BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ QUANG MẠNH LINH

PHÂN TÍCH TĨNH TẤM BẰNG VẬT LIỆU
RỖNG THEO LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH KỸ THUẬT XÂY DỰNG

NGHỆ AN - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ QUANG MẠNH LINH

PHÂN TÍCH TĨNH TẤM BẰNG VẬT LIỆU
RỖNG THEO LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng dân dụng và công nghiệp
Mã số: 8.58.02.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH KỸ THUẬT XÂY DỰNG

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. TRẦN MINH TÚ

NGHỆ AN - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Lê Quang Mạnh Linh
Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các số liệu
và kết quả đƣợc trình bày trong luận văn là trung thực, đáng tin cậy và không
trùng với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã đƣợc tiến hành.

Nghệ An, ngày……tháng……năm 2019
Ngƣời cam đoan

Lê Quang Mạnh Linh

1


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy hƣớng dẫn - PGS. TS Trần Minh Tú
đã tận tình hƣớng dẫn, các thầy cô giáo trong Khoa Xây dựng - Trƣờng Đại học
Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn một cách tốt
nhất.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các anh chị đồng nghiệp
đã có những đóng góp quý báu, những lời động viên trong suốt quá trình học tập
để tơi hồn thành luận văn này.
.

Học viên

Lê Quang Mạnh Linh


2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................... 1
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................... 2
MỤC LỤC ..................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT.................................................... 5
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................ 6
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ĐỒ THỊ ........................................................ 8
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 10
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 10
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 10
3. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................ 10
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 11
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ......................................................................... 11
6. Kết quả đạt đƣợc ..................................................................................... 11
TỔNG QUAN ............................................................................................. 12
CHƢƠNG 1: VẬT LIỆU CĨ TÍNH BIẾN THIÊN - VẬT LIỆU RỖNG
LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN KIRCHHOFF - LOVE.............................. 15
1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên ............................................................... 15
1.2. Vật liệu rỗng ......................................................................................... 16
1.3. Lý thuyết tấm cổ điển Kirchoff - Love ................................................ 19
1.3.1. Giả thiết Kirchoff .............................................................................. 19
1.3.2. Trƣờng chuyển vị và biến dạng......................................................... 20
1.3.3. Trƣờng ứng suất - các thành phần ứng lực ....................................... 23
1.3.4. Quan hệ giữa các thành phần ứng lực và độ võng ............................ 26
1.4. Các phƣơng trình cân bằng - phƣơng trình vi phân mặt đàn hồi ......... 27


3


1.5. Điều kiện biên ...................................................................................... 28
1.5.1 Biên ngàm (cạnh y=0) ........................................................................ 29
1.5.2. Biên gối cố định ( cạnh x=a) ............................................................. 29
1.5.3. Biên tự do (cạnh y=b) ....................................................................... 29
1.6. Kết luận chƣơng 1 ............................................................................... 30
CHƢƠNG 2: PHÂN TÍCH TĨNH TẤM BẰNG VẬT LIỆU RỖNG THEO LÝ
THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN .......................................................................... 31
2.1. Các thành phần chuyển vị .................................................................... 31
2.2. Các thành phần biến dạng .................................................................... 31
2.3. Các thành phần ứng suất ...................................................................... 33
2.4. Các thành phần ứng lực ........................................................................ 34
2.5. Các phƣơng trình cân bằng tĩnh ........................................................... 35
2.6. Hệ phƣơng trình cân bằng theo các thành phần chuyển vị u0, v0, w0…37
2.7. Lời giải Navier cho tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng chịu uốn, tựa khớp trên
chu vi đặt trên nền đàn hồi .......................................................................... 39
2.8. Kết luận chƣơng 2 ................................................................................ 40
CHƢƠNG 3: KẾT QUẢ SỐ ....................................................................... 42
3.1. Ví dụ kiểm chứng ................................................................................. 42
3.2. Các ví dụ khảo sát ................................................................................ 43
3.2.1. Ảnh hƣởng của dạng phân bố lỗ rỗng, hệ số mật độ lỗ rỗng ............ 43
3.2.2. Ảnh hƣởng của tỷ số kích thƣớc các cạnh b/a .................................. 50
3.2.3. Ảnh hƣởng của tỷ số kích thƣớc cạnh/chiều dày a/h ........................ 54
KẾT LUẬN ................................................................................................. 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 59
PHỤ LỤC ................................................................................................... 61

4



DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
a,b
h
E1 , E2


e

 xx , yy , zz
 xz , yz
 xy , yx
 xx ,  yy ,  zz
 , ,
xy

xz

yz

x , y
 x , y



xy

w
Nxx ,Nyy

Nxy ,Nyx
Qx ,Qy
Mxx ,Myy
Mxy ,Myx
q x , y 
q0
D
[A],[B],[D]

Q

Kích thƣớc các cạnh của tấm chữ nhật
Chiều dày của tấm chữ nhật
Mô đun đàn hồi khi kéo - nén
Hệ số Poisson
Tham số mật độ lỗ rỗng
Ứng suất pháp theo các phƣơng x, y, z
Ứng suất tiếp theo phƣơng chiều dày kết cấu
Ứng suất tiếp màng trong mặt phẳng xy
Biến dạng dài tỷ đối theo phƣơng x, y, z
Biến dạng góc trong mặt phẳng xy, xz, yz
Góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quanh trục y, x
Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục x, y
Độ cong xoắn của mặt đàn hồi đối với trục x và y
Độ võng của tấm chữ nhật khi uốn
Lực màng pháp tuyến trên một đơn vị chiều dài của mặt
có phƣơng pháp tuyến x, y
Lực màng tiếp tuyến trên một đơn vị chiều dài theo phƣơng
y, x của mặt có phƣơng pháp tuyến x, y
Lực cắt ngang trên một đơn vị chiều dài theo phƣơng z

của các mặt có phƣơng pháp tuyến x, y
Mô men uốn trên một đơn vị chiều dài của các mặt có
phƣơng pháp tuyến x, y
Mơ men xoắn trên một đơn vị chiều dài của mặt có phƣơng
pháp tuyến x, y
Tải trọng ngang phân bố trên tấm chữ nhật
Tải trọng ngang phân bố đều trên tấm chữ nhật
Độ cứng trụ của tấm
Ma trận độ cứng của tấm
Ma trận độ cứng vật liệu

5


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ
nhật bằng vật liệu rỗng khi tỷ lệ kích thƣớc b/a thay đổi ............................ 43
Bảng 3.2. Độ võng không thứ nguyên tại mặt cắt x = a/2 (e0 = 0,2) .......... 44
Bảng 3.3. Các thành phần ứng suất không thứ nguyên biến thiên theo tọa độ
chiều dày tấm (e0 = 0,5) .............................................................................. 45
Bảng 3.4. Độ võng không thứ nguyên lớn nhất w  ,  của tấm bằng vật liệu
2 2
a b

rỗng với các hệ số mật độ lỗ rỗng e0 thay đổi ............................................. 47
Bảng 3.5. Ứng suất không thứ nguyên  xx  , ,  với các hệ số mật độ lỗ rỗng
2 2 2
a b h

e0 thay đổi .................................................................................................... 48

Bảng 3.6. Ứng suất không thứ nguyên  yy  , ,  với các hệ số mật độ lỗ rỗng
2 2 2
a b h

e0 thay đổi .................................................................................................... 49
Bảng 3.7. Ứng suất không thứ nguyên  xy  a, b,  với các hệ số mật độ lỗ rỗng
2
h





e0 thay đổi .................................................................................................... 49
Bảng 3.8. Độ võng lớn nhất không thứ nguyên w  ,  của tấm bằng vật liệu rỗng
2 2
a b

khi tỷ số b/a thay đổi ........................................................................................... 51
Bảng 3.9. Thành phần ứng suất không thứ nguyên  xx  , ,  với tỷ số kích
2 2 2
a b h

thƣớc các cạnh b/a thay đổi (e0 = 0,5) ........................................................ 52
Bảng 3.10. Thành phần ứng suất không thứ nguyên  yy  , ,  với tỷ số kích
2 2 2
a b h

thƣớc các cạnh b/a thay đổi ........................................................................ 52


6


Bảng 3.11. Thành phần ứng suất không thứ nguyên  xy  a, b,  với tỷ số kích
2
h





thƣớc các cạnh b/a thay đổi ........................................................................ 53
Bảng 3.12. Độ võng lớn nhất không thứ nguyên w  ,  của tấm bằng vật liệu rỗng
2 2
a b

khi tỷ số a/h thay đổi ........................................................................................... 55
Bảng 3.13. Thành phần ứng suất không thứ nguyên  xx  , ,  với tỷ số kích
2 2 2
a b h

thƣớc các cạnh a/h thay đổi (e0 = 0,5) ....................................................... 56
Bảng 3.14. Thành phần ứng suất không thứ nguyên  yy  , ,  với tỷ số kích
2 2 2
a b h

thƣớc các cạnh a/h thay đổi ....................................................................... 56
Bảng 3.15. Thành phần ứng suất không thứ nguyên  xy  a, b,  với tỷ số kích
2
h






thƣớc các cạnh a/h thay đổi ....................................................................... 57

7


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 0.1. Vật liệu rỗng và kết cấu tấm sử dụng vật liệu rỗng .................... 12
Hình 0.2. Bê tơng xốp và nhựa asphalt rỗng ............................................... 13
Hình 1.1. Cấu trúc vật liệu composite ......................................................... 16
Hình 1.2. Tấm tƣờng bằng bê tơng xốp ...................................................... 16
Hình 1.3 Tấm sàn bằng các lớp vật liệu rỗng ............................................. 17
Hình 1.4. Vật liệu rỗng ................................................................................ 17
Hình 1.5. Các dạng phân bố lỗ rỗng............................................................ 19
Hình 1.6. Tấm chữ nhật chịu uốn ................................................................ 20
Hình 1.7. Biến dạng của tấm chịu uốn trong mặt phẳng xOz ..................... 21
Hình 1.8. Các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố tấm .............. 23
Hình 1.9. Ứng lực trên phân tố tấm ............................................................ 26
Hình 1.10. Các thành phần ứng lực trên các mặt của phân tố tấm ............. 27
Hình 1.11: Điều kiện biên của tấm chữ nhật ............................................... 29
Hình 2.1. Biến dạng của tấm chịu uốn trong mặt phẳng xOz ..................... 32
Hình 2.2. Mơ hình tấm và điều kiện biên tựa đơn giản trên chu vi ............ 39
Hình 3.1. Biểu đồ độ võng khơng thứ nguyên tại mặt cắt x = a/2
(e0 = 0,2) .................................................................................................................. 45
Hình 3.2. Biến thiên của các thành phần ứng suất khơng thứ ngun theo tọa độ
chiều dày tấm............................................................................................... 46

Hình 3.3. Biến thiên của độ võng không thứ nguyên lớn nhất theo hệ số mật độ
lỗ rỗng e0 .................................................................................................... 47

8


Hình 3.4. Biến thiên của các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo hệ số
mật độ lỗ rỗng e0 ........................................................................................ 50
Hình 3.5. Biến thiên của độ võng lớn nhất không thứ nguyên w  ,  theo tỷ số
2 2
a b

kích thƣớc các cạnh b/a ....................................................................................... 51
Hình 3.6. Biến thiên của các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo tỷ số
kích thƣớc các cạnh b/a ............................................................................... 54
Hình 3.7. Biến thiên của độ võng lớn nhất không thứ nguyên w  ,  theo tỷ số
2 2
a b

kích thƣớc các cạnh a/h ....................................................................................... 55
Hình 3.8. Biến thiên của các thành phần ứng suất khơng thứ ngun theo tỷ số
kích thƣớc các cạnh a/h ............................................................................... 57

9


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những phát triển mới nhất gần đây của vật liệu có cơ tính biến
thiên là vật liệu xốp hay vật liệu rỗng (porous materials) có các lỗ rỗng (hay bọt

xốp) trong cấu trúc vật liệu. Các lỗ rỗng này phân bố liên tục với một quy luật
phân bố các lỗ rỗng xác định nhằm đạt đƣợc những tính chất cơ học mong muốn
của ngƣời thiết kế.
Các kết cấu có trọng lƣợng nhẹ bằng vật liệu rỗng (bọt kim loại, bê tông
xốp, vữa xỉ than,…) đƣợc ứng dụng trong các lĩnh vực của công nghiệp hàng
không, công nghiệp ô tô, xây dựng dân dụng,… Tính chất hấp thụ năng lƣợng
của vật liệu rỗng đƣợc sử dụng để giảm ồn, cách âm và chế tạo những cấu kiện
chịu đƣợc tải trọng động, tải trọng va chạm. Các nghiên cứu về ổn định và dao
động của các kết cấu bằng vật liệu rỗng đáp ứng yêu cầu ứng dụng vật liệu mới
trong kết cấu công trình. Trong bối cảnh đó, tác giả luận văn lựa chọn đề tài:
“ Phân tích tĩnh tấm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết tấm cổ điển”
2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng lý thuyết tấm cổ điển để tính tốn độ võng và các thành phần ứng
suất của tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng chịu tải trọng uốn vuông góc với mặt
trung bình.
3. Mục tiêu nghiên cứu
 Thiết lập lời giải tích tính tốn độ võng và các thành phần ứng suất của tấm
chữ nhật bằng vật liệu rỗng bốn biên tựa khớp chịu tải trọng uốn vng góc
với mặt trung bình.
 Viết chƣơng trình tính trên nền Matlab để tính tốn độ võng và các thành
phần ứng suất trong tấm sử dụng vật liệu rỗng chịu uốn.
 Sử dụng phần mềm tính tốn kết cấu SAP2000 để phân tích tấm chịu uốn.

10


 Khảo sát ảnh hƣởng của các tham số vật liệu và kích thƣớc tấm đến độ
võng và các thành phần ứng suất.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng: Tấm chữ nhật sử dụng vật liệu rỗng, liên kết gối tựa trên chu

vi, chịu uốn.
Phạm vi nghiên cứu: Xác định độ võng và các thành phần ứng suất.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu: Phƣơng pháp giải tích và phƣơng pháp phần tử
hữu hạn (SAP 2000).
6. Kết quả đạt đƣợc
- Tổng quan nghiên cứu về vật liệu có cơ tính biến thiên và vật liệu rỗng,
các lĩnh vực ứng dụng và tiềm năng.
- Xây dựng lời giải giải tích xác định độ võng và các thành phần ứng suất
cho tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng chịu uốn theo lý thuyết tấm cổ điển
Kirchhoff - Love.
- Viết code cho chƣơng trình bằng MATLAB để tính tốn số.
- Khảo sát ảnh hƣởng của các tham số vật liệu - mật độ lỗ rỗng e, tỷ số
kích thƣớc các cạnh a/b, a/h đến độ võng và các thành phần ứng suất của tấm
bằng vật liệu rỗng.
- Các kết quả số cũng nhƣ các nhận xét rút ra là nguồn tham chiếu hữu ích
cho các kỹ sƣ kết cấu.

11


TỔNG QUAN
Vật liệu có cơ tính biến thiên (functionally graded material - FGM) là loại
composite thế hệ mới đƣợc các nhà khoa học Nhật Bản phát kiến vào những
năm cuối thế kỷ 20. Loại vật liệu này có cơ tính biến đổi trơn và liên tục theo
một phƣơng nhất định trong kết cấu nên tránh đƣợc những nhƣợc điểm ở vật
liệu composite lớp truyền thống nhƣ bong tách giữa các lớp khi làm việc ở nhiệt
độ cao, ứng suất dƣ lớn,… Một trong những phát triển mới nhất gần đây của vật
liệu FGM là vật liệu xốp hay vật liệu rỗng (porous materials) có các lỗ rỗng (hay
bọt xốp) trong cấu trúc vật liệu. Các lỗ rỗng này phân bố liên tục với một qui

luật phân bố các lỗ rỗng xác định nhằm đạt đƣợc những tính chất cơ học mong
muốn của ngƣời thiết kế.

Hình 0.1. Vật liệu rỗng và kết cấu tấm sử dụng vật liệu rỗng
Các kết cấu có trọng lƣợng nhẹ bằng vật liệu rỗng đƣợc ứng dụng trong
các lĩnh vực khoa học ứng dụng do độ cứng phù hợp với trọng lƣợng của chúng.
Tính chất hấp thụ năng lƣợng của vật liệu rỗng đƣợc sử dụng để giảm ồn, cách

12


âm và chế tạo những cấu kiện chịu đƣợc tải trọng động, tải trọng va chạm [3],
[5], [7], [9]. Các nghiên cứu về ứng xử uốn của tấm bằng vật liệu FGM luôn là
đề tài hấp dẫn thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nƣớc thể
hiện qua một số lƣợng lớn các công bố trong thời gian gần đây.

Hình 0.2. Bê tơng xốp và nhựa asphalt rỗng
Với vật liệu FGM rỗng có thể nói rằng các cơng trình đã cơng bố về lĩnh
vực này cịn hạn chế. Magnucka-Blandzi [6] tính tốn độ võng và lực tới hạn
cho tấm tròn bằng vật liệu rỗng liên kết khớp trên chu tuyến chịu tải nén đều
trong mặt trung bình và tải trọng ngang phân bố đều trên bề mặt. Mojahedin và
cộng sự [1] đã phân tích các tấm tròn bằng vật liệu rỗng dựa trên lý thuyết biến
dạng cắt bậc cao. Rezaei và Saidi [10] đã đƣa ra lời giải chính xác cho dao động
tự do của tấm dày làm bằng vật liệu rỗng. Arani và đồng nghiệp [2] nghiên cứu
dao động tự do của tấm hình chữ nhật làm bằng vật liệu rỗng, kết quả của
nghiên cứu này cho thấy ảnh hƣởng đáng kể của chiều dày, điều kiện biên và độ
rỗng đến tần số và dao động của tấm. Leclaire [8] đã phân tích dao động của tấm
mỏng hình chữ nhật làm bằng vật liệu rỗng bão hịa bởi chất lỏng.
Mục đích luận văn là xây dựng lời giải giải tích xác định độ võng và các
thành phần ứng suất của tấm mỏng chữ nhật bằng vật liệu rỗng chịu uốn theo lý

thuyết tấm cổ điển. Các khảo sát số sẽ đƣợc thực hiện nhằm phân tích ứng xử
tĩnh của tấm bằng vật liệu rỗng.
Cấu trúc luận văn gồm

13


 Phần Mở đầu giới thiệu tổng quan về vật liệu rỗng, tiềm năng ứng dụng
trong các lĩnh vực và tổng quan nghiên cứu các kết cấu tấm sử dụng vật
liệu rỗng.
 Chƣơng 1: Vật liệu có cơ tính biến thiên – Vật liệu rỗng. Lý thuyết tấm cổ
điển KIRCHHOFF – LOVE.
 Chƣơng 2: Phân tích tĩnh tấm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết tấm cổ
điển.
 Chƣơng 3: Khảo sát số các bài toán cụ thể nhằm đánh giá ảnh hƣởng của
các tham số vật liệu và kích thƣớc đến ứng xử tĩnh của tấm mỏng bằng
vật liệu rỗng.
 Kết thúc luận văn bao gồm Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục code
chƣơng trình Matlab tính tốn độ võng và các thành phần ứng suất của
tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng (FMG).

14


CHƢƠNG 1
VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN - VẬT LIỆU RỖNG.
LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN KIRCHHOFF - LOVE.
1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên
Vật liệu composite là loại vật liệu đƣợc cấu thành từ hai hoặc nhiều loại
vật liệu thành phần khác nhau nhằm đạt đƣợc các tính chất ƣu việt nhƣ khối

lƣợng nhẹ, độ cứng và độ bền cao, khả năng kháng nhiệt, chống ăn mịn hóa học
tốt,…
Với vật liệu composite truyền thống, trong quá trình sử dụng thƣờng có sự
tập trung ứng suất tại bề mặt tiếp xúc giữa các pha vật liệu, giữa các lớp dẫn đến
sự bong tách lớp nhất là khi làm việc trong mơi trƣờng nhiệt độ cao. Trong q
trình tìm kiếm loại vật liệu chịu đƣợc nhiệt độ cao để chế tạo mũi tên lửa đẩy,
các nhà khoa học Nhật bản đã phát kiến ra một loại vật liệu mới đáp ứng yêu
cầu trên có tên gọi là vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM - Functionally Graded
Materials).
Vật liệu có cơ tính biến thiên là một loại composite thế hệ mới có các đặc
trƣng cơ học của vật liệu biến đổi trơn và liên tục theo một phƣơng nhất định
trong kết cấu. Vật liệu cơ tính biến thiên điển hình thƣờng đƣợc cấu thành từ hai
loại vật liệu thành phần là ceramic chịu nhiệt tốt và kim loại có độ bền dẻo, vì
thế các cấu kiện sử dụng vật liệu FGM là lựa chọn lý tƣởng cho những ứng dụng
trong công nghiệp hàng không vũ trụ, nhà máy điện hạt nhân, cơ khí, xây dựng
dân dụng,…
Đƣợc nghiên cứu lần đầu tiên năm 1984 tại Viện khoa học vật liệu Nhật
Bản với vai trị là một loại vật liệu mới có khả năng cách nhiệt hoặc chống nhiệt
cao, đến nay vật liệu có cơ tính biến thiên đã phát triển ở nhiều nơi trên thế giới.
Vật liệu có cơ tính biến thiên đƣợc dùng để chế tạo các vật liệu lớp cách nhiệt,

15


các chi tiết đặc biệt trong các máy công cụ, vũ khí, chế tạo mơ hình thử nghiệm,
trong y tế…

(a) Vật liệu composite lớp

(b) Vật liệu FGM


Hình 1.1. Cấu trúc vật liệu composite
1.2. Vật liệu rỗng
Các kết cấu có trọng lƣợng nhẹ có tiềm năng sử dụng trong nhiều ngành
cơng nghiệp nhƣ: hàng khơng, đóng tàu, ơ tơ, xây dựng,… Kết hợp với ý tƣởng
cấu trúc của vật liệu FGM, vật liệu rỗng (porous materials) đƣợc phát kiến nhƣ
là một loại vật liệu nhẹ mới, có các lỗ rỗng (hay bọt xốp) trong cấu trúc vật liệu.
Các lỗ rỗng này phân bố liên tục với một qui luật phân bố các lỗ rỗng xác định
nhằm đạt đƣợc những tính chất cơ học mong muốn của ngƣời thiết kế.

Hình 1.2. Tấm tường bằng bê tông xốp

16


Hình 1.3. Tấm sàn bằng các lớp vật liệu rỗng
Với khả năng hấp thụ năng lƣợng tốt, vật liệu rỗng là lựa chọn thích hợp
cho các kết cấu chịu tải trọng động, tải trọng va chạm. Là loại vật liệu nhẹ, vật
liệu rỗng còn đƣợc sử dụng để chế tạo các tấm tƣờng, sàn,.. nhằm giảm trọng
lƣợng kết cấu, cách âm, cách nhiệt.

a) Carbon foam

b) Metal foam
Hình 1.4. Vật liệu rỗng

Vật liệu rỗng đặc trƣng bởi quy luật phân bố các lỗ rỗng trong không gian
vật thể. Quy luật phân bố lỗ rỗng có thể là hàm một biến, hai biến hay ba biến
của tọa độ vng góc. Thơng thƣờng, đối với kết cấu tấm, mật độ phân bố các lỗ
rỗng là hàm của tọa độ chiều dày và thƣờng đƣợc mô tả theo ba dạng [11]: dạng

1 - phân bố đều, dạng 2 - đối xứng và dạng 3 - bất đối xứng. Tính chất cơ học
của vật liệu rỗng với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau có thể biểu diễn
dƣới dạng:

17


E ( z )  E1 1  e0  z 

(1.1a)

G( z )  E  z  / 2 1    z 

(1.1b)

 ( z )  1 1  em  z 

(1.1c)

với:
 Dạng 1 – phân bố đều:

  z  

 Dạng 2 – phân bố đối xứng:

  z   cos 

(1.2a)
z 


 h 

(1.2b)

 z  
 Dạng 3 – phân bố bất đối xứng:   z   cos 
  (1.2c)
2 h 4

Trong đó: E1, G1, ρ1 là các giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi kéo (nén),
mô đun đàn hồi trƣợt, và khối lƣợng riêng của vật liệu rỗng.
Hệ số mật độ lỗ rỗng e0 và hệ số mật độ khối lƣợng em đƣợc tính theo [11].
e0  1 

E2
G
1 2
E1
G1

e m1

2
 1  1  e0
1

(1.3)

Hình 1.5 cho thấy phân bố lỗ rỗng theo dạng 2 là đối xứng, giá trị lớn

nhất của các hằng số vật liệu đạt đƣợc ở mặt trên và mặt dƣới, giá trị nhỏ nhất
đạt đƣợc tại vị trí chính giữa nơi có mật độ lỗ rỗng lớn nhất. Trong khi đó phân
bố theo dạng 3 là bất đối xứng, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lƣợt đạt đƣợc tại
mặt trên và mặt dƣới tƣơng ứng với vị trí có mật độ lỗ rỗng nhỏ nhất và lớn
nhất.
Quan hệ giữa mô đun đàn hồi kéo - nén và mô đun đàn hồi cắt: Gί= Eί /
2(l+ ν) với i = 1; 2 ; hệ số Poisson ν đƣợc giả thiết là hằng số theo tọa độ chiều
dày kết cấu.

18


a) Phân bố đều (dạng 1)

b) Phân bố đối xứng (dạng 2)

c) Phân bố bất đối xứng (dạng 3)
Hình 1.5. Các dạng phân bố lỗ rỗng
1.3. Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff - Love
1.3.1 Giả thiết Kirchhoff
Lý thuyết tấm mỏng trình bày dƣới đây đƣợc Kirchhoff (1876), đề xuất
đầu tiên sau đó đƣợc phát triển bởi Love (1944), với các giả thiết sau:

19


Hình 1.6. Tấm chữ nhật chịu uốn
a) Độ võng mặt trung bình là bé. Trong thực tế độ võng w này phải bé hơn
1/10 chiều dày h.
b) Đoạn thẳng pháp tuyến của mặt trung bình trƣớc biến dạng là thẳng và

vng góc với mặt trung bình, sau biến dạng vẫn thẳng và vng góc. Nhƣ vậy
các thành phần biến dạng cắt ngang γxz, γyz có thể bỏ qua.
c) Ứng suất và biến dạng theo phƣơng chiều dày có thể bỏ qua so với các
thành phần ứng suất và biến dạng cịn lại.
d) Mặt trung bình của tấm khơng bị giãn (bỏ qua các thành phần chuyển
vị màng)
Trong các giả thiết trên, giả thiết (b) thƣờng đƣợc biết đến với tên gọi là
giả thiết Kirchhoff.
1.3.2. Trường chuyển vị và biến dạng
Xét tấm chữ nhật kích thƣớc nhƣ hình vẽ (hình 1.6) hệ tọa độ quy chiếu
Oxyz gắn với mặt trung bình;
u,ν,w: là các thành phần chuyển vị của điểm bất kỳ theo các phƣơng x,y,z.
u0,ν0,w0: là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung bình
q: là tải trọng phân bố có chiều dƣơng hƣớng xuống dƣới (cùng chiều trục z).

20


Xét mặt cắt song song với mặt phẳng xOz (y= const) trƣớc và sau biến
dạng (hình 1.7). Đoạn thẳng pháp tuyến mn trƣớc và sau biến dạng, điểm A
thuộc pháp tuyến và nằm trên mặt trung bình. u0, w0 là các chuyển vị của điểm
trên mặt trung bình (z=0); u, w là các chuyển vị của P (tọa độ z so với mặt trung
bình).
Theo giả thiết Kirchhoff: y xz  0 
Tích phân 2 vế theo z: u  u |z 0  z

u
w

z

x

w
w
 u0  z
x
x

Hình 1.7. Biến dạng của tấm chịu uốn trong mặt phẳng xOz

Giả thiết rằng mặt trung bình của tấm khơng bị giãn (khơng có chuyển vị
ngang):
u0 = 0 nên u   z

w
y

Tƣơng tự, xét biến dạng trong mặt cắt song song mặt yOz

21


v  z

w
y

Bởi vì độ dài đoạn thẳng pháp tuyến không đổi sau biến dạng nên:

 zz  0 


w
 0  w  w0
z

Vậy ta có:

u  x, y , z    z

w0
x

(1.4a)

v  x, y , z    z

w0
y

(1.4b)

w  x, y, z   w0 ( x, y)

(1.4c)

Thay quan hệ (1.4.a-c) vào biểu thức quan hệ chuyển vị - biến dạng, ta đƣợc:
 2 w0
 xx   z 2
x


(1.5a)

 2 w0
 yy   z 2
y

(1.5b)

 2 w0
 xy  2 z
xy

(1.5c)

Các đạo hàm bậc 2 của độ võng gọi là độ cong:
2w 0
kx  
: độ cong uốn của mặt đàn hồi đối với trục x
x 2

2w0
k y   2 : độ cong uốn của mặt đàn hồi đối với trục y
y

2w0
: độ cong xoắn của mặt đàn hồi đối với trục x và y
k xy  2
xy

22



Nhƣ vậy biểu thức (1.5) có thể viết lại:
 xx 
k x 
 
 


z
 yy 
k y 
 
 
 xy 
k xy 

(1.6)

1.3.3. Trường ứng suất - các thành phần ứng lực
Xét phân tố tấm tách ra từ hai cặp mặt vng góc với trung gian cách
nhau khoảng dx và dy , chiều cao phân tố bằng chiều cao h (hình 1.8). Trên các
mặt vng góc với các trục có các thành phần ứng suất σ xx, σyy, σxy, các thành
phần ứng suất cắt ngang σxz = σyz = 0

Hình 1.8. Các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố tấm
Từ hệ phƣơng trình vật lý, ta nhận đƣợc các thành phần ứng suất theo các
thành phần biến dạng:

 


E
 xx  v yy 
1  v2

(1.7a)

 yy 

E
 yy  v xx 
1  v2

(1.7b)

 

E
 xy
2(1  v)

(1.7c)

xx

xy

23