50 dạng tốn bám sát đề minh họ

Dạng: 49

BÀI TỐN CỰC TRỊ SỐ PHỨC

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

1

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họ

Ⓐ

Tóm tắt lý thuyết

①. Môđun của số phức:
z = a + bi

Số phức
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ
uuuu
r
OM
dài của véctơ
được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu

z = a + bi = a 2 + b 2

Tính chất



uuuu
r
z = a 2 + b 2 = zz = OM





z ≥ 0, ∀z ∈ £ , z = 0 ⇔ z = 0
z
z
=
, ( z ' ≠ 0)
z' z'

z. z ' = z . z '

kz = k . z , k ∈ ¡

z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z'



2


2

z 2 = a 2 − b 2 + 2abi = (a 2 − b 2 )2 + 4a 2b 2 = a 2 + b 2 = z = z = z.z
.


②. Lưu ý:
z1 + z2 ≤ z1 + z2

dấu bằng xảy ra


z1 − z2 ≤ z1 + z2

dấu bằng xảy ra



z1 + z2 ≥ z1 − z2
dấu bằng xảy ra



z1 − z2 ≥ z1 − z2
dấu bằng xảy ra


2


(

2

2

z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2


Biểu thức liên hệ

ax + by + c = 0

2

)

⇔ z1 = kz2 ( k ≤ 0 )

.

⇔ z1 = kz2 ( k ≤ 0 )
⇔ z1 = kz2 ( k ≥ 0 )
2

z = z z = z

x, y

2


∀z ∈ £

Quỹ tích điểm M

z − a − bi = z − c − di

(1)

⇔ z1 = kz2 ( k ≥ 0 )

(2)

∆:ax + by + c = 0

(1)Đường thẳng

(2) Đường trung trực đoạn AB
( A ( a, b ) , B ( c , d ) )
với

( x − a)

2

( x − a)

2

+ ( y − b) = R2

2

+ ( y − b) ≤ R2

z − a − bi = R

hoặc

2

z − a − bi ≤ R

hoặc

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

I ( a; b )

Đường trịn tâm
R
kính
Hình trịn tâm

I ( a; b )
 

, bán

, bán


2

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

Ⓑ

Câu hỏi phát triển

Câu 1: Cho hai số phức

u, v

u = v =10

3u - 4v = 50

thỏa mãn

và

. Tìm Giá trị lớn

4u + 3v - 10i
nhất của biểu thức
A.

30


.

.

B.

40

.

60

C.
Lời giải

.

D.

50

.

Chọn C
2

T = 3u - 4v

z = z.z


Ta có

. Đặt

M = 4u + 3v
,

.

T 2 = ( 3u - 4v) ( 3u - 4v) = 9 u +16 v - 12 ( uv + vu )
2

Khi đó

2

M 2 = ( 4u + 3v ) ( 4u + 3v) = 16 u + 9 v +12 ( uv + vu )
2

Tương tự ta có

(

2

M 2 +T 2 = 25 u + v
Do đó
Suy ra


.

2

) = 5000

2

.

.

M 2 = 5000 - T 2 = 5000 - 502 = 2500

hay

M = 50

.

z + z ¢£ z + z ¢
Áp dụng
ta có
4u + 3v - 10i £ 4u + 3v + - 10i = 50 +10 = 60
.

max 4u + 3v - 10i = 60
Suy ra

.


Câu 2: Cho hai số phức

u, v

u = v = 10

3u - 4v = 50

thỏa mãn

và

. Tìm Giá trị lớn

4u + 3v - 10i
nhất của biểu thức
A.

30

.

.
B.

40

.


C.
Lời giải

60

.

D.

50

.

Chọn C
2

T = 3u - 4v

z = z.z

Ta có

. Đặt

M = 4u + 3v
,

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

.

 

3

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

T 2 = ( 3u - 4v) ( 3u - 4v) = 9 u +16 v - 12 ( uv + vu )
2

Khi đó

2

M 2 = ( 4u + 3v ) ( 4u + 3v) = 16 u + 9 v +12 ( uv + vu )
2

Tương tự ta có

(

2

M 2 +T 2 = 25 u + v
Do đó
Suy ra

.


2

) = 5000

2

.

.

M 2 = 5000 - T 2 = 5000 - 502 = 2500

hay

M = 50

.

z + z ¢£ z + z ¢
Áp dụng
ta có

4u + 3v - 10i £ 4u + 3v + - 10i = 50 +10 = 60
.

max 4u + 3v - 10i = 60
Suy ra

.


Câu 3: Xét hai số phức

của
A.

z1 + 2 z2 − 7i

7 − 89

.

z1; z2

thỏa mãn

z1 = 1; z2 = 4

và

z1 − z2 = 5

. Giá trị lớn nhất

bằng
B.

7 + 89

.


C.

7 − 2 89

.

D.

7 + 2 89

.

Lời giải
Chọn B
Đặt

z1 = a + bi , z2 = c + di

với

a, b, c, d Ỵ ¡ .

Theo giả thiết thì

a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 16, (a - c) 2 + (b - d ) 2 = 5.

Do đó
Ta có


a 2 - 2ac + c 2 + b 2 - 2bd + d 2 = 5 Þ ac + bd = 6.
z1 + 2 z2 = (a + 2c ) + (b + 2d )i

nên

z1 + 2 z2 = (a + 2c) 2 + (b + 2d )2 = a 2 + b 2 + 4(c 2 + d 2 ) + 4(ac + bd ) = 89.

z + z ¢£ z + z ¢
Áp dụng bất đẳng thức
, ta có ngay

z1 + 2 z2 - 7i £ z1 + 2 z2 + - 7i = 7 + 89

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

4

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

z1 , z2

Câu 4: Xét hai số phức
thỏa mãn
2 z1 + z2 − 2021
lớn nhất

bằng
A.

2044

.

B.

z1 = 2, ( 1 − i ) z2 = 6

− 23 + 2021

và

23 + 2021

.
C.
Lời giải

z1 − z2 = 5

.

D.

. Giá trị

2 23 + 2021


.

Chọn C
z1 = a + bi, z2 = c + di
a, b, c, d ∈ ¡ .
Đặt
với
Theo giả thiết thì
z1 = 1 ⇒ a 2 + b 2 = 4

( 1 − i ) z2

= 6 ⇔ z2 =

6
= 3
1− i
⇒ c2 + d 2 = 3

z1 − z2 = 5 ⇒ ( a − c ) + ( b − d ) = 5
2

Do đó
Ta có

2

a 2 − 2ac + c 2 + b 2 − 2bd + d 2 = 5 ⇒ ac + bd = 1
2 z1 + z2 = ( 2a + c ) + ( 2b + d ) i


nên

2 z1 + z2 = ( 2a + c ) + ( 2b + d ) = 4 ( a 2 + b 2 ) + ( c 2 + d 2 ) + 4 ( ac + bd ) = 23
2

2

2

z + z′ ≤ z + z ′

Áp dụng bất đẳng thức
, ta có
2 z1 + z2 − 2021 ≤ 2 z1 + z2 + −2021 = 23 + 2021.

Câu 5: Cho các số phức

z1

và

nhỏ nhất của biểu thức

A.

2

.


B.

z2

thỏa mãn

z1 + 1 + i = 1

và

z2 − 2 − 3i = 2

. Tìm giá trị

P = z1 − z 2 .
3
2

.

C.
Lời giải

5
2

.

D.


3

.

Chọn A
Giả sử M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

z1

và

z2

 

5

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

z1 + 1 + i = 1 ⇒ M ∈ ( I ;1) , I ( −1; −1)
z2 − 2 − 3i = 2 ⇒ N ∈ ( J ; 2 ) , J ( 2;3)
P = z1 − z2 = MN
Ta thấy hai đường trịn (I) và (J) nằm ngồi nhau. Do đó

M '' N '' ≤ MN ≤ M ' N '

P = z1 − z2 = MN

.

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

Pmin = IJ − R − r = 2, Pmax = I + R + r = 8

Câu 6: Xét các số phức

z1 + 2 z2 − 6i

A.

2 2−2

z1

z2
,

thỏa mãn

M ≡ M '', N ≡ N ''

.

.

z1 − 4 = 1


và

iz2 − 2 = 1

. Giá trị lớn nhất của

bằng

.

B.

4− 2

.

C.
Lời giải

4 2 +9

.

D.

4 2 +3

.


Chọn C

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

6

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

z3 = −2 z2 ,
Đặt
1
z2 = − z3
2

Và

P = z1 + 2 z2 − 6i = z1 − (−2 z2 ) − 6i = z1 − z3 − 6i .

suy ra

1
1
iz2 − 2 = 1 ⇔ − iz3 − 2 = 1 ⇔ − iz3 − 2 . 2i = 1. 2i
2
2


thế vào

⇔ z3 − 4i = 2.

A, B

z3 , z1.

là hai điểm biểu diễn cho hai số phức
Gọi
gz3 − 4i = 2 ⇒ A
I (0; 4), R3 = 2.
thuộc đường tròn tâm
gz1 − 4 = 1 ⇒ B
J (4;0), R1 = 1.
thuộc đường tròn tâm

⇒ P = z1 − z3 − 6i ≤ z1 − z3 + −6i = AB + 6 ≤ IJ + R1 + R3 + 6 = 4 2 + 1 + 2 + 6 = 4 2 + 9.

Vậy

Pmax = 4 2 + 9

Câu 7: Cho hai số phức

.
z1 , z2

nhất của biểu thức

A.

10

.

thỏa mãn
P = z1 + z2

B.

5 2

.

z1 + z2 = 3 + 4i

C.
Lời giải

5

và

z1 − z2 = 5

.

. Tính giá trị lớn


D.

10 2

.

Chọn B

Đặt

 z1 = a + bi
( a, b, c, d ∈ ¡ ) .

 z2 = c + di

Theo giả thiết ta có :

a + c = 3

 z1 + z2 = 3 + 4i
⇔ b + d = 4
.

 z1 − z2 = 5

2
2
( a − c ) + ( b − d ) = 5

P = z1 + z2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤

Xét
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

( 1 + 1) .( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) .
 

7

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

a +b +c +d
2

2

2

2

( a + c)
=

2

Mà

+ ( b + d ) + ( a − c) + ( b − d )

32 + 42 + 52
=
= 25.
2
2
2

2

P ≤ 5 2.

Nên

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
M

diễn

, số phức

·
MON
= 120°

a+b+c+d
9

.

z2


là

m0

Oxy

, cho hai số phức

có điểm biểu diễn là

. Biết

N

3z1 + 2 z2 − 3i

. Giá trị lớn nhất của

3z1 − 2 z2 + 1 − 2i

A.

2

M0

có điểm biểu

z1 = 1


thỏa mãn
là

z1

,

z2 = 3

và

, giá trị nhỏ nhất của

M 0 + m0 = a 7 + b 5 + c 3 + d

, với

a, b, c, d ∈ ¢

. Tính

?
B.

8

.

C.

Lời giải

7

.

D.

6

.

Chọn B

Gọi

M1

là điểm biểu diễn của số phức

3z1

, suy ra

OM 1 = 3

.

2z2
ON1 = 6

P
là điểm biểu diễn của số phức
, suy ra
. Gọi
là điểm
uuuur uuuu
r uuu
r
OM1 + ON1 = OP
OM 1 PN1
sao cho
. Suy ra tứ giác
là hình bình hành.
·
·
M 1ON1 = 120°
MON
= 120°
Do từ giả thiết
, suy ra
.
OM 1 N1
Dùng định lí cosin trong tam giác
ta tính được
Gọi

N1

 1
M 1 N1 = 9 + 36 − 2.3.6.  − ÷ = 3 7

 2

;

OP = 9 + 36 − 2.3.6.

OM1 P
và định lí cosin trong tam giác
ta có
M 1 N1 = 3 z1 − 2 z2 = 3 7 OP = 3 z1 + 2 z 2 = 3 3
Ta có
;
.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

1
=3 3
2

8

.

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ


3z1 + 2 z2 − 3i
 Tìm giá trị lớn nhất của
.
3 z1 + 2 z2 = w1 ⇒ w1 = 3 3
w1
A
Đặt
, suy ra điểm biểu diễn
là
thuộc
đường tròn

( C1 )

tâm

O ( 0;0 )

bán kính

R1 = 3 3

. Gọi điểm

3i
diễn số phức .
3z1 + 2 z2 − 3i = AQ1
( AQ1 ) max
Khi đó
, bài tốn trở thành tìm

trên đường trịn

( C1 )

( AQ1 ) max = OQ1 + R1 = 3 + 3

. Dễ thấy

Q1

là biểu

biết điểm

A

3
.

3z1 − 2 z2 + 1 − 2i = 3z1 − 2 z2 − ( −1 + 2i )

 Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
3 z1 − 2 z2 = w2 ⇒ w2 = 3 7
w2
B
Đặt
, suy ra điểm biểu diễn
là
thuộc

đường tròn

( C2 )

O ( 0;0 )

R1 = 3 7

( C2 )

Q2

Q2

tâm
bán kính
. Gọi điểm
là biểu
−1 + 2i
diễn số phức
.
3z1 − 2 z2 − ( −1 + 2i ) = BQ2
( BQ2 ) min
Khi đó
, bài tốn trở thành tìm
biết
điểm

( C2 )
Vậy


B

trên đường trịn

nên

( BQ2 ) min = R2 − OQ2 = 3

M 0 + m0 = 3 7 + 3 3 − 5 + 3

Câu 9: Xét hai số phức
nhất của
A.

3 2 −3

. Dễ thấy điểm

z1; z2

z1 + 2 z2 − 3i

.

nằm trong đường tròn

7− 5
.


.
z1 = 2; z2 = 5

thỏa mãn

và

z1 − z2 = 3

. Giá trị lớn

bằng
B.

3+ 3 2

.

C.
Lời giải

3 + 26

.

D.

26 − 3

.


Chọn B
Cách 1:
Đặt

z1 = a + bi, z2 = c + di

(với

a, b, c, d ∈ ¡

)

Theo bài ra ta có:
z1 = 2 ⇔ a 2 + b 2 = 2; z2 = 5 ⇔ c 2 + d 2 = 5

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

9

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

z1 − z2 = 3 ⇔ ( a − c ) + ( b − d ) = 9 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2 ( ac + bd ) = 9 ⇒ ac + bd = −1
2


z1 + 2 z2 =

( a + 2c )

2

2

+ ( b + 2d ) = a 2 + b 2 + 4 ( c 2 + d 2 ) + 4 ( ac + bd ) = 18 = 3 2
2

z+ z' ≤ z + z'
Theo tính chất

ta có:

z1 + 2 z2 − 3i ≤ z1 + 2 z2 + −3i = 3 2 + 3

Cách 2:

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức

, M thuộc đường trịn tâm O bán

2 ⇒ OM = 2

kính

Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức


z2

, N thuộc đường tròn tâm O bán

5 ⇒ ON = 5

kính
Suy ra

uuuur uuuu
r uuur
NM = OM − ON

là điểm biểu diễn cho

Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức
kính

z1

2z2

z1 − z2 ⇒ MN = z1 − z2 = 3

, P thuộc đường tròn tâm O bán

2 5 ⇒ OP = 2 5

3i Q ( 0;3) ⇒ OQ = 3
Gọi Q là điểm biểu diễn cho số phức ,

uuu
r uuuu
r uuu
r
OMRP
OR = OM + OP ⇒
Dựng hình bình hành
ta có
R là điểm biểu diễn
z1 + 2 z2
cho số phức

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

10

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họ

Ta có:

OM 2 + ON 2 − MN 2 2 + 5 − 9
−1
·
cos MON =
=

=
2.OM .ON
2. 2. 5
10

·
·
OR 2 = OP 2 + PR 2 − 2.OP.PR.cos OPR
= OP 2 + OM 2 + 2.OP.OM .cos MON
 −1 
⇒ OR = 20 + 2 + 2.2 5. 2. 
÷= 3 2
 10 

uuu
r uuur uuu
r
T = z1 + 2 z2 − 3i = OR − OQ = QR = QR

T đạt giá trị lớn nhất khi QR lớn nhất
Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng
Câu 10:

·
⇔ QOR
= 1800 ⇒ QR = OQ + OR = 3 + 3 2

3+ 3 2

.


z1 + 1 − 4i = 2, z2 − 4 − 6i = 1

z1 , z2 , z3

Cho các số phức
thỏa mãn
và
z3 − 1 = z3 − 2 + i
P = z3 − z1 + z3 − z2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

A.

14
+2
2

.

29 − 3

B.

.

C.
Lời giải


14
+2 2
2

.

D.

85 − 3

.

Chọn D
z1 = x1 + y1i ( x1 , y1 ∈ ¡ )
Đặt
.

z1 + 1 − 4i = 2 ⇔ ( x1 + 1) + ( y1 − 4 ) = 4
2

2

Vậy tập hợp điểm

M

.

biểu diễn số phức


( C1 ) : ( x + 1) 2 + ( y − 4 ) 2 = 4

I1 ( −1; 4 )

có tâm
z2 = x2 + y2i ( x2 , y2 ∈ ¡ )
Đặt
.

z2 − 4 − 6i = 1 ⇔ ( x2 − 4 ) + ( y2 − 6 ) = 1
2

Vậy tập hợp điểm

( C2 ) : ( x − 4 ) 2 + ( y − 6 ) 2 = 1

A

là đường trịn

R1 = 2

.

2

N

.


biểu diễn số phức

có tâm
z3 = x3 + y3i ( x3 , y3 ∈ ¡ )
Đặt
.
z3 − 1 = z3 − 2 + i ⇔ x3 − y3 − 2 = 0
.
Vậy tập hợp điểm

, bán kính

z1

I 2 ( 4; 6 )

, bán kính

biểu diễn số phức

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

z3

z2

R2 = 1

là đường tròn
.


là đường thẳng

d :x− y−2 =0
 

11

.

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họ

Khi đó:

P = z3 − z1 + z3 − z2 = AM + AN

d ( I1 , d ) =
Mặt khác,
đối với

Gọi

d

14
> R1 ; d ( I 2 , d ) = 2 2 > R2
2


và

I1 , I 2

nằm cùng phía

.

( C2′ )

là đường tròn đối xứng với với

( C2′ ) : ( x − 8 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 1
I 2′ ( 8; 2 )

và gọi

N′

( C2 )

là điểm đối xứng với

qua
N

qua

d


, suy ra

d

.

( C2′ )

có

R2′ = 1

tâm
, bán kính
.
Ta có:
AM + MI1 ≥ AI1 ⇒ AM ≥ AI1 − MI1 = AI1 − 2

.
AN + NI 2 = AN ′ + N ′I 2′ ≥ AI 2′ ⇒ AN ′ ≥ AI 2′ − N ′I 2′ = AI 2′ − 1

Suy ra

.
P = AM + AN = AM + AN ′ ≥ AI1 + AI 2′ − 3 ≥ I1I 2′ − 3 = 85 − 3

ra khi và chỉ khi 3 điểm
Vậy


ⒸⒸ

min P = 85 − 3

I1 , A, I 2′

. Đẳng thức xảy

thẳng hàng.

.

Bài tập rèn luyện

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

12

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

Câu 1:

Xét số phức

z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2.


z

thỏa mãn

Gọi

z −1 + i .

nhất và giá trị lớn nhất của
P=

A.

A

Gọi

5 2 + 2 73
2

B.

P=

P = 5 2 + 73

C.
Lời giải


và

. Gọi

H

là hình chiếu của

P = NH + NF =

Cho

5 2 + 73
2

D.

P = 13 + 73

N ( 1; −1) .
z E ( −2;1) , F ( 4;7 )
là điểm biểu diễn số phức ,
và

AE + A F = z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2

Câu 2:

lần lượt là giá trị nhỏ


P = m + M.

Tính

Từ

EF

m, M

hai

số

N

lên

EF

EF = 6 2

, ta có

nên ta có

 3 3
H − ; ÷
 2 2


A

thuộc đoạn thẳng

. Suy ra

5 2 + 2 73
.
2

z1 , z2

phức

thỏa

mãn

z − 1 = 34, z + 1 + mi = z + m + 2i
và sao cho

đồng

z1 − z2

thời

hai

điều


kiện

là lớn nhất. Khi đó giá trị

sau

z1 + z2

bằng
A.

2

B.

10

C.
Lời giải

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

2

D.

 

130


13

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

Gọi
Gọi

M,N

lần lượt là điểm biểu diễn của số phức
z = x + iy, ( x, y ∈ ¡ )
z − 1 = 34 ⇒ M , N

Ta có

thuộc đường trịn

z1 , z2

( C)

có tâm

I ( 1;0 )

, bán kính


R = 34

z + 1 + mi = z + m + 2i ⇔ x + yi + 1 + mi = x + yi + m + 2i
Mà

⇔

( x + 1)

2

+ ( y + m) =

( x + m)

2

2

+ ( y + 2)

2

⇔ 2 ( m − 1) x + 2 ( m − 2 ) y − 3 = 0
M,N

Suy ra
Do đó
Ta có


M,N

5 −2

z

z1 − z2

nên

đường kính của

Cho số phức
A.

là giao điểm của đường thẳng

z1 − z2 = MN

⇔ MN

Câu 3:

thuộc đường thẳng

d : 2 ( m − 1) x + 2 ( m − 2 ) y − 3 = 0

( C)


d

và đường trịn

lớn nhất khi và chỉ khi

. Khi đó

.

. Số phức
B.

5 −1

.

lớn nhất

z1 + z2 = 2OI = 2

z − 2 − 2i = 1
thỏa mãn

MN

( C)

z −i


C.
Lời giải

có mơđun nhỏ nhất là:

5 +1

.

D.

5+2

.

Cách 1:
Đặt
Gọi

w = z −i ⇒ z = w+i
M ( x; y )

.

là điểm biểu diễn hình học của số phức

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

w.


 

14

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

z − 2 − 2i = 1
Từ giả thiết

ta được:

2
2
w + i − 2 − 2i = 1 ⇔ w − 2 − i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) = 1

M ( x; y )

Suy ra tập hợp những điểm

I ( 2;1)

bán kính

OI

Giả sử


R =1

biểu diễn cho số phức

w

là đường trịn

( C)

.
có tâm

.

cắt đường trịn

( C)

tại hai điểm

A, B

với

A

nằm trong đoạn thẳng

OI


.

w = OM
Ta có
Mà

OM + MI ≥ OI ⇔ OM + MI ≥ OA + AI ⇔ OM ≥ OA

w
Nên

nhỏ nhất bằng

OA = OI − IA = 5 − 1

khi

M ≡ A.

Cách 2:

z − 2 − 2i = 1 ⇒ ( a − 2 ) + ( b − 2 ) = 1
2

Từ

2

với


z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

a − 2 = sin x; b − 2 = cos x ⇒ a = 2 + sin x, b = 2 + cos x

Khi đó:

z − i = 2 + sin x + ( 2 + cos x ) i − i =

( 2 + sin x )

2

+ ( 1 + cos x )

2

= 6 + ( 4sin x + 2cos x )
≥ 6−

(4

2

+ 2 2 ) ( sin 2 x + cos 2 x ) = 6 − 2 5 =

z −i
Nên


nhỏ nhất bằng

5 −1

khi

(

)

5 −1

2

= 5 −1


2 5
sin x = −

5
⇒

4
cos
x
=
2sin
x


cos x = − 5


 4sin x + 2 cos x = −2 5
5

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

15

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

Ta được


2 5 
5
z =  2 −
+
2
−
÷

÷

÷ 
÷i
5
5

 


Cách 3:
z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z 2

Sử dụng bất đẳng thức

z − i = ( z − 2 − 2i ) + ( 2 + i ) ≥ z − 2 − 2i − 2 + i = 5 − 1

Câu 4:

Gọi

M

m

và

phức khác
M
=3
m
A.

.

P=

0

2z + i
z

P=
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

z

với

M
m

z ≥2
và thỏa mãn

. Tính tỉ số
.
M 4
M 5
=
=
m 3
m 3

B.
.
C.
.
Lời giải

D.

M
=2
m

.

2z + i
2z − i
2z + i
2z + i
1
1
3
5
=
⇒
≤P≤
⇔ 2− ≤ P ≤ 2+ ⇔ ≤ P ≤
z
z
z
z

z
z
2
2

Ta có

Câu 5:

.

M 5
=
m 3

Vậy

.

Cho số phức
A.

là số

13 + 3

z

z − 2 − 3i = 1


thoả mãn

.

z +1+ i

. Tìm giá trị lớn nhất của
B.

13 + 5

.

C.
Lời giải

13 + 1

.

.
D.

13 + 6

.

1 = z − 2 − 3i = ( z − 2 − 3i ) .( z − 2 − 3i ) = ( z − 2 − 3i ) ( z − 2 + 3i )
2


Ta có

⇔ 1 = ( z − 2 − 3i ) ( z − 2 + 3i ) ⇔ z − 2 + 3i = 1`⇔ z + 1 + i − 3 + 2i = 1(*)

+Đặt

w = z +1+ i

.

⇔ w − 3 + 2i = 1

, khi đó

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

.

 

16

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

w = z +1+ i

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức


là đường tròn

( I ;1)

w

và

là khoảng

w

cách từ gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường trịn. Do đó giá trị lớn nhất của
OQ
.
⇒ w max = 1 + 32 + 22 = 1 + 13

Câu 6:

chính là đoạn

.

z 2 + 7 − 24i

z − 3i + 4 = 1

z


Xét tất cả các số phức
thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
nằm
trong khoảng nào?
( 0;1009 )
( 1009; 2018 )
( 2018; 4036 )
( 4036; +∞ )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

1 = z − 3i + 4 ≥ z − 3i − 4 = z − 5 ⇒ −1 ≤ z − 5 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ z ≤ 6
Ta có
z0 = 4 − 3i ⇒ z0 = 5, z0 2 = 7 − 24i
Đặt
.

.

2

Ta


2

2

2

)

có
4

4

(

= z + zo + z. z o + z o . z

Mà

(

A = z 2 + 7 − 24i = z 2 + zo 2 = ( z 2 + zo 2 ) z + zo

)

2

− 2 z. z o


2

( z + z o ) ( z + z o ) = 1 ⇒ z . z o + z o .z = 1 − z
4

4

(

2

A = z + z o + 1 − z − zo
Suy ra
Hàm số

− zo

) − 2 z.z

2 2

y = 2t − 2t + 1201
4

2

2

2
o


2

4

[ 4;6]

đồng biến trên
nên
 z = 4

 z + 4 − 3i = 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
2
z + 7 − 24i
( 1009; 2018)
Do đó
nằm trong khoảng
.

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

2

= 2 z − 2 z + 1201
.

A ≥ 2.44 − 2.42 + 1201 = 1681


 

17

.

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

z+z + z−z =4
Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

P = z − 2 − 2i
nhỏ nhất của

A∈
A.

(

34;6

)


A= M +m

. Đặt

(

A∈ 6; 42
.

B.

)

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(

A∈ 2 7; 33
.
C.
Lời giải

)

(

A∈ 4;3 3
.

D.


)

.

z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ N ( x; y )

Giả sử:
: điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa
Oxy
độ
.
Ta có:
z + z + z − z = 4 ⇔ x + y = 2⇒ N
•
thuộc các cạnh của hình vng BCDF.
y
I

B 2

1

E
F

C
O

-2


1

x

2

D -2

P = z − 2 − 2i ⇒ P =
•
Từ hình ta có:

( x − 2)

2

A = M +m = 2+2 5∈

Câu 8:

2

với

I ( 2; 2 )

E ( 1;1)

M = Pmax = ID = 42 + 22 = 2 5


Vậy,

+ ( y − 2) ⇒ P = d ( I ; N )

(

m = Pmin = IE =
và

34; 6

)

( 2 − 1)

2

+ ( 2 − 1) = 2
2

.

z − 6 + z + 6 = 20
M n
thỏa mãn
. Gọi
, lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ
M −n
nhất của z. Tính

M −n=7
M −n=2
M −n = 4
M − n = 14
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Cho số phức

z

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

18

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

( x, y ∈ ¡ ) . Theo giả thiết, ta có

Gọi z = x + yi ,
( x − 6)

⇔ x − 6 + yi + x + 6 + yi = 20 ⇔

Gọi

M ( x; y )

,

F1 ( 6;0 )

F2 ( −6;0 )

và

2

hai tiêu điểm

F1

và

F2

.

( x + 6)


+ y2 +

2

( ∗)

+ y 2 = 20

.

.

( ∗) ⇔ MF1 + MF2 = 20 > F1F2 = 12

Khi đó

z − 6 + z + 6 = 20

E

nên tập hợp các điểm

. Và độ dài trục lớn bằng

20

là đường elip

( E)


có

.

b 2 = a 2 − c 2 = 64 ⇒ b = 8
c = 6 2a = 20 ⇔ a = 10
Ta có
;
và
.

Do đó, phương trình chính tắc của
max z = OA = OA' = 10

Suy ra
Vậy
Câu 9:

khi

M −n=2

Cho số phức
A.

4 + 74

z


( E)

x2
y2
+
=1
100 64

là

z = ±10

.

min z = OB = OB ' = 8

và

z = ±8i

khi

.

.

z − 3 + 4i = 2
thỏa mãn

.


và
B.

2 + 130

.

w = 2z +1− i

C.
Lời giải

w
. Khi đó

4 + 130

có giá trị lớn nhất bằng

.

16 + 74

D.

.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có
w = 2 z + 1 − i = ( 2 z − 6 + 8i ) + ( 7 − 9i ) ≤ 2 z − 6 + 8i + 7 − 9i = 4 + 130


w
Vậy giá trị lớn nhất của
Câu 10: Xét số phức

z ( 4 + 3i )

N N′
,

A.

5
34

z

là

4 + 130

.

.

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

N


và

M

N′

và

M′

. Biết rằng

. Số phức

M M′
,

,

z + 4i − 5
là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

B.

2
5


.

C.
Lời giải

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

1
2

.

.

D.

 

4
13

.

19

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ


Gọi

z = x + yi

Ta đặt
đó

, trong đó

x, y ∈ ¡

. Khi đó

z = x − yi M ( x; y ) M ′ ( x; − y )
,

,

w = z ( 4 + 3i ) = ( x + yi ) ( 4 + 3i ) = ( 4 x − 3 y ) + ( 3x + 4 y ) i ⇒ N ( 4 x − 3 y;3x + 4 y )

w = z ( 4 + 3i ) = ( 4 x − 3 y ) − ( 3 x + 4 y ) i ⇒ N ′ ( 4 x − 3 y; −3x − 4 y )

Ta có

.

M

và


M′ N
;

và

N′

từng cặp đối xứng nhau qua trục

yM = yN

thành một hình chữ nhật thì
y = −3 x − 4 y

. Vậy tập hợp các điểm

d 2 : 3x + 5 y = 0

Đặt

( x − 5)

2

+ ( y + 4)

Pmin ⇔ MAmin ⇔ MA = d ( A; d1 )

5
34


Câu 11: Biết số phức
z
phức bằng:
2
5
A. .

z

M

yM = y N ′

.
. Do đó, để chúng tạo

y = 3x + 4 y

. Suy ra

là hai đường thẳng:

hoặc

d1 : x + y = 0

và

.


P = z + 4i − 5 =

d ( A; d 2 ) =

hoặc

Ox

. Khi

2

hoặc

Pmin = d ( A; d1 ) =
, vậy

. Ta có

MA = d ( A; d 2 )

1
2

thỏa mãn

d ( A; d1 ) =
. Mà


1
2

,

có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số

−
.

.

z
và

1
5

với

A ( 5; −4 )

.

iz − 3 = z − 2 − i

B.

P = MA


C.
Lời giải

2
5

−
.

D.

1
5

.

z = x + yi x y ∈ ¡
Đặt
( ,
).
Khi đó

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

20

Word xinh



50 dạng toán bám sát đề minh họ
2
iz − 3 = z − 2 − i ⇔ x + ( − y − 3) =
2

( 1)

( x − 2)

2

+ ( y − 1) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 ⇔ x = −2 y − 1
2

.

z = x2 + y 2 ( 2)

Lại có
Thay

( 1)

vào

( 2)

.


ta được:
2

2 1
5

2
= 5 y + ÷ + ≥
2
2
2
2
z = x + y = ( −2 y − 1) + y = 5 y + 4 y + 1
5 5 5


Dấu đẳng thức xảy ra khi

y=−
Thay

2
5

vào

( 1)

2
2

y+ =0 ⇔ y=−
5
5
x=−

suy ra

Vậy phần thực của số phức
Câu 12: Xét các số phức
z = 1 + 5i
A.
.

z

z

là

1
5

.

.

1
−
5


.

z − 1 − 3i = 2
thỏa mãn
B.

. Số phức

z = 1+ i

.

C.
Lời giải

z −1

z

mà
z = 1 + 3i

.

nhỏ nhất là
z = 1− i
D.
.

M ( x; y )

z = x + yi x, y ∈ R
z
Gọi
,
. Khi đó
là điểm biểu diễn của số phức .
z − 1 − 3i = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y − 3) = 4
2

Theo bài ra ta có

Suy ra tập hợp điểm

z −1 =
Khi đó

M

( x − 1)

là đường tròn tâm
2

+ y 2 = I ′M
với

2

I ( 1; 3)


I ′ ( 1; 0 )

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

.

bán kính

R=2

.

.

 

21

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

z −1
nhỏ nhất khi

I ′M

II ′


Phương trình đường thẳng

là

x =1

Tọa độ giao điểm của đường thẳng
và

M 1 ( 1; 5 )

M 1 ( 1; 1)

Đặt

,

I′

thẳng hàng,

M

nằm giữa

I

và

I′


.

.
với đường tròn tâm

34; 6

z = x + iy

z = 1+ i

thỏa mãn. Vậy

thỏa mãn

I

bán kính

R=2

là

M 1 ( 1; 1)

.

Gọi


P = z − 2 − 2i .
nhỏ nhất của
A.

M

z + z + z − z = 4.

z

Câu 13: Cho số phức

(

II ′

,

.

Thử lại ta thấy

A∈

I

ngắn nhất hay

)


Đặt

A = M + m.

(

A∈ 6; 42
.

và gọi

B.

M ( x; y )

)

M,m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(

A∈ 2 7; 33
.

C.
Lời giải


là điểm biểu diễn của

)

.

D.

A ∈  4;3 3

)

.

z = x + iy

z+z + z−z =4⇔ x + y =2
ta có:
Gọi

A ( 2; 2 )

và

P = MA

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 


22

Word xinh


50 dạng tốn bám sát đề minh họ

* Theo hình vẽ,

min P =

min P = d ( A, ∆ ) ,

2+ 2−2
2

và

= 2

max P = AE = 22 + 42 = 2 5,

Vậy

với

E ( 0; −2 )

M + m = 2 + 2 5 ; 5,88


z = x + yi

,

z − 1 + i = z + 1 − 2i

z

Câu 14: Trong các số phức
phần ảo là
3
10
A.
.

Gọi

với

∆:x+ y = 2

thỏa mãn

B.

( x, y ∈¡ )

3
5


z

, số phức
−

.

C.
Lời giải

được biểu diễn bởi điểm

3
5

có mơ đun nhỏ nhất có
−

.

D.

M ( x; y)

3
10

.


.

z − 1 + i = z + 1 − 2i ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) i = ( x + 1) − ( y + 2 ) i
⇔

( x − 1)

2

+ ( y + 1) =
2

( x + 1)

2

+ ( y + 2 ) ⇔ 4 x + 2 y + 3 = 0 ⇔ y = −2 x −
2

3
2

.

Cách 1:
2

2

3

9
3
9 3 5


z = x + y = x +  −2 x − ÷ = 5 x 2 + 6 x + = 5  x + ÷ +
≥
, ∀x
2
4
5  20 10


2

2

min z =

Suy ra

2

3 5
10

khi

Vậy phần ảo của số phức


3
3
x=− ;y=−
5
10

z

.
−

có mơ đun nhỏ nhất là

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

.

3
10

.
 

23

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ


Cách 2:
Trên mặt phẳng tọa độ
d : 4x + 2 y + 3 = 0
.

z = OM
Ta có

Oxy

z
.

nhỏ nhất

Phương trình đường thẳng

Tọa độ của

M

, tập hợp điểm biểu diễn số phức

⇔ OM

OM

nhỏ nhất

đi qua


O

. Hay

3 3
z=− − i
5 10

Vậy phần ảo của số phức

z

Gọi

biểu diễn số phức
−1 − 2i
diễn số phức
.

−

có mơ đun nhỏ nhất là

Khi đó

, điểm

là:


3
10

A ( 1; − 1)

z

z1 − z2

A.

2 2

Giả sử

.

.

như sau:

( *)

biểu diễn số phức

1− i

z

z1 , z2


z1 − i
z +i
= 1; 2
= 2
z1 + 2 − 3i
z2 − 1 + i

. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức
d : 4x + 2 y + 3 = 0
AB
đoạn thẳng
có phương trình
.

thỏa mãn

x − 2y = 0

d

.

( *) ⇔ MA = MB

Câu 15: Cho hai số phức

trên

.


z − 1 + i = z + 1 − 2i ⇔ z − ( 1 − i ) = z − ( −1 − 2i )
z

d

O

3

x=−

4 x + 2 y + 3 = 0

5
⇔

x − 2y = 0
y = − 3

10

Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

M

là đường thẳng

là hình chiếu của


và vng góc với

là nghiệm của hệ phương trình:

 3 3
⇒ M − ;− ÷
 5 10 

⇔M

z

, điểm

B ( −1; − 2 )

biểu

là đường trung trực của

. Giá trị nhỏ nhất của

là
.
z1 = x1 + y1i

B.

với


2

.

x1 ; y1 ∈ ¡

1
C. .
Lời giải

D.

2 −1

.

. Khi đó:

St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

24

Word xinh


50 dạng toán bám sát đề minh họ

z1 − i

= 1 ⇔ z1 − i = z1 + 2 − 3i ⇔ x1 + ( y1 − 1) i = ( x1 + 2 ) + ( y1 − 3) i
z1 + 2 − 3i
⇔ x12 + ( y1 − 1) =
2

( x1 + 2 )

2

+ ( y1 − 3) ⇔ x1 − y2 + 3 = 0
2

.

z1
∆: x− y +3= 0
M
Quỹ tích điểm
biểu diễn số phức
là đường thẳng
.
z 2 = x2 + y 2 i
x2 ; y2 ∈ ¡
Giả sử
với
. Ta có:
z2 + i
= 2 ⇔ z2 + i = 2 z2 − 1 + i ⇔ x2 + ( y2 + 1) i = 2 ( x2 − 1) + ( y2 + 1) i
z2 − 1 + i


⇒

⇔ x22 + ( y2 + 1) = 2

( x2 − 1)

2

⇒

Quỹ tích điểm
I ( 2; −1)

tâm

N

2

+ ( y2 + 1) ⇔ x22 + y22 − 4 x2 + 2 y2 + 3 = 0
2

z2

biểu diễn số phức

và bán kính

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức
MN

chỉ khi
nhỏ nhất.

Câu 16: Gọi

z2
A.

MN min = 3 2 − 2 = 2 2

là tập hợp các số phức

là hai số phức thuộc

2

Đặt

z = x + yi

có

2

.
2 − ( −1) + 3
12 + ( −1)

I
∆

Khoảng cách từ
đến
là:
C
đường trịn
khơng có điểm chung.

S

là đường trịn

2

R = 22 + ( −1) − 3 = 2

d ( I; ∆) =

Dễ thấy

.
( C ) : x + y − 4x + 2 y + 3 = 0
2

S

( x, y∈¡ )

=3 2 > R

⇒


∆

và

.

thỏa mãn

10

đường thẳng

MN ⇒ z1 − z2
là đoạn thẳng
.
nhỏ nhất khi và

z + 1 + mi = z + m + 2i

z − 1 = 34

sao cho

B.

,

z


z1 − z2

2

z1 − z2

và
lớn nhất, khi đó giá trị của

C.
Lời giải

2

,. Gọi

z1 + z2

D.

z1

,

bằng

130

. Khi đó


St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh

 

25

Word xinh