ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN

-----------------

NGUYỄN KHẮC ĐẠT

DẠY HỌC TÍCH CỰC CHO HỌC SINH
QUA CHỦ ĐỀ "GIẢI TỐN
CĨ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM" Ở LỚP 12 THPT

Vinh, ngày 07 tháng 01 năm 2014

1


1. LÝ DO LỰA CHỌN ĐỀ TÀI:
Mơn tốn có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất
trí tuệ, rèn luyện cho HS tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, hợp lơgíc, phương pháp
khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập, qua đó có tác dụng rèn luyện
cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo. Trong chương trình Giải tích lớp 12 - THPT, nội
dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lượng lớn
kiến thức và thời gian học của chương trình, có ý nghĩa quan trọng trong các đề thi tốt
nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên
nghiệp. Bởi vậy, việc sử dụng đạo hàm của hàm số để giải toán là một nội dung rất cần
thiết và bổ ích đối với các em học sinh lớp 12-THPT. Xuất phát từ vai trị của việc dạy
học tích cực trong dạy tốn ở trường THPT, giáo viên cần phải chú trọng dạy học tích
cực để trang bị phương tiện cho học sinh hoạt động và tạo điều kiện để tổ chức dạy
học toán theo quan điểm hoạt động, góp phần đổi mới phương pháp dạy học theo
hướng tích cực hố hoạt động học tập của học sinh. Thực tế dạy học toán ở trường
THPT cho thấy cịn nhiều học sinh gặp khó khăn khi sử dụng phương pháp đạo hàm

để giải bài tập, mà một trong những nguyên nhân thường gặp là do các em khơng nắm
được quy trình, phương pháp giải loại tốn này. Trong dạy học chủ đề này, về phía
giáo viên cịn có những hạn chế như chưa thật chú ý truyền thụ tri thức phương pháp,
cịn nặng về trình bày lời giải và đưa thêm vào một số bài tập khó, phần truyền thụ tri
thức phương pháp và hướng dẫn học sinh thực hiện qui trình, vận dụng phương pháp
cịn chưa tốt...
Với mong muốn góp phần khắc phục những tồn tại trên, nâng cao chất lượng
dạy học nội dung này, từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: Dạy học tích cực cho học
sinh qua chủ đề “giải tốn có ứng dụng đạo hàm” ở lớp 12 THPT”.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
2.1. Mục đích
Nghiên cứu lý luận về dạy học tích cực và triển khai vào dạy học tích cực cho
học sinh qua chủ đề “Giải tốn có ứng dụng đạo hàm” ở lớp 12-THPT.
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về dạy học tích cực trong mơn Tốn.

2


- Tìm hiểu thực tiễn ở trường THPT về vấn đề dạy học tích cực nói chung và
trong dạy học giải tốn có ứng dụng đạo hàm nói riêng.
- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán ứng dụng đạo
hàm cho học sinh trong chương trình giải tích 12, góp phần đổi mới phương pháp dạy
và học tập ở trường phổ thông.
- Đề xuất giải pháp dạy học tích cực thơng qua một số biện pháp sư phạm.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu vận dụng hợp lý phương pháp dạy học tích cực có hướng dẫn trong dạy
tốn đạo hàm ở trường THPT thì học sinh học tập một cách chủ động, tích cực, sáng
tạo hơn, qua đó phát triển trí tuệ hơn và nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ

thông.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
-

Nghiên cứu lý luận.
Quan sát, điều tra thực tiễn.
Thử nghiệm sư phạm.
Thống kê toán học

5. BỐ CỤC LUẬN VĂN
Mở đầu.
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn trong việc dạy học tích cực toán đạo
hàm..
Chương 2. Một số biện pháp truyền thụ tri thức phương pháp qua dạy học
giải tốn có ứng dụng đạo hàm.
Chương 3. Thử nghiệm sư phạm .
Tài liệu tham khảo

3


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 LÝ LUẬN VỀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TỐN.
1.1.1 Mục đích, vai trị, ý nghĩa của bài tập tốn trong trường phổ
thơng
Pơlya cho rằng “Trong tốn học, nắm vững bộ mơn tốn quan trọng hơn
rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra
cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên
nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng

hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắng vững mơn học. Vậy thế nào
là muốn nắm vững mơn tốn ? Đó là biết giải tốn” [25, tr.82].
a. Mục đích:
Một trong những mục đích dạy tốn ở trường phổ thơng là:
Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh
biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân,
thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng
như trong học tập hiện nay và sau này. Làm cho học sinh nắm được một cách chính
xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng tốn học phổ thơng cơ bản,
hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những
tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn
khoa học khác.
b.Vai trị:
Tốn học có vai trị lớn trong đời sống, trong khoa học và cơng nghệ
hiện đại, kiến thức tốn học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học
sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói “Một khoa học chỉ thực
sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của tốn học”[5, tr.5].
Mơn tốn có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí
tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái qt hóa...Rèn luyện
những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính
kỷ luật, khoa học, sáng tạo....

4


c. Ý nghĩa:
Ở trường phổ thơng giải bài tập tốn là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ
thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học
vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để
giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã

học.
Việc giải bài tập tốn có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho học
sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học
sinh về nhiều mặt.
Việc giải một bài tốn cụ thể khơng những nhằm một dụng ý đơn nhất
nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên.
1.1.2 Vị trí và chức năng của bài tập tốn
a. Vị trí:
“Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học
sinh có thể xem giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập
tốn ở trừơng phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và khơng thể thay thế được
trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ
xảo, ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực
hiện tốt dạy giải bài tập toán học, có vai trị quyết định đối với chất lượng dạy học
toán”.[13, tr.201].
b. Các chức năng của bài tập toán:
Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của q trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
- Chức năng dạy học.
- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:

5


- Chức năng dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành củng cố cho học
sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.

- Chức năng giáo dục: Bài tập tốn nhằm hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niền tin và phẩm chất đạo
đức của người lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho
học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành những phẩm chất của
tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và
trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào
việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả
viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm
vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
1.1.3 Dạy học phương pháp giải bài tốn.
Trong mơn tốn ở trường phổ thơng có nhiều bài tốn chưa có
hoặc khơng có thuật giải và cũng khơng có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả
các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thơng qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà
dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tịi
lời giải cho mỗi bài tốn.
Dạy học giải bài tập tốn khơng có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học
sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài tốn khơng quan trọng bằng làm thế nào để
giải được bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy
giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải
cho một bài tốn.
Theo Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài tốn thường được tiến
hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài tốn đó và có hứng thú
với việc giải bài tốn đó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí


6


tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài tốn một cách tổng qt.
Tiếp theo phải phân tích bài tốn đã cho:
-Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện.
-Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).
-Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các
điều kiện đó dưới dạng cơng thức tốn học được khơng?
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
“Phải phân tích bài tốn đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Phải
huy động những kiến thức đã học( định nghĩa, định lí, quy tắc...) có liên quan đến
những điều kiện, những quan hệ trong đề tốn rồi lựa chọn trong số đó những kiến
thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mị mẫm, dự đốn kết quả. Xét vài
khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt. Sau đó, xét một bài tốn tương tự
hoặc khái qt hóa bài tốn đã cho”[13, tr.210].
Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong q trình giải.
- Nhìn lại tồn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một
loại bài tốn nào đó.
-Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể ).
-Khai thác kết quả có thể có của bài toán.
-Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái qt hóa bài tốn.
Cơng việc kiểm tra lời giải của một bài tốn có ý nghĩa quan trọng. Trong
nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài tốn khác. Vì
vậy "Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra lại bài tốn, xét xem
có sai lầm hay thiếu sót gì khơng, nhất là những bài tốn có đặt điều kiện hoặc bài tốn
địi hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách
thường xuyên” [13, tr.212].


7


8


1.1.4 Bồi dưỡng năng lực giải toán.
Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn
luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy, trong q trình dạy học người thầy giáo phải chú
trọng bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh. Năng lực giải toán là khả năng thực
hiện 4 bước trong phương pháp tìm lời giải bài tốn của Pơlya.
Rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh chính là rèn luyện cho họ
khả năng thực hiện bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài tốn của Pơlya. Điều
này cũng phù hợp với phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề theo xu
hướng đổi mới phương pháp dạy học của nền giáo dục nước ta hiện nay. Một điểm
đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập tốn, cần khuyến khích học sinh
tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào
đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách
nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát
triển năng lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay
nhất, đẹp nhất...”[13, tr.214].
Trong q trình tìm lời giải bài tốn theo bảng gợi ý của Pơlya rất có
hiệu quả, nó đặt học sinh trước những ý nghĩ tích cực, chẳng hạn như:
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay bạn đã gặp bài toán này ở
dạng hơi khác ?
- Bạn có biết bài tốn nào có liên quan khơng ? Có thể dùng định lý hay
cơng thức nào để giải nó ?
- Có thể sử dụng kết quả của bài toán khác vào việc giải bài toán này
hay khơng? có thể đưa ra một bài tốn tương tự hoặc một bài toán tổng quát hơn bài

toán đã cho khơng ?...
1.2 KỸ NĂNG GIẢI TỐN VÀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
1.2.1 Kỹ năng
“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong
đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì”[3,
tr.548].

9


Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào
đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định. Nếu tạm thời tách tri thức và kỹ
năng để xem xét riêng từng các tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng
“biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.
Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”.
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi
người để đạt được mục đích. Kỹ năng cịn có thể được đặc trưng như một thói quen
nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp. “Trong tốn
học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận được.
Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông
tin trơn”.[25, tr.99].
Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận
dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vững kiến
thức các khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình
thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần
phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng
vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học đi đôi

với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”.
1.2.2 Kỹ năng giải toán.
“Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải
các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)”[5, tr.12].
Để thực hiện tốt mơn tốn ở trong trường THPT, một trong những yêu
cầu được đặt ra là:
“Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt
là tri thức có tính chất thuật tốn và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn: tri thức và
kỹ năng giải bài tốn bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán
học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm...”[13, tr.41].
Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức tốn học mà có những yêu cầu
rèn luyện kỹ năng khác nhau.

10


1.2.3 Đặc điểm của kỹ năng.
Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chúa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.
Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu
những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý
thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần
thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng. Bởi vì: “Mơn tốn là mơn học cơng cụ có đặc
diểm và vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong trường
phổ thơng”.[13, tr.29].Vì vậy, cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và
rèn luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt
động.
-Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: kiến

thức, kỹ năng, phương pháp.
1.2.4 Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức
tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài
tập. Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho học sinh, chủ yếu là kỹ năng học tập và kỹ
năng giải tốn, người thầy giáo cần phải:
-Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát ) để giải quyết
các đối tượng, các bài tập cùng loại.
-Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Do đặc điểm, vai trị và vị trí của mơn tốn trong nhà trường phổ thơng,
theo lý luận dạy học mơn tốn cần chú ý: “ Trong khi dạy học mơn tốn cần quan
tâm rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau ”đó là:
-Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn tốn
-Kỹ năng vận dụng tri thức tốn học vào những môn học khác
-Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống”[12, tr.19].

11


Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ
quan trọng hàng đầu của bộ mơn tốn trong nhà trường phổ thơng. Rèn luyện kỹ năng
toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán
cần đạt được các yêu cầu sau:
1/ Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ
bản xuyên suốt chương trình phổ thơng. Trong mơn tốn có thể kể tới các kiến thức
sau:
- Các hệ thống số.
- Hàm số và ánh xạ.
- Phương trình và bất phương trình.

- Định nghĩa và chứng minh toán học.
- Ứng dụng toán học.
2/ Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy logic và ngơn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật tốn.
- Khả năng suy đốn, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng khơng gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái qt hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
3/ Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán,
gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính tốn, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ
thị.
4/ Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như:
Tính cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.3 NỘI DUNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TỐN
1.3.1. Tóm tắt kiến thức về đạo hàm ở trong chƣơng trình tốn
THPT
a) Theo phân phối chương trình Phổ thơng trung học trước năm 2002
thì chương trình Đại số của lớp 12 phần lớn đều sử dụng công cụ đạo hàm để giải
quyết và phát triển các bài tập với nội dung của SGK như sau:
Chương I: Đạo hàm
Đ1. Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm.

12


Đ2. Các qui tắc tính đạo hàm.
Đ3. Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản.
Đ4. Đạo hàm cấp cao.
Đ5. Vi phân.
Chương II: ứng dụng của đạo hàm

Đ1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Đ2. Cực đại và cực tiểu.
Đ3. Giá trị lớn nhât và giá tri nhỏ nhất của hàm số.
Đ4. Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị.
Đ5. Tiệm cận.
Đ6. Khảo sát.
Đ7. Một số bài tốn có liên quan đến khảo sát hàm số, ơn tập.
Trong chương trình SGK lớp 12, tồn bộ học kỳ I chỉ học về
đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm là 48 tiết, trong đó có 30 tiết dành cho lý
thuyết, còn lại là các tiết bài tập thường chú trọng về phương pháp giải các bài tập ứng
dụng đạo hàm.
b) Theo phân phối chương trình thí điểm THPT được Bộ giáo dục và đào
tạo ban hành theo Quyết định số 47/2002/QĐ-BGD&ĐT ngày 19/11/2002 của Bộ
trưởng Bộ giáo dục và đào tạo thì chương “”Đạo hàm” có 14 tiết được dạy vào
chương V, chương cuối của SGK Giải tích 11 Ban Khoa học tự nhiên với các nội dung
sau:
Đ1. Khái niệm đạo hàm. Định nghĩa. Cách tính. ý nghĩa hình học và
vật lý của đạo hàm.
Đ2. Các qui tắc tính đạo hàm. Đạo hàm và tổng, hiệu tích, thương của
các hàm số. Đạo hàm của hàm số hợp.
Đ3. Đạo hàm của hàm số hữu tỉ và của hàm số lượng giác.
Đ4. Vi phân, Định nghĩa. Ứng dụng vào phép tính gần đúng,
Đ5. Đạo hàm cấp cao. Định nghĩa. ý nghĩa hình học và cơ học của đạo
hàm cấp hai.
Đ6. Ôn tập.

13


Đạo hàm được đưa xuống 11 nhằm phục vụ cho việc học Vật lý, Hố

học...có xét đạo hàm một bên, nêu hệ số góc của tiếp tuyến và vận tốc tức thời của
chuyển động. Do thời lượng hạn chế chương hàm số mũ, hàm số logarit được chuyển
lên lớp 12 nên chưa nói đến đạo hàm của các hàm số này. Chương trình giải tích 12
Ban khoa học tự nhiên được xây dựng theo các quan điểm chủ đạo sau:
* Chú trọng những kiến thức về kỹ năng cơ bản mang tính chất đặc thù
của Tốn học và phối hợp với định hướng của Ban khoa học tự nhiên.
* Đáp ứng mục tiêu mơn Tốn, đồng thời chú ý đến việc dạy
các mơn khoa học khác như Vật lý, Hố học, Sinh vật...
* Giúp HS nâng cao năng lực tưởng tượng, hình thành cảm xúc thẩm
mỹ, khả năng diễn đạt ý tưởng qua học tập mơn Tốn.
c) Theo chương trình mới được ban hành (kèm theo SGK toán
12 mới) và thực hiện từ năm học 2008-2009 “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ
thị của hàm số” gồm có 20 tiết và nội dung như sau:
Đ1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Đ2. Cực trị của hàm số.
Đ3. Cung lồi lõm và điểm uốn của đồ thị.
Đ4. Gía trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số.
Đ5. Đường tiệm cận.
Đ6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Đ7. Sự tương giao của hai đồ thị.
Đ8. Ôn tập.
Nội dung chủ yếu của chương này là khảo sát sự biến thiên của hàm
số dựa vào cơng cụ đạo hàm. Với chương trình mới được ban hành thực hiện từ năm
học 2008 - 2009 đã đem lại thuận lợi cho học sinh khi vận dụng các định lý các tính
chất, cung cấp kịp thời những kiến thức toán học cần thiết phục vụ một số mơn học
khác như vậy lý, sinh học, tốn học, tránh được căng thẳng cho học sinh khi phải học
liên tục học dồn dập, nhiều giờ một vấn đề chẳng hạn nhớ q nhiều cơng thức.
1.3.2. Vị trí, tầm quan trọng của đạo hàm trong chƣơng trình phổ
thơng


14


Đạo hàm là một nội dung cơ bản trong chương trình tốn phổ thơng,
là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích. HS được học về đạo hàm là một cơng
cụ tổng qt có hiệu quả để khảo sát hàm số, nghiên cứu các tính chất của hàm số như
tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, các điểm tới hạn của hàm số, khảo sát
hàm số, ứng dụng tính chất của đạo hàm để giải một số bài tốn về phương trình, bất
phương trình, bất đẳng thức...Ngồi ra, đạo hàm cịn có ứng dụng rất to lớn trong lĩnh
vực khác như xét điều kiện tiếp xúc của hai đường, bài tốn tính vận tốc, gia tốc của
một chuyển động vật lý...

1.3.3. Quá trình hình thành và phát triển nội dung đạo hàm trong trường
phổ thông
Đạo hàm gắn liền với hàm số, vì thế cần xem xét tới quá trình hình
thành của hàm số, rồi dẫn đến quá trình hình thành và phát triển của đạo hàm. Trước
lớp 7, HS chưa được học định nghĩa hàm số một cách tổng quát. Tuy nhiên các em dần
dần tiếp xúc với những ví dụ cụ thể về khái niệm này, chẳng hạn như một số phép toán
số học cộng; trừ; nhân; chia ...

* Lớp 7, SGK đã bắt đầu giới thiệu về định nghĩa hàm số, khái niệm
về đồ thị hàm số, tiếp đó là nghiên cứu một số hàm cụ thể như:

* Đến lớp 9 là y = ax + b; tiếp đó là y = ax 2 ; y = ax 2 + bx + c.
Sang lớp 10, HS bắt đầu nghiên cứu thêm một số hàm số như hàm
luỹ thừa, hàm căn thức, hàm có chứa giá trị tuyệt đối. Ở lớp 11, HS học về những hàm
số có đối số là số tự nhiên (dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân...) và hàm số lượng giác.
Hàm số được hình thành từ trước lớp 7, đến lớp 11 được hoàn thiện dần. Tuy nhiên
cho đến lớp 11, SGK chưa đề cập gì đến đạo hàm.
Đến lớp 12, ở chương 1 từ bài toán đầu tiên SGK đã hình thành cho

HS về định nghĩa đạo hàm, cách tính đạo hàm thơng qua bài tốn vận tốc, tiếp tới dạy
cho HS cách tính đạo hàm của các hàm chứa chăn luỹ thừa, hàm lượng giác, dạy cho
15


HS tính đạo hàm một cách thuần thục vì nó là cơng cụ tổng qt có hiệu quả để khảo
sát hàm số và giải các bài tốn có ứng dụng đạo hàm.
1.3.4. Mục đích yêu cầu dạy học đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm
Trên cơ sở mục đích của mơn tốn ở trường THPT, căn cứ vào nội
dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong chương trình THPT, ta có thể xác định mục
đích, u cầu của dạy học đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm như sau:
a) Về kiến thức, HS cần phải nắm được các nội dung:
- Khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học, vật lý đạo hàm.
- Các qui tắc tính đạo hàm.
- Nắm được định nghĩa vi phân, cơng thức tính gần đúng nhờ vi phân.
- Định nghĩa đạo hàm cấp cao và ứng dụng trong cơ học của đạo hàm
cấp hai.
- Ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài tốn về cực trị của hàm
số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, các bài toán về tiếp tuyến, khảo sát đồ thị hàm số
b) Về kỹ năng, ứng dụng đạo hàm để:
+) Khảo sát các hàm số.
+) Xét tính đơn điệu, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số, tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị.
+) Một số bài toán về tiệm cận.
+) Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bài tốn về nhị thức Niu
tơn, tính tổng.
c) Về TTPP yêu cầu HS nắm và vận dụng được:
- Các bước tính đạo hàm của các hàm số.
- Các bước tìm cực trị.
- Các bước tìm lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.

- Các qui tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tìm tiệm cận của
hàm số.
- Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
d) Tư duy:
- Tư duy hàm.
- Qui lạ về quen.

16


1.3.5. Thực trạng dạy học giải tốn có ứng dụng đạo hàm ở
trường THPT
Thực trạng dạy học giải tốn có ứng dụng đạo hàm ở trường THPT
cịn gặp nhiều khó khăn, kết quả chưa tốt. Việc dạy TTPP cho HS ở trường
THPT trong mơn tốn chưa được GV chú trọng đúng mức.
Học sinh chưa nắm được các cơng thức tính đạo hàm nhất là đạo hàm
của hàm số hợp, hàm số lượng giác. Cho nên việc áp dụng đạo hàm và giải quyết các
bài tập có ứng dụng đạo hàm là rất khó. Học sinh chưa biết vận dụng lý thuyết vào giải
các bài tập toán.
Giáo viên chưa khái quát cho HS mỗi dạng toán cần phải làm như thế
nào. Mà chỉ quan tâm đến việc đưa ra bài tập và trình bày lời giải cho học sinh hoặc
hướng dẫn một cách qua loa.
Trong việc "dạy học" giải tốn có ứng dụng đạo hàm, GV chỉ cung
cấp cho các công thức về đạo hàm, quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, cách
tìm điểm lồi lõm và điểm uốn… mà không dạy cho HS cách vận dụng lý thuyết đó vào
các bài tập ra sao.
1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học của nước ta hiện nay
là"Hoạt động hóa người học” nhằm mục đích nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo.
Với nội dung đã trình bày ở chương 1: Dạy học phương pháp tìm lời giải bài tốn, bồi

dưỡng năng lực giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ta thấy: dạy học
giải bài tập toán cho học sinh trung học phổ thông là rèn luyện khả năng tìm lời giải
bài tốn theo bốn bước của Pơlya.
Trong thực tế hiện nay, kỹ năng giải toán của học sinh trung học phổ
thơng
cịn nhiều hạn chế.Để góp phần khắc phục tình trạng đó, trong chương 2
của luận văn, chúng tơi sẽ đưa ra một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện cho học
sinh khả năng tìm lời giải bài tập toán đạo hàm hiệu quả.

17


Chương 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TỐN
CĨ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÍCH CỰC
2.1. MỘT SỐ BIỆN PHÁP TĂNG CƯỜNG TRUYỀN THỤ
TTPP TRONG DẠY HỌC GIẢI TỐN CĨ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
2.1.1. Biện pháp 1:
Hệ thống hoá các TTPP để cho HS nắm chắc kiến thức và vận dụng vào giải
tốn có ứng dụng đạo hàm. Giáo viên cần phải chú trọng chọn lọc ở trong các nội dung
dạy học thuộc chủ đề trên để rút ra:
+ Có những TTPP nào ở đó ;
+ Lựa chọn phối hợp 3 cách dạy
2.1.2. Biện pháp 2: Xây dựng một hệ thống câu hỏi, bài tập để HS
rèn luyện các kĩ năng tương thích với những TTPP đó.
2.1.3. Biện pháp 3: Bồi dưỡng giáo viên về TTPP.
+ Khái niệm TTPP.
+ Vai trò của TTPP.
+ Các cách dạy TTPP.
+ Soạn giáo án theo quan điểm hoạt động, trong đó chú trọng các

hoạt động liên quan đến TTPP.
Bước 1: GV nghiên cứu SGK, phân phối chương trình từ đó suy ra
mục tiêu bài học.
Bước 2: Xác định rõ TTPP trong bài học.
Bước 3: Lựa chọn, phối hợp các cách dạy TTPP:
- Dạy học truyền thụ tường minh TTPP.
- Thông báo tri TTPP.
- Tập luyện các hoạt động ăn khớp.
Lựa chọn nội dung, đảm bảo việc học sinh có cơ hội hoạt động ăn khớp hay
không.
Bước 4: Thiết kế giáo án

18


2.2. VẬN DỤNG CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TRUYỀN THỤ TRI THỨC
PHƯƠNG PHÁP TRONG DẠY HỌC GIẢI TỐN CĨ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
2.2.1. Loại toán 1
Xác định sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y = f(x)
1) Tri thức và Tri thức phương pháp:
HS cần phải nắm được các kiến thức cơ bản sau:
- Các qui tắc và công thức tính đạo hàm.
-- Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.

19


20



3) Cách dạy tri thức phương pháp:
Với bài này, chúng tôi kết hợp giữa 2 cách dạy“Truyền thụ tường minh
TTPP” và “Thơng báo TTPP trong q trình hoạt động” như sau: Trước tiên GV cần
trình bày đầy đủ 5 bước trên cho HS, hướng dẫn cho HS vận dụng từng bước giải bài
tốn đã cho.
Bước 1: Chúng tơi sử dụng cách dạy "Thơng báo TTPP trong q
trình hoạt động” như sau: Xác định dạng tốn sau đó tính đạo hàm. Xác định xem hàm
số cần phải tính đạo hàm là hàm lượng giác, đa thức hay phân thức phải áp dụng cơng
thức tính đạo hàm nào. HS tiến hành y' = f ’ (x)
Bước 2: Xét dấu y' = f'(x). Chúng tôi sẽ kết hợp với cách dạy "Truyền
thụ tường minh TTPP" như sau. Muốn xét dấu đạo hàm theo phương pháp khoảng cần
nhớ rõ các bước sau:
- Bước 2.1: Tìm nghiệm của đạo hàm y'(x) = 0
- Bước 2.2: Sắp xếp các nghiệm trên trục số
- Bước 2.3: Xét dấu của các khoảng nghiệm trên TXĐ của hàm số dựa
vào định lý xét dấu bằng phương pháp khoảng đã học ở lớp 10.
- Bước 2.4: Kết luận dấu của các khoảng trên trục số
Bước 3: Từ việc xét dấu của hàm số y = f'(x) ở bước 2 ta lập bảng biến
thiên của hàm số
Bước 4: Áp dụng định lý về tính chất đồng biến và nghịch biến của
hàm số để kết luận.
Cho hàm số: y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b)

21


Sử dụng cách dạy "Truyền thụ tường minh TTPP" hướng dẫn cho HS áp
dụng định lý trên để đưa ra kết luận.
Bước 5: Kết luận bài tốn.
2.2.2. Loại tốn 2

Tìm cực trị của hàm số
1) Tri thức:

2.2.3. Loại toán 3
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:

22


1) Tri thức phương pháp
*Sơ đồ khảo sát
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
(Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hồn (nếu có)).
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a. Xét chiều biến thiên của hàm số
- Tính đạo hàm
- Tìm các điểm tới hạn
- - Xét dấu của đạo hàm
- Suy ra chiều biến thiên của hàm số
b. Tính các cực trị
c. Tìm các giới hạn của hàm số
- Khi x dần tới vô cực
- Khi x dần tới, bên trái và bên phải, các giá trị của x tại đó hàm số
khơng xác định
- Tìm các tiệm cận (nếu có)
d. Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số (đối với các
hàm số trong chương trình)
- Tính đạo hàm cấp 2
- Xét dấu của đạo hàm cấp 2
- Suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị


23


đ. Lập bảng biến thiên
(Ghi tất cả các kết quả đã tìm được vào bảng biến thiên)
Bước 3. Vẽ đồ thị
- Chính xác hố đồ thị (xem chú ý dưới đây)
- Vẽ đồ thị

Chú ý:
* Nếu hàm số là tuần hồn với chu kì T, thì chỉ cần khảo sát hàm số
trên một chu kì rồi cho tịnh tiến đồ thị theo trục Ox.
* Để chính xác hố đồ thị, nên tìm giao điểm của đồ thị với các trục
toạ độ và nên lấy thêm một số điểm của đồ thị, nên vẽ tiếp tuyến ở một số điểm đặc
biệt: cực trị, điểm uốn v.v... Nêu nhận xét các yếu tố đối xứng: tâm đối xứng, trục đối
xứng (nếu có). Việc chứng minh các tính chất đối xứng là khơng bắt buộc.
* Đối với các hàm số quy định trong chương trình, cần:
- Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số:

Để truyền thụ TTPP này ở đây chúng tôi sử dụng 2 cách dạy
học "Thơng báo TTPP trong q trình hoạt động" và "Truyền thụ tường minh
TTPP" như sau:
- - Nếu sử dụng cách "Truyền thụ tường minh TTPP " thì:
24


+) GV trình bày đủ 3 bước cho HS.
+) Hướng dẫn HS vận dụng từng bước để giải bài tập đã cho.
- Cịn sử dụng cách "Thơng báo TTPP trong quá trình hoạt động" thì:

+) GV ra bài tập sau đó hướng dẫn HS làm
+) Ở mỗi bước GV tổ chức HS rút ra TTPP sau đó GV chính thức thơng
báo với HS về TTPP đó.
+) Kết luận cho bài tập
2.2.4. Loại tốn 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1) Tri thức:
+ Khái niệm về điểm tới hạn
+ Định nghĩa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số y = f(x) trên tập D nếu:

+ Hiểu được khái niệm về giá trị nhỏ nhất và giá trị giá trị lớn nhất của
hàm số trên một khoảng.
+ Hiểu được khái niệm về giá trị lớn nhất và giá trị giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên một đoạn.
2) Tri thức phương pháp
Bài tốn: Cho hàm số y = f(x). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm
số trên một đoạn [a, b]

25