Tổng hợp công thức toán trung học phổ thông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.87 MB, 33 trang )
TỔNG HỢP CƠNG THỨC
TỐN THPT
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
BRVT
089908.3939
Face:viethieu220284
Zalo:089908.3939
LỜI TỰA
Tác giả xin cám ơn quý thầy cô, các em học sinh đọc và nghiên
cứu tài liệu. Tác giả viết tài liệu với mong muốn góp một phần nhỏ
giúp các em học sinh trong việc học mơn Tốn ở THPT. Thông qua tài
liệu tác giả cũng mong nhận được sự chia sẽ từ quý thầy cô giảng dạy.
Viết tài liệu trong thời gian ngắn, kinh nghiệm chưa nhiều nên khơng
thể tránh được thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp
của quý độc giả.
Xuyên Mộc, 9/2021
I. HÀM SỐ
Face: viethieu220284
1.Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho K là khoảng, nữa khoảng hoặc đoạn và
hàm số y f x xác định trên K.
+Định lí 1: Cho hàm số y f x có đạo
hàm trên K.
-Nếu f ' x 0, x K thì hàm số đồng
biến trên K.
-Nếu f ' x 0, x K thì hàm số nghịch
biến trên K.
+Định lí 2: Cho hàm số y f x có đạo
hàm trên K.
-Nếu f ' x 0, x K và f ' x 0 chỉ
xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng
biến trên K.
-Nếu f ' x 0, x K và f ' x 0 chỉ
xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch
biến trên K.
ax b
đb trên khoảng ;
cx d
f ' x 0, x ; ad bc 0
d
d
d
;
c or c
c
ax b
+Hs f x
nb trên khoảng ;
cx d
f ' x 0, x ; ad bc 0
d
d
;
c
c
ax b
+Hs f x
đồng biến trên ;
cx d
f ' x 0, x ; ad bc 0
d
d
d
;
c or c
c
+Hs f x
5.Cực trị của hàm số
+Cho hs y f x đạt cực đại tại x
x0
x x 0 là điểm cực đại của hàm số y f x
y0 f x0 là giá trị cực đại (cực đại) của hs.
M 0 x0 ; y0 là điểm cực đại của đths y f x .
+Cho hs y f x đạt cực tiểu tại x
x2
x x 2 là điểm cực tiểu của hàm số y f x
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
2.Tìm điều kiện a, b, c để hàm số
y f x ax bx cx d
đồng biến, nghịch biến trên
f ' x 3ax2 2bx c
3
2
+Hs y f x đồng biến trên
f ' x 0, x
a
b
c
0
a
0
0
+Hs y f x nghịch biến trên
f ' x 0, x
a
b
c
0
a
0
y
3ac
0
3.Tìm điều kiện để hàm số
ax b
f x
c 0; ad bc 0
cx d
đồng biến, nghịch biến.
ad bc
f ' x
2
cx d
ax b
đồng biến trên
cx d
từng khoảng xác định
d
f ' x 0, x ad bc 0
c
ax b
+Hs f x
nghịch biến trên
cx d
từng khoảng xác định
d
f ' x 0, x ad bc 0
c
+Hs f x
0
y
b2
0
y
0
0
4.Cho hs y f x liên tục trên a; b .
b/ Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của
1
5x 5
m f x , x a; b m max f x
tham số m để hs y
m f x , x a; b m min f x
đồng biến trên khoảng 0; ?
BT1a/Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m để hàm số
x2
đồng biến trên khoảng
y
x 5m
y'
a ;b
a ;b
(; 10) ? y '
5m 2
x 5m
2
, x 5m
Hs đồng biến trên (; 10)
y ' 0, x (; 10)
5m (; 10)
5m 2 0
2
m2
5
5m 10
3x 2
m
x3
mx
1
x6
Hs đb trên khoảng 0;
y'
0, x
0;
m
3x 2
1
, x
x6
0;
1
m max 3 x 2 6
0;
x
m
4.
KL: 4 số nguyên âm m thỏa.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+Định lí 1: Nếu hàm số y f x có
đạo hàm trên khoảng a; b và đạt
cực trị tại x0 a; b thì f ' x0 0 .
+Định lí 2: Giả sử hs y f x liên
tục trên khoảng K x0 h; x0 h
và có đạo hàm trên K hoặc trên
K \ x0 , với h 0 .
y2 f x2 là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hs.
M 2 x2 ; y2 là điểm cực tiểu của đths y f x .
Face: viethieu220284
Trang 1
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
+Định lí 3: Cho hàm số y f x có đạo
hàm cấp 2 trên khoảng a; b và
x0 a; b .
𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0
Nếu {
thì hàm số y f x
𝑓′′(𝑥0 ) > 0
đạt cực tiểu tại x 0 .
𝑓 ′ (𝑥 ) = 0
Nếu { ′ 0
thì hàm số y f x
𝑓 ′(𝑥0 ) < 0
đạt cực đại tại x 0 .
6. Cực trị hàm số bậc 3 A 0
y f x Ax3 Bx2 Cx D
3 AC
y'
0
0
+ Đths có 2 đ.cực trị nằm về 2 phía Oy
y ' 0 có hai nghiệm trái dấu
a.c
0
b
b
B
;
; , C
2a 4a
2a 4a
với b2 4ac .
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
f x M , x D
.
x0 D : f x0 M
Kí hiệu: M max f x .
D
̂ = 𝛼, có cos
Đặt 𝐵𝐴𝐶
-Tam giác ABC vng cân
̂ = 1200
-Tam giác ABC có 𝐵𝐴𝐶
3b3 8a 0
-Tam giác ABC có bán kính đường
trịn ngoại tiếp:
a 0
cực tiểu
b 0
AB. AC.BC b 8a
4S
8ab
-Tam giác ABC có bán kính đường
trịn nội tiếp:
r
2S
AB BC AC
+Hàm số có 1 điểm cực tiểu và hai
+Khi hs có 3 điểm cực trị ( ab 0 ) thì
đths có 3 điểm cực trị A 0; c ,
3
b2
b3
4 a 1 1
8a
+Tam giác ABC cân tại A,
AB AC
b 4 8ba
b
; BC 2
2
16a
2a
Trang 2
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
b5
Diện tích ABC bằng S
32a3
R
-Số m đgl giá trị nhỏ nhất của hs
y f x trên D nếu
b3 8a
b3 8a
b3 24a 0
+Hs có 3 điểm cực trị a.b 0
( a, b trái dấu)
+Hs có 1điểm cực trị a.b 0
+Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm
0
+Đths bậc 3 có hai điểm cực trị nằm về
2 phía trục Ox
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
8.Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hs
+Cho hàm số y f x xác định trên
tập hợp D.
- Số M đgl giá trị lớn nhất của hs
y f x trên D nếu
0
A
-Tam giác ABC đều
Face: viethieu220284
B
0
2
+Hs ko có cực trị
b3 8a 0
a 0
điểm cực đại
.
b 0
A
0
y'
ax 2 bx c
+ Pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
B1. Tìm đk hs có 2 điểm cực trị.
B2. C1: Lấy y chia cho y’ ta được
thương là q x và dư là r x mx n
Ptđt đi qua 2 điểm cực trị: y mx n
C2: Ptđt đi qua 2 điểm cực trị của
đths:
f ' x . f '' x
y f x
18 A
7.Cực trị hàm trùng phương
𝑦 = 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)
x 0
y' 0 2 b
x
2a
+Đths trùng phương
0
a
f ' x 3 Ax 2 2 Bx C
A
y ' 4ax3 2bx 2 x 2ax 2 b
+Hs có 2 điểm cực trị
y ' 0 có hai nghiệm phân biệt
f x m, x D
.
x0 D : f x0 m
Kí hiệu: m min f x .
D
+Định lí: Mọi hàm số liên tục trên
đoạn a; b đều có GTLN, GTNN trên
đoạn đó.
+PP tìm GTLN, GTNN của hàm số
y f x liên tục trên đoạn a; b
B1: Tính f ' x . Tìm x1 ; x 2 ;...; x n
thuộc khoảng a; b thỏa f ' x 0 hay
f ' x khơng xác định.
B2: Tính f a , f b , f x1 ,..., f xn
B3: Tìm số lớn nhất M, số nhỏ nhất m
trong các số ở B2.
Kết luận: M max f x ,
a ;b
m min f x .
a ;b
+Ta có thể sử dụng BBT để tìm
GTLN,GTNN của hàm số trên khoảng.
Zalo: 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
BT2:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f x x3 24x trên đoạn 2;19 .
a
.
2
Thể tích khối hộp:
2
V a 2 x .x 4 x 3 4ax 2 a 2 x
Đk: 0 x
f ' x 3x2 24
x 2 2
f ' x 0
x 2 2 2;19
Ta có: f 2 40 ; f 19 6403
a
a
Có V 12 x x ,
2
6
a
do đó V 0 x
6
f 2 2 32 2
Lập bảng biến thiên của hs V=V(x).
KL: min f x 32 2 .
2a 3
a
2;19
max V x
tại x .
a
27
6
BT3: Cho một tấm nhơm hình vng 0; 2
cạnh a . Người ta cắt ở bốn góc bốn
9.Đường tiệm cận đứng, tiệm cận
hình vng bằng nhau, rồi gập tấm
nhơm lại như hình dưới đây để được ngang của đths y f x
một cái hộp không nắp. Tính cạnh của + y y0 là TCN của đths y f x nếu
hình vng bị cắt sao cho thể tích của
thỏa ít nhất 1 trong hai đk:
khối hộp lớn nhất.
lim y
x
y0
lim y
;
y0
x
+Đường thẳng x
+Đths nhất biến
ax b
f x
c 0; ad bc 0 có
cx d
a
một đường tiệm cận ngang y
c
d
và một đường tiệm đứng x
.
c
10.Đồ thị hàm số
+Đths bậc 3 y ax3 bx2 cx d a 0
x0 đgl tiệm cận
đứng của đths y f x nếu thỏa ít
nhất 1 trong 4 đk:
;
lim y
lim y
x
lim y
Gọi x là cạnh hình vng bị cắt.
x
0
ad
bc
lim y
x
x0
M x0 ; y0 là: y f ' x0 x x0 y0
0
ax 1
a , b, c
bx c
có bảng biến thiên như sau:
BT4. Cho hs f x
11.PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trong 3số a, b, c có bao nhiêu số dương?
2b
-TCĐ: x 2 c
-TCN: y 1 a b
-Hs đồng biến trên từng khoảng xác
1
định: ac b 0
b 0
2
KL:Trong 3 số a, b, c có 1 số dương.
Face: viethieu220284
;
x 0 là hoành độ tiếp điểm.
y0 là tung độ tiếp điểm.
f ' x0 là hệ số góc của tiếp
tuyến tại M x0 ; y0 .
Cho đường thẳng d: y ax
Tiếp tuyến có hệ số góc k
f ' x0 k
b
Tiếp tuyến song song với đt d
f ' x0 a (viết pttt kiểm tra song
song hay trùng d, nếu trùng loại)
Tiếp tuyến vng góc với đt d
1
f ' x0
a
12.Tương giao của hai đồ thị hàm số
Trang 3
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
bc
x0
x0
PTTT của đths y f x tại điểm
+Đths trùng phương (7. Cực trị hstp)
ax b
+Đths f x
c 0; ad bc 0
cx d
ad
x
x0
12a/Dựa vào đths y f ( x ) , biện luận
theo m số nghiệm pt f ( x ) m .
+Số no pt f ( x ) m là số giao điểm
của đths y f ( x ) và đth y m .
+Lập BBT, vẽ đths y f ( x ) .
+Dựa vào đths y f ( x ) biện luận.
BT5. Tìm m để pt 2 x 3 6 x m 0
có 1 nghiệm.
+Số no pt đã cho là số giao điểm đths
y
2 x 3 6 x và đt y m .
2x 3
+Xét hs y
6x
2
y'
6x
6
y' 0 x
1
Lập BBT.
+ pt 2 x 3 6 x
m
4
m
0 có 1 nghiệm
m 4
12b/ Tìm tọa độ giao điểm của 2đths
y f x; y g x
B1: Lập pt hoành độ giao điểm của
2đths: f x g x (*)
B2: PT(*) vô nghiệm, 2đths ko cắt nhau
PT(*) có n nghiệm pb x1 ; x 2 ;...; x n
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
KL: 2đths cắt nhau tại n điểm pb
𝐴1 (𝑥1 ; 𝑓(𝑥1 )), … , 𝐴𝑛 (𝑥𝑛 ; 𝑓(𝑥𝑛 ))
BT6. Tìm m để đths
f x 2x3 mx2 mx 2 cắt trục Ox tại
ba điểm phân biệt.
Giải: pt hoành độ giao điểm:
2x 3
mx 2
2
mx
0
𝑥=1
↔ [ 2 (2
2𝑥 + − 𝑚)𝑥 + 2 = 0(∗)
Ycbt
pt (*) có 2 nghiệm pb khác 1
m
2
.
m 6
12c/Tương giao giữa đường thẳng d:
ax b
y kx m và đths y
cx d
+Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn
a;b .
Pt f x m có nghiệm trên a; b
min f x m max f x .
a ;b
a ;b
m f x , x a; b m max f x
a ;b
Pt hoành độ giao điểm của d và
(C):
ax b
kx m Ax 2 Bx C 0 (5)
cx d
d cắt (C) tại hai điểm pb
pt (5)
d
có hai nghiệm pb khác
.
c
Khi d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
𝑀(𝑥1 ; 𝑘𝑥1 + 𝑚), 𝑁(𝑥2 ; 𝑘𝑥2 + 𝑚)
với x1 ; x2 là hai nghiệm phân biệt của
pt (5).
1 k 2 . x2
MN
x1
1 k2 .
khoảng a; b và u, v a; b
f u f v u v
f u f v u v
f u f v u v
+Cho hàm số y f x nghịch biến
trên khoảng a; b và u, v a; b
f u f v u v
f u f v u v
A
f u f v u v
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
m f x , x a; b m min f x
a;b
(Nếu tồn tại min f x )
a ;b
m f x , x a; b m inf f x
a ;b
(Nếu không tồn tại min f x )
a ;b
m f x , x a; b m min f x
BT7. Xét các số thực dương x , y thỏa
+Cho hs y f x liên tục trên khoảng
(𝑎; 𝑏).
m f x , x a; b m max f x
mãn log3
(nếu tồn tại max f x )
A. Pmin
a ;b
13.Đặc biệt
+Cho hàm số y f x đồng biến trên
1 xy
3xy x 2 y 4 . Tìm
x 2y
giá trị nhỏ nhất Pmin của P x y .
log 3
1 xy
3 xy x 2 y 4
x 2y
log3 3 3xy 3 3xy log 3 x 2 y x 2 y
*
Xét hàm số f t log 3 t t , t 0 .
1
1 0, t 0 , nên
t ln 3
hs y f t đồng biến trên 0; .
Có f ' t
* f 3 3xy f x 2 y
(Câu 47 đề 101, THPTQuốc Gia 2017)
3 3 xy x 2 y
y
(nếu không tồn tại max f x )
9 11 19
9 11 19
B. Pmin
9
9
18 11 29
2 11 3
C. Pmin
D. Pmin
9
3
BT8.Có bao nhiêu giá trị m nguyên để pt
Đặt u sin x, 1 u 1 , có pt
m 3 m 3sin x sin x có nghiệm
thực? (Câu 35, Đề MH2018)
Giải:
m u 3 3u
ycbt min u 3 3u m max u 3 3u
a;b
a ;b
m f x , x a; b m sup f x
a ;b
a ;b
3
3
3
m 3 3 m 3sin x sin x
m 3sin x 3 3 m 3sin x sin3 x 3sin x
f 3 m 3sin x f sin x
(với f t t 3 3t , t ,
f ' t 3t 2 3 0, t nên hs
f t t 3 3t đồng biến trên )
3 m 3sin x sin x
m sin 3 x 3sin x
Face: viethieu220284
Giải: Đk: x 0, y 0, xy 1
1;1
3 x
3x 2
Suy ra: P x 3 x
3x 2
Pmin
2 11 3
. ĐA: D.
3
1;1
2 m 2
KL: 5 số nguyên m.
BT9. Cho hs f x , hs y f ' x
liên tục trên và có đồ thị như hình
vẽ bên. Tìm tất cả m để bpt
f x x m nghiệm đúng với mọi
x 0; 2 .
Giải: Xét hs g x f x x, x 0;2
g ' x f ' x 1 0, x 0;2
Hs y g x nghịch biến trên 0; 2 .
Trang 4
Bpt f x x m no đúng x 0; 2
m g ( x), x 0; 2
m f 2 2
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
II.HÀM SỐ MŨ, HS LŨY THỪA, HS LOGARIT
Face: viethieu220284
a n le
an
a n chan
6.Tính chất lũy thừa với mũ số thực
Cho a, b 0; , .
1.Lũy thừa mũ số nguyên
Cho số thực a và số nguyên dương n
a n a.a. ... .a (n thừa số a )
1
an n a 0
a0 1 a 0
a
2.Lũy thừa mũ số hữu tỉ
m
n
a 0, m
am a n
3. Điều kiện xác định
;n
*
A n
n
+ n chẵn: Điều kiện A 0
+ n lẻ: Điều kiện A xác định
4. Phương trình x n b n
*
*
;n 2
n
a .a a
+ n lẻ: x b x n b
+ n chẵn: x n b(b 0) Vô nghiệm.
n
xn 0 x 0
5. Tính chất
n
n
n, k
n
*
n
a
n
n
m
a
n
; n, k 2
a
n k
m
n
a
a
a/Txđ hs lũy thừa y x tùy thuộc
b/Đạo hàm của hàm số lũy thừa
x .x 1
1
.u
c/Đồ thị hs lũy thừa y x trên 0;
a.b
a .b
a
a
b b
+Nếu a 1 thì a a
+Nếu 0 a 1 thì a a
7.Công thức logarit
+ a b log a b 0 a 1; b 0
0 a 1
b 0
log a b
b
+ log a b
log c b
log c a
0 a 1;
0 a 1; b 0
0 a, c 1; b 0
Trục Ox là TCN đths y a x
+ Đạo hàm hàm mũ:
ex ex
eu eu .u
x
x
a u.a .ln a
u
+ log a b
+a
log b c
1
0 a, b 1
log b a
c logb a 0 a, b, c 1
0 a 1
+ log a b1.b2 log a b1 log a b2
b ; b 0
1 2
0 a 1
b
+ log a 1 log a b1 log a b2
b ; b 0
b2
1 2
0 a 1
+ log a b log a b
b 0;
+ log a b
0 a 1
1
log a b
b 0; 0
0 a 1
b 0; 0
+Chú ý: log a b ; * ; chẵn
9.Hàm số mũ y a x 0 a 1
+TXĐ:
+Tập giá trị: 0; (Vì a x 0, x )
+HS đồng biến trên khi a 1 .
+HS nghịch biến trên khi 0 a 1 .
+ Đths mũ y a x 0 a 1
a a .ln a
+ loga b.logb c loga c 0 a, b 1; c 0
+ log a b
+ loga 1 0; loga a 1 0 a 1
+a
nk
8.Hàm số lũy thừa y x
u .u
+ log a a
a
n
b
b
a . b ab
n
a
+ loga b có điều kiện
b 0: x b x b
n
a
a
a
a
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
log a b
b 2log b 0 a 1; b 0
log a b2 2log a b 0 a 1; b 0
log a
2
a
Kí hiệu: log10 b log b lg b ; loge b ln b
u
u
ln u u 0
log a x
1
x 0
x ln a
u
log a u
u 0
u ln a
ln x 1x ( x 0)
ln u uu u 0
loga x x ln1 a x 0
loga u u lnu a u 0
+Đồ thị hs y log a x 0 a 1
u
10.Hs logarit y log a x 0 a 1
+TXĐ: 0;
+Tập giá trị:
+HS đồng biến trên 0; khi a 1 .
+HS nb trên 0; khi 0 a 1 .
1
+Đạo hàm: ln x x 0
x
Trang 5
+ Trục Oy là TCĐ đths y loga x
+ Chú ý: Đồ thị các hs y a x và
y loga x (0 a 1) đối xứng nhau qua
đt y x .
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
11.a/Pt mũ cơ bản a x b 0 a 1
a
f x
f x
a
g x
5 125
x 12
2
4
x 3x log5 5 125
x 7 2
b/ 8
2
0, 25.
2 x 1
3.
x 1
2
4
2
7x
(Đk: x 1 )
7x
2
2
x 1 N
2x 1 7 x
3.
2 2
x N
x 1 2
7
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
PP3: Logarit hóa (Lấy logarit 2 vế)
Bài 3. Giải pt a/ 3 .2 1
Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được pt:
x2
x
log3 3x.2 x
2
log 1
3
x 0
x 1 x.log3 2 0
x log 2 3
b/ 5x.8
x 1
x
500 (Đk: x 0 )
3 x 3
x
x 3
x
5x.2
53.22 5x 3.2 1
Lấy logarit cơ số 5 hai vế ta được pt:
x 3 N
1
x 3 1 log5 2 0
x
x log 5 2 N
Bài 5.Giải pt: a/ log3 x log9 x log27 x 11
Đk: x>0
pt log3 x log32 x log33 x 11
log3 x 6 x 729( N )
b/ log2 x 5 log2 x 2 3
Đk: x>5
pt log 2 x 5 x 2 3
x 6 (N )
x 5 x 2 23
x 3 ( L)
PP2: Đặt ẩn phụ
1
2
1
Bài 6. Giải pt a)
5 log x 1 log x
Đk: x 0; x 105 ; x 101
pt log 2 x 5log x 6 0
x 100 N
log x 2
log x 3
x 1000 N
Face: viethieu220284
a
f x
2
a2
f x
25 x 10 x 2.4 x 0
(Chia hai vế cho 25 x hoặc 4x )
2
2 f x
f x g x
x 2 3 x
2 f x
f x
f x
3 9
Bài 2. Giải các pt sau:
a) 9 x 4.3x 45 0
32 x 4.3x 45 0
3x 9 VN
x log3 5
x
3 5
2x
24
x
2
5
2
x
x
(HS f t 2t t đb trên
.
28
x log 3 10; x log 3
27
PP3: Mũ hóa
Giải pt log 2 5 2 x 2 x
Đk: 5 2 0
x
x 0 N
pt 5 2 x 22 x
x 2 N
PP4: Hàm số biến thiên
Bài 7. Giải các pt:
a) log3
1
x 3x 2 2
5
Trang 6
2
f x 2 x f 8 x
x 4
x2 x 8 x
x 2
12. a/Pt logarit loga x b 0 a 1
log a x b x ab
b/ Phương pháp giải pt logarit
PP1: Đưa về cùng cơ số
log a f x log a g x 0 a 1
x 1
Đk:
x 2
pt log3 3x 1 .log3 3 3x 1 6
2
x
x
log3 3 1 log3 3 1 6 0
)
f x g x
f ( x) 0( g ( x) 0)
+ loga f x b f x ab
b) log3 3x 1 .log3 3x1 3 6
Đk: x 0
2
u 1
x 1
v 4
x 0
x 2 x 2 x 8 8 x
2
u 1 v 4 0
1 0
2 x 8 8 2 x x 2
x
40
2
f x 4x ln 2 4 6x ln 2 6 0
Ta có: x=0;x=2 là nghiệm.
KL: Tập nghiệm S 0;2
2
x
e/ 2 x x 4.2 x x 22 x 4 0
Đặt u 2 x x ; v 22 x ; u.v 2 x x .
Pt trở thành: u.v 4u v 4 0
+Hs g x 11 x nghịch biến trên
+x=2 là 1 nghiệm của pt đã cho.
KL:x=2 là nghiệm duy nhất của pt.
b) 4 x 6 x 25 x 2
Xét hs f x 4x 6x 25x 2
2x
2
2
4
x 1
2
x x
2
1VN x 2
98
2x
x
3.2 x
x x
PP4. Phương pháp hàm số
Bài 4. Giải pt a) 3x 11 x
+Hs f x 3x đồng biến trên
c) 2 x
2 x2 x
2
x 2
2
2
2
5 24
24 98 5 24
5
2
2
x
1
x0
d/ 2 x x 22 x x 3
2 x x
2x x 2
3
b) 5 24 5 24 98
x
x
5
5
20
2
2
3
b(b 0) f x log a b
Bài 1. Giải pt a) 5
2 x 1
x 1
a
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+ b 0 : a x b x
+ b 0 : a x b x log a b
b/Phương pháp giải phương trình mũ
PP1: Đưa về cùng cơ số 0 a 1
a
c) 25 10 x 22 x1
PP2: Đặt ẩn phụ
x
3 x x 2 1
2
Đặt u x 2 3x 2, u 0
1 2
Pttt: log 3 u 2 .5u 2
5
1 2
Hs f u log3 u 2 .5u đồng biến
5
trên 0; và f 1 2
+ u 1 là nghiệm duy nhất.
3 5
KL: Tập nghiệm S
2
b) log2 x log3 x 1 3
Đk: x 1
Hs f x log2 x log3 x 1 đồng
biến trên 1; ; f 4 3 .
KL: x=4 là nghiệm duy nhất.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Zalo: 089908.3939
d/Bpt logarit cơ bản loga x b 0 a 1
Đk: x 0
+ a 1 : log a x b 0 x ab
1 x
c) 2 x 21 x log 2
x
Đk: 0 x 1
pt 2x log2 x 21 x log2 1 x
+ 0 a 1 : log a x b x ab
e/Công thức BPT mũ, logarit
+Hs f t 2t log2 t đồng biến trên
f x
g x
+ a 1 : a a f x g ( x)
khoảng 0;1 .
f x g ( x)
log a f x log a g x
g ( x) 0
Pt f x f 1 x
1
2
13. BPT MŨ, BPT LOGARIT
a/Bpt mũ cơ bản a x b 0 a 1
x 1 x x
f x
g x
+ 0 a 1 : a a f x g ( x)
f x g ( x)
log a f x log a g x
f ( x) 0
Bài 8. Giải các bpt sau:
+ b 0 : ax b x
+ b 0; a 1 : a x b x log a b
+ b 0;0 a 1 : a b x log a b
b/Bpt mũ cơ bản a x b 0 a 1
a/ 3
x
0 x2
b/ log 1 x 2 x 3
+ 0 a 1 : log a x b 0 x ab
14. Lãi suất kép
a/Một người gửi số tiền A đồng vào
một ngân hàng với lãi suất r /năm. Biết
rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân
hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ
được nhập vào vốn ban đầu (người ta
gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được
lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm ( n * ),
nếu trong khoảng thời gian này không
rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?
Giải: Giả sử n 2
+Sau năm thứ 1, số tiền lĩnh là:
T1 A 1 r .
+Sau năm thứ 2, số tiền lĩnh là:
2
+ Tương tự, sau n năm, số tiền lĩnh là:
n
b/BT: Một người gửi 6 triệu đồng vào
ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn
1 năm với lãi suất 7,56% /năm. Hỏi sau
ít nhất bao nhiêu năm người gửi sẽ có
nhiều hơn 12 triệu đồng từ số tiền gởi
ban đầu (giả sử lãi suất không thay
đổi)? Giải: A 6.106 ; r 7,56%
Sau n năm, số tiền thu được A 1 r
n
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Theo đề: A 1 r 2 A
x 3 x 2 2
x2 5x 4 0
1 x 4
Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm của
bpt là: S 3;4
5 x 10 0
Đk: 2
x 2
x 6x 8 0
Bpt 5 x 10 x 2 6 x 8
x 2 x 2 0 2 x 1
Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm của
bpt là: S 2;1
17.Độ pH của dung dịch pH log H
n
n log1 r 2 9,51 (năm)
Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n 10
KL: 10 năm.
15. Trong Vật lí, sự phân rã của các
chất phóng xạ được biểu diễn bởi CT:
t
T
Trong đó: m0 là khối lượng chất phóng
xạ ban đầu (tại thời điểm t 0 )
+ m t là khối lượng chất phóng xạ tại
thời điểm t.
+ T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời
gian để một nữa số nguyên tử của chất
phóng xạ bị biến thành chất khác).
16.Số các chữ số của số tự nhiên x
bằng : log x 1
Với log x là phần nguyên của log x
Vd: Số các chữ số của 22008 bằng:
log 22008 1 2008log 2 1
604,468 1 605
Trang 7
x
2
x 2 x 0 2 x 0
2
2 x 4
x 2x 8
c/ 4 x 2.52 x 10 x
2.25x 10 x 4 x 0
1
m t m0
2
2x
5
5
2. 1 0
2
2
x
5 1
2 2
1
x log 5
x
2 2
5 1VN
2
c/ log2 x 3 log2 x 2 1
Đk: x 3
Bpt log 2 x 3 x 2 1
d/ log0,5 5x 10 log0,5 x2 6 x 8
2
+ b 0;0 a 1 : a x b x log a b
c/Bpt logarit cơ bản loga x b 0 a 1
Đk: x 0
+ a 1 : log a x b x ab
Tn A 1 r
1 x 2x 0
2
2
+ b 0 : a x b x
+ b 0; a 1 : a x b x log a b
T2 T1 1 r A 1 r
x2 2 x
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
H :nồng độ ion H trong dung dịch
+ pH 7 : dung dịch có tính axit.
+ pH 7 : dung dịch có tính bazơ.
+ pH 7 : dung dịch trung tính.
18. Độ chấn động M của một địa chấn
biên độ I được đo trong thang độ
Richte (Charles Francis Richter, nhà địa
vật lí Mĩ, 1900 – 1985) xác định bởi:
I
M ln
( I 0 là biên độ của dao
I0
động bé hơn 1 m trên máy đo địa
chấn, đặt cách tâm địa chấn 100km, I 0
được lấy làm chuẩn).
19. Mức cường độ âm được tính theo
I
CT: L dB 10log (Graham Bell)
I0
+ I là cường độ của âm, tức là năng
lượng truyền đi bởi sóng âm trong 1
đơn vị thời gian và qua 1 đơn vị diện
tích bề mặt vng góc với phương
sóng truyền (đơn vị: W / m 2 )
+ I 0 1012 W / m2 là cường độ âm ở
ngưỡng nghe.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1/ 0dx C
20/ f x dx F x C ( F ' x f x )
39/ f ' x dx f x C
2/ 1dx x C
21/ k. f x dx k f x dx k 0
40/ k . f x dx k . f x dx (với k là hằng số).
3/ x dx
1
x
C 1
1
1
1 1
.
C (n 2)
4/ n dx
x
n 1 xn1
1
5/
x
1
1 (ax b)
22/ (ax b) dx .
C
a
1
1
1 1
1
23/
dx .
.
C
n
a n 1 ax b n1
ax b
24/
dx 2 x C
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
089908.3939
6/
n n n 1
dx
x C
n 1
x
d7/ xdx
8/ n
2
x x C
3
n n
xdx
x x C
n 1
1
9/ dx ln | x | C
x
10/
x
Ax
C
ln A
13/ sin xdx cos x C
14/ cos xdx sin x C
15/
1
dx cotx C
sin 2 x
16/
1
dx tanx C
cos 2 x
17/ tan xdx ln cos x C
dx
1
x
arctan C
2
x k
k
k
k 0
41/ f x g x dx f x dx g x dx
b
b
b
a
a
a
42/ f x g x dx f x dx g x dx
b
43/ f x dx F x a F b F a (Newton–Leibniz)
b
a
b
44/ udv uv vdu
b
a
a
b
b
45/ udv uv a vdu
b
a
a
a
46/ f x dx f x dx
47/
f x dx 0
a
b
c
b
a
a
c
1 n
27/ n ax bdx .
ax b n ax b C
a n 1
49/
ax b cx d
50/
1
1
1
xa
dx
dx ln
C
2
x a
2a x a
x a x a
1
1
dx ln ax b C
ax b
a
1
ax b
2
dx
1 1
C
a ax b
1
dx
1
ax b
ln
C
ad bc cx d
2
51/Hs y f x liên tục trên [𝑎; 𝑏].Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đths y f x , trục Ox và hai đt
x a; x b được tính
1 ax b
e
C
b
a
bởi CT: S f x dx
ax b
1 A
c
d
a
31/ Aax b dx .
C
a ln A
(Chú ý với hình vẽ trên
1
thì:
32/ sin(ax b)dx cos(ax b) C
c
d
b
a
S
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
a
c
d f ( x)dx )
1
33/ cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
1
1
34/ 2
dx cot (ax b) C 52/Hs y f x
sin (ax b)
a
liên tục trên [𝑎; 𝑏].
Diện tích hình
1
1
35/
dx tan( ax b) C
2
phẳng giới hạn
cos (ax b)
a
bởi đths y f1 x
1
36/ tan ax b dx ln cos ax b C
, đths y f2 x
a
e
ax b
dx
38 /
dx
ax b
k 0
2
k
2
1 1
ax b
. arctan
C
a k
k
và
hai
đt
x a; x b được tính bởi công thức:
b
S f1 x f 2 x dx
a
53/Hàm số y f x liên tục trên [𝑎; 𝑏]. Gọi (H) là hình phẳng giới
hạn bởi đths y f x , trục Ox và hai đt x a; x b .
Thể tích của khối trịn xoay thu được khi quay hình phẳng (H) quanh
b
a
48/ f x dx f x dx f x dx (với a c b )
1
37/ cot ax b dx ln sin ax b C
a
2
a
trục Ox là: V f x dx
2
a
Trang 8
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
18/ cot xdx ln sin x C
b
1 2
26/ ax bdx . . ax b . ax b C
a 3
30/
x
A dx
19 /
1 n n
n 1
dx .
. ax b C
25/ n
a n 1
ax b
29/
11/ e dx e C
12/
1
28/
1
1
dx C
2
x
x
x
1
dx .2 ax b C
a
ax b
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1
n
1
b
55/ Một vật chuyển động với pt 57a/ HS 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm
vận tốc v(t). Quãng đường vật chẵn và liên tục trên đoạn
di chuyển trong khoảng thời [−𝑎; 𝑎] thì
𝑎
𝑎
gian từ t a đến t b, a b
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
=
2
∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
−𝑎
0
là:𝑆 = ∫𝑎 |𝑣(𝑡)|𝑑𝑡
57b/ Hs 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm lẻ
56/ PP tính nguyên hàm,TP
và liên tục trên đoạn [−𝑎; 𝑎]
PP1: Đổi biến.
𝑎
thì ∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
PP2: Tính ngun hàm, TP
từng phần.
Face: viethieu220284
x x2
Bài1.Tính: a)
/2
7dx
0
1
sin2 x.cos xdx
1
e x
sin xdx
ex
2
e
1
e x
x
(e x 1)
1
2
1
0
t2
0
t 2
t 1
d/ I
e dx
2
tan t , t
e
x
C
1
I
2
1 tan t dt
sin t , t
Đặt x
2
I
2
t dx
1
t dx
0
3
t
3
1
0
1
3
1
I
4
2
sin
0
2
3
và
x x x
y
2
( x 3 x ) ( x x 2 ) dx
S
2
4
e
c )I
1
e x dx
0
1
0
e
0; x
1
ln x
x
1
I
1
dx
x
du
1
dx , chọn v
x2
dv
37
12
ln x
dx
x2
ln x
u
e
1
1
dx
x2
1
.
x
1
2
e
B4/Tính thể tích V của phần vật thể
giới hạn bởi hai mp x = 1 và x = 3, biết
rằng khi cắt vật thể bởi mp tùy ý vng
góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x
. Tính thể tích
khối trịn xoay thu được khi
quay (H) quanh Ox.
1 x 3 thì được thiết diện là
một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh
3
16
3x 2 2 .
là 3x và
cos tdt
2tdt
1
1
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Bài 3d) Cho hp (H) giới hạn
bởi đths y sin x,Ox, 2 đt
;
2 2
xe x
ex.
x x 2.
x 0
x 1; 2
1
x
dx
1
sin x cos x dx 2 2
du dx
e dx , chọn v
x
0
1 tan t
0 1 tan 2 t dt 0 1dt 4
2
4
xdx
S
Pt x
2 2
0
tdt
y cos x ; y sin x
y x3 x
e/ I x 2 1 x 2 dx
0
đt2hs
x
dv
I
B3c) Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi 2đths
1
1 x2
3
ln2
2
;
dx
a/ I x 1 x 2 dx
0
0
1
0 1 x2 dx
Đặt x
C
xe x dx
u
B3b) Tính diện tích hp giới
hạn bởi 2 đt x 0; x
và
dx ln3
x
1
t
dx
3t 2
1
1
x. dx
x
x ln x
x ln x
2 xdx
dt
2
x
1
dx
17
4
b) I
1
dx
2
1
t
1
1
2
I
Bài 2/ Tính các tích phân sau:
Đặt
x
2
dv
ln xdx
x3
0 x4 3x2 2 dx
C
t
1
dv
2.
ex
Đặt t e 1 dt
Tích phân trở thành:
1
x 3 dx
S
C
x
dt
t2
c/ I
Đặt t
7
dx
1; x
x
2
e 1
0
0
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
c)
1
et
e t dt
I
1
dx
x
dx , chọn v x.
ln x
u
x 3 , trục hồnh và 2
y
ln xdx
B5. Tính a)
đường thẳng
2cos7 x
C
7
5
dt cos xdx
B3.a
Tính
diện tích
hp giới
hạn bởi
1
Đặt t cos x dt
Tích phân trở thành:
2t
7
a
đths
1
7dx ( x 2 7) x 2 7 C
3
2t 6 dt
esin x cos x dx
Đặt t sin x
sin 2 x.cos5 xdx
b)
b/ I
x 2 7 u2 x 2 7
udu xdx , Tích phân trở
u3
C
thành: u 2 du
3
x x
b
tích của phần vật thể T được tính bởi CT: V S x dx
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Đặt u
2
54/Cắt một vật thể T bởi hai mp (P) và (Q) vuông góc với
trục Ox lần lượt tại x a; x b(a b) . Một mp tùy ý vng
góc với Ox tại điểm x ( a x b ) cắt T theo thiết diện có
diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏]. Thể
sin 2 xdx
V
0
Trang 9
2
2
3x 3x 2 2dx
V
1
124
3
Face: viethieu220284
IV.SỐ PHỨC
Face: viethieu220284
1.Số phức z a bi
c di a, b, c, d
a c
a bi c di
b d
a 0
a bi 0
b 0
a bi là số thực b 0
a bi thuần ảo a 0
3. Điểm biểu diễn số
phức z a bi là M a; b
4. Modun của số phức
z a bi là z .
z OM a b
2
z nếu
| z.w || z | . | w |
z
|z|
w 0
w | w|
| z || z |
zw zw
z.w z.w
z z
; w0
w w
6.2 số phức z,w có 2
điểm bd lần lượt là M,
N thì: | z w | MN
+Số 0 có 1 CBH là 0.
+Số thực
a 0 có 2 CBH là i a .
8. Ptbậc 2hệ số thực
az 2 bz c 0 (a 0; a, b, c )
b 2 4ac
+ 0 , pt có 2 nghiệm thực
z1,2
b
2a
+ 0 , pt có nghiệm kép thực
z
b
2a
+ 0 , pt có 2 nghiệm phức
z1,2
b i
2a
.
9. Pt bậc n hệ số phức
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
1
a 2 b2
0 b a; a2 b2 c2
Vd1a/Tập hợp điểm
; k 0 là hình bdsp z thỏa
trịn tâm I a; b , bán kính z 1 2i 5 là
R k.
đường tròn tâm I 1; 2
+ Tập hợp điểm bdsp z thỏa Bán kính R 5.
z a bi z c di b/Tập hợp điểm bdsp z
a, b, c, d
là đường thỏa z 3 4i 2 là
trung trực của đoạn thẳng hình trịn tâm I 3;4 ,
PQ, với P a; b ; Q c; d bán kính R 2.
+Trong mp Oxy, cho hai c/Tập hợp điểm bdsp z
điểm
thỏa thỏa z 3 z 2i là
F1; F2
089908.3939
an z n an 1 z n1 ... a1 z a0 0
, an 0 có n nghiệm.
Vd2: Cho số phức z
thỏa z 4 . Tìm tập
12. Dạng lượng giác của số phức
hợp điểm bdsp w thỏa
w (3 4i) z i .
wi
Giải: z
3 4i
z 4 w i 20
Tập hợp điểm bdsp w
là đường trịn tâm
I 0;1 ,bán kính R 20.
a
b
z a bi a 2 b 2 .
i
2
2
a 2 b2
a b
r a 2 b2 là modun của z.
là một argument của z thỏa
a
cos
a 2 b2
b
sin
a 2 b2
11. Trong tất cả số
phức z thỏa
Dạng lượng giác của số phức z là:
a, b
13. Cho 3 số phức
z a bi R
; R 0 thì:
z max OI R
z min OI R
F1F2 2c 0 . Tập hợp đường trung trực d của
điểm M trong mp Oxy thỏa đoạn thẳng PQ với
MF MF 2a a c P 3;0 ; Q 0; 2 .
1
w2 z .
+Số thực a 0 có 2 căn bậc hai a .
z r. cos i sin
z r. cos i sin
z1 r1. cos 1 i sin 1
z2 r2 . cos 2 i sin 2
z1.z2 r1 .r2 . cos 1 2 i sin 1 2
z1 r1
. cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
z n r n . cos n i sin n
2
là 1 đường Elip nhận Pt d: 6 x 4 y 5 0 .
F1; F2 là 2 tiêu điểm.
(CT Moirve)
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
Trang 10
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
a, b
z.z z
089908.3939
z a bi k
7. Số phức w đgl căn bậc hai của số phức
2
2
10. +Tập hợp điểm bdsp z -Nếu O là trung điểm
F1F2 và F1; F2 thuộc
thỏa z a bi k
Ox thì pt chính tắc của
a, b ; k 0 là
đường Elip là:
đường tròn tâm I a; b ,
x2 y 2
bán kính R k .
+Tập hợp điểm bdsp z thỏa
5. 2 số phức z,w:
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
(a bi) (c di)
( a, b ; i 1)
(a c) (b d )i
a : phần thực của z.
(a bi) (c di)
b : phần ảo của z.
(a c) (b d )i
i : đơn vị ảo.
1
2
3
4
i i; i 1; i i; i 1 (a bi).(c di)
+ Số phức liên hợp của z là
(ac bd ) (ad bc)i.
z a bi
c di (c di )(a bi )
+ Số phức nghịch đảo của
a bi (a bi )(a bi )
1
a
b
z là: 2 2 2 2 .i
ac bd ad bc
z a b a b
2 2 2 2i
2.Cho 2 số phức: a bi
a b
a b
2
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
1. Hình đa diện, khối đa diện, khối đa
diện lồi, khối đa diện đều
+Khối đa diện đều loại p; q là khối
đa diện lồi có các tính chất sau:
a)Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p
cạnh.
b)Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của
đúng q mặt.
+Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều.
Đó là loại 3;3 , loại 3;4 , loại 4;3 ,
loại 3;5 và loại 5;3 .
V.THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
3. Thể tích khối lăng trụ: VLT Sday .h
4.Khối lập phương cạnh a
VKLP canh a 3
3
Độ dài đường chéo: a 3
2. Thể tích khối chóp: VKC 1 .Sday .h
3
5. Khối hộp chữ
nhật: VKHCN a.b.c
Độ dài đường
chéo: a 2 b 2 c 2
Với a, b, c lần lượt
là chiều dài, rộng, cao của hhcn.
6.Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi
một vng góc. Thể tích khối tứ diện
ABCD là:
VABCD
1
AB. AC. AD
6
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
7. Cho khối chóp S.ABC có SA a ;
̂ = 𝛼;𝐶𝑆𝐴
̂ = 𝛽;
SB b; SC c ;𝐵𝑆𝐶
̂
𝐴𝑆𝐵 = 𝛾. Thể tích khối chóp S.ABC là:
abc
V
1 2cos .cos .cos cos2 cos2 cos2
6
8. Thể tích khối chóp VS . A1 A2 ... An :
2 S SA A .S A A ... A .sin
V . 12 12 n
3
A1 A2
Biết
SA A ; A A ...A
1 2
1 2
n
10. Thể tích khối bát
diện đều cạnh a
1
1
1
a.ha b.hb c.hc
2
2
2
1
1
1
ab.sinC bc.sinA ac sin B
2
2
2
p.r
abc
4R
abc
vs p
2
p p a ( p b) p c
p: nữa chu vi tam giác ABC.
R: bán kính đtrịn ngoại tiếp ABC.
r: bán kính đtrịn nội tiếp ABC.
ha ; hb ; hc lần lượt là độ dài đường cao
kẻ từ A,B,C của ABC.
Face: viethieu220284
AB. AC
AB 2 AC 2
3
V canh
3
2
12
S ABC
AI
12. ABC đều:
+ Diện tích:
1
1
AB. AC AH .BC
2
2
1
BC (I trung điểm BC)
2
14. ABC vuông cân tại A (AB=AC=𝑎)
D.tích: S 1 a 2
3
S ABC
; AH
2 3 2
a
3
3
11. Thể tích khối
tứ diện đều
V canh
9. Thể tích khối tứ diện có khoảng cách S ABC canh 2 .
4
và góc giữa cặp cạnh đối diện
+ Độ dài đường
AD a; BC b ; d AD; BC d ;
cao: canh . 3
̂
(𝐴𝐷;
𝐵𝐶) = 𝛼 bằng:
2
1
VABCD abd .sin
6
15.Diện tích ABC a BC;b AC;c AB
AB BC 2 AC 2
ABC
2
Độ dài cạnh huyền:
BC a 2
13. Tam giác ABC vuông A
BC AB 2 AC 2 ; AC BC 2 AB 2
16. Hình vng
2
+Diện tích: S canh
+Độ dài đường chéo: canh 2
1
a 2
BC
2
2
(I là trung điểm BC)
AI
19. Diện tích hình thoi
S
1
1
a.h AC.BD
2
2
17. Hình chữ nhật có chiều dài, chiều
rộng lần lượt là a, b .
+Diện tích HCN: S = a.b
+Độ dài đường chéo: a 2 b 2
18. Diện tích hình bình hành: S a.h
Trang 11
20. Diện tích hình thang:
S
a b .h
2
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
21. Tỉ số thể tích khối chóp tam giác
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
.
.
VS . ABC
SA SB SC
22. Tỉ số thể tích khối chóp tứ giác, đáy
ABCD là hình bình hành.
VS . A ' B 'C 'D' a b c d
VS . ABCD
4abcd
a
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
23. Tỉ số thể tích hình lăng trụ
VABC .MNP 1 AM BN CP
VABC . A' B 'C ' 3 AA ' BB ' CC '
24. Tỉ số thể tích hình lăng trụ, đáy
hình bình hành
VABCD.MNPQ
VABCD. A' B 'C 'D'
1 AM BN CP DQ
4 AA ' BB ' CC ' DD '
SA
SB
SC
SD
;b
;c
;d
SA '
SB '
SC '
SD '
a c b d
27. Thể tích khối nón cụt
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
25.Tỉ số V hai khối chóp có chung
đường cao.
VS . AMN S AMN
AN AM
.
VS . ABC
S ABC
AC AB
26. Thể tích khối chóp cụt
Gọi B và B’ lần lượt là diện tích của đáy
lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt, h là
chiều cao của nó (h là khoảng cách
giữa 2mp chứa 2 đáy). Thể tích khối
1
chóp cụt: V h B B ' B.B '
3
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+ AO; AOH
29. Góc giữa 2 mặt phẳng
+Góc giữa 2mp là góc giữa 2đường
thẳng lần lượt vng góc 2mp đó.
+Cách xác định góc giữa 2mp cắt nhau
d H ; SBC HP
SH .HK
SH 2 HK 2
30. Khoảng cách từ điểm đến mp
+ d O; OH
H là hcvg của O
trên .
+MN // (P)
Gọi R, r, h lần lượt là bán kính đáy lớn,
bán kính đáy nhỏ, chiều cao của hình
nón cụt.
V
h
3
R
2
r R.r
2
28.Góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng: Cho đt d và mp .
+Nếu d thì d ; 90
d M; P d N ; P
c ; Tìm mp c
a ; b
; a; b
+
̂
SBC ; 𝐻𝐾𝑆
0
+Nếu d ko vuông thì
+MN cắt (P) tại I
d M; P MI
d N ; P NI
31. K/c giữa 2đt chéo nhau ; '
CT 1: d ; ' d M ;
( chứa và song song ' )
d ; d ; d '
Với d’ là hcvg
của d trên mp
.
Face: viethieu220284
SH ; BC .
K, P lần lượt là hình chiếu vng góc
của H trên BC, SK.
Trang 12
CT 2 : d ; ' HK
(HK:đoạn vng góc chung của ; ' )
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
VI.KHỐI TRỊN XOAY
Face: viethieu220284
1. Hình nón, khối nón
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
3. Mặt cầu, khối cầu
2. Hình trụ, khối trụ
BT1a)Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC , tam giác ABC vuông tại B.
AC 2a SA 2a . Bán kính mặt cầu ngoại
tiếp h.chóp S.ABC bằng:
l
l
h
RCau R 2 day
r
h:chiều cao của hình nón.
r: bán kính đáy hình nón.
l: độ dài đường sinh
h.nón.
l 2 h2 r 2
+Diện tích xung quanh
của hình nón: Sxq rl.
+Diện tích tồn phần:
Stp rl r 2 .
+Diện tích tồn phần:
Stp 2 rl 2 r 2 .
R 2 day
R là bán kính mặt cầu
+ Diện tích mặt cầu:
S 4 R 2
+ Thể tích khối cầu:
4
V R3
3
4. VTTĐ của đt và mặt cầu
Cho mặt cầu (S), tâm O,
bán kính R và đt .Gọi H
là hcvg của O trên .
d O; OH
5. VTTĐ của mp và
6. Mặt cầu ngoại tiếp
m.cầu
hình đa diện
Cho mặt cầu (S), tâm O,
bán kính R và mp(P).Gọi
H là hcvg của O trên (P).
d O;( P) OH
+ d O; P R thì (P)
+ d O; R thì tiếp
+ d O; P R thì (P)
xúc với (S) tại H.
tiếp xúc (S) tại H.
2
AB 2
4
2
bán kính RCau
canhben
2
2.chieu cao
+Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp
hình chóp đều
S.ABCD là:
SA2
,E là
RCau
2SE
tâm đáy ABCD.
d)Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
có cạnh bên vng góc mặt đáy là:
a)Mặt cầu ngoại tiếp
HHCN ABCD.A’B’C’D’
có tâm I là trung điểm
AC’,A’C, BD’,B’D và bk
a 2 b2 c2
2
3
( a, b, c l chiều dài,
rộng, cao của HHCN)
2
2
Rday
Rben
3 3 12
15
.
3
3
4
6
c)Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có
R
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
khơng cắt (S).
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
b) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam
giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mp vuông góc với
đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABC.(Minh họa 2017)
+Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC bằng: R
+Thể tích khối trụ:
VKT r 2 h.
thì
2a a 2
SA2
a2
4
4
2
h:chiều cao hình trụ
r: bán kính đáy hình trụ.
l:độ dài đường sinh htrụ.
hl
+Diện tích xung quanh
của hình trụ: S xq 2 rl.
+Thể tích khối nón:
1
VKN r 2 h.
3
+ d O; R
khơng cắt (S).
h2
4
b)Mặt cầu ngoại tiếp
hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ có tâm
O là trung điểm
+ d O; R thì cắt
AC’,A’C,BD’,B’D và bk
+ d O; P R thì (P)
(S) tại 2 điểm pb MN.
a 3
cắt (S) theo đường tròn
R
, với a là
MN 2 R 2 d 2 O;
2
(C), tâm H, bk r:
(H là trung điểm MN)
cạnh của h.lập phương
r R 2 d 2 O; P
ABCD.A’B’C’D’.
Face: viethieu220284
Trang 13
h2
4
(h là chiều cao hình chóp).
e/ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp có mặt bên vng góc mặt đáy là:
RCau R 2 day
AB 2
4
(với AB là giao tuyến mặt bên vng
góc mặt đáy và đáy).
f/ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
lăng trụ đứng (hình lăng trụ có mặt
cầu ngoại tiếp) là:
2
2
RCau Rday
Rben
h2
4
(h là chiều cao hình lăng trụ đứng)
RCau R 2 day
Th.S Nguyễn Viết Hiếu
089908.3939
VII.KHÔNG GIAN OXYZ
Face: viethieu220284
0 (0;0;0), i (1;0;0)
j (0;1;0), k (0;0;1)
+ a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3
+a
1. Tọa độ vectơ
u x; y; z u xi y j zk
2. a ( a1 ; a2 ; a3 ),
b (b1 ; b2 ; b3 ), k R
a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 )
+ ka (ka1; ka2 ; ka3 )
a1 b1
+a b
a2 b2
a b
3
3
10. Mp(P) đi qua
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có 1 vtpt
a.b
a .b
a1b1 a2b2 a3b3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
(với a , b 0 )
3. Tọa độ điểm: C ( xC ; yC ; zC )
A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB )
M ( x; y; z ) OM ( x; y; z )
+Nếu a1a2 a3 0 thì pt chính
tắc của d:
x x0 y y0 z z0
a1
a2
a3
x1 ta1 x2 sa2
Xét hệ (I) y1 tb1 y2 sb2
z tc z sc
A B C D
1 1 2
2
+ 1 1 1 1
A2 B2 C2 D2
u ku2
+ d1 / / d 2 1
+ A1 A2 B1B2 C1C2 0
M1 d 2
13. Đt d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
u1 ku2
và có 1 vtcp a (a1; a2 ; a3 ) . + d1 d 2
M1 d 2
x xo a1t
+ d1 cắt d 2
Ptts của d: y yo a2t
z z a t
u ko cung phuong u2
o
3
1
He I co nghiem
A B C D
+ / / 1 1 1 1
A2 B2 C2 D2
b (b1 , b2 , b3 )
x A xB xC
xG
3
y A yB yC
yG
3
z A z B zC
zG
3
a; b (a2b3 a3b2 ; a1b3 a3b1 ; a1b2 a2b1 )
5. a, b, c đồng phẳng
[a, b].c 0
6. Diện tích hình bình hành ABCD
S ABCD AB, AD
7. Diện tích tam giác ABC
1
SABC AB, AC
2
8. Thể tích khối tứ diện ABCD
1
VABCD [ AB, AC ]. AD
6
9. a cùng phương b b 0
4. Tích có hướng 2 vectơ
a , b 0 a kb k
+ d1 chéo d 2
16.a/Khoảng cách từ điểm
M 0 x0 ; y0 ; z0 đến mp
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
n (a; b; c) . Pttq của (P):
a x x0 b y y0 c z z0 0 14. Cho 2đt
11. Mp (P) đi qua 3 điểm
x x1 ta1
A a; 0; 0 , B 0; b; 0 ,
d1 : y y1 tb1 (tham số t)
z z tc
C 0; 0; c với a, b, c 0 .
1
1
Pt (P) theo đoạn chắn:
x x2 sa2
x y z
d 2 : y y2 sb2 (tham số s)
1.
a b c
z z sc
2
2
12.Cho 2 mp ; có pt
+ d1 đi qua M1 ( x1; y1; z1 ) và có
: A1 x B1 y C1 z D1 0
1 vtcp u1 (a1 ; b1 ; c1 ) .
: A2 x B2 y C2 z D2 0
+ d 2 đi qua M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) và có
+ ; cắt nhau
1 vtcp u 2 (a2 ; b2 ; c2 ) .
A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2
AB ( xB xA )2 ( yB yA )2 ( zB zA )2
+G là trọng tâm ABC
a a a . b b b
2
1
a (a1 , a2 , a3 )
x A xB
xI
2
y
yB
yI A
2
z A zB
zI
2
a12 a22 a32
cos(a , b )
+ AB ( xB xA ; yB y A ; zB z A )
+ I là trung điểm AB
+ a b a1b1 a2b2 a3b3 0
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
u ko cung phuong u2
1
He I vo nghiem
+ d1 chéo d 2
u1 , u2 .M 1M 2 0
: Ax By Cz D 0 bằng:
d M 0 ,( )
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
+ d1 d 2 u1.u2 0
b/Cho đt đi qua M0 và có 1
vtcp a . Khoảng cách từ điểm A
15. VTTĐ giữa mp và đt
đến đt : d ( A, )
: Ax By Cz D 0
x x0 ta1
Đt d: y y0 ta2
z z ta
0
3
Xét pt (*):
A( x0 ta1 ) B( y0 ta2 ) C( z0 ta3 ) D 0
+d// (*) vô nghiệm.
+d (*) có vơ số ng.
M 0 A; a
a
c/ Cho 2đt chéo nhau d1 và d 2
+ d1 đi qua M1 ( x1; y1; z1 ) và có 1
vtcp u1 (a1 ; b1 ; c1 ) .
+ d 2 đi qua M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) và có 1
vtcp u 2 (a2 ; b2 ; c2 ) .
Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau
d1 và d 2 là:
u1 , u2 .M1M 2
+ d cắt (*) có
d
(
d
,
d
)
1
2
nghiệm duy nhất.
u1 , u2
(Khi (*) có nghiệm duy
nhất t t0 thì d cắt tại d/ Cho 2mp ; có: / /
điểm A x0 t0 a1; y0 t0 a2 ; z0 t0 a3 )
+ d vng góc
n cung phuong ud
n k.ud
Face: viethieu220284
Trang 14
: Ax By Cz D1 0
: Ax By Cz D2 0
Khoảng cách giữa 2 mp ; là:
d ( );
D1 D2
A B2 C 2
2
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
17. a/Cho 2đt d1 và d 2 có 2vtcp lần lượt
là u1 a1; b1; c1 , u2 a2 ; b2 ; c2 .Góc
giữa 2 đt d1 và d 2 được tính bởi CT:
cos d1; d2
u1.u2
a1.a2 b1b2 c1c2
a b12 c12 . a22 b22 c22
2
1
u1 . u2
b/cho 2mp ; có 2 vtpt lần lượt
+ (P) tiếp xúc (S) d (O, P ) R
b/Tìm điểm đối xứng A’ của A qua
mp(P).
+ (P) cắt (S) d (O, P ) R .
+B1: Tìm hcvg H của A trên (P).
(Khi (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường +B2: H là trung điểm AA’.
trịn (C) có tâm H và bk r thì:
x A ' 2 xH x A
H là hcvg của O trên (P).
y A ' 2 yH y A
2
2
2
2
z 2z z
r R d (O, P ) R OH
H
A
A'
Đặc biệt: Điểm A xA ; yA ; z A
là n1 (a1; b1; c1 ) ; n2 (a2 ; b2 ; c2 ) . Góc
+Hcvg của A trên(Oxy) là H1 xA ; yA ;0
giữa 2 mp ; được tính bởi CT:
cos ;
n1.n2
n1 . n2
+Hcvg của A trên(Oxz) là H 2 xA ;0; z A
a1.a2 b1b2 c1c2
a b c . a b c
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
c/Cho đt d có 1vtcp a (a1; a2 ; a3 ) và
mp có 1vtpt n ( A; B; C ) . Góc
a.n
a.n
a12 a22 a32 . A2 B 2 C 2
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R 2
B1: H d H xo a1t ; yo a2t ; zo a3t
+Ptmp Oxy : z 0 . +Ptmp Oxz : y 0
x 0
+Pt Oy: y t .
z 0
x 0
+Pt Oz: y 0 .
z t
22. Điểm M trên đường thẳng, mp
+ M Oxy M a; b;0
+ M Oxz M a;0; b
+ M Oyz M 0; a; b
B2: MH .ud 0 ( ud (a1 ; a2 ; a3 ) vtcp của d)
+ M Ox M t;0;0
+ M Oy M 0; t;0
+ M Oz M 0;0; t
23. a/Tìm hcvg H của điểm
A xA ; yA ; z A trên mp (P):
ax by cz d 0 .
+Đt AH đi qua A xA ; yA ; z A và có
Khi cắt (S) tại 2 điểm M,N thì
MN 2MH 2 R 2 d 2 (O, )
(H là hcvg của O trên ; H là trung
điểm MN).
20. VTTĐ giữa mp(P) và mặt cầu (S) có
tâm O và bk R.
+(P) ko cắt (S) d (O, P ) R
x xA a.t
1vtcp nP a; b; c . Pt AH: y y A bt
z z ct
A
+ H AH H x A at ; y A bt ; z A ct
axA by A cz A d
2
2
2
a b c
KL: H x A at ; y A bt ; z A ct
+ H P t
Trang 15
x xo a1t
trên đt d : y yo a2t .
z z a t
o
3
a x x a y y a z z
t 1 0 M 22 0 2 M 2 3 0 M
a1 a2 a3
KL: H xo a1t ; yo a2t ; zo a3t
b/Tìm điểm đối xứng M’ của M qua đt d
B1: Tìm hcvg H của M trên d.
B2: H là trung điểm MM’
xM ' 2 xH xM
yM ' 2 y H yM
z 2z z
H
M
M'
Đặc biệt: Điểm A xA ; yA ; z A
+Hcvg của A trên Ox là: H 4 xA ;0;0
+Hcvg của A trên Oy là: H5 0; yA ;0
+Hcvg của A trên Oz là: H6 0;0; z A
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
19. VTTĐ giữa đt và mặt cầu (S) có
tâm O và bk R.
+ ko cắt (S) d (O, ) R
+ tiếp xúc (S) d (O, ) R
+ cắt (S) d (O, ) R
+ A C 0 : / / Oxz hoặc Oxz .
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
x2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
(Đk: a2 b2 c2 d 0 ).
Mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bk
R a 2 b2 c2 d .
24. a/Tìm hcvg H của M xM ; yM ; zM
+ A B 0 : / / Oxy hoặc Oxy .
x t
+Ptmp Oyz : x 0 . +Pt Ox: y 0 .
z 0
Điểm đx của A qua(Oxy) là A1 xA ; yA ; z A
Điểm đx của A qua(Oyz) là A3 xA ; yA ; zA
+ B C 0 : / / Oyz hoặc Oyz
18. +Mặt cầu (S) có tâm I ( x0 ; y0 ; z0 )
và bk R. Pt (S) là:
+Hcvg của A trên(Oyz) là H3 0; yA ; z A
Điểm đx của A qua(Oxz) là A2 xA ; yA ; zA
+ A 0 : chứa Ox hoặc // Ox.
+ C 0 : chứa Oz hoặc // Oz.
Aa1 Ba2 Ca3
+Pt mặt cầu (S):
+ D 0 : đi qua gốc tọa độ O.
+ B 0 : chứa Oy hoặc // Oy.
giữa đt d và mp được tính bởi CT:
sin d ,( )
21. Mp : Ax By Cz D 0 đặc biệt
Điểm đx của A qua Ox là A4 xA ; yA ; zA
Điểm đx của A qua Oy là A5 xA ; yA ; zA
Điểm đx của A qua Oz là A6 xA ; yA ; zA
25. I là tâm đtròn nội tiếp ABC
BC.x A AC .xB AB.xC
xI
AB AC BC
BC. y A AC. yB AB. yC
yI
AB AC BC
BC.z A AC.z B AB.zC
zI
AB AC BC
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
VIII.PHÉP BIẾN HÌNH
Face: viethieu220284
1. Phép tịnh tiến
Tv (M) M' MM ' v
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
2. Phép quay Q O ;
3. Phép vị tự V O;k k 0
OM OM '
QO; (M) M'
OM ; OM '
V O;k M M ' OM ' kOM
Q O ; (M) M' Q O ; (M') M
V O;k M M ' V
Tv (M) M' T v (M') M
+Phép tịnh tiến theo v biến đường
thẳng thành đường thẳng song song
hoặc trùng với nó.
Đt : ax by c 0
'/ /
Tv () ' . Suy ra
'
Pt ' có dạng: ax by m 0
+Phép tịnh tiến theo v biến đường
trịn thành đường trịn có cùng bán
kính, tâm biến thành tâm.
Đường tròn (C) tâm I a; b và bk R.
Tv C C '
+ Tv (I) I ' I I' v
+Biểu thức tọa độ: M x; y , M ' x '; y '
Tv (M) M' với v a; b
x ' x a
Bttđ:
y' y b
4. Phép dời hình là phép biến hình
bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm
bất kì.
+Phép đồng nhất, phép tịnh tiến, đối
xứng trục, đối xứng tâm, phép quay
là những phép dời hình.
+Phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình là
một phép dời hình.
+T/c phép dời hình:
-Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3
điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
giữa các điểm ấy.
-Biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
-Biến tam giác thành tam giác bằng
nó, biến góc thành góc bằng nó.
-Biến đtrịn thành đường trịn có
cùng bán kính.
Face: viethieu220284
O ;
2
biến đường thành
thành đường thẳng vng góc với nó.
Đt : ax by c 0
Q
O ;
2
() '
Suy ra '
Pt ' có dạng: bx ay m 0
+Phép quay biến đường trịn thành đường
trịn có cùng bán kính, tâm biến thành
tâm.
QO; C C '
Đtrịn (C’) có tâm I’ và bk R’
R' R
Q O ; (I) I '
x ' x cos y.sin
y ' x sin y.cos
+Bttđ phép Q O ; :
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+Phép dời hình biến tam giác ABC thành
tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng
tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội
tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương
ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam
giác A’B’C’.
+Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành
đa giác n cạnh, đỉnh biến thành đỉnh, cạnh
biến thành cạnh.
+Hai hình đgl bằng nhau nếu có một phép
dời hình biến hình này thành hình kia.
Trang 16
M ' M
+Phép vị tự V O;k biến đường thẳng
thành đường thẳng song song hoặc
trùng với nó. Đt : ax by c 0
V O;k () '
'/ /
'
Suy ra
Pt ' có dạng: ax by m 0
+Phép vị tự V O;k biến đường tròn bk R
thành đường tròn bk k R , tâm biến
thành tâm.
V O;k
C C '
Đtrịn (C’) có tâm I’ và bk R’
R' k R
V O;k (I) I ' OI' kOI
x ' k x
y ' ky
+ Bttđ V O;k :
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Đtrịn (C’) có tâm I’ và bk R’
+R' R
+Phép quay Q
1
O;
k
5.Phép biến hình F đgl phép đồng dạng
tỉ số k k 0 , nếu với hai điểm M, N
bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của
chúng ta ln có M ' N ' kMN
+Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số
k 1.
+ Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ
số k .
+Phép đồng dạng tỉ số k:
-Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm
thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các
điểm ấy.
-Biến đường thẳng thành đường thẳng,
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng.
-Biến tam giác thành tam giác đồng
dạng với nó, biến góc thành góc bằng
nó.
-Biến đường trịn bk R thành đường
trịn có bán kính kR.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
6. Hình vẽ đẹp của họa sĩ
Maurits Comelis Escher
+ Hình đối xứng
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Face: viethieu220284
+Nếu một phép đồng dạng biến tam
giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó
cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm
các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp
của tam giác ABC tương ứng thành
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường
tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác
A’B’C’.
+Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh
thành đa giác n cạnh, đỉnh biến
thành đỉnh, cạnh biến thành cạnh.
+Hai hình đgl đồng dạng với nhau
nếu có 1 phép đồng dạng biến hình
này thành hình kia.
hocthoi.net
Wikiwand.com
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+ Hình Fractal
scp-foundation-database.fandom.com/wiki/SCP-001
/>h-hoc-fractal/
khoahoc.tv
Ảnh: Huanqiu
vi.mathigon.org/course/fractals/introduction
sprott.physics.wisc.edu/fractals/carlson
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 17
vi.mathigon.org/course/fractals/introduction
Face: viethieu220284
1.Cách xác định 1 mặt phẳng
+Mp hoàn toàn được xác định khi biết
nó đi qua 3 điểm pb khơng thẳng hàng.
+Mp hồn tồn được xác định khi biết
nó đi qua 1 điểm và chứa 1 đường
thẳng không đi qua điểm đó.
IX. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
2.Hình chóp, hình tứ diện
+Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa
giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt
đáy trùng với tâm đa giác đáy.
3.Hình lăng trụ
+Mp hồn tồn được xác định khi biết
nó chứa 2 đường thẳng cắt nhau.
+Mp hồn tồn được xác định khi biết
nó chứa 2 đường thẳng song song.
+Hình lăng trụ có đáy hình bình hành là
hình hộp.
+Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng,
có đáy là đa giác đều.
5.4VTTĐ của 2đt a; b trong không gian
TH1: a cắt b tại M
TH2: a / / b
7.Đường thẳng song song mặt phẳng
+ Nếu đường thẳng d không nằm trong
mp và d song song với đt d’ nằm
trong thì d song song với .
Face: viethieu220284
+Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ
có cạnh bên vng góc mặt đáy.
+Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
bình hành đgl hình hộp đứng.
+ Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
chữ nhật đgl hình hộp chữ nhật.
+Hình lăng trụ đứng có đáy là hình
vng và các mặt bên là hình vng
đgl hình lập phương.
4.Hình chóp cụt: A1 A2 A3 A4 A5 .A'1 A'2 A'3 A'4 A'5
9.Định lí Thales
+Ba mp đơi một song song chắn trên
2 cát tuyến bất kì những đoạn thẳng
BC
AC
AB
tỉ lệ.
A ' B ' B 'C ' A 'C '
TH4: a chéo b
+Định lí: Cho đt a song song mp .
6.Định lí giao tuyến 3mp và hệ quả
+Nếu 3mp cắt nhau theo 3 giao tuyến
phân biệt thì 3 giao tuyến ấy hoặc
đồng quy hoặc đôi 1 song song với
nhau.
+Nếu 2mp phân biệt lần lượt chứa 2đt
song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đt đó
hoặc trùng với một trong 2đt đó.
Nếu mp chứa a và cắt theo giao
tuyến b thì b / / a .
8.Hai mp song song
+Nếu mp chứa 2 đường thẳng cắt
nhau a, b và a, b cùng song song với mp
thì / / .
+Định lí: Cho hai mp song song. Nếu một
mp cắt mp này thì cũng cắt mp kia và hai
giao tuyến song song với nhau.
10.Vectơ trong khơng gian
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
QT hình hộp: AB AD AA ' AC '
11. Trong kg cho 3 vectơ không đồng
phẳng a, b, c . Khi đó mọi vectơ x ta
đều tìm được bộ 3 số m,n,p sao cho
x ma nb pc . Ngoài ra bộ 3 số
m,n,p là duy nhất.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Zalo: 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
TH3: a b
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 18
Face: viethieu220284
12.Góc giữa 2 đt a, b trong khơng gian
là góc giữa 2 đt a ', b ' cùng đi qua 1
điểm và lần lượt song song với a, b .
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
SC; AB 1200 SC; AB 600
+Cho u ; v lần lượt là vtcp của 2đt a, b
và u; v .
14.Góc giữa đt và mặt phẳng
Cho đt d và mp .
13.Đt vng góc mặt phẳng
+Nếu một đt vng góc với hai đường
thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt
phẳng thì nó vng góc với mp ấy.
+Nếu d thì d ; 900
+Nếu d ko vng thì
Nếu 00 900 thì a; b
d ; d ; d '
Nếu 90 180 thì a; b 180
0
0
0
Vd.Cho hình chóp S.ABC có BC a 2
SA SB SC AB AC a .Tính góc
giữa 2 đt AB và SC.
+Định lí: nếu 2mp vng góc với nhau
thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
mp này và vng góc với giao tuyến thì
vng góc với mp kia.
+Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là mp vng góc với đoạn thẳng tại
trung điểm của đoạn thẳng đó.
+Định lí: Nếu một đường thẳng và 1mp
(khơng chứa đt đó) cùng vng góc với
một đường thẳng khác thì chúng song
song với nhau.
18. Khoảng cách từ điểm đến mp
+ d O; OH
H là hcvg của O
trên .
d M; P d N ; P
19. K/c giữa 2đt chéo nhau ; '
CT 1: d ; ' d M ;
( chứa và song song ' )
c ; Tìm mp c
a ; b
; a; b
17.Diện tích hình chiếu của đa giác
Cho đa giác (H) nằm trong mp có
diện tích S và (H’) là hình chiếu vng
góc của (H) trên mp . Khi đó diện
tích S’ của (H’) là: S ' S cos .
Face: viethieu220284
15.Hai mp vng góc
Định lí: Đk cần và đủ để hai mp vng
góc với nhau là mp này chứa 1 đường
thẳng vng góc với mp kia.
DE / / BC
AD AE DE
AB AC BC
+MN cắt (P) tại I
d M; P MI
d N ; P NI
CT 2 : d ; ' HK
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
16.Góc giữa 2 mặt phẳng
+Góc giữa 2mp là góc giữa 2đt lần lượt
vng góc 2mp đó.
+Cách xác định góc giữa 2mp cắt nhau
Với d’ là hcvg
của d trên mp
.
21. Cho đường tròn (O); 2 cát tuyến
của đt (O) là AMN và ABC cắt nhau tại
A. Ta có: AM . AN AB. AC
+MN // (P)
Với là góc giữa và .
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
SC. AB 1
SA AC . AB
SC. AB a 2
1
1
2 . AS . AB.cos AS ; AB
a
2
cos SC; AB
(HK:đoạn vng góc chung của ; ' )
20. Định lí Thales trong mặt phẳng
+Nếu 1 đt song song với 1 cạnh của tam
giác và cắt 2 cạnh cịn lại thì nó định ra
trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Trang 19
+Từ 1 điểm M nằm ngồi đường trịn
(O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt
tiếp xúc với (O) tại A. Ta có:
MB.MC MA2
22. Trong tam giác vuông, đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa
cạnh huyền.
+Nếu một tam giác có đường trung
tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh
ấy thì tam giác đó vng.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
X.ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Face: viethieu220284
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
3.Hoán vị
+Số các tổ hợp chập k 0 k n của
+ Cho tập hợp A có n phần tử n 1 .
n!
n phần tử là: Cnk
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n
k !. n k !
phần tử của tập hợp A đgl một hốn vị
k
k
Tính chất: An Cn .k! 0 k n
của n phần tử đó.
Cnk Cnnk 0 k n
+Số các hoán vị của n n 1 phần tử
1. Quy tắc cộng
+ Một cơng việc được hồn thành bởi
một trong hai hành động. Nếu hành
động này có m cách thực hiện, hành
động kia có n cách thực hiện khơng
trùng với bất kì cách nào của hành động
thứ nhất thì cơng việc đó có m n cách
thực hiện.
+ Quy tắc cộng phát biểu dưới dạng tập
hợp: Nếu A, B là hai tập hợp hữu hạn
không giao nhau A B thì
Cnk11 Cnk1 Cnk 1 k n
là: Pn n! 1.2.3...(n 1).n
Quy ước: 0! 1
6. Phép thử, biến cố, xác suất:
4. Chỉnh hợp
+Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy
+ Cho tập hợp A có n phần tử n 1 . ra của một phép thử đgl khơng gian
mẫu của phép thử, kí hiệu .
n A B n A n B
Kết quả của việc lấy k phần tử khác
+Biến cố là tập con của không gian mẫu.
+ Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhau từ n phần tử của A và sắp xếp
chúng theo thứ tự nào đó đgl một chỉnh +Tập là biến cố không thể (biến cố
nhiều hành động.
không).
hợp chập k của n phần tử đã cho.
2. Quy tắc nhân
+Tập là biến cố chắc chắn.
+ Một cơng việc được hồn thành bởi +Số các chỉnh hợp chập k 1 k n
+Cho A là 1 biến cố liên quan 1 phép
hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách
n!
thử. Tập A \ A đgl biến cố đối của
thực hiện hành động thứ nhất và ứng của n phần tử là: Ank
n
k
!
biến cố A.
với mỗi cách đó có n cách thực hiện
hành động thứ hai thì có m.n cách 5.Tổ hợp: + Cho tập hợp A có n phần tử + A B thì A, B đgl hai biến cố
hồn thành cơng việc.
n 1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của xung khắc.
+Quy tắc nhân có thể mở rộng cho
A đgl một tổ hợp chập k của n phần tử
nhiều hành động liên tiếp.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
đã cho.
+Định nghĩa cổ điển của xác suất
Tính chất xác suất:
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với khơng gian mẫu chỉ có một P 0; P 1
số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Xác suất của biến cố A là:
0 P A 1 , với mọi biến cố A
P A
n A
n
Nếu 2 biến cố A, B xung khắc thì
P A B P A P B
Với n A là số phần tử của A hay số khả năng thuận lợi cho biến cố A.
P A 1 P A
n là số phần tử không gian mẫu.
7. Tam giác Pascal: Khai triển x y
n
n
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
*
x y x y
2
x y x 2 2 xy y 2
3
x y x3 3x 2 y 3xy 2 y 3
4
x y x 4 4 x3 y 6 x 2 y 2 4 xy 3 y 4
5
x y x5 5 x 4 y 10 x3 y 2 10 x 2 y 3 5 xy 4 y 5
n 1: 1 1
1
n 2: 1 2
1
n 3: 1 3
3
1
n 4: 1 4
6
4
n 5: 1
10 10
5
1
5
1
8. Công thức nhị thức Newton
a b
n
1 n1
n
2 n 2
n
n k
n1
n
C a C a .b C a .b ... C a .b ... C a.b
0 n
n
2
k
n
k
(1)
n1
C b
n
n n
n
Cnk a nk .b k
k 0
Trong vế phải (1) có n 1 hạng tử; tính từ trái sang phải các hạng tử có: số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b
tăng dần từ 0 đến n và tổng số mũ của a , b bằng n.
Số hạng tổng quát: Tk 1 Cnk a nk .bk .
Face: viethieu220284
Trang 20
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
+ 22 n 1 1
Đặc biệt:
+ 2 1 1 C C C ... C
n
n
0
n
1
n
2
n
+Cho tập hợp A có n phần tử n
*
n
n
2n
C20n C21n C22n ... C22nn (*)
0 1 1 C20n C21n C22n C23n ... 1 C2kn ... C22nn1 C22nn (**)
2n
k
Từ (*), (**) có:
C20n C22n C24n ... C22nn C21n C23n ... C22nn1 22 n1
Số tập con có 1 phần tử của A là: C
Số tập con có k 0 k n phần tử + 22 n1 1 12 n1 C20n1 C21n1 C22n1 ... C2nn1 C2nn11 ... C22nn11
1
n
của A là: Cnk .
Mà C20n1 C22nn11; C21n1 C22nn1;...; C2nn1 C2nn11
Số tất cả tập hợp con của A là:
Suy ra: 22 n C20n1 C21n1 C22n1 ... C2nn1 C2nn11 ... C22nn11
n
C
k 0
k
n
+ Đa thức f x a bx a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
2n
n
0 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 ... 1 Cnk
n
k
... 1 C
n
n
n
BT1. Bạn H có 2 áo màu khác nhau và ba
quần kiểu khác nhau. Hỏi H có bao nhiêu
cách chọn 1 bộ quần áo?
Giải: Hai áo được ghi
chữ a và b, ba quần
được đánh số 1,2,3.
Để chọn 1 bộ quần
áo, ta phải thực hiện
liên tiếp hai hành
động:
HĐ1: Chọn áo. Có hai
cách chọn (chọn a
hoặc b).
HĐ2: Chọn quần. Ứng với cách chọn áo có
ba cách chọn quần (Chọn 1, hoặc 2, hoặc 3).
Vậy số cách chọn 1 bộ quần áo là: 2.3 = 6
cách.
Tổng tất cả các hệ số trong khai triển đa thức f x bằng:
T a0 a1 a2 ... an f 1 a b
2.Cho đa giác lồi (H) có n cạnh
( n 4 ).
n
+Tổng tất cả các hệ số từ khai triển biểu
thức 3 x 4 là:
17
+ Số vectơ khác 0 có điểm đầu và
a17 a16 ... a1 a0 f 1 1
điểm cuối là hai đỉnh của (H) là: An2 .
4. Quy tắc cộng mở rộng cho 2 tập hữu
+ Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của
hạn
A, B và A B
(H) là: Cn3 .
n A B n A n B n A B
+Số đoạn thẳng có 2 điểm đầu mút
(Quy tắc bao hàm và loại trừ)
là 2 đỉnh của (H) là: Cn2 .
BT4. Một tổ 10 học sinh sẽ được chơi 2
+ Số đường chéo của đa giác (H) là: môn thể thao là cầu lơng và bóng bàn.
Cn2 n
Có 5 bạn đăng kí chơi cầu lơng, 4 bạn
đăng kí chơi bóng bàn, trong đó có 2
BT3. Từ khai triển biểu thức
bạn đăng kí chơi cả 2 mơn. Hỏi có bao
17
3x 4 , hãy tính tổng tất cả các nhiêu bạn đăng kí chơi thể thao? Bao
hệ số của đa thức nhận được.
nhiêu bạn khơng đăng kí chơi thể thao?
17
17
G: f x 3x 4 a17 .x ... a1 x a0
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Giải: Kí hiệu X là tập hợp 10 học sinh trong BT5. Bài kiểm tra trắc nghiệm gồm
tổ; A là tập hợp các học sinh đăng kí chơi 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả
cầu lơng; B là tập hợp các học sinh đăng kí lời và chỉ có 1 phương án trả lời
chơi bóng bàn.
đúng, điểm cho mỗi câu trả lời đúng
là 0,2. Bạn H làm chắc chắn đúng 30
câu và 20 câu còn lại bạn chọn ngẫu
nhiên. Tính gần đúng xác suất bạn H
được đúng 7 điểm.
Giải:
Số phần tử không gian mẫu:
n 420
nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra
của biến cố này không làm ảnh hưởng
tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
+ Nếu hai biến cố A, B độc lập với
nhau thì A và B ; A và B; A và B
cũng độc lập với nhau.
+ Quy tắc: Nếu hai biến cố A và B độc
lập với nhau thì P A.B P A.P B
A.B A B
BT6. Một chiếc máy có hai động cơ I và
II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất
Gọi A là biến cố: “H được 7 điểm”.
để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần
n X 10; n A 5; n B 4
5
15
lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để
n A C20 .3 .
n A B 2.
Vậy xác suất bạn H được đúng 7 cả 2 động cơ đều không chạy tốt.
Giải: Gọi A là bc “Động cơ I chạy tốt”, B
A B là tập hợp các bạn đăng kí chơi thể điểm là:
là biến cố “Động cơ II chạy tốt”, D là
5
thao.
C20
.315
biến cố “Cả 2 động cơ đều không chạy
P A
20, 233%
n A B n A n B n A B 7
420
tốt”.
Số bạn không đăng kí chơi thể thao là:
9.Quy tắc nhân xác suất:
P D P A.B P A .P B 6%
+ Hai biến cố A và B đgl độc lập với
n X n A B 3
Trang 21
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
XI.CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
1.CẤP SỐ CỘNG
3.CẤP SỐ NHÂN
7.Tổng của CSN lùi vô hạn
5.Giới hạn dãy số un
+ un là CSC (vô hạn) với
+ un là CSN (vô hạn) với công
un ,công bội q, q 1 bằng:
1
Face: viethieu220284
công sai d:
un 1 un d , n
bội q: un 1 un * q, n
*
+ un là CSC (hữu hạn, m
phần tử) với công sai d
un1 un d , n 1, m 1
+ un là CSN (hữu hạn, m phần
tử) với công bội q
un1 un * q, n 1, m 1
4.Tính chất CSN un , có số
2.Tính chất CSC un có số
hạng đầu u1 , cơng bội q:
hạng đầu u1 , công sai d
+ un u1 * q n 1
+ un u1 n 1 d
u u
+ uk k 1 k 1 , k 2
2
( uk 1; uk ; uk 1 là 3 số hạng liên
tiếp của CSC un )
+ Tổng n số hạng đầu của CSC
un là: Sn u1 u2 ... un
n u1 un
2
n n 1 d
nu1
lim
*
tiếp của CSN un )
+ Tổng n số hạng đầu của CSN
un là: Sn u1 u2 ... un
Nếu q 1 thì Sn
2
u1 1 q n
1 q
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
9.Định lí giới hạn hữu hạn hs
Nếu lim f x L; lim g x M
x x0
12. Giới hạn tích, thương hs
lim f x g x L M
lim f x * g x L * M
f x L
lim
M 0
x x0 g x
M
Nếu f x 0; lim f x L thì
x x0
lim f x lim f x L
x x0
x x0
11.Giới hạn hàm số đặc biệt
lim C C , C hằng số.
x
1
0 ,k nguyên dương.
xk
lim xk , k nguyên dương.
lim
x
x
lim x k , k
x
lim x k , k
x
,k chẵn.
, k lẻ.
lim un vn a b
lim un * vn a * b
u a
lim n b 0
vn b
+ Nếu un 0 và
lim un a thì a 0 và
lim un a
8.Nếu lim un a và
lim vn thì lim
un
0.
vn
+Nếu lim un a 0 ;
lim vn 0 và vn 0, n thì
u
lim n .
vn
+Nếu lim un a 0 ;
lim vn 0 và vn 0, n thì
u
lim n .
vn
+ Nếu lim un và
lim vn a 0 thì lim un .vn
+ Nếu lim un và
lim vn a 0 thì lim un .vn
+Hs y f x liên tục trên
x x0
x x0
lim un vn a b
u1
1 q
17.Đạo hàm
Cho hs y f x xác định trên
a;b và x0 a; b . Nếu tồn tại
lim f x f a ; lim f x f b lim f x f x0 hữu hạn thì
x a
x b
x x0
10. lim f x L khi và chỉ khi
lim q , q 1
6.Định lí về giới hạn hữu
hạn của dãy số
Nếu lim un a;lim vn b thì
S u1 u2 ... un ...
trên khoảng a; b và
lim f x g x L M
x x0
x x0
lim n , k
lim C C , C hằng số.
lim qn 0, q 1
k
đoạn a; b nếu nó liên tục
x x0
L 0; lim f x L
0, k
n
+ uk2 uk 1 * uk 1 , k 2
( uk 1; uk ; uk 1 là 3 số hạng liên
Nếu q=1 thì Sn n.u1
nk
13. Hàm số liên tục
+Hs y f x xác định trên
khoảng a; b và x0 a; b .
Hs y f x liên tục tại x0
lim f x f x0
x x0
lim f x lim f x f x0
.
14. +Hàm số đa thức liên
tục trên .
+Hàm số phân thức hữu tỉ
và các hàm lượng giác liên
tục trên từng khoảng xác
định của chúng.
15.Cho hs y f x và
y g x liên tục tại x0 . Khi
đó:
+ Các hs y f x g x ;
y f x .g x liên tục tại
x0 .
f x
liên tục tại x0
+ Hàm số y f x liên tục trên +Hs y
g x
1 khoảng khi nó liên tục tại mọi
nếu g x0 0 .
điểm thuộc khoảng đó.
“Đồ thị hs liên tục trên 1 khoảng 16. Nếu hs y f x liên
là một đường liền nét trên
tục trên a; b và
khoảng đó”.
f a . f b 0 thì pt f x 0
có ít nhất 1 nghiệm thuộc
khoảng a; b .
Trang 22
x x0
x x0
x x0
x x0
y ' x0 f ' x0 lim
x x0
f x f x0
x x0
18. Định lí: Nếu hs y f x
có đạo hàm tại x0 thì nó liên
tục tại điểm đó.
19. Pt tiếp tuyến của đths
y f x tại điểm M x0 ; y0 là:
y f ' x0 x x0 y0
+ x0 là hoành độ tiếp điểm.
+ y0 là tung độ tiếp điểm.
d
+ f ' x0 f x x x
dx
là hệ số góc của tiếp tuyến.
Chú ý: cho đt d: y ax b .
+Tiếp tuyến vng góc d
1
f ' x0
a
+Tiếp tuyến //d
f ' x0 a
(Tìm x0 , viết pttt, loại tt d )
0
Face: viethieu220284
20. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm sơ cấp
′
1
1
( ) = − 2 (𝑥 ≠ 0)
𝑥
𝑥
1
′
(𝑥 > 0)
(√𝑥) =
2 √𝑥
Đạo hàm của hàm sơ cấp
(𝐶)′ = 0 (C là hằng số)
1 ′
𝑢′
( ) = − 2 (𝑢 ≠ 0)
(𝑥)′ = 1
𝑢
𝑢
𝑢 ′ 𝑢′ . 𝑣 − 𝑣 ′ . 𝑢
𝑢′
′
(𝑣 ≠ 0)
( ) =
(𝑢 > 0)
(√𝑢) =
𝑣
𝑣2
2√𝑢
(𝑢. 𝑣)′ = 𝑢′ . 𝑣 + 𝑢. 𝑣 ′
(𝑢𝛼 )′ = 𝛼. 𝑢𝛼−1 . 𝑢′
(𝑢. 𝑣. 𝑤)′ = 𝑢′ . 𝑣. 𝑤 + 𝑢. 𝑣 ′ . 𝑤 + 𝑢. 𝑣. 𝑤 ′
′
𝑢
′
𝑛
(𝑘. 𝑢)′ = 𝑘. 𝑢′ (k là hằng số)
( √𝑢 ) = 𝑛
𝑛−1
𝑛 √𝑢
(𝑠𝑖𝑛𝑢)′ = 𝑢′ . 𝑐𝑜𝑠𝑢
21. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
(𝑐𝑜𝑠𝑢)′ = −𝑢′ . 𝑠𝑖𝑛𝑢
Xét chuyển động thẳng có pt quãng
𝑢′
đường chuyển động theo thời gian t
(𝑡𝑎𝑛𝑢)′ =
= 𝑢′ (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑢)
2
là s s t (Với s s t là hàm số có
𝑐𝑜𝑠 𝑢
(𝑐𝑜𝑠𝑢 ≠ 0)
đạo hàm cấp hai).
−𝑢′
+Vận tốc tức thời của chuyển động tại
′
(𝑐𝑜𝑡𝑢) =
𝑠𝑖𝑛2 𝑢
thời điểm t0 là v t0 s ' t0
= −𝑢′ (1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑢) (𝑠𝑖𝑛𝑢 ≠ 0)
(𝑥 𝛼 )′ = 𝛼. 𝑥 𝛼−1
𝑛
1
′
( √𝑥 ) =
𝑛
𝑛 √𝑥 𝑛−1
(𝑠𝑖𝑛𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = − 𝑠𝑖𝑛𝑥
1
(𝑡𝑎𝑛𝑥)′ =
= 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0)
1
′
(𝑐𝑜𝑡𝑥) = − 2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
= −(1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥) (𝑠𝑖𝑛𝑥 ≠ 0)
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
(𝑎
= 𝑎 . 𝑙𝑛𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 1)
(𝑎
1
(𝑙𝑛𝑥)′ = (𝑥 > 0)
𝑥
1
(𝑙𝑛|𝑥|)′ = (𝑥 ≠ 0)
𝑥
1
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥)′ =
𝑥. 𝑙𝑛𝑎
(𝑥 > 0, 0 < 𝑎 ≠ 1)
1
(𝑙𝑜𝑔𝑎 |𝑥|)′ =
𝑥. 𝑙𝑛𝑎
(𝑥 ≠ 0, 0 < 𝑎 ≠ 1)
ax
Đặc biệt:
cx
ax 2
dx 2
22.Vi phân: Cho hs y f x xác
(𝑒 𝑢 )′ = 𝑢′ . 𝑒 𝑢
𝑥
ax
+ Gia tốc tức thời của chuyển động tại
thời điểm t0 là a t0 s '' t0 .
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
(𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
𝑥 )′
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
b
d
a
b
c
(cx
d
d )2
bx c
dx e
bx
ex
c
f
d
e
Xét hàm số y x , x 0 và x0 4
x0 0,01 là số gia của x0 4 .
Face: viethieu220284
ad bc
(cx d ) 2
b
2aex
d
2
(dx e )
b
đúng giá trị của 3,99 .
= 𝑢 . 𝑎 . 𝑙𝑛𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 1)
x a; b . Giả sử x là số gia của x.
Vi phân của hàm số y f x tại x ứng
với số gia x là: dy df x f ' x . x
23. Ứng dụng vi phân tính gần
đúng:
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 ) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 ). ∆𝑥
24. Đạo hàm cấp n:
n
n 1
f x f x
Zalo 089908.3939
a
23.Ứng dụng vi phân tính gần
định trên a; b và có đạo hàm tại
𝑢
′
𝑢′
′
(𝑙𝑛𝑢) =
(𝑢 > 0)
𝑢
′
𝑢
(𝑙𝑛|𝑢|)′ =
(𝑢 ≠ 0)
𝑢
𝑢′
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢)′ =
𝑢. 𝑙𝑛𝑎
(𝑢 > 0, 0 < 𝑎 ≠ 1)
𝑢′
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢)′ =
𝑢. 𝑙𝑛𝑎
(𝑢 ≠ 0, 0 < 𝑎 ≠ 1)
adx 2
2
𝑢 )′
x2
2
(dx 2
y'
1
2 x
c
adx 2
e
a
c
d
f
ex
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
x
2aex be
(dx e ) 2
b
c
e
f
(𝑎𝑒−𝑏𝑑)𝑥 2 +2(𝑎𝑓−𝑑𝑐)𝑥+(𝑏𝑓−𝑒𝑐)
f )2
. Ta có cơng thức tính gần đúng
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 ) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 ). ∆𝑥
Trang 23
dc
(𝑑𝑥 2 +𝑒𝑥+𝑓)2
3,99 f 4 0,01 f 4 f ' 4 . 0,01
Vậy: 3,99 4
1
2 4
. 0,01 1,9975.
Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939
