KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

NHÓM PI – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

Mã đề thi 102

ĐỀ THAM KHẢO
Đề thi có 7 trang
NỘI DUNG ĐỀ
Câu 1: Số phức z nào sau đây thỏa z  5 và z là số thuần ảo?
C. z  5i .

B. z  2  3i .

A. z  5 .

D. z   5i .

Câu 2: Hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng a 3 . Khi đó diện tích tồn phần của hình
trụ bằng
A. 2 a 2





3 1 .









C.  a 2 3 .

B.  a 2 1  3 .

D. 2 a 2 1  3 .

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 4 . Tính thể tích khối lăng trụ trên.
A. 16 3 .

B. 16 .

C.

16 3
.
3

D. 16 2 .






Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vector a  2;5; 6 . Hỏi vector nào sau đây cùng
phương với vector a ?



C. u   4;10; 12  .



D. u  1;5; 3  .

A. u  4;10;12 .

B. u  1;5;3 .

Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 người ngồi xung quanh 1 chiếc bàn hình trịn có 8 ghế trống?
A. 6! .
B. 7 ! .
C. 8 ! .
D. 8 .

x4
Câu 6: Hàm số y  
 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây?
2
A. ; 0 .
B. ;1 .
C. 1;  .


















D. 3; 4 .

Câu 7: Một CSN có số hạng đầu là u1  2 , công bội q  5 , Sn  7812 . Tìm n ?
A. n  6 .

B. n  7 .

C. n  8 .





D. n  9 .


Câu 8: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  ln x  1 tại điểm có hồnh độ x  2 là?
A.

1
.
3 ln 2

C. ln 2 .

B. 1 .

D.

1
.
3

Câu 9: Tìm điểm cực đại x 0 của hàm số y  x 3  3x  1 .
A. x 0  1 .

C. x 0  1 .

B. x 0  0 .



D. x 0  2 .




Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số y  log2 x  1  1 .









A. D  ;1 .
B. D  3;  .
C. D  1;  .
Câu 11: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

D. D 



\ 3 .

Trang 1/7 - Mã đề thi 102


A.

 0dx  C

(C là hằng số).


1

 x dx  ln x

B.

 C (C là hằng số).

x  1
C.  x dx 
D.  dx  x  C (C là hằng số).
 C (C là hằng số).
 1
2x  1
Câu 12: Cho hàm số y 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x 2
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .



C. Hàm số đã cho đồng biến trên  ; 0  .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên 1;   .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên

Câu 13: Tích phân
2

A. e  1 .


1 2x
e dx
0



\ 2 .

bằng?



e2  1
B.
.
2

Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  5 

5
A.  .
2

B.



C. 2 e 2  1 .


1
.
5

D.

e 1
.
2

1 
1
trên đoạn  ; 5  bằng:
x
2 
D. 5 .

C. 3 .

Câu 15: Cho hai hàm số y  loga x , y  logb x (với a,b là hai số thực dương khác 1) có đồ thị lần lượt là

C1  , C 2  như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
 C1 

y

O

x


1

 C2 
A. 0  a  1  b.

B. 0  a  b  1 .

C. 0  b  1  a.

D. 0  b  a  1.

 

Câu 16: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y  x 2  4x  3 , y  x  3 (phần tơ đậm trong

 

hình vẽ). Diện tích của H bằng
y

8

3

O 1

3

5x


37
109
454
91
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
6
25
5
Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số
phức 1  i;4  i;1  5i . Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
A.

Trang 2/7 - Mã đề thi 102


1
5
.
B. .
C. 2 2 .
D. 2 .
2
2

Câu 18: Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góc. Biết AB  a, AC  2a, AD  3a .
Tính thể tích V của khối tứ diện đó:
A.

A. V  6a 3 .

B. V  2a 3 .

C. V  a 3 .
D. V  3a 3 .

1
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a   1; 1;  , b  m;2n  1; m  2n . Xác định tích m.n
2

khi 2 vecto cùng phương.
1
A. 1.
B. 1 .
C. 4.
D.  .
2
Câu 20: Cho hình nón đỉnh S, đường trịn đáy tâm O bán kính R. Biết SO  h . Độ dài đường sinh bằng?





A. h 2  R2 .
B. h 2  R2 .

C. R2  h 2 .
D. R2  h 2 .
Câu 21: Cho hình lăng trụ đều ABC .AB C  có cạnh đáy bằng 1 , cạnh bên bằng 2 . Gọi C 1 là trung
điểm của CC  . Tính cơsin của góc giữa hai đường thẳng BC 1 và AB  .
2
2
2
2
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
4
8
3
Câu 22: Gọi M , N là các điểm biểu diễn của các số phức w1  4  i và w2  4  5i . Tọa độ trung điểm

A.

I của đoạn thẳng MN là:

A. I (3; 4) .

B. I (4; 3) .

D. I (1;2) .


C. I (0;1) .

Câu 23: Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một hình vng cạnh 2a . Diện
tích xung quanh của hình trị đã cho bằng:
A. 4 a 2 .

B.  a 2 .

C. 2 a 2 .





D.





a2
2

.






Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a  1;2;1 và b  0;2; 1 và c  m;1; 0 . Xác định m
để 3 vector đồng phẳng

1
1
.
D. m   .
4
4
3
Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  24 x trên đoạn  2;19 bằng:
A. m  1 .

C. m 

B. m  1 .

A. 32 2 .
B. 40 .
C. 32 2 .
D. 45 .
3
Câu 26: Cho hàm số y  2 x  6 x  3 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trên  ; 1  1;   .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;1 .
D. Hàm số đồng biến trên  ; 1 và 1;   .
Câu 27: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2log 2  2 x  2   log 2  x  3  2 . Tổng các phần tử của
2


S bằng:

A. 6 .
B. 4  2 .
C. 2  2 .
D. 8  2 .
Câu 28: Cho lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn nội tiếp hai mặt
đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích 6 mặt của hình lập phương, S2 là diện tích xung
quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số

S2
.
S1
Trang 3/7 - Mã đề thi 102


A.

S2 1
 .
S1 2

B.

S2 
 .
S1 2

C.


S2
 .
S1

D.

S2 
 .
S1 6

Câu 29: Cho hàm số f  x   ax 3  bx 2  cx  d có đồ thị như sau. Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương
trong các số a, b, c, d ?

A. 1.

B. 2.



C. 3.

D. 4.

x

Câu 30: Cho hàm số f x  x với x  0 . Khẳng định nào sau đây là sai?






A. f  x  x .x x 1 .

B. f  1  1 .

1
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  .
e

D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng e



1
e

.

x  1  t

x 1 y 1 z 3


, 2 : y  2  2t . Lập phương trình mặt
Câu 31: Cho hai đường thẳng 1 :
1
2
2
z  2t


phẳng P chứa 1 sao cho d  P , 2  lớn nhất.



 

 
 
A.  P  : 4x  y  3z  8  0
C.  P  : 2x  y  z  8  0

 

  

 
D.  P  : 4x  2y  z  12  0
B. P : 4x  y  z  8  0

Câu 32: Cho ba số phức z1, z 2 , z 3 thỏa mãn: z1  z 2  z 3  1 và z1  z 2  z 3  0 . Tính z  z12  z22  z 32 .
A. z  1 .
B. z  1 .
C. z  2 .
D. z  0 .
Câu 33: Một lớp học có 45 học sinh, trong đó có 35 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách
sắp xếp 45 học sinh đó vào 9 bàn sao cho mỗi bàn có 5 học sinh cùng giới tính?
A. 3150.
B. 35!.10!.9!.
C. C355 .C105 .9! .
D. C92 .10!.35! .

Câu 34: Cho hàm số f liên tục trên
A. 0.
Câu

và

Cho

tứ

diện

1

1

0

0

C. 5 .

B. 1.
35:

 f  x  dx  6 . Tính I    xf  x   x f  x  dx .

ABCD

có




2

D.



AD  ABC ,

đáy

ABC

2

3

1
.
6
thỏa

mãn

điều

kiện:


cot A  cot B  cotC
BC
CA
AB



. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của A
2
AB.AC BC .BA CACB
.
lên DB và DC . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABHK .
Trang 4/7 - Mã đề thi 102


A.

16
.
3

B.

64
.
3

C.

32

.
3

D.

40
.
3

Câu 36: Cho log2 5  a ; log5 3  b . Tính log24 15 theo a và b .

a 1  2a 
a 1  2b 
a 1  b 
a
.
B.
.
C.
.
D.
.
ab  1
ab  3
ab  3
ab  1
Câu 37: Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Xét các mệnh đề sau:
A.

(I). Nếu f   x   0, x  I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm số đồng biến

trên I .
(II). Nếu f   x   0, x  I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm số nghịch biến
trên I .
(III). Nếu f   x   0, x  I thì hàm số nghịch biến trên I .
(IV). Nếu f   x   0, x  I và f   x   0 tại vơ số điểm trên I thì hàm số f không thể nghịch biến trên
I.

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
A. I và II đúng, III và IV sai.
C. I, II và IV đúng, còn III sai.





B. I, II và III đúng, còn IV sai.
D. Cả I, II, III và IV đúng.





Câu 38: Cho mặt cầu tâm I 1;1; 2 và điểm M 2; 1;1 nằm trong mặt cầu đó. Viết phương trình

 

đường thẳng qua M song song với mặt phẳng P : 2x  3y  z  1  0 và cắt mặt cầu theo một dây
cung AB có độ dài ngắn nhất.
x  2  7t
x  3  7t



A. d : y  1  5t
B. d : y  2  5t
z  1  t
z  1  t


x  2  7t
x  7t


C. d : y  5t
D. d : y  1  5t
z  1  t
z  1  t


Câu 39: Cho hình lập phương, mỗi cặp đỉnh của nó xác định một đường thẳng. Trong các đường
thẳng đó, tìm số các cặp đường thẳng (khơng tính thứ tự) khơng đồng phẳng và khơng vng góc
với nhau.
A. 132.
B. 96.
C. 192.
D. 108.










Câu 40: Số điểm cực trị của hàm số y   x  1 3 x 2 là?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn biểu thức sau z  2  3i  z  2  i  4 5 . Biết rằng GTLN của biểu



thức trên có dạng u 5 khi và chỉ khi giá trị phần thực của z là một số thực b . Tính giá trị của ub



có thể là?
A. 16.

B. 17.

C. 18.

D. 20.
Trang 5/7 - Mã đề thi 102



Câu 42: Quanh một bờ hồ vốn trồng 20 cây xanh trong đó khơng có 3 cây nào thẳng hàng. Người ta
lên kế hoạch chỉnh trang bằng cách chặt bỏ 5 cây bao quanh hồ. Tính xác suất để trong 5 cây phải
chặt, khơng có 2 cây nào đứng cạnh nhau.
1001
455
637
351
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
1292
1292
3876
3876
1


x  x 1  m x 
 16 4 x 2  x   1 , với m là tham số thực. Tìm số
Câu 43: Cho phương trình
x 1



các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt
A. 11.
B. 9.
C. 20.
D. 4.





Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :

 x  2   y  2   z  2
2

2

2

 4 và đường thẳng

 x  1  mt

 :  y   m2  m  t . Gọi  P  ,  Q  là hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng  và tiếp xúc với

2
 z  m t
mặt cầu  S  tại các điểm A và B . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của AB bằng:
4 13  4 15
4 13  4 5

B.
3
5
12 13  20 5
20 13  12 5
C.
D.
15
15
Câu 45: Cho khối chóp S. ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình thang cân nội tiếp đường trịn

A.

đường kính AB  2a . Góc  giữa hai mặt phẳng  SBC  ,  SCD  thỏa mãn cos  

10
. Tính thể tích
5

của khối chóp S. ABCD
1
3
4
A. a 3 .
B. a 3 .
C. a 3 .
D. a 3 .
3
4
3

Câu 46: Cho hàm số f  x  có f  0   0 . Biết y  f   x  là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong

 

trong hình dưới. Hỏi hàm số g  x   f x3  x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
Câu 47: Trong không gian , cho ba điểm lần lượt di động trên ba trục tọa độ .Ox,Oy,Oz . (không trùng
với gốc tọa độ) sao cho

1



1

OA2 OB 2
cố định. Tính bán kính mặt cầu đó.
A. 1.
B. 2.

 



1
OC 2


 
hàm của hàm số f x   f  4x  tại x  1 .



1
. Biết mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu
4



C. 3.



D. 4.

Câu 48: Biết hàm số f x  f 2x có đạo hàm bằng 5 tại x  1 và đạo hàm bằng 7 tại x  2 . Tính đạo

A. 8.

B. 12.

C. 16.

D. 19.
Trang 6/7 - Mã đề thi 102







Câu 49: Cho phương trình 25x  m  2 5x  2m  1  0 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m  0;2018  để phương trình có nghiệm?
A. 2016.

B. 2015.





C. 2017.









D. 2018.

Câu 50: Cho hai số thực a,b thỏa mãn 3 a  b  2 ab  1  5 a 2  b 2 . Tập giá trị của S  a  b là?
A.  0;2  .

 1 

B.   ; 0  .
 2 

 1 
C.   ;2  .
 2 

 1 
D.  ;2  .
 2 

----------- HẾT ----------

Trang 7/7 - Mã đề thi 102


KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

Mã đề thi 102

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Đáp án có 15 trang
1-D
11-C
21-B

31-B
41-A

2-D
12-C
22-B
32-D
42-B

3-A
13-B
23-A
33-D
43-D

4-C
14-C
24-C
34-B
44-D

 

Câu 31: Cho hai đường thẳng 1 :

 
 
A.  P  : 4x  y  3z  8  0
C.  P  : 2x  y  z  8  0


BẢNG ĐÁP ÁN
5-B
6-A
15-C
16-B
25-C
26-D
35-C
36-A
45-A
46-A
----------- HẾT ----------

x 1 y 1 z 3


, 2
1
2
2

7-A
17-B
27-B
37-C
47-B

 

  


8-D
18-C
28-D
38-D
48-D

9-A
19-B
29-C
39-B
49-D

10-C
20-A
30-A
40-B
50-C

x  1  t

: y  2  2t . Lập phương trình mặt
z  2t


phẳng P chứa 1 sao cho d  P , 2  lớn nhất.



 

D.  P  : 4x  2y  z  12  0
B. P : 4x  y  z  8  0

Hướng dẫn giải.

 1 

x  1  m

x 1 y 1 z 3
:


 1 : y  1  2m m 
1
2
2
z  3  2m


 



.

 1  có VTCP a1  1; 2;2 ,  2  có VTCP a2   1;2; 2 .
Gọi A  1;2; 0    2  .
a1  a2  a1, a2 cùng phương. Lại có: A   1  (do


1  1 2  1 0  3


)  1 // 2
1
2
2

   

Đáp án - Trang 1/12 - Mã đề thi 102


 

 

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng P và đường thẳng 1 .

 









K  1  K 1  mk ; 1  2mk ;3  2mk  AK  mk ; 2mk  3;2mk  3 .




  



AK  a1  mk .1  2mk  3 . 2  2mk  3 .2  0  mk 

4
.
3

 7 5 1 
 4 1 1 
 K  ; ;   AK   ; ;  .
 3 3 3
 3 3 3
Ta có: d  P , 2   d A, P   AH  AK : cố định.




 7 5 1 
Đẳng thức xảy ra  H  K  H  ; ;  .
 3 3 3

  

 


 7 5 1 
 d  P , 2  đạt giá trị lớn nhất khi H  ; ;  .


 3 3 3
 7 5 1 
Khi đó: P qua K  ; ;  và có VTPT nP  3AK  4; 1;1 .
 3 3 3

7 
5 
1
 P : 4  x     y     z    0  P : 4x  y  z  8  0 .
3 
3 
3

Câu 32: Cho ba số phức z1, z 2 , z 3 thỏa mãn: z1  z 2  z 3  1 và z1  z 2  z 3  0 . Tính

  



 

 




 

z  z12  z22  z 32 .
A. z  1 .

C. z  2 .

B. z  1 .

D. z  0 .

Hướng dẫn giải.

z1  z2  z 3   z12  z22  z 32  2 z1z2  z2z 3  z 3z1 
1
1
1
 z  2  z1z 2  z 2z 3  z 3z1   2z1z 2z 3  
 
z
z
z 
2



 2z1z 2z 3 z1  z 2  z 3




 1
2
3 
 2z1z 2z 3 .z1  z 2  z 3  0

Vậy z  0 .
Câu 33: Một lớp học có 45 học sinh, trong đó có 35 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu
cách sắp xếp 45 học sinh đó vào 9 bàn sao cho mỗi bàn có 5 học sinh cùng giới tính?
5
5
C. C 35
.C10
.9! .

B. 35!.10!.9! .

A. 3150.

Câu 34: Cho hàm số f liên tục trên
A. 0.

và

D. C 92 .10!.35! .

0 f x  dx  6 . Tính I  0 xf x
1

1


C. 5 .

B. 1.

2

  x f x  dx .
2

D.

3

1
.
6

Hướng dẫn giải.

I 

0 xf x
1

2

  x f x  dx   xf x  dx   x f x  dx  21  f x dx
2

3


1

0

2

1

0

2

3

1

0

2

2



 

1 1
1 1
f x 3 dx 3  6.     1


3 0
2 3

 Chọn B.

Đáp án - Trang 2/12 - Mã đề thi 102


ABCD

Câu 35: Cho tứ diện

có





AD  ABC , đáy

ABC

thỏa mãn điều kiện:

cot A  cot B  cotC
BC
CA
AB
. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của




2
AB.AC BC .BA CACB
.
A lên DB và DC . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABHK .
16
64
32
40
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Ta có:
AHB vng tại H  I nằm trên trục của đường trịn ngoại tiếp AHB .
AKC vng tại K  I nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp AKC .






(Lưu ý rằng ta đã có AD  ABC )
 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCHK .
 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABHK chính là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
ABC .
Gọi S là diện tích tam giác ABC . Ta có

1
2S
S  AB.AC .sin A  sin A 
2
AB.AC

2
2
2
cos A  AB  AC  BC

2AB.AC
cos A AB 2  AC 2  BC 2
 cot A 

sin A
4S
Chứng minh tương tự ta có:

BC 2  BA2  AC 2

cot B 
4S

2
2
2
cotC  CA  CB  AB

4S
cot A  cot B  cotC AB 2  BC 2  CA2


2
8S

cot A  cot B  cotC
BC
CA
AB
AB 2  BC 2  CA2
Mà




2
AB.AC BC .BA CACB
.
AB.BC .CA
2

2
2
2
2
2
AB  BC  CA
AB  BC  CA
nên
.

8S
AB.BC .CA
Đáp án - Trang 3/12 - Mã đề thi 102


Suy ra AB.BC .CA  8S .
AB.BC .CA
Mặt khác RABC 
, suy ra R  RABC  2 .
4S
4
32
Do đó V   R 3 
.
3
3
Câu 36: Cho log2 5  a ; log5 3  b . Tính log24 15 theo a và b .
A.




a 1b

.

ab  3
Hướng dẫn giải

B.



a 1  2b
ab  1

Có: log24 15  log24 5  log24 3 

.

C.



a 1  2a
ab  3

.

1
1



log5 3  3 log5 2 log3 3  3 log3 2

D.

1
b

3
a



a
.
ab  1
1

1

3
ab





a 1b




ab  3

 Chọn A.
Câu 37: Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Xét các mệnh đề sau:

 

(I). Nếu f  x  0, x  I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm số đồng
biến trên I .

 

(II). Nếu f  x  0, x  I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì hàm số nghịch
biến trên I .

 

(III). Nếu f  x  0, x  I thì hàm số nghịch biến trên I .

 

 

(IV). Nếu f  x  0, x  I và f  x  0 tại vơ số điểm trên I thì hàm số f không thể nghịch biến
trên I
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
A. I và II đúng, III và IV sai.
C. I, II và IV đúng, còn III sai.






B. I, II và III đúng, còn IV sai.
D. Cả I, II, III và IV đúng.





Câu 38: Cho mặt cầu tâm I 1;1; 2 và điểm M 2; 1;1 nằm trong mặt cầu đó. Viết phương trình

 

đường thẳng qua M song song với mặt phẳng P : 2x  3y  z  1  0 và cắt mặt cầu theo một dây
cung AB có độ dài ngắn nhất.
x  2  7t

A. d : y  1  5t
z  1  t

x  7t

C. d : y  5t
z  1  t

Hướng dẫn giải.






x  3  7t

B. d : y  2  5t
z  1  t

x  2  7t

D. d : y  1  5t
z  1  t






Đáp án - Trang 4/12 - Mã đề thi 102


 

 
 Q  có VTPT nQ  nP  2; 3;1 .
Ta có: d  // P  , M  d   d   Q  .
Gọi H là hình chiếu của I lên d  .

Gọi Q là mặt phẳng qua M song song với P .


Ta có: AB  2 R2  IH 2 ; IH  IM : cố định  AB  2 R2  IM 2 : cố định.
Đẳng thức xảy ra  H  M .





Do đó AB ngắn nhất  H  M  H 2; 1;1 .
Khi đó:

d   IM  d  có VTCP ad  IM ; nQ   7;5;1 .
d  qua M 2; 1;1 và có VTCP ad  7;5;1

x  2  7t

 d : y  1  5t .
z  1  t

Câu 39: Cho hình lập phương, mỗi cặp đỉnh của nó xác định một đường thẳng. Trong các đường
thẳng đó, tìm số các cặp đường thẳng (khơng tính thứ tự) khơng đồng phẳng và khơng vng góc
với nhau.
A. 132.
B. 96.
C. 192.
D. 108.
Hướng dẫn giải




C

B
D

A

C'

B'
A'

D'

Chia làm ba loại gồm: 12 cạnh; 12 đường chéo phụ là đường chéo của các hình vng là mặt của
hình lập phương và 4 đường chéo chính của hình lập phương.
Đáp án - Trang 5/12 - Mã đề thi 102


+ Nhận thấy các cạnh hoặc đồng phẳng, hoặc là vng góc nên khơng có cặp cạnh nào thỏa mãn
u cầu bài tốn. Cả bốn đường chéo chính cũng vậy.
+ Chọn 1 cạnh bất kỳ, tương ứng với cạnh đó có đúng 2 đường chéo chính, và 4 đường chéo phụ





kết hợp với cạnh tạo thành cặp đường thẳng thỏa bài tốn, do đó có 12. 2  4  72 cặp.
+ Đường chéo chính và đường chéo phụ bất kỳ khơng thỏa mãn bài tốn.
+ Chọn một đường chéo phụ bất kỳ, có đúng 4 đường chéo phụ khác kết hợp với đường chéo phụ

đã chọn tạo thành cặp đường thẳng thỏa mãn u cầu bài tốn. Vì số lần đếm gấp đôi nên số cặp
12.4
đường chép phụ thỏa bài tốn là:
 24 cặp.
2
Vậy có 72  24  96 cặp đường thẳng thỏa bài toán.



Câu 40: Số điểm cực trị của hàm số y  x  1
A. 1.
Hướng dẫn giải

 3 x2

B. 2.
2
.x 3

là?

C. 3.

D. 4.

2
1
x 1
3
3

x
2
1
2
2
3
y  0  x 2  1  x
 x  1  x  x  và x  0 .
3
3
3
5
x
 Hàm số y có 2 cực trị.



y  x 1



3

2










x  x 1

3

 y  x 2 









 Chọn B.
Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn biểu thức sau z  2  3i  z  2  i  4 5 . Biết rằng GTLN của
biểu thức trên có dạng u 5 khi và chỉ khi giá trị phần thực của z là một số thực b . Tính giá trị của

 ub  có thể là?

A. 16.
Hướng dẫn giải

B. 17.




C. 18.

Cho số phức của z  x  yi x ; y 

 và điểm S

D. 20.

 

có tọa độ x ; y

Biến đổi phương trình tổng 2 module bằng cơng thức tính, ta có hệ thức này:

 x  2   y  3 
2

2



 x  2    y  1
2

2

 4 5 (1)








Lấy điểm A, B tùy ý để thỏa mãn biểu thức trên. Ta chọn A 2; 3 và B 2; 1

1  SA  SB  4



5

 

Suy ra tập hợp điểm S là một đường Eclispe E có tiêu điểm là tọa độ A, B .
Có độ dài trục lớn: 2a  4 5  a  2 5
AB  2MA
Lấy điểm M 4; 4 . Dễ dàng có được 
MA  MB  4  2a





 

Suy ra M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của E






Gọi T là trung điểm AB , ta có tọa độ T 0; 2 , N đối xứng M qua T

 
Điều đó xảy ra  S  N  4; 0 

Khi đó với mọi điểm S  E , có SM  MN  2a  4 5  max  4 5  u  4





 z  b  4  ub  16 .
Đáp án - Trang 6/12 - Mã đề thi 102


Câu 42: Quanh một bờ hồ vốn trồng 20 cây xanh trong đó khơng có 3 cây nào thẳng hàng. Người
ta lên kế hoạch chỉnh trang bằng cách chặt bỏ 5 cây bao quanh hồ. Tính xác suất để trong 5 cây
phải chặt, khơng có 2 cây nào đứng cạnh nhau.
1001
455
637
351
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
1292
1292
3876
3876
Hướng dẫn giải

. . ..
A20 A1 A
2

A3

5
Chọn ngẫu nhiên 5 cây từ 20 cây: có n()  C20
cách

Gọi X là biến cố “chặt 5 cây sao cho khơng có 2 cây nào cạnh nhau”
Chọn 1 cây làm gốc, và cây này cần chặt  có 20 cách
Đánh số thứ tự các cây từ 1 đến 20
Gọi a1, a2, a 3, a 4 là số thứ tự của 4 cây tiếp theo phải chặt trong đó:

3  a1  a2  a 3  a 4  19

a1  a2  1
hay 3  a1  a2  1  a 3  2  a 4  3  16

a2  a 3  1
a  a  1

4
 3
4
Chọn ra 4 số tự nhiên a1, a2  1, a 3  2, a 4  3 từ 14 số( từ 3 đến 16) có C14
cách chọn

Ứng với mỗi cách chọn ở trên có duy nhất 1 cách xếp thứ tự từ bé đến lớn và có ln thỏa mãn trong
các số a1, a2, a 3, a 4 khơng có 2 số nào liên tiếp
Nhưng trong 5 đỉnh được chọn thì số cách chặt bị lặp lại 5 lần
Suy ra số cách chặt thỏa mãn là n(X ) 
Xác suất cần tính là P (X ) 

4
20.C 14

5

 4004 cách

n(X ) 1001

.
n() 3876








1
4
x  x  1 m x 
 16 x 2  x   1 , với m là tham số thực.
x 1


Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt
A. 11.
B. 9.
C. 20.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Điều kiện x  1 .
Câu 43: Cho phương trình

Đáp án - Trang 7/12 - Mã đề thi 102


Ta có







1
4
x  x  1 m x 

 16 x 2  x   1
x 1



1

m x 

x 1

4

1

m
Đặt t 

4

 16 x 2  x  x  x  1

x x 1

 16

x2  x
x

1


x 1
x

 m  16

4

x 1
4

x



x



1 1 .

x 1

x 1
, khi x  1 ta có 0  t  1 .
x

4




Xét hàm số f t  16t 

1
t

2



 

 1 trên khoảng 0;1 ta có f  t  16 

2
t

3



; f t  0  t 

1
.
2

Bảng biến thiên




Từ đó ta thấy, phương trình 1 có hai nghiệm thực phân biệt khi 16  m  11 .
Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài tốn.

  

Câu 44: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu S : x  2

  y  2    z  2 
2

2

2

 4 và đường thẳng

x  1  mt


 : y  m 2  m t . Gọi P , Q là hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng  và tiếp xúc

2
z  m t





  


 

với mặt cầu S tại các điểm A và B . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của AB bằng:
A.

4 13  4 5
3

20 13  12 5
15
Hướng dẫn giải
C.

B.

4 13  4 15
5

D.

12 13  20 5
15

x  1  mt


 : y  m 2  m t  x  y  z  1, m .

2

z  m t





 

   R : x  y  z  1  0 , m .

 









Mặt cầu S có tâm I 2;2;2 , R  2 và  luôn đi qua điểm cố định M 1; 0; 0 .

Đáp án - Trang 8/12 - Mã đề thi 102


 
 

IA  P  
Gọi H là giao điểm của  và IAB ta có 

   IAB    IH  IAB
IB  Q  

















 H  h/c I ,  .

Gọi N  AB  IH  N là trung điểm AB

 AB  2AN  2 IA2  IN 2  2 4  IN 2
Xét IAH : IA2  IN .IH  IN 2 

IA4
IH 2

    IH  d I ;    IM 


Ta có: d I ; R



16
IH 2

5

 AB  2 4 

16
IH 2

.

 IH  3 .

3

 4 13 4 5 
 AB  
;
  Chọn D.
5
3








Câu 45: Cho khối chóp S .ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thang cân nội tiếp đường







trịn đường kính AB  2a . Góc  giữa hai mặt phẳng SBC , SCD thỏa mãn cos  
thể tích của khối chóp S .ABCD
3
A. a 3 .
B. a 3 .
4
Hướng dẫn giải

C.



Ta có: BC  AC , BC  SA  BC  SAC

4 3
a .
3


D.

10
. Tính
5

1 3
a .
3



 
 
Trong  ABCD  vẽ AH  CD tại H , mà SA  CD  CD  SAH 
Trong SAH  vẽ AF  SH tại F , mà AF  CD  AF  SCD  tại F

AE  SBC 
  SBC  , SCD     AE , AF   EAF  
Ta có: 
AF  SCD 


Trong SAC vẽ AE  SC tại E , mà BC  AE  AE  SBC

Xét ABD vuông tại D : BD  AB 2  AD2  4a 2  a 2  a 3
Đáp án - Trang 9/12 - Mã đề thi 102


BC  AD  a

Ta có: ABCD là hình thang cân  
AC  BD  a 3

ABD đồng dạng với ACH (g.g) 

AB AD
AC .AD a 3.a a 3

 AH 


AC AH
AB
2a
2

Đặt SA  x ( x  0 )
Xét SAH vuông tại A , đường cao AF :
3
x 2. a 2
4


 AF 2 

2
2
2
2
2

3
AF
SA
AH
SA  AH
x 2  a2
4
Xét SAC vuông tại A , đường cao AE :
1

1

1



1

SA2 .AH 2

1

1



 AE 2 

SA2 .AC 2


AE 2 SA2 AC 2
SA2  AC 2
AF  SCD tại F  AF  EF  AEF vuông tại F







x 2 .3a 2
x 2  3a 2

3
x 2. a 2
4
3
3
2
x 2  a2
x 2. a 2
2
2
2 

AF
AF
x
.3
a

10
2
4
4

 cos EAF 
 cos  



.
2
2
2
AE
3 2 x 2  3a 2  5 
2
AE
x .3a
x  a
4
x 2  3a 2
1

2
1
3  5
4



 4  x 2  a 2   x 2  3a 2  8x 2  6a 2  5x 2  15a 2
2
2
3
5 x  3a
4  2

x 2  a2
4





 x 2  3a 2  x  a 3  SA  a 3
3a 2
a
4

CD  AB  2.HD  AB  2. AD 2  AH 2  2a  2 a 2 

VS .ABCD 

1
SAS
. ABCD
3

AB  CD  .AH
1

 SA.
3

2


trong hình dưới. Hỏi hàm số g x  
 



1
.a 3.
3

2a  a  . a 2 3
2



3 3
a .
4

 

Câu 46: Cho hàm số f x có f 0  0 . Biết y  f  x là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong

A. 5.
Hướng dẫn giải


B. 6.





 

 

f x 3  x có bao nhiêu điểm cực trị?

C. 7.

 

D. 9.

 

Đặt h x  f x 3  x  h  x  3x 2 f  x 3  1  0  f  x 3  

1
3x 2
Đáp án - Trang 10/12 - Mã đề thi 102





Đặt t  x 3  x  3 t thế vào phương trình trên ta được f  t  
Xét hàm số y  

1
3 2

2

 y 

3 t

3 5

9 t

1
3

3 t2

đổi dấu khi qua 0 và đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  0.



Khi vẽ đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ với đồ thị hàm số y  f  t ta thấy hai đồ thị cắt
nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc góc phần tư thứ 3 và 4, gọi 2 giao điểm lần lượt là t1  0, t2  0
 x1  3 t1 , x 2  3 t2 .

 


Như vậy ta có bảng biến thiên của hàm số h x như sau:

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h x  0 có 3 nghiệm phân biệt và đồ thị hàm số



 



h x có 2 điểm cực trị khơng nằm trên trục hồnh, do đó hàm số g x  h x

có 5 điểm cực trị.

Câu 47: Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A, B,C lần lượt di động trên ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz
(không trùng với gốc tọa độ) sao cho

1
2



1



2


1



2

1
. Biết mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc
4



OA OB
OC
với một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Hướng dẫn giải
1
1
1
1
1



  d O, ABC  2 .
2

2
2
2
4
d O, ABC
OA OB
OC

 


 





D. 4.





Vậy ABC ln tiếp xúc với mặt cầu tâm O có bán kính bằng 2.

   
đạo hàm của hàm số f x   f  4x  tại x  1 .

Câu 48: Biết hàm số f x  f 2x có đạo hàm bằng 5 tại x  1 và đạo hàm bằng 7 tại x  2 . Tính


A. 8.
Hướng dẫn giải

B. 12.

C. 16.

D. 19.











g  1  f  1  2 f  2  5
Đặt g x  f x  f 2x  g  x  f ' x  2 f  2x  
g  2  f  2  2f  4  7



 

 

 


 

 

 

     
   
 
 h  1  f  1  4 f   4   f  1  2 f  2   2  f  2   2 f   4    5  2.7  19 .

Đặt h x  f x  f 4x  h  x  f  x  4 f  4x

 Chọn D.





Câu 49: Cho phương trình 25x  m  2 5x  2m  1  0 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m  0;2018  để phương trình có nghiệm?
A. 2016.
Hướng dẫn giải

B. 2015.

C. 2017.

D. 2018.

Đáp án - Trang 11/12 - Mã đề thi 102






25x  m  2 5x  2m  1  0 (1)
t  5x t 2   m  2  t  2m  1  0  m  t  2   t 2  2t  1 2 

Vì t  2 khơng là nghiệm của phương trình (2)  m 
Ta có f   t   1 

1

t  2

2

t 2  2t  1
1
t
 f t 
t 2
t 2

t  1
0
t  3


BBT

Dựa vào BBT, ta có pt (1) có nghiệm  m   ;0   2;   . Mà m   0; 2018 và m .
Suy ra có 2018 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
 Chọn D.



 







Câu 50: Cho hai số thực a,b thỏa mãn 3 a  b  2 ab  1  5 a 2  b 2 . Tập giá trị của S  a  b là?
A.  0;2  .

 1 
B.   ; 0  .
 2 

 1 
C.   ;2  .
 2 

 1 
D.  ;2  .
 2 


Hướng dẫn giải

  
 

2
2
 3 a  b   a  b   2  6 a 2  b 2   3 a  b 
3 a  b  2 ab  1  5 a 2  b 2

 2S 2  3S  2  0
 1 
1
 S  2  S    ;2 
2
 2 
 Chọn C.


Đáp án - Trang 12/12 - Mã đề thi 102