Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55

Dãy số
Các khái niệm cơ bản
Dãy vô hạn {un }n = 0 1 là một dãy các số u0 , u1 , u2 ,… tuân theo quy luật nào đó.
∞

Cùng một dãy số có thể ñược xác ñịnh bởi nhiều cách, trong bài toán về dãy số, nhiều khi
phải ñưa ñược dãy về dạng mà ta mong muốn ñể giải quyết yêu cầu ñặt ra.

-

.c
om

Ở ñây ta xét các cách xác ñịnh phổ biến là:
Xác ñịnh bằng công thức số hạng tổng quát un của dãy

Thí dụ: Dãy {un } được xác định bởi un = 2n + 1 là dãy số tự nhiên lẻ.

co

ng

- Xác định bằng tính quy nạp (chủ yếu là bằng cơng thức truy hồi)
Thí dụ:
+ Dãy {un } được xác ñịnh bởi u0 = 30 , un+1 = 30 + un .

an

+ Dãy {un } ñược xác ñịnh bởi u0 = u1 = 1 , un + 2 = un2un +1 .

th

- Xác định thơng qua các phép tốn của các dãy khác
Thí dụ: Cho 2 dãy {un } : u1 = 1 , un+1 = 2011un2 + un . Dãy {vn } ñược xác ñịnh bởi:

u0 u1 u2
u
+ + +… + n .
u1 u2 u3
un +1

du
on

g

vn =

Cấp số cộng
Dãy số {un } ñược gọi là cấp số cộng với công sai d ≠ 0 , nếu un +1 = un + d .

cu

u

Tính chất: un = u0 + nd , un +1 + un −1 = 2un .

Cấp số nhân

Dãy số {un } ñược gọi là cấp số nhân với công sai q ∉ {0;1} , nếu un+1 = un q .
Tính chất: un = u0 q n , un +1un −1 = un2 ,

n

∑ uk =
k =0

1 − q n +1
.
1− q

Dãy ñơn ñiệu
- Dãy ñơn ñiệu tăng (tăng ngặt) nếu un +1 > un , ∀n ∈ ℕ .

2

1

Trong tài liệu này, nếu nhắc ñến dãy số {u n } mà khơng chú thích gì thêm, ta hiểu đó là dãy vơ hạn.

2

Nếu u n +1 > u n , ∀n ≥ n0 , thì ta vẫn có thể nói dãy {u n } đơn điệu tăng, nhưng nên nói dãy
đơn điệu tăng, hoặc dãy đơn điệu {u n } tăng với n ≥ n0 .

1

CuuDuongThanCong.com


/>
{un }n =n
∞

0


Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55

-

Dãy đơn điệu khơng giảm nếu un +1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ .
Dãy ñơn ñiệu giảm (giảm ngặt) nếu un +1 < un , ∀n ∈ ℕ .

-

Dãy đơn điệu khơng tăng nếu un +1 ≤ un , ∀n ∈ ℕ .

-

Giới hạn của dãy số
1. ðịnh nghĩa
Dãy {un } gọi là có giới hạn bằng L (hội tụ về L ) khi n → ∞ , nếu ∀ε > 0 , ∃n0 ∈ ℕ :

2. Phép cộng trừ, nhân, chia giới hạn
Giả sử tồn tại lim un = a ; lim vn = b thì:
n →∞

n →∞


lim ( un + vn ) = a + b

n →∞

ng

lim ( un vn ) = ab

un a
=
n →∞ v
b
n

(b ≠ 0 )

an

co

n →∞

lim

.c
om

n > n0 ⇒ un − L < ε


3. So sánh hai giới hạn
un ≤ vn , ∀n và tồn tại lim un = a ; lim vn = b ⇒ a ≤ b
n →∞

th

n →∞

du
on

g

4. Dãy đơn điệu, bị chặn thì hội tụ
a) {un } là dãy đơn điệu tăng (khơng giảm) và bị chặn trên bởi M , thì hội tụ.
lim un = L ≤ M .

n →∞

lim un = L ≥ M .
n →∞

cu

u

b) {un } là dãy ñơn ñiệu giảm (không tăng) và bị chặn dưới bởi m , thì hội tụ.

5. Ngun lí kẹp
Nếu wn ≤ un ≤ vn , ∀n , và {vn } , {wn } cùng hội tụ về một giới hạn lim un = lim vn = a ;

n →∞

thì lim un = a .
n →∞

2

CuuDuongThanCong.com

/>
n →∞


Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55

Bài tốn (cần) tìm cơng thức số hạng tổng qt
Trong bài tốn xác định cơng thức số hạng tổng quát của dãy số từ công thức truy hồi cần
ñặc biệt chú ý 2 phương pháp sau:
- Phương pháp sai phân
- Phương pháp lượng giác hóa

1) Phương pháp sai phân
Xét dãy {un } ñược xác ñịnh từ công thức truy hồi:

-

.c
om


anun +i + an −1un −1+i + an − 2un −2+i + … + a0ui = 0
ðể tìm cơng thức số hạng tổng qt, ta làm theo các bước:
- Giải phương trình đặc trưng: an λ n + an −1λ n −1 + … + a1λ + a0 = 0 (*).

Nếu (*) có n nghiệm phân biệt λ1 , λ2 ,… , λn thì số hạng tổng quát của dãy là:

ng

un = c1λ1n + c2 λ2n + … + cn λnn

co

trong đó c1 , c2 ,… , cn là các hằng số

(có thể được xác định nếu biết các số hạng ñầu u0 , u1 ,… , ui −1 )
Nếu (*) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội k thì số hạng tổng qt của dãy là:

an

-

th

un = c1λ1n + c2 nλ1n + c3n 2 λ1n + … + ck n k −1λ1n + ck +1λkn+1 + … + cn λnn

Lời giải.

du
on


g

Bài toán 1:
∞
Dãy Fibonacci { Fn }n =1 ñược xác ñịnh như sau: u1 = u2 = 1 , un + 2 = un +1 + un .
Tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy.

cu

u

Phương trình đặc trưng: λ 2 − λ − 1 = 0 , có 2 nghiệm λ1 =

1+ 5
1− 5
và λ2 =
.
2
2

n

n

 1+ 5 
1− 5 
Công thức số hạng tổng quát của dãy: Fn = c1 
+
c



 ,
2
 2 


 2 
trong đó các hằng số c1 , c2 thỏa mãn:

1+ 5
1− 5
1

+ c2
c1 =
1 = u1 = c1
 1 + 5 c1 + 1 − 5 c2 = 2

2
2
5



⇒
2
2 ⇒

2
2

1 = u = c  1 + 5  + c  1 − 5 
 1 + 5 c1 + 1 − 5 c2 = 2 c = − 1





2
1
2
 2 



 2
5


 2 


(
(

n

) (
) (

)


)

n

1  1+ 5 
1  1− 5 
Vậy Fn =

 −

 .
5 2 
5  2 

3

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Bài toán 2:
Dãy {un } ñược xác ñịnh bởi u0 = 0 , u1 = 1 , u2 = 3 và công thức truy hồi:
un = 7un −1 − 11un − 2 + 5un −3 , với n ≥ 4 .
Tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy.

ng


0 = u0 = c1 + c3

Các hằng số c1 , c2 , c3 thỏa mãn: 1 = u1 = c1 + c2 + 5c3
3 = u = c + 2c + 25c
2
1
2
3

1
3
1
Giải hệ ñược c1 = − , c2 = , c3 = .
16
4
16
1 3
1 n 1 n
3
Vậy un = − + n + 5 = ( 5 − 1) + n .
16 4
16
16
4

.c
om

Lời giải.
Phương trình ñặc trưng: x 3 − 7 x 2 + 11x − 5 = 0

(*)
(*) có nghiệm x1 = 1 bội 2, và nghiệm đơn x2 = 5 . Khi đó, un = c1 + c2 n + c3 5n .

co

Bài tốn 3:
Cho dãy số { xn } xác định như sau: x0 = a , xn +1 = 1 + bxn , ∀n ∈ ℕ .

th

an

Với ñiều kiện nào của a, b thì dãy { xn } hội tụ?

du
on

g

Lời giải.
 xn +1 = 1 + bxn
⇒ xn +1 − xn + 2 = bxn − bxn +1 ⇒ xn + 2 − (b + 1) xn +1 + bxn = 0 .

 xn + 2 = 1 + bxn +1
Nếu b = 1 thì xn = n + a , ∀n ∈ ℕ , dãy không hội tụ.

1
1 

+ bn  a −

 , ∀n ∈ ℕ .
1− b
1− b 


u

Nếu b ≠ 1 thì xn =

1
= 0 hoặc b < 1 .
1− b
b ≠ 1

hội tụ là hoặc b < 1 , hoặc 
1 .
a = 1 − b

cu

Khi ñó, dãy { xn } hội tụ khi và chỉ khi hoặc a −

Vậy, ñiều kiện cần và ñủ ñể dãy { xn }

Bài tốn 4:
Tìm tất cả các hàm f : ℝ + → ℝ + thỏa mãn f ( f ( x) ) + af ( x) = b ( a + b ) x , ∀x ∈ ℝ + . (*)
( a, b là các hằng số dương)
Lời giải.
Xét dãy { xn }n = 0 : xn +1 = f ( xn ) , với x0 là một số thực cố ñịnh.
∞


4

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Từ (*) ta có cơng thức truy hồi của dãy: xn + 2 = −axn +1 + b ( a + b ) xn .

Phương trình đặc trưng: x 2 + ax − b ( a + b ) = 0 , có 2 nghiệm x1 = b , x2 = −a − b .

Công thức tổng quát của dãy xn = c1b n + c2 ( − a − b ) ,
n

với c1 , c2 ∈ ℝ thỏa mãn x0 = c1 + c2 và x1 = c1b − c2 ( a + b ) .

Do xn > 0 ∀n ∈ ℕ , nên c2 = 0 . Suy ra x0 = c1 và f ( x0 ) = x1 = c1b = bx0 .
Vậy f ( x) = bx , ∀x ∈ ℝ + .
Bài toán 5:
Cho các số thực dương p, q thỏa mãn p + q < 1 và dãy số {un }n∈ℕ khơng âm thỏa mãn

.c
om

điều kiện un + 2 ≤ pun +1 + qun , với mọi n ∈ ℕ . Chứng minh rằng dãy {un }n∈ℕ hội tụ và tìm
giới hạn của dãy đó.

ng


Lời giải.
Xét dãy {vn }n∈ℕ : v0 = u0 , v1 = u1 , vn + 2 = pvn +1 + qvn , với mọi n ∈ ℕ .
Bằng quy nạp, ta chứng minh ñược un ≤ vn , với mọi n ∈ ℕ .

co

Ta tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy {vn }n∈ℕ .

an

Phương trình đặc trưng: x 2 − px − q = 0 (*), có 2 nghiệm:
p + p 2 + 4q p + p 2 + 4(1 − q ) p + (2 − p )
<
=
= 1,
2
2
2
0 > x2 = p − x1 > −1 .

th

0 < x1 =

g

Khi ñó, vn = c1 x1n + c2 x2n , mà lim x1n = lim x2n = 0 do −1 < x2 < 0 < x1 < 1

du

on

n→∞

n →∞

⇒ lim vn = 0 , mà 0 ≤ un ≤ vn với mọi n ∈ ℕ . Theo nguyên lí kẹp, lim un = 0 .
n →∞

Bài toán 6:

n →∞

cu

u

Cho dãy số { xn } xác ñịnh như sau: u0 = 0 , un =

un −1
+ (−1)n , ∀n ≥ 1 .
2011

Tính lim un2 .
n →∞

Lời giải.
un −1

n

un = 2011 + (−1)
u
u
(vì (−1)n + (−1) n+1 = 0 ).
⇒ un + un +1 = n −1 + n

2011 2011
u = un + (−1) n +1
n +1

2011
2010
1
Từ đó suy ra: un +1 +
un −
un −1 = 0 .
2011
2011
2010
1
1
Phương trình đặc trưng: x 2 +
.
x−
= 0 , có 2 nghiệm x1 = −1 và x2 =
2011
2011
2011

5


CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
n

 1 
Công thức số hạng tổng quát của dãy: un = c1 ( −1) + c2 
 .
 2011 
2011
2011
, c2 = −
.
Từ u0 = 0 , u1 = −1 , ta tìm được c1 =
2012
2012
n

n

2n

1 
1 

2

Khi đó, un2 = c12 + 2c1c2  −
 + c2 
 .
 2011 
 2011 
2

.c
om

 2011 
Vậy lim un2 = c12 = 
 .
n →∞
 2012 

2) Phương pháp lượng giác hóa

Dấu hiệu lượng giác

Cách đặt

a
sin xn
b

co

un =
a − bun2


ng

Bảng sau có ích cho nhiều bài toán:

sin 2 x + cos 2 x = 1

an

a
un =
cos xn
b

a − bun

a
tan xn
b

1 + tan 2 x =

1
cos 2 x

un =

a
cot xn
b


1 + cot 2 x =

1
sin x

x
2
x
1 + cos x = 2 cos 2
2

1 − cos x = 2sin 2

a
un = cos xn
b

cu

u

a + bun

un =

th
g

du

on

a + bun2

Cơng thức sử dụng

Bài tốn 7:

Cho 0 < a <

3
, tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy {un } sau:
2
u0 = a


−un + 3 − 3un2
un +1 =

2

Lời giải.
Do 0 < a <

3
 π
nên tồn tại ϕ0 ∈  0;  sao cho u0 = sin ϕ0 .
2
 3


6

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55

Khi đó, u1 =

π


 ϕ1 = − ϕ0  .
3



− sin ϕ + 3 cos ϕ
π

= sin  − ϕ  = sin ϕ1
2
3


Tương tự, u2 = sin ϕ2 , với ϕ 2 =

π


− ϕ1 = ϕ0 .
3
Do đó, u2 = u0 , từ đó quy nạp suy ra dãy {un } tuần hoàn chẵn lẻ:

π

u2 n = sin ϕ0 , u2 n +1 = sin  − ϕ0  .
3

Bài tốn 8:

. Tìm lim ( 2n un ) .

un
1+ 1+ u

.c
om

Cho dãy {un } : u0 = 3 , un +1 =

n →∞

2
n

Hướng dẫn.
1 + 1 + ( tan x )


2

=

công thức số hạng tổng quát un = tan

sin x
x
= tan và phép quy nạp ñể chứng minh
1 + cos x
2

π
3⋅ 2

n

ng

tan x

. Khi ñó, lim ( 2n un ) =
n →∞

co

Sử dụng biến ñổi

π
3


.

2
2
, un +1 =
1 − 1 − un2
2
2

g

u0 =

th

an

Bài toán 9:
Cho 2 dãy số {un } , {vn } ñược xác ñịnh như sau:

n →∞

un
.
vn

cu

Hướng dẫn.


1 + vn2 − 1
vn

(n ∈ ℕ)

u

Tính lim

du
on

v0 = 1 , vn+1 =

(n ∈ ℕ)

Chứng minh un = sin

π
2

n+2

, vn = tan

π
2

n+2


. Từ đó, suy ra lim

n →∞

un
π

= lim  cos n
n
→∞
vn
2


Bài toán 10:
 − 1 < u0 < 1

Cho dãy {un } ñược xác ñịnh: 
1 + un
(n ∈ ℕ)
un +1 =
2

Dãy {vn } ñược xác ñịnh như sau: vn = u1u2 … un . Tìm lim vn .
n →∞

7

CuuDuongThanCong.com


/>

 = 1.



Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Lời giải.
ðặt u0 = cos α , α ∈ ( 0; π ) .

Bằng quy nạp chứng minh được un = 2 cos

α

Khi đó, vn = cos

2

cos

α

α

2

2n


… cos
2

α
2n

sin α

=

2n sin

α

α

.

=

sin α

α

n
⋅ 2
α sin α
2n

2n


Bài toán 11:
Cho dãy số { xn } thỏa mãn 0 < x0 < x1 và:

(

)

.c
om

n
sin α
Do lim 2 = 1 , nên lim vn =
.
n →∞
n →∞
α
α
sin n
2

(

)

ng

1 + xn 1 + xn−1 xn +1 = 1 + xn −1 1 + xn xn +1 , ∀n ∈ ℕ* .


(*)

co

Chứng minh rằng dãy { xn } hội tụ khi n → +∞ . Tìm lim xn .
n →+∞

an

Lời giải.

 π
( với a0 , a1 , ϕ ∈  0;  ).
 2

th

ðặt x0 = tan 2 a0 , x1 = tan 2 a1 , x2 = tan 2 ϕ

Áp dụng (*) với n = 1 , ta ñược:
1 + x1 1 + x0 x2 = 1 + x0 1 + x1 x2
⇔

g

)

du
on


(

(

)

1
1
(1 + tan a0 tan ϕ ) =
(1 + tan a1 tan ϕ )
cos a1
cos a0

⇔ cos a0 (1 + tan a0 tan ϕ ) = cos a1 (1 + tan a1 tan ϕ )

cu

u

⇔ cos a0 + sin a0 tan ϕ = cos a1 + sin a1 tan ϕ
cos a0 − cos a1
a +a
( a0 ≠ a1 )
⇔ tan ϕ =
= tan 0 1
sin a1 − sin a0
2
a +a
Nếu ñặt a2 = 0 1 thì x2 = tan 2 ϕ = tan 2 a2 . Thêm nữa, a2 ≠ a1 .
2

a +a
Thiết lập dãy {an } : an +1 = n −1 n , với mọi n ≥ 1 .
2
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh ñược an +1 ≠ an và xn = tan 2 an , ∀n ∈ ℕ .

a + 2a1
 1
Công thức số hạng tổng quát dãy {an } : an = c1 + c2  −  , trong đó c1 = 0
.
3
 2
a + 2a1
a + 2a1
Khi đó, lim an = c1 = 0
, suy ra lim xn = tan 0
.
n →+∞
n →∞
3
3
n

8

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55


Một số dạng toán thường gặp
Tính hội tụ của dãy {un } được xác định bởi hệ thức truy hồi un+1 = f ( un )
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy

Bài tốn 12:

u0 ∈ ℝ

Cho dãy {un } ñược xác ñịnh 
un
un +1 = 2 − 1, ∀n ∈ ℕ
Chứng minh rằng dãy {un } hội tụ. Tìm lim un .

co

Lời giải.

x
− 1 , ñược nghiệm duy nhất x = −2 .
2
Nếu u0 ≥ −2 thì theo quy nạp, ta có un ≥ −2 , ∀n ∈ ℕ .
u
u +2
Khi đó, un +1 − un = n − 1 − un = − n
≤ 0 ⇒ un +1 ≤ un , ∀n ∈ ℕ .
2
2
Dãy {un } là dãy không tăng, bị chặn dưới bởi −2 , nên hội tụ. ðặt lim un = L .


g

th

an

Giải phương trình x =

-

ng

n →∞

.c
om

Nói chung, ta ln bắt đầu bằng việc giải phương trình x = f ( x ) để tìm ra nghiệm x = α
có thể là giới hạn của dãy số, đồng thời cũng thuận lợi cho việc chia khoảng ñể xét tính
tăng giảm của dãy.

du
on

n →∞

L
− 1 ⇒ L = −2 , nghĩa là lim un = −2 .
n→∞
2

Nếu u0 < −2 thì theo quy nạp, ta có un < −2 , ∀n ∈ ℕ .
u
u +2
Khi đó, un +1 − un = n − 1 − un = − n
> 0 ⇒ un +1 > un , ∀n ∈ ℕ .
2
2
Dãy {un } là dãy tăng ngặt, bị chặn trên bởi −2 , nên hội tụ. ðặt lim un = L .

Từ công thức truy hồi, suy ra L =

cu

u

-

n→∞

L
− 1 ⇒ L = −2 , nghĩa là lim un = −2 .
n →∞
2
Tóm lại, dãy {un } hội tụ và lim un = −2 .

Từ công thức truy hồi, suy ra L =
n →∞

Bài toán 13:
u0 > 0

Cho dãy {un } ñược xác ñịnh 
un +1 = ln (1 + un ) , ∀n ∈ ℕ
Chứng minh rằng dãy {un } hội tụ. Tìm lim un .
n →∞

9

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Nhận xét.
Phương trình ln (1 + x ) = x có nghiệm duy nhất x = 0 .
Lời giải.
Do u0 > 0 nên theo quy nạp, ta có un > 0 , ∀n ∈ ℕ .

Xét hàm g ( x) = ln (1 + x ) − x

( x > 0)

1
x
−1 = −
< 0 , ∀x > 0 .
1+ x
1+ x
Suy ra g ( x ) < g (0) = 0 , ∀x > 0 .
Khi đó, un +1 − un = ln (1 + un ) − un = g ( un ) < 0 ⇒ un +1 < un , ∀n ∈ ℕ .

g ′( x) =

Dãy {un } là dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0, nên hội tụ. ðặt lim un = L .

.c
om

n →∞

Từ công thức truy hồi, suy ra L = ln (1 + L ) ⇒ g ( L) = g (0) ⇒ L = 0 .

Vậy dãy {un } hội tụ và lim un = 0 .
n →∞

ng

Bài toán 14:
n →∞

n roots

co

Cho số thực a > 0 . Tìm lim a + a + a + … + a ( n dấu căn )

a + a + a + … + a = un . Vậy ta cần tìm lim un .

du
on


n roots

n →∞

g

Khi đó,

th

an

Lời giải.
Xét dãy {un } : u0 = 0 , un +1 = a + un , ∀n ∈ ℕ .

1
1
+
+a .
2
4
Nếu un < c thì un +1 = a + un < a + c = c , mà u0 = 0 < c , nên theo quy nạp:

u

Phương trình x = a + x có nghiệm duy nhất c =

un < c , ∀n ∈ ℕ .

cu


Do u1 = a > u0 = 0 nên u2 = a + u1 > a + u0 = u1 > 0 .

Tương tự, theo quy nạp, ta ñược un +1 > un , ∀n ∈ ℕ .
Dãy {un } tăng, bị chặn trên, nên hội tụ. ðặt L = lim un .
n →∞

Khi đó, L = a + L ⇒ L = c . Vậy lim un = c =
n →∞

1
1
+
+a .
2
4

Bài toán 15:
u0 = b
Cho dãy {un } ñược xác ñịnh như sau: 
2
2
un +1 = un + (1 − 2a ) un + a
Với những điều kiện gì của các hằng số a, b ñể dãy {un } hội tụ.

∀n ∈ ℕ

10

CuuDuongThanCong.com


/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Nhận xét.

x = x 2 + (1 − 2a ) x + a 2 ⇔ ( x − a ) = 0 ⇔ x = a .
Lời giải.
2
un +1 − un = ( un − a ) ≥ 0 ⇒ un +1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ , suy ra dãy {un } không giảm.
2

Do đó, dãy {un } hội tụ khi và chỉ khi {un } bị chặn trên.

* Giả sử {un } hội tụ, L = lim un . Khi đó, L = L2 + (1 − 2a ) L + a 2 ⇒ L = a .
n →∞

Do {un } không giảm, lim un = a , nên un ≤ a , ∀n ∈ ℕ .
n →∞

u1 ≤ a ⇔ u02 + (1 − 2a ) u0 + a 2 ≤ a

.c
om

⇔ ( u0 − a + 1)( u0 − a ) ≤ 0

co


ng

⇔ a − 1 ≤ u0 = b ≤ a
* Giả sử a − 1 ≤ u0 = b ≤ a , thì u1 ≤ a (theo biến ñổi trên).
Mà dãy {un } không giảm, nên u1 ≥ u0 ≥ a − 1 , suy ra a − 1 ≤ u1 ≤ a .
Tương tự, bằng quy nạp, ta có a − 1 ≤ un ≤ a , ∀n ∈ ℕ .
Dãy {un } không giảm, bị chặn trên bởi a , nên hội tụ.

an

Vậy ñiều kiện cần và ñủ ñể dãy {un } hội tụ là a − 1 ≤ b ≤ a .
Bài toán 16:

du
on

g

th

0 < u n < 1

Cho dãy {un } thỏa mãn các ñiều kiện: 
1
un +1 (1 − un ) > 4 ∀n ∈ ℕ
Tìm lim un .
n →∞

cu


u

Lời giải.
Áp dụng BðT Cơ-si, ta có:

un +1 + 1 − un ≥ 2 un +1 (1 − un ) > 2 ⋅

1
=1
2

⇒ un +1 > un , ∀n ∈ ℕ .

Dãy {un } tăng, bị chặn trên bởi 1, nên tồn tại giới hạn hữu hạn L = lim un .
n →∞

Khi đó, từ điều kiện bài tốn, suy ra L (1 − L ) ≥

Vậy lim un =
n →∞

2

1
1
1

⇒L−  ≤0⇒ L = .
4
2

2


1
.
2

11

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55

Phương pháp ánh xạ co
Phương pháp ánh xạ co ñược áp dụng ở ñây với ý tưởng cơ sở khá ñơn giản.
Dãy {un }∞n =0 ñược gọi là co nếu tồn tại số q ∈ ( 0;1) sao cho un +1 − α ≤ q un − α , ∀n ∈ ℕ .

Khi đó {un } hội tụ về α .
Chứng minh :
Ta có: 0 ≤ un − α ≤ q un −1 − α ≤ q 2 un− 2 − α ≤ ... ≤ q n u0 − α

0 < q < 1 ⇒ lim ( q n u0 − α ) = 0 ⇒ lim un − α = 0 ⇒ lim un = α . (ñpcm).
n →∞

n →∞

n →∞


.c
om

Như vậy, sau khi giải phương trình f ( x) = x để dự đốn số α có khả năng là giới hạn
của dãy, nếu chứng minh ñược un +1 − α ≤ q. un − α , với hằng số q ∈ ( 0;1) thì lim un = α .

−3 + 5
1
, dự ñoán nghiệm âm α =
là giới hạn
3+ x
2

th

Nhận xét. Giải phương trình x = −

an

n →∞

(n ∈ ℕ)

co

u0 = 1

Cho dãy số {un } xác ñịnh như sau: 
1

un +1 = − 3 + u
n

Chứng minh rằng {un } hội tụ. Tìm lim un .

ng

Bài tốn 17:

Lời giải.

du
on

g

của dãy.

−3 + 5
1
, ta có α = −
.
2
3+α
un − α
1
1
.
Khi đó, un +1 − α = −
+

=
3 + un 3 + α (3 + un )(3 + α )
Chứng minh bằng quy nạp: un > −1 , ∀n ∈ ℕ .

cu

u

ðặt α =

Khi đó, (3 + un )(3 + α ) > 2(3 + α ) = 3 + 5 > 5 ,
1
1
Suy ra un +1 − α < un − α , ∀n ∈ ℕ ⇒ 0 < un − α < n u0 − α .
5
5
1
Mà lim n u0 − α = 0 , nên theo nguyên lý kẹp lim un − α = 0 .
n →∞
n→∞ 5
−3 + 5
Vậy lim un = α =
.
n →∞
2

12

CuuDuongThanCong.com


n →∞

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Bài toán 18:

1

u1 = 3
Cho dãy {un } thoả mãn 
2
u = un − 1,
 n +1 2
Tìm lim un .

∀n ≥ 1

n →∞

x2
− 1 , dự đốn giới hạn là α = 1 − 3
2
(nghiệm dương 1 + 3 khơng được vì un ∈ ( −1; 0 ) , ∀n ≥ 2 )

Lời giải.

(


)(

)

un − 3 + 1 un + 3 − 1
un2
−1 + 3 −1 =
2
2

⇒ un +1 + 3 − 1 =

un − 3 + 1 un + 3 − 1

ng

un+1 + 3 − 1 =

.c
om

Nhận xét. Giải phương trình x =

co

2
Bằng quy nạp ta chứng minh ñược un ∈ ( −1; 0 ) , ∀n ≥ 2 .

Bài toán 19:


du
on

g

n →∞

th

3
un + 3 − 1
2
Vậy lim un = 1 − 3.
⇒ un +1 + 3 − 1 <

an

⇒ un − 3 + 1 < 3

cu

u

u0 > −1

Cho dãy {u n } thoả mãn 
un2 + 3
u
=
 n +1 2(u + 1) , ∀n ∈ ℕ

n

Tìm lim un .
n →∞

Lời giải.
u2 + 3
( u − 1) = un − 1 u − 1
un+1 − 1 = n
−1 = n
( n )
2(un + 1)
2(un + 1) 2(un + 1)
Từ biến ñổi trên dễ thấy un > 1, ∀n ≥ 1 .
u −1
1
1
Khi đó, 0 < n
< , ∀n ≥ 1 nên un +1 − 1 < ( un − 1) , ∀n ≥ 1 ⇒ lim un = 1.
n →∞
2(un + 1) 2
2
2

13

CuuDuongThanCong.com

/>


Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Bài toán 20:
Cho dãy số { xn }

 x1 ∈ ( 0; 2 )

thoả mãn 
xn2
=
1
+
−
, ∀n ≥ 2.
x
x
 n +1
n
2


Tìm lim xn .
n →∞

giác” xn > 0 , ∀n ∈ ℕ .
Lời giải.

x2
ta ñược x = ± 2 song giá trị
2


 x + 2
xn2
xn+1 − 2 = 1 + xn − − 2 = xn − 2 1 − n

2
2 

1
⇒ xn +1 − 2 = xn − 2 2 − xn − 2
2
t2
Xét hàm số f (t ) = − + t + 1 .
2
3
3
Dễ chứng minh
≥ f ( x) > 1 , ≥ f ( x) > 0 .
2 t∈( 0;2)
2 t∈ 0; 3 

)

co

ng

(

2 vì “có cảm


.c
om

Nhận xét. Giải phương trình x = 1 + x −


2

an




u

du
on

g

th

 3
Từ đó, theo quy nạp ta chứng minh ñược xn ∈  0;  , ∀n ≥ 2 .
 2
 3
Vì xn ∈  0;  , ∀n ≥ 2 nên 2 − xn − 2 < 1 , ∀n ≥ 2 .
 2
1

⇒ xn +1 − 2 < xn − 2 . Vậy lim xn = 2 .
n →∞
2

cu

Phương pháp này cịn đi kèm với một cơng cụ chứng minh hữu ích là ñịnh lý Lagrange.
ðiều kiện áp dụng:
- xn ∈ D , ∀n ≥ n0 .

-

f khả vi trên D và ∃k ∈ ( 0;1) : f ′( x) ≤ k , ∀x ∈ D .

Bài toán 21:

 x0 = 2

1
Cho dãy { xn } : 
4
3
3 +
x
=
log
x
+
1
,n ≥1

(
)
 n +1
3
n
3

Tìm lim xn .
n →∞

14

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Lời giải.
Dễ thấy xn >

4
, ∀n ∈ ℕ .
3
1

Xét f ( x ) = log 3 ( x3 + 1) 3 +

4 1
4

= log 3 ( x 3 + 1) +
( x > 0)
3 3
3
3
x2
4
x3 x3
3x 2
⇒ 0 < f '( x) = 3
<
= k < 1 , ∀x > 0 (vì x3 + 1 = + + 1 ≥ 3 , ∀x > 0 )
2 2
4
( x + 1) ln 3 3ln 3

Xét g ( x) = f ( x) − x ( x > 0)
g ' ( x ) = f ' ( x ) − 1 < 0 , ∀x > 0 ⇒ g ( x ) giảm trên ( 0, +∞ ) . Mà g ( x ) = 2.

.c
om

⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình g ( x ) = 0 trên ( 0, +∞ ) .

Từ đó ta có: xn +1 − 2 = f ( xn ) − f ( 2 ) = f ′ ( c ) xn − 2 ≤ k xn − 2 ,
k=

4
∈ ( 0;1)
3ln 3


ng

⇒ lim xn = 2 .

3

co

n →+∞

an

Cách làm theo ý tưởng về dãy co sử dụng định lý Lagrange đặc biệt hữu ích trong
những bài chứng minh dãy hội tụ nhưng lại rất khó xác ñịnh giới hạn của dãy, khi mà có
thể chỉ ra được phương trình f ( x) = x có nghiệm nhưng tìm nghiệm đó khơng dễ.

g

th

Bài tốn 22:
Cho dãy số thực {un } ñược xác ñịnh như sau:

du
on

u1 = a ∈ ℝ , un +1 =

Chứng minh rằng dãy {un } hội tụ.

Lời giải.

cu

u

Xét hàm số f ( x) =

1
ln (1 + un 2 ) − 2011 , với n ≥ 1.
2

1
ln (1 + x 2 ) − 2011 .
2

x
1
≤ .
2
1+ x
2
g ( x ) = f ( x ) − x , g ′( x ) = f ′( x ) − 1 < 0 .
f ′( x) =

lim g ( x ) = +∞ , g (0) < 0

x →−∞

Suy ra phương trình g ( x ) = 0 ⇔ f ( x) = x có nghiệm duy nhất.

Gọi α là nghiệm duy nhất của phương trình f ( x) = x .
Áp dụng ñịnh lý Lagrange, ∃c : un +1 − α = f ( un ) − f (α ) = f ′ ( c ) un − α ≤
Vậy {un } hội tụ về α .

15

CuuDuongThanCong.com

/>
1
un − α .
2


Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Bài toán 23:
Cho hàm số f ( x) =

ex

( x + 1)

2

. Xét dãy {un } ñược xác ñịnh bởi:
u0 = 1 , un +1 = f ( un ) , ∀n ∈ ℕ .

Chứng minh rằng dãy {un } hội tụ.
Hướng dẫn.


.c
om

1 
- Chứng minh phương trình f ( x) = x có nghiệm duy nhất α ∈  ;1 .
2 
1 
- Chứng minh un ∈  ;1 , ∀n ∈ ℕ* .
2 

4 e
un − α .
27

an

co

- Áp dụng ñịnh lý Lagrange, suy ra un +1 − α <

ng

4 e
1 
- Chứng minh f ′( x ) tăng trên ñoạn  ;1 . Từ đó suy ra 0 > f ′( x) > −
> −1 .
27
2 


g

th

Dãy số ñược xác ñịnh bởi các phép tốn tổng và tích –
Dãy số hạng “khử liên tiếp”

du
on

Ta quy ước một số khái niệm:
Cho {vn } là dãy số ñược xác ñịnh.

Dãy {un } ñược gọi là dãy khử tổng nếu mỗi số hạng có dạng un = vn +1 − vn .

-

Dãy {un } ñược gọi là dãy khử tích nếu mỗi số hạng có dạng un =

-

cu

ðặc ñiểm:

u

-

n


Nếu {un } là dãy khử tổng thì dãy {S n } : S n = ∑ uk = vn +1 − v0 , có các tính chất
phụ thuộc vào tính chất của dãy {vn } .

k =0

n

-

vn +1
.
vn

Nếu {un } là dãy khử tích thì dãy { Pn } : S n = ∏ uk =
k =0

thuộc vào tính chất của dãy {vn } .

vn +1
, có các tính chất phụ
v0

Trong nhiều bài tập, để tìm ñược các tính chất cần thiết của {Sn } hoặc {Pn } , ta cần tìm

được dãy {vn } tương ứng và các tính chất của nó.

16

CuuDuongThanCong.com


/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Bài toán 24:
Chứng minh bất ñẳng thức sau ñúng với mọi n ∈ ℕ* :
1 1
1
1 + + + … + > ln ( n + 1) .
2 3
n
Lời giải.
Với mọi x > 0 , ta có x > ln (1 + x ) .

Do ñó,

1
 1
 n +1 
> ln 1 +  = ln 
 = ln ( n + 1) − ln n
n
 n
 n 
n

Suy ra

1


∑ k ≥ ln ( n + 1) − ln1 = ln ( n + 1)

(ñpcm).

.c
om

k =1

Bài tốn 25:
Cho dãy số {un } được xác định bởi u1 = 1 , un+1 = 2011un2 + un .

co

ng

u u
u 
Tìm giới hạn: lim  1 + 2 + … + n  .
n →∞ u
un +1 
 2 u3
Nhận xét.
n

an

uk
, ta cần biểu diễn mỗi số hạng trong tổng

k =1 uk +1
1
dưới dạng vn +1 − vn . Trong bài này, vn =
.
2011un
Lời giải.
un +1 − un
un
un2
1 1
1 
=
= 2011 =
 −

un +1 unun+1
unun +1
2011  un un+1 

du
on

g

th

Ở đây cần tìm giới hạn của dãy S n = ∑

u


u
u1 u2
1 1
1 
+ +… n =
 −
.
u2 u3
un +1 2011  u1 un+1 

cu

⇒

{un } là dãy tăng, không bị chặn trên (dễ chứng minh),

lim un = +∞ .
n →∞

u u
u 
1
1
Vậy lim  1 + 2 + … + n  =
=
.
n →∞ u
un +1  2011u1 2011
 2 u3


Bài toán 26:
u = 1
Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh bởi  1
un +1 = 1 + u1u2 … un

∀n ≥ 1

n

1
. Tìm lim Sn .
n →∞
k =1 uk

ðặt S n = ∑

17

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Lời giải.
Dễ thấy un ≥ 2 , ∀n ≥ 2 .
Ta có un +1 − 1 = u1u2 … un = un ( un − 1) ⇒

Suy ra


1
un +1 − 1

=

1
1
1
=
−
, ∀n ≥ 2 .
un ( un − 1) un − 1 un

1
1
1
=
−
, ∀n ≥ 2 .
un un − 1 un +1 − 1

Khi đó, S n =

1
1
1
1
+
−
= 2−

.
u1 u2 − 1 un +1 − 1
un +1 − 1

Do un ≥ 2 , ∀n ≥ 2 , nên un +1 = 1 + u1u2 … un ≥ 2n , ∀n ≥ 2 ⇒ lim un = +∞ .

.c
om

n →∞

Vậy lim S n = 2 .
n→∞

Bài tốn 27:

n

1
.
n→∞
k =1 uk + 2

an

Tìm lim ∑

Hướng dẫn.

n


1
1
= .
2
k =1 uk + 2

du
on

ðáp số: lim ∑

g

th

1
1
1
.
=
−
un + 2 un + 1 un +1 + 1

Chứng minh

n →∞

∀n ≥ 1


co

ng

u1 = 1
Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh bởi 
un +1 = un ( un + 1)( un + 2 )( un + 3) + 1

cu

u

Bài toán 28:
Cho dãy { xn }n∈ℕ* được xác định bởi cơng thức truy hồi xn+1 = xn2 − 2 , với x1 = 5 .
1) Tìm giới hạn lim

n →∞

xn +1
.
x1 x2 … xn

1

1
1
2) Tìm giới hạn lim  +
+… +
.
n →∞ x

x1 x2 … xn 
 1 x1 x2
Lời giải.
x 2 − 4 xn2+1 − 4
1) Ta có xn2 = xn +1 + 2 = n +1
=
xn +1 − 2 xn2 − 4
2

 xn +1 
 xn2+1 
xn2+1 − 4 xn2+1 − 4
⇒∏x = 2
=
⇒
 = 21 2
.
x1 − 4
21
k =1
 x1 x2 … xn 
 xn +1 − 4 
Dễ dàng chứng minh được { xn } là dãy tăng, khơng bị chặn trên.
n

2
k

18


CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
2

 xn +1 
 21 x 2 
Do đó, lim xn = +∞ ⇒ lim 
= lim  2 n +1  = 21 .

n →∞ x x … x
n →∞ x
n →∞
n 
 1 2
 n +1 − 4 
xn +1
Vậy lim
= 21 .
n →∞ x x … x
1 2
n

xn
xn +1 
1
1  x 2 − xn +1  1 

=  n
−
= 

x1 x2 … xn 2  x1 x2 … xn  2  x1 x2 … xn −1 x1 x2 … xn 
xn+1  5 1 xn +1
1
1
1
1 1 x
⇒ +
+… +
= +  2−
.
= −
x1 x1 x2
x1 x2 … xn x1 2  x1 x1 x2 … xn  2 2 x1 x2 … xn
xn +1
Theo 1), lim
= 21 .
n →∞ x x … x
1 2
n
1
1
1
Vậy lim  +
+… +
n →∞ x
x1 x2 … xn

 1 x1 x2

 5 − 21
.
=
2


.c
om

2)

ng

Trong một vài bài khó hơn, để tìm được các tính chất cần thiết của {vn } , ta cần khảo sát

co

tính chất của dãy tổng {S n } hoặc dãy tích {Pn } tương ứng.

an

Bài tốn 29:

th

u1 = 2
Cho dãy số {un } thỏa mãn 
2

u1 + u2 + … + un = n un

du
on

n→∞

g

Tìm lim n 2un .

∀n ≥ 1

Lời giải.

cu

u

u1 + u2 + … + un −1 + un = n 2un
un
n −1
2
2
, ∀n ≥ 2 .
n
1
u
n
1

u
⇒
−
=
−
⇒
=
(
)
(
)

n
n
−
1
2
un −1 n + 1
= (n − 1) un −1
u1 + u2 + … + un −1
n
n
u
k −1
u
1⋅ 2
4
.
Khi đó, ∏ k = ∏
⇒ n =

⇒ un =
u1 n ⋅ (n + 1)
n(n + 1)
k = 2 uk −1
k =2 k + 1
4n 2
= 4.
n →∞ n ( n + 1)

Vậy lim ( n 2un ) = lim
n→∞

Bài toán 30:
Cho dãy số {un }

u1 ∈ ( 0;1)

thỏa mãn 
un2
un +1 = un + 2
n


∀n ≥ 1

Chứng minh rằng dãy {un } hội tụ.

19

CuuDuongThanCong.com


/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Lời giải.
Dễ thấy un +1 ≥ un , ∀n ≥ 1 .

un2
(nu1 ) 2
<
nu
+
= nu1 + u12 < (n + 1)u1 (vì 0 < u1 < 1 ).
1
n2
n2
Do đó, theo quy nạp: un ≤ nu1 , ∀n ≥ 1 .

Nếu un ≤ nu1 thì un +1 = un +

Với số nguyên dương m ñủ lớn ñể

u
1
1
< 1 − u1 , thì m < u1 < 1 − ⇒ um < m − 1 .
m
m
m


.c
om

un2
2
1
1
1 u
1
1
1
1
Ta có
,
−
= n = 2 n < 2<
= −
un un +1 unun +1 n un+1 n
n(n − 1) n n − 1

 1
1  n 1
1 
1 1 1
1
1
−
− = −
< , ∀n > m .


 = ∑ −
∑
⇒
uk +1  k =m  k k − 1  um un m n − 1 m
k = m  uk
n

⇒ un <

(m − 1)um
, ∀n > m .
(m − 1) − um

ng

Suy ra

Như vậy, dãy {un }n = m là dãy tăng, bị chặn trên, nên hội tụ (ñpcm).

th

Một số vấn ñề liên quan

an

co

∞


du
on

g

Phần này nêu ra một số phương pháp tìm giới hạn tiêu biểu khác, thường xuất hiện trong
các bài tập Giải tích I ở bậc ðại học và các bài tốn thi HSGQG, nhưng khơng phổ biến
trong đề thi KSTN. Dù vậy, bạn ñọc vẫn nên tham khảo ñể nắm ñược ý tưởng.

u

Phương pháp dãy con

cu

Trong một số bài tốn về tìm giới hạn dãy số, dãy đang xét khơng đơn điệu, nhưng nó có
thể chia thành các dãy con mà từng dãy ñơn ñiệu và quan trọng hơn là hội tụ. Dãy lớn hội
tụ khi và chỉ khi các dãy con ñều hội tụ về cùng một giới hạn.

Bài toán 31:
Cho dãy số thực { xn } xác ñịnh bởi:

 x0 = 2


1
− xn
∀n ∈ ℕ
 xn +1 = 2 + 2
Chứng minh dãy số này hội tụ và tìm giới hạn của nó.


20

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Lời giải.

1
( x ∈ R) .
2
Ta có: f ′ ( x ) = −2− x ln 2 < 0 , ∀x ∈ R , nên hàm f nghịch biến trên R .

ðặt f ( x ) = 2− x +

3
1 1
, x2 = 3 + , suy ra x2 < x0 .
4
2
24
Dùng tính đơn điệu của f , theo quy nạp, ta chứng minh ñược ñồng thời dãy { x2 n+1} tăng
x1 =

còn dãy { x2n } giảm. Thêm nữa, x2 n +1 ≤ 1 ≤ x2 n , ∀n ∈ ℕ .

Phương trình x = 2− x +

Vậy lim xn = 1 .

.c
om

Do đó, { x2 n+1} và { x2 n } có giới hạn hữu hạn.

1
có nghiệm duy nhất x = 1 . Do đó, lim x2 n +1 = lim x2 n = 1 .
n →∞
n →∞
2

n →∞

co

ng

Phương pháp min, max

an

Bài toán 32:
Dãy { xn } ñược xác ñịnh bởi:

g

th


 x0 , x1 , x2 > 0

 xn +3 = xn + xn + 2
Chứng minh dãy { xn } hội tụ. Tìm lim xn .

du
on

n →∞

Lời giải.
Ta xây dựng 2 dãy

{an } và {bn } như sau:
a0 = max { x0 , x1 , x2 , 2} b0 = min { x0 , x1 , x2 , 2}

cu

u

,

a
=
a
2
n
 n +1
bn+1 = 2bn
Khi đó, dãy {an } giảm dần về 2 cịn dãy {bn } tăng dần ñến 2.

Bằng quy nạp ta chứng minh ñược:
bn ≤ min { x3n , x3n+1 , x3n + 2 } ≤ max { x3n , x3n +1 , x3n + 2 } ≤ an∀n

Từ đó dẫn ñến lim x3n = lim x3n +1 = lim x3n + 2 = 2

⇒ lim xn = 2 .

21

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55

Dãy số xác ñịnh bởi phương trình
Bài tốn 33:
1
1
1
1
+
+
+… +
= 0 , trong đó n ∈ ℕ* .
2x x −1 x − 4
x − n2
1) Chứng minh rằng với mỗi n ∈ ℕ* , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trong
( 0;1) . Kí hiệu nghiệm đó là xn .


Xét phương trình

2) Chứng minh rằng dãy nghiệm { xn } ñược xác ñịnh như trên hội tụ.

Lời giải.

.c
om

1
1
1
1
.
+
+
+… +
2x x −1 x − 4
x − n2
f n ( x) là hàm liên tục và nghịch biến trên ( 0;1) . Mà lim+ f n ( x) = +∞ , lim− f n ( x) = −∞ .
1) Với mỗi n ∈ ℕ* , xét hàm số f n ( x) =

x →0

x →1

ng

Do đó, phương trình f n ( x) = 0 có nghiệm duy nhất trong ( 0;1) , kí hiệu là xn .

1
< 0 , suy ra f n +1 ( xn ) < f n ( xn ) = 0 = f n +1 ( xn +1 ) .
xn − (n + 1) 2
Từ đó kết hợp với tính nghịch biến của hàm f n +1 ( x) , suy ra xn > xn+1 .

co

2) Do xn ∈ ( 0;1) nên

th

an

Dãy { xn } giảm, bị chặn dưới bởi 0, do đó hội tụ (đpcm).

g

Phương pháp tổng tích phân

du
on

Cho hàm f khả tích trên đoạn [ 0;1] .
1 n
∑
n →∞ n
i =1

1


i
f   = ∫ f ( x) dx
n 0

u

lim

cu

Bài tốn 34:
Tìm các giới hạn sau:
1
1 
 1
1) lim 
+
+… + 
n →∞ n + 1
n+2
2n 

n
n 
 n
2) lim  2 2 + 2
+… + 2

2
n →∞ n + 1

n +2
n + n2 

2
n
 1

 2n
2n
2n 
3) lim 
+
+… +
n →∞ n + 1
1
1

n+
n+ 
2
n

1

4) lim  n (n + 1)(n + 2)… (2n)  .
n →∞ n



22


CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
Lời giải.
1

k

k
1

k

2n
1 n 2n
1
≤
≤ 2 n , nên lim ∑
= ∫ 2 x dx =
.
n
→∞
1
n k =1 1 + 1
ln 2
0

1+
nk
nk

ng

Mà 2

k −1
n

.c
om

1
1 
1 n 1
1
 1
1) lim 
+
+ … +  = lim ∑
=∫
= ln 2 − 1 .
n →∞ n + 1
n
→∞
n+2
2n 
n k =1 1 + k 0 1 + x


n
1
n
n 
1 n
1
1
π
 n
2) lim  2 2 + 2
+… + 2
= lim ∑
=∫
= .
2
2
2 
2
n →∞ n + 1
n
→∞
n +2
n +n 
n k =1  k 
1+ x
4

0
1+  

n
2
n
k
 1

 2n
2n
2n 
1 n 2n
3) lim 
+
+… +
= lim
n →∞ n + 1
1
1  n→∞ n ∑
1
k =1

n+
n+
1+
2
n
nk


1n
 1  2   n 

(n + 1)(n + 2)… (2n) = n 1 + 1 + … 1 + 
n
 n  n   n 

un = ln S n =

1 n  k
∑ ln 1 +  , lim un = ∫ ln(1 + x)dx = 2 ln 2 − 1 .
n k =1  n  n→∞
0

cu

u

du
on

g

n →∞

th

Vậy lim S n = e2ln 2−1 .

an

1


co

4) ðặt S n =

23

CuuDuongThanCong.com

/>