Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CÁC CHỦ ĐỀ
BỒI DƯỠNG TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 7

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020


1

Website:tailieumontoan.com
Chủ đề 1. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = kx (với k là hằng số khác 0 )
thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k .
Chú ý: Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là

1
k

2. Tính chất
Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:
- Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi:

y
y1 y2 y3
=

=
= ...= n= k .
x1 x2 x3
xn

- Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của
x
y
x
y
x
y
đại lượng kia. 1 = 1 ; 1 = 1 ; …; m = m .
x2 y 2 x3 y 3
xn yn
II. BÀI TẬP
Bài 1: Các giá trị tương ứng của x và y được cho trong bảng sau:
x

0,5

1,5

2,5

3,5

y

2,5


7,5

12,5

17,5

Hai đại lượng này có tỉ lệ với nhau khơng ? Nếu có hãy tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x và
biểu diễn y theo x.
Bài 2: Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là:

1
2

a) Viết công thức biểu diễn y theo x và x theo y
b) Lập các bảng giá trị của y ứng với giá trị của x ;
3

2

1

0

1

2

5


8

Bài 3: Chu vi và cạnh của tam giác đều có tỉ lệ thuận với nhau khơng? Nếu có, hệ số tỉ lệ
là bao nhiêu?
Bài 4: Một công nhân sơn một bức tường cứ 30 mét vng thì hết 45 phút. Hỏi trong 75
phút cơng nhân đó sơn được bao nhiêu mét vng tường?
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


2

Website:tailieumontoan.com

Tóm tắt

Thời gian (x) (phút)

Số mét vng tường sơn được (y)

x 1  ......

y1  ......

x 2  ......

y2  ?

Bài 5: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau và khi x  3 thì y  2, 7

a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và biểu biễn y theo x
b) Tính giá trị của y khi x  2 và tính giá trị của x khi y  0, 9
Bài 6: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.Điền các số thích hợp vào các ô trống trong
bảng:
x

0,5

y

2

1

3
16

8

Bài 7: a) Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 7 và x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ
là 0,3. Hỏi y và z có tỉ lệ thuận với nhau khơng ? Nếu có hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
b) Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là a; x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là
b.Hỏi y và z có tỉ lệ thuận với nhau khơng? Nếu có hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Bài 8: Khi kim giờ quay được 8 vịng thì kim giây quay được bao nhiêu vòng? Khi kim
giây quay được 1800 vịng thì kim giờ quay được bao nhiêu vịng?
Bài 9: Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2, và z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ

2
.
3


Hãy chứng tỏ rằng y tỉ lệ thuận với z và tìm hệ số tỉ lệ.
Bài 10: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, gọi x 1; x 2 là hai giá trị của x và y1; y2 là
hai giá trị tương ứng của y. Biết x 1  6; x 2  9 và y1  y2  10 . Tìm y1; y2
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Là hai đại lượng tỉ lệ thuận
Biểu diễn y theo x là y  5x
1
x
2
Biểu diễn x theo y là x  2y

Bài 2: Biểu diễn y theo x là: y 

Bài 3:
Chu vi C của tam giác đều tỉ lệ thuận với cạnh a của nó: C = 3a. Hệ số tỉ lệ là 3.

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


3

Website:tailieumontoan.com

1
3

Cạnh a của tam giác đều tỉ lệ thuận với chu vi C của nó: a = C . Hệ số tỉ lệ là


1
3

Bài 4: Thời gian làm việc và số mét vuông sơn được là hai đại lượng tỉ lệ thuận
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có:
45 30
75.30
=
⇒ y2 =
= 50
75 y2
45
Vậy trong 75 phút, cơng nhân đó sơn được 50 mét vng
Bài 5: Vậy hệ số tỉ lệ k của y đối với x là:  0, 9
Biểu diễn y theo x là: y   0, 9.x
Bài 6:
x

0,5

1

2

3

4

y


2

4

8

-12

16

Bài 7:

1

a) y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 7 nên ta có: y  7x
x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là 0,3 nên ta có: x  0, 3z

2

Thay 2 vào 1 ta có: y  7.0, 3z  2,1
 z
Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là: 2,1

*

b) y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là a nên ta có: y  ax
x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là b nên ta có: x  bz

* *


Thay * * vào * ta có: y  a.b.z  
 ab.z
Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là: k  ab
Bài 8: x =

1
z (với x là số vòng quay kim giờ, z là số vòng quay kim giây)
3600

Khi giờ quay được 8 vòng ( x  8 ) thì kim giây quay được là:
8

1
(vịng)
.z  z  28800

3600

Khi giây quay được 1800 vịng ( z = 1800) thì kim giờ quay được là:

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


4

Website:tailieumontoan.com


x

1
.1800  0, 5 (vòng)
3600

Bài 9: z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
x

2
3
nên x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ . Ta có
2
3

3
z
2

y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2 nên ta có y  2x  2.

3
 3z .
2

Vậy y tỉ lệ thuận với z, hệ số tỉ lệ là 3 .
Bài 10: Do x và y là hai đại lương tỉ lệ thuận nên ta có:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

y1

2



y2
3



y1
y2



y1  y 2
2  (3)

x1
x2




6
2

9 3

10
2 .

5

Tính được y1 =2.2 = 4 : y2 =  3.2=  6
Chủ đề 2. KHÁI NIỆM VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
•

Trong toán học, vật lý…. ta thường gặp các biểu thức mà trong đó ngồi các số, các ký
hiệu phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, cịn có cả các chữa (đại diện
cho các số) . Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.

•

Trong biểu thức đại số, các chữ có thể đại diện cho những số tùy ý nào đó. Người ta
gọi những chữ như vậy là biến số (còn gọi tắt là biến) .

•

Trong biểu thức đại số, vì chữ đại diện cho số nên khi thực hiện các phép tính tốn
trên các chữ, ta có thể áp dụng những tính chất, quy tắc phép toán như trên các số.

II. BÀI TẬP
Bài 1:

Viết các biểu thức đại số biểu thị:

 Trung bình cộng của hai số a và b ;
 Tổng các lập phương của hai số a và b ;
 Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp ;
 Tổng của hai số hữu tỷ nghịch đảo của nhau ;

 Khối lượng M của một vật có thể tích V và khối lượng riêng D .
 Diện tích S của một tam giác có cạnh a và đường cao h ứng với cạnh đó.
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


5

Website:tailieumontoan.com
Bạn An mua 5 quyển vở giá x đồng một quyển và 4 cái bút giá y đồng một cái.

Bài 2:

Hỏi số tiền An phải trả là bao nhiêu?
Bài 3: Một người đi 15 phút từ nhà đến bến xe buýt với vận tốc x km/h rồi lên xe buýt
đi 24 phút nữa thì tới nơi làm việc. Vận tốc của xe buýt là y km/h. Tính quãng đường
người ấy đã đi từ nhà đến nơi làm việc.
Bài 4:

Diễn đạt các biểu thức sau bằng lời:
b)

a) x + y ;

( x + y )( x − y )
.
2

d) ( x + y )2 ( x − y )2 .


c) 5( x + y );

Bài 5: An có a viên bi, Bình có gấp đơi An, Cúc có ít hơn Bình b viên bi, số bi của Dũng
bằng tổng số bi của An, Bình, Cúc. Số bi của Đức bằng hiệu của bình phương số bi của
Dũng và tổng số bi của bốn bạn An, Bình, Cúc , Dũng. Hãy viết các biểu thức đại số biểu
thị số bi của mỗi bạn theo a và b.
Cập nhật:
Bài 6: Hãy viết các biểu thức hiện thị:
a) Tổng các bình phương của hai số lẻ liên tiếp
b) Tổng các bình phương của hai số lẻ bất kỳ
c) Tổng của hai số nguyên liên tiếp.
d) Số nguyên chia cho 3 dư 1
e) Số tự nhiên có 3 chữ số gồm a trăm, b chục, c đơn vị
Hướng dẫn giải:
Bài 1: a)
d) x +

a+b
;
2

1
(x ∉∈ , x ≠ 0) ;
x

b) a 3 + b3 ;

c) n + (n + 1) (n ∈  ) ;


e) M = D.V

f) S =

1
ah
2

Bài 2: Số tiền An phải trả là 5x  4y
Bài 3: Đổi 15 phút =

1
giờ
4

24 phút =

Quãng đường đã đi từ nhà tới nơi làm việc là: S 

2
giờ
5
1
2
x y
4
5

Bài 4: a) Tổng hai số x , y.
b) Nửa tích của tổng hai số x , y và hiệu hai số x , y.

c) Năm lần tổng hai số x , y.
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


6

Website:tailieumontoan.com

d) Tích của bình phương tổng hai số x , y và bình phương của hiệu hai số x , y.
Bài 5:
Số viên bi của bạn An là a viên.
Số viên bi của bạn Bình là 2a viên.
Số viên bi của bạn Cúc là 2a  b viên.
Số viên bi của bạn Dũng là 5a  b viên.
Số viên bi của bạn Đức là (5a  b)2  (10a  2b) viên.
Bài 6:
a) (2n  1)2  (2n  1)2 với n  
b) (2m  1)2  (2n  1)2 với n  
c) n+(n+1) với n  
d) 3n+1 với n  
e) 100a + 10b + c với a, c, b  ; 1  a  9; 0  b, c  9

Chủ đề 3. TẬP HỢP  CÁC SỐ HỮU TỈ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số

a
với a, b  , b  0.

b

Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là  .
2. Bất kì số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn trên trục số dưới dạng phân số có mẫu dương;
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x .
3. Với hai số hữu tỉ x , y ta ln có hoặc x  y , hoặc x  y , hoặc x  y. Ta có thể so sánh hai số
hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó:
- Nếu x  y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y;
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm.
- Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm

II. BÀI TẬP
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


7

Website:tailieumontoan.com

Bài 1: Điền ký hiệu (; ;  ) vào ô trống

Bài 2: a) Tìm 3 phân số bằng các phân số
b) Tìm 3 phân số bằng các phân số

14
:
21


4
:
12

Bài 3: So sánh các số hữu tỉ ( ; ;  )

15
17
13
b)
19
11
c)
12
2018
d)
2019
a)

19
21
19
23
7
9
19
18

Bài 4: Sắp xếp các số hữu tỉ theo thứ tự tăng dần.

a)

12 3 16 1 11 14 9
;
;
;
;
;
;
17 17 17 17 17 17 17

b)

5 5 5 5 5 5 5
;
;
;
;
;
;
9 7 2 4 8 3 11

c)

14 4 14 17 18
; ;
; ; ;0
37 3 33 20 19

 Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số


Bài 5: Viết 3 số hữu tỉ có mẫu khác nhau lớn hơn
Bài 6: Cho số hữu tỉ: x 

với

;

1
4
nhưng nhỏ hơn
?
5
3

a 5
. Với giá trị nào của a thì:
2

x là số dương

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8

Website:tailieumontoan.com


x là số âm
x không là số dương
và cũng không là số âm
Bài 7: Cho số hữu tỉ: x 

a 5
a  0 . Với giá trị nào của a thì x là số ngun?
a

Bài 8: Hãy chứng minh tính chất sau:

 Cho

. Nếu

 Cho

thì

. Nếu

. Nếu

thì

thì

.

.


Bài 9: So sánh các phân số sau:

a)

1234
4319
và
1235
4320

b)

1234
4321
và
1244
4331

d)

3246
45984
và
3247
45983

e)

22

51
và
152
67

c)
f)

31
31317
và
32
32327

18
23
và
91
114

Cập nhật:
Bài 10: Tìm 4 phân số lớn hơn

Bài 11: Cho biểu thức M 

1
4
và nhỏ hơn
7
3


x2  5
x   . Tìm số nguyên x để M là số nguyên.
x2  2

Bài 12: Dùng phần bù đến đơn vị để so sánh các phân số:
a)

2 3 4 5
, , 
3 4 5 6

Bài 13: Cho số hữu tỉ: x 

b)

61
85
và
69
93

c)

11
113
và
17
173


3
. Tìm số nguyên a để x là số nguyên.
2a  1
Hướng dẫn giải

Bài 2:

4
16
14 2
 

21 3
6
24

Bài 3:

15
19

17
21

b)

1
2
4
8


 
3
6
12
24

13
19

19
23

11
7

9
12

2018
19

18
2019

Bài 4:

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC



9

Website:tailieumontoan.com

16 14 12 11 9 3 1
( cùng mẫu thì so sánh tử)
;
;
;
;
;
17 17 17 17 17 17 17
5 5 5 5 5 5 5
(cùng tử thì so sánh mẫu)
;
;
;
;
;
;
2 3 4 7 8 9 11
14 14 17 18 4
;
; 0; ; ; ; (so sánh với số 0, so sánh với số 1)
37 33
20 19 3
Bài 5:


1 3
1
2
3
 


3
8
3
11 8

1 4
1 3 4
 
 
3
5
3
8 5
Vậy 3 phân số cần tìm:

3 4
3
7
4
  

8 5
8 13 5


1
2
3
7
4

 

3
11 8 13 5

Bài 6:
a) a  5  0  a  5

b) a  5  0  a  5

c) a  5  0  a  5

Bài 7:

x

a 5
5
 1  . x   …. suy ra a là ước của 5.
a
a






Vậy a  1; 5;1;5
Bài 9:

a)

1234
4319
và
1235
4320

1234
1
4319
1
1 
;
1 
1235
1235
4320
4320

Có 1235 < 4320 
b)

1

1
1234
4319


1 
 1 . Vậy
1235
4320
1235
4320

1234
4319

1235
4320

1234
4321
và
1244
4331

1234
10
1 
;
1244
1244

1244  4331 

Vậy

4321
10
1
4331
4331

10
10

1244
4331



1234
4321
1 
1
1244
4331

1234
4321

1244
4331


Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


10
c)

Website:tailieumontoan.com
31317
31
và
32327
32

Sử dụng tính chất: nếu a < b thì

a n
a
(a, b, n > 0 )

b
b n

Có:

31.1010
31310  7
31

31310
31317




32
32.1010
32320
32320  7
32327

Vậy

31
31317

32
32327

3246 45984
3247 45983

d)

3246
3247

e)


 1 

45984
3246
45984
. Vậy

45983
45983
3247

22
51
và
67
152

22
51
22
22
22
1
51
51
51
. Vậy








67
152
67
66
3
153
152
67
152

f)

18
23
và
91
114

18
18
1
23
23
18
23
. Vậy






91
90
5
115
114
91
114

Bài 10:
Sử dụng tính chất:

C2:

a c
a a c c
  

b d
b b d d

1 a
4
7
a 12
8 9 10 11

. Từ đó tìm được các phân số là
  
 
, , ;
3 b
7
21 b
21
21 21 21 21

Bài 11:
M 

x2  5
3
 1 2
. M là số nguyên thì 3  x 2  2 từ đó tìm ra các giá trị của x.
2
x 2
x 2

Kết quả: x 2  {1; 3;5} và tìm được x  1
Bài 12: a)

1 1 1 1
2 3 4 5
nên   
  
3 4 5 6
3 4 5 6


Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


11
b)

Website:tailieumontoan.com
8
8
61 85
nên


69 93
69 93

c)

11 113
60
60
nên


17 173
170 173






Bài 13: 2a  1 là ước của 3 từ đó tìm được a  1; 0;2; 1

Chủ đề 4. THU THẬP SỐ LIỆU THỐNG KÊ, TẦN SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Dấu hiệu
- Vấn đề hay hiện tượng mà người điều tra quan tâm gọi là dấu hiệu. Dấu hiệu thường được kí
hiệu bởi chữ in hoa X , Y ,...
2. Giá trị của dấu hiệu, dãy các giá trị của dấu hiệu.
- Mỗi đơn vị điều tra cho một số liệu gọi là giá trị của dấu hiệu.
- Số các giá trị của dấu hiệu bằng số đơn vị điều tra, số này thường kí hiệu là N .
3. Tần số của mỗi giá trị:

- Mỗi giá trị có thể xuất hiện một hoặc nhiều lần trong dãy giá trị của dấu hiệu
- Số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu được gọi là tần số
của giá trị đó.
- Giá trị của dấu hiệu thường kí hiệu là x và tần số của giá trị thường kí hiệu là n.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Số lượng học sinh giỏi tiếng Anh trong từng lớp của một trường THCS được ghi lại trong
bảng sau:
14
14
13

16
15

14

12
13
13

15
15
17

11
12
12

12
12
12

11
11
14

13
12
14

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là gì và dấu hiệu đó có tất cả bao nhiêu giá trị?
b) Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong dãy giá trị của dấu hiệu đó?
c) Viết các giá trị khác nhau và tần số của chúng.
Bài 2: Màu sắc ưa thích của các bạn nữ trong lớp 7 A được bạn lớp trưởng ghi lại trong bảng sau:

Số thứ tự

Tên học sinh

Màu sắc ưa thích

1

Quỳnh

Màu hồng

2

Ngân

Màu đỏ

3

Hoa

Màu vàng

4

Lan

Màu tím


5

Thương

Màu đỏ

6

Huệ

Màu hồng

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


12

Website:tailieumontoan.com
7

Trang

Màu vàng

8

Huyền


Màu trắng

9

Phượng

Màu tím

10

Hương

Màu đỏ

a) Dấu hiệu mà bạn lớp trưởng quan tâm là gì ?
b) Dấu hiệu có tất cả bao nhiêu giá trị ?
c) Có bao nhiêu giá trị khác nhau của dấu hiệu ?
d) Viết các giá trị khác nhau của dấu hiệu và tính tần số của chúng.

Giá trị x 
Tần số n 
Bài 3: Tuổi thọ của một số lồi vật được ni trong vườn thú được ghi lại trong bảng như sau:
Thỏ: 10 năm
Sư tử: 35 năm

Kan-gu-ru: 12 năm
Chó sói: 14 năm

Cáo: 22 năm
Hổ: 45 năm


Chó nhà: 25 năm

Tê giác: 47 năm

Voi: 70 năm

Gấu nâu: 45 năm.

Gấu trắng: 30 năm

Hãy kể tên 5 loài vật có tuổi thọ cao nhất.
Bài 4: Em hãy điều tra xem mỗi bạn trong tổ của mình sinh vào tháng mấy? Lập bảng số liệu thống
kê ban đầu và cho biết:
a) Dấu hiệu mà em quan tâm là gì và dấu hiệu đó có tất cả bao nhiêu giá trị?
b) Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong dãy giá trị của dấu hiệu đó
c) Viết các giá trị khác nhau và tìm tần số của chúng.
Bài 5: Em hãy điều tra xem mỗi bạn trong tổ của mình nặng bao nhiêu kg? Lập bảng số liệu thống
kê ban đầu và cho biết:
a) Dấu hiệu mà em quan tâm là gì và dấu hiệu đó có tất cả bao nhiêu giá trị?
b) Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong dãy giá trị của mỗi dấu hiệu đó?
c) Viết các giá trị khác nhau của mỗi dấu hiệu và tìm tần số của chúng.
Hướng dẫn giải:

Bài 1:
a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là số lượng học sinh giỏi tiếng Anh trong từng lớp của
một trường THCS
Dấu hiệu này có tất cả 24 giá trị.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


TÀI LIỆU TOÁN HỌC


13

Website:tailieumontoan.com

b) Có 7 giá trị khác nhau.
c) Các giá trị khác nhau và tần số tương ứng của nó là:
Giá trị

11

12

13

14

15

16

17

Tần số

3

7


4

5

3

1

1

Bài 2:
a) Dấu hiệu bạn lớp trưởng quan tâm là: Màu sắc ưa thích của các bạn nữ trong lớp 7 A .
b) Dấu hiệu có 10 giá trị.
c) Có 5 giá trị khác nhau của dấu hiệu.
d) Các giá trị khác nhau của dấu hiệu: Màu hồng, màu đỏ, màu vàng, màu trắng, màu tím.
Tần số của chúng lần lượt là: 2; 3; 2; 1; 2.
Bài 3: Voi (70), Tê giác (47), Hổ, Gấu Nâu (45), Sư tử (35)
Bài 4 và Bài 5: HS tự luyện.

Chủ đề 5. BẢNG TẦN SỐ CÁC GIÁ TRỊ CỦA DẤU HIỆU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Từ bảng thống kê ban đầu có thể lập bảng “tần số” (bảng phân phối thực nghiệm của dấu
hiệu) .
Bảng “tần số” thường được lập như sau:
+ Vẽ khung hình chữ nhật gồm hai dịng.
+ Dịng trên ghi các giá trị khác nhau của dấu hiệu theo thứ tự tăng dần.
+ Dòng dưới ghi các tần số tương ứng với mỗi giá trị đó.
Bảng “tần số” giúp người điều tra dễ có những nhận xét chung về sự phân phối các giá trị
của dấu hiệu và tiện lợi cho việc tính tốn sau này.

II. BÀI TẬP
Bài 1: Kết quả mơn nhảy cao (tính theo cm) của học sinh lớp 7 A được giáo viên thể dục
ghi lại như sau:
95
95
100
105
105
110
115
100
120
100
90
100
a) Dấu hiệu quan tâm là gì ?

105
105
100

110
100
100

100
95
100

100

105
105

105
90
115

95
90
100

b) Có bao nhiêu học sinh tham gia kiểm tra?
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


14

Website:tailieumontoan.com

c) Lập bảng “tần số” và rút ra nhận xét.
Giá trị ( x )
Tần số ( n )

N = ........

Bài 2: Số con trong mỗi hộ gia đình ở một khu vực được ghi lại trong bảng sau:

2

2
1
1
1
2
1
4
5
3
2
1
a) Dấu hiệu quan tâm là gì ?

4
1
2

3
3

2

2
4
1

2

2
1

2

5

2

2
1
0

b) Có bao nhiêu hộ gia đình được điều tra?
c) Lập bảng “tần số” và rút ra nhận xét.
Giá trị ( x )
Tần số ( n )

N = ........

Bài 3: Số lỗi chính tả trong một bài tập làm văn của mỗi học sinh ở lớp 7C được giáo viên
ghi lại trong bảng sau:

1
4
10

4
4
4

2


5

3

2

2

4

4

3

6
6
9
3

3
6
6

4
3
6

4

3

5
6

4
6

5

5

4
2

4
4

6
7

5
5

a) Dấu hiệu quan tâm là gì ?
b) Có bao nhiêu học sinh làm bài?
c) Lập bảng “tần số” và rút ra nhận xét.
Giá trị ( x )
Tần số ( n )

N = ........


Bài 4: Cho bảng “tần số”:
Giá trị (x)

125

130

132

140

141

Tần số (n)

3

8

10

7

2

N = 30

Từ bảng này, hãy viết lại một bảng số liệu thống kê ban đầu.

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


TÀI LIỆU TOÁN HỌC


15

Website:tailieumontoan.com

Bài 5: Điền vào chỗ trống (…) trong bảng “tần số” sau:
Giá trị (x)

3

4

5

6

7

8

9

Tần số (n)

1

2


….

9

10

4

6

N  40
Bài 6: Số lần nhảy dây trong 1 phút của một số học sinh được ghi lại trong bảng như sau:

54

70

58

65

54

81

70

84


84

58

81

58

84

70

85

82

84

85

70

84

65

54

85


58

84

88

58

84

70

65

84

70

58

84

54

81

65

70


81

85

a) Lập bảng tần số dạng “ngang” và dạng “dọc)
b) Rút ra nhận xét
Hướng dẫn giải:
Bài 1: a) Dấu hiệu quan tâm là kết quả mơn nhảy cao (tính theo cm) của mỗi học sinh lớp
7A.

a) Có 30 học sinh tham gia kiểm tra.
b) Lập bảng “tần số” và rút ra nhận xét.
Giá trị ( x )

90

95

100

105

110

115

120

Tần số ( n )


3

4

11

7

2

2

1

N = 30

- Các giá trị của dấu hiệu là 30 nhưng chỉ có 7 giá trị khác nhau.
- Nhảy thấp nhất là 90cm , cao nhất là 120cm và tập trung nhiều ở 100cm .
Bài 2: a) Dấu hiệu quan tâm là số con trong mỗi hộ gia đình ở một khu vực.
b) Có 30 hộ gia đình được điều tra.
c) Lập bảng “tần số” và rút ra nhận xét.
Giá trị ( x )

0

1

2

3


4

5

Tần số ( n )

1

9

12

3

3

2

N = 30

- Các giá trị của dấu hiệu là 30 nhưng chỉ có 6 giá trị khác nhau.
- Số con thấp nhất là 0 con, cao nhất là 5 con cho mỗi hộ và số con chủ yếu mỗi hộ là từ 1
con đến 2 con.
Bài 3: a) Dấu hiệu quan tâm là số lỗi chính tả trong một bài tập làm văn của mỗi học sinh ở
lớp 7C
a) Có học sinh tham gia kiểm tra.
b) Lập bảng “tần số” và rút ra nhận xét.
Giá trị ( x )


1

2

3

4

5

6

7

9

10

Tần số ( n )

1

4

6

12

6


8

1

1

1

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

N = 40

TÀI LIỆU TỐN HỌC


16

Website:tailieumontoan.com
- Các giá trị của dấu hiệu là 40 nhưng chỉ có 9 giá trị khác nhau.
- Học sinh có lỗi thấp nhất là 1 lỗi, cao nhất là 10 lỗi và tập trung nhiều ở 4 lỗi.

Bài 4: Bảng số liệu thống kê ban đầu có thể là:
125

130

132

132


130

132

141

140

130

132

130

132

140

125

132

130

130

125

132


140

132

140

130

132

140

140

132

141

140

130

Bài 5: Ta có x  40  3  8  10  7  2  8 . Số cần điền là số 8.
Bài 6: Tự luyện.
Chủ đề 6. CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ.
• Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có
cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.
• Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: Giao hoán, kết hợp, cộng

với số 0. Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối.
2. Quy tắc “chuyển vế”.
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đối dấu số hạng
đó.
Với mọi x, y, z ∈ : x + y = z ⇒ x = z − y.
3. Chú ý.
Trong , cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc
để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong .
II. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x biết:
a) x 

d)

1
1

15 10

3
1 3
x  
7
4 5

Bài 2: Tính: a) 

b)

2

3
x 
15
10

e) x 

4
 3, 75   2,15
15

c) x 

1 2  1
  
3 5  3 

f) x 

3 2

4 3

1
1
1
1
1





10 100 1000 10000 100000

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


17

Website:tailieumontoan.com

b)

1 3 5 7
9 11 13 11 9
7 5 3
    


   
3 5 7 9 11 13 15 13 11 9 7 5

c)

1
1
1
1

1
1



 .... 

99 99.98 98.97 97.96
3.2 2.1

Bài 3: Tìm các số nguyên x, y biết

x
1 1
 
6 y
2

Bài 4: Tính nhanh:
A

1
1
1
1


 ... 
;
2.3 3.4 4.5

19.20

B

1
1
1
1
1
1





7 91 247 475 755 1147

Bài 5: M  1  1  1  ...  1 và N  1  1  1  2  2  2
11

12

13

19

3

4


5

7

9

11

Chứng minh rằng M và N không phải số nguyên.
Cập nhật
Bài 6: Tính: A 

7
9
11
13
15
17
19






3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

Bài 7: Tính: A 

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 2 1

          
2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 3 2

Bài 8: Cho A  1 
Chứng tỏ rằng:

1 1 1 1 1
1
1
     . 

2 3 4 5 6
49 50

7
5
A
12
6
HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:
a) x 

1
1
1


10 15 6


b) x 

2
3
1


15 10 6

c) x 

2  1 1 2
  
5  3  3 5

d) x 

3 1 3 109
  
7 4 5 140


x  4
4
4
24

3
e) x 

 3, 75  2,15  x 


15
15
15
x  28

15

f)* x 

3 2
3 2
17
 x  x
4 3
4 3
12

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


18

Website:tailieumontoan.com

Bài 2:

a)


1
1
1
1
1




  0,1  0, 01  0, 001  0, 0001  0, 00001  0,11111
10 100 1000 10000 100000

b)

1 3 5 7
9 11 13 11 9
7 5 3 1 13 18
    


     

3 5 7 9 11 13 15 13 11 9 7 5 3 15 15

c)

1

1
1
1
1
1  1
1
1
1
1 



 .... 





 .... 

99 99.98 98.97
3.2 2.1 99  99.98 98.97 97.96
3.2 2.1



1  1
1
1
1

1
1
1 1 1 1
  




 ....     
99  98 99 97 98 96 97
2 3 1 2 



1  1
1
1
98
97
    


99  99 1 99 99
99

Bài 3:

x
1 1
  .

6 y
2

x
1
6.1
 x 
3
6 2
2

1 1
 y 1
y
2

Bài 4:
A=

1 1 1 1
1
1
1 1
9
− + − + ... + −
⇒A= −
= .
2 3 3 4
19 20
2 20 20


B

1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
36


 ... 
 1  
 ... 

 1

1.7 7.13 13.19
31.37
7 7 13
31 37
37
37

Bài 5:
M 


1
1
1
1
1
1
1
1
9


 ... 



 ... 

1
11 12 13
19 10 10 10
10
10

Dễ thấy M  0
Suy ra 0 < M < 1
Vậy M không thể là số nguyên
N 

1 1 1 2 2

2
2 2
2
2 2
2
    
  
  
3 4 5 7 9 11
6 8 10 7 9 11

1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
 2         2         2
 6 7 8 9 10 11
 6 6 6 6 6 6 
Ta lại có

1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
2         2         1
 6 7 8 9 10 11

12 12 12 12 12 12 
Suy ra 1 < N < 2 . Vậy N không là số nguyên.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


19

Website:tailieumontoan.com

Bài 6: A 

6  1 10  1 10  1 14  1 14  1 18  1 18  1






12
20
30
42
56
72
90




6
1 10
1
10 14 14 14 14
1
18
1
18 18













12 12 20 20 30 30 42 42 56 56 72 72 90 90



1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1

 
 
 
 
 
 
2 12 2 20 3 30 3 42 4 56 4 72 5 90



1
1
1
1
1
1
1
1








12 20 30 42 56 72 90 5



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
              
3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 5 5



1
1
1 10
3
6
13

 



3 10 5 30 30 30 30

Bài 7: KQ: A 


6
7

Bài 8:


1
1 1 1 1 1 1 1
1
 A  1              ..    
2 3 4   5 6   7 8 

 49 50 


1
7  1 1 
1
7
     ..     
12  5 6 
 49 50  12


1
1 1 1 1 1 1
1 1
 A  1            .     
2 3   4 5   6 7 


 48 49  50


1
5  1 1 
1 1
5
    .     

6  4 5 
 48 49  50 6

Vậy

7
5
A
12
6

Chủ đề 7. GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
•

Khi thay các biến trong một biểu thức đại số bằng những số đã cho, ta được một biểu
thức đại số. Kết quả nhận được khi thực hiện các phép tính trong biểu thức đại số đó
gọi là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị cho trước của các biến.

•
II. BÀI TẬP

Bài 1:

Tính giá trị của các biểu thức sau:

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


20

Website:tailieumontoan.com
Giá trị biểu thức tại

Biểu thức

x=

x = −3

5
2

x  1, 5

x 2

2x 2  5x  3

4x  3x

Bài 2:

2



 2x  2

1
Tính giá trị của các biểu thức sau tại x  , y  1.
2
2

2

b) B  2x  3xy  y .

a) A  2x 2  3x  5

Bài 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x (m), chiều rộng y (m). Người ta mở
một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng z (m) x , y  2z .
a) Tính diện tích đất làm đường đi theo x , y, z .
b) Tính diện tích đất dành làm đường đi biết x  50; y  30; z  2
c) Tìm chiều dài và chiều rộng miếng đất biết diện tích dành làm đường là 384 m 2 , chiều
rộng đường đi là 2m và chiều dài hơn chiều rộng 12m.
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau biết rằng x  y  1  0.

D  x 2 x  y   y 2 x  y   x 2  y 2  2(x  y )  3.










Bài 5: Cho xyz  2 và x  y  z  0 . Tính giá trị của biểu thức M  x  y y  z x  z .
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A  x  5  y  7  2000
2

6


2
b) B  x  y    2019
7 

4

Cập nhật
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức:
a) A  5x 2  3 | x | 2x  3 tại x = 2 ; x=  5
b) B  4x 3  2x 2  3x  1 tại | x |

1
2

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A  (x  4)2  1

b) B  3x  2  5

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A  12  x 2

b) B  5  (2x  1)4

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


21

Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:
Giá trị biểu thức tại

Biểu thức

x=

x = −3

5
2


x  1, 5

x 2

2x 2  5x  3

4x  3x

2



 2x  2

2

 1
1
1
1 3
1 3
Bài 2: Tại x = Tính được A  2    3.  5  2.   5    5  1  5  4
2
4 2
2 2
2
 2 
2


 1
 1
1
1 3
1 3
Tại x = − tính được A  2    3.    5  2.   5    5  2  5  7
4 2
2 2
2
 2 
 2 
b)  Tại x 
 Tại x 
Bài 3:

1
, y  1 tính được B  0
2

1
 Tại x   , y  1 tính được B  3
2

1
, y  1 tính được B  3
2

1
 Tại x   , y  1 tính được B  0
2


a) Diện tích mảnh vườn ban đầu là: xy (m 2 )

Sau khi mở một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng z(m ) thì mảnh vườn
cịn lại có chiều dài là x  2z (m ) , chiều rộng là y 2z (m ) nên mảnh vườn lúc sau có diện
tích là x  2zy  2z (m 2 )
Vậy diện tích đất làm đường đi là:

1.

xy  x  2z y  2z  xy  xy  2xz  2yz  4z2  2z x  y   4z2 (m 2 )

b) Với x  50; y  30; z  2 thì diện tích đất dành làm đường đi là:

2  2  50  30  4  22  304 (m 2 )
c) Vì diện tích dành làm đường là 384m 2 , chiều rộng đường đi là 2m nên ta có:

2  2  x  y   4  22  384  x  y  100 (1)

Vì chiều dài hơn chiều rộng 12m nên ta có: x  y  12 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x  100  12 : 2  56 (t / m ) và y  100  56  44 (t / m )
Vậy mảnh vườn ban đầu có chiều dài là 56m, chiều rộng là 44m.
Bài 4

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


22


Website:tailieumontoan.com

Từ x  y  1  0 suy ra x  y  1 . Thay x  y  1 vào biểu thức D ta được:
D  x 2 .(1)  y2 .(1)  x 2 . y2  2.(1)  3  x 2  y2  x 2  y2  2  3  1

Bài 5
x  y  z  0 nên x  y  z , y  z  x , x  z  y . Thay các giá trị này vào biểu thức

M ta được: M  (z )(x )(y )   xyz  2
Bài 6:
Ta có : x  5  0, x và y  7  0, y nên A  x  5  y  7  2000  2000 x , y
2

2



x  5  0
x  5
Dấu "  " xảy ra khi: 





y 7  0
y7





Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2000 khi x  5; y  7 .
6

6



2
2
b) Ta có : x  0, x và y    0, y nên B  x 4  y    2019  2019, x , y
7 
7 


4



x 0


Dấu "  " xảy ra khi: 
2

y


7




Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2019 khi x  0; y 

2
.
7

Bài 7:
a) A  15 tại x = 2 ; và A  97 khi x  5
b) x 

1
1
B 2
2
2

và x  

1
3
B 
2
2

Bài 8:
a) Giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x = 4
b) Giá trị nhỏ nhất của B là 5 khi x 


2
3

Bài 9:
a) A  12  x 2  12 . Giá trị lớn nhất của A là 12 khi x  0
b) B  5  (2x  1)4  5 .Giá trị lớn nhất của A là 12 khi x 

1
2

Chủ đề 8. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Bài 1: Một công nhân may trong 5 giờ được 20 cái áo. Biết năng suất làm việc không đổi,
hỏi trong 12 giờ người đó may được bao nhiêu cái áo?

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


23

Website:tailieumontoan.com

Bài 2: Hai thửa ruộng cùng chiều dài, còn chiều rộng tương ứng là 30m và 48m. Vụ mùa
vừa qua thửa ruộng thứ nhất thu hoạch được 900 kg thóc. Hỏi thửa ruộng thứ hai thu
hoạch được bao nhiêu kg thóc? ( biết rằng năng suất của hai thửa ruộng bằng nhau)
Bài 3: Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2,3,4. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu
tiền lãi nếu tổng số tiền lãi là 135 triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số tiền vốn
góp?

Bài 4: Ba đơn vị cùng vận chuyển 700 tấn hàng. Đơn vị A : có 10 xe trọng tải mỗi xe là 5
tấn; Đơn vị B có 20 xe trọng tải mỗi xe là 4 tấn; Đơn vị C có 14 xe trọng tải mỗi xe là 5
tấn. Hỏi mỗi đơn vị vận chuyển được bao nhiêu tấn hàng biết mỗi xe đều chở một số
chuyến như nhau?
Bài 5: Học sinh của 3 lớp 7 được giao trồng 36 cây. Sau khi lớp 7A trồng được
của lớp. Lớp 7B trồng được

1
số cây
5

1
3
số cây của lớp và lớp 7C trồng được
số cây của lớp thì số
3
7

cây cịn lại của mỗi lớp bằng nhau. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
Bài 6: Chia số 552 thành 3 phần:
a) Tỉ lệ thuận với 3; 4;5

b) Tỉ lệ thuận với

1 2 3
; ;
2 3 4

Bài 7: a) Tam giác ABC có số đo các góc A, B, C tỉ lệ với 3; 4;5 . Tính số đo các góc của tam
giác biết tổng số đo 3 góc trong một tam giác bằng 1800

b) Tam giác ABC có độ dài các cạnh tỉ lệ với 3;5;7. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết
chu vi của tam giác lớn hơn 3 lần cạnh nhỏ nhất là 24m
Bài 8: Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với: 3; 1;8
Bài 9: Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho ba tổ theo tỉ
lệ 5 : 6 : 7 . Nhưng sau đó, vì số người thay đổi nên đã chia lại theo tỉ lệ 4 : 5 : 6 . Do đó có
một tổ làm nhiều hơn dự định 15( m) đường. Tính số mét đường chia lại cho mỗi tổ .
Bài 10: Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo
1;2;3.
Bài 11: Ba lớp 7A, 7 B, 7 C của một trường được giao chăm sóc vườn có diện tích 95m 2 .
Diện tích nhận chăm sóc của các lớp tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp. BIết tỉ số học sinh
của lớp 7A và 7B là 4 : 3 , tỉ số học sinh của lớp 7B và 7C là 6 : 5 . Tính diện tích vườn mà
mỗi lớp chăm sóc.
Bài 12: Hai xe ơ tơ cùng khởi hành một lúc từ A để đến B. Xe I đi với vận tốc 50 km/h, xe II
đi với vận tốc 45 km/h. Do đó lúc xe I đến B thì xe II mới đến C, cịn cách B là 5km. Tính
qng đường AB

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


24

Website:tailieumontoan.com
Hướng dẫn giải:

Bài 1: Số áo may trong 12 giờ là  x 

20
.12  48 cái áo.

5

Bài 2: Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có:
30 900
48.900

 y2 
 1440
48
y2
30

Vậy thửa thứ hai thu được 1440 kg thóc
Bài 3: Gọi số tiền lãi của ba đơn vị được chia theo thứ tự là: x,y,z
x
y
z
x y z
135
  

 15
2
3
4
234
9
Số tiền lãi của 3 đơn vị được chia theo thứ tự là: 30 triệu đồng; 45 triệu đồng ; 60 triệu
đồng
Bài 4: Gọi khối lượng hàng các đơn vị A , B , C  vận chuyển lần lượt là x , y , z (tấn). Ta có:


y
x
z
x+y+z =
700 và = =
50 80 70
x
y
z
x y z




 3, 5  x  175; y  280; z  245 .
50 80 70 50  80  70
Bài 5: Gọi số cây trồng được của ba lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là a; b; c (cây) với a; b; c ∈ *

4
2
4
a
b
c
và a  b  c  36
a b c


5

3
7
10 12 14
Vậy số cây trồng được của ba lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là 10 cây; 12 cây; 14 cây.

Theo bài ra ta có:

a
b
c
  và a  b  c  552
3 4 5
 a  138; b  184; c  230

Bài 6: a)

Ba phần của số 552 là 138; 184; 230 .
a
b
c
  ; và a  b  c  552
1
2
3
2
3
4
 a  144; b  192; c  216

b)


Ba phần của số 552 là 144; 192; 216.
,C
 của ∆ABC lần lượt là a; b; c 0  a;b; c  1800
A, B
Bài 7: Gọi số đo các góc 





a
b
c
  và a  b  c  1800
3 4 5

Số đo các góc A,B,C của ∆ABC lần lượt là 450 ;600 ;750

Theo bài ra ta có:

Bài 8: Gọi hai số cần tìm là a, b (a, b ≠ 0)
Theo bài ra ta có:

a  b a  b a.b


3
1
8


Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

1
TÀI LIỆU TỐN HỌC