CHƯƠNG I : MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
§1. MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa:
Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai .
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
2.Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P .
Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề "nếu P thì Q " gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P Þ Q . Mệnh đề P Þ Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P Þ Q . Khi đó mệnh đề Q Þ P gọi là mệnh đề đảo của Q Þ P
4. Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề P và Q . Mệnh đề " P nếu và chỉ nếu Q " gọi là mệnh đề tương đương
Ký hiệu là P Û Q .
Mệnh đề P Û Q đúng khi cả P Þ Q và Q Þ P cùng đúng
Chú ý: "Tương đương" còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như "điều kiện cần và đủ", "khi và chỉ khi",
"nếu và chỉ nếu".
5. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá
trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
Ví dụ: P ( n ) : " n chia hết cho 5" với n là số tự nhiên
P ( x;y ) :" 2x + y = 5 " Với x, y là số thực
6. Các kí hiệu " , $ và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu " , $.
Kí hiệu : đọc là với mọi, : đọc là tồn tại
Phủ định của mệnh đề “ " x Ỵ X , P ( x ) ” là mệnh đề “ $x Î X , P (x) ”
Phủ định của mệnh đề “ $x Ỵ X , P ( x ) ” là mệnh đề “ " x Ỵ X , P (x) ”
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TỐN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ .
1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho
biết mệnh đề đó đúng hay sai.
(1) Ở đây đẹp quá!
(2) Phương trình x2 - 3x + 1 = 0 vô nghiệm
(3) 16 không là số nguyên tố
(4) Hai phương trình x2 - 4x + 3 = 0 và x2 - x + 3 + 1 = 0 có nghiệm chung.
(5) Số p có lớn hơn 3 hay không?
(6) Italia vô địch Worldcup 2006
(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vng góc với nhau.
Lời giải
Câu (1) và (5) khơng là mệnh đề(vì là câu cảm thán, câu hỏi)
Các câu (3), (4), (6), (8) là những mệnh đề đúng
Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai.
Ví dụ 2: Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) n + 8 là số chính phương
(2) Chữ số tận cùng của n là 4
1

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


(3) n - 1 là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai
Lời giải
Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 . Vì vậy
- Nhận thấy giữa mệnh đề (1) và (2) có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì
n + 8 có chữ số tận cùng là 2 nên khơng thể là số chính phương. Vậy trong hai mệnh đề này phải có một
mệnh đề là đúng và một mệnh đề là sai.
- Tương tự, nhận thấy giữa mệnh đề (2) và (3) cũng có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là

đúng thì n - 1 có chữ số tận cùng là 3 nên khơng thể là số chính phương.
Vậy trong ba mệnh đề trên thì mệnh đề (1) và (3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai.
2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.0: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hay cho
biết mệnh đề đó đúng hay sai.
a) Không được đi lối này!
b) Bây giờ là mấy giờ?
c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946.
d) 16 chia 3 dư 1.
e) 2003 không là số nguyên tố.
f) 5 là số vô tỉ.
g) Hai đường trịn phân biệt có nhiều nhất là hai điểm chung.
Bài 1.1: Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Inđơnêxia.
Trước khi thi đấu vịng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đốn như sau:
Dung: Singapor nhì, cịn Thái Lan ba.
Quang: Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư.
Trung: Singapor nhất và Inđơnêxia nhì.
Kết quả, mỗi bạn dự đốn đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?
 DẠNG TOÁN 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MỆNH ĐỀ .
Các phép toán mệnh đề được sử dụng nhằm mục đích kết nối các mệnh đề lại với nhau tạo ra một
mệnh đề mới. Một số các phép toán mệnh đề là : Mệnh đề phủ định(phép phủ định), Mệnh đề kéo
theo(phép kéo theo), mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương(phép tương đương).
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
P : " Hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau"
Q : " 6 là số nguyên tố"
R : " Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại"
S : " 5 > - 3"
K : " Phương trình x4 - 2x2 + 2 = 0 có nghiệm "
H :"


(

3-

)

12

2

= 3

"

Lời giải
Ta có các mệnh đề phủ định là
P : " Hai đường chéo của hình thoi khơng vng góc với nhau", mệnh đề này sai
Q : " 6 không phải là số nguyên tố", mệnh đề này đúng
R : " Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại", mệnh đề này sai
S : " 5 £ - 3 ", mệnh đề này sai
4
2
K : " phương trình x - 2x + 2 = 0 vô nghiệm ", mệnh đề này đúng vì
2

x4 - 2x2 + 2 = ( x2 - 1) + 1 > 0
H :"
2


(

3-

)

12

2

¹ 3

", mệnh đề này sai

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề P Þ Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.
a) P : " Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : " Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường"
b) P : "2 > 9" và Q : "4 < 3"
µ = 2B
µ "
c) P : " Tam giác ABC vuông cân tại A" và Q : " Tam giác ABC có A
d) P : " Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" và Q : " Ngày 27 tháng 7 là ngày
thương binh liệt sĩ"
Lời giải
a) Mệnh đề P Þ Q là " Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường", mệnh đề này đúng.
Mệnh đề đảo là Q Þ P : "Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì

ABCD là hình thoi ", mệnh đề này sai.
b) Mệnh đề P Þ Q là " Nếu 2 > 9 thì 4 < 3 ", mệnh đề này đúng vì mệnh đề P sai.
Mệnh đề đảo là Q Þ P : " Nếu 4 < 3 thì 2 > 9 ", mệnh đề này đúng vì mệnh đề Q sai.
µ = 2B
à ", mnh ny ỳng
c) Mnh P ị Q là " Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì A
µ = 2B
µ thì nó vng cân tại A", mệnh đề này sai
Mệnh đề đảo là Q Þ P : " Nếu tam giác ABC có A

d) Mệnh đề P Þ Q là " Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7
là ngày thương binh liệt sĩ"
Mệnh đề đảo là Q Þ P : " Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng 9 là ngày
Quốc Khánh của nước Việt Nam"
Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề P ,Q đều đúng
Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề P Û Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó
a) P : "Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : " Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vng
góc với nhau"
b) P : " Bất phương trình

x2 - 3x > 1 có nghiệm" và Q : "

( - 1)

2

- 3.( - 1) > 1 "

Lời giải
a) Ta có mệnh đề P Û Q đúng vì mệnh đề P Þ Q, Q Þ P đều đúng và được phát biểu bằng hai cách

như sau:
"Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vng
góc với nhau" và
"Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nêu tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vng
góc với nhau"
b) Ta có mệnh đề P Û Q đúng vì mệnh đề P , Q đều đúng(do đó mệnh đề P Þ Q, Q Þ P đều đúng)
và được phát biểu bằng hai cách như sau:
" Bất phương trình

x2 - 3x > 1 có nghiệm khi và chỉ khi

" Bất phương trình

x2 - 3x > 1 có nghiệm nếu và chỉ nếu

( - 1)

2

( - 1)

- 3.( - 1) > 1" và

2

- 3.( - 1) > 1"

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
P : " Trong tam giác tổng ba góc bằng 1800"

Q:"

(

3-

2

27) là số nguyên "

R : " Việt Nam vô địch Worldcup 2020"
5
> - 2"
2
K : " Bất phương trình x2013 > 2030 vơ nghiệm "

S: "-

3

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Bài 1.3: Phát biểu mệnh đề P Þ Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.
a) P : " Tứ giác ABCD là hình chữ nhật" và Q : "Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và BD vng
góc với nhau"
b) P : "-

3>-


(

2" và Q : " -

)

3

3

(

> -

)

3

2 "

µ =B
µ + Cµ " và Q : " Tam giác ABC có BC 2 = AB 2 + AC 2 "
c) P : " Tam giác ABC có A
d) P : "Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam" và Q : "Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế giới
"
Bài 1.4: Phát biểu mệnh đề P Û Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó
a) Cho tứ giác ABDC. Xét hai mệnh đề
P: " Tứ giác ABCD là hình vng".
Q: " Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng vng góc với nhau ".
b) P: " Bất phương trình x2 - 3x + 1 > 0 có nghiệm" và Q: " Bất phương trình x2 - 3x + 1 £ 0 vô

nghiệm"
Bài 1.5: Cho các mệnh đề :
A : “Nếu ∆ABC đều có cạnh bằng a, đường cao là h thì h = a 3 ” ;
2
B : “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vng” ;
C : “15 là số nguyên tố” ;
D : “ 125 là một số nguyên”.
a) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A Þ B, A Þ D, B Þ C.
b) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A Û B, B Û C, B Û D.
Bài 1.6: Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P Þ Q, Q Þ P và xét tính đúng sai của mệnh đề này.
a) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề:
P: " Tổng 2 góc đối của tứ giác lồi bằng 1800 " và Q: " Tứ giác nội tiếp được đường tròn ".
b) P : "

2-

3 > - 1" và Q: "

(

2-

3

)

2

2


> ( - 1) "

 DẠNG TOÁN 3: MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU " , $ .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho mệnh đề chứa biến " P ( x ) : x > x3 " , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
ỉ1÷
ư
÷
a) P ( 1)
b) P ỗ
c) " x ẻ N , P ( x )
d) $x Ỵ N , P ( x )
ỗ
ữ
ỗ3ứ
ố
Li gii
a) Ta cú P ( 1) : 1 > 13 õy l mnh sai
3

ổ1ử
1 ổ
1ử
ữ
ữ
ỗ
b) Ta cú P ỗ
:
>
ữ

ữ õy l mnh ỳng
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố3ứ 3 ố3ứ
3
c) Ta có " x Ỵ N , x > x là mệnh đề sai vì P ( 1) là mệnh đề sai
3
d) Ta có $x Ỵ N , x > x là mệnh đề đúng vì x - x3 = x ( 1 - x ) ( 1 + x ) £ 0 với mọi số tự nhiên.

Ví dụ 2: Dùng các kí hiệu để viết các câu sau và viết mệnh đề phủ định của nó.
4

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu
b) Với mọi số thực bình phương của là một số khơng âm.
c) Có một số ngun mà bình phương của nó bằng chính nó.
d) Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.
Lời giải
a) Ta có P : " n Ỵ N , n ( n + 1) ( n + 2) M6 , mệnh đề phủ định là P : $n Î N , n ( n + 1) ( n + 2) M6 .
2
b) Ta có Q : " x Î ¡ , x ³ 0, mệnh đề phủ định là Q :$x Ỵ ¡ , x2 < 0
2
c) Ta có R : $n Ỵ Z, n = n , mệnh đề phủ định là R : " n Ỵ Z, n2 ¹ n .


1
1
> q , mệnh đề phủ định là " q Ỵ Q, £ q .
q
q
Ví dụ 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm phủ định của nó :
2
a) A : " " x Ỵ R, x ³ 0 "
d) $q Ỵ Q,

b) B: " Tồn tại số tự nhiên đều là số ngun tố".
c) C : " $x Ỵ N , x chia hết cho x + 1 "
4
2
d) D: " " n Ỵ N , n - n + 1 là hợp số "
e) E: " Tồn tại hình thang là hình vng ".
f) F: " Tồn tại số thực a sao cho a + 1 +

1
£ 2"
a +1

Lời giải
a) Mệnh đề A đúng và A : $x Ỵ R, x2 < 0
b) Mệnh đề B đúng và B : "Với mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố"
c) Mệnh đề C sai và C : " " x Ỵ N , x M( x + 1) "
d) Mệnh đề D sai vì với n = 2 ta có n4 - n2 + 1 = 13 khơng phải là hợp số
4
2
Mệnh đề phủ định là D : " $n Ỵ N , n - n + 1 là số số nguyên tố"

e) Mệnh đề E đúng và E : " Với mọi hình thang đều khơng là hình vng ".
f) Mệnh đề F đúng và mệnh đề phủ định là F : " Với mọi số thực a thì a + 1 +

1
> 2"
a +1

2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.7: Xét các mệnh đề chứa biến sau, tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng,
mệnh đề sai.
2
a) P ( x ) : "x Ỵ R, x - 2x ³ 0"
b) Q ( n ) : "n chia hết cho 3, với n Ỵ N ".
c) R ( x ) : " - 4x2 + 4x - 1 £ 0 với x Ỵ ¡ "
Bài 1.8: Xét đúng (sai) mệnh đề và phủ định các mệnh đề sau :
3
2
a) " x Ỵ ¡ , x - x + 1 > 0
2
c) $x Ỵ N , n + 3 chia hết cho 4

(

2
d) $q Ỵ Q, 2q - 1 = 0

e) $n Ỵ N , n ( n + 1) là một số chính phương
Bài 1.9: Xác định tính đúng - sai của các MĐ sau :
a)" x ẻ R, x > - 2 ị x2 > 4
b)" x ẻ R, x > 2 ị x2 > 4

5

)(

4
2
2
2
b) " x Ỵ ¡ , x - x + 1 = x + 3x + 1 x -

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

)

3x + 1


c)" x ẻ R, x2 > 4 ị x > 2
d)" x Ỵ N , x > 2 Û x2 > 4
e) " m, n ẻ Ơ , m v n là các số lẻ Û m2 + n2 là s chn.
Bi 1.10: a) Vi n ẻ Ơ , cho mệnh đề chứa biến P (n) : "n2 + 2 chia hết cho 4”. Xét tính đúng sai của
mệnh đề P(2007).
1
b) Xét tính đúng sai của mệnh đề P(n) : $n ẻ Ơ *, n(n + 1) chia ht cho 11”.
2
Bài 1.11: a) Cho mệnh đề P : "Với mọi số thực x, nếu x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ".
Dùng kí hiệu viết P, P và xác định tính đúng - sai của nó.
b) Phát biểu MĐ đảo của P và chứng tỏ MĐ đó là đúng. Phát biểu MĐ dưới dang MĐ tương đương
Bài 1.12: Cho số tự nhiên n. Xét hai mệnh đề chứa biến :
A(n) : "n là số chẵn", B(n) : "n2 là số chẵn".

a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n) Þ B(n). Cho biết mệnh đề này đúng hay sai ?
b) Hãy phát biểu mệnh đề “ " n ẻ Ơ , B (n) ị A(n) .
c) Hóy phỏt biu mnh " n ẻ Ơ , A(n) Û B (n) ”.
Bài 1.13: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) P :" " x Ỵ R, " y Ỵ R : x + y = 1"
b) Q :"$x Ỵ R, $y Ỵ R : x + y = 2"
c) R :"$x Ỵ R, " y Ỵ R : x + y = 3"
d) S :" " x Ỵ R, $y Ỵ R : x + y = 4"
§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TỐN HỌC
A: TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí và chứng minh định lí.
· Trong tốn học định lý là một mệnh đề đúng . Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng "
" x Ỵ X , P ( x ) Þ Q ( x ) ", P ( x ) ,Q ( x ) là các mệnh đề chứa biến
· Có hia cách để chứng minh định lí dưới dạng trên
Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:
- Lấy x Ỵ X bất kỳ mà P ( x ) đúng
- Chứng minh Q ( x ) đúng(bằng suy luận và kiến thức toán học đã biết)
Cách 2: Chứng minh bằng phản định lí gồm các bước sau:
- Giả sử tồn tại x0 Ỵ X sao cho P ( x0 ) đúng và Q ( x0 ) sai
- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn.
2. Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.
· Cho định lí dưới dạng " " x Ỵ X , P ( x ) Þ Q ( x ) " (1). Khi đó
P ( x ) là điều kiện đủ để có Q ( x )
Q ( x ) là điều kiện cần để có P ( x )
· Mệnh đề " x ẻ X , Q ( x ) ị P ( x ) đúng thì được gọi định lí đảo của định lí dạng (1)
Lúc đó (1) được gọi là định lý thuận và khi đó có thể gộp lại thành một định lí
" x Ỵ X , Q ( x ) Û P ( x ) , ta gọi là " P ( x ) là điều kiện cần và đủ để có Q ( x ) "
Ngồi ra cịn nói " P ( x ) nếu và chỉ nếu Q ( x ) ", " P ( x ) khi và chỉ khi Q ( x ) ",
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
6


– Website chuyên tài liệu đề thi file word


 DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và n3 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.
Lời giải
Giả sử n khơng chia hết cho 3 khi đó n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2, k Ỵ Z
3

Với n = 3k + 1 ta có n3 = ( 3k + 1) = 27k3 + 27k2 + 9k + 1 không chia hết cho ba (mâu thuẫn)
3

Với n = 3k + 2 ta có n3 = ( 3k + 2) = 27k3 + 54k2 + 36k + 4 không chia hết cho ba (mâu thuẫn)
Vậy n chia hết cho 3.
Ví dụ 2: Cho tam thức f ( x ) = ax2 + bx + c,a ¹ 0 . Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α sao cho
a.f ( α ) £ 0 thì phương trình f ( x ) = 0 ln có nghiệm.
Lời giải
2

ỉ
bư D
Ta có f ( x ) = a ç
x+ ÷
, D = b2 - 4ac .
÷
ç
÷
ç

2a ø 4a
è
Giả sử phương trình đã cho vơ nghiệm, nghĩa là ∆ < 0.
2

ỉ
bư ∆
Khi đó ta có: af ( x ) = a2 ỗ
x+ ữ
ữ
ỗ
ữ - 4 > 0, " x ẻ Ă
ỗ
2a ứ
ố
Suy ra khụng tn ti af ( α ) £ 0 , trái với giả thiết.
Vậy điều ta giả sử ở trên là sai, hay phương trình đã cho ln có nghiệm.
1 1 1
Ví dụ 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng nếu a + b + c > + + thì có một
a b c
a
,
b
,
c
và chỉ một trong ba số
lớn hơn một.
Lời giải
Giả sử ngược lại, khi đó ta có các trường hợp sau:
· TH1: Với ba số đều lớn hơn 1 hoặc ba số đều nhỏ hơn 1 thì mâu thuẫn với giả thiết abc = 1

· TH2: Với hai trong ba số lớn hơn 1, không mất tính tổng quát giả sử a > 1, b > 1
Vì abc = 1 nên c < 1 do đó ( a - 1) ( b - 1) ( c - 1) < 0 Û abc + a + b + c - ab - bc - ca - 1 < 0
1 1 1
+ + (mâu thuẫn)
a b c
Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số a, b, c lớn hơn một.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng một tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ một đỉnh là
tam giác cân tại đỉnh đó.
Lời giải
Giả sử tam giác ABC có AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân
A
giác và không cân tại A.
Khơngmất tính tổng qt xem như AC > AB .
Trên AC lấy D sao cho AB = AD .
Gọi L là giao điểm của BD và AH .
·
·
Khi đó AB = AD, BAL = LAD và AL chung nên D ABL = D ADL
D
Û a + b + c < ab + bc + ca Û a + b + c <

Do đó AL = LD hay L là trung điểm của BD
Suy ra LH là đường trung bình của tam giác CBD
Þ LH / / DC điều này mâu thuẫn vì LH , DC cắt nhau tại A
Vậy tam giác ABC cân tại A.
2. Bài tập luyện tập.
7

L


B

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

H

C


Bài 1.14: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 vơ
nghiệm thì a và c cùng dấu.
Bài 1.15: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: Nếu hai số nguyên dương có tổng bình phương
chia hết cho 3 thì cả hai số đó phải chia hết cho 3.
Bài 1.16: Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c
là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.
Bài 1.17: Cho a, b, c dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau sai
1
1
1
a ( 1 - b) > , b( 1 - c ) > , c ( 1 - a ) >
4
4
4
Bài 1.18: Nếu a1a2 ³ 2( b1 + b2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình
x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm.
Bài 1.19: Chứng minh rằng

2 là số vơ tỉ.

ìï a + b + c > 0

ïï
Bài 1.20: Cho các số a, b, c thỏa các điều kiện : ïí ab + bc + ca > 0
ïï
ïïỵ abc > 0
Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều dương.

(1)
(2)
(3)

Bài 1.21: Chứng minh bằng phản chứng định lí sau : “Nếu tam giác ABC có các đường phân giác trong
BE, CF bằng nhau, thì tam giác ABC cân”.
Bài 1.22: Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn
để có thể ghép thành một tam giác.
 DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT NGỮ ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN
CẦN VÀ ĐỦ .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho định lí : “Cho số tự nhiên n. Nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Định lí này được viết
dưới dạng P Þ Q .
a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q.
b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”.
c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”.
d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu
gộp cả hai định lí thuận và đảo.
Lời giải.
a) P : “n là số tự nhiên và n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5”.
b) Với n là số tự nhiên, n chia hết cho 5 là điều kiện cần để n 5 chia hết cho 5 ; hoặc phát biểu cách khác :
Với n là số tự nhiên, điều kiện cần để n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5.
c) Với n là số tự nhiên, n5 chia hết cho 5 là điều kiện đủ để n chia hết cho 5.
d) Định lí đảo : “Cho số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 5 thì n 5 chia hết cho 5”. Thật vậy, nếu n = 5k thì n 5 =

55.k5 : Số này chia hết cho 5.
Điều kiện cần và đủ để n chia hết cho 5 là n5 chia hết cho 5.
Ví dụ 2: Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ "Điều kiện cần", "Điều kiện đủ"
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
b) Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3
c) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân
2
d) Nếu tam giác ABC vng tại A và AH là đường cao thì AB = BC .BH
Lời giải
8

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau
b) Số nguyên dương chia hết cho 6 là điều kiện đủ để nó chia hết cho 3
Số nguyên dương chia hết cho 3 là điều kiện cần để nó chia hết cho 6
c) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện đủ để nó là hình thang cân
Hình thang cân là điều kiện cần để nó có hai đường chéo bằng nhau
2
d) Tam giác ABC vuông tại A và AH là đường cao là điều kiện đủ để AB = BC .BH
2
Tam giác ABC có AB = BC .BH là điều kiện cần để nó vng tại A và AH là đường cao

Ví dụ 3: Dùng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu định lí sau
a) Tam giác ABC vng khi và chỉ khi AB 2 + AC 2 = BC 2 .
b) Tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vng.
c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường trịn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.
d) Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn.

Lời giải
a) Tam giác ABC vuông là điều kiện cần và đủ để AB 2 + AC 2 = BC 2 .
b) Tứ giác là hình chữ nhật là điều kiện cần và đủ để nó có ba góc vng.
c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn là điều kiện cần và đủ để nó có hai góc đối bù nhau.
d) Một số chia hết cho 2 là điều kiện cần và đủ để nó có chữ số tận cùng là số chẵn.
2. Bài tập luyện tập
Bài 1.23: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm " Điều kiện cần", " Điều kiện đủ "
a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó
song song với nhau
b) Nếu số ngun dương có chữ tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
c) Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vng góc với nhau
d) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
Bài 1.24. Dùng thuật ngữ điều kiện cần và đủ để phát biểu định lí sau
a) Một tam giác là tam giác cân, nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau
b) Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường
c) x ³ y Û 3 x ³ 3 y
uuur uur
d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành khi và chỉ khi MN = QP .
Bài 1.25: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau:
a) “Nếu một tứ giác là hình vng thì nó có bốn cạnh bằng nhau”.
Có định lí đảo của định lí trên khơng , vì sao?
b) “Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vng góc”.
Có định lí đảo của định lí trên khơng , vì sao?
Bài 1.26: Dùng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lí sau :
a) Nếu MA ^ MB thì M thuộc đường trịn đường kính AB ;
b) a ¹ 0 hoặc b ¹ 0 là điều kiện đủ để a2 + b2 > 0 .
§3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP
A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tập hợp
• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa.
• Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.
• Tập rỗng: là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.
9

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau
• A è B ( "x ẻ A ị x ẻ B )
Các tính chất:
+ A Ì A, " A
+ Ỉ Ì A, " A

+ A Ì B, B Ì C Þ A Ì C

• A = B Û (A Ì B và B Ì A) Û ( " x, x Î A Û x Î B )
3. Một số tập con của tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu
Tập hợp
Tập số thực ( - ¥ ; +¥

)

Hình biểu diễn

¡


|

ù
Đoạn é
ëa ; bû

{x Ỵ ¡ | a £ x £ b}

/////[

]////

Khoảng ( a ; b)

{x Ï ¡ | a < x < b}

/////(

)////

Khong (- Ơ ; a)

{x ẻ Ă | x < a}

Khong (a ; + Ơ )

{x ẻ Ă | a < x}

/////(


Nửa khoảng é
ëa ; b)

{x Ỵ ¡ | a £ x < b}

/////[

)////

Nửa khoảng ( a ; bù
û

{x Ỵ ¡ | a < x £ b}

/////(

]////

Nửa khoảng (- ¥ ; a]

{x Ỵ ¡ | x £ a}

Nửa khoảng [a ; +Ơ )

{x ẻ Ă | x a}

)//////

)///////

////////[

4. Cỏc phép tốn tập hợp
• Giao của hai tập hợp: A Ç B Û {x | x Ỵ A và x Î B }
• Hợp của hai tập hợp: A È B Û {x | x Ỵ A hoặc x Ỵ B }
• Hiệu của hai tập hợp: A \ B Û {x | x Ỵ A và x Ï B }
Phần bù: Cho B Ì A thì C AB = A \ B .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
A = { 0 ; 1; 2; 3; 4}
B = { 0 ; 4; 8; 12;16}
C = { 1;2;4;8;16}
Lời giải
Ta có các tập hợp A, B,C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là
A = { x Ỵ N | x £ 4}
B = {x Ỵ N | x M4 và x £ 16}
10 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


C = {2n | n £ 4 và n Ỵ N }
ü
ïì
x2 + 2
ï
Ỵ Zïý
Ví dụ 2: Cho tập hợp A = ùớ x ẻ Z |
ùợù
ùỵ

x
ù
a) Hóy xỏc nh tập A bằng cách liệt kê các phần tử
b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3.
Lời giải
x2 + 2
2
a) Ta có
= x + Ỵ Z với x Ỵ Z khi và chỉ khi x là ước của 2 hay x Ỵ
x
x
Vậy A = { - 2;- 1;0;1;2}

{-

2;- 1;0;1;2}

b) Tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là
Tập khơng có phần tử nào: Ỉ
Tập có một phần tử: { - 2} , { - 1} , { 0} , { 1} , { 2}
Tập có hai phần thử: { - 2;- 1} , { - 2;0} , { - 2;1} , { - 2;2} , { - 1;0}

{-

1;1} , { - 1;2} , { 0;1} , { 0;2} , { 1;2} .

Ví dụ 3: Cho A = { - 4;- 2;- 1;2;3;4} và B = { x Ỵ Z | x £ 4} . Tìm tập hợp X sao cho
a) X Ì B \ A
b) A Ì X Ì B
c) A È X = B với X có đúng bốn phần tử

Lời giải
ïì x £ 4
ïì - 4 £ x £ 4
Û ïí
Û x Ỵ { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4}
Ta cú ùớ
ùù x ẻ Z
ùù
xẻ Z
ợ
ợ
Suy ra B = { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4}
a) Ta có B \ A = { - 3;0;1}
Suy ra X Ì B \ A thì các tập hợp X là
Ỉ, { - 3} , { 0} , { 1} , { - 3;0} , { - 3;1} , { 0;1} , { - 3;0;1}
b) Ta có { - 4;- 2;- 1;2;3;4} Ì X Ì

{{{-

{-

4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4} suy ra tập hợp X là

4;- 2;- 1;2;3;4} , { - 4;- 2;- 3;- 1;2;3;4} , { - 4;- 2;- 1;0;2;3;4}
4;- 2;- 1;1;2;3;4} , { - 4;- 2;- 3;- 1;0;2;3;4} , { - 4;- 2;- 3;- 1;1;2;3;4}
4;- 2;- 1;0;1;2;3;4} ,

{-

4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4}


c) Ta có A È X = B với X có đúng bốn phần tử khi đó tập hợp X là
{ - 4;- 3;0;1} , { - 3;- 2;0;1} , { - 3;- 1;0;1} , { - 3;0;1;2} , { - 3;0;1;3} , { - 3;0;1;4}
Ví dụ 4: Cho các tập hợp:
A = { x Ỵ R |( x2 + 7x + 6) ( x2 - 4) = 0}
B = { x Ỵ N |2x £ 8}

C = {2x + 1|x Ỵ Z và - 2 £ x £ 4}
a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử
b) Tìm A È B, A Ç B, B \ C , C A È B ( B \ C ) .
c) Tìm (A È C ) \ B.
Lời giải
2
2
a) · Ta có: ( x + 7x + 6) ( x - 4) = 0
11 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


éx2 + 7x + 6 = 0
Û ê
Û
êx2 - 4 = 0
ê
ë
Vậy A = { - 6;- 2;- 1;2}

éx = - 1
éx = - 2
ê
ê

hoặc
êx = - 6
êx = 2
ê
ê
ë
ë

ïì x Ỵ N
ïì x Ỵ N
· Ta có ïí
Û ïí
Û xẻ
ùù 2x Ê 8
ùù x Ê 4
ợ
ợ
Vy B = { 0;1;2;3;4}

{ 0,1,2,3,4} .

ìï x Ỵ Z
· Ta có ïí
Û x Î { - 2, - 1,0,1,2,3,4} .
ïï - 2 £ x £ 4
ỵ
Suy ra C = { - 3;- 1;1;3;5;7;9}
b) Ta có: A È B = { - 6;- 2;- 1;0;1;2;3;4} , A Ç B = { 2} , B \ C = { 0;2;4}
C A È B ( B \ C ) = ( A È B ) \ ( B \ C ) = { - 6;- 2;- 1;1;3}
c) Ta có: A È C = { - 6;- 3;- 2;- 1;1;2;3;5;7;9}

Suy ra (A È C ) \ B = { - 6;- 3;- 2;- 1;5;7;9}
2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.27: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
A = { - 4;- 3;- 2;- 1;0 ; 1; 2; 3; 4} , B = { 1 ; 3; 5; 7; 9} , C = { 0;1;4;9;16;25}
Bài 1.28: a) Trong các tập sau đây, tập nào là tập con của tập nào
A = { 1;2;3}
B = { n Ỵ N n < 4}
C = ( 0; +Ơ

)

D = { x ẻ R 2x2 - 7 + 3 = 0}

b) Tìm tất cả các tập X thoả mãn bao hàm thức sau;
{ 1;2} Ì X Ì { 1;2;3;4;5} .
ìï
14
ïü
Ỵ Zïý
Bài 1.29: Cho tập hợp A = ùớ x ẻ Ă |
ùợù
ùỵ
3 x +6
ù

a) Hóy xỏc nh tập A bằng cách liệt kê các phần tử
b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp A .
4
2
Bài 1.30: Cho A = { x Ỵ ¡ | ( x - 16) ( x - 1) = 0} và B = { x Ỵ N | 2x - 9 £ 0} .

Tìm tập hợp X sao cho
a) X Ì B \ A
b) A \ B = X Ç A với X có đúng hai phần tử
Bài 1.31: Cho tập A = { - 1;1;5;8} , B ="Gồm các ước số nguyên dương của 16"
a) Viết tập A dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử.
b) Xác định các phép tốn A Ç B, A È B, A \ B .
Bài 1.32: Cho các tập hợp E = { x Ỵ N | 1 £ x < 7}
A = { x Ỵ N | ( x2 - 9) ( x2 – 5x – 6) = 0} và B = {x Ỵ N | x là số ngun tố nhỏ hơn 6}
a) Chứng minh rằng A Ì E và B Ì E
b) Tìm C E A ; C E B ; C E (A È B )
c) Chứng minh rằng : E \ (A Ç B ) = ( E \ A ) È ( E \ B )
12 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


 DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TỐN .
1. Phương pháp giải.
· Chuyển bài tốn về ngôn ngữ tập hợp
· Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp
· Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó tìm được kết
quả bài tốn
Trong dạng tốn này ta kí hiệu n ( X ) là số phần tử của tập X .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lơng, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu
, 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai . Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? bao
nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông?Sĩ số lớp là bao nhiêu?
Lời giải
Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25 - 15 = 10
25
Số học sinh chỉ biết đánh cầu lơng là 30 - 15 = 15

30
15
Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 + 15 + 15 = 40
0 24 bạn
Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn cịn
khơng biết chơi mơn bóng nào cả. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 mơn bóng.
Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích mơn Văn, 20 em thích mơn Tốn, 18 em
thích mơn Sử, 6 em khơng thích mơn nào, 5 em thích cả ba mơn. Hỏi số em thích chỉ một mơn trong ba
mơn trên.
Lời giải
Gọi a,b,c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích mơn Văn, Sử, Tốn;
x là số học sịnh chỉ thích hai mơn là văn và tốn
y là số học sịnh chỉ thích hai mơn là Sử và tốn
z là số học sịnh chỉ thích hai mơn là văn và Sử
Ta có số em thích ít nhất một mơn là 45 - 6 = 39
Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình
ìï a + x + z + 5 = 25
(1)
ïï
ïï b + y + z + 5 = 18
(2)
ïí
ïï c + x + y + 5 = 20
(3)
ïï
ïïỵ x + y + z + a + b + c + 5 = 39 (4)
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có
a + b + c + 2( x + y + z ) + 15 = 63 (5)
Từ (4) và (5) ta có
a + b + c + 2( 39 - 5 - a - b - c ) + 15 = 63

Û a + b + c = 20
Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một mơn trong ba mơn trên.
Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi mơn Tốn, 15 học sinh giỏi môn Lý và 11 học sinh giỏi mơn
Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Tốn và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa
và Tốn, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai mơn.
Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp
a) Giỏi cả ba mơn Tốn, Lý, Hóa
b) Giỏi đúng một mơn Tốn, Lý hoặc hóa.
Lời giải
Gọi T , L , H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi mơn Tốn, Lý, Hóa.
là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn.
Theo giả thiết ta có n ( T ) = 16, n ( L ) = 15, n ( H ) = 11, n ( B ) = 11
13 – Website chuyên tài liệu đề thi file word

B


n ( T I L ) = 9, n ( L I H ) = 6, n ( H I T

)

= 8 và

a) Xét tổng n(T Ç L ) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) thì mỗi phần tử của tập hợp T Ç L Ç H được tính ba lần
do đó ta có
n(T Ç L ) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) - 3n ( T Ç L Ç H ) = n ( B )
Hay n ( T Ç L Ç H ) =

1é
ù= 4 Suy ra có 4 học sinh giỏi cả

n(T Ç L ) + n(L Ç H ) + n(H Ç T ) - n ( B ) û
3ë

ba mơn Tốn, Lý, Hóa.
b) Xét n ( T I L ) +n ( L I T ) thì mỗi phần tử của tập hợp T Ç L Ç H được tính hai lần do đó số học sinh
chỉ giỏi đúng mơn tốn là
n( T ) - é
n T I L ) +n ( H I T ) - n ( T Ç L Ç H ) ù
= 16 - ( 9 + 8 - 4) = 3
ê
ú
ë(
û
Tương tự ta có
Số học sinh chỉ giỏi đúng mơn Lý
n( L ) - é
n T I L ) +n ( L I H ) - n ( T Ç L Ç H ) ù
= 15 - ( 9 + 6 - 4) = 4
ê
ú
ë(
û
Số học sinh chỉ giỏi đúng mơn Hóa
ù= 11 - ( 8 + 6 - 4) = 1
n( H ) - é
ên ( H I T ) +n ( L I H ) - n ( T Ç L Ç H ) û
ú
ë
Suy ra số học sinh giỏi đúng một mơn Tốn, Lý hoặc hóa là 3 + 4 + 1 = 8 .
Ví dụ 4. Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê

được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa và gió: 5 ngày;
Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày.
Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)?
Lời giải
Ký hiệu A là tập hợp những ngày mưa, B là tập hợp những ngày có gió, C là tập hợp những ngày lạnh.
Theo giả thiết ta có: n ( A ) = 10, n ( B ) = 8 , n ( C ) = 6,
n(A Ç B ) = 5, n(A Ç C ) = 4, n(B Ç C ) = 3, n(A Ç B Ç C ) = 1.
Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ). Ta cần tính
n(A È B È C ) .
Xét tổng n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) : trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B
giao C, C giao A được tính làm hai lần nên trong tổng n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) ta
phải trừ đi tổng n(A Ç B ) + n(B Ç C ) + n(C Ç A) .
Trong tổng n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) được tính n ( A Ç B Ç C ) 3 lần, trong
n(A Ç B ) + n(B Ç C ) + n(C Ç A)
cũng được tính n ( A Ç B Ç C ) 3 lần. Vì vậy
n(A È B È C ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) - n(A Ç B ) - n(B Ç C ) - n(C Ç A) + n ( A Ç B Ç C )
14 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


= 10 + 8 + 6 - (5 + 4 + 3) + 1 = 13
Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày.
Nhận xét: Với A, B,C là các tập bất kì khi đó ta ln có
· n( A È B ) = n( A ) + n( B ) - n( A Ç B )
· n(A È B È C ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) - n(A Ç B ) - n(B Ç C ) - n(C Ç A) + n ( A Ç B Ç C )
2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.33: Một nhóm học simh giỏi các bộ mơn : Anh , Tốn , Văn . Có 8 em giỏi Văn , 10 em giỏi Anh , 12
em giỏi Toán , 3 em giỏi Văn và Toán , 4 em giỏi Toán và Anh , 5 em giỏi Văn và Anh , 2 em giỏi cả ba
mơn. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em ?
Bài 1.34: Có 40 học sinh giỏi, mỗi em giỏi ít nhất một mơn . Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Tốn, 20 em
giỏi Anh. Có 8 em giỏi đúng hai mơn Văn, Tốn; Có 7 em giỏi đúng hai mơn Tốn, Anh; Có 6 em giỏi đúng

hai mơn Anh, Văn. Hỏi: Có bao nhiêu em giỏi cả ba mơn Văn, Tốn, Anh?
Bài 1.35: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thơng, ở một trường kết quả số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc như
sau: Về mơn Tốn: 48 thí sinh; Về mơn Vật lý: 37 thí sinh; Về mơn Văn: 42 thí sinh; Về mơn Tốn hoặc
mơn Vật lý: 75 thí sinh; Về mơn Tốn hoặc mơn Văn: 76 thí sinh; Về mơn Vật lý hoặc mơn Văn: 66 thí
sinh; Về cả 3 mơn: 4 thí sinh. Vậy có bao nhiêu học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về:
a) Một mơn?
b) Hai mơn?
c) ít nhất một mơn?
 DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON.
1. Phương pháp giải.
· Để chứng minh A Ì B
Lấy " x, x Ỵ A ta đi chứng minh x Ỵ B
· Để chứng minh A = B ta đi chứng minh
+ A Ì B và B Ì A hoặc " x, x Ỵ A Û x Ỵ B
2.Các ví dụ minh họa.
ïì p
ïü
ïì 2p
ïü
+ kp, k Ỵ Z ïý và
Ví dụ 1: Cho các tập hợp A = ïí + kp, k Ỵ Z ïý, B = ïí ùợù 3
ùỵ
ùợù 3
ùỵ
ù
ù
ùỡ 2p kp
ùỹ
C = ùớ + , k ẻ Z ùý
ùợù 3

ùỵ
2
ù
a) Chng minh rng A = B .
b) A Ì C
Lời giải

a) · Ta có " x Î A Þ $k0 Î Z : x =

p
+ k0p suy ra
3

p
2p
- p + ( k0 + 1) p = + ( k0 + 1) p .
3
3
Vì k0 Ỵ Z Þ k0 + 1 Ỵ Z do đó x Ỵ B suy ra A Ì B (1).
x=

15 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


2p
+ k0p suy ra
3
2p
p
x=+ p + ( k0 - 1) p = + ( k0 - 1) p .

3
3
Vì k0 Ỵ Z Þ k0 - 1 Ỵ Z do đó x Ỵ A suy ra B Ì A (2).
Từ (1) và (2) suy ra A = B .
p
b) Ta có " x ẻ A ị $k0 ẻ Z : x = + k0p suy ra
3
2( k0 + 1) p
p
2p 2( k0 + 1) p
.
x = - p+
=+
3
2
3
2
Vì k0 Ỵ Z Þ 2( k0 + 1) Ỵ Z do đó x Ỵ C
Suy ra A Ì C .
Ví dụ 2: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh rằng
a) ( A \ B ) Ì A
b) A Ç ( B \ A ) = Ỉ
c) A È ( B \ A ) = A È B
· " x Ỵ B ị $k0 ẻ Z : x = -

Li gii
ùỡ x ẻ A
ị xẻ A
a) Ta cú " x, x Ỵ A \ B Û ïí
ïï x Ï B

ỵ
A
\
B
Ì
A
)
Suy ra (
ỡù x ẻ A
ùù
ỡù
x
ẻ
A
ù
ù
x
ẻ
A
ầ
B
\
A


(
) ớù x ẻ B \ A
b) Ta cú
ớxẻ B xẻ ặ
ùù

(
)
ợù
ùùợ x ẽ A
Suy ra A ầ ( B \ A ) = ặ
ộx ẻ A
ê
é xỴ A
é
êìï x Ỵ B Û êx Ỵ A Û x Ỵ A È B
Û
c) Ta có x Ỵ A È ( B \ A ) Û ê
êïí
êx Ỵ ( B \ A )
ờx ẻ B
ờ
ờ
ờù x ẽ A
ở
ở
ờùợ
ở
Vớ dụ 3: Cho các tập hợp A, B và C . Chứng minh rằng
a) A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
b) A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )
c) A Ç ( B \ C ) = ( A ầ B ) \ C
Li gii
ùỡù x ẻ A
ìï x Ỵ A
ï

xỴ B
Û ïí é
a) Ta có x Ỵ A Ç ( B È C ) Û ïí
ïï x ẻ B ẩ C
ùù ờ
ờx ẻ C
ợ
ùùợ ở
ờ
ộỡù x ẻ A
ờùớ
ờù x ẻ B
ộx ẻ A ầ B
ùợ
ờ
ờ

ờỡù x ẻ A
ờx ẻ A ầ C x ẻ ( A Ç B ) È ( A Ç C )
ờ
ờù
ở
ờớù x ẻ C
ờ
ởợù
Suy ra A ầ ( B ẩ C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) .

16 – Website chuyên tài liệu đề thi file word



éx Ỵ A
ê
é xỴ A
êìï x Ỵ B
Û
b) Ta có x ẻ A ẩ ( B ầ C ) ờ
ờùớ
ờx ẻ B ầ C
ờ
ờù x ẻ C
ở
ờ
ởợù
ỡù ộx ẻ A
ïï ê
ïï êx Ỵ B
ïì x Ỵ A È B
ë
Û ùớ ờ
ùớ
x ẻ ( A ẩ B) ầ( A ÈC )
ïï éx Ỵ A
ïï x Ỵ A È C
ợ
ờ
ùù ờ
ùùợ ở
ờx ẻ C
Suy ra A ẩ ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )
ìï x Ỵ A

ïï
ïìï x Ỵ A
ù
ớxẻ B
c) Ta cú x ẻ A ầ ( B \ C ) Û í
ïï x Ỵ B \ C
ùù
ợ
ùùợ x ẽ C
ùỡ x ẻ A ầ B
ùớ
x ẻ (A ầB) \ C
ùù x ẽ C
ợ
Suy ra A Ç ( B \ C ) = ( A Ç B ) \ C
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.36: Cho A = {x Ỵ N | x chia hết cho 4}, B = {x Ỵ N | x chia hết cho 6} và C = {x Ỵ N | x
chia hết cho 12}.
a) Chứng minh rằng A Ì C và B Ì C
b) A È B = C
c) A Ë B
ìï p
ü
ìï 11p
ü
ï
ï
+ k2p, k Ỵ Z ïý và
Bài 1.37: Cho các tập hợp A = ïí - + k2p, k ẻ Z ùý , B = ùớ
ùợù 6

ùỵ
ùợù 6
ùỵ
ù
ù
ỡù p kp
ỹ
ù
C = ùớ + , k ẻ Z ùý
ùợù 3
ùỵ
2
ù
a) Chng minh rng A = B .
b) A Ì C
Bài 1.38: Cho các tập hợp A Ì B, C Ì D . Chứng minh rằng
a) A È C Ì B È D

b) A Ç C Ì B
Bài 1.39: Cho các tập hợp A, B và C . Chứng minh rằng

c) C B A È A = B

a) ( A \ B ) È ( B \ A ) = ( A È B ) \ ( A Ç B )
b) A \ ( B Ç C ) = ( A \ B ) È ( A \ C )
c) A \ ( B È C ) = ( A \ B ) Ç ( A \ C )

 DẠNG TOÁN 4: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC .
1. Phương pháp giải.
· Để tìm A Ç B ta làm như sau

- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số
- Biểu diễn các tập A, B trên trục số(phần nào khơng thuộc các tập đó thì gạch bỏ)
- Phần khơng bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp A, B
· Để tìm A È B ta làm như sau
17 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số
- Tô đậm các tập A, B trên trục số
- Phần tơ đậm chính là hợp của hai tập hợp A, B
· Để tìm A \ B ta làm như sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số
- Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A ), gạch bỏ phần thuộc tập B trên trục số
- Phần khơng bị gạch bỏ chính là A \ B .
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho các tập hợp:
A = { x Ỵ R |x < 3}

B = { x Ỵ R |1 < x £ 5}

C = { x Ỵ R |- 2 £ x £ 4}

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.
b) Tìm A È B, A Ç B, A \ B .
c) Tìm ( B È C ) \ ( A Ç C )
Lời giải
a) Ta có: A = ( - ¥ ;3)
b) · Biểu diễn trên trục số
Suy ra A È B = ( - ¥ ;5ù
û

· Biểu diễn trên trục số

B = ( 1;5ù
û

(

////(

)

ù
C =é
ë- 2;4û.

]
)\/\/\/\]\/\/\/\

Suy ra A Ç B = ( 1;3)
· Biễu diễn trên trục số

( / / / /)\/\//\/\]\ \ \ \

Suy ra A \ B = ( - ¥ ;1ù
û
c) Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có
é
ù
A ÇC = é
ë- 2;3) và B È C = ë- 2;5û

ù
Suy ra ta có ( B È C ) \ ( A Ç C ) = é
ë3;5û
Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép tốn tập hợp ta làm trên giấy nháp và trình bày kết
quả vào.
Ví dụ 2: Xác định các tập số sau và biểu diễn trên trục số:
é
ù
a) ( - 4;2ù
b) ( 0;3) È é
ûÇ ë0;4)
ë1;4û
ù é
ù
ù
c) é
d) ¡ \ é
ë- 4;3û\ ë- 2;1û
ë1;3û
Lời giải
é
é ù
a) Ta có ( - 4;2ù
ûÇ ë0;4) = ë0;2û
/ / / / /[
]/ / / / / /
Biểu diễn tập đó trên trục số là
ù
ù
b) Ta có ( 0;3) È é

ë1;4û= ( 0;4û
////(
]/ / / / / /
Biểu diễn tập đó trên trục số là
é
ù
é
ù
é
ù
c) Ta có ë- 4;3û\ ë- 2;1û= ë- 4;- 2) È ( 1;3û
Biểu diễn tập đó trên trục số là
/ / /[ )/ / / /(
]/ / /
é
ù
d) Ta có ¡ \ ë1;3û= ( - ¥ ;1) È ( 3; +¥ )
Biểu diễn tập đó trên trục số là

)[/ / / /](

18 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


ù
Ví dụ 3: Cho các tập hợp A = ( - ¥ ;m) và B = é
ë3m - 1;3m + 3ỷ. Tỡm m
a) A ầ B = ặ
b) B Ì A
c) A Ì C ¡ B

d) C ¡ A ầ B ạ ặ
Li gii
)/ / / / / / / /
Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ
a) Ta có A Ç B = Ỉ
1
/ / / / /[
]/ / / /
Û m £ 3m - 1 Û m ³
2
1
Vậy m ³
là giá trị cần tìm.
2
3
b) Ta có B Ì A Û 3m + 3 < m Û m < 2
3
Vậy m < là giá trị cần tìm.
2
c) Ta có C ¡ B = ( - ¥ ;3m - 1) È ( 3m + 3; +¥ )
Suy ra A Ì C ¡ B Û m £ 3m - 1 Û m ³
Vậy m ³

1
2

1
là giá trị cần tìm.
2


d) Ta có C ¡ A = ộ
ởm; +Ơ

)

suy ra C Ă A ầ B ¹ Ỉ Û m £ 3m + 3 Û m ³ -

3
2

3
là giá trị cần tìm.
2
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.40: Xác định các tập hợp A È B, A \ C , A Ç B Ç C và biểu diễn trên trục số các
tập hợp tìm được biết:
a) A = { x Ỵ R - 1 £ x £ 3} , B = { x Ỵ R x ³ 1} ,C = ( - ¥ ;1)
Vậy m ³ -

b) A = { x Ỵ R - 2 £ x £ 2} , B = { x Ỵ R x ³ 3} ,C = ( - ¥ ;0)
Bài 1.41: Cho tập A = [-1; 2), B = (-3; 1) và C = (1; 4].
a) Viết tập A, B, C dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử và biểu diễn chúng trên trục số.
b) Xác định các phép tốn A Ç B, B È C , A \ B .
Bài 1.42: Cho hai tập hợp A = é
ë0;4) , B = { x Ỵ ¡ / x £ 2} .Hãy xác định các tập hợp
A È B, A Ç B, A \ B
Bài 1.43: a) Cho A = { x Ỵ R | - 1 £ x < 5 } B={ x Ỵ R | - 2 < x < 0 hoặc 1 < x £ 6} C={
x ẻ R | x 2}
Tỡm A ầ B, A È C , B \ C và biểu diễn cách lấy kết quả trên trục số
b) Cho A = ( - ¥ , - 2) , B = [2m + 1, +¥ ) . Tìm m để A È B = R .

Bài 1.44: a) Tìm m để ( 1;mự
ỷầ ( 2; +Ơ

)

ạ ặ.

ỡù x Ê 3
ùù
b) Vit tập A gồm các phần tử x thỏa mãn điều kiện ïí x + 1 ³ 0 dưới dạng tập số.
ïï
ïïỵ x < 0
19 – Website chun tài liệu đề thi file word


ù B = én; n + 1ù.Tìm điều kiện của các số m và n để A ∩ B = ∅
m; m + 2ú
Bài 1.45: Cho A = é
ê
ê
ú
ë
ûvà
ë
û
é
m + 1ù
ú và B = ( - ¥ ;- 2) È é2; +¥ ) . Tìm m để
Bài 1.46: Cho tập hợp A = êm - 1;
ë

ê
2 ú
ë
û
a) A Ì B
b) A ầ B = ặ
Bi 1.47: Cho hai tp khỏc rỗng : A = ( m – 1;4ù
û, B = ( –2 ;2m + 2) , với m Ỵ . Xỏc nh m :
a) A ầ B ạ ặ ;
c) B Ì A ;

b) A Ì B ;
d) (A Ç B ) Ì (- 1; 3) .

§5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Số gần đúng
Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của
nó.
Ví dụ: giá trị gần đúng của p là 3,14 hay 3,14159; còn đối với 2 là 1,41 hay 1,414;…
Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để đánh giá
mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.
2. Sai số tuyệt đối:
a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng
Nếu a là số gần đúng của a thì Da = a - a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a .
· Độ chính xác của một số gần đúng
Trong thực tế, nhiều khi ta khơng biết a nên ta khơng tính được D a . Tuy nhiên ta có thể đánh giá Da
khơng vượt quá một số dương d nào đó.
Nếu Da £ d thì a - d £ a £ a + d , khi đó ta viết a = a ± d
d gọi là độ chính xác của số gần đúng.

b) Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a , kí hiệu là da là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , tức là
da =

Da
.
|a |

d
d
Nhận xét: Nếu a = a ± d thì Da £ d suy ra da £
. do đó
càng nhỏ thì chất lượng của phép đo
|a |
|a |
đạc hay tính tốn càng cao.
3. Quy tròn số gần đúng
· Nguyên tắc quy tròn các số như sau:
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy trịn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó
bởi 0.
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy trịn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó
bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn.
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai sơ tuyệt đối của số qui trịn khơng
vượt q nửa đơn vị của hàng qui trịn. Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui
tròn.
Chú ý: Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước:
Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy trịn a mà khơng nói rõ quy trịn đến hàng
nào thì ta quy trịn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
4. Chữ số chắc (đáng tin)
Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d . Trong số a , một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay

đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
20 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải
chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
5. Dạng chuẩn của số gần đúng
- Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ
chắc chắn.
k
- Nếu số gần đúng là số ngun thì dạng chuẩn của nó là A .10 trong đó A là số nguyên , k là hàng thấp
nhất có chữ số chắc (k Ỵ N ). (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn)
Khi đó độ chính xác d = 0,5.10k .
6. Kí hiệu khoa học của một số
1
n
Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng a.10 , 1 £ a < 10, n Ỵ Z (Quy ước 10- n = n )
10
dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TỐN 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG .
VIẾT SỐ QUY TRỊN.
1. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Độ dài của cái cầu bến thủy hai (Nghệ An) người ta đo được là 996m ± 0,5m . Sai số tương đối
tối đa trong phép đo là bao nhiêu.
Lời giải
Ta có độ dài gần đúng của cầu là a = 996 với độ chính xác d = 0,5
Da
d
0,5

£
=
» 0,05%
Vì sai số tuyệt đối Da £ d = 0,5 nên sai số tương đối da =
a
a
996
Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0,05%.
Ví dụ 2: Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số gần đúng a, b biết sai số tương đối của chúng.
a) a = 123456, da = 0,2%
Lời giải
Da
Û Da = a da
Ta có da =
a

b) a = 1,24358, da = 0,5%

a) Với a = 123456, da = 0,2% ta có sai số tuyệt đối là
Da = 123456.0,2% = 146,912
b) Với a = 1,24358, da = 0,5% ta có sai số tuyệt đối là
Da = 1,24358.0,5% = 0,0062179 .
Ví dụ 3: Làm trịn các số sau với độ chính xác cho trước.
a) a = 2,235 với độ chính xác d = 0,002
b) a = 23748023 với độ chính xác d = 101
Lời giải
a) Ta có 0,001 < 0,002 < 0,01 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần
trăm
Do đó ta phải quy tròn số a = 2,235 đến hàng phần trăm suy ra a » 2,24 .
b) Ta có 100 < 101 < 1000 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng nghìn

Do đó ta phải quy trịn số a = 23748023 đến hàng nghìn suy ra a » 23748000 .
Ví dụ 4: a) Hãy viết giá trị gần đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn biết
8 = 2,8284... . Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp.

21 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


b) Hãy viết giá trị gần đúng của

20154 chính xác đến hàng chục và hàng trăm biết
3
20154 = 25450,71... . Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp.
Lời giải
a) Ta có 8 = 2,8284... do đó giá trị gần đúng của 8 đến hàng phần trăm là 2,83
8 - 2,83 = 2,83 -

Ta có

3

8 £ 2,83 - 2,8284 = 0,0016

Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2,83 không vượt quá 0,0016.
Giá trị gần đúng của 8 đến hàng phần nghìn là 2,828
8 - 2,828 =

Ta có

8 - 2,828 £ 2,8284 - 2,828 = 0,0004


Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2,828 không vượt quá 0,0004 .
b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có 3 20154 = 25450,71966...
Do đó giá trị gần đúng của 3 20154 đến hàng chục là 25450
Ta có

3

20154 - 25450 =

3

20154 - 25450 £ 25450,72 - 25450 = 0,72

Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25450 không vượt quá 0,72.
Giá trị gần đúng của 3 20154 đến hàng trăm là 25500.
Ta có

3

20154 - 25500 = 25500 -

3

20154 £ 25500 - 25450,71 = 49,29

Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25500 không vượt q 49,29.
Ví dụ 5: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m ± 0,01m và chiều rộng là
y = 15m ± 0,01m . Chứng minh rằng
a) Chu vi của ruộng là P = 76m ± 0,04m
b) Diện tích của ruộng là S = 345m ± 0,3801m

Lời giải
a) Giả sử x = 23 + a, y = 15 + b với - 0,01 £ a, b £ 0,01
Ta có chu vi ruộng là P = 2( x + y ) = 2( 38 + a + b) = 76 + 2( a + b)
Vì - 0,01 £ a, b £ 0,01 nên - 0,04 £ 2( a + b) £ 0,04
Do đó P - 76 = 2( a + b) £ 0,04
Vậy P = 76m ± 0,04m
b) Diện tích ruộng là S = x.y = ( 23 + a ) ( 15 + b) = 345 + 23b + 15a + ab
Vì - 0,01 £ a, b £ 0,01 nên 23b + 15a + ab £ 23.0,01 + 15.0,01 + 0,01.0,01
hay 23b + 15a + ab £ 0,3801 suy ra S - 345 £ 0,3801
Vậy S = 345m ± 0,3801m .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.48: Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ hơn
10000. Hãy viết quy tròn của số trên.
Bài 1.49: Đo độ cao một ngọn núi là h = 1372,5m ± 0,1m . Hãy viết số quy tròn của số 1372,5
Bài 1.50: Đo độ cao một ngọn cây là h = 347,13m ± 0,2m . Hãy viết số quy tròn của số 347,13
Bài 1.51: Cho giá trị gần đúng của π là a = 3,141592653589 với độ chính xác là 10-10. Hãy viết số quy
trịn của a.
Bài 1.52. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của mỗi số sau, chính xác đến hàng phần trăm
và hàng phần nghìn :
a) 3 ;
b) p2 .
Bài 1.53: Hãy viết số quy trịn của số a với độ chính xác d được cho sau đây :
22 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


a) a = 17658 ± 16 ;

b) a = 15,318 ± 0,056 .
Bài 1.54: Cho a = 15 ± 0,002 , b = 0,123 ± 0,001, c = 13 ± 0,05 Chứng minh rằng:
a) a + b = 15,123 ± 0,003


b) 20a - 10b + c = 311,77 ± 0,1

c) a + bc = 16,599 ± 0,02115
Bài 1.55: Cho số x =

2
. Cho các giá trị gần đúng của x là : 0,28 ; 0,29 ; 0,286 . Hãy xác định sai số
7

tuyệt đối trong từng trường hợp và cho biết giá trị gần đúng nào là tốt nhất.
Bài 1.56: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m ± 0,5m và chiều dài y = 63m ± 0,5m .
Chứng minh rằng chu vi P của miếng đất là P = 212m ± 2m .
Bài 1.57: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo được như sau :
a = 12cm ± 0,2cm ; b = 10,2cm ± 0,2cm ; c = 8cm ± 0,1cm.
Tính chu vi P của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi qua
phép đo.

 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG
CHUẨN CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ.
1. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết
a) Số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với độ chính xác d = 100 người.
b) a = 1,3462 sai số tương đối của a bằng 1% .
Lời giải
100
1000
a) Vì
= 50 < 100 <
= 500 nên chữ số hàng trăm(số 0) không là số chắc, cịn chữ số hàng

2
2
nghìn(số 4) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1,2,3,4 .
Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103 .
Da
Þ Da = da . a = 1%.1,3462 = 0,013462
b) Ta có da =
a
Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0,013462 nên ta có thể xem độ chính xác là
d = 0,013462.
0,01
0,1
= 0,005 < 0,013462 <
= 0,05 nên chữ số hàng phần trăm(số 4) khơng là số chắc, cịn
2
2
chữ số hàng phần chục(số 3) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1 và 3 .
Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3.
Ví dụ 2: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn
a) a = 467346 ± 12
b) b = 2,4653245 ± 0,006
Lời giải
10
100
a) Ta có
= 5 < 12 <
= 50 nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chữ số chắc do đó số gần đúng
2

2
viết dưới dạng chuẩn là 4673.102 .
Ta có

23 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


0,01
0,1
= 0,005 < 0,006 <
= 0,05 nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chữ số chắc do
2
2
đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 2,5 .
Ví dụ 3: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh
sáng. Với máy bay đó trong một năm(giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc
ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học.
Lời giải
Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây
Vậy một năm có 24.365.60.60 = 31536000 giây.
Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vịng một năm nó đi được
31536000.300 = 9,4608.109 km.
b) Ta có

2. Bài tập luyện tập.
Bài 1.58: Một hình lập phương có thể tích V = 180,57cm3 ± 0,05cm3 . Xác định các chữ số chắc chắn
của V.
Bài 1.59: Số dân của một tỉnh là A = 1034258 ± 300 (người). Hãy tìm các chữ số chắc và viết A dưới
dạng chuẩn.
Bài 1.60: Người ta đo chu vi của một khu vườn là P = 213,7m ± 1,2m . Hãy đánh giá sai số tương đối của

phép đo trên và viết kết quả tìm được dưới dạng khoa học.
Bài 1.61: Khi xây một hồ cá hình trịn người ta đo được đường kính của hồ là 8,52m với độ chính xác đến
1cm.. Hãy đánh giá sai số tương đối của phép đo trên và viết kết quả tìm được dưới dạng khoa học .
Bài 1.62: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo a = 192,55 m , với sai số tương đối không vượt
quá 0,3%. Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a .
Bài 1.63: Cho 3,141592 < p < 3,141593 . Hãy viết giá trị gần đúng của số p dưới dạng chuẩn và đánh
giá sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này trong mỗi trường hợp sau :
a) Giá trị gần đúng của p có 5 chữ số chắc ;
b) Giá trị gần đúng của p có 6 chữ số chắc ;
c) Giá trị gần đúng của p có 3 chữ số chắc.
ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1.64: Cho Oxy , lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết
tính đúng, sai của chúng:
P : “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy ”.
Q : “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy”.
Bài 1.65: Cho định lí : "Cho số tự nhiên n. Nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5". Định lí này được
viết dưới dạng P Þ Q.
a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q.
b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”.
c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”.
d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu
gộp cả hai định lí thuận và đảo.
Bài 1.66: Cho tập X = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 } .
a) Hãy tìm tất cả các tập con của X có chứa các phần tử 1, 3, 5, 7.
b) Có bao nhiêu tập con của X chứa đúng 2 phần tử ?
Bài 1.67: Xét tính đúng sai của mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó.
2
a) $x Ỵ Q : 4x - 1=0 ;

2

b) $x Ỵ Z, x = 3 ;

24 – Website chuyên tài liệu đề thi file word


c) " n Ỵ N * : 2n + 3là một số ngun tố ;

2
d) " x Ỵ ¡ , x + 4x + 5 > 0 .

e) " x Î ¡ , x4 - x2 + 2x + 2 ³ 0
Bài 1.68: Xét định lí : “Nếu x là số thực âm thì x +

1
£ - 2 ”.
x

a) Viết định lí trên dưới dạng kí hiệu.
b) Định lí trên có định lí đảo khơng ? Giải thích.
c) Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần" và "điều kiện đủ" để phát biểu định lí trên.
Bài 1.69: Chứng minh bằng phản chứng các định lí sau :
a) Chứng minh rằng với n ∈ N , ta có: n : lẻ ⇔ 3n + 1 : chẵn
b) Cho x, y Ỵ . Nếu x2 + y2 – 2x + 4y + 5 > 0 thì x ¹ 1 hoặc y ¹ - 2 .
c) Nếu x ≠ – 1 và y ≠ – 1 thì x + y + xy ≠ – 1
Bi 1.70: Cho cỏc tp hp:

A = {x ẻ Â | - 1 £ x < 6}, B = {x ẻ Ô | (1- 3x)(x4 - 3x2 + 2) = 0}, C = {0;1;2;3;4;5;6}

a) Viết các tập hợp A, B dưới dạng liệt kê các phần tử, tập C dưới dạng chỉ rõ tính đặc trưng của phần tử.
b) Tìm A Ç B, A È B, A \ B, C B ÈAA Ç B .

c) Chứng minh rằng A Ç (B È C ) = A.
Bài 1.71: Tìm quan hệ bao hàm hay bằng nhau giữa các tập hợp sau õy:
a) A = { x ẻ Ơ

x <2

};

b) A = { x ẻ Â 4.x2 - 9 = 0} ;
c) A = { x ẻ Ơ 1 < x < 4} ;

B = {x ẻ Ô

B = {x ẻ Ă

(x2 - x) (x2 - 2) = 0} .

x2 + 4x = 0} .

B = { x ẻ Â x2 - 9 = 0} .

Bài 1.72: Cho A = { 0 ; 2 ; 4 ; 6} , B = { 4 ; 5 ; 6} .
a) Hãy xác định tất cả các tập con khác rỗng X , Y của A biết rằng X È Y =A và (A Ç B ) Ì X ;
b) Hãy xác định tất cả các tập P biết rằng (A Ç B ) Ì P Ì (A È B ).
Bài 1.73: Cho ba tập hợp :
A = {x Ỵ ¡

- 3 £ x < 1} ; B = { x Ỵ ¡

- 1 £ x £ 5} ; C = { x Ỵ ¡


x ³ 2} .

a) Xác định các tập hợp sau đây và viết kết quả dưới dạng khoảng, đoạn hay nửa khoảng :
A ∩ B, A ∪ B, (B \ A) ∩ C.
b) Chứng minh rằng : C ¡ ( A È B ) = ( C ¡ A ) Ç ( C ¡ B ) .
Bài 1.74: a) Cho tập G = [- 2;+Ơ ), H = {x ẻ Ă | | x |£ 3}, K = (- 1; 1) .
ự
Tỡm: K ầ Â, H \ K , ( C ¡ G ) È é
ëC ¡ (H È K ) û.
b) Tìm các số a, b, c, d thuộc ¡ sao cho x Ỵ [a; b] Û c £ x £ 8 Û | x - d |£ 5
Bài 1.75: Viết số gần đúng của các số

2011, 2012 chính xác đến hàng phần trăm.

Bài 1.76: Cho hai tập hợp A, B bất kì. Chứng minh rằng: A È B = A Ç B Û A = B .

25 – Website chuyên tài liệu đề thi file word