ÔN TẬP VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
I. Lý thuyết
Các em ôn tập trong slide bài giảng. Trong lúc giải mẫu các ví dụ, Thầy sẽ nhắc lại phần lý thuyết.
II. Bài tập

Bài tập 1: Cho hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 có bảng phân phối chung như sau:

x1

0
1
2
3
4

x2
1
0.07
0.15
0.04
0.03
0.01

0
0.08
0.06
0.05
0.00
0.00

2

0.04
0.05
0.10
0.04
0.05

3
0.00
0.04
0.06
0.07
0.06

a) Tính xác suất P(X1 = X2 )
b) Tính pX1 (x) của X1 và pX2 (x) of X2 .
c) Hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 có độc lập với nhau hay khơng.
d) Tính xác suất P(X1 + X2 < 3)
e) Tính xác suất P(2*X1 < X2 )
f) Tính E[X1 + X2 ]
Bài giải
Ôn Lý Thuyết: Trước khi giải bài ta ôn lại kiến thức: ta thấy đề bài cho bảng phân phối xác suất như vậy
thì hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 là các biến ngẫu nhiên rời rạc. Hơn nữa, ta dễ dàng quan sát các giá trị
của biến ngẫu nhiên X1 and X2 là các giá trị rời rạc. Bảng này còn gọi là bảng phân phối xác suất chung
của hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 . Ví dụ: xác suất mà X1 = 1 và X2 = 2 sẽ là P ( X=
1, X=
2=
) 0.05.
1
2
Thầy có đánh dấu màu xanh trên bảng phân phối xác suất.

a) Tính xác suất P(X1 = X2 )
Đây là xác suất mà hai biến ngẫu nhiên X 1 và X 2 nhận giá trị giống nhau. Ta sẽ có 04 trường hợp tất cả
đó là X
X=
1 , X=
X=
2 và X=
X=
3 . Như vậy xác suất P ( X 1 = X 2 ) sẽ
=
X=
0 , X=
1
2
1
2
1
2
1
2
bằng tổng xác suất của cả 04 trường hợp đã liệt kê:

P ( X1 =
X2 ) =
P ( X1 =
X2 =
0) + P ( X1 =
X 2 =+
1) P ( X 1 =
X2 =

2) + P ( X1 =
X2 =
3) .
Bây giờ ta tiến hành tra bảng phân phối xác suất để tính các xác suất thành phần. Đó là:


 P ( X=
1

 P ( X=
1

1
 P ( X=
 P X=
 ( 1

X=
0=
) 0.08
2
X 2= 1=
) 0.15
X=
2=
) 0.1
2
X=
3=
) 0.07

2

Cuối cùng, lấy các kết quả cộng lại sẽ xong câu a.

P ( X 1 = X 2 ) = 0.08 + 0.15 + 0.1 + 0.07 = 0.4 .
b) Tính pX1 (x) của X1 và pX2 (x) of X2
Ôn lý thuyết: Biến ngẫu nhiên rời rạc X 1 sẽ có hàm PMF (probability mass function) là p X1 ( x ) được
định nghĩa là xác suất X 1 nhận giá trị x: p X=
( x ) P=
( X 1 x ) . Tương tự như vậy, p X 2 ( x ) là hàm PMF
1
của biến ngẫu nhiên rời rạc X 2 . Tuy nhiên, đề bài lại cho bảng phân phối xác suất chung và yêu cầu phải
tìm hàm phân phối xác suất riêng của X 1 và X 2 . Do đó, p X1 ( x ) và p X 2 ( x ) còn được gọi là hàm PMF
riêng (margin PMF).
Xét biến ngẫu nhiên X 1 , ta thấy X 1 chỉ nhận 05 giá trị rời rạc đó là 0, 1, 2, 3 và 4. Cho nên, ta cần tìm 05
hàm PMF gồm: p X1 ( 0 ) , p X1 (1) , p X1 ( 2 ) , p X1 ( 3) và p X1 ( 4 ) .
Ví dụ tính p X1 ( 0 ) được tính như sau (xem định nghĩa trong slide bài giảng)

p X1 ( 0 ) = P ( X 1 = 0 ) = P ( X 1 = 0, X 2 = 0 ) + P ( X 1 = 0, X 2 =1) + P ( X 1 = 0, X 2 = 2 ) + P ( X 1 = 0, X 2 =3)
=0.08 + 0.07 + 0.04 + 0
= 0.19.
Tương tự , ta tính p X1 (1) như sau:
p X1 (1) =P ( X 1 =1) =P ( X 1 =1, X 2 =0 ) + P ( X 1 =1, X 2 =1) + P ( X 1 =1, X 2 =2 ) + P ( X 1 =1, X 2 =3)
=0.06 + 0.15 + 0.05 + 0.04
= 0.3
Tương tự , ta tính p X1 ( 2 ) như sau:
p X1 ( 2 ) = P ( X 1 = 2 ) = P ( X 1 = 2, X 2 = 0 ) + P ( X 1 = 2, X 2 =1) + P ( X 1 = 2, X 2 = 2 ) + P ( X 1 = 2, X 2 = 3)
= 0.05 + 0.04 + 0.1 + 0.06
= 0.25
Tương tự , ta tính p X1 ( 3) như sau:



p X1 ( 3) = P ( X 1 =3) = P ( X 1 =3, X 2 =0 ) + P ( X 1 =3, X 2 =1) + P ( X 1 =3, X 2 =2 ) + P ( X 1 =3, X 2 =3)
0 + 0.03 + 0.04 + 0.07
=
= 0.14
Tương tự , ta tính p X1 ( 4 ) như sau:
p X1 ( 4 ) = P ( X 1 = 4 ) = P ( X 1 = 4, X 2 = 0 ) + P ( X 1 = 4, X 2 =1) + P ( X 1 = 4, X 2 = 2 ) + P ( X 1 = 4, X 2 = 3)
=
0 + 0.01 + 0.05 + 0.06
= 0.12
Sau khi tính xong các giá trị, ta nên vẽ bảng phân phối cho hàm p X1 ( x ) :
x1
pX1 (x1 )

0
0.19

1
0.30

2
0.25

3
0.14

4
0.12


Tương tự cách làm trên, các em sẽ đạt được hàm p X 2 ( x ) như trong bảng sau:
x2
pX2 (x2 )

0
0.19

1
0.30

2
0.28

3
0.23

c) Hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 có độc lập với nhau hay khơng.
Ơn lý thuyết: Hai biến ngẫu nhiên X1 and X2 nếu độc lập với nhau thì ta có:

P ( X=
x, X=
y=
) P ( X=1 x ) P ( X=2 y ) sẽ đúng với mọi x và y.
1
2
Bây giờ ta thử một ví dụ xem có đúng hay khơng: theo bảng phân phối xác suất chung, ta có:

P ( X=
0, X=
0=

) 0.08
1
2
Theo bảng phân phối xác suất riêng thì: P ( X=
0=
) 0.19 và P ( X=2 0=) 0.19 .
1
Do đó, P ( X 1 =
0, X 2 ==
0 ) 0.08 ≠ P ( X 1 =
0 ) P ( X 2 ==
0 ) 0.192 =
0.361.
Vì vậy, mệnh đề P ( X=
x, X=
y=
) P ( X=1 x ) P ( X=2 y ) không đúng khi x=0 và y = 0 nên hai
1
2
biến ngẫu nhiên này không độc lập với nhau.
Chú ý: các em chỉ cần tìm 01 phản ví dụ như trên là có thể kết luận được hai biến ngẫu nhiên này khơng
độc lập với nhau. Khơng cần tìm nhiều phản ví dụ cho mất thời gian.
d) Tính xác suất P(X1 + X2 < 3)
Ta cần liệt kê hết tất cả các trường hợp có thể xảy ra. Ví dụ để X1 + X2 < 3 thì X1 + X2 có thể bằng 0,
bằng 1 hoặc bằng 2. Do đó, ta có thể viết


P ( X 1 + X 2 < 3) =P ( X 1 + X 2 =0 ) + P ( X 1 + X 2 =1) + P ( X 1 + X 2 =2 )
Bây giờ tính P ( X 1 + X 2 =
0 ) : xác suất này xảy ra chỉ khi X=

X=
0 . Do đó,
1
2

P ( X 1 + X 2 =0 ) =P ( X 1 =X 2 =0 ) =0.08.
Bây giờ tính P ( X 1 + X 2 =
1) : xác suất này xảy ra khi X 1 = 0 , X 2 = 1 và X 1 = 1 , X 2 = 0 . Do đó,

P ( X 1 + X 2 =1) =P ( X 1 =0, X 2 =1) + P ( X 1 =1, X 2 =0 )
= 0.07 + 0.06
= 0.13
Bây giờ tính P ( X 1 + X 2 =
2 ) : xác suất này xảy ra khi X 1 = 0 , X 2 = 2 ; X 1 = 1 , X 2 = 1 và X 1 = 2 ,

X 2 = 0 . Do đó,
P ( X1 + X 2 =
2) =
P ( X1 =
0, X 2 =
2) + P ( X1 =
1, X 2 =
1) + P ( X 1 =
2, X 2 =
0)
= 0.04 + 0.15 + 0.05
= 0.24
Sau khi đã tính được các kết quả P ( X 1 + X 2 =
2 ) , ta thay vào
0) , P ( X1 + X 2 =

1) và P ( X 1 + X 2 =

P ( X 1 + X 2 < 3) để được:

P ( X 1 + X 2 < 3) =P ( X 1 + X 2 =0 ) + P ( X 1 + X 2 =1) + P ( X 1 + X 2 =2 )
= 0.08 + 0.13 + 0.24
= 0.45
e) Tính xác suất P(2*X1 < X2 )
Cũng vậy, ta thực hiện liệt kê các trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: X 2 = 3 thì X 1 chỉ có thể là: X 1 = 0 hoặc X 1 = 1
Trường hợp 2: X 2 = 2 thì X 1 chỉ có thể là: X 1 = 0
Trường hợp 3: X 2 = 1 thì X 1 chỉ có thể là: X 1 = 0
Trường hợp 4: X 2 = 0 thì X 1 không thể nhận bất cứ giá trị nào.
Do đó, ta có thể viết:


P ( 2 X 1 < X 2 ) = P ( X 1 = 0, X 2 =3) + P ( X 1 =1, X 1 =3) + P ( X 1 = 0, X 2 = 2 ) + P ( X 1 = 0, X 2 =1)
=+
0 0.04 + 0.04 + 0.007
= 0.15
Chú ý: Khi làm bài các em trình bày bằng TA và chỉ viết đơn giản các cơng thức và đáp số là được. Thầy
trình bày cụ thể bằng TV để các em ôn bài.
f) Tính E[X1 + X2 ]
Ơn lý thuyết: E là ký hiệu kỳ vọng tốn học tức là tính giá trị trung bình. Xem lại slide bài giảng, ta có
cơng thức:

E [ X1 + =
X2]

4


3

∑ ∑ (x + x ) p

=
x1 0=
x2 0

1

2

X1 , X 2

( x1 , x2 )

Trong đó, p X1 , X 2 ( x1 , x2 ) là hàm PMF chung, và được đưa ra trong bảng phân phối. Cụ thể:

E [ X1 + =
X2]

4

3

∑ ∑ (x + x ) p

x1 0=
x2 0

=

1

2

X1 , X 2

( x1 , x2 )

0, X=
0 ) + (0 + 1) P ( X=
0, X=
1) + (0 + 2) P ( X=
0, X=
2 ) + (0 + 3) P ( X=
0, X=
3)
= (0 + 0) P ( X=
1
2
1
2
1
2
1
2
1, X=
0 ) + (1 + 1) P ( X=
1, X=

1) + (1 + 2) P ( X=
1, X=
2 ) + (1 + 3) P ( X=
1, X=
3)
+(1 + 0) P ( X=
1
2
1
2
1
2
1
2
2, X=
0 ) + (2 + 1) P ( X=
2, X=
1) + (2 + 2) P ( X=
+(2 + 0) P ( X=
2, X=
2 ) + (2 + 3) P ( X=
2, X=
3)
1
2
1
2
1
2
1

2
3, X=
0 ) + (3 + 1) P ( X=
3, X=
1) + (3 + 2) P ( X=
3, X=
2 ) + (3 + 3) P ( X=
3, X=
3)
+(3 + 0) P ( X=
1
2
1
2
1
2
1
2
4, X=
0 ) + (4 + 1) P ( X=
4, X=
1) + (4 + 2) P ( X=
4, X=
2 ) + (4 + 3) P ( X=
4, X=
3)
+(4 + 0) P ( X=
1
2
1

2
1
2
1
2
= 3.2
Bài tập 2: Cho hai biến ngẫu nhiên X and Y có hàm phân phối chung như sau:
2
c ( x − y ) , x ∈ {−1, 0,1} , y ∈ {−1, 0,1}
f X ,Y ( x, y ) = 
0, Otherwise

a) Tìm giá trị của c.
b) Tìm các hàm f X ( x ) và fY ( y ) .
Bài giải
Các em thấy đề bài cho hàm f mà khơng nói là hàm gì nhưng nhìn vào giá trị của x và y ta thấy rằng x chỉ
có 03 giá trị là -1, 0 và 1; và y cũng có 03 giá trị là -1, 0 và 1. Nên X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc,


và hàm f này chính là hàm PMF. Do đó, lúc nào trước khi làm bài cũng phải xác định đúng biến ngẫu
nhiên là rời rạc hay liên tục.
a) Tìm giá trị của c.
Ôn lý thuyết: Khi đã xác định được X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, ta sẽ có:

∑∑ f
x

Tức là tổng tất cả các giá trị của hàm PMF chung sẽ bằng 1 (xem lại slide bài giảng).
Áp dụng trong bài tập này, ta có:
1


1

∑∑f

−1 y =
−1
x=

X ,Y

( x, y ) = 1

⇒ f X ,Y (−1, −1) + f X ,Y (−1, 0) + f X ,Y (−1,1)
+ f X ,Y (0, −1) + f X ,Y (0, 0) + f X ,Y (0,1)
+ f X ,Y (1, −1) + f X ,Y (1, 0) + f X ,Y (1,1) =
1
⇒ c ( −1 − (−1) ) + c ( −1 − (0) ) + c ( −1 − (1) )
2

2

+c ( 0 − (−1) ) + c ( 0 − (0) ) + c ( 0 − (1) )
2

2

2

2


+c (1 − (−1) ) + c (1 − (0) ) + c (1 − (1) ) =
1
2

2

2

⇒ c ( 0 + 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 0) = 1 ⇒ c =

1
12

Tương tự, ta có bảng phân phối xác xuất chung:
y

x

-1
0
1/12
4/12

-1
0
1

0
1/12

0
1/12

1
4/12
1/12
0

Làm tương tự như trên Bài tập 1, ta sẽ được các hàm PMF riêng:
x
fX(x)

-1
5/12

0
2/12

1
5/12

y
FY (y)

-1
5/12

0
2/12


1
5/12

y

X ,Y

( x, y ) = 1 .