Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 103

ĐỀ THAM KHẢO
Đề thi có 6 trang
NỘI DUNG ĐỀ
Câu 1: Có 5 bơng hoa đỏ, 6 bơng hoa trắng, 7 bơng hoa vàng. Có bao nhiêu cách chọn 3 bơng
hoa sao cho có đủ 3 màu?
A. 3.
B. 120.
C. 210.
D. 630.
Câu 2: Cho hàm số f (x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−3; 3) .
B. (−3; 0) .
C. (0; 3) .
D. (−; −3) .
Câu 3: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d , n  2 ?
A. un = u1 + n.d .

B. un = u1 + (n + 1)d .

C. un = u1 + (n − 1)d .

D. un = u1 + (n − 2)d .

C. x 5 + 2x + C .

D.

C. 1 + log3 a .

D. 3 log3 a .

Câu 4: Họ nguyên hàm của f (x ) = 5x 4 + 2 là
A. 10x + C .

B. x 5 + 2 .

1 5
x + 2x + C .
5

Câu 5: Với a là số dương tùy ý, log3 (3a ) bằng
A. log3 a .

B. 1 − log3 a .

Câu 6: Tập nghiệm của phương trình 2x +1 = 4 là

 

A. S = −3 .




B. S = 3 .

 

C. S = −1 .



D. S = 1 .

Câu 7: Hàm số nào có dạng đồ thị như hình vẽ dưới đây?

Trang 1/6 - Mã đề thi 103


A. y = −x 4 − 3x 2 − 2 .

B. y = x 3 + 3x 2 − 2 .

2

Câu 8: Biết rằng  f (x )dx = 2 và
−1

A. -5.

C. y = −x 3 + 3x 2 − 2 .


2

D. y =

2x + 1
.
x −1

2

 g(x )dx = 7 . Khi đó  4 f (x ) − g(x ) dx

bằng

−1

−1

B. 1.

C. -1.

D. 15.

( )

Câu 9: Số cho số phức z = 4 − 2i. Tìm module của số phức a = (2 + i ) i − z .
A. 85 .
B. 83.
C. 8.

D. 9.
Câu 10: Trong loạt truyện Harry Potter, Hòn Đá Phục Sinh là một trong ba Bảo Bối Tử Thần và
được cất giấu trong quả bóng Golden Snitch. Biết rằng hịn đá có dạng một bát giác đều có cạnh là
2a. Thể tích của hịn đá đó là

A.

2 3
a .
4

B.

8 2 3
a .
3

3 2 3
a .
2

C.

D.

2 2
.
3

Câu 11: Hàm số có đạo hàm f '(x ) = (x − 3)2 .(x + 4).(x − 5).x 2 . Hàm số có số cực trị là

A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 4.
Câu 12: Các nhà khoa học đã ước tính đường kính của Trái Đất vào khoảng 12.700 km tính từ lõi,
trong đó phần nước chiếm 71% diện tích bề mặt Trái Đất. Vậy diện tích phần nước trên Trái Đất có
giá trị gần nhất là bao nhiêu?
A. 360 triệu km2.
B. 350 triệu km2.
C. 1,4 tỉ km2.
D. 1,3 tỉ km2.
2x − 6
Câu 13: Phương trình có tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
là
x +1
A. y = 3 .
B. y = −1 .
C. y = −6 .
D. y = 2 .
Câu 14: Vector nào sau đây không cùng phương với vector a(3;1;2) ?
 3 1

A. b  − ; − ; −1  .
 2 2


B. b(6k ;2k ; 4k ) (k 

+


).

Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' . Tính tỉ số k =
A. k =

1
.
3

B. k =

2
.
3

D. b(3; −1; −2).

C. b(12; 4; 8).

C. k =

(

VACB
. 'D '
VABCD.A ' B 'C'D'

1
.
2


.

D. k =

)

1
.
4

Câu 16: Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn z + 2 + i z = 3 + 5i .
A. 3.

B. 2.

C. -2.

D. -3.

Câu 17: Tính thể tích vật trịn xoay khi quay đồ thị y = 9 − 4x 2 quanh trục hoành
A.

−33
.
4

B.

908

.
81

C. 18 .

D.

32
.
9

Câu 18: Cho P = loga 4 b 2 với 0  a  1 và b  0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

( )

A. P = −2 loga −b .

( )

B. P = 2 loga −b .

1
C. P = − loga −b .
2

( )

D. P =

1

log −b .
2 a

( )

Trang 2/6 - Mã đề thi 103


5

Câu 19: Kết quả của tích phân I =

 2x + 3
1

3

3

2x − 1

3
dx có dạng a + b ln 2 + c ln . Tính giá trị của
5
2x − 1 + 1

3

biểu thức P = abc − a − b − c .
A. -65.

B. -13.

C. 65.

Câu 20: Tính modun của số phức z + i =

D. 13.

2 − 3i
.
4 + 2i

17
13
19
13
.
B.
.
C.
.
D. − .
2
10
4
10
Câu 21: Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có tất cả các cạnh bằng a, tính diện tích mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S .ABCD .
A.


A. 2a 2 .

B. 4 a 2 .

C. 2 a 2 .

D.

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = xe x
A. m  .

B. m  2 2 .

2

+ mx − 2

C. m  0 .

a2
2

.

có cực trị.
D. m  2 2 .

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt cầu (S) có tâm I(1;1;0) và cắt mặt phẳng (P) theo
giao tuyến là một đường trịn có đường kính bằng 4 . Phương trình của mặt cầu (S) là
A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + z 2 = 20 .


B. (x + 1)2 + (y + 1)2 + z 2 = 12 .

C. (x − 1)2 + (y − 1)2 + z 2 = 3 .
D. (x − 1)2 + (y − 1)2 + z 2 = 20 .
Câu 24: Cho hình trụ có thiết diện song song với trục, cách trục 4cm là một hình vng có cạnh là
6cm. Tính diện tích tồn phần cùa hình trụ đó.
A. 66 (cm 2 ) .

B. 60 (cm 2 ) .

C. 30 (cm 2 ) .

D. 110 (cm 2 ) .

Câu 25: Tích tất cả các nghiệm của phương trình log22 x + log2 x + 1 = 1 .
1− 5
2

−1 − 5
2

1
.
2
Câu 26: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a có SA ⊥ ( ABCD ) và
A. 1.

B. 2


.

C. 2

.

D.

(

)

SA = a 2 . Gọi M là trung điểm SB . Tính tỉ số tan của góc giữa đường thẳng DM và ABCD .

5
.
5

10
.
5

2
.
5

2
.
5
x +1

Câu 27: Tìm m để đường thằng d : y = x − m cắt đồ thị hàm số (C ) : y =
tại hai điểm phân
x −1

A.

B.

biệt A, B sao cho AB = 3 2 .
A. m = 1 và m = −1 . B. m = 3 và m = −3 .

C.

C. m = 4 và m = −4 .

D.

D. m = 2 và m = −2 .

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề hàm số y = x 3 + 2(m − 1)x 2 + (m − 1)x + 5
dồng biến trên .
 7
A. m  (−;1] .
B. m   1;  .
 4
7

 7
C. m  (−;1)   ; +  .
D. m  1;  .

4

 4
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;3;-1), N(−1;1;1) và P(1;m-1;2). Tìm
m để tam giác MNP vng tại N.
A. -6.
B. 0.
C. -4.
D. 2.
Trang 3/6 - Mã đề thi 103


Câu 30: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
mx − 2
y=
tiếp xúc với parabol y = x 2 + 7 .
x −m +1
A. m = 7 .

C. m = 4 .

B. m = 7 .

D. với mọi m.
x −3 y +2 z +1
=
=
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
và mặt phẳng
2

1
−1
(P ) : x + y + z + 2 = 0. Đường thẳng d / nằm trong mặt phẳng (P ) , vng góc với đường thẳng d

đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P ) đến d / bằng
2

42 . Biết điểm M (5; p; q ) là

2

hình chiếu vng góc của I trên d / . Tính q − 4 p .
A. -39.
B. 9.
C. -23.

D. 29.





2

Câu 32: Cho

 sin x ln ( sin x + 2) dx =  1 −
0

trị của a + b + c ?

A. 2.

1 
  +b ln 2 − c . Với a, b, c là các số nguyên dương. Giá
a

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 33: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = DB = 1, DC = 2 . Hai mặt phẳng (ABC ),(BCD )
vuông góc với nhau. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
3
3
3
.
C. R =
.
D. R =
.
2
4
2
Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; 0; 0) , mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z + 1 = 0 và đường

A. R = 1 .

B. R =


x = 2

thẳng d : y = t
. Gọi M là hình chiếu vng góc của I trên mặt phẳng (P ), N là điểm thuộc
z = 1 + t

đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm N .
 1 3

 3 5
 5 7
5 3
A. N  2; ;  .
B. N  2; − ; −  .
C. N  2; ;  .
D. N  2; ;  .
2 2
 2 2

 2 2
 2 2

Câu 35: Giả sử z1, z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn iz + 2 − i = 1 và z1 − z2 = 2 . Giá trị lớn
nhất của z1 + z 2 là
A. 3.

B. 4.

D. 3 2 .


C. 5.

Câu 36: Cho hình lăng trụ ABC .A/B /C / có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của
A/ trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng A/C và mặt đáy

bằng 600 . Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC /A/ ) .
A.

3
13

a.

B.

3
2 13

a.

C.

2
13

a.

D.


5
2 13

a.

 a2 + b − 1 
Câu 37: Có bao nhiêu cặp số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 1 và ln 
 + 4a = a 2 + 1 ?
 3a − 1 


A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Câu 38: Cho ABC đều cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên
BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M
sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
Trang 4/6 - Mã đề thi 103


A. BM =

2a
.
3

B. BM =

a

.
3

C. BM =

a
.
4

D. BM =

3a
.
4

2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x  2 3 có tập nghiệm là a;b  . Hỏi tổng

Câu 39: Bất phương trình

a + b có giá trị là bao nhiêu?
A. -2.
B. 4.

(

Câu 40: Xét khai triển x + a

C. 3.

) (x − b )

3

6

D. 5.

, biết rằng hệ số x7 là -9 và khơng có số hạng chứa x8. Hỏi có

bao nhiêu cặp số (a;b) thỏa yêu cầu như trên?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

1 
Câu 41: Cho hàm số f x = ln  1 −  . Biết rằng f 2 + f 3 + ... + f 2018 = ln a − ln b + ln c − ln d
x2 

với a, b, c, d là các số nguyên dương, trong đó a, b, d là các số nguyên tố và a  b  c  d . Tính
P = a +b +c +d .
A. 1680.
B. 2003.
C. 1689.
D. 2021.

( )

()

()


()

(

)

( ) và g (x ) = x

Câu 42: Cho hàm số f x = x 3 + 3ax 2 + 3x + 3 có đồ thị C

( )

thị H , với a; b 

3

+ 3bx 2 + 9x + 5 có đồ

( ) và (H ) có chung ít nhất 1 điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của

. Biết C

P = a +2b ?
A. 5.

B.

21.


D. − 21.

C. -5.

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − 2i + z − 5 − 3i = 17 . Gọi M (x ; y ) là điểm biểu diễn số
phức z = x + yi trên mặt phẳng Oxy . Gọi A, a lần lượt là GTNN, GTLN của OM . Tính giá trị
T = 2A + 3a .
A. −260 .
B. −277 .
C. −292 .
D. −308 .
Câu 44: Chọn ngẫu nhiên 2 số thực a,b  0;1 . Tính xác suất để phương trình 2x 3 − 3ax 2 + b = 0
có tối đa 2 nghiệm.
1
A. .
2

2
.
3

4
.
5
y −2
x −2
z +5
= z và d’ :
=y −3=
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: x =

.
−1
2
−1
B.

C.

3
.
4

D.

Phương trình mặt phẳng ( ) qua d và tạo với d’ một góc 300 có một vecto pháp tuyến là
A. (0;1;3).
B. (2;4;4).
C. (0;1;0).
D. (1;2;1).

( )

Câu 46: Cho hàm số y = f x =

1
1
+
+ x − x − m với m là tham số. Gọi a là giá trị nguyên
x x −1


nhỏ nhất của m để hàm số có ít cực trị nhất; A là giá trị nguyên lớn nhất của m để hàm số có
nhiều cực trị nhất. Giá trị của a + A là
A. -7.
B. -4.
C. -3.
D. 4.

()

Câu 47: Cho hàm số y = f x có đạo hàm liên tục trên

( )

(

) ()

f ' x + 3x x − 2 f x = 0, x 

( )

()

và f x  0, x 

()

và f 0 = 1 . Biết

. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình


f x + m = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt?
A. −e 4  m  −1 .

B. 0  m  e 4 .

C. −e 6  m  −1 .

D. 1  m  e 4 .

Trang 5/6 - Mã đề thi 103


( )

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y + 6z − 13 = 0
và đường thẳng d :

x +1 y +2 z −1
. Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M có thể
=
=
1
1
1

kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn AMB = 60o ,

(


)

BMC = 90o ; CMA = 120o có dạng M a;b; c với a  0 . Giá trị T = a + b + c bằng

10
.
C. T = 2 .
D. T = −2 .
3
Câu 49: Cho hình lăng trụ ABC .AB C  , khoảng cách từ A đến BB  và CC  lần lượt bằng

B. T =

A. T = 1 .

(

)

(

)

3 và

2, góc giữa hai mặt phẳng BCC B  và ACC A bằng 60o . Hình chiếu vng góc của A lên mặt

phẳng

(AB C )


là trung điểm M của B C  và AM = 13 . Thể tích của khối lăng trụ

ABC .AB C  bằng

A.

26 .

B.

13 .

C.

39 .

D.

39
.
3

Câu 50: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x 2 x 2 + 1 , trục Ox và đường thẳng x = 1
a b − ln(1 + b )
với a, b, c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a + b + c là
c
A. 11.
B. 12.
C. 13.

D. 14.

bằng

----------- HẾT ----------

Trang 6/6 - Mã đề thi 103


Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 103

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Đáp án có 15 trang
1-C
11-A
21-C
31-B
41-C

2-B
12-A
22-D
32-D
42-B


3-C
13-D
23-D
33-A
43-B

4-C
14-D
24-D
34-B
44-C

BẢNG ĐÁP ÁN
5-C
6-D
15-A
16-B
25-C
26-B
35-B
36-A
45-D
46-A

7-B
8-B
17-C
18-D
27-A

28-D
37-B
38-C
47-A
48-D
x 3 y 2 z 1
Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :


2
1
1

9-A
19-A
29-B
39-D
49-B

10-B
20-B
30-A
40-C
50-C

và mặt phẳng

(P) : x  y  z  2  0. Đường thẳng d / nằm trong mặt phẳng (P) , vng góc với đường thẳng d
đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến d / bằng


42 . Biết điểm M (5; p;q ) là

hình chiếu vng góc của I trên d / . Tính q 2  4p2 .
A. -39.
B. 9.
C. -23.
Lời giải
Đáp án B.

D. 29.

x  1
x  3 y  2 z  1




Tọa độ giao điểm I là nghiệm của hệ  2
1
1  y  3  I (1; 3; 0) .
x  y  z  2  0.


z  0
Đường thẳng d / có một vectơ chỉ phương là ud /  n(P ), ud   (2; 3; 1) .


Gọi  là đường thẳng qua I , thuộc mp (P) và vng góc với d / có một vectơ chỉ phương là

u  ud / , n(P )   (4; 1;5) .



x  1  4t

Phương trình của  là  : y  3  t (t  )
z  5t

Hình chiếu M của I trên d / là giao điểm của d / và   M (1  4t; 3  t;5t ) .
Khoảng cách từ I đến d / bằng

42 nên IM  42  IM 2  42
 (4t )2  (t )2  (5t )2  42  t  1.

Với t  1 thì M(3; 4;5) .
Với t  1 thì M (5; 2; 5). p  2, q  5  q 2  4p2  9.

Đáp án - Trang 1/15 - Mã đề thi 103






2

Câu 32: Cho

 sin x ln  sin x  2 dx   1 
0


trị của a  b  c ?
A. 2.

1 
  b ln 2  c . Với a,b, c là các số nguyên dương. Giá
a

B. 3.

C. 4.
Lời giải

D. 5.

Đáp án D.




2

2

0

0

 sin x ln  sin x  2 dx    ln  sin x  2  d  cos x 

Tích phân từng phần I 




  cos x ln sin x  2





 ln 2 

2


0



 ln 2 

2




2
0


2


  cos x .
0

cos x
dx
sin x  2



2

2
cos x
1  sin2 x
 ln 2  
sin x  2
sin x  2
0

 4  sin x   3 dx  ln 2 

0



2

sin x  2


 ln 2  2x  cos x





2



0





2

2

0

0

 02  3  sin x1  2 dx  ln 2    1  3  sin x1  2 dx
1


2


Xét


0





2


0



3

  2  sin x  2  sin x  dx





x
cos
2
2
1
1

2
dx  
dx  
sin x  2
x
x
x
0 2 sin .cos
0 2 tan
2

2
2
2

dx

2

2
cos2

x
2


x
d  tan 
1
1

2
dt
dt



2
2
2
x
x
 3
tan  tan2  1 0 t  t  1 0 
1

2
2
 t    

2
2



1


1
t  
2

2   2      

arctan 


 3 
3
33 6 3 3


 2 0

1 
 I  1 
   ln 2  1  a  3;b  1; c  1  a  b  c  5
3


Câu 33: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  DB  1, DC  2 . Hai mặt phẳng (ABC ),(BCD)
vng góc với nhau. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
A. R  1 .

B. R 

3
.
2

C. R 


3
.
2

D. R 

3
.
4

Lời giải
Đáp án A.
Đáp án - Trang 2/15 - Mã đề thi 103



AH  BC
Gọi H là trung điểm của BC  
 AH  BDC
ABC  DBC




   
4AH 2  2 AB 2  AC 2   BC 2  2 1  1  BC 2  4  BC 2







4DH 2  2 DB 2  DC 2  BC 2  2  12 




 



    BC
2

2

2



 6  BC 2

Mà ABC  BCD  AH  DH  AH 2  DH 2  DA2  10  2BC 2  4  BC  3

 BC 2  BD 2  DC 2 do đó DBC vng tại D . Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là tâm
abc
ngoại tiếp của ABC  R  RABC 
 1.
4S
Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1;0;0) , mặt phẳng (P) : x  2y  2z  1  0 và đường

x  2

thẳng d : y  t
. Gọi M là hình chiếu vng góc của I trên mặt phẳng (P ), N là điểm thuộc
z  1  t

đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm N .

 1 3
 3 5
 5 7
5 3
A. N  2; ;  .
B. N  2;  ;   .
C. N  2; ;  .
D. N  2; ;  .
2 2

 2 2
 2 2
 2 2
Lời giải
Đáp án B.

x  1  t

Pt d / đi qua điểm I và vng góc với mp (P) là y  2t .
z  2t

 M (1  t; 2t; 2t )  (P )

 (1  t )  2(2t )  2(2t )  1  0  t  
7 4 4
2
 M  ; ;   IM  .
3
9 9 9

2
9

1
1
 .IM .NH  .NH .
2
3
Do đó, diện tích IMN nhỏ nhất  NH nhỏ nhất.
Gọi H là hình chiếu của N trên d thì S

IMN

N  d  N (2; n;1  n)  IN  (1; n; n  1) .
Đường thẳng d / có vtcp ud /  (1; 2; 2) , tính được IN , ud /   (2; n  3; n  2)


Đáp án - Trang 3/15 - Mã đề thi 103


2

/


 NH  d (N , d ) 

Vậy min NH 

IN , u / 
d 

ud /




5
9
2 n   
2
4 1


3
2

22  (n  3)2  (n  2)2

3


1
5

5 3
 n    N  2;  ;   .
2
2
2 2


Câu 35: Giả sử z1, z 2 là hai trong các số phức thỏa mãn iz  2  i  1 và z1  z 2  2 . Giá trị lớn
nhất của z1  z 2 là
A. 3.

B. 4.

D. 3 2 .

C. 5.
Lời giải

Đáp án B.

 





Có iz  2  i  1  z  1  2i  1 vì vậy M z  M I 1  2i ;1

 z  z2 
 z1  z 2  2OI  2 3

Do đó với A(z1), B z 2  AB  z1  z 2  2  2R  I  1
 2 



 

2
 2
Vì vậy z1  z 2  2  z1  z 2  



 z1  z 2    z1  z 2 
2

2

2 3 

2



 22  4 .

Câu 36: Cho hình lăng trụ ABC .A/B/C / có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của

A/ trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng A/C và mặt đáy
bằng 600 . Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC /A/ ) .

A.

3
13

a.

B.

3
2 13

a.

C.

2
13

a.

D.

5
2 13

a.

Lời giải
Đáp án A.

A'

C'

B'
K

A

I

C

H
B

Gọi H là trung điểm của AB  A/H  (ABC ) và A/CH  600.
Do đó A/H  CH . tan A/CH 

3a
.
2

Gọi I là hình chiếu vng góc của H trên AC , K là hình chiếu vng góc của H trên A/I

 HK  d(H ,(ACC /A/ )) .

Đáp án - Trang 4/15 - Mã đề thi 103



a 3
Ta có HI  AH .sin IAH 
; HK 
4

HI .HA/
HI 2  HA/2



Do đó d(B,(ACC /A/ ))  2d(H ,(ACC /H / ))  2HK 

3
2 13

3
13

a.

a.

 a2  b  1 
Câu 37: Có bao nhiêu cặp số thực dương a, b thỏa mãn a  b  1 và ln 
  4a  a 2  1 ?
 3a  1 


A. 0.


B. 1.

C. 2.
Lời giải

D. Vơ số.

Đáp án B.
Ta có b  1  a thay vào phương trình cịn lại, ta được

a2  1  a  1
ln
 4a  a 2  1
3a  1
 ln(a 2  a )  ln(3a  1)  a 2  4a  1
 ln(a 2  a )  (a 2  a )  ln(3a  1)  (3a  1)

 f (a 2  a )  f (3a  1) với f (x )  ln x  x
 a 2  a  3a  1  a 2  4a  1  0
a  2  3  b  1  3

a  2  3  b  1  3

 (a;b)  2  3; 1  3

(a, b  0)






Vậy có duy nhất một cặp a,b thỏa mãn.
Câu 38: Cho ABC đều cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên
BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M
sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
A. BM 

2a
.
3

B. BM 

a
.
3

C. BM 

a
.
4

D. BM 

3a
.
4

Lời giải

Đáp án C.
A

P

Q

B

M

Gọi H là trung điểm của BC  BH  CH 

H

N

C

a
.
2


a
Đặt BM = x  0  x   . Ta có: MN  2MH  a  2x, QM  BM tan 600  x 3
2

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là S (x )  (a  2x )x 3  a 3x  2 3x 2


Đáp án - Trang 5/15 - Mã đề thi 103


S (x )  3(a  4x ), S (x )  0  x 

a
4

Bảng biến thiên:
x

a
4
0

0

S  x 





3 2
a
8

S x 

Vị trí điểm M: BM 


a
2

a
4

Câu 39: Bất phương trình

2x 3  3x 2  6x  16  4  x  2 3 có tập nghiệm là a ;b  . Hỏi tổng

a  b có giá trị là bao nhiêu?
A. -2.
B. 4.

C. 3.
Lời giải

D. 5.

Đáp án D.
Điều kiện: 2  x  4 . Xét f (x )  2x 3  3x 2  6x  16  4  x trên đoạn  2; 4  .
Có f (x ) 





3 x2  x  1
3


2

2x  3x  6x  16



1





 0, x  2; 4 .

2 4x

Do đó hàm số đồng biến trên  2; 4  , bpt  f (x )  f (1)  2 3  x  1 .
So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S  [1;4]  a  b  5.



Câu 40: Xét khai triển x  a

 x  b 
3

6

, biết rằng hệ số x7 là -9 và khơng có số hạng chứa x8. Hỏi có


bao nhiêu cặp số (a;b) thỏa yêu cầu như trên?
A. 0.
B. 1.

C. 2.
Lời giải

D. 3.

Đáp án C.

 

Hệ số của Số hạng chứa x7 là : C 0 .C2 . b
3
6
Hệ số của Số hạng chứa x là :
8

C 30.C16 .

2

 b 

 

 C 31 a .C16 . b  C 32a 2.C 60


 C 31 a.C60 .

15b 2  18ab  3a 2  9
Theo bài ta có hệ 
6b  3a  0

Giải ra có các cặp nghiệm (2;1); (-2;-1).

1 
Câu 41: Cho hàm số f x  ln  1   . Biết rằng f 2  f 3  ...  f 2018  ln a  ln b  ln c  ln d
x2 

với a,b, c, d là các số nguyên dương, trong đó a,b, d là các số nguyên tố và a  b  c  d . Tính
P  a b c d .
A. 1680.
B. 2003.
C. 1689.
D. 2021.
Lời giải
Đáp án C.
1
Điều kiện: 1 
 0  x  ; 1  1; 
x2
 x2  1

 x  1 x  1
1 
x 1
x 1

f x  ln  1    ln 
.
 ln
 ln
  ln 

2
2
 x 
x 
x
x
x 

 x





 



 












Đáp án - Trang 6/15 - Mã đề thi 103


Suy ra:
1
3
 ln
2
2
2
4
f 3  ln  ln
3
3
...



f 2  ln







f 2018  ln



2017
2019
 ln
2018
2018







1
3
2
4
2017
2019
 ln  ln  ln  ...  ln
 ln
2
2
3
3
2018

2018
 3 2 4 2017 
1
2019
 ln  ln  . . ...
  ln
2
2018
 2 3 3 2018 
1
2019
 ln  ln
 0  ln 2  ln 2019  ln 2018
2
2018
  ln 2  ln 3  ln 673  ln 2018

f 2  f 3  ...  f 2018  ln



  ln 2  ln 3  ln 673  ln 2  ln 1009



 2 ln 2  ln 3  ln 673  ln 1009
 ln 3  ln 4  ln 673  ln 1009

a  3


b  4
Suy ra 
 P  1689 .
c  673
d  1009




  và g x   x

Câu 42: Cho hàm số f x  x 3  3ax 2  3x  3 có đồ thị C

 

thị H , với a;b 

3

 3bx 2  9x  5 có đồ

  và H  có chung ít nhất 1 điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của

. Biết C

P  a 2b ?
A. 5.

B.


Đáp án B.

21.

D.  21.

C. -5.
Lời giải

 
 



 f ' x  3x 2  6ax  3  0 *
1

6
a

b
x

6

x

Xét hệ phương trình 
2
a b

g ' x  3x  6bx  9  0





C  có cực trị  f ' x   0 có hai nghiệm phân biệt  f ' x   0 có hai nghiệm x , x



1



2

có dạng

a  a 2  1 a  1 .
TH1: ta có

1
1
 a  a 2  1  b  a 
 2a  a 2  1
a b
a  a2  1

 P  a  2 b  a  4a  2 a 2  1  5a +2 a 2  1


 



 

2
Xét h x  5x +2 x  1, x  ; 1  1; 

 

h' x  5



x  0
5
 0  5 x 2  1  2x  
x 
2
2
21
x2  1
25 x  1  4x
2x






Đáp án - Trang 7/15 - Mã đề thi 103


 P  21
TH2: Tương tự có P 

21 .

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  5  3i  17 . Gọi M (x ; y) là điểm biểu diễn số
phức z  x  yi trên mặt phẳng Oxy . Gọi A, a lần lượt là GTNN, GTLN của OM . Tính giá trị
T  2A  3a .
A. 260 .
B. 277 .
C. 292 .
D. 308 .
Lời giải
Đáp án B.

z  1  2i  z  5  3i  17  (x  1)2  (y  2)2  (x  5)2  (y  3)2  17

1  x  5,2  y  3
BM  CM  17


 M  đoạn thẳng BC  
Đặt B(1;2),C (1;3)  
1
7
BC  17
M (x ; y )  BC : y  x 


4
4



OM  x 2  y 2  OM 2  4y  7



2

 y 2  5y 2  56y  49

A  74
Trên đoạn 2; 3   
 T  277 .
a  43
Câu 44: Chọn ngẫu nhiên 2 số thực a, b  0;1 . Tính xác suất để phương trình 2x 3  3ax 2  b  0
có tối đa 2 nghiệm.
1
A. .
2

B.

2
.
3


3
.
4
Lời giải
C.

D.

4
.
5

Đáp án C.
Xét y  2x 3  3ax 2  b

x  0
y '  6x 2  3.2ax  0  
x  a

Đáp án - Trang 8/15 - Mã đề thi 103


Để thỏa mãn bài toán
 y(0).y(a )  0

 b(b  a )  0
 b  a3
Việc chọn ngẫu nhiên 2 điểm a, b  0;1 chính là việc chọn ngẫu nhiên điểm M (a;b) trên hệ trục
Oab
Gọi A là biến cố thỏa mãn bài tốn. Ta có  là tập hợp các điểm M (a;b) sao cho a, b  0;1 chính


là các điểm thuộc hình vng OABC trên hình vẽ, n   SOABC  1 tập hợp điểm M thỏa mãn
điều kiện bài toán là phần diện tích được giới hạn bởi đồ thị b  1,b  a 3, a  0, a  1
1

 n(A) 

 1a
0

3

da 

3
4

3
3
P  4 
1 4

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: x 

x 2
y 2
z 5
.
y 3
 z và d’ :

2
1
1

Phương trình mặt phẳng ( ) qua d và tạo với d’ một góc 300 có một vecto pháp tuyến là
A. (0;1;3).
B. (2;4;4).
C. (0;1;0).
D. (1;2;1).
Lời giải
Đáp án D.
Đường thẳng d đi qua điểm M (0;2;0) và nhận vecto chỉ phương u(1; 1;1)
Đường thẳng d ' đi qua M '(2;3; 5) và nhận vecto chỉ phương u '(2;1; 1)
Mp ( ) phải đi qua điểm M và nhận vecto pháp tuyến n vuông góc với u và

A  B  C  0

1
cos(n; u ')  cos 600  . Đặt n  (A; B;C ) thì ta phải có:  2A  B  C
1
2


 6 A2  B 2  C 2 2
Đáp án - Trang 9/15 - Mã đề thi 103


B  A  C
B  A  C




 2
2
2
2
2A  AC  C 2  0
2 3A  6 A  (A  C )  C


Ta có 2A2  AC  C 2  0  (A  C )(2A  C )  0 . Vậy A  C hoặc 2A  C .
Nếu A  C , ta có A=C=1, khi đó B  2 , suy ra n  (1;2;1) .
Nếu 2A  C ta có A  1, C  2 , khi đó B  1 , suy ra n  (1; 1; 2)

.
1
1

 x  x  m với m là tham số. Gọi a là giá trị nguyên
x x 1

 

Câu 46: Cho hàm số y  f x 

nhỏ nhất của m để hàm số có ít cực trị nhất; A là giá trị nguyên lớn nhất của m để hàm số có
nhiều cực trị nhất. Giá trị của a  A là
A. -7.
B. -4.
C. -3.

D. 4.
Lời giải
Đáp án A.

1
1

 x  x  m, x 
x x 1
1
1
x
g' x  2 
1
2
x
x
x 1

 

 

Xét g x 

 






 

1
1

2
x
x 1

 

1
1

2
x
x 1

Với x  0 thì g ' x 



Với x  0 thì g ' x 

 

g' x 

1

1

x2
x 1









 



2

 4 t2  1  t2  1

2

0





Đặt t  2x  1 t  1 




\ 0;1

2



2

2

2  0 

1



1

2x  2x  2
2

1

t  1 t  1
2

1




2



2



1
2

1
2

 t 4  6t 2  3  0  t 2  3  2 3

1 32 3
 x0
2
BBT (dễ thấy 4  g x 0  3 )
t  32 3  x 

 

Đáp án - Trang 10/15 - Mã đề thi 103





  có
 
1 điểm khi g x   m  0  a  3 .Khi đó

Đường thẳng y  m cắt g x tại nhiều nhất 3 điểm khi m  g x 0  A  4 .Khi đó f x



4 cực trị.Đương thẳng y  m cắt g x tại ít nhất



0

f x có 2 cực trị .Vậy A  4; a  3  T  7 .



Câu 47: Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên





 

f ' x  3x x  2 f x  0, x 


 



và f x  0, x 



và f 0  1 . Biết

. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình

f x  m  0 có 4 nghiệm thực phân biệt?
A. e 4  m  1 .

B. 0  m  e 4 .

C. e 6  m  1 .
Lời giải

D. 1  m  e 4 .

Đáp án A.

   
f ' x 

 6x  3x
f x 
  ln  f  x    '  6x  3x

 ln f  x   3x  x  C
 f x   e
Do f  0   1  C  0  f x   e
f ' x   0  x  0; x  2
Ta có: f ' x  3x x  2 f x  0
2

2

2

3

3x 2 x 3 C

3x 2 x 3

  



 f ' x  6x  3x 2 .e 3x

2

x 3

BBT

Đáp án - Trang 11/15 - Mã đề thi 103





 

 



 f x  m có 4 nghiệm phân biệt  m  1;e 4  m  e 4 ; 1 .

 

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  13  0
và đường thẳng d :

x 1 y 2 z 1
. Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M có thể


1
1
1

kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn AMB  60o ,






BMC  90o ; CMA  120o có dạng M a;b;c với a  0 . Giá trị T  a  b  c bằng
A. T  1 .

B. T 

10
.
3

C. T  2 .

D. T  2 .

Lời giải
Đáp án D.

Đặt AM  x  0 .
Ta có: MA  MB  MC (Do IA  IB  IC  R ).
Tam giác MAB đều nên AB  MA  x .
Tam giác MBC vuông cân tại M  BC  MB 2  x 2 .
Đáp án - Trang 12/15 - Mã đề thi 103


Tam giác MAC  AC  MA2  MC 2  2MA.MC cos AMC  x 2  x 2  2x .x .cos120o  x 3 .
Nhận thấy: AB2  BC 2  AC 2  3x 2  Tam giác ABC vng tại B.
Do đó: AC là đường kính của đường trịn (ABC).






Mặt cầu (S) có tâm I 1;2; 3 ; R  3 3 .
IA
3 3
 sin 60o 
 MI  6 .
MI
MI
Ta có: M  d  M 1  t; 2  t;1  t vì x M  0  t  1 .

Xét tam giác AMI vng tại A: sin AMI 





Khi đó: MI  6  t  2





  t  4   t  4 
2

2

2




t  0
.
 36  3t  4t  0  
t  4 l

3
2



 M 1; 2;1  T  a  b  c  1  2  1  2 .

Câu 49: Cho hình lăng trụ ABC .AB C  , khoảng cách từ A đến BB  và CC  lần lượt bằng









3 và

2, góc giữa hai mặt phẳng BCC B  và ACC A bằng 60o . Hình chiếu vng góc của A lên mặt
phẳng

AB C 


là trung điểm M

của B C  và AM  13 . Thể tích của khối lăng trụ

ABC .AB C  bằng

A.

26 .

B. 13 .

C.

39 .

D.

39
.
3

Lời giải
Đáp án B.
* Ta sử dụng bổ đề sau: “ Thể tích hình lăng trụ tam giác bất kỳ bằng tích của diện tích thiết diện
vng góc với cạnh bên và độ dài cạnh bên”.
Chứng minh bổ đề:

Xét lăng trụ hình lăng trụ ABC .AB C  có các cạnh bên AA // BB  //CC  .

Ta dựng hai mặt phẳng qua A và A vng góc với các cạnh bên và cắt hình chóp theo thiết diện
AB1C 1 và AB2C 2 .
Do ABB A và AB1B2A là các hình bình hành nên BB   B1B2  AA  BB1  B B2 .
Tương tự CC 1  C C 2 .
Đáp án - Trang 13/15 - Mã đề thi 103


Từ đó suy ra SBCC B  SBC C B  VA.BCC B  VA.BC C B .
1

1

2

2

1

1

2

2

Suy ra VABC .ABC   VAB C .AB C  AA.SAB C .
1

1

2


2

1

1

Vậy bổ đề được chứng minh.
* Giải bài toán:

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên BB  và CC  .
Theo giả thiết ta có AH  3 và AK  2 .
Ta thấy AHK là thiết diện của mặt phẳng vng góc với cạnh bên và lăng trụ ABC .AB C  .
Suy ra HK  CC   AKH  60 .
Theo định lý cosin trong tam giác AHK : AH 2  AK 2  HK 2  2AH .HK .cos AKH

 HK 2  2.2.HK .cos 600  4  3  (HK  1)2  0  HK  1 .
Tam giác AHK có AH 2  HK 2 

 

2

3

 12  22  AK 2  AHK vuông tại H .






Qua M dựng mặt phẳng song song với mặt phẳng AHK , cắt các cạnh bên AA, BB,CC  lần
lượt tại N , P,Q .
Suy ra NPQ  AHK và (NPQ)  AA  MN  AA .
Dễ thấy theo Talet thì M cũng là trung điểm PQ .
2

2

Xét tam giác NPM vuông tại P nên NM  NP  PM 





Do AM  AB C   AM  MA 
2

1



MN 2

2

 2   1 
3



 MA 
 
 
2
13
MA
 13   13 
1

Theo Pitago AA  MA2  MA2 
S AHK 

1
MA2



 3

2

2

1
13
  
.
2
2


1
MA2

39
.
3

 13 

2

2

 39 
2 39
 
.

 3 
3



1
1
3
AH .HK  . 3.1 
.
2
2

2

Theo bổ đề : VABC .AB C   AA.S AHK 

2 39 3
.
 13 .
3
2
Đáp án - Trang 14/15 - Mã đề thi 103


Câu 50: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y  x 2 x 2  1 , trục Ox và đường thẳng x  1
a b  ln(1  b )
với a,b, c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a  b  c là
c
A. 11.
B. 12.
C. 13.
D. 14.
Lời giải
Đáp án C.

bằng

1

1

Ta có S   x 2 x 2  1dx 




0

x 2 (x 2  1)

0

x2  1

1

dx   (x 3  x ).
0

x
x2  1

dx

u  x 3  x
du  (3x 2  1)dx


Đặt 
x
2
d
v


d
x

v  x  1
2

x 1

1

1

1

0

0

0

 S  (x 3  x ) x 2  1   x 2  1(3x 2  1)dx  2 2  3S   x 2  1dx
1

 4S  2 2   x  1dx
2

(*)

0



x
u  x 2  1
dx
 du 
2


Đặt 
x 1
dv  dx
v  x


1


0

1

1

0

0

x  1dx  x x  1  
2


2

x2
x2  1

1
 1 x2  1

1
d
x

2

d
x

dx 






2
x2  1
x2  1 
0
0

0
0 x 1
1
1
1
1
  x 2  1dx  2   x 2  1dx  
dx
2
x

1
0
0
0
1
1
1
 2 x 2  1dx  2  
dx
(**)
x2  1
0
0


x
x2  1  x
dx  dt 
dx  dt 

Đặt t  x  x 2  1  dt   1 



x2  1 
x2  1

1




x

x

x2

x 2  1dx  2  

dt

t

t
x2  1

dx

1


dx
x 1
1t 1 2
 0t 1

1



1

dx


0

2

1
x2  1

1 2

dx 


1

1

1
dt  ln t
1
t

1

2

 ln(1  2)

Thay vào (**) ta được 2 x 2  1dx  2  ln(1  2) 
0

Thay vào (*) ta được 4S  2 2 

1



x 2  1dx 

0

2  ln(1  2)
2

2  ln(1  2)
3 2  ln(1  2)
S 

2
8

Được a  3,b  2, c  8.
---------- HẾT ----------

Đáp án - Trang 15/15 - Mã đề thi 103