BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐỖ ÁNH LINH

MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN
CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ
VÀ HERON

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐỖ ÁNH LINH

MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN
CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ
VÀ HERON

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ
Mã số:

8460104

Người hướng dẫn: TS. LÊ CƠNG TRÌNH

1

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

Ma trận Hermite và ma trận unita . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác định dương . . . . .

6

1.3

Giá trị kỳ dị của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Định lý phân tích phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5

Các loại trung bình số và trung bình ma trận . . . . . . . . . . . . 11


1.6
2

5

1.5.1

Trung bình Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.2

Trung bình Heinz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3

Trung bình hình học và trung bình số học của hai ma trận 12

Chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Một số cải tiến của các bất đẳng thức Young, Heinz, Heron và
các bất đẳng thức ma trận tương ứng
2.1

16

Một số cải tiến của bất đẳng thức Young và dạng ma trận tương
ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1


Dạng cải tiến 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2

Dạng cải tiến 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3

Dạng cải tiến 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


2

2.2

Một số cải tiến của bất đẳng thức Heinz và dạng ma trận tương
ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3

2.2.1

Dạng cải tiến 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2

Dạng cải tiến 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Một số cải tiến của bất đẳng thức Heron và dạng ma trận tương
ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


3

Một số dạng ngược của các bất đẳng thức Young, Heinz và các
dạng ma trận tương ứng
3.1

40

Một số dạng ngược của bất đẳng thức Young và các dạng ma trận
tương ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2

Một số dạng ngược của bất đẳng thức Heinz và các dạng ma trận
tương ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


3

Mở đầu
Bất đẳng thức là một đối tượng nghiên cứu quan trọng trong tốn học và có
nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.
Các bất đẳng thức ma trận là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong
Giải tích ma trận, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán
học và Vật lý.
Các bất đẳng thức cổ điển quan trọng cho các số thực như Cauchy, Schwarz,
Young, Hoălder, Heinz, Heron, ... ó c nghiờn cu rng rãi bởi nhiều nhà Toán
học. Luận văn tập trung nghiên cứu các bất đẳng thức Young, Heinz, Heron,
các dạng cải tiến của chúng, cũng như các dạng ma trận tương ứng với các dạng

cải tiến đó.
Ngồi Mục lục, Mở đầu và Kết luận, Luận văn được bố cục thành ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày một
số kiến thức cơ bản trong Giải tích ma trận liên quan đến các chương sau của
luận văn, gồm ma trận Hermit, ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định
dương, giá trị riêng và giá trị kỳ dị của ma trận, định lý phân tích phổ, các loại
trung bình số và trung bình ma trận, chuẩn ma trận, ... và một số kết quả khác
liên quan.
Chương 2. Một số cải tiến của các bất đẳng thức Young, Heinz, Heron
và các bất đẳng thức ma trận tương ứng. Trong chương này, chúng tơi trình


4

bày một số cải tiến của các bất đẳng thức Young, Heinz, Heron và các bất đẳng
thức ma trận tương ứng. Ở phần trình bày các bất đẳng thức ma trận, bên cạnh
các bất đẳng thức với chuẩn Hilbert-Schmidt, chúng tôi sẽ chỉ ra một số bất
đẳng thức dạng vết và dạng định thức.
Chương 3. Một số dạng ngược của các bất đẳng thức Young, Heinz và
các dạng ma trận tương ứng. Trong chương này, chúng tơi trình bày một số
dạng ngược của các bất đẳng thức Young, Heinz cải tiến và các dạng ma trận
tương ứng. Một số kết quả trong chương này được chứng minh hoàn toàn tương
tự với các kết quả tương ứng ở chương 2.
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới các Thầy/Cơ trong
Khoa Tốn và Thống kê đã dạy bảo và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Tiếp theo tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến,
giúp đỡ và động viên tơi trong q trình học tập và thực hiện Luận văn. Và đặc
biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến TS. Lê Cơng Trình, người đã tận
tình hướng dẫn và giúp đỡ để tơi có thể hoàn thành Luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng hết sức, nhưng do điều kiện thời gian và kiến thức cịn

hạn hẹp nên Luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được
những góp ý quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để Luận văn được
hồn thiện hơn.
Bình Định, tháng 7 năm 2019
Học viên: Đỗ Ánh Linh


5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản trong Giải
tích ma trận liên quan đến các chương sau của luận văn, gồm ma trận Hermite,
ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định dương, giá trị riêng và giá trị kỳ
dị của ma trận, định lí phân tích phổ, các loại trung bình số và trung bình ma
trận, chuẩn ma trận, ... và một số kết quả khác liên quan. Các khái niệm và kết
quả trong chương này được trình bày lại từ các tài liệu [1], [2], [6], [7].
Trong toàn bộ luận văn này, ta ký hiệu Mn (C) là đại số tất cả các ma trận
phức cấp n, trong đó n là một số nguyên dương cho trước. Nhắc lại rằng với hai
vectơ x = (xj ), y = (yj ) ∈ Cn , tích trong (hay tích vơ hướng) của x và y là một
số phức được định nghĩa bởi
x, y :=

1.1

j

xj y¯j .

Ma trận Hermite và ma trận unita


Với mỗi ma trận A = (aij ), ma trận AT = (aji ) được dùng để ký hiệu cho ma
trận chuyển vị của ma trận A, ma trận A∗ = (¯aji ) được dùng để ký hiệu cho
ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận A. Với mọi vectơ x, y ∈ Cn , ta ln có


6
Ax, y = x, A∗ y .

Định nghĩa 1.1.1. Một ma trận A ∈ Mn (C) được gọi là Hermite nếu A∗ = A.
Từ định nghĩa của ma trận Hermit và ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút ra
nhận xét sau.
Nhận xét 1.1.2. Ma trận A là ma trận Hermite khi và chỉ khi Ax, y = x, Ay .
Định nghĩa 1.1.3. Một ma trận A ∈ Mn (C) được gọi là unita nếu
AA∗ = A∗ A = I.





Ví dụ 1.1.4. A = 







0 −i 
1


 ∈ M2 (C), B = 
2



1 0



1
i

−i
1

1 + i −1 + i

−1 + i 





1 + i  ∈ M3 (C)



0


là các ma trận unita.
Nhận xét 1.1.5. Nếu A là ma trận unita thì A khả nghịch, hơn nữa, | det A| = 1.

1.2

Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác
định dương

Định nghĩa 1.2.1.
Một ma trận Hermit A được gọi là nửa xác định dương, ký hiệu A
x, Ax

0, nếu

0, ∀x ∈ Cn .

Một ma trận Hermit A được gọi là xác định dương, ký hiệu A > 0, nếu
x, Ax > 0, ∀x ∈ Cn , x = 0.

Với A và B là các ma trận cùng cấp, ta viết A
A > B nếu A − B > 0.

B nếu A − B

0, ta viết


7

Tính chất 1.2.2. Tính chất nửa xác định dương (t.ư xác định dương) của các

ma trận Hermite được bảo toàn qua phép biến đổi unita, nghĩa là, nếu A là một
ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) và U là một ma trận unita thì
A˜ := U ∗ AU cũng là một ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương).

Chứng minh. Giả sử A là một ma trận nửa xác định dương. Khi đó, với mọi
x ∈ Cn , ta có
˜ = x, U ∗ AU x = U x, AU x = y, Ay ,
x, Ax

với y = U x.
Do A là một ma trận nửa xác định dương nên y, Ay
˜
Từ đó suy ra x, Ax

0.

0 hay A˜ cũng là một ma trận nửa xác định dương.

˜ > 0. Nói cách khác, nếu A là
Hoàn toàn tương tự, nếu y, Ay > 0 thì x, Ax

một ma trận xác định dương A˜ cũng là một ma trận xác định dương.
Tính chất 1.2.3. Một ma trận Hermite là nửa xác định dương (t.ư xác định
dương) khi và chỉ khi các giá trị riêng của nó khơng âm (t.ư dương).
Chứng minh. Nếu λ là giá trị riêng ứng với vectơ riêng x0 của ma trận Hermite
nửa xác định dương A thì Ax0 = λx0 . Từ đó suy ra λ x0 , x0 = x0 , Ax0
x0 = 0 nên x0 , x0 > 0. Vậy λ =

x0 , Ax0
x0 , x0


0. Do

0.

Ngược lại, giả sử A là một ma trận Hermit có giá trị riêng khơng âm. Khi
đó tồn tại một ma trận unita U đưa ma trận A về dạng đường chéo, tức là
U ∗ AU = Λ với Λ = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ); λi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n, là các giá trị riêng

của A.
Với mọi x ∈ Cn , gọi y ∈ Cn sao cho x = U y (chọn y = U −1 x). Khi đó
n
∗

λi yi2 ≥ 0.

x, Ax = U y, AU y = y, U AU y = y, Λy =
i=1

Vậy A là một ma trận xác nửa xác định dương.


8

Đối với trường hợp ma trận xác định dương, ta có cách chứng minh hồn
tồn tương tự.
Tính chất 1.2.4. Cho A là một ma trận Hermit nửa xác định dương. Khi đó,
A xác định dương khi và chỉ khi A khả nghịch.

Chứng minh. Giả sử A xác định dương. Khi đó, tồn tại ma trận trực giao U sao

cho A = U ΛU T , trong đó Λ = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ), với λi > 0, i = 1, 2, ..., n. Xét ma
−1
−1
trận B = U Λ−1 U T , với Λ−1 = diag(λ−1
1 , λ2 , ..., λn ). Ta có

AB = (U ΛU T )(U Λ−1 U T ) = U ΛΛ−1 U T = U IU T = U U T = I.

Tương tự, BA = I . Vậy AB = BA = I , hay ma trận A là khả nghịch.
Ngược lại, giả sử A là một ma trận nửa xác định dương và khả nghịch. Vì
A khả nghịch nên tồn tại ma trận A−1 sao cho AA−1 = A−1 A = I , hay A−1 giao

hoán với A.
Do A là đối xứng, tức là A = AT , nên I = (AA−1 )T = (A−1 )T AT = (A−1 )T A hay
(A−1 )T = A−1 . Do đó A−1 cũng là ma trận đối xứng. Khi đó, tồn tại ma trận trực

giao U để A và A−1 cùng đưa được về dạng ma trận đường chéo, tức là U T AU = Λ
và U T A−1 U = Ω, trong đó Λ = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ) và Ω = diag(µ1 , µ2 , ..., µn ); λi
và µi

0

0 với mọi i = 1, 2, ..., n.

Từ đó suy ra
I = AA−1 = (U ΛU T )(U ΩU T ) = U ΛΩU T .

Đẳng thức này tương đương với U T U = I = ΛΩ = diag(λi µi ). Do đó λi µi = 1 với
mọi i = 1, 2, ..., n. Do λi


0 và λi µi = 1 nên λi > 0 với mọi i = 1, 2, ..., n. Vậy A là

một ma trận xác định dương.
Hệ quả 1.2.5. Nếu A là một ma trận xác định dương thì A−1 cũng là một ma
trận xác định dương.


9

Chứng minh. Theo chứng minh Tính chất 1.2.4, nếu λi > 0 là các giá trị riêng
−1
của A thì các giá trị riêng của ma trận A−1 là µi = λ−1
i > 0. Do đó ma trận A

cũng là một ma trận xác định dương.

1.3

Giá trị kỳ dị của ma trận

Nhắc lại, một số phức λ được gọi là một giá trị riêng của ma trận A ∈ Mn (C)
nếu tồn tại một vectơ v ∈ Cn , v = 0 sao cho Av = λv . Vectơ v trong đẳng thức
trên được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận A.
Nếu v là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận A ∈ Mn (C) thì
αv (với α ∈ C, α = 0) cũng một là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ. Vì vậy,

ta thường xét vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là xét các vectơ riêng đơn vị
tương ứng với mỗi giá trị riêng của một ma trận.
Chú ý rằng giá trị riêng của một ma trận không đổi qua phép biến đổi unita,
tức là giá trị riêng của ma trận A ∈ Mn (C) và của ma trận U ∗ AU là giống nhau,

với U ∈ Mn (C) là một ma trận unita.
Thật vậy, vì U ∗ U = I nên U ∗ AU − λI = U ∗ AU − λU ∗ U = U ∗ (A − λI)U . Do đó
det(U ∗ AU − λI) = det(A − λI).

Đẳng thức này chứng tỏ hai ma trận A và U ∗ AU có cùng giá trị riêng.
Định nghĩa 1.3.1. Cho A ∈ Mn (C). Gọi µ1 , µ2 , ..., µn
ma trận A∗ A. Khi đó s1 =

√

µ1 , s2 =

0 là các giá trị riêng của

√
√
µ2 , ..., sn = µn được gọi là các giá trị kỳ

dị của ma trận A.
Như thế s1 , s2 , ..., sn là các giá trị kỳ dị của ma trận A khi và chỉ khi s21 , s22 , ..., s2n
là các giá trị riêng của ma trận A∗ A.


10

Nhận xét 1.3.2. Cho A ∈ Mn (C). Nếu A là một ma trận xác định dương thì
các giá trị kỳ dị của A và các giá trị riêng của A là trùng nhau.
Chứng minh. Giả sử A là một ma trận xác định dương. Khi đó tồn tại một
ma trận unita U sao cho U AU ∗ = Λ, trong đó Λ = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ); λi > 0,
(i = 1, 2, ..., n) là các giá trị riêng của A.


Vì A∗ = A nên AA∗ = U ∗ ΛU U ∗ ΛU = U ∗ Λ2 U , suy ra các giá trị riêng của AA∗
nằm trên đường chéo chính của Λ2 , tức là bằng λ21 , λ22 , ..., λ2n .
Theo Định nghĩa 1.3.1, ta suy ra λ1 , λ2 , ..., λn là các giá trị kỳ dị ủa A. Vì vậy,
giá trị riêng và giá trị kỳ dị của A trùng nhau.

1.4

Định lý phân tích phổ

Định lý 1.4.1 ([1]). Cho λ1 > λ2 > ... > λk là các giá trị riêng của ma trận
Hermite A ∈ Mn (C). Khi đó A được phân tích dưới dạng
k

A=

λj Pj ,
j=1

trong đó Pj là phép chiếu trực giao lên không gian vectơ con sinh bởi các vectơ
riêng tương ứng với các giá trị riêng λj .
Định lý 1.4.2 ([2]). Mọi ma trận A ∈ Mn (C) có thể biểu diễn được dưới dạng
A = U diag(λ1 , λ2 , ..., λn )V,

trong đó, U và V là các ma trận unita, λi (i = 1, 2, ..., n) là các giá trị riêng của
A. Đặc biệt, nếu A là một ma trận nửa xác dịnh dương thì tồn tại ma trận unita
U sao A = U diag(λ1 , λ2 , ..., λn )U ∗ .

Từ Định lý phân tích phổ, ta có định nghĩa sau về giá trị ma trận của một
hàm số thực.



11

Định nghĩa 1.4.3. Cho f : I ⊆ R → R là một hàm số. Cho A ∈ Mn (C) sao cho
k

các giá trị riêng λi của A chứa trong I , và A =

λj Pj là sự phân tích phổ của
j=1

A. Khi đó ta định nghĩa
k

f (A) :=

f (λj )Pj .
j=1

1.5
1.5.1

Các loại trung bình số và trung bình ma trận
Trung bình Heron

Định nghĩa 1.5.1. Cho a, b là hai số thực không âm và ν ∈ [0; 1]. Trung bình
Heron của a và b là đại lượng
√
a+b

Fν (a, b) = (1 − ν) ab + ν
.
2
√
Nhận xét 1.5.2. F0 (a, b) = ab là trung bình hình học (hay cịn gọi là trung
a+b
bình nhân) của a và b, F1 (a, b) =
là trung bình số học (hay cịn gọi là trung
2
bình cộng) của a và b.

Trung bình Heron của a và b còn được viết dưới dạng
√
1 √
a+ b
Fν (a, b) = ν
2

2

√
+ (1 − 2ν) ab.

Bất đẳng thức Heron được phát biểu như sau:
√
ab

1.5.2

Fν (a, b)


a+b
, ∀ν ∈ [0; 1].
2

Trung bình Heinz

Định nghĩa 1.5.3. Cho a, b là hai số thực dương và ν ∈ [0; 1]. Trung bình Heinz
của a và b là đại lượng
Hν (a, b) =

aν b1−ν + a1−ν bν
.
2


12

Nhận xét 1.5.4. H0 (a, b) = H1 (a, b) là trung bình số học, H 12 (a, b) là trung bình
hình học của a và b.
Bất đẳng thức Heinz được phát biểu như sau:
√
ab

1.5.3

Hν (a, b)

a+b
, ∀ν ∈ [0; 1].

2

Trung bình hình học và trung bình số học của hai ma
trận

Định nghĩa 1.5.5. Cho A, B ∈ Mn (C) là các ma trận xác định dương và ν ∈
[0; 1]. Trung bình hình học trọng số ν của A và B , kí hiệu là A#ν B , được định

nghĩa bởi
1

1

1

1

A#ν B = A 2 (A− 2 BA− 2 )1−ν A 2 .
1
thì đại lượng này được gọi tắt là trung bình hình học của
2
hai ma trận A, B và được kí hiệu là A#B .

Đặc biệt, khi ν =

Chúng ta thấy rằng A#ν B = B#1−ν A với mọi 0

ν

1. Khi A và B giao


hốn thì A#ν B = Aν B 1−ν .
Định nghĩa 1.5.6. Cho A, B ∈ Mn (C) là các ma trận xác định dương và ν ∈
[0; 1]. Trung bình số học trọng số ν của A và B , kí hiệu là A∇ν B , được định

nghĩa bởi
A∇ν B = νA + (1 − ν)B.
1
thì đại lượng này được gọi tắt là trung bình số học của
2
hai ma trận A, B và được kí hiệu là A∇B .

Đặc biệt, khi ν =


13

1.6

Chuẩn của ma trận

Định nghĩa 1.6.1. Với mọi ma trận A ∈ Mn (C), chuẩn toán tử của A là số thực
không âm được định nghĩa bởi công thức
||A|| = sup{||Ax|| : x ∈ Cn , ||x||

1},

1

trong đó ||x|| = x, x 2 , ∀x ∈ Cn .

Định nghĩa 1.6.2. Trong không gian các ma trận phức Mn (C), chuẩn HilbertSchmidt (còn gọi là chuẩn l2 , chuẩn Frobenius hay chuẩn Schur ) của ma trận
A = [aij ] ∈ Mn (C) được định nghĩa bởi
n

1
2

n

|aij |2

||A||2 =

= Tr|A|2

1
2

1
2

n

s2j (A)

=

i=1 j=1

,


j=1
1

trong đó, Tr ký hiệu cho vết của ma trận, |A| = (A∗ A) 2 và s1 (A)

s2 (A)

...

sn (A) là các giá trị kỳ dị của ma trận A.

Định nghĩa 1.6.3. Trong không gian các ma trận phức Mn (C), một chuẩn |||·|||
được gọi là bất biến unita nếu |||U AV ||| = |||A||| với mọi A ∈ Mn (C) và với mọi
ma trận unita U, V ∈ Mn (C).
Rõ ràng chuẩn Hilbert-Schmidt là bất biến unita.
Ngoài chuẩn || · ||2 , người ta còn xét các chuẩn || · ||1 , || · ||∞ của một ma trận,
trong đó với A ∈ Mn (C):
n

||A||1 =

sj (A); ||A||∞ = s1 (A).
j=1





 1


Ví dụ 1.6.4. Xét ma trận A = 


−i

3i 
1





 1


∗
 ∈ M2 (C). Ta có A = 



i 

−3i 1


.




14

Khi đó
i  1

 1

A A=

∗

−3i 1

 2
 
=
 

4i 

3i 

−i

1

−4i 10


.






Đặt B =















a b 


với B = 
 . Ta tìm các số phức a, b, c, d để B là ma trận



1

(A∗ A) 2

c d

nửa xác định dương thỏa mãn B 2 = A∗ A.
Ta có




 a2 + bc (a + d)b

B =A A⇔

∗

2

bc + d2

(a + d)c





  2
 
=
 


4i 

−4i 10


.


Giải hệ phương trình trên, ta tìm được b = i; c = −i; a = 1; d = 3 là các số phức
thỏa mãn.




 1

Với B = 






i 

−i 3

 1



 thì |A| = 



i 


. Khi đó


−i 3





 1−λ

det(|A| − λI) = 0 ⇔ 

−i

i
3−λ



 = 0 ⇔ λ2 − 4λ + 2 = 0.


√

√

Phương trình này có hai nghiệm là λ1 = 2 + 2; λ2 = 2 − 2.
Do đó các giá trị riêng của ma trận |A| là λ1 và λ2 . Tức là, các giá trị kỳ dị của
A là λ1 = 2 +

√

2 và λ2 = 2 −

√
2.

Từ đó suy ra
(i) Nếu tính theo các phần tử của ma trận A thì
1
2

2

|aij |2

||A||2 =
i,j=1

=

√

12 + 32 + 12 + 12 = 2 3.


15

Nếu tính theo vết của ma trận |A| thì
||A||2 = Tr|A|2

1
2

=

√

√
2 + 10 = 2 3.

Nếu tính theo các giá trị kỳ dị của ma trận A thì
1
2

2

s2j (A)

||A||2 =

=


2+

√
2

2

+ 2−

√

2

2

√
= 2 3.

j=1

(ii) Chuẩn || · ||1 của ma trận A là
2

||A||1 =

sj (A) = 2 +

√

2 + 2−


√
2 = 4.

j=1

(iii) Chuẩn || · ||∞ của ma trận A là
||A||∞ = s1 (A) = 2 +

√

2.

Trong các chương sau của luận văn, chúng tôi chủ yếu xét các bất đẳng thức
ma trận ứng với chuẩn Hilbert-Schmidt.


16

Chương 2
Một số cải tiến của các bất đẳng
thức Young, Heinz, Heron và các
bất đẳng thức ma trận tương ứng
Trong chương này chúng tơi trình bày một số cải tiến của các bất đẳng thức
Young, Heinz, Heron và các bất đẳng thức ma trận tương ứng. Ở phần trình
bày các bất đẳng thức ma trận, bên cạnh các bất đẳng thức với chuẩn HilbertSchmidt là chủ yếu, chúng tôi sẽ chỉ ra một số bất đẳng thức dạng vết và dạng
định thức.
Các khái niệm và kết quả trong chương này được trình bày lại từ các tài liệu
[3], [4], [5], [6], [7], [9], [10], [11].


2.1

Một số cải tiến của bất đẳng thức Young và
dạng ma trận tương ứng

Cho a, b là hai số thực không âm và ν ∈ [0; 1]. Bất đẳng thức Young cổ điển
phát biểu rằng
aν b1−ν

νa + (1 − ν)b.

(2.1.1)


17

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức này. Sau đây là một cách chứng
minh sử dụng hàm lồi.
Xét hàm số f (x) = ex . Do f ”(x) = ex > 0, ∀x ∈ R, nên f (x) là một hàm lồi
trên R. Do đó, với mọi số thực dương a, b và mọi ν ∈ [0; 1], ta có
ν 1−ν

aν b1−ν = eln(a

b

)

= eν ln a+(1−ν) ln b


νeln a + (1 − ν)eln b = νa + (1 − ν)b.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Nhận xét 2.1.1. Cho p > 1, q > 1 là các số thực thỏa mãn
1
p

1 1
+ = 1. Bằng
p
q

1
q

cách đặt ν = , ta có ν ∈ (0; 1) và 1 − ν = . Khi đó, bất đẳng thức (2.1.1) có
thể viết lại dưới dạng
ap b q
+
p
q

(2.1.2)

ab

với mọi số thực không âm a và b.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = ap−1 .
Ngược lại, từ bất đẳng thức (2.1.2), bằng cách đặt


1
= ν , ta nhận lại được
p

bất đẳng thức (2.1.1).
Mệnh đề 2.1.2. Với mọi A, B ∈ Mn (C) là các ma trận xác định dương và
ν ∈ (0; 1), ta ln có
A#ν B

νA + (1 − ν)B.

(2.1.3)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B .
Chứng minh. Trong bất đẳng thức (2.1.1), cho a = 1, ta được
b1−ν
1

ν + (1 − ν)b.

1

(2.1.4)

Để ý rằng toán tử X = A− 2 BA− 2 có phổ dương nên từ bất đẳng thức (2.1.4),
ta suy ra
X 1−ν

νI + (1 − ν)X



18
1

1

1

(A− 2 BA− 2 )1−ν

hay

1

νI + (1 − ν)(A− 2 BA− 2 ).
1

Nhân hai vế của bất đẳng thức này với A 2 vào bên trái và bên phải, ta được
1

1

1

1

A 2 (A− 2 BA− 2 )1−ν A 2

hay


1

1

1

1

1

1

νA 2 IA 2 + (1 − ν)A 2 (A− 2 BA− 2 )A 2

A#ν B

νA + (1 − ν)B.

Trong bất đẳng thức (2.1.4), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = 1. Do
đó, trong bất đẳng thức (2.1.3), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = I , tức
1

1

là A− 2 BA− 2 = I hay A = B .
Ta có điều phải chứng minh.
Một bất đẳng thức tổng quát hóa của bất đẳng thức (2.1.3) được chỉ ra ở
mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử B, C ∈ Mn (C) sao cho B xác định dương và C khả

nghịch. Đặt A = C ∗ C . Khi đó, với mọi 0
C ∗ (C ∗−1 BC −1 )1−ν C

ν

1, ta có

νA + (1 − ν)B.
1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B . Khi C = A 2 ta nhận lại được bất đẳng
thức (2.1.3).
Nhận xét 2.1.4. Một dạng ma trận khác của Bất đẳng thức (2.1.2) dựa vào
giá trị kỳ dị được đưa ra bởi Ando [3]. Cụ thể, nếu A, B ∈ Mn (C) là các ma trận
nửa xác định dương thì
sj (AB)

sj

Ap B q
+
p
q

(2.1.5)

với mọi j = 1, 2, ..., n.
Bất đẳng thức (2.1.5) được viết lại dưới một dạng khác là
sj (Aν B 1−ν )


sj (νA + (1 − ν)B)

(2.1.6)


19

với mọi j = 1, 2, ..., n.
Từ đó ta nhận được một bất đẳng thức dạng vết tương ứng với bất đẳng thức
(2.1.1) như sau:
Tr|Aν B 1−ν |

Tr(νA + (1 − ν)B).

Thật vậy, từ bất đẳng thức (2.1.6) ta suy ra
n

n
ν

Tr|A B

1−ν

ν

|=

sj (A B


1−ν

sj (νA + (1 − ν)B) = Tr(νA + (1 − ν)B).

)
j=1

j=1

Một dạng định thức của bất đẳng thức Young (2.1.1) được đưa ra bởi Horn [6]
như sau:
det(Aν B 1−ν )

det(νA + (1 − ν)B).

Bhatia, Parthasarathy [4] và Kosaki [9] đã chứng minh được rằng nếu A, B, X ∈
Mn (C) sao cho A và B là các ma trận nửa xác định dương thì với mọi ν ∈ [0; 1],

ta có
Aν XB 1−ν

νAX + (1 − ν)XB

2

2.

Sau đây, chúng tơi trình bày một số dạng cải tiến của bất đẳng thức Young.

2.1.1


Dạng cải tiến 1

Định lý 2.1.5 ([7]). Với mọi số thực a, b dương và ν ∈ [0; 1], ta có
aν b1−ν + r

√

a−

√
b

2

νa + (1 − ν)b,

trong đó r = min{ν, 1 − ν}.
Chứng minh. Nếu ν =
Nếu ν <

1
thì r = ν và
2

1
thì bất đẳng thức (2.1.7) trở thành đẳng thức.
2

νa + (1 − ν)b − ν


√

a−

√

2

b

√
= 2ν ab + (1 − 2ν)b

(2.1.7)


20

(ab)ν b1−2ν
= aν b1−ν .

Do đó
νa + (1 − ν)b

Nếu 1 − ν <

√
√
a− b


ν

2

+ aν b1−ν .

1
thì r = 1 − ν và
2

νa + (1 − ν)b − (1 − ν)

√

a−

√

2

b

√
= (2ν − 1)a + 2(1 − ν) ab
a2ν−1 (ab)ν
= aν b1−ν .

Do đó
νa + (1 − ν)b


(1 − ν)

√

a−

√
b

2

+ aν b1−ν .

Vậy trong mọi trường hợp, bất đẳng thức (2.1.7) đều đúng.
Đối với ma trận, ta có bất đẳng thức cải tiến tương ứng thông qua mệnh đề
sau.
Mệnh đề 2.1.6 ([7]). Cho A, B ∈ Mn (C) là các ma trận nửa xác định dương.
Với mọi 0

ν

1, ta ln có

Tr|Aν B 1−ν | + r

√

√


TrA − TrB

2

Tr(νA + (1 − ν)B),

trong đó r = min{ν; 1 − ν}.
Chứng minh. Từ bất đẳng thức (2.1.7), ta nhận được
1

νsj (A) + (1 − ν)sj (B)

1

(B) + r sj2 (A) − sj2 (B)
sνj (A)s1−ν
j

2

,


21

với mọi j = 1, 2, .., n.
Vì vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
Tr(νA + (1 − ν)B)
= ν TrA + (1 − ν)TrB
n


(νsj (A) + (1 − ν)sj (B))

=
j=1

ν

sj (A )sj (B

1−ν

n

n

n

n



n

1
2

n

sj (Aν )sj (B 1−ν ) + r TrA + TrB − 2

j=1

√

√

1
2

n

sj (B)

sj (A)
j=1

= Tr|Aν B 1−ν | + r

1

sj2 (A)sj2 (B)
j=1

j=1

j=1

j=1

1


sj (B) − 2

sj (A) +

)+r




j=1

2

TrA − TrB

.

Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.1.7. Bất đẳng thức ma trận tương ứng với cải tiến (2.1.7) không
đúng đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, tức là bất đẳng thức sau không đúng:
Aν XB 1−ν

1

1

+ r A 2 X − XB 2
2


2

νAX + (1 − ν)XB
2

2,

với mọi A, B, X ∈ Mn (C) sao cho A và B là các ma trận nửa xác định dương và
với mọi ν ∈ [0; 1], trong đó, r = min{ν, 1 − ν}.




2 0
1 0
1




Thật vậy, xét A = 
,B = 
 , X = I và ν = .
2




0 3


0 0

Ta có
1

1

||A 2 B 2 ||2 =

và

√

1

1

√
√
1
( 2 − 1)2 + ( 3)2 , r =
2
√
3 2
3 2 3 2
+
=
.
2
2

2

2, ||A 2 − B 2 ||2 =

A+B
2

=
2


22

Rõ ràng
1

Aν XB 1−ν

1

+ r A 2 X − XB 2
2

2

√
√
1 √
2+
( 2 − 1)2 + ( 3)2

2
√
3 2
>
= νAX + (1 − ν)XB
2
=

2

2.

Một cải tiến của bất đẳng thức Young (2.1.1) dạng định thức được F. Kittaneh và Y. Manasrah chỉ ra ở định lý sau.
Định lý 2.1.8 ([7]). Cho A, B ∈ Mn (C) là các ma trận nửa xác định dương. Khi
đó, với mọi 0

1, ta có

ν

det(Aν B 1−ν ) + rn det(A + B − 2A#B)

det(νA + (1 − ν)B)

(2.1.8)

trong đó, r = min{ν; 1 − ν}.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức (2.1.7), ta thu được
1


1

νsj (B − 2 AB − 2 ) + (1 − ν)

1

1

1

1

2

1

sνj (B − 2 AB − 2 ) + r sj2 (B − 2 AB − 2 ) − 1)

,

với mọi j = 1, 2, .., n.
Vì vậy
n

det νB

− 21

AB


− 12

+ (1 − ν)I

1

1

νsj (B − 2 AB − 2 ) + 1 − ν

=
j=1
n

1

1

1

1

1

sνj (B − 2 AB − 2 ) + r sj2 (B − 2 AB − 2 ) − 1

2

j=1
n


n
1
1
sνj (B − 2 AB − 2 ) + rn

j=1

= det (B
1

1

1

2

1

sj2 (B − 2 AB − 2 ) − 1
j=1

− 12

AB

− 12 ν

n


) + r det (B

− 12

AB

− 12

1
2

) −1

Nhân det(B 2 ) vào bên trái và bên phải mỗi vế, ta được điều phải chứng minh.

2

.


23

Khi xét chuẩn bất biến unita ||| · |||, ta có bất đẳng thức ma trận cải tiến của
bất đẳng thức (2.1.7) thông qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.9 ([7]). Cho A, B, X ∈ Mn (C) sao cho A và B là các ma trận nửa
xác định dương. Khi đó, với mọi ν ∈ [0; 1], ta có
Aν XB 1−ν

2


|||AX||| −

+r

|||XB|||

ν |||AX||| + (1 − ν) |||XB||| ,

trong đó, r = min{ν, 1 − ν}.
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức

|||AX|||ν .|||XB|||1−ν và bất

Aν XB 1−ν

đẳng thức (2.1.7), ta được
Aν XB 1−ν

2

+r

|||AX||| −

|||XB|||

|||AX|||ν |||XB|||1−ν + r

2


|||AX||| −

|||XB|||

ν |||AX||| + (1 − ν) |||XB||| .

Ta có điều phải chứng minh.

2.1.2

Dạng cải tiến 2

Định lý 2.1.10 ([5]). Với mọi số thực a
(aν b1−ν )2 + r2 (a − b)2

0, b

0 và ν ∈ [0; 1], ta ln có

(νa + (1 − ν)b)2 ,

(2.1.9)

trong đó, r = min{ν, 1 − ν}.
Chứng minh.
1
2

Trường hợp 1: ν = 1 − ν . Khi đó r = . Bất đẳng thức (2.1.9) trở thành đẳng
thức.