Chương 2 toán tử vật lý điện tử đại học bách khoa hà nội
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (296.91 KB, 9 trang )
Chương 2: TỐN TỬ.
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ. TỐN TỬ TUYẾN TÍNH:
1) Ðịnh nghĩa:
TOP
Tốn tử là một thực thể toán học mà khi tác dụng lên một hàm số bất kì sẽ cho
ta một hàm số khác.
.c
om
Nghĩa là ta có:
Trong đó là một tốn tử;
là các hàm số bất kì với (x) là một tập
hợp tọa độ nào đó chứ khơng phải chỉ riêng tọa độ x.
TOP
TOP
cu
u
du
o
ng
3) Tốn tử tuyến tính.
th
an
co
ng
2) Các thí dụ:
II. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TỐN TỬ
CuuDuongThanCong.com
/>
du
o
ng
th
an
co
ng
.c
om
Tổng và hiệu hai tốn tử thì giao hốn đƣợc, cịn tích hai tốn tử nói chung khơng
giao hốn đƣợc, khi viết tích hai tốn tử ta phải giữ ngun thứ tự của chúng.
cu
u
III. HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƢƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ
Nói chung khi cho tốn tử
tác dụng lên hàm
thì ta đƣợc hàm số
.(Với (x) là tập hợp biến số nào đó). Nhƣng cũng có trƣờng hợp ta lại đƣợc chính hàm số đó
nhân thêm với một hằng số. Tức là:
Khi đó ta nói
là hàm riêng của tốn tử Â và phƣơng trình trên gọi là phƣơng trình
trị riêng của tốn tửĠ. Cịn a đƣợc gọi là trị riêng ứng với hàm riêng
của toán tử Â.
Một tốn tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì tƣơng ứng với một trị
riêng (cũng có thể có trƣờng hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trƣờng hợp
CuuDuongThanCong.com
/>
này ta gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phƣơng trình trị
riêng và đƣợc viết nhƣ sau:
.
Số trị riêng có thể là hữu hạn hay vơ hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục.
Ðể tìm trị riêng và hàm riêng của một tốn tử, ta phải giải phƣơng trình trị riêng của tốn
.c
om
tử đó.
Thí dụ :
ng
Cho tốn tử
co
Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử Â biết rằng hàm riêng tuần hồn trong khoảng
du
o
ng
th
an
(o,L).
cu
u
(ta khơng viết đối số tọa độ x để khỏi rƣờm rà)
.
Với C là hằng số đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa.
Vì hàm số tuần hồn trong khoảng (0,L) nên ta có
CuuDuongThanCong.com
. Tức là:
/>
.c
om
.
IV. TỐN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY TỐN TỬ HECMIT):
TOP
ng
1- Ðịnh nghĩa toán tử hecmit:
. Nếu hệ thức sau đƣợc thỏa mãn :
an
co
Cho toán tử Â và các hàm số bất kì
th
.
ng
thì Â đƣợc gọi là tốn tử hecmit ( hay tốn tử tự liên hiệp tuyến tính):
du
o
Từ biểu thức của định nghĩa và chú ý rằng hàm sóng là mơ tả một trạng thái vật lí nên nó
bằng khơng khi tọa độ bằng vơ cùng,ta dễ dàng chứng minh đƣợc tốn tử
khơng phải là hecmit.
cu
u
hecmit, cịn tốn tử
2- Các tính chất của tốn tử hecmit:
TOP
a/ Các trị riêng của toán tử hecmit là những số thực.
CuuDuongThanCong.com
là toán tử
/>
.c
om
co
Trƣớc hết ta định nghĩa sự trực giao nhƣ sau:
ng
b/ Các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau.
Nếu có hệ các hàm
du
o
ng
th
an
. (n =1; 2; 3...)
Thí dụ các hàm sin(nx) trực giao trong khoảng
cu
hãy chọn
u
Bây giờ ta chứng minh các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau. Muốn vậy ta
. Khi đó biểu thức định nghĩa là:
.
vì các hàm
là các hàm riêng của tốn tử Â nên phƣơng trình trên trở
thành:
.
CuuDuongThanCong.com
/>
Nói chung
Tức là các hàm
trực giao với nhau.
.c
om
Nếu các hàm riêng đƣợc chuẩn hóa thì ta có thể gộp cả hai điều kiện trực giao và chuẩn
hóa lại làm một điều kiện gọi là điều kiện trực chuẩn nhƣ sau:
Tính chất này có nội dung nhƣ sau:
của tốn tử hecmit thì ta có thể phân
ng
th
an
co
Nếu ta có hàm f(x) bất kì và các hàm riêng
tích f(x) thành:
ng
c/ Các hàm riêng của toán tử hecmit lập thành một hệ đủ.
du
o
Ta thừa nhận tính chất này ,mà khơng cần phải chứng minh
V.CHÚ THÍCH VỀ TRƢỜNG HỢP TỐN TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC
cu
u
Một tốn tử có các trị riêng là liên tục thì đƣợc gọi là tốn tử có phổ liên tục. Ðối với tốn
tử có phổ liên tục thì phƣơng trình trị riêng đƣợc viết:
Ðể phân biệt với tốn tử có phổ gián đoạn.
Trong phƣơng trình trị riêng này ta đã lấy trị riêng của toán tử làm chỉ số chạy. Nhƣ vậy a
là thông số biến đổi liên tục chứ không phải là các số ngun. Ðối với tốn tử có phổ liên tục,
các tính chất vẫn nhƣ tốn tử có phổ gián đoạn. Tức là:
- Trị riêng là những số thực.
- Hệ các hàm riêng lập thành hệ đủ.
CuuDuongThanCong.com
/>
- Các hàm riêng trực giao với nhau.
Nhƣng điều kiện chuẩn hóa lại khác. Khi đó ta có:
gọi là hàm đenta Derac, là một hàm suy rộng cho bởi quy tắc tích phân.
an
Với
co
ng
.c
om
khi tọa độ tiến tới vơ cực.
.
u
du
o
ng
th
Ví dụ hàm đenta đối số x là:
cu
Miễn sao trong khoảng (a,b) có chứa điểm x = 0 hay x = c.
Ta cũng chú ý rằng khi phân tích hàm f(x) theo hệ các hàm riêng của tốn tử có phổ liên
tục thì ta phải dùng cơng thức:
thay cho cơng thức:
trong trƣờng hợp tốn tử có phổ gián đoạn.
CuuDuongThanCong.com
/>
cu
u
du
o
ng
th
an
co
ng
.c
om
BÀI TẬP CHƢƠNG 2
CuuDuongThanCong.com
/>
.c
om
ng
co
an
th
ng
du
o
u
cu
CuuDuongThanCong.com
/>
