Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 101

ĐỀ THAM KHẢO
Đề thi có 7 trang
NỘI DUNG ĐỀ
Câu 1: Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
A. (−1;0).
B. (0;1).

C. (1; +).

D. (−;1).

Câu 2: Tập giá trị của hàm số y = a x (a  0;a  1) là
A.



\ 0 .

B.

D. (0; +).

C. [0; +).

.

Câu 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x ) = 3.sin x .

 3.sin xdx = −3 cos x + C .
C.  3.sin xdx = sin3 x + C .

B.  3.sin xdx = 3 cos x + C .

A.

D.

 3.sin xdx = sin 3x + C .

Câu 4: Nếu một đa giác có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là?
A. 11.
B. 10.
C. 9.
D. 8.
Câu 5: Cho cấp số cộng (un ) với số hạng u1 = −2 và công sai d = 3 . Số hạng thứ 16 của dãy là?
A. 40.

B. 41.

C. 42.
3


Câu 6: Cho f (x ) có đạo hàm f '(x ) = x .(x − 1)(x + 3) , x 
A. 3.
B. 4.
C. 2.

D. 43.
. Số điểm cực đại của hàm số đó là.
D. 1.

n

Câu 7: Tập xác định của hàm số y = ln(x − 2) là
A. .
B. (3; +) .
C. (2; +) .
2

Câu 8: Biết rằng  f (x )dx = 2 và
−1

A. -5.
Câu 9: Hàm số y =
A. 1.

2

 g(x )dx = 7 . Khi đó  4 f (x ) − g(x ) dx
C. 1.


2x − 3
có bao nhiêu điểm cực trị?
2x + 1
B. 2.
C. 0.
3

bằng

−1

−1

B. -1.

D. (0;10) .

2

D. 25.

D. 3.

2

Câu 10: Cho hàm số y = x − 3x + m . Với giá trị nào của m thì điểm cực đại trùng với gốc tọa độ?
A. m = 0 .
B. m = 1 .
C. m = 2 .
D. m = −3 .

Trang 1/7 - Mã đề thi 101


(

)

Câu 11: Nghiệm của bất phương trình log2 x + 1 + log 1 x + 1  0 là
2

A. −1  x  0 .
B. −1  x  1 .
C. x  0 .
D. −1  x  0 .
Câu 12: Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm
số y = 1 − x 2 ; y = 0 quanh trục Ox.

3
4
D.  .
.
4
3
Câu 13: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện sau 2x + 1 + 1 − 2y i = 2 2 − i + yi − x .
B. 3 .

A. 2.

C.


(

A. x = 1, y = 1 .

B. x = 1, y = −1 .

)

(

C. x = 1, y = 2 .

)

D. x = −1, y = 2 .

Câu 14: Với giá trị nào của m thì hàm số y = x 4 − 2x 2 + m có 2 điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành?
A. m  0 .
B. m  1 .
C. m = 1 .
D. m  1 .
Câu 15: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9x + 1 có hai điểm cực trị A, B. Đường thẳng qua hai điểm cực
trị song song với đường thẳng nào dưới đây?
A. −8x + y + 5 = 0 .
B. 8x − y + 3 = 0 .
C. −8x − y − 2 = 0 .
D. 8x + y + 6 = 0 .
Câu 16: Cho số phức z = a − 4i , xác định các giá trị thực của tham số a sao cho tập hợp các điểm
biểu diễn của số phức z là một đường trịn bán có bán kính R = 5.
A. a = 3.

B. a = 9.
C. a =  3.
D. a = 3.
Câu 17: Cho khối bát diện đều có độ dài của tất cả các cạnh đều a. Tính tỉ số k giữa diện tích
đường trịn ngoại tiếp mặt bên của khối đa diện và diện tích đường trịn ngoại tiếp mặt phẳng đi
cắt ngang khối đa diện và chia khối đa diện thành hai hình chóp tứ giác đều bằng nhau.
1
5
16
8
A. .
B.
C. .
D. .
.
6
9
3
9
Câu 18: Bạn Quỳnh muốn làm một buổi tiệc trà sữa đãi cả lớp, biết số lít sữa cần dùng để bạn
Quỳnh làm trà sữa là 5 lít. Tính số hộp sữa ít nhất để bạn Quỳnh phải dung để làm 5 lít trà sữa,
biết rằng mỗi hộp sữa đều có dạng hình trụ trịn giống nhau có đường kính đáy là 5cm và chiều
cao là 10cm.
A. 25 hộp.
B. 26 hộp.
C. 27 hộp.
D. 24 hộp.
Câu 19: Trong không gian cho ba điểm A(2;3; −5), B(4;0; −2) và C (2;2;1). Tìm tọa độ một điểm D
trong không gian để bốn điểm A, B,C , D tạo thành một hình bình hành.
A. (3;0;4).

B. (−1;4; −2).
C. (4; −1;4).
D. (4;2; −1).


 x2

log (x −1)
+2 2
Câu 20: Tìm tập xác định D của hàm số y = log 2 log 1 
 + 3 là

 3  2


3 

(
C. D = ( −1; −

)

A. D = 1; −1 + 57 .

(

)

B. D = 2; −1 + 57 .


)

57 ; −1 + 57 .

D. D = (1; +).

Câu 21: Nguyên hàm của hàm số f (x ) = cos(5x − 2) là
A. F(x ) = 5 sin(5x − 2) + C .

1
B. F (x ) = − sin(5x − 2) + C .
5

1
sin(5x − 2) + C .
5

D. F(x ) = −5 sin(5x − 2) + C .

C. F (x ) =

Câu 22: Biết phương trình log23 x − (m + 2)log3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x 1, x 2 . Khi đó có bao
nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn x 1x 2 = 27 ?
A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. vô số.

Trang 2/7 - Mã đề thi 101


(

) (

)

Câu 23: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện sau: 2 + 3i z − 1 + 2i z = 7 − i ?
A. z = 2 − i .

B. z = 2 + i .

(

C. z = −2 − i .

)

D. z = −2 + i .

Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ABC , SA = 2a . Tam giác ABC vuông tại B , AB = a ,
BC = 3a . Tính cosin của góc  tạo bởi hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC ) .

A. cos  =

5
.
5


B. cos  =

2 5
.
5

C. cos  =

1
.
2

D. cos  =

3
.
2

Câu 25: Cho hình nón có chiều cao h = 2 , bán kính đáy là r = 3 . Diện tích xung quanh của hình
nón đã cho bằng
A. 2 .
B. 7 3 .
C. 21 .
D. 2 21 .
Câu 26: Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua
trục là một hình vuông.
2
A. 2 a 3 .
B.  a 3 .

C. 4 a 3 .
D.  a 3.
3
Câu 27: Cho ba điểm A 3,1, 0 ; B 2,1, −1 ; C x, y, −1 . Tính x và y để A, B,C thẳng hàng.

(

A. x = 2, y = 1 .

)

(

)

(

)

B. x = 2, y = −1 .

C. x = −2, y = −1 .

D. x = 1, y = 2 .

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc
 của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2;5), B(3;1;1)?
x −1 y −2 z − 5
x − 3 y −1 z −1
A.

.
B.
.
=
=
=
=
2
−1
−4
1
−2
5
x +1 y −2 z +5
x − 3 y −1 z −1
C.
.
D.
.
=
=
=
=
2
3
−4
3
1
1
Câu 29: Cho hình chóp S .ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc, gọi O là trực tâm của tam giác

ABC . Khẳng định nào sau đây là sai?

(

)

(

A. SO ⊥ ABC .
C. VS .ABC =

1
SASB
. .SC .
6

D.

Câu 30: Tiệm cận đứng của hàm số y =
A. x = −1 .

C. y = −1 .

Câu 31: Cho các số thực y, x thỏa mãn 20201−x −y =

S = (4x 2 + 3y).(4y 2 + 3x ) + 25xy là

a
với a,b 
b


B. 430.

Câu 32: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên
g(x ) = x + f '(x )

2021

+ x + f '(x )

1
1
1
1
.
=
+
+
SO SA SB SC

2x − 2
là
x +1

B. x = 2 .

A. 605.

)


B. AB ⊥ SOC .

29 −m

D. y = 1 .

2

x + 2021
2

y − 2y + 2022

. Biết rằng GTNN của biểu thức

a
tối giản. Tính L = 2a + 3b .
b
C. 10.
D. 2.

*

và

thỏa f (x + h ) − f (x − h )  h 2, x  , h  0(1) ,

− (m 4 − 29m + 100).sin2 x − 1 ; với m là tham số và m  2 .






Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên sao cho g(x ) đạt cực tiểu tại x = 0 . S = a,....,b ; a là số nhỏ
nhất và b là số lớn nhất. Tìm GTNN của h(x ) = bx 2 + ax + 2 .
A.

3
.
4

B.

4
.
3

C. 0.

2
D. − .
3

Trang 3/7 - Mã đề thi 101


2

5
3

− ln và
Câu 33: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2  thỏa mãn f 2 ;  f  x dx =
12
2
1

()

( )

( ) dx = −5 + ln 3 . Tính giá trị của f 1 .
()
2
12
2
1 ( x + 1)

2



f x

3 1−2 2
+
.
2
2

3 1−2 2

−
.
2
2

3 5 2
−
.
2
2
z − z2
Câu 34: Cho hai số phức thỏa mãn z1 − 3 − 4i = 1 và z2 − 2 = z2 + 2i . Biết u = 1
là số thực
1 + 2i

A. ln

3 5
− .
2 2

B. ln

C. ln

D. ln

và giá trị lớn nhất của z1 − z 2 là a 5 + b 10 với a,b là các số hữu tỉ. Tính P = a 2 + b2 .
A. 1.
B. 3.

C. 2.
D. 4.
Câu 35: Cho hình tứ diện ABCD có H là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống. Biết H là tâm mặt

( )

cầu S bán kính tiếp xúc với ba cạnh AB, AC , AD . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu
ngoại tiếp khối tứ diện ABCD .
3 3R
3 3R
2 3R
4 3R
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
2
3
3
Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (R) : x − z − 3 = 0 và điểm M (1;1;1) . Gọi A là
điểm thuộc tia Oz , B là hình chiếu của A lên mặt phẳng (R) . Biết rằng tam giác MAB cân tại M ,
hãy tính diện tích tam giác MAB .

A.

A. 6 3.


B.

3 3
.
2

C.

3 123
.
2

D. 3 3.

x −1 y −2 z +1
=
=
. Viết
1
1
−4
phương trình mặt cầu có tâm I và cắt d tại hai điểm M , N sao cho S IMN = 12.
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho điểm I (3;4;0) và đường thẳng d :

A. (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 16.

B. (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 49.

C. (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 36.


D. (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 25.

Câu 38: Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vng tại A và AB = 2a, AC = 2a 3. Hình
chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa hai mặt
phẳng (SBC ) và (ABC ) bằng 300 , khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng

(SAC ) có dạng
A. 0.

a m
(với m, n là hai số nguyên dương). Tính m − n.
n
B. 2.
C. -1.

D. 1.

3

Câu 39: Cho hàm số y = x − 3x + 1 . Tập hợp tất cả các giá trị m  0 để giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên D = [m + 1; m + 2] luôn bé hơn 3 là
A. (0;2).

1 
C.  ;1  .
2 

B. (0;1).


()

 

D. (−;1) \ −2 .

(

( )

)

Câu 40: Cho tam thức bậc hai f x = ax 2 + bx + c a,b, c  , a  0 , phương trình f x = 0 có hai
nghiệm thực phân biệt x 1, x 2 . Tính tích phân I =

x2

ax +bx +c
dx .
 (2ax + b ) .e
3

2

x1

A. I = x 2 − x 1 .

B. I =


x 2 − x1
4

.

C. I = 0 .

D. I =

x 2 − x1
2

.

Trang 4/7 - Mã đề thi 101


()

Câu 41: Cho hàm số y = f x liên tục và có đạo hàm trên

(

)

, có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Phương trình f x 3 − 3x 2 = 3 m + 4 1 − m có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 4.


B. 5.

C. 6.

D. 7.

Câu 42: Xét số phức z = a + bi(a,b  ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính P = 2a + 4b khi biểu thức
z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt GTLN .

A. 22.
B. 26.
C. 24.
D. 28.
Câu 43: Bạn An muốn to màu một bảng hình vng gồm 9 ơ vng đơn vị, cố định như hình vẽ.
Bạn An dùng 3 màu để tơ các cạnh hình vng đơn vị sao cho mỗi hình vng đơn vị được tơ
đúng 2 màu, trong đó mỗi màu được tơ đúng 2 cạnh. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách tơ?

A. 29.35 .

B. 28.36 .

C. 29.36 .

()

D. 28.35 .

( )


()

Câu 44: Cho hàm số y = f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn  −5; 3  . Biết f −5  f 3  0 và
có bẳng biến thiên như hình vẽ

Bất phương trình 3x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 12x −

(

)

()

3 − x + 5 + x f x + m  0 có nghiệm đúng với

m   −5; 3 khi và chỉ khi
Trang 5/7 - Mã đề thi 101


( )
2 f ( 5 ) − 441 .

()
D. m  7 + 4 f ( −1) .

A. m  2 2 f −5 − 1465 .
C. m  2

B. m  2 2 f 1 − 25 .


()

Câu 45: Cho hàm số y = f x xác định và liên tục trên

có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi M, m

lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số y = f  3 − 2 6x − 9x 2  . Tính T = 3M + 4m ?





A. -27.
B. 23.
C. -3.
D. -23.
Câu 46: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, tam giác SAB cân

(

)

tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M là trung điểm của SD ,

(

)

(


)

mặt phẳng ABM vng góc với mặt phẳng SCD và đường thẳng AM vng góc với đường

(

)

thẳng BD . Tính thể tích khối chóp S .BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBC .
8a 3 2a 6
4a 3 2a 6
8a 3 a 6
a3 a 6
;
;
;
;
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
3
3

3 3
Câu 47: Cho hình lăng trụ ABC .A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vng góc của

A.

(

)

( )

A ' lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng P chứa BC và

vuông góc với AA ' cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng

a3 3
. Tính thể tích khối
8

chóp A '.BB 'C 'C .
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.

18
2

C.

a3 3
.
24

D.

a3 3
.
6



sin   + k  

2

2)

Câu 48: Cho biểu thức f (k ) = (k + 3k +
với k là tham số nguyên dương. Tổng tất cả các
số nguyên dương n thỏa mãn log f (1) + log f (2) + ... + log f (n ) = 1 bằng
A. 20.

B. 3.


C. 21.

D. 19.
Trang 6/7 - Mã đề thi 101


Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lần lượt cho hai mặt phẳng (P) : x − y + 2z + 1 = 0,
(Q) : 2x + y + z − 1 = 0 . Gọi (S ) là mặt cầu có tâm thuộc trục Ox , đồng thời (S ) cắt (P) theo giao
tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 2; (S ) cắt (Q) theo giao tuyến là một đường trịn có bán
kính bằng r . Tìm r sao cho chỉ có duy nhất một mặt cầu (S ) thỏa mãn điều kiện bài toán.
10
5
3 2
.
.
.
B. r =
C. r = 3.
D. r =
2
2
2
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 3 = 0 và mặt cầu

A. r =

(S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2x − 4y − 2z + 5 = 0 . Giả sử M  (P) và N  (S ) sao cho MN cùng phương với
u = (1; 0;1) và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN .
A. 3.


B. 1 + 2 2.

C. 3 2.

D. 14.

----------- HẾT ----------

Trang 7/7 - Mã đề thi 101


Nhóm Pi – GROUP LUYỆN ĐỀ
THI THỬ NÂNG CAO

KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề thi 101

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Đáp án có 14 trang
1-B
11-D
21-C
31-B
41-B

2-D
12-D
22-B

32-A
42-D

3-A
13-A
23-A
33-C
43-C

BẢNG ĐÁP ÁN
5-D
6-D
15-D
16-A
25-C
26-A
35-A
36-B
45-D
46-A

4-A
14-A
24-A
34-C
44-D

Câu 31: Cho các số thực y, x thỏa mãn 20201−x −y =

S = (4x 2 + 3y).(4y 2 + 3x ) + 25xy là

A. 605.

a
với a,b 
b

(

x 2 + 2021
y 2 − 2y + 2022

8-C
18-A
28-A
38-A
48-C

9-C
19-C
29-D
39-B
49-B

10-A
20-A
30-A
40-C
50-C

. Biết rằng GTNN của biểu thức


a
tối giản. Tính L = 2a + 3b .
b
C. 10.
D. 2.
Lời giải

B. 430.

Đáp án B.
Theo điều kiện, ta có:

7-C
17-D
27-A
37-D
47-B

*

và

)

(x 2 + 2021).2020x = (1 − y)2 + 2021 .20201−y
 x =1−y  y =1−x
Thế vào S , ta được:

S = (4x 2 + 3(1 − x )).(4(1 − x )2 + 3x ) + 25(1 − x ).x

= 16(x 2 − x )2 + 2(x 2 − x ) + 12(1)
Đặt t = x 2 − x
 1  191
(1)  g(t ) = 16t 2 + 2t + 12  min g(t ) = g  −  =
 1

 16  16
 − ; + 
 4



2


1
1
1
Trong đó t = x 2 − x =  x −  −  −
2
4
4

Vậy L = 2a + 3b = 430 .
Câu 32: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên
g(x ) = x + f '(x )

2021

+ x + f '(x )


29 −m

thỏa f (x + h ) − f (x − h )  h 2, x  , h  0(1) ,

− (m 4 − 29m + 100).sin2 x − 1 ; với m là tham số và m  2 .





Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên sao cho g(x ) đạt cực tiểu tại x = 0 . S = a,....,b ; a là số nhỏ
nhất và b là số lớn nhất. Tìm GTNN của h(x ) = bx 2 + ax + 2 .
A.

3
.
4

B.

4
.
3

C. 0.

2
D. − .
3


Lời giải
Đáp án - Trang 1/14 - Mã đề thi 101


Đáp án A.
f (x + h ) − f (x − h )
f (x + h ) − f (x )
f (x ) − f (x − h )
= 0  lim
+ lim
=0
h →0
h →0 (x + h ) − x
h →0 x − (x − h )
h
 f '(x ) + f '(x ) = 0  f '(x ) = 0

Ta có: lim

g(x ) trở thành g(x ) = x 021 + x 29 −m − (m 4 − 29m2 + 100).sin2 x − 1
g '(x ) = 2021.x 2020 + (29 − m ).x 28 −m − (m 4 − 29m 2 + 100).sin 2x − 1


2019
+ (29 − m ).(28 − m ).x 27 −m − 2.(m 4 − 29m 2 + 100).cos 2x
g ''(x ) = 2021.2020.x
 −5  m  −2
g(x ) đạt cực tiểu tại x = 0  g ''(0)  0  m 4 − 29m 2 + 100  
2  m  5

m = 2(L)

a = −5
g ''(0) = 0  m 4 − 29m 2 + 100  
; m = −5; −4; −3; 3; 4;5  
m = 5(N )
b = 5






1 3
Vậy min h x = h   = .
2 4

( )

2

5
3
− ln và
Câu 33: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2  thỏa mãn f 2 ;  f  x dx =
12
2
1

()


( )

( ) dx = −5 + ln 3 . Tính giá trị của f 1 .
()
2
12
2
1 ( x + 1)

2



f x

A. ln

3 5
− .
2 2

B. ln

3 1−2 2
+
.
2
2


C. ln

3 1−2 2
−
.
2
2

D. ln

3 5 2
−
.
2
2

Lời giải
Đáp án C.
Tích phân từng phần ta có:

( ) dx = 2 f x d  1 − 1  =  1 − 1  f x 2 + 2  1 − 1  f  x dx

 ( )  2 x + 1   2 x + 1  ( )   x + 1 2  ( )
2
1 ( x + 1)
1
1
1
2


f x

2

 1
1
−5
3
Do đó:  
−  f  x dx =
+ ln
x +1 2
12
2
1
Mặt khác theo bất đẳng thức tích phân Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có:

( )
2

2
2
2
2 1

 1
1
1




−
f x dx   
−  dx . f  x
  x + 1 2 

x
+
1
2
1
1
1


()

2

Do đó

 1

( ( ))

1

−5

2


5
3
dx =  − ln 
2
 12

2

3

  x + 1 − 2  f  (x ) dx  12 + ln 2
1

2
 1
 1
1
1  1
1
−5
3
−   
−  .k 
−  dx =
+ ln
Vì vậy dấu xảy '' = '' ra khi f  x = k 
x +1 2 x +1 2
12
2

x +1 2
1

( )

()

 k = 1 f x =

1
1
−
2 x +1
2

2

1
1 
3 1−2 2
Do đó f 1 = f 2 −  f  x dx = 2 −   −
.
dx = ln −
2 x + 1
2
2
1
1

()


()

( )

Đáp án - Trang 2/14 - Mã đề thi 101


Câu 34: Cho hai số phức thỏa mãn z1 − 3 − 4i = 1 và z2 − 2 = z2 + 2i . Biết u =

z1 − z 2
1 + 2i

là số thực

và giá trị lớn nhất của z1 − z 2 là a 5 + b 10 với a,b là các số hữu tỉ. Tính P = a 2 + b2 .
A. 1.

B. 3.

C. 2.
Lời giải

D. 4.

Đáp án C.
Với z1 = a + bi, z 2 = m + ni 
Và z1 − z 2 = k

z1 − z 2

1 + 2i

=k


a − m = k
 a − m + b − n i = k + 2ki  
b − n = 2k



(

) (

)

5

2
2

a −3 + b−4 =1
Theo giả thiết ta có 
2
 m − 2 + n2 = m2 + 2 − n

kết hợp với hai hệ phương trình trên ta có:

(


) (
(
)

)

(

)

2

2

a −3 + b−4

m = n

(

) (

)

2

=1

(k + m − 3) + (2k + m − 4 ) = 1

 2m2 + 2m ( 3k − 7 ) + 5k 2 − 22k + 24 = 0
2
  0  ( 3k − 7 ) − 2 ( 5k 2 − 22k + 24 )  0
m
2

2

(

1− 2  k  1+ 2
 z1 − z 2 = k

(

)

5  1+ 2

)

5 = 5 + 10

Vậy a = 1;b = 1; P = 2 .
Câu 35: Cho hình tứ diện ABCD có H là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống. Biết H là tâm mặt

( )

cầu S bán kính tiếp xúc với ba cạnh AB, AC , AD . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu
ngoại tiếp khối tứ diện ABCD .

A.

3 3R
.
4

B.

3 3R
.
2

4 3R
.
3
Lời giải

C.

D.

2 3R
.
3

Đáp án A.

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC , AD
Đáp án - Trang 3/14 - Mã đề thi 101



Ba tam giác vuông AHB = AHC = AHD ( AH chung và có cùng độ dài đường cao
HM = HN = HP = R = 2a )
 HB = HC = HD Hay H là tâm ngoại tiếp BCD
1
1
1
+
=
Ta có: 2
2
R BCD AH
R2
AB = AC = AD .Đặt: AB = AC = AD = x; RBCD = y; AH = h = x 2 − y 2

Ta có: RABCD =
Trong đó:

AB 2 x 2
x2
3 3R
=
=

2h
2h 2 x 2 − y 2
4

1
R2BCD


+

1
h2

=

1
R2

=

1
y2

+

1
x 2 − y2

=

(

x2

y2 x 2 − y2

)


.

Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (R) : x − z − 3 = 0 và điểm M (1;1;1) . Gọi A là
điểm thuộc tia Oz , B là hình chiếu của A lên mặt phẳng (R) . Biết rằng tam giác MAB cân tại M ,
hãy tính diện tích tam giác MAB .
A. 6 3.

B.

3 3
.
2

3 123
.
2
Lời giải

D. 3 3.

C.

Đáp án B.
Vì A  Oz nên ta gọi A(0;0;a) , B là hình chiếu của A lên mặt phẳng (R) nên tọa độ điểm B sẽ


a+3
x − z − 3 = 0
x =


2

a + 3 a − 3 
x z − a
 y = 0
 B
; 0;
thỏa mãn hệ  =
.
1
−
1
2
2




y = 0
z = a − 3


2
x z −a
(đường thẳng =
là đường thẳng qua A và vng góc với mặt phẳng (R) : x − z − 3 = 0 )
1
−1
2


2

a + 1
a − 5 
2
Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB  1 + 1 + (1 − a ) = 
 + (−1) + 

 2 
 2 
 a = 3
2

Với a = 3 thì A(0; 0; 3), B(3; 0; 0)  S MAB =

2

2

1
3 3
MA, MB  = ... =
.

2 
2

Với a = −3 thì A(0;0; −3)  B (loại).
Vậy S =


3 3
.
2

x −1 y −2 z +1
=
=
. Viết
1
1
−4
phương trình mặt cầu có tâm I và cắt d tại hai điểm M , N sao cho S IMN = 12.
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho điểm I (3;4;0) và đường thẳng d :

A. (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 16.

B. (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 49.

C. (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 36.

D. (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 25.
Lời giải

Đáp án D.
Đường thẳng d đi qua H (1;2; −1) và có vectơ chỉ phương ud = (1;1; −4) .
Đáp án - Trang 4/14 - Mã đề thi 101


Ta có IH = (−2; −2; −1)  IH , ud  = (9; −9; 0)  IH , ud  = 9 2.





Khoảng các từ I đến d là d(I , d ) =

S IMN = 12 

IH , u 
d

u

= ... = 3.

1
2.12
MN .d(I , d ) = 12  MN =
= 8.
2
3
2

 MN 
2
Bán kính mặt cầu là R = 
 + (d (I , d )) = ... = 5 .
 2 

Phương trình mặt cầu là (x − 3)2 + (y − 4)2 + z 2 = 25.

Câu 38: Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB = 2a, AC = 2a 3. Hình
chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa hai mặt
phẳng (SBC ) và (ABC ) bằng 300 , khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng

(SAC ) có dạng
A. 0.

a m
(với m, n là hai số nguyên dương). Tính m − n.
n
B. 2.
C. -1.
Lời giải

D. 1.

Đáp án A.
S

D
A

C
M

H
B

K


Kẻ HK ⊥ BC (K  BC )  BC ⊥ (SHK ) .
Ta có (SBC ),(ABC ) = 300  SHK = 300 , BC = AB 2 + AC 2 = 4a
AC HK
3
a 3
=
=
 HK =
BC
HB
2
2
SH
a
 SH = HK . tan SKH = .
Xét tam giác vng SHK có tan SKH =
HK
2
Do M là trung điểm của cạnh BC nên MH AC  MH (SAC )
 d(M,(SAC )) = d(H ,(SAC ))
Kẻ HD ⊥ SA (D  SA) . Ta có AC ⊥ (SAB)  AC ⊥ DH  DH ⊥ (SAC )
sin ABC =

 d(M ,(SAC )) = d(H ,(SAC )) = HD =
Vậy m − n = 0.

HAHS
.
HA2 + HS 2


=

a 5
m =n =5
5

()

Câu 39: Cho hàm số y = f x = x 3 − 3x + 1 . Tập hợp tất cả các giá trị m  0 để giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên D = [m + 1; m + 2] luôn bé hơn 3 là
Đáp án - Trang 5/14 - Mã đề thi 101


A. (0;2).

1 
C.  ;1  .
2 
Lời giải

B. (0;1).

 

D. (−;1) \ −2 .

Đáp án B.
Vì m>0  m+1>1  1
(

)

Nên hàm số đồng biến trên D  min y = f m + 1 .
D

(

)

()

Theo ycđb thì min y  3  f m + 1  3 = f 2
D

 m + 1  2  m  1 (hàm đơn điệu nên f(a) < f(b)  aMà m>0 nên 0
()

(

( )

)

Câu 40: Cho tam thức bậc hai f x = ax 2 + bx + c a,b,c  ,a  0 , phương trình f x = 0 có hai
nghiệm thực phân biệt x 1, x 2 . Tính tích phân I =

x2

 (2ax + b ) .e
3

ax 2 +bx +c

dx .

x1

A. I = x 2 − x 1 .

B. I =

x 2 − x1
4

C. I = 0 .

.

D. I =

x 2 − x1
2

.

Lời giải
Đáp án C.

Đặt t = eax

2

+bx +c

 dt = (2ax + b)eax

 (2ax + b)2dt = (2ax + b)3eax

2

2

+bx +c

dx

+bx +c

dx

 (4a 2x 2 + 4abx + b 2 )dt = (2ax + b)3eax

2

+bx +c

dx

 (4a(ax 2 + bx + c) + b 2 − 4ac)dt = (2ax + b)3eax
 (4a ln t + b 2 − 4ac)dt = (2ax + b)3eax

2

2

+bx +c

dx

+bx +c

dx

1
x = x  t = e 0 = 1

2
 I =  (4a ln t + b 2 − 4ac)dt = 0
Đổi cận 
0
x = x1  t = e = 1
1

()

Câu 41: Cho hàm số y = f x liên tục và có đạo hàm trên

(

)

, có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Phương trình f x 3 − 3x 2 = 3 m + 4 1 − m có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 4.

B. 5.

C. 6.
Lời giải

D. 7.

Đáp án B.
Đáp án - Trang 6/14 - Mã đề thi 101


( )

( )

g m = 3 m + 4 1−m  g' m =

( )

g' m = 0

3

2 m

−

2
1−m

 3 1−m = 4 m
1−m
9
 9 1 − m = 16m  m =
25

g 0 = 4

Ta có: g 1 = 3  g m  3; 5 
  9 
g   = 5
  25 

(

)

2 m

()
()

=

2

3

( )

()

( )
số giao điểm của đường cong f và đường thẳng y = g (m )
Do g (m )  3;5 nên g (m ) cắt đường cong f tại 3 điểm phân biệt  phương trình
t = t  ( −; 4 )

f (t ) = g (m ) có 3 nghiệm phân biệt t = t  ( −4; 0 )
t = t  0; +
( )


Đặt t = x 3 − 3x 2  phương trình trở thành f t = g m .Số nghiệm của phương trình (theo t) là

1

2

3

Xét t = x − 3x .Ta có BTT của hàm số

Từ BTT
3

2

Từ 3 nghiệm của t ta tìm được 5 nghiệm của x
Câu 42: Xét số phức z = a + bi(a,b  ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tính P = 2a + 4b khi biểu thức
z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt GTLN .

A. 22.

B. 26.

C. 24.
Lời giải

D. 28.

Đáp án D.
Ta có:

z − 4 − 3i = 5  (a − 4)2 + (b − 3)2 = 5
 a 2 + b 2 = 8a + 6b − 20
Đặt A = z + 1 − 3i + z − 1 + i

Đáp án - Trang 7/14 - Mã đề thi 101


 A = 1. (a + 1)2 + (b − 3)2 + 1. (a − 1)2 + (b + 1)2
 A2  (12 + 12 ) (a + 1)2 + (b − 3)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 



2
2
2
 A  2 2(a + b ) − 4b + 12 = 2(16a + 12b − 40 − 4b + 12) = 8(4a + 2b − 7)

(

)

4a + 2b − 7 = 4(a − 4) + 2(b − 3) + 15  (42 + 22 ) (a − 4)2 + (b − 3)2  + 15


 4a + 2b − 7  25
 A2  200  A  10 2
a = 6
DBXR  
 P = 28
b = 4
Câu 43: Bạn An muốn to màu một bảng hình vng gồm 9 ơ vng đơn vị, cố định như hình vẽ.
Bạn An dùng 3 màu để tơ các cạnh hình vng đơn vị sao cho mỗi hình vng đơn vị được tơ
đúng 2 màu, trong đó mỗi màu được tơ đúng 2 cạnh. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách tô?

A. 29.35 .

B. 28.36 .

C. 29.36 .
Lời giải

D. 28.35 .

Đáp án C.
Đầu tiên ta tơ hình vng A (tô 4 cạnh)
Chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu ta có C 42 cách tơ
 Có C 32.C 42 = 18 cách tơ

Sau đó ta tơ 4 hình vng B (tơ 3 cạnh, có 1 cạnh tơ trước đó)
Với mỗi hình vng B , ta có 3 cách tơ màu đã có do được tơ trước 1 cạnh, chọn 1 trong 2 màu cịn
lại để tơ 2 cạnh cịn lại  Có 3.C 21 = 6 cách
 Tổng cách tơ 4 ơ hình vng B = 64 cách
Sau đó ta tơ 4 hình vng C (tơ 2 cạnh, có 2 cạnh được tơ trước đó). Nhận thấy rằng dù 2 cạnh
trước đó cùng màu hay khác màu thì 1 ơ vng C ln có 2 cách tơ
 Tổng cách tơ 4 ơ hình vng C = 24
 Tổng cách tơ bạn an có thể tơ là: 18.64.24 = 29.36
Đáp án - Trang 8/14 - Mã đề thi 101


()

( )

()

Câu 44: Cho hàm số y = f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn  −5; 3  . Biết f −5  f 3  0 và
có bẳng biến thiên như hình vẽ

Bất phương trình 3x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 12x −

(

)

m   −5; 3 khi và chỉ khi

()
D. m  7 + 4 f ( −1) .

( )
2 f ( 5 ) − 441 .

A. m  2 2 f −5 − 1465 .
C. m  2

()

3 − x + 5 + x f x + m  0 có nghiệm đúng với

B. m  2 2 f 1 − 25 .

Lời giải
Đáp án D.

()

Dựa vào bảng biến thiên ta có f x  0, x  −5; 3

( )

f x  0, x   −5; 3 

( )

g x = 3x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 12x −

( )

(

)

 g ' x = 12x 3 + 12x 2 + 12x + 12 −

(

( )

3−x + 5+x f x

)

3−x − 5−x
2 3 − x. 5 − x

( )

f x

( )

 −m  g ( −1) = −7 − 4 f ( −1)  m  7 + 4 f ( −1)
f ( −1) = 0  f ' (x ) = (x + 1) h (x )  0
3x + 4x + 6x + 12x − ( 3 − x + 5 + x ) f (x ) + m  0
 3x + 4x + 6x + 12x − ( 3 − x + 5 + x ) f (x )  −m
Đặt g (x ) = 3x + 4x + 6x + 12x − ( 3 − x + 5 + x ) f (x )
−

3 − x + 5 + x .f ' x

4

3

4

2

3

2

4

3

2

( )

3−x − 5−x

 g ' x = 12x 3 + 12x 2 + 12x + 12 −

)(

(

)

= 12 x + 1 x 2 + 1 +

( )

2 3 − x. 5 − x
x +1

3 − x. 5 − x

() (

(

) ()

3−x + 5+x

()

( )

f x −

)

( )

)

(

f x −

( )

3 − x + 5 + x .f ' x

(

3−x + 5+x

) ( x + 1) h ( x )

(do f −1 = 0  f ' x = x + 1 h x và h x  0 )

Đáp án - Trang 9/14 - Mã đề thi 101



f x
= x + 1 12(x 2 + 1) +

−
3
−
x
.
5
−
x
3
−
x
+
5
+
x


(

)

(

( )

) (

()



3 − x + 5 + x h x 


)

( )

g ' x = 0  x = −1 (vì biểu thức trong ngoặc dương)
BBT

( )

( )
( )
Câu 45: Cho hàm số y = f (x ) xác định và liên tục trên
 −m  g −1 = −7 − 4 f −1  m  7 + 4 f −1

có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi M, m

lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số y = f  3 − 2 6x − 9x 2  . Tính T = 3M + 4m ?



A. -27.

B. 23.

C. -3.
Lời giải



D. -23.

Đáp án D.
Đáp án - Trang 10/14 - Mã đề thi 101


 2
 3

Đặt t = 2 6x − 9x 2 ; x  0; 

t' =

−6 + 18x

t' = 0 x =

1
3

6x − 9x 2

t 0 = 3

 1
Ta có: t   = 1  t  1; 3   t  1; 3 
 3
 2

t   = 3
 3

()

( )(

)

 y = f  3 − 2 6x − 9x 2  = f t t  1; 3 


Dựa vào đồ thị ta thấy max y = −1 ; min y = −5  M = −1, m = −5  T = 3M + 4m = −23
Câu 46: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, tam giác SAB cân

(

)

tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M là trung điểm của SD ,

(

)

(

)

mặt phẳng ABM vng góc với mặt phẳng SCD và đường thẳng AM vng góc với đường

(

)

thẳng BD . Tính thể tích khối chóp S .BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBC .
A.

8a 3 2a 6
;
.
3
3

B.

4a 3 2a 6
;
.
3
3

8a 3 a 6
;
.
3
3
Lời giải

C.

D.

a3 a 6
;
.
3 3

Đáp án A.

Gọi H , N , L, E lần lượt là trung điểm của AB,CD, SC , HD . Gọi I = AN  BD, K = LM  SN

AN
3
Từ giả thết ta có: SH ⊥ ABCD , ME / /SH  ME ⊥ BD 1
Dễ thấy tứ giác AHND là hìn chữ nhật và IN =

(

()

()( )

)

(

()

)

Mà AM ⊥ BD 2 . Từ 1 , 2  BD ⊥ AMN  BD ⊥ AN
Xét tam giác AND ta có:

NA2
 NA = ND 3 = 2a 3  AD = NA2 − ND 2 = 2a 2
3
Dễ thấy CD ⊥ SHN , ML / /CD  ML ⊥ SHN  ML ⊥ SN 3
ND 2 = NI .NA =

(

)

(

)

()

Đáp án - Trang 11/14 - Mã đề thi 101


(
) ( )(
) ( )
Từ ( 3 ) , ( 4 )  SN ⊥ (ABLM )  SN ⊥ HK

()

Do ABLM ⊥ SCD , ABLM  SCD = ML 4

Lại do K là trung điểm của SN nên tam giác SNH vuông cân tại H suy ra SH = HN = 2a 2

(

)
( )
Do ( ABLM ) ⊥ (SCD) , (ABLM )  (SCD ) = ML ( 6 )
Từ ( 5 ) , ( 6 )  SN ⊥ (ABLM )  SN ⊥ HK

()

Dễ thấy CD ⊥ SHN , ML//CD  ML ⊥ SHN  ML ⊥ SN 5

K là trung điểm của SN nên tam giác SNH vuông cân tại H suy ra SH = HN = 2a 2

1
32a 3
 VS .ABCD = SH .AB.AD =
3
3
1
1
8a 3
VS .BCM = VS .BCD = VS .ABCD =
2
4
3
Mặt khác :

(

)

BC ⊥ SH , BC ⊥ AB  BC ⊥ SAB  BC ⊥ SB
1
1
SB.BC =
HB 2 + SH 2 .BC = 2a 2 6
2
2
3.VS .BCM 2a 6
 d M , SBC =
=
SSBC
3
 SSBC =

( (

))

Câu 47: Cho hình lăng trụ ABC .A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vng góc của

(

)

( )

A ' lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng P chứa BC và

vng góc với AA ' cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng

a3 3
. Tính thể tích khối
8

chóp A '.BB 'C 'C .
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.
18

a3 3
.
24
Lời giải

C.

D.

a3 3
.
6

Đáp án B.

(

Gọi M là trung điểm của BC ,do A 'O ⊥ ABC

(

)

KB ⊥ AA '  AA ' ⊥ KBC , ta có AO =

)

(

)

nên BC ⊥ A ' AM . Gọi K thuộc AA ' sao cho

2 a 3
.
3 3

KM .BC a 2 3

a 3
a2 3
=
 KM =
Tam giác KBC có diện tích
nên
2
8
4
8
Đáp án - Trang 12/14 - Mã đề thi 101


()

Xét tam giác A ' AM có hai đường cao A ' M và MK nên A 'O.AM = KM .A ' A *

()

Đặt A 'O = x  0 khi đó từ * có : x .AM = AA '.KM  x .
Ta có diện tích đáy ABC là

a 3
a2 a 3
a
= x2 + .
x =
2
3 4
3

3a 2
4

1 a 3
a.
=
2
2

2
2
a2 3
 VA '.BB 'C 'C = VABC .A ' B 'C ' = A 'O.SABC =
3
3
18


sin   + k  

2

2)

2

Câu 48: Cho biểu thức f (k ) = (k + 3k +
với k là tham số nguyên dương. Tổng tất cả các
số nguyên dương n thỏa mãn log f (1) + log f (2) + ... + log f (n ) = 1 bằng

A. 20.

B. 3.

Đáp án C.

C. 21.
Lời giải

(

)


 1, k = 2u u 
Ta có sin  + k   = 
2
 −1, k = 2u + 1 u 

(

(

D. 19.

)

)

(k 2 + 3k + 2 ) , k = 2u u 


Do đó f (k ) = 
−1
(k 2 + 3k + 2 ) , k = 2u + 1 u 

(

(

)

)

(k + 1)(k + 2 ) , k = 2u u 

=
1
, k = 2u + 1 u 

 (k + 1)(k + 2 )

(

)

(m  * ) .
log f (1) + log f ( 2 ) + ... + log f (n ) = 1
 log f (1) + log f ( 2 ) + ... + log f ( 2m − 1) + log f ( 2m ) = 1

Trường hợp 1: n chẵn  n = 2m

 1

1
1
.3.4.
...
. ( 2m + 1) ( 2m + 2 )  = 1
 log 
4.5 2m ( 2m + 1)
 2.3

2m + 2
 log
= 1  log (m + 1) = 1  log (m + 1) = 1
2
m = 9

.
m = − 9
(
)
l

10
Do đó n = 2m = 18 .
Trường hợp 2: n lẻ  n = 2m + 1

(m  ) .

log f (1) + log f ( 2 ) + ... + log f (n ) = 1
 log f (1) + log f ( 2 ) + ... + log f ( 2m ) + log f ( 2m + 1) = 1

 1

1
1
... (2m + 1)(2m + 2 ) .
 log  .3.4.
 =1
2.3
4.5
(
)(
)
2
m
+
2
2
m
+
3



1
= 10

1

2
1
(
)
2
m
+
3
 log
= 1  log
= 1  
1
1

2 ( 2m + 3 )
2 ( 2m + 3 )
=
2 (
 2m + 3 ) 10

(l )
 m = 1.

Do đó n = 2m + 1 = 3 .
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lần lượt cho hai mặt phẳng (P) : x − y + 2z + 1 = 0,
(Q) : 2x + y + z − 1 = 0 . Gọi (S ) là mặt cầu có tâm thuộc trục Ox , đồng thời (S ) cắt (P) theo giao
Đáp án - Trang 13/14 - Mã đề thi 101


tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 2; (S ) cắt (Q) theo giao tuyến là một đường trịn có bán

kính bằng r . Tìm r sao cho chỉ có duy nhất một mặt cầu (S ) thỏa mãn điều kiện bài toán.
A. r =

10
.
2

B. r =

3 2
.
2

D. r =

C. r = 3.

5
.
2

Lời giải
Đáp án B.
Gọi I (m;0;0) thuộc trục Ox là tâm của (S) và R là bán kính của (S).
d 2 (I ,(P )) + 22 = R2

 r 2 + d 2 (I ,(Q )) = 4 + d 2 (I ,(P ))
Theo giả thiết, ta có  2
2
2

d (I ,(Q )) + r = R

(2m − 1)2
(m + 1)2
Vậy ta có pt r +
=4+
 3m 2 − 6m + 6r 2 − 24 = 0
6
6
Để có duy nhất 1mc(S) thỏa mãn thì pt trên có nghiệm duy nhất, do đó:
2

3 2
.
2
Câu 50: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 3 = 0 và mặt cầu
/
m
= 9 − 3(6r 2 − 24) = 0  r =

(S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2x − 4y − 2z + 5 = 0 . Giả sử M  (P) và N  (S ) sao cho MN cùng phương với
u = (1; 0;1) và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN .
B. 1 + 2 2.

A. 3.
Đáp án C.

(

C. 3 2.

Lời giải

D. 14.

)

Mặt cầu (S) có tâm I −1;2;1 , R = 1 .

(

) ( )

Xét điểm M x ; y; z  P  x − 2y + 3z = 0
Theo giả thiết MN = ku = (k;0; k )  N (x + k; y; z + k ) và N  (S ) nên

(x + k )2 + y 2 + (z + k )2 + 2(x + k ) − 4y − 2(z + k ) + 5 = 0
 (x + k + 1)2 + (y − 2)2 + (z + k − 1)2 = 1

(

) (

) (

)

Do x − 2y + 2z-3=0  x + k + 1 − 2 y − 2 + 2 z + k − 1 = 3k + 6
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwar, ta có:

(3k + 6)2  (12 + (−2)2 + 22 )((x + k + 1)2 + (y − 2)2 + (z + k − 1)2 ) = 9  −3  k  −1

 MN = k

2  3 2.

Dấu bằng xảy ra khi k=-3.
----------- HẾT ----------

Đáp án - Trang 14/14 - Mã đề thi 101