Tổng hợp 180 bài toán hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng d
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (568.48 KB, 88 trang )
180 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
--- CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT--30 BÀI TỐN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
– CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ 1
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
1 1
5
a3 a2 − a2 ÷
÷
.
Câu 1: Cho số thực a > 0 và a ≠ 1. Hãy rút gọn biểu thức P = 1 7
19
4
12
12
a a −a ÷
÷
A. P = 1+ a.
C. P = a.
B. P = 1.
D. P = 1− a.
Câu 2: Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1 và loga b> 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
0 < a, b < 1
.
A.
0 < a < 1 < b
0 < a, b < 1
.
B.
1< a, b
0 < b < 1 < a
.
C.
1< a, b
0 < b, a < 1
.
D.
0 < b < 1 < a
Câu 3: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực ¡ ?
x
π
A. y = ÷ .
3
B.
y = log1 x.
(
2
(
)
1
C. y = logπ 2x + 1 .
4
x
2
D. y = ÷ .
e
)
1
x
2
Câu 4: Cho hàm số y = ln e + m . Với giá trị nào của m thì y'( 1) =
2
A. m= e.
B. m= −e.
1
C. m= .
e
D. m= ± e.
Câu 5: Cho a, b, c là các số thực khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của các
hàm số y = ax, y = bx, y = cx. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a < b < c.
B. c < b < a.
C. a < c < b.
D. c < a < b.
Câu 6: Mệnh đề nào dưới đây sai?
1
log1 x < log1 y ⇔ x > y > 0
A. log x < 1⇔ 0 < x < 10
B.
C. ln x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
D. log4 x2 > log2 y ⇔ x > y > 0
Câu 7: Rút gọn biểu thức:
A.
P=
1
x8
Câu 8: Rút gọn biểu thức:
2
x9.
P=
1
6
x .3 x
B.
P=
P=
π
π
với x > 0.
2
x9
1
,
x6.6 x
D. P = x2
C. P = x
x > 0.
1
x8.
C. P = x
D. P = x2
P=
P=
Câu 9: Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y.
A.
B.
A. loga
x
= loga x + loga y
y
B. loga
x
= loga(x − y)
y
C. loga
x
= loga x − loga y
y
D. loga
x loga x
=
y loga y
Câu 10: Cho các số thực dương a. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. log2
C. log2
23 a
1
1
= 1+ log2 a − log2 b
3
3
b2
23 a
1
1
= 1+ log2 a + log2 b
2
3
3
b
Câu 11: Rút gọn biểu thức
A.
1
P = a2
3
2
P = a 3a
B.
B. log2
D. log2
23 a
2
b
23 a
1
= 1+ log2 a + 3log2 b
3
b2
1
= 1+ log2 a − 3log2 b
3
với a > 0
9
P = a2
C.
11
P = a6
D. P = a3
Câu 12: Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng
3 1
3 3
A. log2 a3 = 3log2 a B. log2 a = log2 a C. log2 a = loga D. log2 a3 = 3loga
3
2
Câu 13: Cho a là một số thực dương. Viết biểu thức A = a2. a.3 a dưới dạng lũy thừa với số
mũ hữu tỉ?
A.
5
3
A= a
B.
4
A = a3
C.
5
36
A= a
D.
17
A= a6
2
4
4 a3b2
÷
được kết quả là:
Câu 14: Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P =
3
A. ab2.
B. a2b.
a12b6
C. a2b2.
D. ab.
Câu 15: Biểu thức T = 5 a3 a với a > 0. Viết biểu thức T dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
là:
1
3
4
2
A. 3
B. 5
C. 15
a
a
a
Câu 16: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
D. 15
a
A. y = ax với 0 < a < 1 là hàm số đồng biến trên ( −∞;+∞ ) .
B. Đồ thị hàm số y = ax với 0 < a ≠ 1 luôn đồng biến trên điểm ( a;1) .
C. y = ax với a > 1 là hàm số nghịch biến trên ( −∞;+∞ ) .
x
1
D. Đồ thị các hàm số y = ax và y = ÷ (với 0 < a ≠ 1) đối xứng với nhau qua trục Oy.
a
Câu 17: Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữa tỷ của biểu thức 3 a54 a với a > 0.
7
1
4
1
A. 4
B. 4
C. 7
D. 7
a
a
a
a
Câu 18: Cho a, b, c là các số dương và a, b khác 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. loga c = loga b.logb c
B. loga c =
1
logc a
C. loga b.logb a = 1
D. loga c =
logb c
logb a
Câu 19: Cho 2 số dương a,b thỏa mãn:
2
A. T = − .
5
a ≠ b;a ≠ 1 và loga b= 2. Tính
2
B. T = .
5
2
C. T = .
3
T = log a 3 ab.
b
2
D. T = − .
3
Câu 20: Cho đồ thị ( C ) : y= 3x. Tìm kết luận sai:
A. Đồ thị (C) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
B. Đồ thị (C) nằm về phía trên trục hồnh.
C. Đồ thị (C) đi qua điểm (0;1)
D. Đồ thị (C) nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
3
Câu 21: Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log( 3a) = 3loga
3 1
B. loga = loga
3
C. loga3 = 3loga
1
D. log( 3a) = loga
3
2
Câu 22: Cho a là số thực dương khác 1. Khi đó 4
bằng:
a3
8
B. 6 a
A. 3
a
3
C. 3 a2
D. 8
a
Câu 23: Trong các hình sau, hình nào là dạng của đồ thị hàm số y = ax,0 < a < 1?
A. (I).
B. (IV).
C. (III).
D. (II).
Câu 24: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
x
e
A. y = ÷ .
2
Câu 25: Rút gọn biểu thức
A. P = x.
x
x
1
4
B. y =
÷ . C. y =
÷ .
6 − 5
3+ 2
P=
1
x3 6 x
B.
với x > 0.
1
x8.
C.
2
x9.
P=
P=
Câu 26: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
x
4
A. ÷
5
x
π + 3
D. y =
÷ .
2π
x
2e
B. ÷
7
C.
log1 x
3
D. P = x2.
D. y= lnx
a3
I
=
log
÷.
Câu 27: Cho a là số thực dương khác 4. Tính
a
÷
64
4
A. I = 3.
1
B. I = .
3
1
C. I = − .
3
D. I = −3.
4
11
.a 3
m
m
Câu 28: Rút gọn biểu thức A = a
với a > 0, ta được kết quả
trong đó m, n∈ ¥ * và
là
n
A= a ,
n
3 −5
a. a
phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
3 7
A. m2 − n2 = 312.
B. m2 − n2 = −312.
C. m2 + n2 = 543.
D. m2 + n2 = 409.
Câu 29: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó ?
x
π
A. y = ÷ .
3
x
π
B. y = ÷ .
4
x
e
C. y = ÷ .
π
x
e
D. y = ÷ .
3
Câu 30: Hàm số nào sau đây được gọi là hàm số lũy thừa ?
A. y = ln x.
B. y = 3− x.
C. y = ex.
D. x−3.
5
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-A
2-B
11-C
12-A
21-C
22-B
Câu 1: Chọn A.
3-D
13-D
23-D
4-D
14-D
24-D
5-B
15-C
25-A
6-D
16-D
26-D
7-C
17-A
27-A
8-C
18-B
28-A
9-C
19-D
29-A
10-D
20-D
30-D
Phương pháp:
Sử dụng công thức aα .aβ = aα+β , pt : x2 − y2 = ( x − y) ( x + y) .
Cách giải:
Ta có
1 1
5
3
2
2
a a −a ÷
1 1
5 1
−
3
2
2
a .a 1− a 2 ÷
1 1
+
a3 2
(
)
5
÷
÷
1− a2
a6 ( 1− a) ( 1+ a)
P=
=
=
=
= 1+ a( a > 0, a ≠ 1) .
1 7
10
1 7
19
1 7
19 7
+
−
a12 ( 1− a)
a4 a12 − a12 ÷ a4.a12 1− a12 12 ÷ a4 12 ( 1− a)
÷
÷
Câu 2: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và tính chất của hàm logarit để giải.
Cách giải:
0 < a < 1
0 < b < 1 0 < a, b < 1
⇔
Ta có: loga b > 0 ⇔
a > 1
1< a,b
b > 1
Câu 3: Chọn D.
Phương pháp:
6
Sử dụng tính chất của hàm y = ax, y = loga x khi a > 1, a < 1.
Cách giải:
Ta có hàm số y = ax,0 < a < 1 là hàm nghịch biến trên ¡ . Hàm số y = ax, a > 1 là hàm đồng biến trên ¡ .
x
x
π
2
π
2
> 1 thì hàm số y = ÷ đồng biến trên ¡ . Với 0 < a = < 1 hàm y = ÷ nghịch biến
3
e
3
e
Áp dụng với
trên ¡ .
Hàm
y = log1 x
2
chỉ xác định trên ¡ + = { x∈ ¡ : x > 0} nên không thể nghịch biến trên ¡ .
(
)
2
y( −1) = y( 1) = logπ ( 3)
Hàm số y = logπ 2x + 1 có
nên khơng thể nghịch biến trên ¡ .
4
4
Câu 4: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và của hàm y = ln x để tính đạo hàm y' giải hệ y( 1) =
1
để tìm
2
giá trị của m.
Cách giải:
ex + m2 ) '
(
Ta có y' =
=
ex + m2
ex
ex + m2
. Khi đó y'( 1) =
1
e1
1
⇔
= ⇔ 2e = e+ m2 ⇔ m2 = e ⇔ m= ± e.
2 e1 + m2 2
Câu 5: Chọn B.
Phương pháp:
Dùng tính đồng biết nghịch biến của hàm y = dx và tính chất của hàm y = loga x kết hợp với phương pháp
loại trừ để tìm đáp án.
Cách giải:
Đồ thị hàm số y = ax, y = bx tại điểm x = 1 thì đồ thị hàm số y = a x nằm trên đồ thị hàm số y = bx do đó
a = a1 > b1 = b. Vậy ta có a > b.
lim y( x) = 0 do đó trong trường hợp này c < 1. Từ đó
Quan sát đồ thị hàm số y = logc x ta thấy x→+∞
c < 1< b < a.
Vậy đáp án B đúng.
Một cách khác: chú ý các đáp án A,C,D ta đều có a < b nên các đáp án này sai.
Câu 6: Chọn D.
Phương pháp:
7
a > 1
x < y
. Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại.
So sánh các logarit: loga x < loga y ⇔
0 < a < 1
x > y
Cách giải:
10 > 1
log x < 1= log10 ⇔
⇒ 0 < x < 10, mệnh đề A đúng.
x < 10
1
<1
log1 x < log1 y ⇔ π
, mệnh đề B đúng.
π
π
x > y > 0
e > 1
ln x ≥ 0 = ln1⇔
, mệnh đề C đúng.
x ≥ 1
2 > 1
x2 = log2 x > log2 y ⇔
, mệnh đề D sai.
2
x > y > 0
log4 x2 = log
2
Câu 7: Chọn C.
Phương pháp:
m
Sử dụng các công thức sau để rút gọn: m n
x .x = xm+ n; xm : xn = x n .
Cách giải:
Ta có:
P=
1
6
x .3 x =
1 1
6
x .x3 =
1 1
+
6
x 3=
1
x2
= x.
Câu 8: Chọn C.
Phương pháp:
m
Sử dụng các công thức lũy thừa sau: m n
n
a .a = am+ n; am = a n .
Cách giải:
P=
1
1 1
6
x3. x = x3.x6
=
1 1
+
x3 6
= x
(với x > 0).
Câu 9: Chọn C.
Phương pháp:
Công thức logarit của một thương: loga
x
= loga x − logb y
y
Cách giải:
Câu 10: Chọn D.
8
Phương pháp:
Áp dụng các công thức:
loga
x
= loga x − loga y
y
loga ( xy) = loga x + loga y
loga xb = bloga x
Cách giải:
log2
23 a
3
b
(
)
1
= log2 23 a − log2 b3 = log2 2 + log2 3 a − 3log2 b = 1+ log2 a − 3log2 b
3
Câu 11: Chọn C.
Phương pháp:
m
Áp dụng các công thức lũy thừa sau: m n
n
a .a = am+ n; am = a n .
Cách giải:
Ta có:
3
3 1
3 1
11
+
3
2
2
3
2
3
P = a . a = a .a = a
= a6 .
Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Áp dụng công thức logarit: loga bn = nloga b( b > 0)
Cách giải:
Ta có: log2 a3 = 3log2
Câu 13: Chọn D.
Phương pháp:
m
Sử dụng các công thức sau để rút gọn: m n
n
x .x = xm+ n; xm = x n .
Cách giải:
Ta có:
2
A= a .
1 1
2 2 3
3
a. a = a .a .a
17
= a6 .
Câu 14: Chọn D.
Phương pháp:
1
m
Sử dụng các công thức m x = xm, x = xm− n
xn
Cách giải:
9
4
4 a3b2
÷
3 2
a3b2
= ab
P=
=
= ab.
1
2
3
12 6
a
b
a b
a12b6 6
(
)
Câu 15: Chọn C.
Phương pháp:
m
Sử dụng công thức lũy thừa sau: m n
n
a .a = am+ n; am = a n .
Cách giải:
Ta có:
T=
5 3
a a
=
5
1
a.a3
=
5
4
a3
4
4
:5
= a3 = a15.
Câu 16: Chọn D.
Phương pháp:
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lũy thừa và dạng đồ thị
hàm số lũy thừa.
Cách giải:
- Hàm số y = ax nghịch biến nếu 0 - Đồ thị hàm số y = ax với 0 < a ≠ 1 luôn đi qua điểm (1;a), không đi qua điểm (a;1) nên B sai.
- Hàm số y = ax đồng biến nếu a > 1 nên C sai.
x
1
- Đồ thị các hàm số y = ax và y = ÷ (với 0 < a ≠ 1) đối xứng với nhau qua trục Oy.
a
Câu 17: Chọn A.
Phương pháp:
m
( )
1
Sử dụng các công thức n am = a n = am n , am.an = a m+ n ( a > 0) .
Cách giải:
1
1
21
21
7
3
3 5+
3
Ta có: 3 54
a a = a5.a4 = a 4 = a 4 = a12 = a4.
Câu 18: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức đổi cơ số loga b =
1
logc b
, đặc biệt loga b =
logb a
logc a
Cách giải:
10
Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B sai vì ĐK: c ≠ 1.
Câu 19: Chọn D.
Phương pháp:
c
n
Sử dụng định nghĩa và công thức biến đổi loga: loga b = c ⇔ b = a ,loga b = a loga b,logam b =
1
loga b.
m
Cách giải:
Ta có
3
loga b = 2 ⇔ b = a2 ⇒ T = log a 3 ab = log a a.a2 = log
a2
b
−3 a =
a2
1
2
=−
−3
3
2
Câu 20: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số y = ax ( a > 0;a ≠ 1) có đồ thị đi qua điểm (0;1) nằm phía trên trục hồnh và nhận trục hồnh làm
tiệm cận ngang.
Cách giải:
( )
x
Đáp án A: lim 3 = 0 ⇒ A đúng.
x→−∞
Đáp án B: 3x > 0∀x∈ R ⇒ B đúng.
Đáp án C hiển nhiên đúng.
Đáp án D sai vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;1).
Câu 21: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng công thức logan = aloga( a > 0) ;log( ab) = loga + logb( a, b > 0)
Cách giải:
Ta có: loga3 = 3loga.
Câu 22: Chọn B.
Phương pháp:
m
( )
n
.
Sử dụng công thức n am = a n , am = amn
;0 < a ≠ 1.
Cách giải:
Ta có
2
4
a3
1
2
4
= a3 ÷
÷
21
.
= a3 4
1
= a6
= 6a
11
Câu 23: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số y = ax với 0 < a < 1 nghịch biến trên tập xác định
Cách giải:
+) Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm ( 0;1) ⇒ loại hình (III) và (IV).
+) Với 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến ⇒ loại hình (I).
Câu 24: Chọn D.
Phương pháp:
Dựa vào tính chất của hàm số mũ : Hàm số y = ax nghịch biến ⇔ 0 < a < 1.
Cách giải:
Ta có 0 <
x
π+3
3,14 + 3
=
< 1⇒ Hàm số y = π + 3÷ nghịch biến trên tập xác định.
2π
3,14 + 3,14
2π
Câu 25: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng các cơng thức mũ cơ bản
Cách giải:
Ta có
P=
1
1 1
6
x3 x = x3.x6
=
1 1
+
x3 6
=
1
x2
= x.
Câu 26: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số y = ax và y = loga x( x > 0) đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi 0 < a < 1.
Cách giải:
Ta có: e > 1⇒ ln x = loge x là hàm số đồng biến trên ( 0;+∞ ) .
Câu 27: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng công thức lôgarit cơ bản.
Cách giải:
3
a3
a
a
I
=
log
=
log
= 3loga = 3.
÷
Ta có
a
a
÷
64 ÷
4
4
4
4
4
Câu 28: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng công thức liên quan đến biểu thức mũ
12
Cách giải:
Ta có A =
3 7
a
11
.a 3
3
a. a−5
=
7 11
3
a .a 3
5
−
4
a .a 7
=
a6
23
a7
19
= a7
=
am
m= 19
⇒
a
n = 7
n
Vậy m2 − n 2= 312.
Câu 29: Chọn A.
Phương pháp:
Hàm số y = ax đồng biến trên TXĐ của nó ⇔ a > 1
Cách giải:
Dễ thấy, ở đáp án A có hệ số a =
x
π
π
> 1⇒ hàm số y = ÷ đồng biến trên tập xác định.
3
3
Câu 30: Chọn D.
Phương pháp:
Dựa vào định nghĩa của hàm số lũy thừa : Hàm số y = xα ( α ∈ R) được gọi là hàm số lũy thừa.
Cách giải:
Hàm số lũy thừa là hàm số có số mũ là số thực.
35 BÀI TỐN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
– CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ 2
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
13
Câu 1: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức P = 3 2 3 2 2 .
3 3 3
1
A. P = 2 18 .
3÷
1
B. P = 2 8 .
3÷
16
2
C. P = ÷ .
3
1
D. P = 2 2 .
3÷
Câu 2: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. ln x > 0 ⇔ x > 1.
B. loga > logb ⇔ a > b > 0
C. loga < logb ⇔ 0 < a < b
D. ln x < 1⇔ 0 < x < 1
Câu 3: Với mọi số thực dương a,b,x,y và a, b≠ 1, mệnh đề nào sau đây sai?
A. loga ( xy) = loga x + loga y
C. loga
B. logb a.loga x = logb x
x
= log a x − loga y
y
D. loga
1
1
=
x loga x
Câu 3: Cho ba số dương a, b, c( a ≠ 1, b ≠ 1) và số thực α khác 0. Đẳng thức nào sau đây sai?
. ) = loga b + loga c.
A. loga ( bc
C. loga
B. logaα b = α loga b.
b
= loga b − loga c.
c
D. logb c =
loga c
.
loga b
Câu 5: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó ?
x
2
A. y = ÷ .
3
x
e
B. y = ÷ .
π
Câu 6: Số 7100000 có bao nhiêu chữ số?
A. 85409.
B. 194591.
C. y=
( 2)
C. 194592.
x
.
D. y= ( 0,5) x .
D. 84510.
1
1
Câu 7: Cho các số thực a, b. Giá trị của biểu thức A = log2 a + log2 b bằng giá trị của biểu
2
2
thức nào trong các biểu thức sau đây?
A. a + b
B. ab
C. –ab
D. −a − b
Câu 8: Hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số
sau đây?
A. y = log0,4 x.
B. y=
( 2) x.
14
C. y= ( 0,8) x .
D. y = log2 x.
Câu 9: Cho a, b > 0;a, b ≠ 1 và x,y là hai số thực dương. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề
nào sai.
A. loga ( xy) = loga x + loga y.
B. logb a.loga x = logb x.
1
1
=
.
x loga x
C. loga
D. loga
x
= loga x − loga y.
y
Câu 10: Với các số thực dương a, b bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ln( ab) = lna + lnb.
a lna
.
B. ln =
b lnb
a
C. ln = lnb − lna.
b
D. ln( ab) = lna.lnb.
Câu 11: Cho hàm số y=
A. y= −
( )
2
( 2)
x
x
có đồ thị là hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?
B. y=
( 2)
x
C. y= −
( 2)
x
D. y=
( 2)
x
Câu 12: Cho 0 < a < 1. Khẳng định nào đúng?
− 2
A. a
<
1
a 3
a
B. 3 2 > 1
a
1
C. 3
a < a
1
1
D. 2017 > 2018
a
a
Câu 13: Cho a, b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây là ĐÚNG?
A. lnab = blna.
a lna
.
B. ln( ab) = lna.lnb. C. ln( a + b) = lna + lnb. D. ln =
b lnb
Câu 14: Với α là số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?
( )
A. 10α
2
= 100α.
B. 10α =
(
)
10
α
. C.
α
10
α
= 102.
( )
D. 10α
2
2
= 10α .
15
Câu 15: Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
b
A. loga 3 ÷ = loga b − 3.
a
B. logaα b = α loga b.
C. alogb c = b.
D. loga b = logb c.logc a.
Câu 16: Cho a; b; c là ba số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
1
logα b
α
A. logb a = logb c.logc a
B. logaα b =
b loga b
C. loga 3 ÷ =
3
a
D. alogc b = b.
Câu 17: Cho 1≠ a > 0,x ≠ 0. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
1
loga x .
4
A. loga x4 = 4loga x.
4
B. loga x =
C. loga x4 = 4loga x .
D. loga x4 = loga 4x .
Câu 18: Cho a là số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
1
A. log3 2 = 3− log3 a.
2
a
3
B. log3 2 = 3− 2log3 a.
a
3
C. log3 2 = 1− 2log3 a.
a
3
D. log3 2 = 1+ 2log3 a.
a
Câu 19: Với a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y.
A. loga
x
= loga x − loga y.
y
B. loga
x
= loga x + loga y.
y
C. loga
x loga x
=
.
y loga y
D. loga
x
= loga ( x − y) .
y
Câu 20: Với a là số thực dương bất kì và a ≠ 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
5
5 1
5
.
B. lna = ln a.
C. lna =
D. loga5 e = 5loga e.
5
lna
Câu 21: Cho các số thực dương a, x, y và a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. loga5 e =
1
.
5lna
A. loga ( xy) = yloga x
B. loga ( xy) = loga x − loga y
C. loga ( xy) = loga x + loga y
D. loga ( xy) = loga x.loga y
Câu 22: Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. xm.xn = xm+ n
( )
m
B. xm.yn = ( xy) m+ n C. xn = xn.m
D. ( xy) n = xnyn
16
Câu 23: Cho loga c = a > 0 và logb c = y > 0. Khi đó giá trị của log abc là:
A.
1
.
xy
B.
xy
.
x+ y
C.
1 1
+ .
x y
D. x + y.
Câu 24: Cho a là số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
x
A. loga ÷ = loga x − loga y,∀x > 0, y > 0. B. loga ( x.y) = loga x − + loga y,∀x > 0, y > 0.
y
2
C. loga x =
1
loga x,∀x > 0.
2
D. loga =
1
.
loga 10
Câu 25: Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3
2
A. a > 1
a
B.
Câu 26: Cho biểu thức
P=
1
a2017
1
a2018
1
− 3
>
C. a
a 5
1
D. 3
a > a
a 7+1.a2− 7
a 2− 2
÷
A. P = a3.
<
2+ 2
với a > 0. Rút gọn biểu thức P được kết quả:
B. P = a5.
C. P = a.
D. P = a4.
Câu 27: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ( 0;+∞ ) ?
A. y = log 3−1 x
B. y = log3 x
C. y = log 3− 2 x
D. y = log 2−1x
Câu 28: Cho số dương a khác 1 và các số thực x, y. Đằng thức nào sau đây đúng?
x
x y
x
B. a = a y
ay
xy
A. a .a = a
( )
C. ax
y
= axy.
D. ax + ay = ax+ y.
Câu 29: Cho 0 < a, b ≠ 1;n∈ N * . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. loga b=
loga
logb
1
1
B. log a b = nloga b C. logn a b = loga b D. loga n b = logb a
n
n
1
1
−
Câu 30: Tính limL = lim
÷.
2
x→2− x − 2 x − 4
A. Không tồn tại L.
B. L = +∞
C. L = 0.
D. L = −∞
Câu 31: Cho 0 < a ≠ 1,x > 0,y > 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. loga ( x + y) = loga x + loga y
B. loga ( xy) = loga x + loga y
C. loga ( x + y) = loga x.loga y
D. loga ( xy) = loga x.loga y
(
)
Câu 32: Nếu 2 − 3
a−1
< 2 + 3 thì
17
A. a ≥ 0.
B. a < 0.
C. a ≤ 1.
D. a > 0
Câu 33: Cho hàm số y = loga x với 0 < a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Nếu 0 < a < 1 thì hàm số đồng biến trên ( 0;+∞ )
B. Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên ( 0;+∞ )
C. Tập xác định của hàm số là R.
D. Đạo hàm của hàm số là y' = x lna
2
Câu 34: Cho a > 0, biểu thức 3
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
a . a
7
5
6
A. 6
B. 6
C. 5
a .
a .
a .
Câu 35: Với các số thực x, y dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
D.
11
a6 .
A. log2 ( xy) = log2 x.log2 y
B. log2 ( xy) = log2 x + log2 y
x log2 x
C. log2 ÷ =
y log2 y
2
D. log2 x − y = 2log2 x − log2 y
(
)
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-D
2-D
3-D
4-B
5-C
6-D
7-D
8-C
9-C
10-A
11-D
12-A
13-A
14-D
15-A
16-C
17-C
18-C
19-A
20-A
21-C
22-B
23-C
24-C
25-C
18
26-B
27-B
28-C
29-B
30-D
31-B
32-D
33-B
34-A
35-B
Câu 1: Chọn D.
Phương pháp:
Áp dụng công thức:
( n) x
m
=
m
xn
và sử dụng qua tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: xm.xn = xm+ n.
Cách giải:
Ta có
1
3
2 2 2 3 2 3 2 22 3 2 3 2 2
P=3 3
=
.
=
3 3 3
3 3 3 ÷
3 3 ÷
1
3
1
2 2 2
2 2 2 2
= 3 ÷ = 3 ÷ = ÷
3 3
3
3
Câu 2: Chọn D.
Phương pháp:
-Sử dụng các công thức logarit và bất phương trình loga
+) loga x > loga y ⇔ 0 < x < y (với 0 < a < 1) và loga x > loga y ⇔ x > y > 0 với a > 1
+) loga x < b ⇔ 0 < x < ab với a > 1
+) loga x < b ⇔ x > ab (với 0 < a < 1)
Cách giải:
+) ln x > 0 ⇔ x > e0 ⇔ x > 1
+) loga < logb ⇔ 0 < a < b và loga > logb ⇔ a > b > 0
Nhận thấy ln x < 1⇔ 0 < x < e1 ⇔ 0 < x < e
Câu 3: Chọn D.
Phương pháp:
+) Áp dụng các công thức cơ bản của hàm logarit để chọn đáp án đúng.
Cách giải:
+) Đáp án A đúng vì đây là cơng thức logarit của một tích: log a ( xy) = loga x + loga y.
+) Đáp án B đúng vì đây là cơng thức đổi cơ số: logb a.loga x = logb x
+) Đáp án C đúng vì đây là công thức logarit của một thương: loga
x
= loga x − loga y
y
19
+) Đáp án D sai vì ta có: loga
1
= loga x−1 = − loga x.
x
Câu 4: Chọn B.
Phương pháp:
Công thức cơ bản của biểu thức chứa lôgarit
Cách giải:
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
loga ( bc
. ) = loga b + loga c
→ Đáp án A đúng.
log
aα
=
logb c =
1
b
loga b ≠ α loga b
→ Đáp án B sai. loga = loga b − loga c
→ Đáp án C đúng.
α
c
loga c
→ Đáp án D đúng.
loga b
Câu 5: Chọn C.
Phương pháp:
Hàm số mũ y = ax đồng biến trên tập xác định ⇔ a > 1
Cách giải:
Dễ thấy y =
( 2)
x
⇒ y' =
( 2)
x
.ln 2 > 0;∀x∈ R ⇒ Hàm số y =
( 2)
x
đồng biến trên R.
Câu 6: Chọn D.
Phương pháp:
Áp dụng cơng thức tìm số chữ số của một số vô cùng lớn
Cách giải:
100000
+ 1= [ 100000.log7] + 1= 84509+ 1= 94510.
Số các chữ số của số 7100000 là log7
Câu 7: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng công thức loga bm = mloga b (giả sử các biểu thức là có nghĩa)
Cách giải:
A = log2
1
a
2
+ log2
1
b
2
= log2 2−1 + log2 2− b = − a − b
Câu 8: Chọn C.
Phương pháp:
Dựa vào hình dáng, giao điểm với hai trục tọa độ của đồ thị hàm số để tìm hàm số
Cách giải:
20
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
Đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox ⇒ Hàm số mũ y = ax . Hàm số nghịch biến trên R ⇒ Hệ số a < 1.
Vậy hàm số cần tìm là y= ( 0,8) x .
Câu 9: Chọn C.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức cơ bản của hàm logarit để làm bài toán.
Cách giải:
+) loga ( xy) = loga x + loga y. ⇒ đáp án A đúng.
+) logb a.loga x = logb x. ⇒ đáp án B đúng.
+) loga
1
1
=
= − loga x ⇒ đáp án C sai.
x loga x
+) loga
x
= loga x − loga y ⇒ đáp án D đúng.
y
Câu 10: Chọn A.
Phương pháp:
a
Sử dụng các công thức: log( ab) = loga+ logb;log ÷ = loga − logb (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).
b
Cách giải:
Với các số thực dương a, b bất kì, mệnh đề đúng là: ln( ab) = lna + lnb
Câu 11: Chọn D.
Phương pháp:
Dựa vào sự đối xứng của hai đồ thị hàm số.
Cách giải:
Đồ thị hàm số ở Hình 2 được xác định bằng cách:
+) Từ đồ thị Hình 1 bỏ đi phần đồ thị bến trái trục Oy.
+) Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy qua Oy.
Vậy đồ thị Hình 2 là đồ thị của hàm số
( 2)
x
.
Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Xét hàm số có dạng y = ax, a > 0, a ≠ 1:
+ Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến trên ( −∞;+∞ )
21
+ Nếu a > 1: hàm số đồng biến trên ( −∞;+∞ )
Cách giải:
Với 0 < a < 1:
1
1
1
a− 2 <
⇔
<
⇔ a 2 > a 3 ⇔ 0 < a < 1 (luôn đúng). Vậy phương án A đúng.
a 3
a 2 a 3
a
3 2
a
> 1⇔ 3 a > 1⇔ a > 1 (Loại). Vậy phương án B sai.
1
a3 <
1
2017
a
1
1
3
a ⇔ a < a2
>
1
2018
a
⇔ a>1
(Loại). Vậy phương án C sai.
⇔ a2017 < a2018 ⇔ a > 1 (Loại). Vậy phương án D sai.
Câu 13: Chọn A.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức lôgarit cơ bản
Cách giải:
a
b
Các công thức cơ bản liên quan đến lôgarit: lna = blna,lnab = lna + lnb,ln = ln a − lnb.
b
Câu 14: Chọn D.
Phương pháp:
( )
Áp dụng các công thức của hàm số lũy thừa sau: am
n
m
=a
( a)
; am ÷ = a 2 ;
mn
.
m
= am.
Cách giải:
( )
Áp dụng các cơng thức lũy thừa ta thấy chỉ có đáp án D sai: 10α
2
= 10α.2 = 102α = 100α.
Câu 15: Chọn A.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức cơ bản của biểu thức chứa lơgarit
Cách giải:
b
3
Ta có: loga 3 ÷ = loga b − loga a = loga b− 3.
a
Và logaα b =
1
loga b.
α
Câu 16: Chọn C.
Phương pháp:
22
Sử dụng các công thức logb a = logb c.logc a;logaα b =
1
a
loga b;aloga b = b;log ÷ = loga − logb
α
b
Cách giải:
b
loga ÷ = loga b − loga a3 = loga b − 3
a3
Câu 17: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng công thức loga xn = nloga x
Cách giải:
loga x4 = 4loga x
Câu 18: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức của logarit:
loga
b
= loga b − loga c,( a, b, c > 0, a ≠ 1)
c
loga bc = c loga b,( a, b > 0, a ≠ 1)
Cách giải:
log3
3
2
a
= log3 3− log3 a2 = 1− 2log3 a
Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức của hàm loga.
Cách giải:
loga
x
= loga x − loga y
y
Câu 20: Chọn A.
Phương pháp:
Áp dụng công thức cơ bản của biểu thức chứa lơgarit
Cách giải:
1
1 1
1
=
.
Ta có loga5 e = loga e = .
5
5 loge a 5lna
Câu 21: Chọn C.
Phương pháp:
23
Bảng cơng thức lơgarit cơ bản
Cách giải:
Ta có: loga ( xy) = loga x + loga y.
Câu 22: Chọn B.
Cách giải:
Câu 23: Chọn B.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức liên quan biểu thức lơgarit
Cách giải:
Ta có
logab c =
1
1
=
=
logc ab logc a + log c b
1
1
1
+
loga c logb c
=
1
1 1
+
x y
=
xy
.
x+ y
Câu 24: Chọn C.
Phương pháp:
Công thức lôgarit trong sách giáo khoa
Cách giải:
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
x
loga ÷ = loga x − loga y,∀x > 0, y > 0
→ A đúng.
y
loga ( x.y) = loga x − + loga y,∀x > 0, y > 0
→ B đúng. loga x2 = 2loga x,∀x > 0
→ C sai.
log10a.log110 = 1⇔ loga =
1
→ D đúng.
loga 10
Câu 25: Chọn C.
Phương pháp:
Bấm máy hoặc đánh giá qua tính đơn điệu của hàm số lũy thừa
Cách giải:
1
1
− 3
=
>
. Hoặc chọn a = 2 (thử đáp án).
Với a > 0 suy ra a
a 3 a 5
Câu 26: Chọn B.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức liên quan biểu thức mũ cơ bản
Cách giải:
24
Ta có
a 7+1.a2− 7
P=
a 2− 2
÷
2+ 2
=
a 7+1+ 2− 7
(
)(
2− 2
a
)
2+ 2
=
a3
2
a2− 2
=
a3
−2
a
= a5.
Câu 27: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số log a x đồng biến trên ( 0;+∞ ) khi và chỉ khi a > 1.
Cách giải:
Hàm số log a x đồng biến trên ( 0;+∞ ) ⇔ a > 1⇒ Chọn phương án A: y = log3 x (do 3 > 1)
Câu 28: Chọn C.
Cách giải:
Câu 29: Chọn B.
Phương pháp:
Nhận xét từng đáp án.
Cách giải:
Với 0 < a, b ≠ 1;n∈ N * , ta có:
A. loga b=
B.
loga
logb
: sai, vì loga b =
logb
loga
logn a b = log
1
an
b=
1
log b = nloga b
1 a
: đúng
n
1
C. logn a b = loga b : sai
n
D. loga
nb =
1
1
n
logb a : sai, vì log b = log bn = 1 log b.
a
a
a
n
n
Câu 30: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc tính giới hạn \frac {L} {0}.
Cách giải:
1
1
x + 2 − 1
x+ 1
limL = lim
−
÷ = lim− 2
÷ = lim− 2
÷ = −∞
2
− x− 2
x − 4 x→2 x − 4 x→2 x − 4
x→2
(
)
2
−
2
(Vì lim− ( x + 1) = 3 > 0; lim− x − 4 = 0; x → 2 ⇒ x − 4 < 0 )
x→2
x→2
Câu 31: Chọn B.
25
