CHUYÊN ĐỀ 1. TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
I.LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa

Cho biểu thức A x; y; z . Khi đó hằng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của A x; y; z nếu

thỏa mãn hai điều kiện sau:
Với mọi x; y; z mà A x; y; z xác định mà A x; y; z �M
Tồn tại một bộ số  x; y; z sao cho A x; y; z  M
Cho biểu thức A x; y; z . Khi đó hằng số N là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A x; y; z nếu
thỏa mãn hai điều kiện sau:
Với mọi x; y; z mà A x; y; z xác định mà A x; y; z �N
Tồn tại một bộ số  x; y; z sao cho A x; y; z  N
II. LUYỆN TẬP
Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 2 ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2
Bài 1: Tìm GTNN của: A( x)  x 2  4 x  24
HD:
A( x)  x 2  4 x  24  ( x  2) 2  20 �20x
� min A( x)  20 � x  2

Bài 2: Tìm GTNN của: B( x)  2 x 2  8 x  1
HD:
B( x)  2 x 2  8 x  1  2( x 2  4 x  4)  8  1  2( x 2  4 x  4)  7  2( x  2) 2  7 �7
� min B(x)  7 � x  2

Bài 3: Tìm GTNN của: C ( x)  3x 2  x  1
HD:
1
1
13

1
13 13
C ( x )  3 x 2  x  1  3( x  2. x  )   3( x  ) 2  �
6
36 12
6
12 12

Bài 4: Tìm GTLN của: A( x)  5 x 2  4 x  1
HD:
A( x)  5 x 2  4 x  1  5( x 2 

4
1
2
4
9
2
9 9
x  )  5( x 2  2. x  )   5( x  ) 2  �
5
5
5
25 5
5
5 5

Bài 5: Tìm GTLN của: B( x)  3x 2  x  1
HD:
1

1
13
1
13 13
B( x)  3 x 2  x  1  3( x  2. x  )   3( x  ) 2  �
6
36 12
6
12 12
2
Bài 6: Tìm GTNN của : A  9 x  6 x  4 3x  1  6

HD:
2
2
2
Đặt: 3x  1  t  t  9 x  6 x  1  E  t  4t  5

1


Bài 7: Tìm GTLN của: A   2 x  1   3x  2   x  11
2

2

HD:
2

� 17 � 9 9

A  4x  4x  1 9x  12x  4 x  11 5x  17x  14  5�x  �
�
� 10 � 20 20
2

2

2

Bài 8: Tìm min của: A   x  3   x  1
2

2

HD:
A  x2  6x  9 x2  2x  1 2x2  8x  10  2 x  2  2 �2
2

Bài 9: Tìm min của: B  2  x  1  3  x  2   4  x  3
2

2

2

HD:














B  2 x2  2x  1  3 x2  4x  4  4 x2  6x  9  x2  8x  22   x  4  38 �38
2

2
Bài 10: Tìm Min của: P  5 x  6 x  1  1

HD:
1
6

TH1: x �  P  5x2  6x
TH2: x 

1
 P  5x2  6x  2
6

Dạng 2: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải:
Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.

Sử dụng các hằng đẳng thức  a �b , a  b c .
2

2

Dạng 2.1: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Bài 1: Tìm GTNN của: C  x 4  4 x3  9 x 2  20 x  22
HD:
C   x 4  4 x3  4 x 2   5  x 2  4 x  4   2

C  x 2  x 2  4 x  4   5  x 2  4 x  4   2  ( x  2)2 .( x 2  5)  2

Bài 2: Tìm min của: I  x 4  6 x3  11x 2  12 x  20
HD:





I  x4  6x3  11x2  12x  20  x2 x2  6x  9  2x2  12x  20





I  x2  x  3  2 x2  6x  9  2  x2  x  3  2 x  3  2 �2
2

2


2

Bài 3: Tìm GTNN của: A( x)  x 4  6 x3  10 x 2  6 x  9
HD:
A( x)  x 4  6 x 3  10 x 2  6 x  9  ( x 4  6 x 3  9 x 2 )  ( x 2  6 x  9)  ( x 2  3 x) 2  ( x  3) 2 �0x

2


�x 2  3x  0
� min A( x)  0 � �
� x3
�x  3  0

Bài 4: Tìm GTNN của: B( x)  x 4  10 x 3  26 x 2  10 x  30
HD:
�x 2  5 x  0
B( x)  x 4  10 x 3  26 x 2  10 x  30  ( x 2  5 x) 2  ( x  5) 2  5 �5 � �
� x5
�x  5  0

Bài 5: Tìm GTNN của: C ( x)  x 4  2 x 3  3 x 2  4 x  2017
HD:
C ( x)  x 2 ( x 2  2)  2 x( x 2  2)  ( x 2  2)  2015  ( x 2  2)( x  1) 2  2015 �2015 � x  1

Bài 6: Tìm GTNN của: D( x)  x 4  x 2  2 x  7
HD:
D( x)  x 4  2 x 2  1  x 2  2 x  1  5
D( x)  ( x 2  1) 2  ( x  1) 2  5  ( x  1) 2 .[( x  1) 2  1]  5 �5 � x  1


Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: A  a 4  2a 3  4a  5
HD:

A  a 2  a 2  2   2a  a 2  2    a 2  2   3 =  a 2  2   a 2  2a  1  3 �3 dấu bằng khi a=1

Dạng 2.2: (x+a)4 +( x+b)4 +..
Bài 1: Tìm GTNN của: D   x  8    x  6 
4

4

HD:
Đặt: x  7  y  D   y  1   y  1  2 y 4  12 y 2  2 �0  0  2 �2
4

4

Bài 2: Tìm min của: A   x  2    x  2 
4

4

HD:



 




2

A  x2  4x  4  x2  4x  4

2

 2[(x2  4)2  16x2]  2(x4  24x2)  32 �32

Bài 3: Tìm max của: F  2  3  x  1  3  x  5 
4

4

HD:
Đặt x  2  t  F  2  3 t  3  3 t  3
4





2





4

2


 F  3 t2  6t  9  3 t2  6t  9  2
 F  6[(t2  9)2  36t2 ]  2





 F  6t4  324t2  484  6 t4  54t2  484





4
2
Suy ra: F  6 t  54t  484 �484

Bài 4: Tìm min của: G   x  3   x  7 
4

4

HD:
3




 

 2 t



Đặt x  2  t  G   t  5   t  5  t2  10t  25  t2  10t  25
4

4

2





G  2t4  300t2  1250  2 t4  2.75t2  5625  104

2



2

2

 75  104 �104

Dạng 2.3: x(x+a)( x+b)(x +c) + …..
Bài 1: Tìm GTNN của: A  x  x  3  x  4   x  7 
HD:








A  x x  7  x  3  x  4  x2  7x x2  7x  12 ,

Đặt x2  7x  6  t

2
Khi đó: A   t  6  t  6  t  36 �36

�
x1
2
2
Dấu “ = ” khi t  0  x  7x  6  0  �
x 6
�
Vậy Min A= - 36 khi x=1 hoặc x=6

2
Bài 2: Tìm GTNN của: B   x  1  x  3  x  4 x  5

HD:








B  x2  4x  3 x2  4x  5 , Đặt x2  4x  4  t . Khi đó:

B   t  1  t  1  t2  1�1 , Dấu “ = “ khi t2  0  x2  4x  4  0  x  2

Bài 3: Tìm min của: A  x  x  2   x  4   x  6   8
HD:







A  x x  6  x  2  x  4  8  x2  6x x2  6x  8  8 , Đặt x2  6x  4  t . Khi đó:

A   t  4  t  4  8  t2  16  8  t2  8 �8 , Dấu “ = “ Khi đó:
�
x  3  5
t2  0  x2  6x  4  0  �
�
x  3  5
�

Bài 4: Tìm GTNN của: B   x  1  x  2   x  3  x  4 
HD:








B   x  1  x  4  x  2  x  3  x2  5x  4 x2  5x  6 , Đặt x2  5x  5  t , Khi đó:

B   t  1  t  1  t2  1�1 , Dấu “ = “ khi t2  0  x2  5x  5  0  x  5� 5
2

2
2
Bài 5: Tìm GTNN của: A   x  x  6   x  x  2 

HD:

2
Đặt x2  x  2  t . Khi đó: A   t  4  t  4  t  16 �16

�
x1

2
Dấu “ = “ xảy ra khi: t  0  x  x  2  0  �

x  2
�

Bài 6: Tìm GTNN của : C   x  1  x  2   x  3  x  6 

4


HD:







C   x  1  x  6  x  2  x  3  x2  5x  6 x2  5x  6 , Đặt x2  5x  t . Khi đó:
�
x 0
x  5
�

C   t  6  t  6  t2  36 �36 , Dấu “ = “ khi t  0  x2  5x  0  �

Bài 7: Tìm GTNN của: D   2 x  1  x  2   x  3  2 x  1
HD:







D   2x  1  x  3  x  2  2x  1  2x2  5x  3 2x2  5x  2 , Đặt 2x2  5x  t , Khi đó:
2


� 1 � 25 25
D   t  3  t  2  t  t  6  �
t  �
�
4
� 2� 4
2

Dấu “ = “ khi: t 

1
1
5 � 29
 2x2  5x   x 
2
2
4

Bài 8: Tìm min của: C   x  1  x  2   x  3  x  4   2011
HD:







C   x  1  x  4  x  2  x  3  2011  x2  5x  4 x2  5x  6  2011 , Đặt x2  5x  5  t


Khi đó: C   t  1  t  1  2011 x2  5x  5  0  x 

 5� 5
2

Bài 9: Tìm max của: E  5   1  x   x  2   x  3  x  6 
HD:







E  5  x  1  x  6  x  2  x  3   x2  5x  6 x2  5x  6  5 , đặt x2  5x  t .





2
2
Khi đó: E    t  6  t  6  5   t  36  5  t  41 �41

�
x 0
x  5
�

2

2
Dấu “ = “ Khi t  0  x  5x  0  �

Bài 10: Tìm GTNN của: M   x  1  x  2   x  3   x  6 
HD:







M   x  1  x  6  x  2  x  3  x2  5x  6 x2  5x  6 , Đặt x2  5x  t .
�
x 0
x  5
�

2
2
Khi đó: M   t  6  t  6  t  36 �36 , Dấu “ = ” khi t  0  x  5x  0  �

2
Bài 11: Tìm min của: D   x  1  x  4   x  5  2014

HD:








D   x  1  x  2  x  2  x  5  2014  x2  3x  10 x2  3x  2  2014 , Đặt

x2  3x  4  t

2
Khi đó: D   t  6  t  6  2014  t  1978

�
x1
x  4
�

2
2
Dấu “= “ xảy ra khi: t  0  x  3x  4  0  �

5


Bài 12: Tìm GTNN của: G ( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)  2006
HD:
x0
�
G ( x)  ( x 2  5 x  6)( x 2  5 x  6)  2006  ( x 2  5 x) 2  2042 �2042 � �
x  5
�


Bài 13: Tìm số ngun m lớn nhất sao cho BĐT ln đúng với mọi x:  x  1  x  2 

2

 x  3 �m

HD:







VT   x  1  x  3  x  2  x2  4x  3 x2  4x  4 , Đặt x2  4x  t , Khi đó:
2

2

7 49
49 � 7 � 1 1
VT   t  3  t  4  t  7t  12  t  2.t.   12
�
t  � �  1
2 4
4 � 2� 4 4
2

2


Bài 14: Tìm số ngun m lớn nhất sao cho BĐT ln đúng với mọi x:
( x  2)  x  3  x  4   x  5  �m

Dạng 3: NHĨM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp giải:
Sử dụng biến dổi đưa về hằng đẳng thức  a �b , a  b  c
2

2

Chú ý khi biến đổi thành nhiều ngoặc vì khi đó điều kiện dấu “ = ” xảy ra bị ràng buộc nhiều.
Dạng 3.1: đưa về HĐT  a �b

2

Bài 1: Tìm min của: I  x 2  4 xy  5 y 2  6 y  11
HD:





I  x2  4xy  4y2  y2  6y  11

Bài 2: Tìm min của: M  x 2  2 xy  2 y 2  2 y  1
HD:



 




M  x2  2xy  y2  y2  2y  1

Bài 3: Tìm min của: R  x 2  2 y 2  2 xy  2 y
HD:

R  x2  2y2  2xy  2y  x2  2xy  y2  y2  2y  1 1   x  y   y  1  1�1
2

2

Bài 4: Tìm min của: A  4 x 2  5 y 2  4 xy  16 y  32
HD:
A  4x2  5y2  4xy  16y  32



 



A  4x2  4xy  y2  4y2  16y 32
A  (2x  y)2  4(y  2)2  16 �16

Bài 5: Tìm min của: B  x 2  5 y 2  5 z 2  4 xy  4 yz  4 z  12
HD:




 

 



B  x2  4xy  4y2  y2  4yz  4z2  z2  4z  4  8
6


  x  2y   y  2z   z  2  8 �8
2

2

2

Bài 6: Tìm min của: C  5 x 2  12 xy  9 y 2  4 x  4
HD:



 



C  4x2  2.2x.3y  9y2  x2  4x  4   2x  3y   x  2 �0
2


2

Bài 7: Tìm min của: E  x 2  5 y 2  4 xy  2 y  3
HD:
E  x2  4xy  4y2  y2  2y  1 4   x  2y   y  1  4 �4
2

2

Bài 8: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: x 2  4 y 2  z 2  2 x  8 y  6 z  15  0
HD :

 x  2x  1   4y  8y  4   z  6z  9  1�1
2

2

2

Bài 9: Tìm min của: A  2 x 2  y 2  2 xy  2 x  3
HD :
A  x2  2xy  y2  x2  2x  1 2   x  y   x  1  2 �2
2

2

Bài 10: Tìm max của: B  2  5 x 2  y 2  4 xy  2 x
HD:
 B  5x2  y2  4xy  2x  2  y2  2.y.2x  4x2  x2  2x  1 3   y  2x   x  1  3 �3
2


2

B    2x  y   x  1  3 �3
2

2

Bài 11: Tìm GTNN của: A  x2  2xy  2y2  4y  5
HD:
Ta có: A  x2  2xy  y2  y2  4y  4  1   x  y   y  2  1
2

2

Do:  x  y �0, y  2 �0 , Nên A   x  y   y  2  1�1
2

2

2

2

Bài 12: Tìm min của: B  2 x 2  y 2  2 xy  8 x  2028
HD:



 




B  x2  2xy  y2  x2  8x  16  2012

Bài 13: Tìm GTNN của biểu thức : A  x 2  2 y 2  2 xy  4 y  5
HD:
Ta có A( x )  x 2  2 y 2  2 xy  4 y  5   x 2  2 xy  y 2    y 2  4 y  4   1   x  y    y  2   1
2

��
A 1��
x, y 
R

" "

�x  y  0
�
�y  2  0

x

y

2

2

Vậy min A  1 � x  y  2

Bài 14: Tìm GTNN của biểu thức : B  2 x 2  2 y 2  5 y 2  5
HD:

7


B  2 x 2  2 y 2  5 y 2  5   x 2  4 xy  4 y 2    x 2  2 xy  y 2   y 2  5   x  2 y    x  y   5 �5
2

2

�x  2 y  0
�x y0
�
�x  y  0

Bài 15: Tìm GTNN của biểu thức : A( x )  2 x 2  y 2  2 xy  2 x  3
HD:
A( x)  2 x 2  y 2  2 xy  2 x  3
 ( x 2  2 xy  y 2 )  ( x 2  2 x  1)  2
 ( x  y ) 2  ( x  1) 2  2 �2
� x  y 1

Bài 16: Tìm GTNN của biểu thức : D( x)  2 x 2  3 y 2  4 z 2  2( x  y  z )  2
HD:
D( x)  2 x 2  3 y 2  4 z 2  2( x  y  z )  2  2( x 2  x)  (3 y 2  2 y )  (4 z 2  2 z )  2
1
2
1 � 2
1�

1 1 1
 2( x 2  x  )  3( y 2  y  )  �
(2 z )  2 z  � 2   
4
3
9 �
4�
2 3 4
1
1
1
11 11
1 1 1
 2( x  ) 2  3( y  ) 2  (2 z  ) 2  � � ( x, y, z )  ( ; ; )
2
3
2
2 2
2 3 4

Bài 17: Tìm GTNN của biểu thức : A  4 x 2  5 y 2 8 xy  10 y  12
HD:
A  4 x 2  5 y 2 8 xy  10 y  12
 4 x 2  8 xy  4 y 2  y 2  10 y  25  37
 4( x  y )2  ( y  5) 2  37 �37
�x  5
��
�y  5

Bài 18: Tìm GTLN của biểu thức : A  x  y  z  ( x 2  2 y 2  4 z 2 )

HD:
1 2
1 2
1 2

A ��
( x 
) 2( y
) (2 z
)
2
4
4

7
16

7
16

A

7
16

x

1
;y
2


1
;z
4

1
8

Bài 19: Tìm min của: A  x 2  4 y 2  4 x  32 y  2018
HD:



 



A  x2  4x  4  4y2  32y  64  1950   x  2  4 y  4  1950 �1950
2

2

Bài 20: Tìm min của: A  3 x 2  y 2  4 x  y
HD:
2

2

�
2� �

1 � � 2 � � 1 � 19 19
A  3x  4x  y  y  3�x2  2.x. � �y2  2.y. � 3�x  � �y  � �
3� �
2 � � 3 � � 2 � 12 12
�



2

 

2



Bài 21: Tìm min của: B  5 x 2  y 2  2 xy  12 x  18
HD:



 



B  4x2  12x  x2  2xy  y2  18   2x  3   x  y  27 �27
2

2


8


Bài 22: Tìm max của: B  3x 2  16 y 2  8 xy  5 x  2
HD:
2

� 5� 41
� �
�  x  4y  2�x  �
B  �
x

8
xy

16
y
2
x

5
x

2
�
��
�
� 4� 8
2


2

2

2

2

� 5 � 41 41
 B    x  4y  2�x  �
�
� 4� 8 8
2

Bài 23: Tìm max của : N   x 2  4 y 2  6 x  8 y  3
HD:



 



 N  x2  4y2  6x  8y  3  x2  6x  9  4y2  8y  4  16
 N   x  3  4 y  1  16  N    x  3  4 y  1  16 �16
2

2


2

2

Bài 24: Tìm max của: P  3x 2  5 y 2  2 x  7 y  23
HD:



 



 P  3x2  5y2  2x  7y  23  3x2  2x  5y2  7y  23
2

2

2

2

� 1 � � 7 � 1213
� 1� � 7 � 1213 1213
 P  3�x  � 5�y  �
�
=> P  3�x  � 5�y  �
60
� 3� � 10 � 60
� 3� � 10 � 60


Bài 25: Tìm max của: R  7 x 2  4 y 2  8 xy  18 x  9
HD:





 R  7x2  4y2  8xy  18x  9  4y2  8xy  4x2  3x2  18x  9  2 x  y  3 x  3  36
2

2

R  2 x  y  3 x  3  36 �36
2

2

Dạng 3.2: đưa về HĐT  a  b c ; a �b mc
2

2

Bài 1: Tìm GTNN của: A  x 2  2 xy  2 y 2  2 x  10 y  17
HD:
2
2
2y2  10y  17  y  1 �
A  x2  2x y  1  2y2  10y  17  x2  2x y  1   y  1  �
�

�





A   x  y  1  y2  8y  16   x  y  1   y  4 �0
2

2

2

Bài 2: Tìm min của: B  x 2  xy  y 2  2 x  2 y
HD:
�2
y  2 y2  4y  4� 2
y2
B  x2  x y  2  y2  2y  �
x  2.x.


y

2
y

 y 1
�
2

4
4
�
�
4B   2x  y  2  3y2  12y  4   2x  y  2  3(y2  4y 4)  16
2

2

4B   2x  y  2  3(y  2)2  16 �16
2



B

4

Bài 3: Tìm min của: C  x 2  xy  y 2  3x  3 y
HD:
9


�2
y  3 y2  6y  9� 2
y2  6y  9
C  x2  x y  3  y2  3y  �
x  2.x.

� y  3y 

2
4
4
�
�

4C   2x  y  3  �
4y2  12y  y2  6y 9�
�
�
2

4C   2x  y  3  �
3y2  6y 3�
�
� 12
2

4C   2x  y  3  3(y  1)2  12 �12
2



 C

3

Bài 4: Tìm min của: D  x 2  2 xy  6 y 2  12 x  2 y  45
HD:






D  x2  2x y  6  6y2  2y  45  x2  2x. y  6   y  6  6y2  2y  45 y2  12y  36
2

  x  y  6  5y2  10y  9
2

Bài 5: Tìm min của: E  x 2  xy  3 y 2  2 x  10 y  20
HD:
E  x2  x y  2  3y2  10y  20  x2  2x.



y  2 y2  4y  4
y2  4y  4

 3y2  10y  20 
2
4
4

 








4E   x  y  2  12y2  40y  80  y2  4y  4   x  y  2  11y2  36y  76
2

2

Bài 6: Tìm max của: F   x 2  2 xy  4 y 2  2 x  10 y  3
HD:

 F  x2  2xy  4y2  2x  10y  3  x2  2x y  1  4y2  10y  3
 F  x2  2x y  1   y  1  4y2  10y  3  y  1  (x  y  1)2  3(y  2)2  10
2

2

Bài 7: Tìm min của: G   x  ay   6  x  ay   x 2  16 y 2  8ay  2 x  8 y  10
2

HD:





2
G�
 x2  2x  1  16y2  8ay  8y
�x  ay  6 x  ay  9�
�


G   x  ay  3   x  1  16y2  8y a  1   a  1   a  1
2

2

2

G   x  ay  3   x  1   4y  a  1   a  1 �  a  1
2

2

2

2

2

2

Bài 8: Tìm max của: H   x 2  xy  y 2  2 x  4 y  11
HD:

 H  x2  xy  y2  2x  4y  11 x2  x y  2  y2  4y  11

 y  2
y  2 y2  4y  4 2
 H  x  2x.


 y  4y  11
2
4
4

2

2





 4H   x  y  2  4y2  16y  44  y2  4y  4
2

Bài 9: Tìm min của: K  x 2  y 2  xy  3x  3 y  20
HD:
10


4K  4x2  4y2  4xy  12x  12y  80
2
2
4K  �
4x2  4x y  3   y  3 � �
4y2  12y  80  y  3 �
�
��
�


4K   2x  y  3  3y2  18y  71
2

Bài 10: Tìm min của: N  x 2  2 xy  2 y 2  x
HD:

 2y  1
2y  1  2y  1
N  x  x 2y  1  2y  x  2x.

 2y2 
2
4
4
2

2

2

2

2





4N   x  2y  1  8y2  4y2  4y  1

2

Bài 11: Tìm min của: A  x 2  2 xy  3 y 2  2 x  1997
HD:





A  x2  2x y  1  3y2  1997  x2  2x y  1   y  1  3y2  1997 y2  2y  1
2

Bài 12: Tìm min của: Q  x 2  2 y 2  2 xy  2 x  10 y
HD:





Q  x2  2x y  1  2y2  10y  x2  2x y  1   y  1  2y2  10y  y2  2y  1
2

Bài 13: Tìm max của: D   x 2  y 2  xy  2 x  2 y
HD:

 D  x2  y2  xy  2x  2y  x2  x y  2  y2  2y
y  2  y  2
y2  4y  4
 D  x  2x.


 y2  2y 
2
4
4
2

2

Bài 14: Tìm GTNN của A  a2  ab  b2  3a  3b  3
HD:





2
2
2
2
Ta có: 4P  a  2ab  b  3 a  b  4  2ab  4a  4b   a  b  3 a  b  2 �0
2

2

2
2
Bài 15: Tìm min của: G  x  xy  y  3  x  y   3

HD :
4G  4x2  4xy  4y2  12x  12y  12




 



4G  4x2  4x y  3   y  3  4y2  12y  12  y2  6y  9
2

4G   2x  y  3  3y2  6y  3   2x  y  3  3 y  1 �0
2

2

2

Bài 16: Tìm min của: B  x 2  2 xy  2 y 2  2 x  10 y  17
HD :





B  x2  2x y  1   y  1  2y2  10y  17 y2  2y  1
2






  x  y  1  y2  8y  16
2

Bài 17: Tìm min của: D  2 x 2  2 xy  5 y 2  8 x  22 y
11


HD :

2D  4x2  4xy  10y2  16x  44y  4x2  4x y  4  10y2  44y
2D  4x2  2.2x y  4   y  4  10y2  44y y2  8y  16
2

Bài 18: Tìm min của: E  2 x 2  9 y 2  6 xy  6 x  12 y  2004
HD :
2E  4x2  18y2  12xy  12x  24y  4008





2E  4x2  12x y  1  9 y  1  18y2  24y  4008 9 y2  2y  1
2

2E   2x  y  1  9y2  42y  3999
2

Bài 19: Tìm min của: F  x 2  2 xy  6 y 2  12 x  12 y  45
HD :






F  x2  2x y  6   y  6  6y2  12y  45 y2  12y  36   x  y  6  5y2  9 �9
2

2

Bài 20: Tìm GTNN của biểu thức : a 2  ab  b 2  3a  3b  3
HD:
P  a 2  ab  b 2  3a  3b  3  4 P   a  b   3  a  b  2  �0
2

2

Bài 21: Tìm min của: A  x 2  6 y 2  14 z 2  8 yz  6 zx  4 xy
HD:

A  x2  2x 2y  3z  6y2  14z2



A  x2  2x 2y  3z   2y  3z  6y2  14z2  4y2  12yz  9z2
2



A   x  2y  3z  2y2  12yz  23z2

2

Bài 22: Tìm min của: B  x 2  2 y 2  3z 2  2 xy  2 xz  2 x  2 y  8 z  2000
HD:

B  x2  2x y  z  1  2y2  3z2  2y  8z  2000





 x2  2x y  z  1   y  z  1  2y2  3z2  2y  2z  2000  y2  z2  1 2yz  2z  2y
2





  x  y  z  1  y2  2z2  4y  2yz  1999
2





2
2
  x  y  z  1  �
y2  2y z  2   z  2 � 2z2  z2  4z  4  1999
�

�





  x  y  z  1   y  z  2  z2  4z  1995
2

2

Bài 23: Tìm max của: A  5  2 x 2  4 y 2  4 xy  8 x  12 y
HD:

 A  2x2  4y2  4xy  8x  12y  5  2x2  4x y  2  4y2  12y  5
2
2
 2�
x2  2x y  2   y  2 � 4y2  12y  5 2 y  2
�
�

Bài 24: Tìm GTNN của biểu thức : A  x 2  2 xy  2 y 2  2 x  10 y  17
12


HD:
A  x2  2x y  1  2y2  10y  17  x2  2x y  1   y  1  2y2  10y  17   y  1
2


2



2



2
2
A �
x  y  1�
�
� 2y  10y  17 y  2y  1

Bài 25: Tìm GTNN của biểu thức : B( x )  x 2  xy  y 2  3x  3 y
HD:
B( x)  ( x 2  2 x  1)  ( y 2  2 y  1)  x( y  1)  ( y  1)  3  ( x  1)2  ( y  1)2  ( x  1)( y  1)  3
1
y 1 2 y 1 2
 ( x  1) 2  2( x  1). .( y  1)  (
) (
)  ( y  1) 2  3
2
2
2
2

y  1� y 2  2 y  1 2
�

�
x 1

 y  2 y 1 3
2 �
4
�
�

y 1
�
2
0
�x  1
y  1� 3( y  1) 2
�x  1 
�
�
x 1 


3
�

3
�
�
2
�
�

y 1
2 �
4
�
�
�
�
�y  1  0

Bài 26: Tìm GTNN của biểu thức : C ( x)  2 x 2  3 y 2  4 xy  8 x  2 y  18
HD:
2
C ( x)  2 x 2  4 xy  2 y 2  y 2  8 x  2 y  18  2 �
( x  y )2  2( x  y )2  4 �
�
� ( y  6 y  9)  1

 2( x  y  2) 2  ( y  3) 2  1 �1 � min A  1 � y  3; x  5

Bài 27: Tìm GTNN của biểu thức : E ( x)  2 x 2  8 xy  11y 2  4 x  2 y  6
HD:
2
E ( x)  2( x 2  4 xy  4 y 2 )  3 y 2  4 x  2 y  6  �
2( x  2 y ) 2  4( x  2 y )  2 �
�
� 3 y  6 y  4

�x  2 y  1  0 �x  3
 2( x  2 y  1) 2  3( y  1) 2  1 �1 � �
��

�y  1  0
�y  1

Bài 28: Tìm GTNN của biểu thức : F ( x)  2 x 2  6 y 2  5 z 2  6 xy  8 yz  2 xz  2 y  4 z  2
HD:
F ( x)  2 x 2  6 y 2  5 z 2  6 xy  8 yz  2 xz  2 y  4 z  2( kho)
3y  z 2
3y  z 2
)  6 y 2  5 z 2  8 yz  (
)  2 y  4z  2
2
2
3 y  z 2 3 2 10
25 2 1 2
 2( x 
)  ( y  yz 
z )  z  2 y  4z  2
2
2
3
9
3
F ( x)  2 x 2  2 x(3 y  z )  2(

 2( x 

3y  z 2 �
3
5
5

2� 1
2
1
)  � ( y  z ) 2  2( y  z )  � ( z 2  z  )  1
2
2
3
3
3� 3
3
3
�

� 3y  z
�x  2  0
�x  1
�
3
5
2 2 1
2
� 5
�
2
 2(...)  ( y  z  )  ( x  1)  1 �1 � �y  z   0 � �y  1 � min A  1
2
3
3
3
3

� 3
�
�z  1
�z  1  0
�
�

Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : G ( x)  2 x 2  2 y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz  2 x  4 y
HD:
13


G ( x)  2 x 2  2 y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz  2 x  4 y
 ( x  1)2  ( y  2) 2  ( x  y  z ) 2  5 �5
� x  1; y  2; z  3

Bài 30: Tìm GTNN của biểu thức : H ( x)  x 2  y 2  xy  x  y  1
HD:
H ( x)  x 2  y 2  xy  x  y  1
� 4 H ( x)  (2 x) 2  2.2 x. y  y 2  3 y 2  4 x  4 y  4
 (2 x  y ) 2  2(2 x  y )  3 y 2  2 y  3  1  (2 x  y  1) 2  3( y 2 
� min 4 A 

2
1
8 8
y  1)  (2 x  y  1) 2  3( y  ) 2  �
3
2
3 3


8
2
1
2
� x ;y
� min A 
3
3
3
3

Bài 31: Tìm GTLN của biểu thức :  x 2  y 2  xy  2 x  2 y
HD:
A   x 2  y 2  xy  2 x  2 y � 4 A  4 x 2  4 y 2  4 xy  8 x  8 y
A  4 x 2  4 x( y  2)  ( y  2) 2  ( y  2)2  4 y 2  8 y
 (2 x  y  2) 2  3( y 2  4 y)  4  (2 x  y  2) 2  3( y  2) 2  16 �16
��
A 4

2x  y  2  0
�
�
�y  2  0

�x  2
�
�y  2

Bài 32: Tìm GTNN của biểu thức : A  5 x 2  9 y 2 12 xy  24 x  48 y  82

HD:
A  5 x 2  9 y 2 12 xy  24 x  48 y  82  9 y 2  12 y ( x  4)  4( x  4) 2  4( x  4) 2  5 x 2  24 x  82
  3 y  2( x  4)  ( x  4) 2  2 �2x, y �R � x  4; y 
2

16
3

Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức : B  3x 2  3 y 2  z 2  5 xy  3 yz  3xz  2 x  2 y  3
HD:
2

y 4
2
� 3
� 3
B�
z  ( x  y ) � ( x   )2  ( y  2)2  1 �1
3 3
3
� 2
� 4

Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức : A  x 2 2 y 2  2 xy  2 x  4 y  2013
HD:
A  x 2 2 y 2  2 xy  2 x  4 y  2013
 x 2  2 x( y  1)  ( y  1) 2  ( y  3) 2  2003 �2003
� x  4; y  3

Bài 35: Tìm min của: A  3x 2  4 y 2  4 xy  2 x  4 y  26

HD:
2
2
A  4y2   4xy  4y  3x2  2x  26  �
4y2  2.2y. x  1   x  1 � 3x2  2x  26   x  1
�
�





A   2y  x  1  2x2  4x  25   x  2y  1  2 x2  2x  1  23 �23
2

2

14


Bài 36: Tìm max của: A   x 2  y 2  xy  2 x  2 y
HD:





 A  x2  y2  xy  2x  2y  x2   xy  2x  y2  2y  x2  x y  2  y2  2y
2


�2
�y2  4y  4 � � y  2 � �3y2
�
y  2 y2  4y  4� 2
A �
x  2x.


y

2
y

 �  3y  1�
�
� �x 
�
�
2
4
2 � �4
�
�
� 4
��
�
2

�2x  y  1� 3 �2
4 �

A �
 �y  4y  4   4�
�
3 �
� 2
� 4�

Bài 37: Tìm min của: C  a 2  ab  b 2  3x  3b  1989
HD:

 b  3
b  3  b  3
C  a  a b  3  b  3b  1989  a  2.a.

 b2  3b  1989 
2
4
4
2

2

2

2

2

4C  4a2  4ab  4b2  12a  12b  7956
2

2
2
�
4a2  4a b  3   b  3 � 4b2  12b  7956   b  3   2a  b  3  3b2  6b  7947
�
�

Dạng 4: PHÂN THỨC
Phương pháp giải:
Biểu thức dạng A 

m
� Amin � (ax 2  bc  c) max đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị
ax  bc  c
2

lớn nhất
Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất nghịch đảo:
Nếu a �b 

1 1
�
a b

Chia tử cho mẫu nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu rồi đặt ẩn phụ.
Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi thêm bớt.
Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm
� Ta đưa về dạng: A  m 

C C

( �0)
D D

Dạng 4.1: Với m là hằng số hoặc m đã xác định được âm hoặc dương:
m
� Amin � (ax 2  bc  c) max
ax  bc  c
2
Bài 1: Tìm min của: A 
6 x  5  9 x2
A

2

HD:
Ta có: 9x2  6x  5    9x2  6x  1 4    3x  1  4 �4
2

2
2 1
1
1
� 
 A � , Dấu “ = ” khi x 
2
4 2
2
3
6x  5 9x
1

Bài 2: Tìm max của: B  2
x  4x  9


15


HD :
1

1

1

� , Dấu “ = “ khi x=2
2
Ta có : x2  4x  9   x  2  5 �5  B  x2  4x  9 
 x  2  5 5
2

Bài 3: Tìm max của: C 

3
x  5x  1
2

HD :
2

5

� 5� 21 21
3
12 4
Ta có : x  5x  1  �x  � �
 C  2
�  , Dấu “ = “ khi x 
2
4
x  5x  1 21 7
� 2� 4
6
Bài 4: Tìm min hoặc max của: D  2
x  2x  3
HD :
2
6
6
�  3
Ta có :  x2  2x  3   x2  2x  3    x  1  2 �2  2
 x  2x  3 2
2
Bài 5: Tìm min hoặc max của: K  2
x 8
HD :
2
2 1
� 
Ta có : x2  8 �8  2
x 8 8 4
Bài 6: Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau

1
a) A  2
9 x  12 x  10
HD:
1
1
1
1
2
A 2

� � Amax  � x 
2
9 x  12 x  10 (3 x  2)  6 6
6
3
2



b) B 



2
x  x4
2

HD:
B


2
2
2
8
8
1

�  � Bmax  � x 
x  x  4 ( x  1 ) 2 15 15
15
2
2
4
2

y2
( x �0)
c) C  2
9 x  12 xy  5 y 2

HD:
C

y2
( x �0)
9 x 2  12 xy  5 y 2

y 0� A0


1

y �0 � A 

2

9

x
x
 12  5
2
y
y



1
x
1
2
2
(t  ) 
�1 � t  � x  y
2
9t  12t  5
y (3t  2)  1
3
3
2


Bài 7: Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức sau
16


1
x  x 1

a) y 

2

HD:
Ta có thể viết:

y

1
1

2
x  x 1 � 1 �
3
�x  �
� 2� 4
2

2

� 1� 3 3

 
Vì �x ��
�
� 2� 4 4

Vậy GTLN của y 

y

4
3

x

1
2

4
1
tại x 
3
2

2
6 x  5  9x2

b) y 
HD:

2

2

;
2
6x  5  9x
(3 x  1) 2  4
1
2
(3x 1)�
4 4 x
(3 x  1) 2  4
2
2 1

2
(3 x  1)  4 4
2
1
�x
3
y

1
4

3y2
( x �0)
c) A 
25 x 2  20 xy  5 y 2


HD:
y 0� A0

3

y �0 � A 
25

2

x
x
 20  5
2
y
y



3
3

25t  20t  5 (5t  2) 2  1

1
1
(5t  2) 2  1

2
2)

�0 �

Vì (5t �

2

A

3

t

2
5

x

2
y
5

Bài 8: Tìm GTLN của biểu thức sau
a) A 

5
x  2x  5
2

HD:
A


5
5
5

� maxA 
� x 1
2
x  2 x  5  x  1  6
6
2

b) B 

1
x  4 x  11
2

17


HD:
B

1
1
� � x2
x  4 x  11 7
2


Bài 9: Tìm min hoặc max của: M 

4
x  x 1
2

HD :
2

� 1� 3 3
4
16
�
Ta có : x  x  1 �x  � �  2
x  x 1 3
� 2� 4 4
2

Dạng 4.2: Các dạng khác
Bài 1: Tìm min hoặc max của: C 





2 x2  x  1
x 1
2

HD :

C  2

2x
,
x 1
2

Nháp: m

2x
 mx
. 2  2x  m 0_(ax2  bx  c  0) , có   b2  4ac  4  4m2  0  m �1
2
x 1

� 2x
�
x2  2x  1
(x  1)2
C

m

2

(
m

1
)


1

2


1

1

2


1

 1�1
Khi đó:
�2
�
2
2
x

1
x

1
x

1

�
�

  x  1
� 2x
�
 x2  2x  1
Mặt khác: C  m 2  (m 1)  1 2  � 2  1� 1 2 

3

 3 �3
x2  1
x2  1
�x  1 �
2

Bài 2: Tìm min hoặc max của: N 

x2  x  1
x2  1

HD :
Nháp: m

x
1
 mx
. 2  x  m 0 , có :   1 4m2  0  m �
2

x 1
2

� x
1�
1 x2  2x  1 1 1
N



1


 �
Khi đó ta có :
�2
�
2 2 x2  1
2 2
�x  1 2 �





� x
1�
1  x2  2x  1 3   x  1
3 3
N




1





�
Mặt khác :
�2
�
2
2 2 x2  1 2 2
2 x2  1
�x  1 2 �
2



Bài 3: Tìm min hoặc max của: Q 







3x 2  6 x  17

x2  2x  5

HD :
Ta có : Q  3

2
2
2
2 1
� 
, mà x2  2x  5   x  1  4 �4  2
x  2x  5
x  2x  5 4 2
2

2 x 2  16 x  41
Bài 4: Tìm min hoặc max của: R  2
x  8 x  22
HD :

18


2x2  16x  44  3
3
Ta có : R 
 2 2
,
2
x  8x  22

x  8x  22
2
3
3 1
3
1
2
�  
�
2
2
Mà x  8x  22   x  4  6 �6 
 x  4  6 6 2  x  4  6 2

Bài 5: Tìm min hoặc max của: P 

x2
x 2  2 x  2010

HD :
Hạ phép chia ta được : P  1

2x  2010
,
x  2x  2010
2

2x  2010
 a.x2  2a.x  2010a  2x  2010  0
x  2x  2010

2
1
Có  '   a  1  a 2010a  2010  0  a  1; a 
2009

Nháp : a 

2

Làm tương tự như các bài trên .
Bài 6: Tìm min hoặc max của: Q 

2x2  6x  5
x2  2x  1

HD :
Hạ phép chia ta được : Q  2 
Q  2

3 2 t  1
t2



2x  3
, Đặt x  1 t , khi đó ta có :
x  2x  1
2

1

2t2  2t  1
2 1
2
 2  2 , Đặt  a  Q  a  2a  2
2
t
t t
t

Bài 7: Tìm min hoặc max của: A 

2x2  4x  4
x2

HD :
A  2

4 4
1
 2 , Đặt  t  A  4t2  4t  2
x x
x

3 x 2  6 x  17
Bài 8: Tìm min hoặc max của: H  2
x  3x  5
HD :

Hạ phép chia ta được : H  3
Nháp : a 


3x  2
x  3x  5
2

3x  2
 a.x2  3a.x  3x  5a  2  0 , có :
x  3x  5
2

  9 x  1  4a 5a  2  11a2  26a  9  0  a 
2

Bài 9: Tìm min hoặc max của: K 

13�2 67
,
11

x2  4x  1
x2

HD :
K  1

2
4 1
1
 2 , đặt  t  K  t2  4t  1   t  2  3 �3
x x

x

19


x2  4x  1
Bài 10: Tìm min hoặc max của: G 
x2
HD :
2
4 1
1
G  1  2 , Đặt  t  G  t2  4t  1   t  2  3 �3
x x
x
3x 2  8 x  6
x2  2 x  1

Bài 11: Tìm min hoặc max của: E 
HD :

Đặt x  1  t  x  t  1 x2  t2  2t  1
E

Đặt :






3 t2  2t  1  8 t  1  6



t2

3t2  2t  1
2 1
 3  2 ,
2
t t
t

2
1
 a  E  a2  2a  3   a  1  2 �2
t

Bài 12: Tìm min hoặc max của: F 

4x2  6x  1

 2 x  1

2

HD :
Đặt 2x  1 t  x 

t 1

t2  2t  1
 x2 
, Khi đó :
2
4

t2  2t  1 3 t  1  1 t2  5t  5
1
5 5
 a  F  1 5a  5a2
,
Đặt
F


1


2
2
2
t
t t
t
t
x
2
Bài 13: Tìm min hoặc max của: H 
 x  10 


HD :
Đặt x  10  t  x  t  10  H 
Bài 14: Tìm min hoặc max của: I 

t  10 1 10
1
  2 , Đặt  a  H  10a2  a
2
t t
t
t
x

 x  2016 

2

HD :
Đặt x  2016  t  x  t  2016  I 
Bài 15: Tìm min hoặc max của: D 

t  2016 1 2016
1
  2 , Đặt  a  I  a  2016a2
2
t
t
t
t


x 2  2 x  2000
x2

HD :
Ta có : D  1

2 2000
1
 2 , Đặt  a  D  1 2a  2000a2
x
x
x

x 2  2 x  2015
Bài 16: Tìm min hoặc max của: E 
2015 x 2
HD :

Ta có : 2015E 

1
x2  2x  2015
2 2015
 1  2 , Đặt  a  2015E  1 2a  2015a2
2
x
x
x
x
20



 E  a2 

2
1
.a 
2015
2015
x

Bài 17: Tìm min hoặc max của: F 

 x  2000 

2

HD :
Đặt x  2000  t  F 

t  2000 1 2000
1
  2 , Đặt  a  F  a  2000a2
2
t
t
t
t

Bài 18: Tìm min hoặc max của: B 


x2  x  1
 x2  2 x  1

HD :
B

x2  x  1

 x  1

2

,Đặt x  1  t  x  t  1  x2  2t  1

1
t2  3t  3
3 3
 B 
 1  2 , Đặt  a  B  3a2  3a  1
2
t
t t
t

Bài 19: Tìm min hoặc max của: A 

2x2  4x  4
x2


HD :
A  2

4 4
1
 2 , Đặt  a  A  4a2  4a  2
x x
x

x 2  2 x  2012
Bài 20: Tìm min hoặc max của: B 
x2
HD :
2 2012
1
B  1  2 , Đặt  a  B  2012a2  2a  1
x
x
x
3  4x
Bài 21 : Tìm cả min và max của: K  2
x 1
HD :
Nháp để nhẩm GTLN và GTNN nếu có :
a

�
a  1
3 4x
2

2
2


16

4
a

12
a

0


ax

a

3

4
x

a
.
x

4
x


a

3

0
,
Xét
�
a 4
x2  1
�

�3 4x �
x2  4x  4
K


1

1

 1�1 , Dấu = khi x  2
Khi đó ta có :
�2
�
x2  1
�x  1 �
�3 4x
�

4x2  4x  1
1
K


4

4

 4 �4 , Dấu = khí x 
Mặt khác :
�2
�
2
x 1
2
�x  1
�

Bài 22: Tìm min hoặc max của: M 

27  12 x
x2  9

HD :
Nháp : a 

27 12x
 a.x2  9a  27 12x  a.x2  12x  9a  27  0
2

x 9

21


�
a 4
a  1
�

Có  '  36  a 9a  27  0  �

  2x  3
�27 12x
�
4x2  12x  9
Khi đó ta có : M  � 2
 4� 4 
 4
 4 �4
2
x 9
x2  9
�x  9
�
2

 x  6  1�1
�27 12x �
x2  12x  36

Mặt khác : M  � 2
 1� 1
 1 2
2
x 9
x 9
�x  9
�
2

Bài 23: Tìm min hoặc max của: N 

3x 2  4 x  8
x2  3

HD :
4x  1
3x2  9  4x  1
4x  1
 a.x2  4x  3a  1  0
N
 3 2
, Nháp : a  2
2
x 3
x 3
x 3
4
Có  '  4  a 3a  1  0  a  1; a 
3


�4x  1

�

Khi đó ta có : N  � 2
 1� 1 3 
�x  3 �



  4 �4

 x2  4x  4
x2  3

�4x  1 4 � 4
4x2  12x  9 5  2x  3
5 5
 �  3 
 
 �
Mặt khác : N  � 2
2
2
3 3 x 3 3 3
3 x 3
�x  3 3 � 3
2




Bài 24: Tìm min hoặc max của: P 







8x  3
4x2  1

HD :
Nháp : a 

8x  3
 4a.x2  a  8x  3  4a.x2  8x  a  3  0
2
4x  1

Có  '  16  4a a  3  a  4; a  1

  4x  1
�8x  3
�
16x2  8x  1
Khi đó : P  � 2  4� 4 
 4
 4 �4

2
4x  1
4x2  1
�4x  1 �
2

4 x  1
�8x  3 �
4x2  8x  4
Mặt khác : P  � 2  1� 1
 1
 1�1
2
4x  1
4x2  1
�4x  1 �
2

Bài 25: Tìm min hoặc max của: C 





2 x2  x  1
x 1
2

HD :
C  2


2x
2x
, Nháp : a  2  a.x2  a  2x  0 , có   4  4a2  0  a  �1
x 1
x 1
2

� 2x

�

Khi đó : C  � 2  1� 1 2 
�x  1 �

x2  2x  1
 1�1
x2  1

  x  1
� 2x
�
 x2  2x  1
Mặt khác : C  � 2  1� 1 2 
 3
 3 �3
2
x 1
x2  1
�x  1 �

2

22


x2  x  1
Bài 26: Tìm min hoặc max của: N  2
x 1
HD :
x
x
1
N  1 2
, Nháp : a  2  a.x2  x  a  0 , có :   1 4a2  0  a  �
2
x 1
x 1
� x
1�
1 x2  2x  1 1 1
N



1


 �
Khi đó ta có :
�2

�
2 2 x2  1
2 2
�x  1 2 �





� x
1�
1  x2  2x  1 3   x  1
3 3
N



1





�
Mặt khác :
�2
�
2
2 2 x2  1 2 2
2 x2  1

�x  1 2 �
2









Bài 27: Tìm GTNN của các biểu thức sau
3x 2  8 x  6
( x �1)
a. A  2
x  2x 1

x2  x  1
( x �1)
b. B 
( x  1) 2

4 x2  6 x  1
c. C 
( x �2)
( x  2)2

d. D 

4 x4  x2  1

( x 2  1)2

f. F 

e. E 

2 x 2  16 x  41
( x �R)
x 2  8 x  22

3 x 2  12 x  10
x2  4x  5

HD :
a. A 

3x 2  8 x  6
2( x 2  2 x  1) ( x 2  4 x  4)
( x  2) 2
(
x
�
1)



2

�2 � x  2
x2  2x  1

( x  1)2
( x  1)2
( x  1) 2

3( x 2  2 x  1)  2  x  1  1
3x 2  8x  6
2
1
( x �1) 


Cách khác: A  2
2
x  2x 1
( x  1)
x  1  x  1 2
1
1
2
� A  3  2 y  y 2   y  1  2 �2 � min A  2 � y  1 �
1� x  2
x 1
x 1

Đặt y 
b. B 

x2  x  1
4 x 2  4 x  4 x 2  2 x  1 3x 2  6 x  3 ( x  1) 2 3 3
(

x
�
1)




 � � x  1
( x  1)2
4( x  1) 2
4( x  1) 2
4( x  1)2
4( x  1)2 4 4

c.
t

1
x2

1
t
1
1
�
�
� A  t2 �
4(2  )2  6(2  )  1� 4(2t  1) 2  6t (2t  1)  t 2  5(t  1) 2  1 �1
t
t

�
�
� x  2

� t  1 � x  1

d. D 

2 x 2  16 x  41
2( x 2  8 x  22)  3
3
(
x
�
R
)

 2
2
2
x  8 x  22
x  8 x  22
( x  4) 2  6

2
0 (x 4) 2 6 6
Vì ( x 4)���

D  2


3
( x  4) 2  6

3
6

1
2

3
1 3
3
�2   � Amin  � ( x  4) 2  0 � x  4
2
( x  4)  6
2 2
2
23


4 x 4  x 2  1 4( x 4  2 x 2  1)  9( x 2  1)  4
9
4
1

 4 2
 2
 4t 2  9t  4(t  2 )
e. E 
2

2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
x  1 ( x  1)
x 1
9
81
E  (2t  )2   4
4
16
9
9 1
9 2
1 �
2t �
2� ���
(2t
)
Ta có: t �
4
4 4
4

1
16

A


1 17
16 16

1

t 1

x 0

Lời giải khác
5x4  x2
E �
1  �

( x 2  1) 2

Cách khác: E 
f. F 

0

A

1

x 0

4x4
x2  1


�0  1  1 � x  0
( x 2  1) 2 ( x 2  1) 2

3x 2  12 x  10
5
5
 3 2
 3
�3  5  2
2
x  4x  5
x  4x  5
( x  2) 2  1

2) 2 �
1 1
Do ( x �

5
( x  2) 2  1

5

x

2

Bài 28:Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. A 


3 x 2  6 x  10
( x �1)
x2  2 x  3

b. B 

 x 2  x  11
( x �1)
x2  2x 1

c. C 

x
( x �5)
2
x  10 x  25

d. D 

x 2  4 x  14
( x �1)
x2  2 x  1

HD :
a. A 

3x 2  6 x  10 3( x 2  2 x  3)
1
1

 2

 3
2
2
x  2x  3
x  2x  3
( x  1)  2
( x  1)2  2

( x  1) 2 �0
� ( x  1)2  2 �2
1
1

2
( x  1)  2 2
Có:
1 7
� A  3 
2 2
7
� Amax  � x  1
2

b. B 

Đặt

 x 2  x  11  x 2  2 x  1  x  1  11 ( x  1) 2  ( x  1)  11

1
11


 1 

2
2
2
x  2x  1
( x  1)
( x  1)
x  1 ( x  1) 2

1
y
x 1
1
1
1
1�
� 2
� A  1  y  11y 2  (11y 2  y  1)   �
11( y  2. y.  2  2  �
22 22 22 11 �
�

1
43 � 43
1

43
1
�
 �
11( y  ) 2  �
 11( y  ) 2 �
� y
� x  21
22
44 � 44
22
44
22
�
x
x
( x  5)  5
1
5
1
( x �5) 



 t  5t 2 (t 
)
c. C  2
2
2
2

x  10 x  25
( x  5)
( x  5)
x  5 ( x  5)
x 5
24


1 2 1
�A�5��
t 2 �
t 
5(t
)
10
20

1
20

1
20

A

t

1
10


1
x5

1
10

x 5

x 2  4 x  14
( x �1) .
x2  2 x  1
1
1
� x  1
Đặt t 
x 1
t
1
� 12
�
� A  t2 �
(1  )  4(1  )  14� (t  1) 2  4t (t  1)  14t 2  (3t  1) 2  2 �2
t
� t
�

d. D 

D2�t


1
� x4
3

Bài 29:Tìm GTNN, GTLN của A 

7 y 2  4 xy
x 2  2 xy  2 y 2

HD :
Điều kiện ( x, y ) �(0, 0)
x 2  6 xy  9 y 2
A �1� �
( x  y)2  y 2

( x  3 y)2
( x  y)2  y 2

( y 2  4 xy  4 x 2 )
A 4��
  2
( x  y)  y 2

0

(2 x  y ) 2
( x  y)2  y 2

Bài 30: Tìm GTNN của biểu thức A 


A
0

1
A 4

x 3y
x 1; y

0
2

x2  x  1
x 2  3x  3
x
�

1
;
B



 x �1
( x  1) 2
( x  1) 2

HD :
A


x 2  x  1 ( x 2  2 x  1)  x  1  1
1
1
1

 1

 1 y  y2 ( y 
)
2
2
2
( x  1)
( x  1)
x  1 ( x  1)
x 1

1
3 3
3
1
A  ( y  ) 2  � � Amin  � y  � x  1
2
4 4
4
2

x 2  3x  3 ( x 2  2 x  1)  x  1  1
1
1

1
B

 1

 y 2  y  1( y 
)
2
2
2
( x  1)
( x  1)
x  1 ( x  1)
x 1
1
3 3
1
B  (y  )2 � � y  � x  3
2
4 4
2

x2  y2
Bài 31: Tìm GTNN của biểu thức A  2
x  2 xy  y 2

HD :
1�
2
2

2
x  y   x  y �

1
1
�
� 1 1  x  y
2
Ta có: A  x  y

  .
� � minA  � x  y
2
2
2
2
x  2 xy  y
2 2  x  y
2
2
 x  y
2

2

Bài 32: Tìm GTNN của biểu thức A 
HD :
Ta có: A 

2 x 2  10 x  1

 x �1
x2  2x  1

2
2
2 x 2  10 x  1 2  x  2 x  1  6  x  1  9
6
9
�3
�


2





1
�
� 3 �3
2
x2  2x  1
x  1  x  1 2
�x  1 �
 x  1

25