

Ví dụ 1.43. Xét hàm f ( x) 


Hình 1.64. Hàm f ( x) 

Hình 1.66
là
điểm
giá đoạn vơ hạn
x3

sin x
(hình 1.67)
| x|

sin x
liên tục
x
sin x
Với x  0, f ( x)  
liên tục
x
lim f ( x)  1  lim f ( x)  1

y
1

Với x  0, f ( x) 

x 0

x 0


0.5
x
-10

-5

5
-0.5
-1

Hình 1.67
Trang 52

sin x
x

10


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

Vậy f gián đoạn tại x  0 , và x  0 là điểm gián đoạn có bước
nhảy với bước h  2 .
1.3.4. Mở rộng liên tục tại điểm gián đoạn bỏ được
Định nghĩa: Xét hàm f ( x) có điểm gián đoạn bỏ được là x  a , nghĩa
 f ( x) , x  a
là lim f ( x)  lim f ( x)  k . Khi đó hàm g ( x)  

liên tục
x a
xa
 k , xa
tại x  a . Ta nói hàm g là mở rộng liên tục của hàm f tại x  a .
Ví dụ 1.44
a) Hàm f ( x) 

sin x
(hình 1.64) có điểm gián đoạn bỏ được tại x  0
x

và lim f ( x)  1 .
x 0

 sin x
, x0

Khi đó, hàm g ( x)   x
liên tục tại x  0 .
 1 , x  0
 x2  x  2
, x2

b) Hàm f ( x)   x  2
(hình 1.68)

1
,x  2



x2  x  2
 lim( x  1)  3  f (2)  1
x2
x2
x 2
x2
Hàm f gián đoạn tại x  2 và x  2 là điểm gián đoạn bỏ được.
lim f ( x)  lim

 x2  x  2
, x2

Khi đó, hàm g ( x)   x  2

3
,x  2

liên tục tại x  2 .

Hình 1.68

Trang 53


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1.1. Tìm cơng thức biểu diễn của hàm số
a) Một quả khinh khí cầu bay thẳng đứng lên trên từ một mặt sân được
theo dõi bởi một loại máy đo khoảng cách được đặt cách điểm xuất
phát 500 ft. Biểu thị chiều cao của khinh khí cầu như hàm theo góc
tạo thành từ đường thẳng nối máy đo với khinh khí cầu và mặt đất.
b) Người ta xây một khu chăn ni gia súc có hình tam giác vng cân
có độ dài cạnh góc vng là x ft và độ dài cạnh huyền h ft. Phí
xây hàng rào quanh khu chăn ni là 5 $/ft đối với cạnh góc vng
và 10 $/ft đối với cạnh huyền. Hãy tính tổng chi phí xây dựng C
như một hàm theo h .
1.2. Một máy phát điện được đặt cạnh một dịng sơng có độ rộng
800 ft (hình 1.69). Để bố trí một dây cáp từ máy phát đến nơi tiêu
thụ ở trong thành phố cách 2mi (1 mi = 5280 ft) theo chiều xi
dịng ở phía bên kia bờ tiêu tốn 180 $ mỗi ft vượt sông và 100 $
mỗi ft theo chiều dài đất.
a) Giả sử rằng dây cáp đi từ máy phát đến điểm Q trên bờ đối diện và
x ft là khoảng cách từ điểm P đến điểm Q , với P là điểm đối
diện với máy phát ở bờ bên kia. Viết hàm chi phí C ( x) để lắp đặt
dây cáp theo biến khoảng cách x .
b) Lập bảng giá trị để xác định vị trí điểm Q ngắn hơn 2000 ft hay xa
hơn 2000 ft từ điểm P thì chi phí sẽ ít nhất.

Hình 1.69

Mơ hình đặt
máy phát điện
1.3. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau
a) y  32 x  1
b) y  2  1  x
c) y  tan(2 x   )

d) y  ln( x  3)  1
Trang 54


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

1.4. Vẽ đồ thị , tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau
 x  2,  2  x  1
1  x, 0  x  1

a) f ( x)  
b) f ( x)   x,  1  x  1
 2  x, 1  x  2
 x  2, 1  x  2

2
1/ x, x  0
 4  x , x  1
c) f ( x)   2
d) f ( x)  
 x  2 x, x  1
 x, 0  x
  x ,  4  x  0
 e x 1 , x  1
e) f ( x)  
f) f ( x)  
2
2 x  x , 1  x

 x , 0  x  4
1.5. Tìm tập xác định và tập giá trị của f , g , f  g , và f .g , biết:

a) f ( x)  x, g ( x)  x  1

b) f ( x)  x  1, g ( x)  x  1

1.6. Viết công thức cho f  g ( x), g  f ( x), f  f ( x) và g  g ( x) . Tương
ứng với mỗi hàm hợp tìm được, hãy tìm tập xác định, tập giá trị
của nó, biết:
a) f ( x)  x  1, g ( x)  1/ x

b) f ( x)  1  3 x, g ( x)  cos x

c) f ( x)  2  x 2 , g ( x)  x  2 d) f ( x)  x , g ( x)  1  x
1.7. Cho hàm số f ( x)  2 x 3  4 .
Tìm hàm số y  g ( x) thỏa mãn: ( f  g )( x)  x  2 .
1.8. Đặt f ( x)  ax  b và g ( x)  cx  d . Tìm điều kiện đối với các
hằng số a, b, c, d để ( f  g )( x)  ( g  f )( x), x   .
1.9. Tìm hàm ngược của các hàm số sau:
3
4x 1
a) f ( x) 
b) f ( x)  e x
c) f ( x)  ln( x  3)
2x  3
1.10. Ném một quả bóng lên khơng trung với vận tốc 40 ft/s, độ cao của
bóng (tính bằng feet) sau t giây cho bởi hàm số y  40t  16t 2 .
Tính vận tốc trung bình của bóng trong khoảng thời gian bắt đầu từ lúc
t  2 và kéo dài trong:


a) 0,5 giây
b) 0,1 giây
c) 0,05 giây
d) 0,01 giây
Từ các kết quả trên, hãy ước lượng vận tốc tức thời của quả bóng
tại thời điểm t  2 . Tính lại giá trị này bằng giới hạn.
Trang 55


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

1.11. Tính các giới hạn sau bằng phương pháp đại số
1
1
2

3
x
 16
a) lim x  1 x  1
b) lim
x 0
x 64
x
x 8
(3  h) 1  31
h 0

h

c) lim

e) lim
x 0

2 1  x2  2  x2
x4

x3  x 2  5 x  3
x 1
( x  1) 2

d) lim
f) lim
x 0

1  x  1  x2
1  x2  1  x

1.12. Cho đồ thị của hàm f ( x) trong
hình 1.70. Tìm các giới hạn sau
đây, hoặc giải thích tại sao
chúng khơng tồn tại.
a) lim f ( x)
x 2

b) lim f ( x)
x 1


Hình 1.70

c) lim f ( x)
x 0

1.13. Tìm giới hạn một phía sau:
a) lim
x 1

2 x ( x  1)
x 1

b) lim
x 1

2 x ( x  1)
x 1

x
x
d) lim
x 0
x 0
1  cos x
1  cos x
1.14. Áp dụng định lý kẹp, tính các giới hạn sau:
c) lim

1 x 2 1  cos x 1

1  cos x


 , x  [2, 2] \{0} . Tìm lim
;
2
x 0
x2
2 24
x
2
1 x2
áp dụng Mathematica vẽ đồ thị các hàm số g ( x)   ,
2 24
1  cos x
1
f ( x) 
, h( x)  trên cùng hệ trục tọa độ.
x2
2

a) Biết

Trang 56


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM


1
b) Dùng định lý kẹp chứng minh lim x sin    0 . Minh họa
x 0
 x
1
bằng đồ thị của các hàm f ( x)   x , g ( x)  x sin   , và
x
h( x)  x trên cùng hệ trục tọa độ.

 x 2 sin(1 x), x  0
1.15. Cho hàm số f ( x)  
x , x0

Tính các giới hạn một phía: lim f ( x) và lim f ( x) . Kết luận gì
x 0

x 0

về giới hạn lim f ( x) ?
x 0

sin x
 1 , hãy tính các giới hạn sau:
x 0
x
tan x  sin x
sin( x  3)
a) lim
b) lim
3

x 0
x

9
x
x 9
tan 
sin( x  1)
c) lim 2
d) lim 2
 0  cot 3
x 1 x  x  2
tan(2 x)
x 
e) lim(1  x) tan 
f) lim

x  0 tan( x )
x 1
 2 

1.16. Áp dụng cơng thức lim

 1

1
1.17. Tính giới hạn: lim  1/ 3 
khi
4/3 
( x  1) 

x
1) x  0
2) x  0
3) x  1
1.18. Tính các giới hạn tại vô cùng
x  sin x  x
x  1  4 x  3cos x

a) lim

3

c) lim

x  3

x2  1
x 1

b) lim

x 

5
3

5

x x
x5 x


4) x  1

d) lim

x 

1
3

2x  x  7
8

x 5  3x  x

Trang 57


Giải tích 1 – Chương 1

e) lim

x 

4  3x3
6

x  259

Trường ĐH GTVT TP.HCM


f) lim (2 x  4 x 2  3 x  2)
x 

g) lim( 9 x 2  x  3 x)

h) lim ( x 2  3x  x 2  2 x )

i) lim x( x 2  1  x)

j) lim ( 4 x 4  3 x 2  1  2 x 2 )

x 

x 

x 

x 

1.19. (Máy khoan hình trụ) Dự định sẽ khoan một hố hình trụ trịn có
đường bề mặt là x0  3,385 in , diện tích bề mặt xấp xỉ là 9 (in 2 ) .
Gọi x là đường kính thực tế khi khoan, khi đó diện tích bề mặt là
2

x
A     (in 2 ) . Hãy tìm khoảng sai số cho phép: | x  x0 |  
2
để cho sai số của diện tích bề mặt | A  9 |  0, 01 (in 2 ) .
1.20. (Định luật Ohm)

Cho dịng điện một chiều được chỉ
ra theo hình 1.71 với phương trình
V  RI . Trong phương trình này V là
hằng số Vơn, I là dịng điện tại thời
điểm hiện tại với đơn vị ampe, và R là
Hình 1.71
điện trở với đơn vị Ohm.
Khi V là 120 volt, hãy cho biết điện trở R nằm trong khoảng
nào để giá trị của I dao động không quá 0,1 ampe so với giá trị
I0  5 ?

1.21. Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận
xiên (nếu có) của mỗi đường cong có phương trình sau:
a) y 

x2  x  6
x2  2x  8

b) y 

x2  4
x

3

2x 2  2x  3
c) y 
x 1

d) y  x 2  2 x


e) y  3 x 3  6 x 2

f) y 

Trang 58

x2  4
x


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

1
ln( x  1)
h) y 
 3x
x
x2
1
x2  x  1

i) y  x ln  e  
j) y 
 x2  x  1
x
x


2


1.22. Áp dụng vô cùng bé tương đương, tính các giới hạn sau:
2x  
1  cos x cos 2 x
a) lim
b) lim
 cot x  sin 2 x
x

0
x2
x

g) y  x  x sin

2

cos 2 x  3 cos 3 x
sin 2 x

c) lim
x 0

2 x3  x 2  2 x  1
1
ln(2 x)
x


d) lim
2

2

esin( x )  cos(3 x)
x 0
x.tan(2 x)

3

e) lim

f) lim
x 0

 x3  3x 
h) lim x 2 ln  3

x 
 x 1 

3

g) lim
x 0

27  4 x  3
4
81  5 x  3


3

x 2  4.( x  2) 2
j) lim
x  2 ln(cos( x  2))

x 2 sin(1/ x)
i) lim
x 0
tan x
k) lim
x 1

1  x3  4 1  x 4
x3  x 4

x 2  1  2 ln x

l) lim

2

ex  e

x 0

x2
1  x sin x  cos x
10


e 2 x  e 2 x  2
m) lim
x 0
2sin 2 x

n) lim
x 0

1.23. Áp dụng công thức lim 1  u ( x) 
x  x0

1
u ( x)

1  9 x9  1
4

tan(3 x)  ln(cos 2 x) 

 e với lim u ( x)  0 , hãy
x  x0

tính các giới hạn sau:
 x2
a) lim 

x  x  1




3 1 x 2

1

b) lim  cos x  sin( x2 )
x 0

cot 4 x

c) lim  3sin x  cos 3 x 
x 0

2cot(5 x )

d) lim (sin 2 x)   4 x
x  / 4

Trang 59


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM
1

 1  tan x  sin3 x
e) lim 

x  0 1  sin x



1.24. Cho hàm số
 x 2  1, 1  x  0

0  x 1
 2 x,

f ( x)  1,
x 1
2 x  4, 1  x  2

2 x3
0,
có đồ thị như hình 1.72
Trả lời các câu hỏi sau:
1) f (1) có tồn tại không?

1

 x  1  ln(cos x )
f) lim 

x 0 x  cos x



Hình 1.72

2) lim f ( x) có tồn tại khơng?

x 1

3) Có phải lim f ( x)  f (1) ? 4) f có liên tục tại x  1 ?
x 1

5) f (1) có tồn tại khơng?

6) lim f ( x) có tồn tại khơng?

7) Có phải lim f ( x)  f (1) ?

8) f có liên tục tại x  1 ?

x 1

x 1

9) Có phải f xác định tại x  2 khơng ?
10) Hàm f có liên tục tại x  2 không ?
11) Hàm f liên tục tại giá trị nào của x ?
12) Giá trị nào cần gán cho f (2) để hàm được mở rộng liên tục
tại x  2 ?
13) f (1) nên thay đổi thành giá trị mới nào để mất đi tính gián
đoạn ?
1.25. Vẽ đồ thị hàm số f , sau đó tính các giới hạn, giới hạn một phía,
xét tính liên tục, và liên tục một phía của f tại x  1;0;1 .

Trang 60



Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

x  1
1,
 x, 1  x  0

b) f  x   1,
x0
 x 0  x  1
1,
x 1

1.26. Một bãi đậu xe tính phí 3$ cho giờ đầu tiên (hoặc ít hơn một giờ)
và 2$ cho mỗi giờ tiếp theo (hoặc ít hơn một giờ tiếp theo), cho
đến tối đa là 10$ trong ngày.
a) Vẽ đồ thị biểu diễn chi phí đậu xe trong bãi như một hàm phụ
thuộc thời gian đậu.
b) Nhận xét sự gián đoạn của hàm số trên và tầm quan trọng của
nó đối với người đậu xe trong bãi này.
1.27. Tìm điểm gián đoạn của hàm f . Tại các điểm đó, f liên tục bên
trái, bên phải hay không liên tục? Vẽ đồ thị của f .

x  1
0,
1/ x, 0  x  1

a) f  x   
x 1

0,
1,
x 1

 x 1 , x  1
 1  x2 , x  0


a) f ( x)   2  x , 0  x  2
b) f ( x)   1/ x , 1  x  3

( x  2) 2 , x  2

 x 3 ,x  3
1.28. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn của mỗi hàm số sau:
cos x
x2
a) y 
b) y 
x
cos x
 x3  8
 x2  x  6
 x 2  4 , x  2
, x3


c) y   x  3
d) y  
, x2

 5
 3
,x 3

 4
, x  2
 1/ x 2
, x  1

e) f ( x)   2  x ,  1  x  2 trên 
1/( x  2) , x  2


1.29. Tìm giá trị các tham số a, b để mỗi hàm số sau liên tục trên  :

Trang 61


Giải tích 1 – Chương 1

Trường ĐH GTVT TP.HCM

 a 2 x  2a, x  2
a) f  x   
x2
12,

 xa
, x0


b) g  x    a  1
 x 2  a, x  0

x  1
2,

c) f  x   ax  b, 1  x  1
3,
x 1


ax  b,
x0
 2
d) g  x    x  3a  b, 0  x  2
3x  5,
x2


1.30. Mở rộng tính liên tục (hoặc mở rộng tính liên tục trái, hoặc liên
tục phải) của các hàm sau đây tại x  a . Vẽ đồ thị các hàm số này
bằng Mathematica.
x 2  3 x  10
, a2
x2
10 x  1
c) f  x  
,a  0
x
a) f  x  


1

e) f  x   1  2 x  x , a  0

5 x 2
,a 1
x 1
sin x
,a  0
d) f  x  
| x|

b) f  x  

1/ x

f) h( x)  1 | x |

, a0

x 1
5cos x

, a 1
h) g ( x) 
,a
4
4 x  2
2

x x
1.31. Áp dụng định lý giá trị trung gian, hãy giải các bài toán sau
a) Chứng minh rằng phương trình x  2 cos x  0 có ít nhất một
nghiệm. Vẽ đồ thị minh họa.
b) Chứng minh rằng phương trình x3  15 x  1  0 có ba nghiệm
nằm trong khoảng (4, 4) . Vẽ đồ thị minh họa.
g) f ( x) 

c) Chứng minh rằng phương trình
trong khoảng (0,1) .

3

x  1  x có một nghiệm nằm

d) Chứng minh rằng phương trình ln x  e  x có một nghiệm nằm
trong khoảng (1, 2) .
e) Giả sử hàm f liên tục trên khoảng đóng [0,1] và 0  f ( x)  1,
x  [0,1] . Chứng minh rằng tồn tại một số c thuộc [0,1] thỏa
mãn f ( x)  c (c được gọi là điểm bất động của f ).
Trang 62