CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g( x ) có tập xác định lần lượt là Df và Dg . Đặt D = Df Ç Dg . Mệnh đề
chứa biến " f ( x ) = g( x ) " được gọi là phương trình một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập
xác định của phương trình.
x0 Î D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x ) = g( x ) nếu " f ( x0 ) = g( x0 ) " là mệnh đề đúng.
Chú ý: Các nghiệm của phương trình f ( x ) = g( x ) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f ( x )
và y = g( x ) .
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả.
a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) và f2 ( x ) = g2 ( x ) được gọi là tương
đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là f1 ( x ) = g1 ( x ) Û f2 ( x ) = g2 ( x ) .
• Phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
b) Phương trình hệ quả: f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) nếu
tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) .
Kí hiệu là f1 ( x ) = g1 ( x ) Þ f2 ( x ) = g2 ( x )
c) Các định lý:
Định lý 1: Cho phương trình f ( x ) = g( x ) có tập xác định D ; y = h ( x ) là hàm số xác định trên D . Khi
đó trên D , phương trình đã cho tương đương với phương trình sau
1) f ( x ) + h ( x ) = g( x ) + h ( x )
2) f ( x ) .h ( x ) = g( x ) .h ( x ) nếu h ( x ) ¹ 0 với mọi x Ỵ D
Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã
cho.
f ( x ) = g( x ) Þ f 2 ( x ) = g2 ( x ) .
Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý
• Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối
chiếu với điều kiện xác định.
• Nếu hai vế của phương trình ln cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu được phương trình
tương đương.
• Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ

quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
1. Phương pháp giải.
- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f ( x ) , g( x ) cùng được xác định
và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
- Điều kiện để biểu thức
•
f ( x ) xác định là f ( x ) ³ 0

93


•
•

1
xác định là f ( x ) ¹ 0
f ( x)
1
f ( x)

xác định là f ( x ) > 0

2. Các ví dụ điển hình.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
5
a) x + 2
b) 1 + 3 - x =
=1

x - 4
c) 1 + 2x - 3 =

d)

3x - 2

4 - 2x =

x- 2

x +1
x - 3x + 2
3

Lời giải
a) Điều kiện xác định của phương trình là x2 - 4 ¹ 0 Û
ïì 3 - x ³ 0
Û
b) Điều kiện xác định của phng trỡnh l ùớ
ùù x - 2 0
ợ

x2 ạ 4 Û x ¹ ±2
ïìï x £ 3
Û 2£ x £ 3
í
ïï x ³ 2
ỵ
ìï

ïï x ³ 3
ïìï 2x - 3 ³ 0
2Û x³ 3
Û íï
c) Điều kiện xác định của phương trình là í
ïï 3x - 2 ³ 0
ïï
2
2
ỵ
ïï x ³
ỵ
3
d) Điều kiện xác định của phương trình là
x£ 2
ïì
ïìï 4 - 2x ³ 0
Û ïí
í 3
ïï x - 3x + 2 ¹ 0
ïï ( x - 1) ( x2 + x - 2) ạ 0
ợ
ợ
ùỡù x Ê 2
ỡ
xÊ 2
ïìï
ïíï x ¹ 1 Û ïíï x < 2
Û í
Û

ïï ( x - 1) 2 ( x - 2) ¹ 0
ùù
ùù x ạ 1
ợ
ùợ
ùùợ x ạ 2
Vớ d 2: Tỡm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a) 4x + 4x - 3 = 2 3 - 4x + 3
b) - x2 + 6x - 9 + x3 = 27
c)

x + x - 2 = - 3- x

d)

2

( x - 3) ( 5 -

3x ) + 2x =

3x - 5 + 4

Lời giải
ìï
ïï x ³ 3
ìï 4x - 3 ³ 0
4Û x=3
Û íï
a) Điều kiện xác định của phương trình là ïí

ïï 3 - 4x ³ 0
ïï
3
4
ỵ
ïï x £
ỵ
4
3
Thử vào phương trình thấy x = thỏa mãn
4
ìï 3ü
ï
Vậy tập nghiệp của phương trình l S = ùớ ùý
ùợù 4ùỵ
ù
2

b) iu kin xỏc nh của phương trình là - x2 + 6x - 9 ³ 0 Û - ( x - 3) ³ 0 Û x = 3
Thay x = 3 vào thấy thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệp của phương trình là S = { 3}

94


ìï
ìï x ³ 0
x³ 0
ïï
ïï

ï
ïí x ³ 2
x
2
³
0
Û
c) Điều kiện xác định của phương trình là í
ïï
ïï
ïỵï - 3 - x ³ 0
ïỵï x £ - 3
Khơng có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = Ỉ
ìï x - 3 2 5 - 3x ³ 0
) (
)
ï(
d) Điều kiện xác định của phương trình là í
(*)
ïï
3
x
5
³
0
ïỵ
Dễ thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*).
ìï
ïï x £ 5

ïìï 5 - 3x ³ 0
3Û x=5
Û íï
Nếu x ¹ 3 thì (*) Û í
ïï 3x - 5 ³ 0
ïï
5
3
ỵ
ïï x ³
ỵ
3
5
Vậy điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =
3
5
Thay x = 3 và x = vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3} .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
5
a) 2
b) 1 + x - 2 = x - 1
= 3x
x - x- 1
x +1
c) 1 + 2x - 4 = 2 - 4x
d) 2x - 6 = 2
x - 3x + 2

Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a) 4x + 2 4x - 3 = 2 4x - 3 + 3
b) - x2 + x - 1 + x = 1
c) 2x + x - 2 = 2 - x + 2
d) x3 - 4x2 + 5x - 2 + x = 2 - x
 DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ
QUẢ
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã
cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng
• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta
thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
• Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của
phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
• Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
• Bình phương hai vế của phương trình(hai vế ln cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với
phương trình đã cho.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
x2
1
1
5
=
- x- 2
a) 1 +
b)
= 2
x- 3 x - x- 6
x- 2

x- 2

95


c) x + 3(x4 - 3x2 + 2) = 0
d)
x - 1(x2 - x - 2) = 0
Lời giải
ìï
ìï x ¹ 3
x¹ 3
Û ïí
a) ĐKXĐ : ïí 2
ïï x - x - 6 ạ 0
ùù x ạ - 2
ợ
ợ
Vi iu kiện đó phương trình tương đương với
1
5
1+
=
Û ( x - 3) ( x + 2) + x + 2 = 5
x - 3 ( x - 3) ( x + 2)
Û x2 = 9 Û x = ±3
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = - 3 .
b) ĐKXĐ: x > 2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
- 1 ± 13

x2 = 1- ( x - 2) Û x2 + x - 3 = 0 Û x =
2
Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vơ nghiệm.
c) ĐKXĐ: x ³ - 3
é
x+3= 0
Phương trình tương đương với ê
êx4 - 3x2 + 2 = 0
ê
ë
éx = - 3
é x =- 3
ê
ê
é
x=- 3
êx2 - 1 = 0 Û êx = ±1
Û ê
Û
ê
ê
ê( x2 - 1) ( x2 - 2) = 0
êx = ± 2
ê
êx2 - 2 = 0
ë
ê
ê
ë

ë
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
x = - 3, x = ±1 và x = ± 2 .
ìï x ³ 0
ìï x ³ 0
ï
Û íï
Û x³ 1
d) ĐKXĐ: í
ïï x - 1 ³ 0
ïï x ³ 1
ỵ
ỵ
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
éx = 1
é x - 1= 0
ê
ê
êx = - 1
Û
ê2
ê
x - x- 2= 0
ê
êx = 2
ë
ê
ë
Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x = 1 và x = 2 .
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

a) 2x - 3 = 4x2 - 15
b) . x2 - 3x + 4 = 8 - 3x .
c) 2x + 1 = x - 2
d) 2x + 1 = x - 1
Lời giải
ìï 2x - 3 ³ 0
a) ĐKXĐ: ïí 2
(*)
ïï 4x - 15 ³ 0
ỵ
Với điều kiện (*) phương trình tương đương với

96


(

)

2

(

)

2

4x2 - 15 Û 2x - 3 = 4x2 - 15
éx = 2
ê

2
Û 4x - 2x - 12 = 0 Û ê
êx = - 3
ê
ë
2
Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình cú nghim duy nht x = 2
2
ổ 3ử
7
2
ữ
ỗ
b) KX: x - 3x + 4 0 ỗx - ữ
+ 0 (luụn ỳng vi mi x )
ữ
ỗ
2ứ 4
ố
2x - 3

=

Bình phương hai vế của phương trình ta được
2

x2 - 3x + 4 = ( 8 - 3x ) Û x2 - 3x + 4 = 9x2 - 48x + 64
8x2 - 45x + 60 = 0 Û x =


45 ± 105
16

Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x =
c) Phương trình tương đương với

(

45 -

105

và đó là nghiệm duy nhất của phương trình.

16
2

2x + 1 ) = ( x - 2 )

2

Û 4x2 + 4x + 1 = x2 - 4x + 4
éx = - 3
ê
2
Û 3x + 8x - 3 = 0 Û ê
êx = 1
ê
ë
3

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = - 3 và x =
d) Ta có 2x + 1 = x - 1 Þ

( 2x + 1)

2

= ( x - 1)

1
.
3

2

Þ 4x2 + 4x + 1 = x2 - 2x + 1 Û 3x2 + 6x = 0
éx = 0
Þ ê
êx = - 2
ê
ë
Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x;y ) với x là số nguyên dương của phương trình sau
20 - 8x + 6x2 - y2 = y 7 - 4x
Lời giải
ìï
ïï x £ 20
ïìï 20 - 8x ³ 0
8 Û x£ 7

Û íï
Nếu phương trình có nghiệm ( x;y ) thì x phải thỏa mãn í
ïï 7 - 4x ³ 0
ïï
7
4
ỵ
ïï x £
ỵ
4
x
Vì là số nguyên dương nên x = 1
Thay x = 1 vào phương trình ta được 12 + 6 - y2 = y 3 (*)
Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 - y2 ³ 0
(*) Þ

6 - y2 =

3( y - 2) Þ 6 - y2 = 3( y - 2)

Þ 4y2 - 12y + 6 = 0 Þ y =

97

3± 3
2

2



3+ 3
l tha món
2
ổ 3 + 3ử
ữ
ỗ1;
ữ
Vy phng trỡnh cú nghim tha món bi l ỗ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
2
ố
ứ
Th vo phng trỡnh (*) thấy chỉ có y =

Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
a) mx2 - 2( m - 1) x + m - 2 = 0 (1) và ( m - 2) x2 - 3x + m2 - 15 = 0 (2)
b) 2x2 + mx - 2 = 0 (3) và 2x3 + ( m + 4) x2 + 2( m - 1) x - 4 = 0 (4)
Lời giải
a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương
é
x =1
Ta có ( 1) Û ( x - 1) ( mx - m + 2) = 0 Û ê
êmx - m + 2 = 0
ê
ë
Do hai phương trình tương đương nên x = 1 là nghiệm của phương trình (2)
Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được

ém = 4
( m - 2) - 3 + m2 - 15 = 0 Û m2 + m - 20 = 0 Û êêm = - 5
ê
ë
éx = 1
ê
2
• Với m = - 5 : Phương trình (1) trở thành - 5x + 12x - 7 = 0 Û ê
êx = 7
ê
ë
5
é x =1
ê
2
Phương trình (2) trở thành - 7x - 3x + 10 = 0 Û ê
êx = - 10
ê
7
ë
Suy ra hai phương trình khơng tương đương
é
1
êx =
2
4
x
6
x
+

2
=
0
Û
ê
• Với m = 4 : Phương trình (1) trở thành
2
êx = 1
ê
ë
éx = 1
ê
2
Phương trình (2) trở thành 2x - 3x + 1 = 0 Û ê
êx = 1
ê
ë
2
Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy m = 4thì hai phương trình tương đương.
b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương
3
2
2
Ta có 2x + ( m + 4) x + 2( m - 1) x - 4 = 0 Û ( x + 2) ( 2x + mx - 2) = 0
é
x=- 2
Û ê
ê2x2 + mx - 2 = 0
ê

ë
Do hai phương trình tương đương nên x = - 2 cũng là nghiệm của phương trình (3)
2

Thay x = - 2 vào phương trình (3) ta được 2( - 2) + m( - 2) - 2 = 0 Û m = 3
•

éx = - 2
ê
Với m = 3 phương trình (3) trở thành 2x + 3x - 2 = 0 Û ê
êx = 1
ê
ë
2
2

Phương trình (4) trở thành 2x3 + 7x2 + 4x - 4 = 0 Û

98

2

( x + 2) ( 2x + 1)

=0


éx = - 2
ê
Û ê

êx = 1
ê
ë
2
Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4)
Vậy m = 3.
3. Bài tập tự luyện.
Bài 3.2: Giải các phương trình sau
2x
1
6
=
a) 1 +
b)
=
2
2- x
4- x
3- x
c)

x + 1(x2 - 16) = 0

d)

1
3- x

-


3- x

3- x
=0
x - 2x - 3
2

Bài 3.3: Giải các phương trình sau
a) x - 2 = x2 - 8
b) 3x2 - x - 9 = x - 1.
c) 2x + 3 = 2x - 3
d) 2x - 1 = 3x - 4
Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
a) x2 + mx - 1 = 0 (1) và ( m - 1) x2 + 2( m - 2) x + m - 3 = 0 (2)
b) ( 2m - 2) x2 -

( 2m + 1) x + m2 + m -

17 = 0 (3) và ( 2 - m) x2 + 3x + 15 - m2 = 0 (4)

§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
• Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a,b là số thực v a ạ 0
ã Phng trỡnh bc hai mt n phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với a,b,c là số thực và a ¹ 0
2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1).
b
b
ã Nu a ạ 0 : ( 1) x = do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = a
a

• Nếu a = 0: phương trình (1) trở thành 0x + b = 0
Th1: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x Ỵ R
Th2: Với b ¹ 0 phương trình vơ nghiệm
3. Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0
• Nếu a = 0 : trở về giải và bin lun phng trỡnh dng (1)
ã Nu a ạ 0 : D = b2 - 4ac
- b± D
Th1: D > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
2a
b
TH2: D = 0 phương trình có nghiệm kép x = 2a
Th3: D < 0 phương trình vơ nghiệm.
4. Định lí Vi-ét và ứng dụng.
a) Định lí Vi-ét.

99


Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ
b
c
thức x1 + x2 = và x1x2 = .
a
a
b) Ứng dụng.
• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
• Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x ) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể
phân tích thành nhân tử f ( x ) = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) .
• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm
của phương trình x2 - Sx + P = 0.

• Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:
b
c
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0(*), kí hiệu S = - , P =
khi đó
a
a
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0
ìï D ³ 0
ïï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïỵ S > 0
ïìï D ³ 0
ï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïỵ S < 0
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TỐN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = 0 .
1. Phương pháp giải.
Để giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở trờn.
Lu ý:
ộ aạ 0
ã Phng trỡnh ax + b = 0 có nghiệm Û ê
êa = b = 0
ê
ë
ïì a = 0
• Phương trình ax + b = 0 vơ nghim ùớ

ùù b ạ 0
ợ
ã Phng trỡnh ax + b = 0 có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) ( m - 1) x + 2 - m = 0
b) m( mx - 1) = 9x + 3
c) (m + 1)2x = (3m + 7)x + 2 + m
Lời giải
a) Phương trình tương đương với ( m - 1) x = m - 2
+ Với m - 1 = 0 Û m = 1: Phương trình trở thành 0x = - 1
Suy ra phương trình vơ nghiệm.
+ Với m - 1 ¹ 0 Û m ¹ 1 : Phương trình tương đương với x =
Kết luận
m = 1 : Phương trình vơ nghiệm

100

m- 2
m- 1


m- 2
m- 1
2
b) Ta có m( mx - 1) = 9x + 3 Û ( m - 9) x = m + 3
m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =

+ Với m2 - 9 = 0 Û m = ±3 :
• Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 6 suy ra phương trình vơ nghiệm

• Khi m = - 3 : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x Ỵ R
m+3
1
+ Với m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ±3 : Phương trình tương đương với x = 2
.
=
m - 9 m- 3
Kết luận:
m = 3 : Phương trình vơ nghiệm
m = - 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Ỵ R
1
m ¹ ±3: Phương trình có nghiệm x =
m- 3
2
ù
c) Phương trình tương đương với é
ë(m + 1) - 3m - 7ûx = 2 + m
Û

( m2 -

m - 6) x = 2 + m

ém = 3
2
ê
m
m
6
=

0
Û
+ Với
êm = - 2 :
ê
ë
• Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 5 suy ra phương trình vơ nghiệm
• Khi m = - 2 : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mi x ẻ R
ộm ạ 3
m+2
1
2
+ Vi m - m - 6 ¹ 0 Û ê
êm ¹ - 2: Phương trình tương đương với x = m2 - m - 6 = m - 3 .
ê
ë
Kết luận:
m = 3 : Phương trình vơ nghiệm
m = - 2 : Phương trình nghim ỳng vi mi x ẻ R
1
m ạ 3 v m ¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x =
m- 3
a
,
b
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với
là tham số.
a) a2 ( x - a ) = b2 ( x - b)
b) b( ax - b + 2) = 2( ax + 1)
Lời giải

2
2
2
2
3
3
a) Ta có a ( x - a ) = b ( x - b) Û ( a - b ) x = a - b
+ Với a2 - b2 = 0 Û a = ±b
• Khi a = b : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm ỳng vi mi x ẻ R
ã Khi a = - b và b ¹ 0: Phương trình trở thành 0x = - 2b3 suy ra phương trình vơ nghiệm
(Trường hợp a = - b,b = 0 Þ a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b )
+ Với a2 - b2 ¹ 0 Û a ¹ ±b : Phương trình tương đương với x =
Kết luận
a = b : phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
a = - b và b ¹ 0 : phương trình vơ nghiệm
a2 + ab + b2
a ¹ ±b : Phương trình có nghiệm là x =
a +b
b) Ta có b( ax - b + 2) = 2( ax + 1) Û a ( b - 2) x = b2 - 2b + 2

101

a3 - b3
a2 + ab + b2
=
a +b
a2 - b2


éa = 0

+ Với a ( b - 2) = 0 Û ê
êb = 2
ê
ë
2

Khi a = 0 : Phương trình trở thành 0x = b2 - 2b + 2 , do b2 - 2b + 2 = ( b - 1) + 1 > 0 nên
phương trình vơ nghiệm.
• Khi b = 2 : Phương trình trở thành 0x = 2 suy ra phương trình vơ nghiệm
ìï a ¹ 0
b2 - 2b + 2
ï
x
=
a
b
2
¹
0
Û
(
)
+ Với
: Phương trình tương đương vi
.
ớ
ùù b ạ 2
a ( b - 2)
ợ
Kt lun

a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vơ nghiệm
b2 - 2b + 2
a ¹ 0 và b ¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x =
a ( b - 2)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1
b) m( 4mx - 3m + 2) = x(m + 1)
•

Lời giải
a) Ta có (m2 - m)x = 2x + m2 - 1 Û (m2 - m - 2)x = m2 - 1
ìï m ¹ - 1
2
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay m - m - 2 ¹ 0 Û ïí
ïï m ¹ 2
ợ
Vy vi m ạ - 1 v m ạ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
2
2
b) Ta có m( 4mx - 3m + 2) = x(m + 1) Û ( 4m - m - 1) x = 3m - 2m
1 ± 17
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay 4m2 - m - 1 ¹ 0 Û m ¹
8
1 ± 17
Vậy với m ¹
thì phương trình có nghiệm duy nhất
8
Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau y = ( m + 1) x2 + 3m2x + m và
y = ( m + 1) x2 + 12x + 2 .
Lời giải

Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
( m + 1) x2 + 3m2x + m = ( m + 1) x2 + 12x + 2 vô nghiệm
Û 3( m2 - 4) x = 2 - m vơ nghiệm
ïìï m2 - 4 = 0 ïïì m = ±2
Û í
Ûí
Û m=- 2
ïï 2 - m ạ 0
ùù m ạ 2
ợ
ợ
Vy vi m = - 2 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyên tập.
Bài 3.5: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) ( 2m - 4) x + 2 - m = 0
b) (m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - 1
Bài 3.6: Giải và biện luận các phương trình sau:
x + a - b x + b - a b2 - a2
a)
(1)
=
a
b
ab

102


a ( x2 + 1)
ax - 1

2
b)
(2)
+
=
x - 1 x +1
x2 - 1
Bài 3.7: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.
a) (m2 - m)x = 2x + m2 - 1
b) m2 ( x - m) = x - 3m + 2
Bài 3.8: Tìm điều kiện của a,b để phương trình sau có nghiệm .
a) a ( bx - a + 2) = ( a + b - 1) x + 1
b)

2x - a
2x - b
- b=
- a (a,b ¹ 0)
a
b

 DẠNG TỐN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax2 + bx + c = 0.
1. Phương pháp giải.
Để giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 ta làm theo như các bước đã nêu ở trên.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) x2 - x + m = 0
b) ( m + 1) x2 - 2mx + m - 2 = 0
2
2

c) ( 2m + 5m + 2) x - 4mx + 2 = 0
Lời giải
a) Ta có D = 1- 4m
1
1 ± 1 - 4m
Với D > 0 Û 1- 4m > 0 Û m < : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
4
2
1
1
Với D = 0 Û 1- 4m = 0 Û m = : Phương trình có nghiệm kép x =
4
2
1
Với D < 0 Û 1- 4m < 0 Û m > : Phương trình vơ nghiệm
4
Kết luận
1
1 ± 1 - 4m
m < : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
4
2
1
1
m = : Phương trình có nghiệm kép x =
4
2
1
m > : Phương trình vơ nghiệm
4

3
b) + TH1: Với m + 1 = 0 Û m = - 1 khi đó phương trình trở thành 2x - 3 = 0 Û x =
2
m
+
1
¹
0
Û
m
¹
1
+ TH2: Với
khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai
2
Ta có D ' = m - ( m - 2) ( m + 1) = m + 2

Khi D > 0 Û m + 2 > 0 Û m > - 2 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
Khi D = 0 Û m + 2 = 0 Û m = - 2 khi đó phương trình có nghiệm là x = 2
Khi D < 0 Û m + 2 < 0 Û m < - 2 khi đó phương trình vơ nghiệm
Kết luận

103

m± m+2
m+1


3
2

m = - 2 : phương trình có nghiệm là x = 2
m = - 1 : phương trình có nghiệm là x =

m > - 2 và m ¹ - 1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =

m± m+2
m+1

m < - 2 : phương trình vơ nghiệm
2
2
c) ( 2m + 5m + 2) x - 4mx + 2 = 0
ém = - 2
ê
+ TH1: Với 2m + 5m + 2 = 0 Û ê
êm = - 1
ê
ë
2
2

Khi m = - 2 phương trình trở thành 8x + 2 = 0 Û x = -

1
4

1
phương trình trở thành 2x + 2 = 0 Û x = - 1
2
ìï m ¹ - 2

ï
2
+ TH2: Với 2m + 5m + 2 ¹ 0 Û ïí
khi đó phương trình đã cho l phng trỡnh bc hai
ùù m ạ - 1
ùợ
2
Khi m = -

2
2
Ta có D = 4m - 2( 2m + 5m + 2) = - 2( 5m + 2)

Khi D > 0 Û - 2( 5m + 2) > 0 Û m < x=

2
khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt
5

2m ± - 2( 5m + 2)

2m2 + 5m + 2
2
Khi D = 0 Û m = phương trình có nghiệm kép x = - 5
5
2
Khi D < 0 Û m > phương trình vơ nghiệm.
5
Kết luận
1

m = - 2 phương trình có nghiệm x = 4
1
phương trình có nghiệm x = - 1
m=2
2
phương trình có nghiệm (kép) x = - 5
m=5
2m ± - 2( 5m + 2)
2
1
, m ¹ - 2 và m ¹ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
5
2
2m2 + 5m + 2
2
m > - phương trình vơ nghiệm.
5
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a,b là tham số.
ax2 - 2( a + b) x + a + 2b = 0
m<-

Lời giải
+ TH1: Với a = 0 phương trình trở thành - 2bx + 2b = 0 Û bx = b
Khi b = 0 phương trình là 0x = 0 do đó phương trình nghiệm đúng với mọi x

104


Khi b ¹ 0 phương trình có nghiệm là x = 1
+ TH2: Với a ¹ 0 phương trình là phương trình bậc hai

2

Ta có D ' = ( a + b) - a ( a + 2b) = b2
Khi b = 0 phương trình có nghiệm kép x =

a +b
a

é
a + b + b a + 2b
êx =
=
ê
a
a
Khi b ¹ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là ê
a
+
b
b
ê x=
=1
ê
ë
a
Kết luận
a = b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x
a = 0 và b ¹ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
a +b
a ¹ 0 và b = 0 phương trình có nghiệm kép x =

a
a + 2b
a ¹ 0 và b ¹ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x =
và x = 1
a
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx2 + x + m + 1 = 0
a) Có nghiệm kép.
b) Có hai nghiệm phân biệt
Lời giải
a) Với m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + 1 = 0 suy ra m = 0 khơng thỏa mãn u
cầu bài tốn.
Với m ¹ 0 m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi và chỉ khi
ïìï m ¹ 0
ìï
ìï a ¹ 0
ìï
m¹ 0
m¹ 0
1
ïí
ï
ï
Û í
Û í
Û íï
Û m=
1
2
ïï D = 0
ïï 1- 4m( m + 1) = 0

ïï 4m - 4m + 1 = 0
ïï m =
2
ỵ
ỵ
ỵ
ïỵ
2
1
Vậy m = thì phương trình có nghiệm kép
2
b) Với m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + 1 = 0 suy ra m = 0 khơng thỏa mãn u
cầu bài tốn.
Với m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
2
1
D > 0 Û 1 - 4m( m + 1) > 0 Û 4m2 - 4m + 1 > 0 Û ( 2m - 1) > 0 Û m ¹
2
1
Vậy m ¹ 0 và m ¹
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2
3. Bài tập luyện tập
Bài 3.9: Tìm m để phương trình x2 - 3mx + (2m2 - m - 1) = 0 có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó
Bài 3.10: Cho phương trình: mx2 - 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phương trình đã cho khi m = - 2 .
b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm
Bài 3.11: Giải và biện luận phương trình
a) (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m - 5 = 0 b) (m - 2)x2 - (2m - 1)x + m + 2 = 0
Bài 3.12: Tùy thuộc vào giá trị của tham số m , hãy tìm hồnh độ giao điểm của đường thẳng

d : y = 2x + m và Parabol (P): y = ( m – 1) x2 + 2mx + 3m – 1.

105


 DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT.
Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử.
Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 - mx + 5 = 0 . Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm m và tìm
nghiệm cịn lại
Lời giải
Cách 1: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có x1x2 =
Giả sử x1 = 2 suy ra x2 =
Mặt khác x1 + x2 =
Vậy m =

5
2

5
.
4

m
5 m
13
.
Þ 2+ =
Þ m=
2
4

2
2

13
5
và nghiệm cịn lại là
2
2

Cách 2: Thay x = 2 vào phương trình ta được 8 - 2m + 5 = 0 Û m =
Theo hệ thức Viét ta có x1x2 =
Vậy m =

13
.
2

5
5
mà x1 = 2 nên x2 = .
2
4

13
5
và nghiệm còn lại là .
2
2

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) f (x) = 3x2 - 14x + 8

b) g(x) = - x4 + 5x2 - 4

c) P (x;y) = 6x2 - 11xy + 3y2 .

d) Q(x;y) = 2x2 - 2y2 - 3xy + x - 2y .

Lời giải
é
2
êx =
3
x
14
x
+
8
=
0
Û
ê
a) Phương trình
3
êx = 4
ê
ë
2

ỉ 2ư

x- ÷
÷
Suy ra f (x) = 3ỗ
ỗ
ữ( x - 4) = ( 3x - 2) ( x - 4)
ỗ
3ứ
ố
ộx2 = 1
2
4
2
2
2
ờ
x
+
5
x
4
=
0

x
+
5
x
4
=
0


( )
b) Phng trỡnh
ờx2 = 4
ờ
ở
2
2
Suy ra g(x) = - ( x - 1) ( x - 4) = - ( x - 1) ( x + 1) ( x - 2) ( x + 2)

c) Xét phương trình 6x2 - 11xy + 3y2 = 0 ẩn x .

106


2

D x = ( 11y ) - 4.18y2 = 49y2
é
y
êx =
11y ± 7y
3
Û ê
Suy ra phương trình có nghiệm là x =
ờ
12
ờx = 3y
ờ
ở

2
ổ y ửổ
3y ử
ữ
x- ữ
xữỗ
ữ= ( 3x - y ) ( 2x - 3y )
Do đó P (x;y) = 6ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
3ứố
2ứ
ố
d) Xột phng trỡnh 2x2 - 2y2 - 3xy + x - 2y = 0( ẩn x )
Û 2x2 + ( 1 - 3y ) x - 2y2 - 2y = 0
2

D x = ( 1- 3y ) - 8( - 2y2 - 2y ) = 25y2 + 10y + 1 = ( 5y + 1)
Suy ra phương trình có nghiệm là x =

3y - 1 ± ( 5y + 1)
4

2

é x = 2y

ê
Û ê
êx = - y - 1
ê
ë
2

ỉ - y - 1ư
÷
x÷
Do đó Q(x;y) = 2( x - 2y ) ỗ
ỗ
ữ= ( x - 2y ) ( 2x + y + 1)
ỗ
2 ứ
ố
Vớ d 3: Phõn tích đa thức f ( x ) = x4 - 2mx2 - x + m2 - m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x .
Lời giải
Ta có f ( x ) = 0 Û x4 - 2mx2 - x + m2 - m = 0
Û m2 -

( 2x2 + 1) m + x4 -

x=0

2

D m = ( 2x2 + 1) - 4( x4 - x ) = 4x2 + 4x + 1 = ( 2x + 1)

2


é
2x2 + 1 + 2x + 1
êm =
= x2 + x + 1
ê
2
Suy ra f ( x ) = 0 Û ê
2
ê m = 2x + 1 - 2x - 1 = x2 - x
ê
ë
2
2
2
Vậy f ( x ) = ( m - x - x - 1) ( m - x + x ) .

Loại 2: Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai.
Ví dụ 4: Cho phương trình x2 - 2( m + 1) x + m2 + 2 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x1; x2 sao cho
a) x13 + x23 = 2x1x2 ( x1 + x2 )
4
4
2
b) x1 - x2 = 16m + 64m

c) A = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất

107



d) B =

2( x12 + x22 ) + 16 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất

Lời giải
Ta có phương trình có hai nghiệm x1; x2 Û D ' ³ 0
Û

( m + 1)

2

-

( m2 + 2)

³ 0Û m³

ïì x1 + x2 = 2m + 2
Theo Viet ta có: ïí
ïï x1.x2 = m2 + 2
ỵ

1
(*)
2

3


a) Ta có x13 + x23 = ( x1 + x2 ) - 3x1x2 ( x1 + x2 )
Suy ra x13 + x23 = 2x1x2 ( x1 + x2 ) Û
Û

( x1 + x2 ) éêë( x1 + x2 )

2

( x1 + x2 )

3

- 3x1x2 ( x1 + x2 ) = 2x1x2 ( x1 + x2 )

- 5x1x2 ù
=0
ú
û

2
é
ù
2
2
Suy ra ( 2m + 2) ê( 2m + 2) - 5( m + 2) ú= 0 Û 2( m + 1) ( - m + 8m - 6) = 0
ë
û
é m=- 1
é
m+1= 0

ê
Û ê
Û
ê- m2 + 8m - 6 = 0 êm = 4 ± 10
ê
ê
ë
ë
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m = 4 ± 10 thỏa mãn
Vậy m = 4 ± 10 thỏa mãn u cầu bài tốn.
2
é
ù
4
4
2
2
2
2
b) Ta có x1 - x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 - x2 ) = ê( x1 + x2 ) - 2x1x2 úx1 - x2 x1 + x2
ë
û
Mà

x1 - x2 =

( x1 -

2


x2 ) =

( x1 + x2 )

2

- 4x1x2 =

( 2m + 2)

2

- 4( m2 + 2) =

8m - 4

Suy ra
2
x14 - x24 = é
(ë 2m + 2) - 2( m2 + 2) ùúû 8m - 4 2m + 2
ê
= ( 2m2 + 8m) 8m - 4 2m + 2

Suy ra x14 - x24 = 16m2 + 64m Û
Û

( m2 + 4m) (

( 2m2 + 8m)


8m - 4 2m + 2 = 16m2 + 64m

)

8m - 4 2m + 2 - 8 = 0

é
m + 4m = 0 (1)
Û ê
ê 8m - 4 2m + 2 = 8 (2)
ê
ë
ém = 0
ê
1
Û
Ta có ( )
êm = - 4 (loại)
ê
ë
2

2

( 2)

Û ( 8m - 4) ( 2m + 2) = 64 Û 32m3 + 48m2 - 80 = 0
Û m = 1(thỏa mãn (*))
Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Ta có A = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6 = m2 + 2 - 2( 2m + 2) - 6 = m2 - 4m - 8

2

Þ A = ( m - 2) - 12 ³ - 12
Suy ra min A = - 12 Û m = 2 , m = 2 thỏa mãn (*)
Vậy với m = 2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

108


d) B =
=

2( x12 + x22 ) + 16 - 3x1x2 =

2

2( x1 + x2 ) - 4x1x2 + 16 - 3x1x2

2

2( 2m + 2) - 4( m2 + 2) + 16 - 3( m2 + 2) =

4m2 + 16m + 16 - 3( m2 + 2)

= 2m + 4 - 3( m2 + 2) = - 3m2 + 2m - 2
1
2

Xét hàm số y = - 3m2 + 2m - 2 với m ³
Bảng biến thiên


x
y

1
2
-

+¥
7
4
- ¥

7
1
Suy ra giá trị max1y = - 4 khi m =
m³
2
2
7
1
khi m = .
4
2
2
Ví dụ 5: Cho phương trình x - mx + m - 1 = 0 với m là tham số.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là -

a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m

c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A =

2x1x2 + 3
x + x22 + 2(x1x2 + 1)
2
1

Lời giải
a) Ta có

2

D = m2 - 4( m - 1) = ( m - 2)  ³ 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = m và x1x2 = m - 1
Suy ra hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m là x1x2 = x1 + x2 - 1
2

c) Ta có x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2x1x2 = m2 - 2m + 2 .
Suy ra A =

2x1x2 + 3
2m + 1
= 2
2
x + x2 + 2(x1x2 + 1) m + 2
2
1

2


2
( m - 1)
Vì A - 1 = 2m + 1 - 1 = 2m + 1 - m - 2 = £ 0, " m Þ A £ 1, " m
m2 + 2
m2 + 2
m2 + 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 1

109


2

2
( m + 2)
1 2m + 1 1 2( 2m + 1) + m + 2
1
Và A + = 2
+ =
=
³ 0, " m Þ A ³ - , " m
2
2
2 m +2 2
2
2( m + 2)
2( m + 2)


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = - 2
Vậy max A = 1 khi và chỉ khi m = 1, min A = -

1
khi và chỉ khi m = - 2
2

Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2m + 1
ta làm như sau
m2 + 2

- km2 + 2m - 2k2 + 1
. Khi đó để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì tử số là biếu thức
m2 + 2
f ( m) = - km2 + 2m - 2k2 + 1 phải biểu diễn được dưới dạng bình phương hay

Xét A - k =

ék = 1
ê
D m = 0 Û 1 + k ( 1- 2k ) = 0 Û - 2k + k + 1 = 0 Û ê
. Vì vậy ta mới đi xét như trên.
êk = - 1
ê
ë
2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

2

a) f (x) = 2x2 - 5x + 3

b) g(x) = 2x4 - 14x2 - 36

c) P (x;y) = 3x2 - 5xy - 2y2 .

d) Q(x;y) = x2 - 2y2 - xy - 3y - 1.

Bài 3.14: Phân tích đa thức f ( x ) = 2x3 + ( m + 1) x2 + 2mx + m2 + m (biến x với tham số m ) thành tích
một đã thức bậc hai và một bậc nhất.
Bài 3.15: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: - x2 + 3x + 1 = 0 . Tính giá trị của các biểu thức:
A = x12 + x22 ; B = x13 ( x1 - 1) + x23 ( x2 - 1) ; C =

1
1
- 2 .
2
x1 x2

Bài 3.16: Tìm m để phương trình 3x2 + 4( m - 1) x + m2 - 4m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2
thỏa mãn:

1
1
1
+
= ( x1 + x2 ) .
x1 x2

2

Bài 3.17: Cho phương trình x2 - 2( m - 1) x + m2 - 3 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x1; x2 sao cho
a) x1 + x2 = 2x1x2
2
2
b) A = 2( x1 + x2 ) - x1x2 đạt giá trị lớn nhất

c) B =

x1x2
đạt giá trị nhỏ nhất
x + x22 - x1x2
2
1

 DẠNG TỐN 4: Một số bài tốn liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai.
1. Phương pháp giải và các ví dụ minh họa.

110


•

Bài tốn 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 và a/ x2 + b/ x + c/ = 0 có
nghiệm chung. Chúng ta làm như sau:
ìï ax02 + bx0 + c = 0
Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0 thì ïí / 2
ïï a x0 + b/ x0 + c/ = 0

ỵ
Giải hệ tìm được x0 ,suy ra giá trị của tham số
Bước 2: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra và kết luận.
Ví dụ 1:Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình x2 + ax + 1 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm
chung
Lời giải:
Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0 thì
ïìï x02 + ax0 + 1 = 0
Þ ( a - 1) x0 + 1 - a = 0
í 2
ïï x0 + x0 + a = 0
ỵ
Nếu a = 1 thay vào hai phương trình ta thấy chúng vơ nghiệm
Nếu a ạ 1 thỡ x0 = 1 ị a = - 2
Điều kiện đủ: Với a = - 2 thì hai phương trình trở thành x2 - 2x + 1 = 0 và x2 + x - 2 = 0
Giải hai pt này ta thấy chúng có nghiệm chung là x = 1
Vậy a = - 2 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (x2 - 2mx + m - 1)(x2 - 3x + 2m) = 0 có bốn
nghiệm phân biệt
Lời giải:
éx2 - 2mx + m - 1 = 0 ( 1)
Phương trình tương đương với ê
êx2 - 3x + 2m = 0 ( 2)
ê
ë
Phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình ( 1) và ( 2) mỗi phương trình phải
có hai nghiệm phân biệt và chúng khơng có nghiệm chung.
2
ỉ
1ư

3
÷
* Ta có D '1 = m2 - m + 1 = ỗ
m- ÷
+ > 0, " m nên phương trình (1) có nghim vi mi m .
ỗ
ữ
ỗ
2ứ 4
ố
Do ú iu kin cả hai phương trình

( 1) và ( 2) có hai nghiệm phân biệt là D 2 = 9 -

8m > 0 Û m <

* Giả sử hai phương trình ( 1) và ( 2) có nghiệm chung là x0 thì
ìï x02 - 2mx0 + m - 1 = 0
3x0 - x02
2
2
ïí
Þ
x
3
x
x
.
x
+

- 1= 0
( 0 0) 0
0
ïï x02 - 3x0 + 2m = 0
2
ợ
ị 2x03 - 5x02 + 3x0 - 2 = 0 Þ x0 = 2 Þ m = 1
éx = 0
2
ê
x
2
x
=
0
Û
Với m = 1 phương trình (1) trở thành
êx = 2 , phương trình (2) trở thành
ê
ë
éx = 1
x2 - 3x + 2 = 0 Û ê
êx = 2 do đó m = 1 thì hai phương trình có nghiệm chung.
ê
ë
Suy ra để khi hai phương trình ( 1) và ( 2) khơng có nghiệm chung là m ¹ 1 .

9
và m ¹ 1 .
8

Bài tốn 2: Chứng minh trong các phương trình bậc hai có ít nhất một phương trình có nghiệm

Vậy để phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt thì m <
•

111

9
.
8


Để giải quyết bài toán này chúng ta sẽ đi chứng minh tổng các biệt thức Delta là một số khơng âm.
Ví dụ 3: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn diệu kiện a + 2b + 3c = 1.Chứng minh rằng có ít nhất một trong
hai phương trình sau có nghiệm
4x2 - 4( 2a + 1) x + 4a2 + 192abc + 1 = 0
4x2 - 4( 2b + 1) x + 4b2 + 96abc + 1 = 0

Lời giải
Hai phương trình trên lần lượt có D 1/ = 16a ( 1- 48bc ) , D /2 = 16b( 1 - 24ac )
Vì a,b là các số dương nên D 1/ , D /2 lần lượt cùng dấu với 1 - 48bc và 1 - 24ac
2

Mặt khác ta lại có 1 - 48bc + 1 - 24ac = 2 - 24c ( a + 2b) = 2 - 24c ( 1 - 3c ) = 2( 6c - 1) ³ 0
Dẫn đến D 1/ + D /2 ³ 0
Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
Ví dụ 4: Cho các số a,b,c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = 6 .Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba
phương trình sau có nghiệm
x2 + ax + 1 = 0
x2 + bx + 1 = 0

x2 + cx + 1 = 0
Lời giải
Ba pt trên lần lượt có D 1 = a2 - 4, D 2 = b2 - 4 , D 3 = c2 - 4
Þ D 1 + D 2 + D 3 = a2 + b2 + c2 - 12
Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau b + c ³
2

Suy ra D + D + D ³ a2 +
1
2
3
Mặt khác a +
2

( 6- a)

2

( b + c)
2

2

( b + c)
2

2

- 12 = a2 +


3( a - 2)

2

( 6- a)
2

2

- 12

2

- 12 =
³ 0 Þ D1 + D 2 + D 3 ³ 0
2
2
Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức D 1, D 2, D 3 không âm
Vậy với a,b,c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = 6 thì có ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm
•

Bài tốn 3: Chứng minh bất đẳng thức có chứa các hệ số của phương trình bậc hai với nghiệm
của nó có điều kiện.
Để làm xuất hiện điều kiện ràng buộc đối với hệ số phương trình bậc hai ta thường dựa trên
2
2
+ Nếu phương trình bậc hai ax +bx +c = 0 có nghiệm thực thì D ³ 0Û b ³ 4ac .
+ Sử dụng định lí Viét và điều kiện nghiệm của đề bài đã cho để suy ra ràng buộc của hệ số a,b,c .
2
Ví dụ 5: Cho phương trình x - bx +c = 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 £ 1. Chứng minh

rằng:
1
a) c £ .
4
Chứng minh.

112

b) b(c +1) ³ 5c.


2

ổx1 + x2 ử
1
ữ
ữ
ỗ
a) Ta cú c = x1x2 Ê ç
£
.
÷
ç
÷
ç
÷ 4
è 2 ø
c) Thay b= x1 + x2 ,c = x1x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
(x1 + x2)(x1x2 +1) ³ 5x1x2 Û


Ta c ó:

1 1
+ + x1 + x2 ³ 5
x1 x2

3 4
1 1
1
1
3æ1 1 ư
³
1
+
1
+
³ 5.
÷
+ + x1 + x2 = x1 +
+ x2 +
+ ỗ
+ ữ
ỗ
ữ
ữ
4x1 + x2
x1 x2
4x1
4x2 4ỗ
ốx1 x2 ứ


2
Vớ dụ 6: Cho phương trình x - bx +c = 0 có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 ³ 1.

a) Chứng minh rằng: b2 - 2c ³

1
.
2

3
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2bc - b - 3b+1.

Lời giải.
a) Thay b= x1 + x2 ,c = x1x2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

( x +x )
1

2

2

- 2x1x2 ³

Ta có: x12 + x22 ³

1
1
Û x12 + x22 ³

2
2

2
1
1
x1 + x2 ) ³ .
(
2
2

b) Theo giả thiết ta có: b³ 1,c £
Vậy PMAX =-

b2
b3
1
5
nên P £ - 3b+1£ - - 3+1=- .
4
2
2
2

5
1
khi b=1,c = .
2
4


2. Bài tập luyện tập.
Bài 3.18: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 - 2mx - 4m + 1 = 0 (1) và
x2 + ( 3m + 1) x + 2m + 1 = 0 (2).
Bài 3.19: Chứng minh rằng nếu hai phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + mx + n = 0 có nghiệm chung
2

thì ( n - b) = ( m - a ) ( an - bm) .
Bài 3.20: Cho a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất
một phương trình có nghiệm ax2 + 2bx + c = 0 (1); bx2 + 2cx + a = 0 (2); cx2 + 2bx + b = 0 (3).
2
Bài 3.21: Cho phương trình x +bx +c = 0có hai nghiệm thực dương x1 , x2 thoả mãn x1 x2 ³ 1.
2
a) Chứng minh rằng: b ³ 4.

113


3b2 - 4c +b+ 2
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
b2 +1
Bài 3.22: Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc [0;3]. Tìm giá trị lớn nhất và
18a2 - 9ab + b2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2
9a - 3ab + ac
2
Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax - x +c = 0 có hai nghiệm thực dương x1, x2 thoả
mãn x1 + x2 £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

114


a2 - c
a2c - a3

.


§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
 DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp giải.
• Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng
cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
• Phương trình dạng f (x) = g(x) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau
éf (x) = g(x)
2
2
f (x) = g(x) Û ê
êf (x) = - g(x) hoặc f (x) = g(x) Û f (x) = g (x)
ê
ë
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
2
a) 2x + 1 = x - 3x - 4 .
b) 3x - 2 = 3 - 2x
c) x2 - 4x - 5 = 4x - 17
Lời giải


d) 2x - 5 + 2x2 - 7x + 5 = 0

é
êx = 5 ± 45
é 2x + 1 = x2 - 3x - 4
éx2 - 5x - 5 = 0
ê
2
ê
a) Phương trình Û ê
ê2x + 1 = - ( x2 - 3x - 4) Û êx2 - x - 3 = 0 Û ê
ê
1 ± 13
ê
ê
ë
ë
êx =
ê
ë
2
5 ± 45
1 ± 13
và
.
2
2
3
b) Cách 1: Với 3 - 2x < 0 Û x >

ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trình vơ nghiệm
2
3
Với 3 - 2x ³ 0 Û x £
khi đó hai vế của phương trình khơng âm suy ra
2
Vậy phương trình có nghiệm là x =

2

2

Phương trình Û 3x - 2 = ( 3 - 2x ) Û 9x2 - 12x + 4 = 4x2 - 12x + 9
Û 5x2 = 5 Û x = ±1 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là x = ±1 .
2
Cách 2: Với 3x - 2 ³ 0 Û x ³
: Phương trình tương đương với
3
3x - 2 = 3 - 2x Û 5x = 5 Û x = 1 (thỏa mãn)
2
Với 3x - 2 < 0 Û x < : Phương trình tương đương với
3
- ( 3x - 2) = 3 - 2x Û x = - 1 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là x = ±1 .
17
c) Với 4x - 17 < 0 Û x <
ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trình vơ nghiệm
4
17

Với 4x - 17 ³ 0 Û x ³
khi đó hai vế của phương trình khơng âm suy ra
4

115


2

2

Phương trình Û x2 - 4x - 5 = ( 4x - 17) Û

( x2 -

éx2 - 8x + 12 = 0
2
2
Û ( x - 8x + 12) ( x - 22) = 0 Û ê
ê x2 - 22 = 0 Û
ê
ë
17
thấy chỉ có x = 6 và x =
4
Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 và x = 22 .
2
d) Ta có 2x - 5 ³ 0, 2x - 7x + 5 ³ 0 suy ra
Đối chiếu với điều kiện x ³


2

4x - 5) = ( 4x - 17)
é
ê
ê
ê
êx
ê
ë

2

éx = 2
ê
êx = 6
ê
ë
= ± 22

22 thỏa mãn

2x - 5 + 2x2 - 7x + 5 ³ 0.
ìï
ïï x = 5
ïï
2
ìï
2x - 5 = 0
5

x =1Û x = .
Û ïí é
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ïí 2
ê
ïï 2x - 7x + 5 = 0
ïï
2
ỵ
5
ïï ê
êx =
ïïỵ ë
ê
2
5
Vậy phương trình có nghiệm là x = .
2
Nhận xét: Đối với phương trình dạng f (x) = g(x) (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau
ïìï g(x) ³ 0
ìï g(x) ³ 0
ï
f (x) = g(x)
f (x) = g(x) Û ïí 2
Û ïí é
2
ïï f (x) = g (x)
ïï ê
êf (x) = - g(x)
ỵ
ïïỵ ë

ê
éìï f (x) = g(x)
êïí
êï f (x) ³ 0
ïỵ
Hoặc f (x) = g(x) Û ê
êìï - f (x) = g(x)
êï
êíï f (x) < 0
ê
ëỵï
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
2
a) ( x + 1) - 3 x + 1 + 2 = 0
b) 4x ( x - 1) = 2x - 1 + 1
2
c) x +

9

( x - 1)

2

+ 1 = 2x + 7

x2 - 2x - 2
x- 1

Lời giải

a) Đặt t = x + 1 ,t ³ 0 .
ét = 1
2
Phương trình trở thành t - 3t + 2 = 0 Û ê
êt = 2
ê
ë
éx = 0
Với t = 1 ta có x + 1 = 1 Û x + 1 = ±1 Û ê
êx = - 2
ê
ë
éx = 1
Với t = 2 ta có x + 1 = 2 Û x + 1 = ±2 Û ê
êx = - 3
ê
ë
x
=
3
,
x
=
2
,
x
= 0 và x = 1
Vậy phương trình có nghiệm là
b) Phương trình tương đương với 4x2 - 4x - 2x - 1 - 1 = 0


116


2
2
2
2
Đặt t = 2x - 1 , t ³ 0 Þ t = 4x - 4x + 1 Þ 4x - 4x = t - 1 .

ét = - 1
2
2
Phương trình trở thành t - 1 - t - 1 = 0 Û t - t - 2 = 0 Û ê
êt = 2
ê
ë
é
3
êx =
é 2x - 1 = 2
ê
2
Vì t ³ 0 Þ t = 2 nên 2x - 1 = 2 Û ê
ê2x - 1 = - 2 Û ê
1
ê
ê
ë
x=ê
ë

2
3
1
Vậy phương trình có nghiệm là x =
và x = - .
2
2
c) ĐKXĐ: x ¹ 1
2
9
3
= 7 x - 1Phương trình tương đương ( x - 1) +
2
x- 1
( x - 1)
Đặt t = x - 1 -

3
x- 1
2

2
Suy ra t = ( x - 1) +

9

( x - 1)

2


- 6Þ

( x - 1)

2

+

9

( x - 1)

2

= t2 + 6

ét = 1
2
2
Phương trình trở thành t + 6 = 7t Û t - 7t + 6 = 0 Û ê
êt = 6
ê
ë
2
3
x - 2x - 2
x2 - 2x - 2
=1Û
=1Û
= ±1

Với t = 1 ta có x - 1x- 1
x- 1
x- 1
é
é
ê2
êx = 3 ± 13
x
3
x
1
=
0
ê
ê
2
Û ê 2
Û ê
(thỏa mãn)
êx - x - 3 = 0
ê
1 ± 13
ê
êx =
ê
ê
ë
ë
2
3

x2 - 2x - 2
x2 - 2x - 2
x
1
=
6
Û
=
6
Û
= ±6
Với t = 6 ta có
x- 1
x- 1
x- 1
éx2 - 8x + 4 = 0
éx = 4 ± 2 3
ê
Û ê
Û
(thỏa mãn)
êx2 + 4x - 8 = 0
ê
x = - 2± 2 3
ê
ê
ë
ë
3 ± 13
1 ± 13

Vậy phương trình có nghiệm là x =
,x=
, x = 4 ± 2 3 và x = - 2 ± 2 3 .
2
2
Ví dụ 3: Giải và biện luận các phương trình sau
a) mx + 2m = mx + x + 1 (*)
b) mx + 2x - 1 = x - 1 (**)
Lời giải
é mx + 2m = mx + x + 1
a) Ta có mx + 2m = mx + x + 1 Û ê
êmx + 2m = - ( mx + x + 1)
ê
ë
é
x = 2m - 1
Û ê
ê( 2m + 1) x = - 2m - 1 (1)
ê
ë
Giải (1)

117