BAI TAP PHUONG PHAP TOA DO TRONG KHONG GIAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P):. x – 3y + 2 z – 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). r r r uuur  (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)  (Q) có VTPT n = éë nP , AB ùû = (0; -8; -12) ¹ 0  (Q) : 2 y + 3z - 11 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x + 2 y + 3z + 3 = 0 . ĐS: (Q) : x - 2 y + z - 2 = 0. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm. ́ x = -1 + t ï A(2;1;3), B(1; -2;1) và song song với đường thẳng d : í y = 2t . ïî z = -3 - 2t uur r  Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; -2) . uur ́nr ^ BA r r uur r Gọi n là VTPT của (P)  í r r  chọn n = éë BA, u ùû = (-10;4; -1) în ^ u  Phương trình của (P): 10 x - 4 y + z - 19 = 0 . Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có phương trình: (d1 );. x -1 y +1 z - 2 x - 4 y -1 z - 3 = = = = , ( d2 ) : . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và 2 3 1 6 9 3. ( d2 ) ..  Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,. cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z - 2 x + 6 y - 4z - 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc r tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (a ) : x + 4 y + z - 11 = 0 và tiếp xúc với (S). r  (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (a ) là n = (1;4;1) . r r r  VTPT của (P) là: nP = [ n, v ] = (2; -1;2)  PT của (P) có dạng: 2 x - y + 2z + m = 0 . 2. 2. 2. é m = -21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(P )) = 4 Û ê . ëm = 3 Vậy: (P): 2 x - y + 2 z + 3 = 0 hoặc (P): 2 x - y + 2z - 21 = 0 . Câu 5. Trong không gian vơi hệ toa độ Oxyz, cho điêm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng. x y +1 z x y -1 z - 4 = = = và (d2 ) : = . Chưng minh rằng điêm M , d1, d2 cung nằm 1 -2 -3 1 2 5 trên một măt phẳng. Viêt phương trinh măt phẳng đó. r r  d1 qua M1(0; -1;0) và có u1 = (1; -2; -3) , d2 qua M2 (0;1; 4) và có u2 = (1;2;5) . r uuuuuur r r r r uuuuuur éëu1; u2 ùû = (-4; -8;4) ¹ 0 , M1M2 = (0;2;4)  éëu1; u2 ùû .M1M2 = 0  d1, d2 đồng phẳng. r Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1, d2  (P) có VTPT n = (1;2; -1) và đi qua M1 nên có phương trình x + 2 y - z + 2 = 0 . Kiểm tra thấy điểm M (1; –1;1) Î (P ) . (d1 ) :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu x -3 y -3 z = = và mặt cầu (S): 2 2 1 x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 2 y - 4z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). r  (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u = (2;2;1) . r rr (P) // d, Ox  (P) có VTPT n = [ u , i ] = (0;1; -2)  PT của (P) có dạng: y - 2 z + D = 0 .. Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:. (P) tiếp xúc với (S)  d ( I ,( P )) = R .  (P): y - 2 z + 3 + 2 5 = 0. hoặc. 1- 4 + D 12 + 22. é = 2  D - 3 = 2 5  êD = 3 + 2 5 ëD = 3 - 2 5. (P): y - 2 z + 3 - 2 5 = 0 .. Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 4 y - 4 = 0 và mặt. phẳng (P): x + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; -1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). r  (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nP = (1;0;1) . PT (Q) đi qua M có dạng: A( x - 3) + B( y - 1) + C ( z + 1) = 0, A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (Q) tiếp xúc với (S)  d ( I ,(Q)) = R Û -4 A + B + C = 3 A2 + B 2 + C 2 r r (Q) ^ ( P ) Û nQ .nP = 0 Û A + C = 0 Û C = - A (**). (*). Từ (*), (**)  B - 5 A = 3 2 A2 + B 2 Û 8B 2 - 7 A2 + 10 AB = 0  A = 2B Ú 7 A = -4 B  Với A = 2 B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2  PT (Q): 2 x + y - 2z - 9 = 0  Với 7 A = -4B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4  PT (Q): 4 x - 7 y - 4 z - 9 = 0 Câu hỏi tương tự: a) Với (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y - 4z + 5 = 0 , ( P ) : 2 x + y - 6z + 5 = 0, M (1;1;2) . ĐS: (Q) : 2 x + 2 y + z - 6 = 0 hoặc (Q) :11x - 10 y + 2z - 5 = 0 . Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 – 2 x + 4 y + 2 z –3 = 0 . Viết. phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3.  (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox  (P): ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0)  (P): y – 2z = 0. Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 2 y + 2 z –1 = 0 và. ́x - y - 2 = 0 đường thẳng d : í . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) î2 x - z - 6 = 0 theo một đường tròn có bán kính r = 1 .  (S) có tâm I (-1;1; -1) , bán kính R = 2. PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0) . Chọn M (2;0; -2), N (3;1;0) Î d .. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́ M Î (P ) ï é a = b,2c = -(a + b), d = -3a - b (1) Ta có: í N Î (P ) ê ë17a = -7b,2c = -(a + b), d = -3a - b (2) ïd (I ,(P )) = R 2 - r 2 î + Với (1)  (P): x + y - z - 4 = 0 + Với (2)  (P): 7 x - 17 y + 5z - 4 = 0 Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng. D1 :. x y -1 z = = , 2 -1 1. x -1 y z = = và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 – 2 x + 2 y + 4 z –3 = 0 . Viết phương trình tiếp - 1 1 -1 diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng 1 và 1.. D2 :.  (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 - 3 2 = 0 Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ. Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z - 2 x + 4 y - 6z - 11 = 0 và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p = 6p .  Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3. 2. 2. 2. Khoảng cách từ I tới () là h = Do đó. 2.1 + 2(-2) - 3 + D. R 2 - r 2 = 52 - 32 = 4. é D = -7 = 4 Û -5 + D = 12 Û ê ë D = 17 (loại). 22 + 22 + (-1)2 Vậy () có phương trình 2 x + 2 y – z – 7 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) (S ) : x 2 + y 2 + z2 + 2 x + 4 y - 6z - 11 = 0 , (a ) : 2 x + y - 2 z + 19 = 0 , p = 8p . ĐS: ( b ) : 2 x + y - 2 z + 1 = 0. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với. mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng. 2..  PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ).  Vì (P)  (Q) nên: 1. A + 1.B + 1.C = 0  C = - A - B (1) A + 2B - C = 2  ( A + 2B - C )2 = 2( A 2 + B2 + C 2 )  d ( M ,(P )) = 2  A2 + B 2 + C 2 éB = 0 (3) Từ (1) và (2) ta được: 8 AB + 5B 2 = 0  ê 8 A + 5 B = 0 (4) ë  Từ (3): B = 0  C = –A. Chọn A = 1, C = –1  (P): x - z = 0  Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8  C = 3  (P): 5 x - 8y + 3z = 0 .. (2). x -1 y - 3 z = = và điểm 1 1 4 M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.  Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = 0 ( a2 + b2 + c2 ¹ 0 ) r  đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u = (1;1;4). Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :. ́a + b + 4c = 0 ï ́D P ( P ) ́ a = 4c a + 5b Ûí Ta có: í í . = 4 îa = -2c îd ( A;(P )) = d ï 2 2 2 î a +b +c b -8  Phương trình (P): 4 x - 8y + z - 16 = 0 .  Với a = 4c . Chọn a = 4, c = 1 =̃= b 2  Phương trình (P): 2 x + 2 y - z + 4 = 0 .  Với a = -2c . Chọn a = 2, c = -1 =̃= Câu hỏi tương tự: x y z -1 ; M (0;3; -2), d = 3 . a) Với D : = = 1 1 4 ĐS: ( P ) : 2 x + 2 y - z - 8 = 0 hoặc ( P ) : 4 x - 8y + z + 26 = 0 . ́x = t ï Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : í y = -1 + 2t và điểm A(-1;2;3) ïî z = 1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. r r  (d) đi qua điểm M(0; -1;1) và có VTCT u = (1;2; 0) . Gọi n = (a; b; c) với a2 + b2 + c2 ¹ 0 là VTPT của (P) . PT mặt phẳng (P): a( x - 0) + b( y + 1) + c( z - 1) = 0 Û ax + by + cz + b - c = 0 (1). rr Do (P) chứa (d) nên: u.n = 0 Û a + 2b = 0 Û a = -2b (2) -a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,(P ) ) = 3 Û =3Û = 3 Û 5b + 2c = 3 5b 2 + c 2 a2 + b2 + c2 5b 2 + c2 2. Û 4b2 - 4bc + c2 = 0 Û ( 2b - c ) = 0 Û c = 2b. (3). Từ (2) và (3), chọn b = -1  a = 2, c = -2  PT mặt phẳng (P): 2 x - y - 2z + 1 = 0 . Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M (-1;1;0), N (0;0; -2), I (1;1;1) . Viết. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng. 3..  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0) . ́ M Î (P ) ï é a = -b,2c = a - b, d = a - b (1) Ta có: í N Î (P ) ê . ë5a = 7b,2c = a - b, d = a - b (2) ïîd (I ,(P )) = 3 + Với (1)  PT mặt phẳng (P): x - y + z + 2 = 0 + Với (2)  PT mặt phẳng (P): 7 x + 5y + z + 2 = 0 . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; -1;2) , B(1;3;0) ,. C(-3; 4;1) , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)..  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b2 + c 2 ¹ 0) . ́ a - b + 2c + d = 0 ́ A Î (P ) ïïa + 3b + d = 0 ï Ta có: í B Î (P )  í -3a + 4b + c + d a + 2b + c + d ïîd (C ,(P )) = d (D ,(P )) = ï ïî a2 + b2 + c 2 a2 + b2 + c 2 é b = 2a, c = 4a, d = -7a ê ëc = 2a, b = a, d = -4a + Với b = 2a, c = 4a, d = -7a  (P): x + 2 y + 4 z - 7 = 0 . + Với c = 2a, b = a, d = -4a  (P): x + y + 2z - 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), B(-2;1;3), C (2; -1;1), D (0;3;1) . ĐS: ( P ) : 4 x + 2 y + 7z - 15 = 0 hoặc ( P ) : 2 x + 3z - 5 = 0 . Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; -1;2) , C(1;1;1) .. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến ( P ) bằng khoảng cách từ C đến ( P ) ..  Vì O  (P) nên (P ) : ax + by + cz = 0 , với a2 + b2 + c2 ¹ 0 . Do A  (P)  a + 2b + 3c = 0 (1) và d ( B,( P )) = d (C ,( P )) Û - b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) và (2)  b = 0 hoặc c = 0 .  Với b = 0 thì a = -3c  (P ) : 3 x - z = 0  Với c = 0 thì a = -2b  (P ) : 2 x - y = 0 Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2; 0), B(0;4; 0), C (0;0;3) . ĐS: -6 x + 3y + 4 z = 0 hoặc 6 x - 3y + 4 z = 0 . Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; -1) , B(1;1;2) , C(-1;2; -2) và. mặt phẳng (P): x - 2 y + 2z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (a ) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2IC .  PT (a ) có dạng: ax + by + cz + d = 0 , với a2 + b2 + c2 ¹ 0 Do A(1;1; -1) Î (a ) nên: a + b - c + d = 0 (1); (a ) ^ ( P ) nên a - 2b + 2c = 0 (2) IB = 2 IC  d (B,(a )) = 2d (C;(a ))  é3a - 3b + 6c - d = 0 Ûê ë -a + 5b - 2c + 3d = 0. a + b + 2c + d a2 + b2 + c 2. =2. -a + 2b - 2c + d a2 + b2 + c 2. (3). Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau : ́a + b - c + d = 0 -1 -3 ï Û b = a; c = - a; d = a. TH1 : ía - 2b + 2c = 0 2 2 ïî3a - 3b + 6c - d = 0 b -1; c = -2; d = -3  (a ) : 2 x - y - 2 z - 3 = 0 Chọn a = 2 =̃= ́a + b - c + d = 0 3 -3 ï Û b = a; c = a; d = a. TH2 : ía - 2b + 2c = 0 2 2 ïî-a + 5b - 2c + 3d = 0 b 3; c = 2; d = -3  (a ) : 2 x + 3y + 2 z - 3 = 0 Chọn a = 2 =̃= Vậy: (a ) : 2 x - y - 2 z - 3 = 0 hoặc (a ) : 2 x + 3y + 2 z - 3 = 0 Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương trình. x -2 y -2 z-3 x -1 y - 2 z -1 = = = = , d2 : . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai 2 1 3 2 -1 4 đường thẳng d1, d2 . r r  Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có ud1 = (2;1;3) , d2 đi qua B(1;2;1) và có ud 2 = (2; -1;4) . r r r Do (P) cách đều d1, d2 nên (P) song song với d1, d2  nP = éëud1, ud 2 ùû = (7; -2; -4)  PT mặt phẳng (P) có dạng: 7 x - 2 y - 4 z + d = 0 Do (P) cách đều d1, d2 suy ra d ( A,(P )) = d (B,(P )) d1 :. . 7.2 - 2.2 - 4.3 + d. =. 7.1 - 2.2 - 4.1 + d. Û d - 2 = d -1 Û d =. 69 69  Phương trình mặt phẳng (P): 14 x - 4 y - 8z + 3 = 0. 3 2. Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương trình. ́x = 1 + t ï x - 2 y -1 z +1 d1 : í y = 2 - t , d2 : = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 và 1 -2 2 ïî z = 1 d2 , sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P). r  Ta có : d1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP u1 = (1; -1; 0) r d2 đi qua B(2;1; -1) và có VTCP là u2 = (1; -2;2) r r r r Gọi n là VTPT của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n = éëu1, u2 ùû = (-2; -2; -1)  Phương trìnht (P): 2 x + 2 y + z + m = 0 . 7+m 5+ m ; d (d2 ,(P )) = d (B,( P )) = d (d1,(P )) = d ( A;(P )) = 3 3 é 7 + m = 2(5 + m) 17 d (d1,(P )) = 2d (d2 ,(P )) Û 7 + m = 2. 5 + m Û ê Û m = -3; m = 7 + m = 2(5 + m ) 3 ë 17 17 + Với m = -3 =̃ ( P ) : 2 x + 2 y + z –3 = 0 + Với m = - =̃ ( P ) : 2 x + 2 y + z - = 0 3 3 Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm. A(0; -1;2) , B(1; 0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + ( z + 1)2 = 2 . Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.  (S) có tâm I (1;2; -1) , bán kính R = 2 . PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0) ́ A Î (P ) ï é a = - b, c = -a - b, d = 2a + 3b (1) Ta có: í B Î (P ) ê 3 a = 8 b , c = a b , d = 2 a + 3 b (2) ë ïîd (I ,(P )) = R + Với (1)  Phương trình của (P): x - y - 1 = 0 + Với (2)  Phương trình của (P): 8 x - 3y - 5z + 7 = 0 Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P). đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.  Ta có d (O,(P )) £ OA . Do đó d (O,(P ))max = OA xảy ra Û OA ^ ( P ) nên mặt phẳng (P) cần tìm uuur là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA = (2; -1;1) Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2 x - y + z - 6 = 0 .. Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương. x -1 y z -1 = = . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng 2 1 3 cách từ d tới (P) là lớn nhất.  Gọi H là hình chiếu của A trên d  d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của Huuur lên (P), ta có AH ³ HI  HI lớn nhất khi A º I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm VTPT  (P): 7 x + y - 5z - 77 = 0 . trình:. Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số. {x = -2 + t; y = -2t; z = 2 + 2t . Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và. I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa  và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.  Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì (P ) P (d ) hoặc (P ) É (d ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH £ IA và IH ^ AH . ́d (d ,( P )) = d ( I ,( P )) = IH Mặt khác í î H Î (P ) = IA Û H º A . Lúc này (P) ở vị trí (P0)  IA tại A. Trong (P), IH £ IA ; do đó maxIH r uur r Vectơ pháp tuyến của (P0) là n = IA = ( 6;0; -3) , cùng phương với v = ( 2; 0; -1) . Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2( x - 4) - 1.( z + 1) = 2 x - z - 9 = 0 . x -1 y z - 2 = = và điểm 2 1 2 A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.. Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :.  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0) . r r (P) có VTPT n = (a; b; c) , d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u = (2;1;2) . ́ M Î (P) ́a + 2c + d = 0 ́2c = -(2a + b) Vì (P)  d nên í r r í í . Xét 2 trường hợp: n . u = 0 2 a + b + 2 c = 0 î î îd = a + b TH1: Nếu b = 0 thì (P): x - z + 1 = 0 . Khi đó: d ( A,( P )) = 0 . TH2: Nếu b  0. Chọn b = 1 ta được (P): 2ax + 2 y - (2a + 1)z + 2a + 2 = 0 .. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Khi đó:. d ( A,(P )) =. 9 2. 8a + 4a + 5. 9. =. 2. £3 2. æ 1ö 3 2 ç 2a + ÷ + è 2ø 2 1 1 Vậy max d ( A,( P )) = 3 2  2a + = 0 Û a = - . Khi đó: (P): x - 4 y + z - 3 = 0 . 2 4 Câu hỏi tương tự: x -1 y +1 z - 2 = = , A(5;1;6) . a) d : ĐS: ( P ) : 2 x + y - z + 1 = 0 2 1 5 x -1 y + 2 z = = , A(1; 4;2) . b) d : ĐS: ( P ) : 5 x + 13y - 4 z + 21 = 0 -1 1 2 Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; -1;2) và N(-1;1;3) . Viết phương trình. mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.  PT (P) có dạng: Ax + B( y + 1) + C (z - 2) = 0 Û Ax + By + Cz + B - 2C = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ¹ 0) N (-1;1;3) Î ( P ) Û - A + B + 3C + B - 2C = 0 Û A = 2B + C =̃+( P ) : (2 B C ) x + By + Cz + B - 2C = 0 ;. d ( K ,( P )) =. B 2. 2 4 B + 2C + 4 BC.  Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại) d (K ,(P )) =. B. =. 1. £. 1. 2 2 æC ö 2 ç + 1÷ + 2 èB ø Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x + y – z + 3 = 0 ..  Nếu B ¹ 0 thì. 4 B 2 + 2C 2 + 4BC. Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng ():. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x -1 y z = = và tạo với mặt phẳng (P) : 2 x - 2 y - z + 1 = 0 một góc 600. Tìm tọa độ giao 1 -1 - 2 điểm M của mặt phẳng () với trục Oz. r  () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u = (1; -1; -2) . (P) có VTPT nr¢ = (2; -2; -1) . uuuur r uuur ur Giao điểm M (0;0; m) cho AM = (-1; 0; m) . () có VTPT n = éë AM , u ùû = (m; m - 2;1) () và (P): 2 x - 2 y - z + 1 = 0 tạo thành góc 600 nên : 1 1 1 r r cos ( n , n¢ ) = Û = Û 2m2 - 4m + 1 = 0  m = 2 - 2 hay m = 2 + 2 2 2m2 - 4m + 5 2 Kết luận : M(0;0;2 - 2) hay M(0;0;2 + 2) Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d. của. hai. mặt. phẳng. (a ) : 2 x – y –1 = 0 ,. (b ) : 2 x – z = 0. và. tạo. với. mặt. phẳng. (Q) : x – 2 y + 2 z –1 = 0 một góc  mà cos j = 2 2 9 A (0;1;0), B (1;3;2) Î d  Lấy . (P) qua A  PT (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = 0 . (P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = 0  A = -(2 B + 2C )  (P ) : -(2 B + 2C ) x + By + Cz – B = 0 -2 B - 2C - 2 B + 2C 2 2 cos j = =  13B 2 + 8BC – 5C 2 = 0 . 2 2 2 9 3 (2 B + 2C ) + B + C 5 . 13 + Với B = C = 1  ( P ) : -4 x + y + z –1 = 0 5 + Với B = , C = 1  ( P ) : -23 x + 5y + 13z – 5 = 0 . 13 Chọn C = 1. =̃= B 1; B =. Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2; -3), B(2; -1; -6) và mặt phẳng. ( P ) : x + 2 y + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một. góc  thoả mãn cos a =. 3 . 6.  PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0) . ́-a + 2b - 3c + d = 0 ́ A Î (Q) ï2a - b - 6c + d = 0 ïï B Î (Q) ï é a = -4b, c = -3b, d = -15b Ta có: í í ê a + 2 b + c 3 ë a = -b, c = 0, d = - b ï ïcos a = 3 = 6 ïî ïî a2 + b2 + c2 1 + 4 + 1 6  Phương trình mp(Q): 4 x - y + 3z + 15 = 0 hoặc (Q): x - y - 3 = 0 . Câu hỏi tương tự: 1 a) A(0; 0;1), B(1;1;0) , ( P ) º (Oxy),cos a = . 6 ĐS: (Q): 2 x - y + z - 1 = 0 hoặc (Q): x - 2 y - z + 1 = 0 . ́x + y + z - 3 = 0 . Viết phương î2 x + y + z - 4 = 0 trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc a = 600 .. Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.  ĐS: (P ) : 2 x + y + z - 2 - 2 = 0 hoặc (P ) : 2 x - y - z - 2 + 2 = 0 Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : 5 x - 2 y + 5z - 1 = 0 và. (Q) : x - 4 y - 8z + 12 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng ( R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc a = 450 ..  Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0) . Ta có: ( R) ^ ( P ) Û 5a - 2b + 5c = 0 (1);. · cos(( R),(Q)) = cos 450 Û. a - 4b - 8c. =. 2 (2) 2. 9 a2 + b2 + c 2 é a = -c 2 2 Từ (1) và (2)  7a + 6ac - c = 0 Û ê ë c = 7a  Với a = -c : chọn a = 1, b = 0, c = -1  PT mặt phẳng ( R) : x - z = 0  Với c = 7a : chọn a = 1, b = 20, c = 7  PT mặt phẳng ( R) : x + 20 y + 7z = 0 Câu hỏi tương tự: a) Với ( P ) : x - y - 2 z = 0,(Q) º (Oyz), M (2; -3;1),a = 450 . ĐS: ( R) : x + y + 1 = 0 hoặc ( R) : 5 x - 3y + 4 z - 23 = 0 Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:. x -1 y +1 z -1 x y z = = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 và tạo và D2 : = 1 -1 3 1 -2 1 với D2 một góc a = 30 0 .  Đáp số: (P): 5 x + 11y + 2z + 4 = 0 hoặc (P): 2 x - y - z - 2 = 0 . Câu hỏi tương tự: x y-2 z x -2 y-3 z+5 a) Với D1 : = , a = 30 0 . = , D2 : = = 1 -1 1 2 1 -1 ĐS: (P): x - 2 y - 2 z + 2 = 0 hoặc (P): x + 2 y + z - 4 = 0 x -1 y z +1 x y - 2 z +1 = = = b) D1 : , D2 : = , a = 30 0 . -2 1 1 1 -1 1 ĐS: (P): (18 + 114) x + 21y + (15 + 2 114) z - (3 - 114) = 0. D1 :. hoặc (P): (18 - 114) x + 21y + (15 - 2 114)z - (3 + 114) = 0 Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3). và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 450 , 300 . r r r  Gọi n = (a; b; c) là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i = (1;0;0), j = (0;1;0) . ́ 2 ïïsin(Ox,( P )) = ́ 2  ía = 2 b Ta có: í îc = b ïsin(Oy,( P )) = 1 ïî 2 PT mặt phẳng (P):. 2( x - 1) + ( y - 2) ± ( z - 3) = 0 hoặc - 2( x - 1) + ( y - 2) ± ( z - 3) = 0. Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2 y - z + 5 = 0 và đường thẳng. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x +1 y +1 z - 3 = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt 2 1 1 phẳng (Q) một góc nhỏ nhất. d:. ·  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0) . Gọi a = (( P ),(Q)) . ́́M Î (P ) c = -a - b =̃ í Chọn hai điểm M (-1; -1;3), N (1;0;4) Î d . Ta có: í î N Î (P ) îd = 7a + 4b  (P): ax + by + (-2a - b)z + 7a + 4b = 0  cos a = TH1: Nếu a = 0 thì cos a =. 3 6. .. b 2b 2. 3. TH2: Nếu a  0 thì cos a = 6 .. 3 6. .. =. 3  a = 300 . 2. 1+. b a. æbö b 5 + 4 + 2ç ÷ a èaø. 2. a+b 5a2 + 4ab + 2b2. . Đặt x =. b và f ( x ) = cos2 a a. 9 x2 + 2x + 1 Xét hàm số f ( x ) = . . 6 5 + 4x + 2 x2 Dựa vào BBT, ta thấy min f ( x ) = 0 Û cos a = 0 Û a = 90 0 > 30 0 Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b = 1, c = 1, d = 4 . Vậy: (P): y - z + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: x -1 y + 2 z = = a) Với (Q): x + 2 y + 2 z –3 = 0 , d : . ĐS: ( P ) : x + 2 y + 5z +3 = 0 . 1 2 -1 x -1 y + 2 z = = . b) Với (Q) º (Oxy ), d : ĐS: ( P ) : x - y + z - 3 = 0 . -1 1 2 ́ x = -t ï c) Với (Q) : 2 x - y - z - 2 = 0 , d : í y = -1 + 2t . ĐS: ( P ) : x + y + z - 3 = 0 . ïî z = 2 + t Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (-1; -1;3), N (1;0;4) và mặt phẳng (Q):. x + 2 y - z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất.  ĐS: (P ) : y - z + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) M (1;2; -1), N (-1;1;2),(Q) º (Oxy) . ĐS: ( P ) : 6 x + 3y + 5z - 7 = 0 .. ́x = 1- t ï Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í y = -2 + t . Viết phương trình ïî z = 2t mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.. ·  PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 ¹ 0) . Gọi a = (( P ), Oy ) . ́́M Î (P ) 2c = a - b =̃ í Chọn hai điểm M (1; -2;0), N (0; -1;2) Î d . Ta có: í N Î ( P ) î î d = -a + 2b. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2b a-b z - a + 2b = 0  sin a = . 2 5a2 + 5b2 - 2ab TH1: Nếu b = 0 thì a = 00 . 2 sin a = a 2 2 TH2: Nếu b  0 thì æaö a . Đặt x = b và f ( x ) = sin a . 5ç ÷ + 5 - 2 b èbø 4 5 1 Xét hàm số f ( x ) = 2 . Dựa vào BBT, ta được max f ( x ) = Û x =  a > 00 . 6 5 5x - 2 x + 5 a 1 Vậy  lớn nhất khi = . Chọn a = 1, b = 5, c = -2, d = 9  (P): x + 5y - 2z + 9 = 0 . b 5.  (P): ax + by +. Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :. x -1 y + 2 z = = và 1 2 -1. x + 2 y -1 z = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng (P) 2 -1 2 và đường thẳng d2 là lớn nhất. r  d1 đi qua M(1; -2;0) và có VTCP u = (1;2; -1) .Vì d1 ̀ (P ) nên M Î ( P ) . d2 :. PT mặt phẳng (P) có dạng: A( x - 1) + B( y + 2) + Cz = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ¹ 0) rr Ta có: d ̀ (P ) Û u .n = 0 Û C = A + 2B .. · P ), d2 )  sin a = Gọi a = (( TH1: Với B = 0 thì sina = TH2: Với B  0. Đặt t = Xét hàm số f (t ) =. 1 (4 A + 3B)2 = . 2 2 3. 2 A2 + 4 AB + 5B 2 3 2 A + 4 AB + 5B 4 A + 3B. 2 2 3. A 1 (4t + 3)2 , ta được: sina = . B 3 2t 2 + 4t + 5. (4t + 3)2. 2t 2 + 4t + 5 5 3 Khi đó sin a = f (-7) = . 9. . Dựa vào BBT ta có: max f (t ) =. 25 A khi t = -7  = -7 7 B. A 5 3 khi = -7 . B 9  Phương trình mặt phẳng (P) : 7 x - y + 5z -9 = 0 . So sánh TH1 và TH2   lớn nhất với sin a =. x +1 y - 2 z +1 = = và điểm 1 1 -1 A(2; -1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.  ĐS: (P ) : x + y + 2 z - 1 = 0 .. Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2 x - y + z + 2 = 0 và điểm. A(1;1; -1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN với trục Oy một góc lớn nhất.  ĐS: ( P ) : y + z = 0 hoặc (P ) : 2 x + 5y + z - 6 = 0 .. Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng. (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. x y z  Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c)  (P ) : + + = 1 a b c ́4 5 6 uur uur ïï a + b + c = 1 77 77 77 IA JA = (4;5 - b;6) uur= (4 - a;5;6), uur  í-5b + 6c = 0  a = ; b = ; c = 4 5 6 JK = (0; -b; c), IK = (-a;0; c) ï ïî-4a + 6c = 0 Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4 x + 5y + 6 z - 77 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(–1; 1; 1). ĐS: (P): x - y - z + 3 = 0 Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua. AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh rằng: b+c =. bc . Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. 2. x y z 1 1 1 bc  PT mp (P) có dạng: + + = 1. Vì M Î (P ) nên + + = 1  b + c = . 2 b c 2 b c 2 uuur uuur Ta có AB(-2; b; 0) , AC (-2;0; c ). Khi đó S = b2 + c2 + (b + c)2 . Vì b2 + c2 ³ 2bc; (b + c)2 ³ 4bc nên S ³ 6bc . Mà bc = 2(b + c) ³ 4 bc. bc =̃³ 16 . Do đó S ³ 96 . Dấu "=" xảy ra  b = c = 4 .. Vậy: min S = 96 khi b = c = 4 . Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z + 4 = 0 . Viết. phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.  Vì (Q) // (P) nên (Q): x + y + z + d = 0 (d ¹ 4) . Giả sử B = (Q) Ç Ox , C = (Q) Ç Oy 1 uuur uuur  B(-d ;0; 0), C (0; -d ; 0) (d < 0) . S ABC = éë AB, AC ùû = 6  d = -2 2 ( Q ) : x + y + z 2 = 0  .. Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3;0; 0), B(1;2;1) . Viết phương trình mặt. phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng. 9 . 2.  ĐS: (P ) : x + 2 y - 2z - 3 = 0 . Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1). Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.  Giá sử A(a; 0;0) Î Ox , B(0; b;0) Î Oy, C (0; 0; c) Î Oz (a, b, c > 0) . x y z Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = 1 . a b c 9 1 1 1 VOABC = abc (2) Ta có: M (9;1;1) Î (P )  + + = 1 (1); a b c 6 (1)  abc = 9bc + ac + ab ≥ 3 3 9(abc )2  (abc)3 ³ 27.9(abc)2 Û abc ³ 243 ́a = 27 ́9bc = ac = ab ï x y z ï Û íb = 3  (P): + + = 1. Dấu "=" xảy ra  í 9 1 1 27 3 3 ïîc = 3 ïî a + b + c = 1 Câu hỏi tương tự: x y z =1 a) Với M(1;2;4) . ĐS: (P ) : + + 3 6 12 Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3). , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức.  ĐS: (P ) : x + 2 y + 3z - 14 = 0 .. 1 OA2. +. 1 OB 2. +. 1 OC 2. có giá trị nhỏ nhất.. Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm. M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất. x y z + + =1.  ĐS: (P ) : 2 + 6 + 10 5 + 10 + 15 3 + 6 + 15 TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương x + 1 y -1 z - 2 = = và mặt 2 1 3 phẳng P : x - y - z - 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A(1;1; -2) , song song với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng d . x -1 y -1 z + 2 r uur uur r = =  u = éëud ; nP ùû = (2;5; -3) .  nhận u làm VTCP  D : 2 5 -3. Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :. Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x = -t ;. y = -1 + 2t ; z = 2 + t ( t Î R ) và mặt phẳng (P): 2 x - y - 2 z - 3 = 0 .Viết phương trình tham số của đường thẳng  nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d).  Gọi A = d  (P)  A(1; -3;1) . Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: - x + 2 y + z + 6 = 0  là giao tuyến của (P) và (Q)  : { x = 1 + t; y = -3; z = 1 + t. Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x -1 y +1 z . Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với . = = 2 1 -1 uuuur r  uD = (2;1; -1) . Gọi H = d  . Giả sử H (1 + 2t; -1 + t; -t )  MH = (2t - 1; t - 2; -t ) . uuuur r uuuur 2 r MH ^ uD  2(2t - 1) + (t - 2) - (-t) = 0  t =  ud = 3MH = (1; -4; -2) 3 ́x = 2 + t ï  d: í y = 1 - 4t . ïî z = 2t Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai. điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P).  Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P)  (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0. (D) = (P) Ç (Q) suy ra phương trình (D). Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường. ́ x - 2z = 0 thẳng d : í trên mặt phẳng P : x - 2 y + z + 5 = 0 . î3 x - 2 y + z - 3 = 0 ́ x = 4t ï r 3  PTTS của d: í y = - + 7t . Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; -2;1) . 2 ï î z = 2t æ 11 ö æ æ 3 ö 3 ö Gọi A = d Ç (P )  A ç 4; ;2 ÷ . Ta có B ç 0; - ;0 ÷ Î d , B ç 0; - ;0 ÷ Ï (P ) . è 2 ø è 2 ø è 2 ø æ 4 7 4ö Gọi H ( x; y; z) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H ç - ; ; - ÷ . è 3 6 3ø Gọi  là hình chiếu vuông góc của d trên (P)   đi qua A và H ́ x = 4 + 16t uuu r ï 11 r   có VTCP u = 3HA = (16;13;10)  Phương trình của : í y = + 13t . 2 ï z = 2 + 10t î Câu hỏi tương tự: ́ x = 1 + 23m ï x +1 y -1 z - 2 = = a) Với d : , ( P ) : x - 3y + 2 z - 5 = 0 . ĐS: D : í y = 2 + 29m 2 1 3 ïî z = 5 + 32m Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng. ( P) :. 6 x + 2 y + 3z - 6 = 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).  Ta có: (P ) Ç Ox = A(1;0;0); ( P ) Ç Oy = B(0;3;0); ( P ) Ç Oz = C (0;0;2) Gọi  là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; ( ) là mặt phẳng trung trực æ1 3 ö cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I = D Ç (a )  I ç ; ;1÷ . è2 2 ø Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì IJ  (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ .. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́ 1 ï x = 2 + 6t ï 3  Phương trình đường thẳng d: í . ï y = 2 + 2t ï z = 1 + 3t î Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; -1), B(2;1;1); C (0;1;2) và đường. x -1 y +1 z + 2 = = . Lập phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của tam giác 2 -1 2 ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. uuur uuur uuur uuur ùû (-1; -5; -2)  Ta có AB = (1; -1;2), AC = (-1; -1;3) éë AB, AC=̃= thẳng d :.  phương trình mặt phẳng (ABC): x + 5y + 2z - 9 = 0 Gọi trực tâm của tam giác ABC là H (a; b; c) , khi đó ta có hệ: uuur uuur ́ BH . AC = 0 ́́a - b + 2c = 3 a=2 ï uuur uuur ï ï H (2;1;1) íCH . AB = 0 Û í a + b - 3c = 0 Û í b = 1 =̃ ï H Î ( ABC ) ïîa + 5b + 2c = 9 ïîc = 1 î Do đường thẳng  nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên: r r ́uD ^ nABC r r r =̃=uD éë n ABC , ud ùû = (12;2; -11) . íur ^ ur d î D Vậy phương trình đường thẳng D :. x - 2 y -1 z -1 = = 12 2 -11. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương trình. x -1 y + 1 z = = . Viết phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M, cắt và vuông góc 2 1 -1 với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua d. ́ x = 1 + 2t r ï  PTTS của d: í y = -1 + t . d có VTCP u = (2;1; -1) . ïî z = -t uuuur Gọi H là hình chiếu của M trên d  H (1 + 2t; -1 + t; -t )  MH = (2t - 1; -2 + t; -t ) uuuur 4 2ö æ 7 1 2 ö uuuur æ 1 2 Ta có MH  d  MH .ur = 0  t =  H ç ; - ; - ÷ , MH = ç ; - ; - ÷ 3 3ø 3 è3 3 3ø è3 x - 2 y -1 z = = Phương trình đường thẳng : . 1 -4 -2 æ8 5 4ö Gọi M là điểm đối xứng của M qua d  H là trung điểm của MM  M ¢ ç ; - ; - ÷ . è3 3 3ø d:. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu hỏi tương tự: a) M (-4; -2; 4); d :. x + 3 y -1 z +1 = = . 2 -1 4. Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :. ĐS: D :. x +1 y z - 3 = = 3 2 -1. x y -1 z + 1 = = và hai điểm A(1;1; -2) , 1 2 -1. B(-1;0;2) . Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ. B tới  là nhỏ nhất. r  d có VTCP ud = (1;2; -1) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng  đi qua A và H thỏa YCBT. Ta có: (P): x + 2 y - z - 5 = 0 . Giả sử H ( x; y; z) . ́ H Î (P ) æ1 8 2ö Ta có: í uuur r  Hç ; ; ÷ è3 3 3ø î BH , ud cuøng phöông uuur x -1 y -1 z + 2 r = =  uD = 3 AH = (-2;5;8)  Phương trình : . -2 5 8 x +1 y z +1 = = và hai điểm 2 3 -1 A(1;2; -1), B(3; -1; -5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. uuur uuur  Giả sử d cắt  tại M =̃-M ( 1 + 2t;3t; -1 - t ) , AM = (-2 + 2t;3t - 2; -t ), AB = (2; -3; -4) Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d (B, d ) = BH £ BA . Vậy d ( B, d ) lớn nhất bằng BA uuur uuur Û H º A Û AM ^ AB Û AM . AB = 0 Û 2(-2 + 2t ) - 3(3t - 2) + 4t = 0 Û t = 2 =̃-M(3;6; 3)  x -1 y - 2 z +1 = = PT đường thẳng d : . 1 2 -1. Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D :. Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng : x +1 y -1 z = = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng  tại điểm 2 -1 2. C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. ́ x = -1 + 2 t ï  Phương trình tham số của : í y = 1 - t . Điểm C   nên C (-1 + 2t;1 - t;2t ) . ïî z = 2t uuur uuur uuur uuur AC = (-2 + 2t; -4 - t;2t); AB = (2; -2;6) ; éë AC , AB ùû = (-24 - 2t;12 - 8t;12 - 2t ) uuur uuur 1 é uuur uuur ù 2 é ù S =  ë AC , AB û = 18(t - 1)2 + 198 ≥ 198 =̃=ë AC , AB û 2 18t - 36t + 216 2 x -3 y -3 z-6 = = Vậy Min S = 198 khi t = 1 hay C(1; 0; 2)  Phương trình BC: . -2 -3 -4 x +1 y - 2 z - 2 = = và mặt 3 -2 2 phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng  song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).. Câu 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́ x = -1 + 3t r ï  Đường thẳng (d) có PTTS: í y = 2 - 2t . Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; 3; 2) ïî z = 2 + 2t uuuur Giả sử N(1 + 3t ; 2  2t ; 2 + 2t)  d  MN = (3t - 3; -2t;2t - 2) uuuur r Để MN // (P) thì MN .n = 0 Û t = 7  N(20; 12; 16) x -2 y-2 z-4 = = Phương trình đường thẳng : 9 -7 6 Câu hỏi tương tự: x y -1 z - 2 x -1 y - 3 z - 3 = = = a) d : = , ( P ) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M(2;2; 4) . ĐS: D : 1 2 1 1 -1 1 x -1 y - 2 z +1 x -2 y z+2 = = = = b) d : , (P ) : 2 x + y - z + 1 = 0 , M(1;2; –1) . ĐS: D : 2 -9 -5 1 3 2 x - 2 y + 4 z -1 x -3 y +2 z+4 = = = = c) , ( P ) : 3 x - 2 y - 3z - 2 = 0 , M(3; -2; -4) . ĐS: D : 3 -2 2 5 -6 9 Câu 59. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : 3 x - 2 y + z - 29 = 0 và hai điểm. A(4; 4;6) , B(2;9;3) . Gọi E , F là hình chiếu của A và B trên (a ) . Tính độ dài đoạn EF . Tìm phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (a ) đồng thời D đi qua giao điểm của AB với (a ) và D vuông góc với AB. uuur r uuur 19 r  AB = (-2;5; -3), na = (3; -2;1) , sin( AB,(a )) = cos( AB, na ) = 532 EF = AB.cos( AB,(a )) = AB 1 - sin 2 ( AB,(a )) = 38 1 -. 361 171 = 532 14. ́x = 6 + t uur uuur uur ï é ù AB cắt (a ) tại K(6; -1;9) ; uD = ë AB, na û = (1;7;11) . Vậy D : í y = -1 + 7t ïî z = 9 + 11t Câu 60. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt. x -1 y z -1 = = . Lập phương 2 1 1 trình đường thẳng  nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d). r r r r ù  (P), (Q) lần lượt có VTPT là nP = (1; -2;1), nQ = (1; -3;3) éë nP , nQ=̃= û (-3; -2; -1) PTTS của (d): x = 1 + 2t, y = t , z = 1 + t . Gọi A = (d)  ()  A(1 + 2t; t;1 + t ) . Do A  (P) nên: 1 + 2t - 2t + 1 + t = 0 Û t = -2  A(-3; -2; -1) r r ́uD ^ nP r r r Theo giả thiết ta có: íur ^ nr =̃=uD éë nP , nQ ùû = (-3; -2; -1) Q î D x + 3 y + 2 z +1 = = Vậy phương trình đường thẳng (D) : . 3 2 1 có phương trình: ( P ) : x - 2 y + z = 0, (Q) : x - 3y + 3z + 1 = 0, (d ) :. .. Câu 61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; -1), B(2;1;1), C (0;1;2) và đường. x -1 y + 1 z + 2 = = . Lập phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của tam giác 2 -1 2 ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d). thẳng (d ) :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN uuur uuur uuur uuur ùû (-1; -5; -2)  Ta có AB = (1; -1;2), AC = (-1; -1;3) éë AB, AC=̃=.  phương trình (ABC): x + 5y + 2z - 9 = 0 uuur uuur ́ BH . AC = 0 ́́a - b + 2c = 3 a=2 ï uuur uuur ï ï H ( a ; b ; c ) CH . AB = 0 Û a + b 3 c = 0 Û b H (2;1;1) Gọi trực tâm của ABC là í í í = 1 =̃ ï H Î ( ABC ) ïîa + 5b + 2c = 9 îïc = 1 î r r ́uD ^ nABC r r r =̃=uD éë nABC , nd ùû = (12;2; -11) r Do ()  (ABC) và vuông góc với (d) nên: í r îuD ^ ud x - 2 y -1 z -1 = =  PT đường thẳng D : . 12 2 -11 Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2 y - z + 5 = 0 , đường thẳng. x + 3 y +1 z - 3 = = và điểm A(-2;3;4) . Viết phương trình đường thẳng  nằm trên (P), đi 2 1 1 qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên  sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. r r ́uD ^ nP ́D ̀ ( P ) B( 1;0;4) r .  Gọi B = d  (P)  . Vì í nên í r îD ^ d îuD ^ ud d:. 1 r r r Do đó ta có thể chọn uD = éë nP , ud ùû = (1; -1; -1)  PT của : 3. ́ x = -1 + t ï í y = -t . ïî z = 4 - t 2. Giả sử M (-1 + t; -t;4 - t ) Î D  AM = 3t 2 + 8t + 10 = 3 æç t + 4 ö÷ + 14 ³ 14 3 3 è 3ø æ 7 4 16 ö æ 7 4 16 ö 4 Dấu "=" xảy ra  t = -  M ç - ; ; ÷ . Vậy AM đạt GTNN khi M ç - ; ; ÷ . 3 è 3 3 3ø è 3 3 3ø Câu hỏi tương tự: ́x = t ́x = 1- t ï ï a) ( P ) : 2 x + y - 2z + 9 = 0 , d : í y = -3 + 2t . ĐS: D : í y = -1 ïî z = 3 + t ïz = 4 + t î x y-2 z = = , 1 2 2 mặt phẳng ( P ) : x – y + z -5 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng D một góc 450 . r r r  Gọi ud , uD lần lươt là các VTCP của d và D ; nP là VTPT của ( P). r r r Đặt ud = (a; b; c), (a2 + b2 + c 2 ¹ 0) . Vì d nằm trong ( P) nên ta có : nP ^ ud. Câu 63. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -1;1) , đường thẳng D :.  a – b + c = 0  b = a + c ( 1 ). a + 2 b + 2c 2 = Û 2(a + 2b + c)2 = 9(a2 + b2 + c2 ) Theo gt: (d , D) = 450  2 2 2 a + b + c .3 2 15a Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c2 + 30ac = 0 Û c = 0; c = 7. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. (2). 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́x = 3 + t ï c = 0 a = b = 1 + Với : chọn  PTTS của d là : í y = -1 – t ïî z = 1 ́ x = 3 + 7t ï 15a a = 7, c = 15, b = 8 + Với c = : chọn .PTTS của d là: í y = -1 –8t . 7 ïî z = 1 –15t x - 3 y + 2 z +1 = = và mặt phẳng (P): 2 1 -1 x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới D bằng 42 .. Câu 64. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:. ́ x = 3 + 2t r r ï  PTTS d: í y = -2 + t =̃-M(1; 3;0) . (P) có VTPT nP = (1;1;1) , d có VTCP ud = (2;1; -1) ïî z = -1 - t r r r Vì D nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP uD = éë ud , nP ùû = (2; -3;1) uuuur Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên D , khi đó MN = ( x - 1; y + 3; z) . uuuur ́ MN ^ ur ́x + y + z + 2 = 0 D ï ï Ta có í N Î (P )  í2 x - 3y + z - 11 = 0  N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5) ï( x - 1)2 + ( y + 3)2 + z2 = 42 ï MN = 42 î î x -5 y+2 z+5 = = 2 -3 1 x +3 y+4 z-5 = =  Với N(–3; – 4; 5)  Phương trình của D : . 2 -3 1.  Với N(5; –2; –5)  Phương trình của D :. Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( a ): x + y - z - 1 = 0 , hai đường thẳng. ():. x -1 y z x y z +1 = = , (): = = . Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt -1 -1 1 1 1 3. phẳng ( a ) và cắt (); (d) và () chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng. 6 . 2. r r  () có VTPT n = (1;1; -1) , () có VTCP uD = (-1; -1;1)  ()  (). uuur Gọi A = (D¢) Ç (a )  A(0; 0; -1) ; B = (D) Ç (a )  B(1; 0;0)  AB = (1;0;1) Vì (d)  () và (d) cắt () nên (d) đi qua A và ( )  () nên mọi đường thẳng nằm trong ( ) và không đi qua B đều chéo với (). r r r Gọi ud = (a; b; c) là VTCP của (d)  ud .n = a + b - c = 0 (1) uuur r và ud không cùng phương với AB (2) uuur é AB, ur ù 2b2 + (a - c)2 6 6 dû ë d ( d , D ) = d ( B , d ) = Ta có:   (3) = r 2 2 ud a2 + b2 + c2 éa = 0 Từ (1) và (3)  ac = 0  ê . ëc = 0 ́x = 0 r ï u = (0;1;1)  Với a = 0 . Chọn b = c = 1  d  d : íy = t ïî z = -1 + t Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́x = t r ï u = (1; 1;0) d : c = 0 a = b = 1  Với . Chọn  d  í y = -t . ïî z = -1. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai. ́ x = 3 + 7t ï x -7 y -3 z-9 = = đường thẳng: D1 : và D2 : í y = 1 - 2t . 1 2 -1 ïî z = 1 - 3t ́x = 7 + t ' ï  Phương trình tham số của D1 : í y = 3 + 2t ' ïî z = 9 - t '. Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với 1 và 2  M(7 + t;3 + 2t;9 – t) và N(3 r –7t;1 + 2t;1 + 3t) r VTCP lần lượt của 1 và 2 là a = (1; 2; –1) và b = (–7;2;3) uuuur r uuuur r ́́ ï uuuu ï uuuu MNr ^ ar MN .a = 0 Ûí rr Ta có: í . Từ đây tìm được t và t  Toạ độ của M, N. îï MN ^ b îï MN .b = 0 Đường vuông góc chung  chính là đường thẳng MN. Câu hỏi tương tự:. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́x = 3 + t ï ( D ) : a) Với 1 í y = -1 + 2t , (D2 ) : ïî z = 4. ́ x = -2 + 2 t ' ï . íy = 2 t ' ïî z = 2 + 4t '. ́2 x – y + 10z – 47 = 0 ĐS: D : í î x + 3y – 2 z + 6 = 0. Câu 67. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm. ́2 x + 3y + 11 = 0 x - 2 y +1 z -1 M ( -4; -5;3) và cắt cả hai đường thẳng: d1 : í = = và d2 : . y 2 z + 7 = 0 2 3 -5 î ́ x = 5 - 3t1 ́ x = 2 + 2t2 ï ï  Viết lại phương trình các đường thẳng: d1 : í y = -7 + 2t1 , d2 : í y = -1 + 3t2 . ïz = t ï z = 1 - 5t î 1 î 2 Gọi A = d Ç d1, B = d Ç d2  A(5 - 3t1; -7 + 2t1; t1) , B(2 + 2t2 ; -1 + 3t2 ;1 - 5t2 ) . uuur uuur MA = (-3t1 + 9;2t1 - 2; t1 - 3) , MB = (2t2 + 6;3t2 + 4; -5t2 - 2) uuur uuur éë MA, MB ùû = (-13t t - 8t + 13t + 16; -13t t + 39t ; -13t t - 24t + 31t + 48) 12 1 2 12 2 12 1 2. uuur uuur uuur uuur ́t = 2 r M, A, B thẳng hàng  MA, MB cùng phương  éë MA, MB ùû = 0  í 1 ît2 = 0 uuur  A(-1; -3;2), B(2; -1;1)  AB = (3;2; -1). ́ x = -4 + 3t uuur ï Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB = (3;2; -1)  d : í y = -5 + 2t ïî z = 3 - t Câu hỏi tương tự: ́x = t ï x y-2 z = a) M(1;5;0), d1 : = , d2 : í y = 4 - t . ĐS: 1 -3 -3 ïî z = -1 + 2t x - 2 y +1 z + 3 x - 3 y - 7 z -1 = = = = b) M(3; 10; 1) , d1 : , d2 : 3 1 2 1 -2 -1. ́ x = 3 + 2t ï ĐS: d : í y = 10 - 10t ïî z = 1 - 2t. Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1, D2 và mặt phẳng ( a ) có. ́x = 2 + t x -1 y +1 z + 2 ï = = , (a ) : x - y + z + 2 = 0 . Viết phương phương trình là D1 : í y = 5 + 3t , D2 : 1 1 2 ïî z = t trình đường thẳng d đi qua giao điểm của D1 với ( a ) đồng thời cắt D2 và vuông góc với trục Oy. ́́x = 2 + t t = -1 ïï y = 5 + 3t ïï x = 1 Ûí A(1;2; =̃-1)  Toạ độ giao điểm A của ( a ) và D1 thoả mãn hệ í z = t y = 2 ï ï ïî x - y + z + 2 = 0 ïî z = -1 r Trục Oy có VTCP là j = (0;1;0) . Gọi d là đường thẳng qua A cắt D2 tại B(1 + t; -1 + t; -2 + 2t ) . uuur uuur r uuur AB = (t; t - 3;2t - 1); d ^ Oy Û AB j = 0 Û t = 3 AB =̃= (3;0;5) ́ x = 1 + 3u uuur ï Đường thẳng d đi qua A nhận AB = (3;0;5) làm VTCP có phương trình là í y = 2 . ïî z = -1 + 5u. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́ x = 1+ t ï Câu 69. Trong không gian vơi hệ toa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 : í y = 1 + 2t , đường thẳng d2 là ï z = 1 + 2t î giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2 x – y –1 = 0 và (Q): 2 x + y + 2 z – 5 = 0 . Goi I là giao điêm cua d1, d2 . Viết phương trình đường thẳng d3 qua điêm A(2; 3; 1), đông thời căt hai đường thẳng d1, d2 lân lươt tai B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I..  PTTS của d2 : { x = t '; y = -1 + 2t '; z = 3 - 2t ' . I = d1 Ç d2  I(1;1;1) . Giả sử: B(1 + t;1 + 2t;1 + 2t ) Î d1, C (t '; -1 + 2t ';3 - 2t ') Î d2 (t ¹ 0, t ' ¹ 1) ́ IB = IC ́t = 1 BIC cân đỉnh I  í uuur uuur ur  í  Phương trình d3 : { x = 2; y = 3; z = 1 + 2t ît ' = 2 î[ AB , AC ] = 0 Câu 70. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 x –3y + 11z = 0 và hai đường. x y -3 z +1 x - 4 y z-3 = = , = = . Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết -1 2 3 1 1 2 phương trình đường thẳng  nằm trên (P), đồng thời  cắt cả d1 và d2.  Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1) x +2 y-7 z-5 = = Phương trình đường thẳng : . 5 -8 -4 thẳng d1:. Câu 71. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình. (P): 3 x + 12 y - 3z - 5 = 0. và (Q): 3 x - 4 y + 9 z + 7 = 0 , (d1):. x + 5 y - 3 z +1 = = , (d2): 2 -4 3. x - 3 y +1 z - 2 = = . Viết phương trình đường thẳng () song song với hai mặt phẳng (P), (Q) -2 3 4 và cắt (d1), (d2). r r  (P) có VTPT nP = (1; 4; - 1) , (Q) có pháp vectơ nQ = (3; - 4; 9) r r (d1) có VTCP u1 = (2; - 4; 3) , (d2) có VTCP u2 = (-2; 3; 4) ́(D1) = ( P ) Ç (Q) ï( P ) É (d ),(P ) P ( P ) ï 1 1 1 Gọi: í(Q ) É (d ),(Q ) P (Q)  () = (P1)  (Q1) và () // (1) 2 1 ïr 1 r u = u ïî D1 r 1 r r () có vectơ chỉ phương u = [nP ; nQ ] = (8; - 3; - 4) 4 r r r r r (P1) có cặp VTCP u1 và u nên có VTPT: nP1 = [u1; u ] = (25; 32; 26) Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 Û 25 x + 32 y + 26 z + 55 = 0 r r r r r (Q1) có cặp VTCP u2 và u nên có VTPT: nQ1 = [u2 ; u ] = (0; 24; - 18) Phương trình mp (Q1): 0( x - 3) + 24( y + 1) - 18( z - 2) = 0 Û 4 y - 3 x + 10 = 0 ́25 x + 32 y + 26 z + 55 = 0 Ta có: (D ) = ( P1) Ç (Q1)  phương trình đường thẳng () : í î4 y - 3z + 10 = 0. Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x – y + 2 z –3 = 0 và hai đường. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x - 4 y -1 z x +3 y+5 z-7 = = = = và . Viết 2 2 -1 2 3 -2 phương trình đường thẳng ( D ) song song với mặt phẳng (P), cắt (d1) và (d2 ) tại A và B sao cho AB = 3. =̃( 3 + 2t¢; -5 + 3t¢;7 - 2t¢)  A Î (d1) =̃ A(4 + 2t;1 + 2t; -t ) ; B Î (d2 ) B uuur r AB = (-7 + 2t¢ - 2t; -6 + 3t¢ - 2t;7 - 2t¢ + t ) , nP = (2; -1;2) . uuur uuur ́ AB.nr = 0 ́t ¢ = 2 P Từ giả thiết ta có: í í  A(2; -1;1), AB = (-1;2;2) . ît = -1 î AB = 3 thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình.  Phương trình đường thẳng ():. x - 2 y +1 z -1 = = . -1 2 2. Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x - y + z + 1 = 0 và hai đường. x -1 y + 2 z - 3 x +1 y -1 z - 2 = = = = , d2 : . Viết phương trình đường thẳng  song 2 1 3 2 3 2 song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3. r r r  d1 có VTCP u1 = (2;1;3) , d2 có VTCP u2 = (2;3;2) , (P) có VTPT n = (2; -1;1) . r Giả sử  có VTCP u = (a; b; c) , E Î d2 có x E = 3  E(3; -1;6) . rr ́D P ( P ) ́u.n = 0 r ́2 a - b + c = 0 ́ a = -c Û Ta có: í íur .ur = 0  í2a + b + 3c = 0  íb = -c  Chọn u = (1;1; -1) D ^ d î î î 1 î 1 thẳng d1 :.  PT đường thẳng : { x = 3 + t; y = -1 + t; z = 6 - t .. Câu 74. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) và mặt phẳng (P) có phương trình:. x +1 y + 2 z x - 2 y -1 z -1 = = , ( d2 ) : = = ; ( P ) : x + y - 2 z + 5 = 0 . Lập phương trình 1 2 1 2 1 1 đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d1),(d2 ) lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. uuur  Đặt A(-1 + a; -2 + 2a; a), B(2 + 2b;1 + b;1 + b)  AB = (-a + 2b + 3; -2a + b + 3; -a + b + 1) uuur r uuur Do AB // (P) nên: AB ^ nP = (1;1; -2) Û b = a - 4 . Suy ra: AB = (a - 5; -a - 1; -3) (d1) :. AB = (a - 5)2 + (- a - 1)2 + (-3)2 = 2a 2 - 8a + 35 = 2(a - 2)2 + 27 ³ 3 3 uuur ́a = 2 Suy ra: min AB = 3 3 Û í , A(1;2;2) , AB = (-3; -3; -3) . îb = -2 Vậy d :. x -1 y - 2 z - 2 = = . 1 1 1. Câu 75. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :. x + 8 y - 6 z - 10 và = = 2 1 -1. ́x = t ï (d2 ) : í y = 2 - t . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1) tại A, ïî z = -4 + 2t cắt (d2) tại B. Tính AB.  Giả sử: A(-8 + 2t1;6 + t1;10 - t1)  d1, B(t2 ;2 - t2 ; -4 + 2t2 )  d2. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN uuur  AB = (t2 - 2t1 + 8; -t2 - t1 - 4);2t2 + t1 - 14) .. uuur r ́-t - t - 4 = 0 ́t = -22 AB, i = (1;0; 0) cùng phương  í2t 2 + t1 - 14 = 0  ít1 = 18 î 2 1 î2  A(-52; -16;32), B(18; -16;32) .  Phương trình đường thẳng d: { x = -52 + t; y = -16; z = 32 .. ́ x = -23 + 8t ï. Câu 76. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1): í y = -10 + 4t và (d2):. ïî z = t. x -3 y +2 z = = . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường 2 -2 1 thẳng (d1), (d2).  Giả sử A(-23 + 8t1; -10 + 4t1; t1)  d1, B(3 + 2t2 ; -2 - 2t2 ; t2 )  d2. uuur  AB = (2t2 - 8t1 + 26; -2t2 - 4t1 + 8; t2 - t1) ́ 17 uuur r ït1 = 6 ́2t2 - 8t1 + 26 = 0 æ 1 4 17 ö AB // Oz  AB, k cuøng phöông  í í  Aç - ; ; ÷ 2 t 4 t + 8 = 0 5 è 3 3 6ø î 2 1 ït = 3 î2 ́ 1 4 17  Phương trình đường thẳng AB: í x = - ; y = ; z = + t 3 3 6 î Câu 77. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường. ́6 x - 3 y + 2 z = 0 thẳng (d): í . Viết phương trình đường thẳng  // (d) và cắt các đường thẳng î6 x + 3 y + 2 z - 24 = 0 AB, OC.  Phương trình mặt phẳng () chứa AB và song song d: (): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng () chứa OC và song song d: (): 3x – 3y + z = 0 ́6 x + 3y + 2 z - 12 = 0  là giao tuyến của () và ()  : í î3 x - 3y + z = 0 Câu 78. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0);. D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD.  Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P)  (Oxy)  (P): 5x – 4y = 0 (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q)  (Oxy)  (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta có (D) = (P)(Q)  Phương trình của (D) Câu 79. Trong không gian với. hệ toạ độ Oxyz, cho. hai đường thẳng có phương trình:. ́ x = -1 - 2t ï x y z d1 : í y = t = = . Xét vị trí tương đối của d 1 và d2. Viết phương trình đường và d2 : 1 1 2 ïî z = 1 + t thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với d2. uuur  Đường thẳng  cần tìm cắt d1 tại A(–1–2t; t; 1+t) =̃ OA = (–1–2t; t; 1+t) uuur r d ^ d2 Û OA.u2 = 0 Û t = -1 A(1; =̃-1; 0)  PTTS của d :{ x = t; y = -t; z = 0 Câu hỏi tương tự: Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN a) Với M(1;1;1) , (d1) :. ́ x = -2 + 2t ï x + 2 y z -1 ( d ) : = = , 2 í y = -5t . 3 1 -2 ïî z = 2 + t. ĐS: d :. x -1 y -1 z -1 = = 3 1 -1. Câu 80. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình:. ́x = t ́x = t ' ï ï (d1) : í y = 4 + t và (d2) : í y = 3t ' - 6 ïî z = 6 + 2t ïî z = t ' - 1 Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d 2). Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1). r r  (d1) có VTCP u1 = (1; 1; 2) ; (d2) có VTCP u2 = (1; 3; 1) uur K Î(d2 ) K (t¢; 3=̃t¢ 6; t¢ - 1) IK =̃= (t¢ - 1; 3t¢ - 5; t¢ - 2) uur r æ 18 12 7 ö 18 IK ^ u2 Û t¢ - 1 + 9t¢ - 15 + t¢ - 2 = 0 Û t¢ = K ç =̃; ; ÷ 11 è 11 11 11 ø uuur æ 18 ö 56 59 - t; - 2t ÷ Giả sử (d ) cắt (d1) tại H (t; 4 + t; 6 + 2t ), ( H Î (d1)) . HK = ç - t; 11 11 è 11 ø uuur r uuur 18 56 118 26 1 HK ^ u1 Û -t -t - 4t = 0 Û t = =̃=HK (44; - 30; - 7). 11 11 11 11 11 ́ 18 12 7 Vậy, PTTS của đường thẳng (d ): í x = + 44l ; y = - - 30l ; z = - 7l 11 11 11 î Câu 81. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d 1), (d2) với:. x -1 y + 2 z = = ; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x + 1 = 0 và 3 2 1 x + y - z + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2).  Phương trình mặt phẳng () đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d1): 3 x + 2 y + z - 3 = 0 . (d1):. (Q):. ́3 x + 2 y + z - 3 = 0 æ 5 8ö ï Û A ç -1; ; ÷ A = (d2)  ()  í x + 1 = 0 3 3ø è ïî x + y - z + 2 = 0 x y -1 z -1 = =  Phương trình AM: . -3 2 5 Câu 82. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x - y + 2 z = 0 và 2 đường thẳng. x -1 y - 2 z x -1 y -1 z -1 = = . Viết phương trình đường thẳng (D ) nằm = = , ( d ') : -2 1 1 1 3 2 trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d'). ́ x = 1 - 2t r r ï  Ta có nP = (2; -1;2), ud = (1;3;2) và PTTS của (d'): í y = 2 + t ïî z = t Gọi A = (d')  (P)  A(1 - 2t;2 + t; t ) . A(1;2;0) Do A  (P) nên: 2(1 - 2t ) - 2 - t + 2t = 0 Û t = 0 =̃ r r r Mặt khác () nằm trong (P), vuông góc với (d) nên uD vuông góc với nP , ud  ta có thể chọn r r r x -1 y - 2 z uD = éë nP , ud ùû = (-8; -2; 7)  Phương trình D : = = -8 -2 7 (d ) :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu 83. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x - y + z - 1 = 0 và hai đường. x -1 y + 2 z - 3 x +1 y -1 z - 2 = = = = , (d2): . Viết phương trình đường thẳng () 2 1 3 2 3 2 song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d 1) và cắt đường thẳng (d2) tại điểm E có hoành độ bằng 3. r r ́x = 3 + t ́aV ^ nP r r r ï é ù =̃= a n , a = 4(1;1; 1) r r  E  (d2)  E(3; 7; 6). í  (): í y = 7 + t . V P d 1 ë û îaV ^ ad1 ïî z = 6 - t thẳng (d1):. Câu 84. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng (P). có phương trình: 3 x - 8y + 7z + 1 = 0 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P).  Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1) uuur r x - 2 y z -1 é = = Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là ë AB, nP ùû  d: 2 -1 -2. Câu 85. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1:. x +1 y -1 z -1 = = ; 2 -1 1. x -1 y - 2 z +1 = = và mặt phẳng (P): x - y - 2 z + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng  1 1 2 nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 .  Gọi A = d1  , B = d2  . Vì   (P) nên A = d1  (P), B = d2  (P)  A(1; 0; 2), B(2; 3; 1) x -1 y z - 2 = =   chính là đường thẳng AB  Phương trình : . 1 3 -1 d2:. Câu 86. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt. phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng (d1) :. x -1 y +1 z = = và 2 -1 1. ́ x = -1 + t ï (d2 ) : í y = -1 , với t Î R . ïî z = -t.  Lấy M Î ( d1 )  M (1 + 2t1; -1 - t1; t1 ) ; N Î ( d2 )  N ( -1 + t; -1; -t ) uuuur Suy ra MN = ( t - 2t1 - 2; t1; -t - t1 ) ́ 4 t= ï uuuur æ1 3 2ö ï r 5 (d ) ^ ( P ) Û MN = k .n; k Î R* Û t - 2t1 - 2 = t1 = -t - t1  í  M = ç ;- ;- ÷ è5 5 5ø ït = -2 1 ïî 5 1 3 2  d: x - = y + = z + 5 5 5 Câu hỏi tương tự: x -1 y +1 z x - 2 y z -1 = = , ( d2 ) : = = a) Với (P): 2 x + y + 5z + 3 = 0 , (d1) : 2 1 2 1 1 -2 x +1 y + 2 z + 2 = = ĐS: d : 2 1 5 Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN b) Với ( P ) : 2 x – y – 5z + 1 = 0 , d1 :. x +1 y -1 z - 2 x-2 y+2 z = = , d2 : = = 2 3 1 1 5 -2 ĐS:. x -1 y - 4 z - 3 = = 2 -1 -5. Câu 87. Trong không gian vơi hệ toa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2 x – y + z + 1 = 0 , (Q):. x - 2 y +1 z = = . Gọi D2 là -2 1 3 giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng D1 , D2 . x – y + 2 z + 3 = 0 , (R): x + 2 y –3z + 1 = 0 và đường thẳng D1 :.  D1 có PTTS: { x = 2 - 2t; y = -1 + t; z = 3t ;. D2 có PTTS:. {x = 2 + s; y = 5 + 3s; z = s .. Giả sử d Ç D1 = A; d Ç D2 = B =̃-A(2 2t; -1 + t;3t ), B(2 + s;5 + 3s; s) uuur r AB = (s + 2t;3s - t + 6; s - 3t ) , (R) có VTPT n = (1;2; -3) . uuur r æ 1 1 23 ö s + 2t 3s - t + 6 s - 3t 23 = = =̃=t  Aç ; ; ÷ d ^ ( R) Û AB, n cùng phương Û 1 2 -3 24 è 12 12 8 ø 23 1 1 zxyVậy phương trình của d: 8 . 12 = 12 = 1 2 -3 ́x = t ï Câu 88. Trong không gian vơi hệ toa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình d1 : í y = 4 - t , ïî z = -1 + 2t x y -2 z x +1 y -1 z +1 d2 : = = = = , d3 : . Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba 1 -3 -3 5 2 1 đường thẳng d1, d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC ..  Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1, d2 , d3 . Giả sử A(t;4 – t; -1 + 2t ), B(u;2 – 3u; -3u), C ( -1 + 5v;1 + 2v; -1 + v) . Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC Û B là trung điểm của AC ́t + (-1 + 5v) = 2u ́t = 1 ï ï Û í4 - t + (1 + 2v) = 2.(2 - 3u)  íu = 0  A(1;3;1), B(0;2;0), C (-1;1; -1) . ïîv = 0 ïî-1 + 2t + (-1 + v) = 2(-3u) x y-2 z = Đường thẳng  đi qua A, B, C có phương trình: = 1 1 1. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách ́ x = 2 + 4t ï Câu 89. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): í y = 3 + 2t và mặt phẳng (P): ïî z = -3 + t - x + y + 2z + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng () nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 .  Chọn A(2;3; - 3), B(6;5; - 2) Î (d), mà A, B  (P) nên (d)  (P) . r r ́u ^ ud r Gọi u là VTCP của ( d1 )  (P), qua A và vuông góc với (d) thì í r r îu ^ uP r r r nên ta chọn u = [ud , uP ] = (3; -9;6) . ́ x = 2 + 3t ï Phương trình của đường thẳng ( d1 ) : í y = 3 - 9t (t Î R ) ïî z = -3 + 6t Lấy M(2+3t; 3 - 9t; - 3+6t) ( d1 ) . () là đường thẳng qua M và song song với (d). 1 1 Theo đề : AM = 14 Û 9t 2 + 81t 2 + 36t 2 = 14 Û t 2 = Û t = ± 9 3 1 x -1 y - 6 z + 5 =  t = - =̃ M(1;6; - 5) =̃=(D1) : 3 4 2 1 1 x - 3 y z +1 =  t = =̃ M(3;0; - 1) =̃=(D2 ) : 3 4 2 1 Câu 90. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z + 1 = 0 và đường thẳng:. x - 2 y -1 z -1 = = . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng D 1 -1 -3 nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến D bằng h = 3 2 . r r I (1;2; 4)  (P) có VTPT nP = (1;1; -1) và d có VTCP u = (1; -1; -3) . I = d Ç (P ) =̃ r r r Vì D ̀^( P ); D =̃ d D có véc tơ chỉ phương uD = éë nP , u ùû = (-4;2; -2) Gọi H là hình chiếu của I trên D =̃ H Î mp(Q) qua I và vuông góc D  Phương trình (Q): -2( x - 1) + ( y - 2) - ( z - 4) = 0 Û -2 x + y - z + 4 = 0 ́x = 1 r r ù ï é d1 có VTCP ë nP ; nQ û = (0;3;3) = 3(0;1;1) và d1 qua I =̃=d1 : í y 2 + t Gọi d1 = (P ) Ç (Q ) =̃ ïî z = 4 + t uur ét = 3 2 =̃+ t;4 + t ) IH =̃= (0; t; t ) . Ta có: IH = 3 2 Û 2t = 3 2 Û ê Giả sử H Î d1 H (1;2 ët = -3 d:.  Với t = 3  Với t = -3. x -1 y - 5 z - 7 = = -2 1 -1 x -1 y +1 z -1 H (1; =̃-1;1)  Phương trình D : = = . -2 1 -1. =̃ H (1;5;7)  Phương trình D :. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu hỏi tương tự: a) ( P ) : x + y + z + 2 = 0 , d :. x - 3 y + 2 z +1 = = , h = 42 . 2 1 -1 x -5 y+2 z+5 x +3 y+4 z-5 = = = = ĐS: D : ; D: 2 -3 1 2 -3 1. Câu 91. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x + y - 2 z + 9 = 0 và đường. x + 1 y -1 z - 3 = = . Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với (P) và cắt d tại 1 7 -1 một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2. r  Vì   (P) nên  nhận nP = (2;1; -2) làm VTCP. thẳng d :. é 8 êt = - 11 Giả sử M (t - 1;7t + 1;3 - t ) Î d . Ta có: d ( M ,( P )) = 2  11t + 2 = 6  ê êt = 4 ë 11 æ 19 45 41 ö ́ 19 45 41 8 + Với t =  M ç - ; - ; ÷  : í x = - + 2t; y = - + t; z = - 2t 11 è 11 11 11 ø î 11 11 11 æ 7 39 29 ö ́ 7 39 29 4 - 2t + Với t =  M ç - ; ; ÷  : í x = - + 2t; y = + t; z = 11 è 11 11 11 ø î 11 11 11 Câu 92. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + 3y - z - 1 = 0 và các điểm. A(1; 0; 0) ; B(0; -2;3) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). r  Ta có: A(1;0;0) Î ( P ) . Gọi VTCP của đường thẳng d là: u = (a; b; c), a2 + b 2 + c2 ¹ 0 rr Ta có: d ̀ (P ) Û u .nP = 0 Û c = a + 2b uur uuur uuur AB = (-1;2; -3) ; éëud , AB ùû = (-2a - 7b;2 a - 2b;2 a + b) uuur éëur , AB ùû 12a2 + 24ab + 54b2  d ( B, d ) = = r u 2a2 + 4ab + 5b2 + TH1: Nếu b = 0 thì d ( B, d ) = 6 + TH2: Nếu b ¹ 0 . Đặt t = Xét hàm số f (t ) =. a 12t 2 + 24t + 54  d ( B, d ) = = b 2t 2 + 4t + 5. f (t ). 12t 2 + 24t + 54. ta suy ra được 6 £ d (B, d ) = f (t ) £ 14 2t 2 + 4t + 5 So sánh TH1 và TH2  6 £ d ( B, d ) £ 14 Do đó: a) min(d (B, d )) = 6 Û b = 0 . Chọn a =1  c= 1 ́x = 1+ t ï  Phương trình đường thẳng d: í y = 0 ïî z = t b) max(d ( B, d )) = 14 Û a = -b . Chọn b = –1  a =1 , c = –1. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́x = 1+ t ï  Phương trình đường thẳng d: í y = -t ïî z = -t Câu 93. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0 và các điểm. A(-3; 0;1) ; B(1; -1;3) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và cách B một khoảng nhỏ nhất. x + 3 y z -1 = =  ĐS: d : . 26 11 -2. x +1 y z - 2 = = , hai điểm 2 1 -1 A(0; -1;2) , B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất). r uuur  Gọi M = d Ç D . Giả sử M (-1 + 2t; t;2 - t ) . VTCP của d: ud = AM = (2t - 1; t + 1; -t ) uuur r uuur AB(2;2; -1) ; éë AB; ud ùû = (1 - t;1;4 - 2t ) uuur é AB, ur ù 12t 2 - 18t + 18  d ( B, d ) = ë r d û = = f (t ) ud 6t 2 - 2t + 2. Câu 94. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D :. Xét hàm số f (t ) =. . 12t 2 + 24t + 54 2. 2t + 4t + 5. . Ta có max f (t ) = f (0) = 18; min f (t) = f (2) =. 1 11. 1 £ d ( B, d ) £ 18 11. ́ x = 3t ï í y = -1 + 3t ïî z = 2 - 2t ́ x = -t ï b) max(d ( B, d )) = 18 Û t = 0  Phương trình đường thẳng d: í y = -1 + t ïî z = 2 - t 1 a) min(d (B, d )) = Û t = 2  Phương trình đường thẳng d: 11. Câu hỏi tương tự: ́x + y + z -1 = 0 , A(2;1; -1), B(-1;2; 0) . a) D : í îx - y + z -1 = 0 ́́x + 1 = 0 x + 2y - 3 = 0 ; dmin : í ĐS: dmax : í îy + z - 2 = 0 îy - z - 2 = 0 x -1 y + 2 z -1 = = , A(3; -2;1), B(2;1; -1) . b) D : 1 2 -1 x - 3 y + 2 z -1 x - 3 y + 20 z - 1 = = = = ĐS: dmax : ; dmin : . 19 -3 5 -5 20 -7 x -1 y + 2 z = = , A(1;4;2), B(-1;2;4) . c) D : -1 1 2 x -1 y - 4 z - 2 x -1 y - 4 z - 2 = = = = ĐS: dmax : ; dmin : 1 -4 -3 15 18 19. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x -1 y - 2 z = = , hai điểm 2 1 1 A(1;1; 0), B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và vuông góc với d, sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất. uuur r  Ta có VTCP của d là: ud = (2;1;1) và AB = (1;0;1) . Gọi H là hình chiếu của B lên D ta có: d (B, D) = BH £ AB . Do đó khoảng cách từ B đến D lớn nhất khi H º A . Khi đó  là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB. ́D ^ d r r uuur Ta có í  Có thể chọn VTCP của D là uD = éë ud , AB ùû = (1; -1; -1) îD ^ AB ́x = 1+ t ï  PT của D là: í y = 1 - t ïî z = -t. Câu 95. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :. Câu 96. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0; -1;2) ,. cắt đường thẳng D1 :. D2 :. x +1 y z - 2 = = sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng 2 1 -1. x -5 y z = = là lớn nhất. 2 -2 1. r uuur M = d Ç D M ( 1 + 2 t ; t ;2 t ) u  Gọi .VTCP của d : d = AM = (2t - 1; t + 1; -t ) 1 . Giả sử uuur r r r D2 đi qua N(5;0;0) và có VTCP vD = (2; -2;1) ; AN = (5;1; -2) ; éë vD ; ud ùû = (t - 1;4t - 1;6t ) r r uuur éë vD , ud ùû . AN (2 + t )2 = 3. = 3. f (t )  d (D2 , d ) = r r éë vD , ud ùû 53t 2 - 10t + 2 Xét hàm số f (t ) =. (2 + t )2 53t 2 - 10t + 2. . Ta suy ra được max f (t ) = f (. 4 26 )= 37 9.  max(d (D, d )) = 26  Phương trình đường thẳng d: { x = 29t; y = -1 - 41t; z = 2 + 4t Câu hỏi tương tự: x -1 y +1 z -1 ́ x + 2y - z + 1 = 0 x - 2 y +1 z - 2 = = , D2 : í = = a) A(2; -1;2), D1 : . ĐS: d : . 2 1 1 41 68 -27 îx - y + z + 1 = 0 Câu 97. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; -1;2) ,. song song với mặt phẳng ( P ) : x + y - z + 1 = 0 sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng ́x + y + z - 3 = 0 D:í là lớn nhất. î2 x - y + z - 2 = 0 ́x = 1 ï  ĐS: í y = -1 + t . ïî z = 2 + t. Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x y-2 z = = 1 2 2 x y + z 5 = 0 và mặt phẳng (P): . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng  một góc 450 . r r r  Gọi ud , uD , nP lần lượt là các VTCP của d,  và VTPT của (P). r Giả sử ud = (a; b; c) (a2 + b2 + c 2 ¹ 0) . r r + Vì d  (P) nên ud ^ nP  a - b + c = 0  b = a + c (1). Câu 98. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng :. + (· d , D ) = 450 . a + 2 b + 2c 3 a2 + b2 + c 2. =. 2  2(a + 2b + c)2 = 9(a 2 + b2 + c2 ) (2) 2. éc = 0 14c2 + 30ac = 0  ê15a + 7c = 0 ë + Với c = 0: chọn a = b = 1  PTTS của d: { x = 3 + t; y = -1 - t; z = 1 + Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8  PTTS của d: { x = 3 + 7t; y = -1 - 8t; z = 1 - 15t . Từ (1) và (2) ta được:. Câu 99. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng. ́́x = 1 + t x = 3- t ï ï ( P ) : x + y – z + 1 = 0 , cắt các đường thẳng d1 : í y = t ; d2 : í y = 1 + t và tạo với d1 một góc ïî z = 2 + 2t ïî z = 1 - 2t 0 30 . r  Ta có d1 ̀ (P ) . Gọi A = d2 Ç (P )  A(5; -1;5) . d1 có VTCP u1 = (1;1;2) . uuur Lấy B(1 + t; t;2 + 2t ) Î d1  AB = (t - 4; t + 1;2t - 3) là VTCP của  Ta có cos(D, d1) = cos30 0 . 6t - 9 6 (t - 4)2 + (t + 1)2 + (2t - 3)2. =. 3 ét = -1 Ûê 2 ët = 4. ́x = 5 + t ï í y = -1 ïî z = 5 + t ́x = 5 uuur ï + Với t = 4 thì AB = (0;5;5)  d: í y = -1 + t ïî z = 5 + t. uuur + Với t = -1 thì AB = (-5; 0; -5)  d:. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan · OBC = 2 . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.. Câu 100..  BC: { x = 2 + t; y = -2t; z = 0 .. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; -1;1), B(0;1; -2) và đường x y - 3 z +1 thẳng d : = . Viết phương trình đường thẳng  đi qua giao điểm của đường thẳng = 1 -1 2 d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d một góc  sao 5 cho cos a = . 6. Câu 101.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.  PT mặt phẳng (OAB): x + 4 y + 2 z = 0 . Gọi M = d  (OAB)  M(-10;13; -21) . r Giả sử  có VTCP u = (a; b; c) + Vì   (OAB) nên a + 4b + 2c = 0 (1) a - b + 2c 5 5 = + cos a =  (2) 6 6 a2 + b2 + c2 6 é 5 2 b = c, a = - c ê Từ (1) và (2)  11 ê b = c11 , a = 6 c ë. r 5 2 x + 10 y - 13 z + 21 c, a = - c  u = (2; -5; -11)  PT của : = = 11 11 2 -5 -11 r x + 10 y - 13 z + 21 = = + Với b = c, a = -6c  u = (6; -1; -1)  PT của : 6 -1 -1 + Với b =. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm x+3 y-2 z A(0;1; -2) , vuông góc với đường thẳng d : và tạo với mặt phẳng (P): = = 1 -1 1 2 x + y - z + 5 = 0 một góc a = 30 0 . r  Giả sử  có VTCP u = (a; b; c) . r ́a - b + c = 0 ́a ^ d ï ï é 2a + b - c 3  êc = 0, a = b Ta có: í 3 í = ëc = -2a, b = -a ïî cos a = 2 ï 2 2 2 2 6 a + b + c î r + Với c = 0, a = b  u = (1;1;0)  : { x = t; y = 1 + t; z = -2 r + Với c = -2a, b = -a  u = (1; -1; -2)  : { x = t; y = 1 - t; z = -2 - 2t .. Câu 102.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; -1;2) , song song với mặt phẳng ( P ) : 2 x - y - z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng x +1 y -1 z D: = = một góc lớn nhất (nhỏ nhất). 1 -2 2 r r   có VTCP uD = (1; -2;2) . Gọi VTCP của đường thẳng d là u = (a; b; c) . rr d P (P ) Û u .nP = 0 Û c = 2a - b . Gọi góc giữa hai mặt phẳng là .. Câu 103.. 1 (5a - 4b)2 = . 2 2 3 5a2 - 4ab + 2b2 3 5a - 4ab + 2b 1 + TH1: Nếu b = 0 thì cos a = . 5 3.  cos a =. 5a - 4b. + TH2: Nếu b ¹ 0 . Đặt t = Xét hàm số f (t ) =. a 1 (5t - 4)2 1  cos a = . = . f (t ) 2 b 3 5t - 4t + 2 3. (5t - 4)2 2. 5t - 4t + 2. . Ta suy ra được: 0 £ cos a =. So sánh TH1 và TH2, ta suy ra: 0 £ cos a £. f (t ) £. 5 3 9. 5 3 9. Do đó:. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN a 4 x -1 y + 1 z - 2 =  Phương trình đường thẳng d : = = b 5 4 5 3 a 1 x -1 y + 1 z - 2 5 3 = = b) max(cos a ) =  = -  Phương trình đường thẳng d: b 5 1 -5 7 9 a) min(cos a ) = 0 . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua x -1 y - 2 z + 2 A(-1; 0; -1) , cắt đường thẳng D1 : = = sao cho góc giữa d và đường thẳng 2 1 -1 x -3 y-2 z+3 D2 : = = là lớn nhất (nhỏ nhất). -1 2 2  Gọi M = d Ç D1 . Giả sử M (1 + 2t;2 + t; -2 - t ) . r uuur VTCP của d : u = AM = (2t + 2; t + 2; -1 - t ) . Gọi a = (· d, D ) .. Câu 104.. d. 2. 2 t2 2  cos a = . . f (t ) 2 3 6t + 14t + 9 3 t2. 9 9 . Ta suy ra được max f (t ) = f (- ) = ; min f (t ) = f (0) = 0 7 5 6t 2 + 14t + 9 x +1 y z +1 = = a) min(cos a ) = 0 Û t = 0  Phương trình đường thẳng d : 2 2 -1 x +1 y z +1 2 5 Ût =-9 = = b) max(cos a ) =  Phương trình đường thẳng d : 7 4 5 2 5 Xét hàm số f (t ) =. Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho D ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là: x -2 y -3 z-3 x -1 y - 4 z - 3 d1 : = = = = , d2 : . Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh 1 1 -2 1 -2 1 BC của D ABC và tính diện tích của D ABC . (P ) : x y - 2z + 1 = 0  Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH =̃^(P ) d1 =̃+. Câu 105.. =̃ B(1;4;3)  phương trình BC : { x = 1 + 2t; y = 4 - 2t; z = 3 Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có: (Q) : x - 2 y + z - 2 = 0 K (2;2;4) =̃=̃ M (1;2;5) (K là trung điểm của CM). ́x = 1 ï 1 é uuur uuur ù =̃=AB : í y 4 + 2t , do A = AB Ç d1 A(1;2;5) SD=̃=̃= ë AB, AC û = 2 3 . ABC 2 ïî z = 3 - 2t B = ( P ) Ç d2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho D ABC với A(1; -1;1) và hai đường trung ́x = 1 - t ï x y -1 z - 2 = tuyến lần lượt có phương trình là d1 : = , d2 : í y = 0 . Viết phương trình đường 2 -3 -2 ïî z = 1 + t. Câu 106.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN phân giác trong của góc A.  Ta có A Ï d1, A Ï d2 . Gọi M Î d1, N Î d2 lần lượt là trung điểm AC, AB. 1 N (1 – t;0;1 + t )  B(1 – 2t;1;1 + 2t ) . B Î d1 =̃= t  B(0;1;2) 2 1 M (2t;1 - 3t;2 - 2t )  C (4t –1;3 – 6t;3 – 4t) . C Î d2 =̃= t =̃ C (1;0;1) 2 uuur uuur Ta có: AB = 6, AC = 1 . Gọi AD là đường phân giác trong của góc A thì DB = - 6 DC uuur æ -1 2 + 6 æ 6 1 2+ 6 ö 1 ö ; ; ; ; ÷÷  AD = çç ÷÷  D çç è 1+ 6 1+ 6 1+ 6 ø è 1 + 6; 1 + 6 1 + 6 ø Vậy phương trình đường thẳng AD là:. x -1 y +1 z -1 = = . -1 2 + 6 1. TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; -2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.  Gọi M là hình chiếu của I(1; -2;3) lên Oy, ta có: M(0; -2; 0) . uuur IM = (-1;0; -3) =̃= R IM = 10 là bán kính mặt cầu cần tìm.. Câu 107.. Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + ( z - 3)2 = 10 . Câu 108.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) : { x = 2t; y = t; z = 4 và. (d2) : { x = 3 - t; y = t; z = 0 . Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).  Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2)  M (2; 1; 4); N (2; 1; 0).  Phương trình mặt cầu (S): ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + (z - 2)2 = 4. Câu hỏi tương tự: ́ x = 2 - 2t ¢ 2 2 2 ï x - 2 y -1 z æ 11 ö æ 13 ö æ 1 ö 5 = = , d2 : í y = 3 a) d1 : . ĐS: (S ) : ç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z + ÷ = 1 -1 2 6ø è 6ø è 3ø 6 è ï z = t¢ î x - 2 y -1 z x -2 y +4 z-2 = = ,(d2 ) : = = b) (d1) : -1 2 2 1 6 2 2. ĐS: (S ) : ( x - 2)2 + æç y - 5 ö÷ + (z - 3)2 = 9 è 2ø 4 Câu 109.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 :. x - 4 y -1 z + 5 = = 3 -1 -2. ́x = 2 + t ï và d 2 : í y = -3 + 3t . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường ïz = t î Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 36.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN thẳng d1 và d2 ..  Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính. Câu hỏi tương tự: ́ x = 2t ́x = 3 - t ï ï d : y = t d : a) 1 í , 2 íy = t . ĐS: (S ) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = 4 ïî z = 4 ïî z = 0 Câu 110.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (D1) có phương trình. { x = 2t; y = t; z = 4 ;. (D2 ). là. giao. tuyến. của. 2. mặt. phẳng. (a ) : x + y - 3 = 0. và. ( b ) : 4 x + 4 y + 3z - 12 = 0 . Chứng tỏ hai đường thẳng D1, D2 chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của D1, D2 làm đường kính..  Gọi AB là đường vuông góc chung của D1 , D2 : A(2t; t;4) Î D1 , B(3 + s; -s;0) Î D2 AB  1, AB  2  A(2;1; 4), B(2;1;0)  Phương trình mặt cầu là: ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A º O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’.  Kẻ CH ^ AB’, CK ^ DC’  CK ^ (ADC’B’) nên CKH vuông tại K. 49 49 =̃=CH 2 CK 2 + HK 2 = . Vậy phương trình mặt cầu: ( x - 3)2 + ( y - 2)2 + z2 = 10 10. Câu 111.. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - 2 = 0 . Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).  Dễ thấy A( 1; –1; 0). Phương trình mặt cầu ( S): x 2  y 2  z 2  5 x  2 y  2 z  1  0. Câu 112.. æ5 ö 29  (S) có tâm I ç ;1;1÷ , bán kính R = 2 è2 ø +) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C) ́x = 5 / 2 + t æ5 1 1ö ï =̃ H ç ; ; ÷ +) PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P): d: í y = 1 + t è3 6 6ø ïî z = 1 + t 75 5 3 29 75 31 186 , (C) có bán kính r = R2 - IH 2 = IH = = = = 36 6 4 36 6 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có x +1 y - 2 z + 3 = = phương trình . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết 2 1 -1 phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. uur r éë BA, a ùû 4 + 196 + 100 = =5 2  d(A, (d)) = r a 4 +1+1. Câu 113.. PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : ( x –1)2 + ( y + 2)2 + (z –3)2 = 50. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 37.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN x +5 y-7 z = = và điểm 2 -2 1 M(4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Viết phương trình của mặt cầu (S). uuuur r  d đi qua N(-5;7;0) và có VTCP u = (2; -1;1) ; MN = (-9;6; -6) . Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d  MH = d ( M , d ) = 3 .. Câu 114.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. 2. Bán kính mặt cầu (S): R 2 = MH 2 + æç AB ö÷ = 18 . è 2 ø.  PT mặt cầu (S): ( x - 4)2 + ( y - 1)2 + ( z - 6)2 = 18 . Câu 115.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : 2 x - y + 2 z - 3 = 0 và mặt. cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y - 8z - 4 = 0 . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng. (a ) . Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (a ) . 2 2 2  (S ) : ( x - 1) + ( y + 2 ) + ( z - 4 ) = 25 có tâm I (1; -2;4 ) và R = 5.. Khoảng cách từ I đến () là: d ( I ,(a ) ) = 3 < R  () và mặt cầu (S) cắt nhau. ́ x = 1 + 2t ï Gọi J là điểm đối xứng của I qua (). Phương trình đường thẳng IJ : í y = -2 - t ïî z = 4 + 2t ́́x = 1 + 2t t = -1 ïï y = -2 - t ïï x = -1 Ûí H=̃( 1; -1;2 ) Toạ độ giao điểm H của IJ và () thoả í z = 4 + 2 t y = 1 ï ï ïî2 x - y + 2 z - 3 = 0 ïî z = 2 Vì H là trung điểm của IJ nên J ( -3;0; 0 ) . Mặt cầu (S) có tâm J bán kính R = R = 5 nên có phương trình: (S¢ ) : ( x + 3)2 + y 2 + z2 = 25 . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P): z = 2 lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8.  Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT. Gọi (S 0) là mặt cầu có tâm I 0 (0;0; m ) thuộc. Câu 116.. trục Oz. Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S 0) theo 2 đường tròn tâm O1 º O(0;0;0) , bán kính R1 = 2 và tâm O2 (0; 0;2) , bán kính R2 = 8 . ́ï R 2 = 22 + m 2 =̃+4 m2 = 64 + (m - 2)2 Gọi R là bán kính mặt cầu thì í 2 2 2 ïî R = 8 + m - 2. =̃= m 16.  R = 2 65 và I 0 (0;0;16) . Suy ra mặt cầu (S) có tâm I (a; b;16) (a, b  R), bán kính R = 2 65 . Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - 16)2 = 260 (a, b  R). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x - y - 2 z - 2 = 0 và đường x y +1 z - 2 = = thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một -1 2 1 khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3.. Câu 117.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 38.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.  Giả sử I (-t;2t - 1; t + 2) Î d , R là bán kính của (S), r là bán kính của (C). é 1 êt = 2 Ta có: d ( I ,(P )) = 2 Û -6t - 5 = 6  ê 6 . R 2 = ( d (I ,( P ) ) + r 2 = 13 11 êt = 6 ë æ 1 2 13 ö 1 + Với t =  I ç - ; - ; ÷  (S): 6 è 6 3 6ø + Với t = -. 2. 2. 2. æ 1ö æ 2 ö æ 13 ö ç x + ÷ + ç y + ÷ + ç z - ÷ = 13 6ø è 3ø è 6ø è. æ 11 14 1 ö 11  I ç ; - ; ÷  (S): 6 3 6ø è6. 2. 2. 2. æ 11 ö æ 14 ö æ 1ö ç x - ÷ + ç y + ÷ + ç z - ÷ = 13 6ø è 3ø è 6ø è. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng 2 x + y - z + 5 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I (P): 5 của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng . 6. Câu 118..  Giả sử (S): x 2 + y 2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 . ́a = 1 ï + Từ O, A, B  (S) suy ra: íc = 2  I (1; b;2) . ïîd = 0 5. b+5. 5. éb = 0 ê ë b = -10 6 6 6 Vậy (S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4z = 0 hoặc (S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 20 y - 4 z = 0 + d ( I ,(P )) =. . =. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;3;4), B(1;2; -3), C (6; -1;1) và mặt phẳng (a ) : x + 2 y + 2 z - 1 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng (a ) và đi qua ba điểm A, B, C . Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (a ) .  Goi I (a; b; c) là tâm mật cầu ta có : ́(1 - a)2 + (3 - b)2 + (4 - c)2 = (1 - a)2 + (2 - b)2 + (-3 - c)2 ́ IA = IB ï ï 2 2 2 2 2 2 í IA = IC Û í(1 - a) + (3 - b) + (4 - c) = (6 - a) + (-1 - b) + (1 - c) ï a + 2 b + 2c - 1 = 0 ïî I Î (a) î ́́b + 7c = 6 a =1 ï ï Û í5a - 4b - 3c = 6 Û íb = -1 I (1; =̃-1;1)  R 2 = IA2 = 25 ïîa + 2b + 2c - 1 = 0 ïîc = 1. Câu 119..  Phương trình (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z - 1)2 = 25 25 3 Tam giác ABC đều cạnh bằng 5 2 nên S ABC = 2 uuur uuur r é uuur uuur ù AB = (0; -1; -7), AC = (5; -4; -3) =̃= p ë AB, AC û = (-25; -35;5) 17 r r cos((a ),( ABC )) = cos ( na , p ) = 15 3 Gọi S ' là diện tích hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng (a ) Ta có S ' = S ABC .cos((a ),( ABC )) =. 50 3 17 85 = (đvdt) 4 15 3 6. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 39.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Câu 120.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:. x -1 y +1 z = = và mặt 3 1 1. phẳng (P): 2 x + y - 2z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1)..  Gọi I là tâm của (S). I  d  I (1 + 3t; -1 + t; t ) . Bán kính R = IA = 11t 2 - 2t + 1 . 5t + 3 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d ( I ,( P )) = =R 3 ét = 0 =̃= R 1 ê 2 24 77 .  37t - 24t = 0  =̃= R êt = 37 ë 37 Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0). Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + z2 = 1 . x -1 y + 2 z = = và mặt phẳng (P): 1 1 1 2 x + y – 2 z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0). 7  Gọi I là tâm của (S)  I (1 + t; t – 2; t ) . Ta có d(I, (P)) = AI  t = 1; t = . 13 Vậy: (S ) : ( x – 2)2 + ( y + 1)2 + ( z –1)2 = 1. Câu 121.. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:. 2. 2. 2. æ 20 ö æ 19 ö æ 7ö 121 hoặc (S ) : ç x – ÷ + ç y + ÷ + ç z – ÷ = . 13 ø è 13 ø è 13 ø 169 è Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I (1;2; -2) , đường thẳng : 2 x - 2 = y + 3 = z và mặt phẳng (P): 2 x + 2 y + z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8p . Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và tiếp xúc với (S). r 4  Ta có: d = d (I ,(P )) = 3 . Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện. Ta có: 2p r = 8p =̃=. Câu 122.. Suy ra bán kính mặt cầu: R 2 = r 2 + d 2 = 25  (S ) : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + ( z + 2)2 = 25 æ5 5 4ö Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với (D ) tại điểm M ç ; - ; ÷ . è3 3 3ø uuur æ 2 11 10 ö æ5 5 4ö ( D ) M ; ; Do đó: (Q) chứa và tiếp xúc với (S) đi qua ç ÷ và có VTPT MI ç ; - ; ÷  è3 3 3ø è3 3 3 ø PT mặt phẳng (Q): 6 x - 33y + 30 z - 105 = 0 . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : { x = t; y = -1; z = -t và 2 mặt phẳng (P): x + 2 y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2 y + 2z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).  Giả sử: I (t; -1; -t ) Î d . Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d ( I ,(P )) = d (I ,(Q)) = R 2 1- t 5 - t =   t = 3 . Suy ra: R = , I (3; -1; -3) . 3 3 3. Câu 123.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 40.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2. 2. 2. Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x - 3) + ( y + 1) + ( z + 3) =. 4 . 9. Câu hỏi tương tự: a) d : { x = 2 + t; y = 1 + 2t; z = 1 - t , ( P ) : x + 2 y - 2z + 5 = 0 , (Q) : x + 2 y - 2z - 13 = 0 . 2. 2. 2. ĐS: (S ) : æç x - 16 ö÷ + æç y - 11 ö÷ + æç z - 5 ö÷ = 9 7ø. è. è. 7ø. è. 7ø. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2 y - 2z + 10 = 0 , hai x - 2 y z -1 x -2 y z+3 = = = = đường thẳng (1): , (2): . Viết phương trình mặt cầu (S) có 1 1 -1 1 1 4 tâm thuộc (1), tiếp xúc với (2) và mặt phẳng (P). ́x = 2 + t ï r  D1 : í y = t ; D2 đi qua điểm A(2; 0; -3) và có VTCP u2 = (1;1;4) . ïî z = 1 - t. Câu 124.. Giả sử I (2 + t; t;1 - t ) Î D1 là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S).. uur uur r é AI , ur ù 5t - 4 uur Ta có: AI = (t; t;4 - t )  éë AI , u2 ùû = (5t - 4;4 - 5t;0)  d ( I , D2 ) = ë r 2 û = 3 u2 d ( I ,(P )) =. 2 + t - 2t - 2(1 - t) + 10 1+ 4 + 4. =. t + 10 3. é 7 t= D d ( I , D ) = d ( I ,( P )) (S) tiếp xúc với 2 và (P)   5t - 4 = t + 10  ê 2 . 2 êt = -1 ë æ 11 7 5 ö 7 9  Với t =  I ç ; ; - ÷ , R =  2 è 2 2 2ø 2 2. 2. 2. PT mặt cầu (S): æç x - 11 ö÷ + æç y - 7 ö÷ + æç z + 5 ö÷ = 81 . è 2ø è 2ø è 2ø 4  Với t = -1  I (1; -1;2), R = 3  PT mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z - 2)2 = 9 .. Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0.  PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0. Câu 125.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 41.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0 (S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0 Tâm I  (P): a + b – 2c + 4 = 0 Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3. Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích bằng 5. Gọi M là trung điểm của CC’. Biết rằng điểm A(0; 0; 2) và điểm C có tung độ dương. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCM.  Ta có: AB = 5 và SD ABC = 5 nên AC = 2 5 .. Câu 126.. Vì AA’  (ABC)uuu vàr A, B  (Oxy) uuur nên C  (Oxy). Gọi C ( x; y;0) . AB = (1;2;0), AC = ( x; y;0) . ́ x + 2y = 0 ́ AB ^ AC ́́x = -4 x=4 Ûí 2 Ûí Úí Ta có: í . Vì yC > 0 nên C(–4; 2; 0) . 2 îy = 2 î y = -2 î AC = 2 5 î x + y = 20 uuur uuur uuur uuur Do CC ' = AA '  C(–4; 2; 2), BB ' = AA '  B(1; 2; 2) và M là trung điểm CC nên M(–4; 2; 1). PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng: (S ) : x 2 + y 2 + z2 + 2 x + 2by + 2cz + d = 0 ́ A(0; 0;0) Î (S ) ïï B '(1;2;2) Î (S ) 3 3 3 íC '(-4;2;2) Î (S ) Û a = ; b = - ; c = - ; d = 0 (thoả a2 + b2 + c 2 - d > 0 ) 2 2 2 ï ïî M (-4;2;1) Î (S ) Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (S ) : x 2 + y 2 + z2 + 3 x - 3 y - 3z = 0 . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.. Câu 127..  Ta tính được AB = CD = 10, AC = BD = 13, AD = BC = 5 . Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này. æ3 3ö 14 Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là G ç ; 0; ÷ , bán kính là R = GA = . 2 2 2 è ø Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID .. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2 y + 2 z - 6 = 0 , gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S).  Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). PT mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z2 + 2 Ax + 2 By + 2Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 - D > 0) .. Câu 128.. ́D = 0 ́ 3 3 ïï36 + 12 A = 0 Û í A = -3; B = - ; C = - ; D = 0 . A, B, C, O  (S)  í 2 2 î ï9 + 6 B = 0 ïî9 + 6C = 0 æ 3 3ö 3 6 Vậy (S): x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 3y - 3z = 0 có tâm I ç 3; ; ÷ , bán kính R = . è 2 2ø 2. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 42.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN æ8 5 5ö Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P)  H là tâm của (C). Tìm được H ç ; ; ÷ . è3 6 6ø.  Bán kính của (C): r = R 2 - IH 2 =. 27 5 2 . -1 = 2 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N.  Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: D  O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C(0; 2; 2). PT mặt cầu (S) đi qua 4 điểm M, N, B, C có dạng: x 2 + y 2 + z2 + 2 Ax + 2By + 2Cz + D = 0 .. Câu 129.. ́1 + 2 A + D = 0 ïï2 + 2 B + 2C + D = 0 ́ 5 5 1 Û í A = - ; B = - ;C = - ; D = 4 M, N, B, C  (S)  í 2 2 2 î ï8 + 4 A + 4C + D = 0 8 + 4 B + 4 C + D = 0 ïî Vậy bán kính R =. A2 + B 2 + C 2 - D = 15 . Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.. Câu 130..  I (1; 2; 3); R = 1 + 4 + 9 + 11 = 5 ; d (I; (P)) =. 2(1) - 2(2) - 3 - 4 4 + 4 +1. = 3 < R = 5.. Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C) ́ x = 1 + 2t ï Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : í y = 2 - 2t ïî z = 3 - t Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C). J  d  J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t) J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0  t = 1 Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R 2 - IJ 2 = 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.  Gọi I , r là tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. 1 1 1 1 1 VOABC = VIOAB +VIOBC +VOCA +VABC = .r.SOAB + .r.SOBC + .r.SOCA + .r.S ABC = .r.STP 3 3 3 3 3 1 8 4 1 Mặt khác: VOABC = .OA.OB.OC = = (đvtt); SOAB = SOBC = SOCA = .OA.OB = 2 6 6 3 2. Câu 131.. 3 3 AB 2 = .8 = 2 3 (đvdt)  STP = 6 + 2 3 4 4 3V 4 r = OABC = Do đó: (đv độ dài) STP 6+2 3 S ABC =. (đvdt). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt. Câu 132.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 43.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. uuur uuur r  Ta có: SM = (m;0; -1), SN = (0; n; -1)  VTPT của (SMN) là n = (n; m; mn) nx + my + mnz - mn = 0 Phương trình mặt phẳng (SMN): Ta có: d(A,(SMN)) =. n + m - mn. =. 1 - m.n. n2 + m 2 + m 2 n 2 1 - 2mn + m 2n2 Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định.. =. 1 - mn =1 1 - mn. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình ́x = t ́x = 0 ï ï d1 : í y = 0 , d2 : í y = t . Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R = 6 , có tâm nằm trên ïî z = 2 - t ïî z = 2 - t đường phân giác của góc nhỏ tạo bởi d1, d2 và tiếp xúc với d1, d2 .. Câu 133..  Phương trình mp(P) chứa d1, d2 là (P ) : x + y + z - 2 = 0 Phương trình mp(Q) chứa d1 và vuông góc với (P là (Q) : x - 2 y + z - 2 = 0 Phương trình mp(R) chứa d2 và vuông góc với (P) là ( R) : 2 x - y - z + 2 = 0 Phương trình hai mặt phân giác của hai mặt (Q) và (R): ( PG1 ) : x - y = 0, ( PG2 ) : x + y - 2z + 4 = 0 ́́x = t ï Phương trình hai đường phân giác của d1, d2: a : í y = t ïî z = 2 - 2t. x = -t ï b : íy = t ïî z = 2 Vì cos(a, d1) > cos(b, d1) nên đường thẳng a là phân giác của d1, d2 thỏa mãn điều kiện. Do đó có hai tâm mặt cầu thỏa mãn I1(2;2; -2), I2 (-2; -2;6) Suy ra (S1) : ( x - 2)2 + ( y - 2)2 + ( z + 2)2 = 6 hoặc (S2 ) : ( x + 2)2 + ( y + 2)2 + ( z - 6)2 = 6 TĐKG 04: TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x - y + z - 1 = 0 để MAB là tam giác đều.  Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB  (Q): x + y - z - 3 = 0 d là giao tuyến của (P) và (Q)  d: { x = 2; y = t + 1; z = t. Câu 134.. M  d  M (2; t + 1; t ) =̃=AM 2t 2 - 8t + 11 . Vì AB = 12 nên D MAB đều khi MA = MB = AB Û 2t 2 - 8t - 1 = 0 Û t =. 4 ± 18 2. æ 6 ± 18 4 ± 18 ö =̃ M ç 2; ; ÷. è 2 2 ø. Câu hỏi tương tự: a) Với A(4;0;0) , B(0;0; 4) , (P): 2 x - y + 2 z - 4 = 0 .. ĐS:. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 3 x - y - z + 1 = 0 để MAB là tam giác đều.  Giả sử M ( x; y; z) Î (P )  3 x - y - z + 1 = 0 (1).. Câu 135.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 44.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́ 2 x= ï 3 ́ MA2 = MB 2 ́4 x + 8z = -4 ïï ï ï æ 2 10 1 ö 10  MAB đều  í MA2 = AB 2  í6 z = -1  íy =  M ç ; ;- ÷ è3 3 6ø 3 ïî3 x - y - z = -1 ï M Î (P) ï î 1 ïz = ïî 6 Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;1; -3), B(3;1; -1),(P ) : 3x - 8y + 7z + 4 = 0 . æ æ 2 6 6 2 6ö 2 6 6 2 6ö ĐS: C ç 2 + ;1 ; -2 ;1 + ; -2 + ÷ hoặc C ç 2 ÷ 3 3 3 ø 3 3 3 ø è è b) Với A(1;2;3), B(-1;4;2),(P ) : x - y + z + 1 = 0 . æ 1 - 3 5 11 - 3 5 3 ö æ 1 + 3 5 11 + 3 5 3 ö ĐS: C ç ; ; ÷ hoặc C ç ; ; ÷ è 4 4 2ø è 4 4 2ø Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , B(3;1;4) . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng ( P ) : x - y - z - 1 = 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 .  Giả sử: C ( x ; y ; x - y - 1) Î ( P ) . AB = 4 .. Câu 136.. (=̃x 3)2 + ( y - 5)2 + ( x - y - 5)2 = ( x - 3)2 + ( y - 1)2 + ( x - y - 5)2 Gọi I là trung điểm AB =̃ I(3;3;4) . AC = BC. SIAB = 2 17 + Với x = 4. CI . AB =̃= 4 17 =̃ C (4;3;0). =̃= y 3. éx = 4 (3 - x )2 + (8 - x )2 = 17 Û ê ëx = 7 C (7;3;3) . + x = 7 =̃. CI =̃= 17 . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2 x + 2 y + z –3 = 0 sao cho MA = MB = MC . uuur uuur r uuur uuur  Ta có AB = (2; -3; -1), AC = (-2; -1; -1) =̃= n éë AB, AC ùû = (2;4; -8) là 1 VTPT của (ABC). Câu 137.. Suy ra phương trình (ABC): x + 2 y - 4z + 6 = 0 . Giả sử M(x; y; z). ́x = 2 ï ́ MA = MB = MC Û í y = 3  M(2;3; -7) Ta có: í î M Î (P ) ïî z = -7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -2;1), B(2;0;3) và mặt phẳng ( P) : 2 x - y - z + 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và ( ABM ) ^ ( P ) . r 1 uuuv AB = (1;1;1) là một VTPT của (Q).  Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của AB =̃=nQ 2 I (1; -1;2) là trung điểm của AB  Phương trình (Q) : x + y + z - 2 = 0 r r r Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P). nR = éë nP ; nQ ùû = (0;3; -3) là VTPT của (R)  Phương trình của ( R) : y - z + 3 = 0. Câu 138.. ́2 x - y - z + 4 = 0 ï Toạ độ của M là nghịêm cuả hệ: í x + y + z - 2 = 0 ïî y - z + 3 = 0. æ 2 1 17 ö M=̃;- ; ÷ ç è 3 6 6ø. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 45.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S.  OABC là hình chữ nhật  B(2; 4; 0)  Tọa độ trung điểm H của OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB. + Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp có phương trình z = 2 ) tại I  I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S. + Tâm I(1; 2; 2) và R = OI = 1 + 22 + 22 = 3  (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 2)2 = 9. Câu 139.. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1;3; –2), B(–3;7; –18) và mặt phẳng (P): 2 x – y + z + 1 = 0 . Tìm tọa độ điểm M  (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.. Câu 140..  A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A là điểm đối xứng với A qua (P)  A'(3;1;0) Để M  (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với AB  M(2;2; -3) . Câu hỏi tương tự: æ 2 1 ö a) Với A(0; -1;2), B(-1;1;3) , ( P ) º (Oxy) . ĐS: M ç - ; - ;0 ÷ è 5 5 ø A(1;0;0) B(1;2;0) ( P ) : x + y + z 4 = 0 b) Với , , ĐS: æ 13 4ö c) Với A(1;2; -1), B(3;1; -2),(P ) : x - y + 2 z = 0 . ĐS: M ç ;1; - ÷ . 5ø è 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng D có phương trình tham số { x = -1 + 2t; y = 1 - t; z = 2t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng D , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.  Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M Î D nên M ( -1 + 2t;1 - t;2t ) . AM + BM = (3t )2 + (2 5)2 + (3t - 6)2 + (2 5)2 r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t;2 5 và v = -3t + 6;2 5 .. Câu 141.. (. ). (. ). Ta có ur = (3t )2 + (2 5)2 ; vr = (3t - 6)2 + (2 5)2 r r r r r r  AM + BM =| u | + | v | và u + v = (6; 4 5) |=̃+ u v |= 2 29 r r r r Mặt khác, ta luôn có | u | + | v |³| u + v | Như vậy AM + BM ³ 2 29 r r 3t 2 5 = Û t =1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng Û -3t + 6 2 5 =̃ M(1;0;2) và min( AM + BM ) = 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 + 29) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x - 3y + 3z - 11 = 0 và hai điểm A(3; -4;5) , B(3;3; -3) . Tìm điểm M Î ( P ) sao cho MA - MB lớn nhất.  Xét tương tự như câu 6). + Nếu A, B ở cùng phía so với (P) thì MA - MB £ AB + Nếu A, B ở khác phía so với (P), ta lấy điểm A¢ đối xứng với A qua (P). Khi đó MA¢ = MA MA =̃- MB = MA¢ - MB £ A¢B æ 31 5 31 ö ĐS: M ç - ; - ; ÷ . è 7 7 7ø Câu hỏi tương tự:. Câu 142.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 46.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN a) ( P ) : x + y + z - 4 = 0 , A(1;2;1) , B(0;1;2) .. ĐS:. b) ( P ) : x - y + 2 z = 0, A(1;2; -1), C (1; -2;1) .. æ 7 11 ö ĐS: M ç ; ;1÷ è2 2 ø. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  2 y  2 z  8  0 và các điểm A(–1;2;3), B(3; 0; –1) . Tìm điểm M  (P) sao cho MA 2  MB 2 nhỏ nhất.. Câu 143..  Gọi I là trung điểm của AB  I(1; 1; 1) . Ta có: MA2 + MB 2 = 2 MI 2 +. AB 2 . 2. Do đó: MA2 + MB 2 nhỏ nhất Û IM 2 nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I trên (P) ́́x = 1 + t t = -1 uuur r ïï y = 1 - 2t ïï x = 0 ́ IM , n cuøng phöông P Ûí í  Ûí . Vậy M(0; 3; –1). M Î ( P ) î ï z = 1 + 2t ïy = 3 îï x - 2 y + 2 z + 8 = 0 îï z = -1 Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x + y + z = 0 , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7). ĐS: M  O(0; 0; 0). æ 50 192 75 ö ; ÷. b) Với (P): x + 5y - 7z - 5 = 0 , A(4;9; -9), B(-10;13;1) . ĐS: M ç - ; è 17 17 17 ø Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z - 4 = 0 và các điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) . Tìm điểm M Î (P ) sao cho MA2 + 2 MB 2 nhỏ nhất.. Câu 144.. uur uur r uur uur æ1 4 5ö  Giả sử I là điểm thoả mãn: IA + 2IB = 0 Û IA = -2IB  I ç ; ; ÷ è3 3 3ø Ta có: MA2 + 2 MB 2 = 3MI 2 + IA2 + 2IB 2 . Do I cố định nên IA2 , IB 2 không đổi.. Vậy MA2 + 2 MB 2 nhỏ nhất Û MI 2 nhỏ nhất Û MI nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên æ 5 14 17 ö (P)  M ç ; ; ÷ . è9 9 9 ø Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z –3 = 0 . Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = MA2 + MB 2 + MC 2 . Khi đó tìm toạ độ của M.. Câu 145.. æ7 8 ö 56 32 104 64 + + =  Gọi G là trọng tâm của ABC  G ç ; ;3 ÷ ; GA2 + GB 2 + GC 2 = 9 9 9 3 è3 3 ø uuuur uuur 2 uuuur uuur 2 uuuur uuur 2 Ta có F = MA2 + MB 2 + MC 2 = ( MG + GA ) + ( MG + GB ) + ( MG + GC ) uuuur uuur uuur uuuur = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + 2 MG(GA + GB + GC ) = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 F nhỏ nhất  MG2 nhỏ nhất  M là hình chiếu của G lên (P) 7 8 - -3-3 3 3 19  MG = d (G ,(P )) = = 1+1+1 3 3 2. æ 19 ö 64 553 Vậy F nhỏ nhất bằng 3. ç khi M là hình chiếu của G lên (P). = ÷ + 3 9 è3 3ø Câu hỏi tương tự: a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x - y - z - 3 = 0 . Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 47.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN æ 11 -2 4 ö ĐS: min F = 65 , M ç ; ; ÷ è 3 3 3ø æ 22 61 17 ö b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(2; 2; 1), (P): x + 3y – z + 2 = 0 . ĐS: M ç ; ; - ÷ 3ø è 3 3 c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x  2 y  2 z  6  0 . ĐS: M (0; 4; 1) . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;0;1) , B(2; -1; 0) , C(2; 4;2) và mặt phẳng (P): x + y + 2z + 2 = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức T = MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.  Giả sử M ( x; y; z) Î (P )  x + y + 2z + 2 = 0  ( x - 1) + ( y - 1) + 2(z - 1) + 6 = 0 (1). Câu 146.. Ta có: T = 3( x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 2 y - 2z) + 31 = 3 éë( x - 1)2 + ( y - 1)2 + (z - 1)2 ùû + 22 (2) Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho các bộ số: (1;1;2) và ( x - 1; y - 1; z - 1) , ta được: 2 (-6)2 = éë1( x - 1) + 1( y - 1) + 2( z - 1)ùû £ (1 + 1 + 4) éë( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z - 1)2 ùû ́x = 0 ́ x -1 y -1 z -1 ï ï = = 62  T ³ 3. + 22 = 40 . Dấu "=" xảy ra  í 1 1 2 Û í y = 0  M(0;0; -1) . 6 ïî z = -1 ïî x + y + 2z + 2 = 0. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z - 4 = 0 và các điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0;0;3) . Tìm điểm M Î ( P ) sao cho MA2 + 3MB2 + 2 MC 2 nhỏ nhất.  Giải tương tự như Câu 10.. Câu 147.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x - y + z - 1 = 0 và các điểm A(1;2; -1) , B(1; 0; -1) , C(2;1; -2) . Tìm điểm M Î (P ) sao cho MA2 + MB 2 - MC 2 nhỏ nhất. æ2 1 2ö  Giải tương tự như Câu 10. ĐS: M ç ; ; ÷ . è3 3 3ø. Câu 148.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x - y + 2z = 0 và các điểm A(1;2; -1) , B(3;1; -2) , C(1; -2;1) . Tìm điểm M Î (P ) sao cho MA2 - MB 2 - MC 2 nhỏ nhất.. Câu 149.. ĐS: M ( 2; -2; -2 ) ..  Giải tương tự như Câu 10.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - 3 = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho uuur uuur uuur MA + 2 MB + 3MC nhỏ nhất. uur uur uur r æ 23 13 25 ö  Gọi I là điểm thoả: IA + 2IB + 3IC = 0  I ç ; ; ÷ è 6 6 6 ø uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uuur Ta có: T = MA + 2 MB + 3MC = ( MI + IA ) + 2 ( MI + IB ) + 3 ( MI + IC ) = 6 MI = 6 MI uuur Do đó: T nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên (P). Ta tìm được:. Câu 150.. æ 13 2 16 ö M ç ; - ; ÷ . Khi đó min T = 43 3 . è 9 9 9ø 3 Cách 2: Giả sử M ( x; y; z) Î (P )  x + y + z - 3 = 0. (1). Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 48.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2. 2. Khi đó: MI 2 = æç x - 23 ö÷ + æç y - 13 ö÷ + æç z - 25 ö÷ 6 ø è 6ø è 6 ø è Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1), ta được:. 2. 2 2 2 2 2 éæ é æ æ 43 ö æ æ ö æ ö æ ö ù 23 ö 13 ö 25 ö ù 23 13 25 ç - ÷ = ê1. ç x - ÷ + 1. ç y - ÷ + 1. ç z - ÷ ú £ 3 êç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z - ÷ ú 6 ø 6ø 6 øû 6 ø è 6ø è 6 ø ûú è 6 ø è è ë è ëêè 2. 43 3  MI ³ 3 æç 43 ö÷  MI ³ . 18 è 18 ø 2. ́ 13 x= ï ́ 23 13 25 9 yzïï ïx - 6 6 = 6  í y = - 2  M æ 13 ; - 2 ; 16 ö = Dấu "=" xảy ra  í ç ÷ 1 1 è 9 9 9ø 9 ï 1 ï îx + y + z - 3 = 0 ï z = 16 ïî 9 æ 13 2 16 ö 43 3 Vậy min T = khi M ç ; - ; ÷ . è 9 9 9ø 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z - 4 = 0 và các uuur uuur uuur điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0;0;3) . Tìm điểm M Î ( P ) sao cho MA + 3MB + 4 MC nhỏ nhất.. Câu 151..  Giải tương tự như Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z - 1 = 0 và ba điểm A(2;1;3), B(0; -6;2), C (1; -1;4) . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( P ) sao cho uuur uuur uuur MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất.  Dễ thấy A, B, C không thẳng hàng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , thì G(1; -2;3) . Khi đó uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur với mọi M Î (P ) ta có MA + MB + MC = 3MG , do đó MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất uuuur Û MG đạt giá trị bé nhất Û M là hình chiếu vuông góc của G trên ( P ) . r (P) có VTPT n = (1;1;1) . Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) Î ( P ) x=̃+ (1). 0 y0 + z0 - 1 = 0 uuur r M là hình chiếu của G trên ( P ) Û GM = ( x0 - 1; y0 + 2; z0 - 3) cùng phương với n. Câu 152.. x0 - 1 y0 + 2 z0 - 3 ( x0 - 1) + ( y0 + 2) + ( z0 - 3) ( x0 + y0 + z0 - 1) - 1 -1 = = = = = 1 1 1 1+1+1 3 3 æ 2 -7 8 ö 2 -7 8  x0 = , y0 = , z0 = . Vậy M ç ; ; ÷ . 3 3 3 è 3 3 3ø Câu hỏi tương tự: æ5 1 2ö a) ( P ) : x - y + 2 z = 0, A(1;2; -1), B(3;1; -2), C (1; -2;1) . ĐS: M ç ; ; - ÷ . è2 3 3ø Û. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3 x - 3y + 2 z + 37 = 0 và các điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C (-1;2;0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt uuur uuur uuur uuur uuuuruuur giá trị nhỏ nhất: S = MA.MB + MB.MC + MC .MA  Giả sử M ( x; y; z) Î (P )  3 x - 3y + 2 z + 37 = 0 (1) Khi đó S = 3 éë( x - 2)2 + ( y - 1)2 + (z - 2)2 - 5ùû .. Câu 153.. Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được: Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 49.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 (-44)2 = éë3( x - 2) - 3( y - 1) + 2(z - 2)ùû £ (9 + 9 + 4) éë( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 ùû.  ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 ³. 442 = 88 . 22. ́ x = -4 ï x - 2 y -1 z - 2 = = Dấu "=" xảy ra   í y = 7  M(4;7; -2) . 3 -3 2 ïî z = -2 Vậy min S = 3.88 - 5 = 259 khi M(4;7; -2) . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(-1;1;0) và mặt phẳng (P): x - y + z = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MAB vuông cân tại B. uur uuur  Giả sử M ( x; y; z) Î (P ) . BA = (1;0;2), MB = ( x + 1; y - 1; z) .. Câu 154.. ́́ -1 - 10 -4 + 10 ïx = ïx = 3 3 ï ï ́ x + 1 + 2z = 0 ́ uur M Î (P) ï uuur ï ï ï 4 + 10 2 + 10 Ta có: í BA.BM = 0  í x - y + z = 0  íy = Ú íy = 6 6 ïî BA = BM ï ï ïî( x + 1)2 + ( y - 1)2 + z2 = 5 ï ï -2 - 10 -2 + 10 ïz = ïz = 6 6 î î Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B(-1; 3; 0) , C(1; 3; 0) , M (0; 0; a) với a > 0. Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC). Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất. Câu 155..  VBCMN = VMOBC + VNOBC =. 3 3æ 3ö ç a + ÷ đạt nhỏ nhất  a =  a = 3 . a 3 è aø. Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng ́ x = -2t ï Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í y = t và mặt phẳng ïî z = -1 - 2t (P): x + y - z + 1 = 0 . Gọi d  là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Tìm toạ độ điểm H thuộc d  sao cho H cách điểm K(1;1; 4) một khoảng bằng 5.. Câu 156.. ́ x = 4 + 7t ï  Gọi A = d  (P)  A(4; -2;3) . PT hình chiếu d của d trên (P): í y = -2 - 2t . ïî z = 3 + 5t -11 ± 238 Giả sử H (4 + 7t; -2 - 2t;3 + 5t ) Î d ¢ . KH 2 = 25  t =  H. 39 Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 50.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường x -1 y + 2 z = = . Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho: MA2 + MB 2 = 28 . thẳng D : -1 1 2 ́x = 1 - t ï (1 t; -2 + t;2t )  PTTS của D : í y = -2 + t . M Î D M=̃ïî z = 2t Ta có: MA2 + MB2 = 28 Û 12t 2 - 48t + 48 = 0 Û t = 2  M(-1;0;4). Câu 157.. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;0), B(2;2;2), C (-2;3;1) và đường x -1 y + 2 z - 3 = = thẳng d : . Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 2 -1 2 ́ x = 1 + 2t ï 1 uuur uuur r d :  í y = -2 - t . Giả sử M (1 + 2t; - 2 - t; 3 + 2t ) Î d . n = - éë AB; AC ùû = (1; 2; - 2) 3 ïî z = 3 + 2t 9 -4t - 11  S ABC = . PT mặt phẳng (ABC): x + 2 y - 2z - 2 = 0 . h = d ( M ,( ABC ) = 2 3 17 1 9 4t + 11 5 VMABC = . . = 3 Û t = - hoặc t = 4 3 2 3 4 æ 3 æ 15 9 11 ö 3 1ö  M ç - ; - ; ÷ hoặc M ç - ; ; - ÷ . 4 2ø 2ø è 2 è 2 4. Câu 158.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: x -1 y z - 3 = = . Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều. 1 1 1. Câu 159..  Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có: MH = d ( M , d ) = 2 . Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB =. 2 MH 3. =. 2 6 3. ́x -2 y z-3 ï 1 =1= 1 Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ: í . ï( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = 8 3 î æ 2 2 2ö æ 2 2 2ö Giải hệ này ta tìm được: A ç 2 + ; ;3 + ;;3 ÷, Bç2 ÷. 3 3 3 ø è 3 3 3 ø è Câu hỏi tương tự: ́x = t æ 5 + 76 10 + 2 76 ö æ 1 - 76 2 - 2 76 ö ï a) Với M(1;0; -1) , d : í y = 2t . ĐS: A ç ; ;1÷ , B ç ; ;1÷ 15 15 è 15 ø è 15 ø ïî z = 1 æ 5 - 76 10 - 2 76 ö æ 1 + 76 2 + 2 76 ö hoặc A ç ; ;1÷ , B ç ; ;1 ÷ 15 15 è 15 ø è 15 ø Câu 160.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d:. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 51.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́x = 1- t ï í y = 2 + 2t . Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. ïî z = 3. r.  d có VTCP ud = (-1;2;0) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. uuuur Giả sử H (1 - t; 2 + 2t;3)  AH = (1 - t;1 + 2t;0 ) uuur r æ6 8 ö 1 Mà AH ^ d nên AH ^ ud  -1(1 - t ) + 2 (1 + 2t ) = 0  t = -  H ç ; ;3 ÷ 5 è5 5 ø  AH =. 2 AH 2 15 3 5 = . Mà ABC đều nên BC = hay BH = 5 5 3 2. 15 . 5. 2. Giả sử B(1 - s;2 + 2s;3) thì æç - 1 - s ö÷ + æç 2 + 2s ö÷ = 15 25 è 5 ø è5 ø -1 ± 3 5 æ 6+ 3 8-2 3 ö 3 ö ;3 ÷ và C ç ; ;3 ÷ 5 ø è 5 ø æ 6- 3 8+ 2 3 ö 3 ö ;3 ÷ và C ç ; ;3 ÷ 5 ø è 5 ø.  25s2 + 10s - 2 = 0  s = æ 6- 3 8+ 2 Vậy: B ç ; 5 è 5 æ 6+ 3 8-2 hoặc B ç ; 5 è 5. Câu 161. Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : x -1 y z + 2 = = và mặt phẳng (P) : 2 x – y – 2 z = 0 . 1 2 2.  Gọi A(a; 0; 0) Î Ox  d ( A; (P )) =. 2a 22 + 12 + 22. =. 2a 2 ; d ( A; d ) = 8a - 24a + 36 3 3. 2a. 8a2 - 24a + 36 = Û 4a2 - 24a + 36 = 0 3 3 2 Û 4(a - 3) = 0 Û a = 3. Vậy có một điểm A(3; 0; 0).. d(A; (P)) = d(A; d) Û. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2 y + 2 z –1 = 0 và hai x +1 y z + 9 x -1 y - 3 z + 1 = = = = đường thẳng 1 : ; 2 : . Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 1 6 2 1 -2 đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. r  M (–1 + t; t; –9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a = (2; 1; –2) uuur r uuur AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8)  éë AM ; a ùû = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t). Câu 162.. Ta có : d (M, 2) = d (M, (P)) . 261t 2 - 792t + 612 = 11t - 20.  35t2 – 88t + 53 = 0  t = 1 hay t = Câu hỏi tương tự: a) Với (P): 2 x + y + 2 z - 1 = 0 , D1 :. 53 . Vậy M (0; 1; –3) hay M 35. æ 18 53 3 ö ç ; ; ÷. è 35 35 35 ø. x -3 y -5 z x -1 2 - y z - 3 = = = = , D2 : 1 1 -1 4 1 1 ĐS: M(2;4;1) , M(-1;1;4). Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 52.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu 163.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1 :. x -1 y z + 2 = = và 2 -1 1. x +1 y -1 z - 3 = = . Đường vuông góc chung của D1 và D2 cắt D1 tại A, cắt D2 tại B. Tình 1 7 -1 diện tích OAB. r r  D1 có VTCP u1 = (2; -1;1) , D2 có VTCP u2 = (1;7; -1). D2 :. Giả sử A(1 + 2t1; -t1; -2 + t1) Î D1 , B(-1 + t2 ;1 + 7t2 ;3 - t2 ) Î D2 . uuur ́ï AB.ur = 0 ́t = 0 A(1;=̃0; 2) 1 uuur uuur 6 Ûí1 Ta có: í uuur r1  SOAB = éëOA, OB ùû = . t = 0 =̃B ( 1;1;3) 2 AB . u = 0 2 î2 ïî 2 Câu 164.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2 y + 2 z - 1 = 0 và các. đường thẳng d1 :. x -1 2. =. y-3 -3. =. z 2. ;. d2 :. x -5 6. =. y 4. =. z+5 -5. . Tìm các điểm M Î d1 , N Î d 2 sao cho. MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2. ́ x = 1 + 2t ï  PTTS của d1 là: í y = 3 - 3t . M  d1 nên tọa độ của M (1 + 2t;3 - 3t;2t ) . ïî z = 2t 1 + 2t - 2(3 - 3t ) + 4t - 1 12t - 6 ét = 1 =2Û =2Ûê Theo đề: d ( M ;(P )) = 3 ët = 0 12 + (-2)2 + 22 + Với t = 1 ta được M1 ( 3;0;2 ) ;. + Với t = 0 ta được M2 (1;3;0 ).  Ứng với M1, điểm N1 Î d2 cần tìm phải là giao của d 2 với mp qua M1 và // (P), gọi mp này là (1) . (Q1). PT (Q1) là: ( x - 3) - 2 y + 2(z - 2) = 0 Û x - 2 y + 2 z - 7 = 0 ́ x = 5 + 6t ï PTTS của d2 là: í y = 4t (2) ïî z = -5 - 5t Thay (2) vào (1), ta được: t = –1. Điểm N1 cần tìm là N1(–1;–4;0).  Ứng với M2, tương tự tìm được N2(5;0;–5). Câu 165.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x - y + 2 z - 1 = 0 và các. đường thẳng d1 :. x -1 2. =. y -3 1. =. z -2. , d2 :. x-5 3. =. y 4. =. z+5 2. . Tìm các điểm A Î d1 , B Î d 2 sao cho. AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1.  Giả sử: A(2t1 + 1, t1 + 3, -2t1) Î d1 , B(3t2 + 5,4t2 ,2t2 - 5) Î d2 uuur AB = (3t - 2t1 + 4,4t2 - t1 - 3,2t2 + 2t1 - 5) uuur r 2 AB.nP = 0 Û 2(3t2 - 2t1 + 4) - 4t2 + t1 + 3 + 2(2t2 + 2t1 - 5) = 0 Û 6t2 + t1 + 1 = 0 AB P ( P ) =̃=d ( AB,( P )) d ( A,(P )) =.  Với t1 = -5  Với t1 = 1. =̃= t2 =̃= t2. 2 3. -1 3. 4t1 + 2 - t1 - 3 - 4t1 - 1 3. =. t1 + 2 3. ét1 = -5 =1 Û ê ë t1 = 1. æ 8 -11 ö =̃A( 9; -2;10), B ç 7; ; ÷ è 3 3 ø æ -4 -17 ö A(3;4; =̃-2), B ç 4; ; ÷ è 3 3 ø. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 53.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. ́x = 1- t uuur ï  Ta có AB = (-1; -4; -3) . Phương trình đường thẳng AB: í y = 5 - 4t . ïî z = 4 - 3t uuur Gọi D(1 - a;5 - 4a;4 - 3a) Î AB =̃=DC (a; 4a - 3;3a - 3) . uuur uuur Độ dài đoạn CD ngắn nhất  D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB  AB ^ DC æ 5 46 41 ö 21  -a - 16a + 12 - 9a + 9 = 0  a = . Vậy: D ç ; ; ÷ . 26 è 26 26 26 ø. Câu 166.. Câu 167.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :. x +1 y z -1 = = và -2 1 1. x y z = = . Tìm các điểm M thuộc d1 , N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với 1 1 2 mặt phẳng (P): x - y + z + 2012 = 0 và độ dài đoạn MN bằng 2 . uuuur ́ï MN .nr = 0 ́ MN P (P ) æ 3 2 5ö P Ûí  Lấy M Î d1, N Î d2 . Ta có í  M (0;0;0), N ç - ; - ; ÷ . è 7 7 7ø î MN = 2 ïî MN = 2 d2 :. x y + 2 z -1 = = và các 1 -1 1 điểm A(1;0;0), B(0;1;1), C (0; 0;2) . Tìm điểm M thuộc d sao cho góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng a = 300 .  ĐS: M(0; -2;1) .. Câu 168.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: ́x = 1 + t ï x - 3 y -1 z (D1 ) : í y = -1 - t và (D2 ) : = = . Xác định điểm A trên 1 và điểm B trên 2 sao cho 1 2 1 ïî z = 2. Câu 169.. đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.. uuur  Giả sử A(t+1; –t –1; 2) 1, B( t'+3; 2t' +1; t') 2  AB = (-t '- t + 2;2t '+ t + 2; t '- 2) Vì đoạn AB có độ dài nhỏ nhất  AB là đoạn vuông góc chung của (1) và (2) uuur r uuur r ḯ́uuu ï uuu ́2t + 3t ' = 0 ABr ^ ur1 AB.u = 0 Û í r r1 Ûí Û t = t ' = 0  A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0). í î3t + 6t ' = 0 îï AB ^ u2 îï AB.u2 = 0 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) và đường ́ x = 2 + 4t ï d : thẳng í y = -6t . Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. ïî z = -1 - 8t uuur  AB = (2; -3; -4)  AB // d. Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d . Ta có: IA + IB = IA1 + IB ³ A1B . Do đó IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B. Khi đó A1, I, B thẳng hàng =̃ I là giao điểm của A1B và d. Vì AB // d nên I là trung điểm của A1B. æ 36 33 15 ö Gọi H là hình chiếu của A lên d. Tìm được H ç ; ; ÷ . A’ đối xứng với A qua H nên A’ è 29 29 29 ø. Câu 170.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 54.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN æ 43 95 28 ö æ 65 -21 -43 ö ; ç ; ; - ÷ . I là trung điểm của A’B suy ra I ç ; ÷. è 29 29 29 ø è 29 58 29 ø Câu hỏi tương tự: x - 2 y z +1 = = a) Với A(1; -1;2), B(3; -4; -2) , d : . ĐS: 4 -6 -8 x -2 y z-4 = = b) Với A(1;2; –1), B(7; –2;3) , d : . ĐS: 3 -2 2. æ 64 9 45 ö I ç ;- ;- ÷ . è 29 29 29 ø I(2;0; 4) .. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường x +1 y -1 z = = . Tìm toạ độ điểm M trên  sao cho MAB có diện tích nhỏ nhất. thẳng : 2 -1 2 ́ x = - 1 + 2t ï  PTTS của : í y = 1 - t . Gọi M (-1 + 2t;1 - t;2t )  . ïî z = 2t 1 uuur uuur Diện tích MAB là S = éë AM , AB ùû = 18t 2 - 36t + 216 = 18(t - 1)2 + 198 ≥ 198 2 Vậy Min S = 198 khi t = 1 hay M(1; 0; 2). Câu hỏi tương tự: x -1 y + 2 z - 3 3 2 = = a) Với A(0;1;0), B(2;2;2) , D : . ĐS: M(-3; 0; -1) , min S = 2 -1 2 2 x y - 3 z +1 34 = b) Với A(2; -1;1), B(0;1; -2), D : = . ĐS: M (-5;8; -11),min S = 1 -1 2 2 x -1 y - 2 z -1 = = c) Với A(0;1; -2), B(2; -1;1), D : . ĐS: M (-2;5; -5),min S = 22 1 -1 2 æ1 2 3ö ́x + y - z -1 = 0 d) Với A(2; -1;1), B(1; -1;0), D : í . ĐS: M ç ; - ; - ÷ . 2 x y 1 = 0 è6 3 2ø î æ 12 5 38 ö x -1 y - 2 z = = . e) Với A(1; 4;2), B(-1;2; 4), D : ĐS: M ç - ; ; ÷ . -1 1 2 è 7 7 7ø. Câu 171.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; -11) , B(3;5; -4) , C(2;1; -6) x -1 y - 2 z -1 = = và đường thẳng d : . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho 2 1 1 uuur uuur uuur MA - MB - MC đạt giá trị nhỏ nhất. uuur uuur uuur  Giả sử M (2t + 1;2t + 2; t + 1) Î d  MA - MB - MC = (-2t - 1; -2t - 4; -t ). Câu 172.. uuur uuur uuur MA - MB - MC =. 2. æ 10 ö 53 53 (2t + 1) + (2t + 4) + t = 9 ç t + ÷ + ³ 9 ø 9 3 è æ 11 2 1 ö 10 Dấu "=" xảy ra  t =  M ç - ;- ;- ÷ 9 è 9 9 9ø 2. 2. 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( P ) : x + 2 y - z + 5 = 0 điểm A( –2; 3; x +3 = y + 1 = z - 3 . Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm 4) và đường thẳng (d ) : 2 của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên  điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.. Câu 173.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 55.

<span class='text_page_counter'>(56)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́ x = 2t - 3 ï  PTTS của d: í y = t - 1 . Gọi I là giao điểm của (d) và (P)  I(-1; 0;4) ïî z = t + 3 r r r r (d) có VTCP là a = (2;1;1) , (P) có VTPT là n = (1;2; -1) =̃=[ a , n ] (-3;3;3) . ́x = 1- u r ï r Gọi u là vectơ chỉ phương của D =̃=u (-1;1;1) =̃=D : í y u . ïî z = 4 + u uuur =̃( 1 - u; u; 4 + u) , =̃=AM (1 - u; u - 3; u) Vì M Î D M uuur r 4 AM ngắn nhất Û AM ^ D Û AM .u = 0 Û -1(1 - u) + 1(u - 3) + 1.u = 0 Û u = . 3 æ -7 4 16 ö Vậy M ç ; ; ÷ è 3 3 3ø Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 3y - z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm điểm M thuộc  sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất. æ -3 -3 3 ö uuur  Gọi I là trung điểm của AB =̃=I ç ; ; ÷ ; AB (-1; -1; -1) è 2 2 2ø 3  PT (Q): x + y + z + = 0 2 ́ 7 1  là giao tuyến của (P) và (Q)  PTTS của : í x = - + 2t; y = -t; z = - t . 4 4 î. Câu 174.. æ 7 1 ö 15 25 Giả sử M ç - + 2t; -t; - t ÷ Î D; OM = 6t 2 - t + . è 4 4 ø 2 8 æ 1 5 3ö 5 M=̃;- ;- ÷ . OM nhỏ nhất khi t = ç 8 è 2 8 8ø Câu 175.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1):. x - 3 y z +1 , (d2): = = 1 1 -2. x -2 y+2 z = = . Một đường thẳng () đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d 1) tại điểm B -1 2 1 và cắt đường thẳng (d2) tại điểm C. Chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. uuur uuur 1  Lấy B  (d1), C  (d2). Từ : AB = k AC  k =  B là trung điểm của đoạn thẳng AC. 2 Ta có thể tính được B(2; –1; 1), C(3; –4; –1). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E (2;1;5), F (4; 3; 9 ) . Gọi  là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ): 2x + y - z + 1 = 0 và (Q) : x - y + 2 z - 7 = 0 . Tìm điểm I thuộc  sao cho: IE - IF lớn nhất .. Câu 176.. ́x = 1+ t ï  PTTS của : í y = -5t . PTTS của EF: ïî z = 3 - 3t. ́ x = 2 + t¢ ï í y = 1 + t¢ . ïî z = 5 + 2t¢. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 56.

<span class='text_page_counter'>(57)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́1 + t = 2 + t¢ ï ́t = 0 Ûí Xét hệ: í-5t = 1 + t¢  EF cắt  tại A(1;0;3). ît¢ = -1 ïî3 - 3t = 5 + 2t¢ Trong mp( D ,EF) mọi điểm I Î D ta có IE - IF £ EF (hiệu 2 cạnh trong 1 tam giác nhỏ hơn cạnh thứ 3). Dấu "=" xảy ra  I, E, F thẳng hàng, từ đó suy ra I trùng A. Vậy điểm I(1;0;3). Câu 177.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. A(0; 0;3) , B(0;3;3) . Tìm điểm M  d sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất.. b) MA2 + 2 MB 2 nhỏ nhất.. ́x = t ï  a) PTTS của d: í y = t . Gọi M (t; t; t ) Î d . Ta có: P = 3 ïî z = t Xét hàm số f (t ) = (t - 1)2 + 2 + (t - 2)2 + 2  f ¢(t ) = f ¢(t ) = 0 Û. t -1 (t - 1)2 + 2. =-. t-2 (t - 2)2 + 2. Û. t -1 (t - 1)2 + 2. (. x y z = = và hai điểm 1 1 1. uuur uuur c) MA - 3MB nhỏ nhất. (t - 1)2 + 2 + (t - 2)2 + 2 t -1. (t - 1)2 + 2 =. +. ). t-2 (t - 2)2 + 2. -(t - 2). [ -(t - 2)]2 + 2. (*). æ ö 1 u 2 ÷. g¢(u) = ç u2 + 2 - u. = > 0 nên . Ta có 2 2 ç ÷ 2 2 3 u + 2 u +2 u +2 ø (u + 2) è hàm số g đồng biến trên ¡ . 3 Do đó từ (*), ta có g(t - 1) = g [ -(t - 2)] Û t - 1 = -t + 2 Û t = 2 æ3ö Dựa vào BBT của hàm số f ta suy ra min f (t ) = f ç ÷ = 3 . è2ø Xét hàm số g(u) =. u. Vậy min( MA + MB) = 3 3 đạt được tại t =. æ3 3 3ö 3 , tức là M ç ; ; ÷ . 2 è2 2 2ø. b) Tương tự câu 1), ta tính được Q = MA2 + 2 MB 2 = 9t 2 - 30t + 45 = (3t - 5)2 + 20 . æ5 5 5ö 5  min Q = 20 khi t = , tức M ç ; ; ÷ . 3 è 2 2 2 øuuur uuur c) Theo câu 1) , ta có MA = (-t; -t;3 - t ) , MB = (-t;3 - t;3 - t ) . uuur uuur uuur uuur Suy ra MA - 2 MB = (t; t - 6; t - 3) =̃-MA 2 MB = 3t 2 - 18t + 45 = 3(t - 3)2 + 18 ³ 3 2 uuur uuur Vậy min MA - 2 MB = 3 2 khi t = 3 , tức M(3;3;3) .. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 57.

<span class='text_page_counter'>(58)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 + 4 x – 6 y + m = 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2 x – 2 y – z + 1 = 0 , (Q): x + 2 y – 2 z – 4 = 0 và . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho độ dài MN = 8.. Câu 178..  (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 - m = IM (m < 13) . Gọi H là trung điểm của MN  MH= 4  IH = d(I; d) = -m - 3 r uur r éë u; AI ùû (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2)  d(I; d) = = 3. r u Vậy : -m - 3 =3  m = –12. Câu 179.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z + 3 = 0 và mặt cầu. (S): x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 8y - 2 z + 23 = 0 . Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.  Mặt cầu (S) có tâm I (3; 4;1) , bán kính R = 3 ́x = 3 + t ï Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với (P)  PTTS của d: í y = 4 + t ïî z = 1 - t Khi đó M là giao điểm của d với (S)  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: ́x = 3 + t ́́= t 1 t = -1 ïï y = 4 + t ïï x = 4 ïï x = 2 Ûí È  M1(4;5;0), M2 (2;3;2) íz = 1 - t y = 5 íï y = 3 ï 2 ï 2 2 ïî x + y + z - 6 x - 8y - 2z + 23 = 0 îï z = 0 îï z = 2 Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 58.

<span class='text_page_counter'>(59)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ta thấy d ( M1,(P )) = 4 3 > d ( M2 ,(P )) = 2 3 . Vậy M(4;5;0) là điểm cần tìm. Mặt cầu (T) có R ' = MH 2 + HE 2 = (4 3)2 + 42 = 8 =̃-(T ) :( x 4)2 + ( y - 5)2 + z2 = 64 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0, ( P ) : 2 x + 2 y - z + 16 = 0 . Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.  Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3. 2.2 + 2.(-1) - 3 + 16 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d = d I , ( P ) = = 5 =̃> d R. 3 Do đó (P) và (S) không có điểm chung. Do vậy, min MN = d –R = 5 –3 = 2. Trong trường hợp này, M ở vị trí M 0 và N ở vị trí N0. Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S). Gọi  là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của  và (P). ́ x = 2 + 2t r ï Đường thẳng  có VTCP là n P = ( 2;2; -1) và qua I nên có phương trình là í y = -1 + 2t . ïî z = 3 - t Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: 15 5 2(2 + 2t ) + 2(-1 + 2t ) - (3 - t ) + 16 = 0 Û 9t + 15 = 0 Û t = - = 9 3 uuuu r uuur æ 4 13 14 ö 3 Suy ra N 0 ç - ; - ; ÷ . Ta có IM 0 = IN 0 . Suy ra M0(0;–3;4) 5 è 3 3 3ø Câu hỏi tương tự: a) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 4 x - 4 y + 2 z = 0 ; ( P ) : 2 x + y - 2z + 4 = 0 .. Câu 180.. (. ). æ -2 -1 5 ö ĐS: M(2 - 2 2;2 - 2; -1 + 2 2) , N ç ; ; ÷ è 3 3 3ø Câu 181.. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1;0; -3), C ( -1; -2; -3) và mặt cầu (S). có phương trình: x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 2z - 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.  (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R = 2 . PT mp(ABC): 2 x - 2 y + z + 1 = 0 1 Ta có VABCD = d ( D;( ABC )).SABC nên VABCD lớn nhất  d ( D;( ABC )) lớn nhất . 3 Gọi D1D2 là đường kính của (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ thuộc (S) thì d ( D;( ABC )) £ max {d (D1;( ABC )); d (D2;( ABC ))} . Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2.. r D1D2 đi qua I(1;0;–1), và có VTCP là nABC = (2; -2;1).  D1D2 : { x = 1 + 2t; y = -2t; z = -1 + t. ́ x = 1 + 2t é 2 ï t= ê y = 2 t ï 3 =̃ ê Tọa độ D1 và D2 thỏa: í z = 1 + t êt = -2 ï 2 2 2 ï( x - 1) + y + (z + 1) = 4 êë 3 î Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 59.

<span class='text_page_counter'>(60)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN æ 7 -4 -1 ö æ -1 4 -5 ö =̃ D1 ç ; ; ÷ ; D2 ç ; ; ÷ è3 3 3 ø è 3 3 3 ø æ 7 4 1ö Ta thấy: d (D1;( ABC )) > d (D2 ;( ABC )) . Vậy điểm D ç ; - ; - ÷ là điểm cần tìm. è 3 3 3ø Dạng 4: Xác định điểm trong không gian Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (): 3 x + 2 y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và (). x -2 y-2 z = =  I(2;2;0). PT đường thẳng KI: . 3 2 -1 Gọi H là hình chiếu của I trên (): H(–1;0;1). Giả sử K(xo;yo;zo). ́ x0 - 2 y0 - 2 z0 = = ï æ 1 1 3ö 3 2 -1 Ta có: KH = KO  í  K ç- ; ; ÷ . è 4 2 4ø ï ( x + 1)2 + y 2 + ( z - 1)2 = x 2 + y 2 + z 2 0 0 0 0 0 0 î. Câu 182.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1). Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất. æ 7 14 ö  Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G ç ; ;0 ÷ . è3 3 ø 2 2 2 2 Ta có: MA + MB + MC + MD = 4 MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2. Câu 183.. æ 7 14 ö  GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M º G ç ; ;0 ÷ . è3 3 ø Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0 và điểm A(0; 1; 2). Tìm toạ độ điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng (P). r  (P) có VTPT n = (1;1;1) . Giả sử A(x; y; z). æ x y +1 z + 2 ö ; Gọi I là trung điểm của AA  I ç ; ÷. è2 2 2 ø ́ x y -1 z - 2 uuur ́ x = -4 ́ï AA¢ , nr cuøng phöông ï1 = 1 = 1 ï A đối xứng với A qua (P)  í í  í y = -3 ïî I Î (P) ïî z = -2 ï x + y +1 + z + 2 + 3 = 0 î2 2 2 Vậy: A(–4; –3; –2).. Câu 184.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1; 0), C (0;3;2) và mặt phẳng (a ) : x + 2 y + 2 = 0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng (a ).. Câu 185..  Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) .. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 60.

<span class='text_page_counter'>(61)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ́( x - 1)2 + y 2 + z2 = x 2 + ( y - 1)2 + z2 (1) 0 0 0 0 0 ï 20 ́ MA = MB ï Û ï x0 + ( y0 - 1)2 + z02 = x02 + ( y0 - 3)2 + ( z0 - 2)2 (2) Ta có: í MB = MC í ( x0 + 2 y0 + 2)2 ïî MA = d ( M ,(a )) ï 2 2 2 (3) ï( x0 - 1) + y0 + z0 = 5 î é x0 = 1, y0 = 1, z0 = 2 æ 23 23 14 ö ê 23 23 14  M(1; 1; 2) hoặc M ç ; ; - ÷ . ê x0 = , y = , z0 = 3ø è 3 3 3 3 3 ë Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết A(3; 0; 0), B(0;3;0), C (0;0;3) . Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36.  Phương trình ( ABC ) : x + y + z - 3 = 0 .. Câu 186.. 9 3 ABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA= 3 2  S ABC = . 2 Do hình chóp S.ABC đều nên đường thẳng SG qua G và vuông góc với (ABC) ́x = 1+ t ï Phương trình SG : í y = 1 + t . Giả sử S (1 + t;1 + t;1 + t ) ïî z = 1 + t 1 Ta có : VS.ABC=36= SG. SABC Û t = 8, t = -8 . Vậy: S(9;9;9) hoặc S(-7; -7; -7) . 3. Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC.  Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P)  BC; (Q) qua B và (Q)  AC æ 36 18 12 ö Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H ç ; ; ÷ è 49 49 49 ø Câu hỏi tương tự: a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2). ĐS:. Câu 187.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(-1;3;5) , B(-4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  Ta có: AB = BC = CA = 3 2  D ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp D ABC æ 5 8 8ö cũng là trọng tâm của nó. Kết luận: I ç - ; ; ÷ . è 3 3 3ø. Câu 188.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3). Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. uuur uuur  Ta có: AB = (2; 2; -2), AC = (0; 2;2). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là: x + y - z - 1 = 0, y + z - 3 = 0.. Câu 189.. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 61.

<span class='text_page_counter'>(62)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN r uuur uuur VTPT của mp(ABC) là n = éë AB, AC ùû = (8; -4;4). Suy ra (ABC): 2 x - y + z + 1 = 0 . ́́x + y - z - 1 = 0 x=0 ï ï y 2 . Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2; 1). Giải hệ: í y + z - 3 = 0 í=̃= ï2 x - y + z + 1 = 0 ï z = 1 î î Bán kính là R = IA = (-1 - 0)2 + (0 - 2)2 + (1 - 1)2 = 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B(-1;2; 0) , C(1;1; -2) . Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  H ( x; y; z) là trực tâm của ABC  BH ^ AC , CH ^ AB, H Î ( ABC ) uuur uuur ́ BH . AC = 0 ï uuur uuur ́ 2 29 1 æ 2 29 1 ö Û íCH Û íx = ; y = ; z =  H ç ; ;- ÷ uuur. AB uuur= 0uuur 15 15 3 è 15 15 3 ø î ï éë AB, AC ùû . AH = 0 î I ( x; y; z) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  AI = BI = CI , I Î ( ABC ). Câu 190.. ́ AI 2 = BI 2 ï ́ 14 61 1 2 Û íCIuuu2r =uuu BI Û íx = ; y = ; z = r uur 15 30 3 î ï éë AB, AC ùû AI = 0 î. æ 14 61 1 ö I ç ; =̃; ÷ è 15 30 3 ø. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;0;1), B(1;2; - 1), C (-1;2;3) và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz).  Phương trình ( ABC ) : 2 x - y + z + 1 = 0 . Gọi I ( x; y; z) . I Î ( ABC ) 2=̃x y + z + 1 = 0 (2) IA = IB = IC =̃+x y - z - 1 = 0, y + z - 3 = 0 (1) ; Từ (1) (2) =̃ I(0; 2; 1) . Bán kính mặt cầu là R = d (I ,(Oxz)) = 2. Câu 191..  (S): x 2 + ( y - 2)2 + (z - 1)2 = 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng (Oxy) và C nằm trên trục Oz. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho điểm H(2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC.  Giả sử B( x; y;0) Î (Oxy),C (0;0; z) Î Oz . uuur uuur uuur uuur ́ AH .BC = 0 ́ AH ^ BC ï uuur uuur ï uuur uuur H là trực tâm của ABC  íCH  ^ AB íCH uuur uuur uuur uuur. AB uuur= 0uuur ï AB, AC , AH đồng phẳng ï é AB, AH ù . AC = 0 û î îë. Câu 192.. é -3 - 177 17 + 177 3+ ́x + z = 0 ;y = ;z = êx = ï 4 2  í2 x + y - 7 = 0 ê -3 + 177 17 - 177 3ê ïî3 x - 3y + yz - z = 0 ;y = ;z = êë x = 4 2 æ -3 - 177 17 + 177 ö æ 3 + 177 ö  Bç ; ;0 ÷ , C ç 0; 0; ÷ è 4 2 ø è 4 ø æ -3 + 177 17 - 177 ö æ 3 - 177 ö hoặc B ç ; ;0 ÷ , C ç 0; 0; ÷ è 4 2 ø è 4 ø. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 177 4 177 4. 62.

<span class='text_page_counter'>(63)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình x -2 y -3 z-3 x -1 y - 4 z - 3 d1 : = = = = và d2 : . Chứng minh đường thẳng d1, d2 và điểm 1 1 -2 1 -2 1 A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC. r r  d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP a = (1;1; -2) ; d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP b = (1; -2;1) urr r r r uuuuuur Ta có éë a,b ùû ¹ 0 , éë a, b ùû .M1M2 = 0  d1, d2 cắt nhau.. Câu 193.. Phương trình mặt phẳng chứa d1, d2 : x + y + z – 8 = 0 A Î mp(d1, d2 ) . æt+5 t+5 ö ; ;3 - t ÷ Giả sử B(2 + t;3 + t;3 - 2t )Î d1  trung điểm của AB là M ç 2 è 2 ø M Î d2  t = -1 =̃ M (2;2;4)  B(1;2;5) . uuur r Giả sử C (1 + t;4 - 2t;3 + t ) Î d2 . AC ^ a  t = 0  C(1;4;2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao x -2 y -3 z-3 = = CH, đường phân giác trong BM của góc B lần lượt có phương trình là d1 : , 1 1 -2 x -1 y - 4 z - 3 d2 : = = . Tính độ dài các cạnh của tam giác của tam giác ABC. 1 -2 1  Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d1  (P): x + y – 2z + 1 = 0 . B là giao điểm. Câu 194.. của d2 với (P)  B(1; 4;3) . Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d2  (Q): x - 2 y + z - 2 = 0 . Gọi K là giao điểm của d2 với (Q)  K (2;2;4) . Gọi E là điểm đối xứng của A qua K  E(1;2;5) . ́x = 1 ï Phương trình đường thẳng BE là í y = 4 - t . C là giao điểm của BE và CH  C(1;2;5) . ïî z = 3 + t Ta có AB = AC = BC = 2 2  Tam giác ABC đều. Câu 195.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A ( 3; -1; -2 ) ,. B (1;5;1) , C ( 2;3;3) , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D..  Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3. Gọi D là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm là giao điểm của D và (S). ́ x = 2 - 2t uuur ï Đường thẳng D có vectơ chỉ phương AB = ( -2;6;3) nên có phương trình: í y = 3 + 6t ïî z = 3 + 3t Phương trình mặt cầu (S ) : ( x - 3)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 = 9 Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: ́ x = 2 - 2t ét = -1 ï y = 3 + 6t ï 2 =̃+49t 82t + 33 = 0 Û ê 33 í z = 3 + 3t êt = ï 2 2 2 49 ë ïî( x - 3) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 9.  Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7 Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 63.

<span class='text_page_counter'>(64)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.  Với t = -. 33 49. æ 164 51 48 ö D ç =̃; ; ÷ (nhận) è 49 49 49 ø. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A(-1;2;1) , B(2;3;2) . Tìm tọa độ các đỉnh C, D và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó biết rằng tâm I của x +1 y z - 2 = = hình thoi thuộc đường thẳng d : và điểm D có hoành độ âm. -1 - 1 1 uur uur  Gọi I (-1 - t; -t;2 + t ) Î d . Ta có IA = (t;2 + t; -1 - t ), IB = (3 + t;3 + t; -t ) . uur uur Do ABCD là hình thoi nên IA.IB = 0 Û 3t 2 + 9t + 6 = 0 Û t = -1, t = -2 . Vì C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: =̃=̃D ( 2; -1;0) . + Với t = -1 I (0;1;1) C (1;0;1), =̃=̃-1), D (0;1; -2) + Với t = -2 I (1;2;0) C (3;2; Do D có hoành độ âm nên ta chọn được nghiệm C (1;0;1), D(-2; -1;0) r + Gọi (P) là mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT n uu r r uur uur ḯn ^ IA = (-1;1;0) Ta có í r uur  có thể chọn nr = éë IA, IB ùû = (1;1; -4) ïîn ^ IB = (2;2;1) Suy ra phương trình mặt phẳng ( P ) : x + y – 4 z + 3 = 0 ... Câu 196.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, A(1;0;0) , C(-1;2;0) , D(-1;0;0) , S(0;0; 3) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn SB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau và xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB. uuur uuur  AB = DC  B(1; 2; 0). M là trung điểm SB, N là trung điểm CD æ1 3ö ÷ , N(–1; 1; 0)  AM  BN. Vì ONB nằm trong mp(Oxy) nên tâm I của đường  M çç ;1; 2 ÷ø è2 tròn ngoại tiếp ONB thuộc mp(Oxy). æ1 7 ö ́ IO = IN Gọi I ( x; y; 0) . Ta có: í  I ç ; ;0 ÷ . î IO = IB è6 6 ø. Câu 197.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3; - 1) , P(2;3; - 4) . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng ( R) : x + y - z - 6 = 0. uuur æ7 5ö  Gọi I là tâm hình vuông  I ç ;3; - ÷ . Gọi N (a; b; c) Î ( R) . MP = (-3;0; -3) . è2 2ø uur æ 7 5ö IN = ç a - ; b - 3; c + ÷ ; MP = 3 2  IN = 3 2 . è 2 2ø 2 ́a + b - c - 6 = 0 ́ uur N Î ( Ruuur ) ï æ 7ö æ 5ö ïï IN ^ MP ï-3 ç a - ÷ - 3 ç c + ÷ = 0 é a = 2, b = 3, c = -1 2ø è 2ø Ta có: í í è ê 2 2 ë a = 3, b = 1, c = -2 ï IN = 3 2 ïæ æ ö 7ö 5 9 ïî ïç a - ÷ + (b - 3)2 + ç c + ÷ = 2 2ø è 2ø 2 îè  Nếu N(2;3 - 1) thì Q(5;3; - 4).  Nếu N(3;1; - 2) thì Q(4;5; - 3).. Câu 198.. Câu 199.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3; 0;8) ,. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 64.

<span class='text_page_counter'>(65)</span> TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN D(-5; -4; 0) và đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C.  Ta có trung điểm BD là I(–1;–2; 4), BD = 12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0). ́ AB 2 = AD 2 2 2 2 2 2 ́ ï 2 Û ï( a - 3) + b + 8 = ( a + 5) + ( b + 4) ABCD là hình vuông  í 2 æ 1 í ö 2 2 2 ïî(a + 1) + (b + 2) + 4 = 36 ï AI = ç BD ÷ è2 ø î ́ 17 ïa = 5 ́ b = 4 - 2a æ 17 -14 ö ́a = 1 Ûí Ûí ;0÷ hoặc í  A(1; 2; 0) hoặc A ç ; 2 2 îb = 2 è 5 5 ø î(a + 1) + (6 - 2a) = 20 ïb = -14 5 î æ 17 -14 ö æ -27 -6 ö ;0÷  C ç ; ;8 ÷ .  Với A(1; 2; 0)  C(–3;–6; 8)  Với A ç ; è 5 5 ø è 5 5 ø Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết A(1;2; 0), C (2;3; -4) . và đỉnh B nằm trên mặt phẳng (Q): x + 2 y + z - 3 = 0 . Tìm toạ độ của đỉnh D, biết toạ độ của B là những số nguyên.  AC = 3 2  AB = 3 . Gọi B( x; y; z) .. Câu 200.. ́ x + 2 y + z = 3 (1) ́ B Î (Q) ï ï 2 2 2 2 2 2 Ta có: í AB = CB  í( x - 1) + ( y - 2) + z = ( x - 2) + ( y - 3) + ( x + 4) (2) ïî AB = 3 ï( x - 1)2 + ( y - 2)2 + z2 = 9 (3) î x = 1; y = 1; z = 2   B(-1;1;2) . Vậy D(4;4; -6) .. Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123. 65.

<span class='text_page_counter'>(66)</span>