On thi tich phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>. 1. TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số b. I  f ( x)dx. . a Bài toán: Tính , *Phương pháp đổi biến dạng I. ;   , 1) Hàm x u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn . Định lí . Nếu. ;   , 2) Hàm hợp f (u (t )) được xác định trên  3) u ( ) a, u (  ) b , b. . I  f ( x)dx  f (u (t ))u ' (t )dt. . thì. . a. .. . Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau:  2. 1. I  x 2 x 3  5dx. J. . a). b). 0. 3.  sin. 4. x  1 cos xdx. 0. 2. Giải: a) Ta cú t  x  5  dt 3 x dx Khi x=0 thỡ t=5 Khi x=1 thỡ t=6 6. 1. 6.  I  x 2 x 3  5dx .  0. .  5. dt t 3. . 1 1 2. 6 1 1 (t ) 6 2  t t  t  dt  1 5 35 3 1 5 9 2. . 1 2. 4 10 6 5 3 9 ..  1 5 6   4  sin x  sin x  2   J  (sin x  1)d (sin x)  5 0 5  2. b) Ta có.  0. Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 4. 2. 1.  a). 4  x 2 dx. 0. dx 2 1  x 0.  b).    x 2sin t , t    ;   2 2 . Giải: a) Đặt  t 2. Khi x = 0 thì t = 0. Khi x 2 thì Từ x 2sin t  dx 2cos tdt  2. 4. .  2. 4  x 2 dx . . 0. 4  4sin 2 t .2cos tdt 4 cos 2 tdt . . 0. 0. ..    x tan t , t    ;   2 2. b) Đặt.  t 4. Khi x 0 thì t 0 , khi x 1 thì dt x tan t  dx  2 cos t . Ta có:  4.  4. . .  dx 1 dt    .  dt  t  . 4 2 2 2 1  x 1  tan t cos t 4 0 0 0 0 1. . Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng. a 2  x 2 , a 2  x 2 và. x 2  a 2 (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:.  Với.    x  a sin t , t   ;  2 2  a  x , đặt  2 2 hoặc.  Với. x a cos t , t   0;   ..    x  a tan t , t   ;  a 2  x 2 , đặt  2 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . 3. x acott , t   0;   . hoặc x. x 2  a 2 , đặt.  Với. x. a    , t    ;  \  0 sin t  2 2. a ; t   0;   cos t. hoặc *Phương pháp đổi biến dạng II.   \  2 .. a; b  Định lí : Nếu hàm số u u ( x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn  u (b). b. I  f ( x)dx  sao cho f ( x)dx g (u ( x))u ( x)dx  g (u )du thì '.  a. g (u)du .. u(a). 1. I  x 2 x 3  5dx. . Ví dụ 3: Tính. 0. 3. Giải: Đặt u ( x )  x  5 .Tacó. u (0) 5, u (1) 6. .. 6. 6 2 1 2 4 10 I udu  u u  6 6  5 5  6  5 5 9 35 9 9 9. . . Từ đó được:. . Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II: e2. 1. a).  2 x  1. 5. 0. dx. dx x ln x.  b) e. 2 3 2. dx (2 x  1) 2.  d) 1. cos(3 x .  e).  3. 1. 4x  2 dx x  x 1.  c) 0. 2. 2 ) dx 3. Giải: a) Đặt u 2 x  1 khi x 0 thì u 1 . Khi x 1 thì u 3. Ta có. du 2dx  dx . du 2 . Do đó:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1. 4. 3.  2 x 1. 5. dx . 0. 1 5 u 3 1 6 u du   (3  1) 21 12 1 12 6. . 2 = 60 3 .. 2. b)Đặt u ln x . Khi x e thì u 1 . Khi x e thì u 2 . e2. Ta có. du . dx x . 2. 2 dx du  ln u ln 2  ln1 ln 2 1 x ln x 1 u.  e. . .. c)Đặt u  x  x  1 . Khi x 0 thì u 1 . Khi x 1 thì u 3 . 2. Ta có du (2 x  1) dx . Do đó: 1. 3. 3 4x  2 2du dx   2ln u 2(ln 3  ln1) 2ln 3 1 x2  x  1 u 1.  0. . .. d)Đặt u 2 x  1 . Khi x 1 thì u 1 . Khi x 2 thì u 3 .. Ta có. du 2dx  dx  2. du 2 . Do đó: 3. dx 1 du 1 3 1 1 1    (  1)  (2 x  1)2 2 1 u 2 2u 1 2 3 3.  1. e)Đặt. u 3x . . .. 2 3 ..   x u 3 thì 3, Khi Khi. x. Ta có 2 3. du 3dx  dx . du 3 . Do đó:. 4 2 1 1 4  3 1 cos(3x  )dx  cos udu  sin u   sin  sin   3 3 3 3 3 3 3 3.   3. 2 4 u 3 thì 3 .. 4 3. .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> . 5. 1 3 3 3      3 2 2  3 . 2.Phương pháp tích phân từng phần. Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  b. b u ( x)v ( x)dx  u ( x)v( x)   a a '. . b. b udv uv  a a.  hay. a; b  thì:. b. v( x)u ' ( x)dx.  a. b. vdu . a. Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: '.  Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx bằng cách chọn một phần thích '. hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v ( x)dx.  Bước 2: Tính du u dx và '. b. v  dv  v ' ( x)dx.  . b. vdu  vu ' dx.  Bước 3: Tính.  a.  a. uv và. .. b a..  Bước 5: Áp dụng công thức trên. e. x ln xdx  Ví dụ 5: Tính 1. dx  du   x   2 u ln x v  x   2 Giải: Đặt  dv  xdx e e e 1 x2 e2 x 2 e e2  1 x ln xdx  ln x  xdx    1 1 2 2 2 4 4 1 1. . . Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:. ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2.  2. ln x dx x5. . a). 1. Giải: a) Đặt. 1. xe x dx. x cos xdx. b). . u ln x    1 dv  dx  x5 2. 2. c). 0. 6.  2. e x cos xdx. . d). 0.  0. dx  du   x  v  1  4 x 4 . Do đó: 2. 2. ln x ln x 1 dx ln 2 1  1  15  4 ln 2 dx         5 4 5 4  x 4x 1 4  x 64 4  4 x  1 256 1 1 .. u  x   dv  cos xdx b) Đặt   2.  du dx  v sin x . Do đó:.  x cos xdx  x sin x  2  0.  0. u  x   x dv e dx c)Đặt  1. 1 xe x dx xe x  0.  0.  2.    sin xdx   cos x 2   1 2 2 0 0 .. . du dx  x v e . Do đó:. 1. e x dx e  e x.  0. u e x   dv  cos xdx d) Đặt . 1 e   e  1 1 0. ..  du e x dx  v sin x.  2.   e x cos xdx e x sin x 2  0 0. . u1 e x   dv  sin xdx Đặt  1. du1 e x dx  v1  cos x.  2. e x sin xdx.  0. ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  2.   e x cos xdx e  e x cos x 2  0 0  2.   2.  2.  2 e x cos xdx e  1 .  0. 7.  2. e x cos xdx.  0.  2. e x cos xdx .  0. .  2. e 1 . 2. *Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b. b. P( x)e x dx.  a. u dv. b. P( x)ln xdx.  a. P(x). P ( x)cos xdx.  a. lnx P(x)dx. e x dx. b. e x cos xdx.  a. P(x) cosxdx. ex cosxdx. Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào '. để chọn u và dv v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn. dv v ' dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: . . P( x)Q( x)dx  Nếu tính tích phân mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là . ax. một trong những hàm số: e , cos ax, ' du  P ( x )dx  u P ( x)      dv Q( x)dx v  Q ( x )dx . . sin ax thì ta thường đặt.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> . 8. . . P( x)Q( x)dx  Nếu tính tích phân mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là . du Q '  x  dx  u Q ( x)     dv P ( x)dx v  P ( x)dx  hàm số ln(ax) thì ta đặt. . .  ax. J  e ax sin bxdx. I  e cos bxdx. .  Nếu tính tích phân. . hoặc. . . thì.  du ae ax dx u e     1  dv cos bxdx v  sin bx  b ta đặt ax. du ae ax dx u e     1  dv sin bxdx v  cos bx  b hoặc đặt ax. Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: . I. dx ax 2  bx  c.  .  a 0  .. 2 x  ;   ) (trong đó ax  bx  c 0 với mọi 2 Xét  b  4ac .. . I. a  x  . +)Nếu  0 thì. dx.  . 2. b   2a  tính được..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> . 9. . I +)Nếu   0 thì. (trong đó.  I. 1 dx a   x  x1   x  x2 . . x1 . ,. b  b  ; x2  2a 2a ). 1 x  x1  ln a  x1  x2  x  x2  . . . . . dx dx I  2 2 2 ax  bx  c     b       a x      2 a   4a 2       +) Nếu   0 thì x Đặt. b  1   tan t  dx  1  tan 2 t  dt 2 2  2a 4a 2 a , ta tính được I. . I b) Tính tích phân:. (trong đó. f ( x) . mx  n dx, ax 2  bx  c.  .  a 0  .. mx  n ax 2  bx  c liên tục trên đoạn   ;   ). +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: A(2ax +b) mx+n B = 2 + 2 2 ax + bx +c ax + bx+ c ax + bx+ c β. +)Ta có I=. β. α. β. .. Tích phân. β. A (2ax +b) mx+n B dx= ❑ 2 dx+ ❑ 2 dx 2 ax + bx +c ax + bx+ c ax + bx +c α α. ❑. A (2 ax+ b).  ❑ax 2+ bx +c. dx. =. A ln |ax 2+ bx +c|¿εβ. α. . dx ax 2  bx  c.  Tích phân . b. I c) Tính tích phân. P( x) dx Q ( x).  a. tính được.. với P(x) và Q(x) là đa thức của x..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1  Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.  Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1 , 2 ,..., n thì đặt. An P( x) A A2  1   ...  Q ( x ) x  1 x   2 x  n . + Khi. Q( x)  x     x 2  px  q  ,   p 2  4q  0. thì đặt. P ( x) A Bx  C   2 . Q( x) x   x  px  q 2. Q( x)  x     x    với    thì đặt + Khi P( x) A B C    2 Q( x) x   x  x  1. 4 x  11 dx x2  5x  6.  Ví dụ 7. Tính tích phân: 0. .. .. Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:. A  2 x  5 4 x  11 B   2 , x   \   3;  2 2 2 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6 2 Ax   5 A  B  4 x  11  , x   \   3;  2  x2  5x  6 x 2  5x  6  2 A 4    5 A  B  11 .  A 2   B 1. 2  2 x  5 4 x  11 1   , x   \   3;  2 2 2 2 Vậy x  5 x  6 x  5 x  6 x  5 x  6 ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1. 1. . . 4 x  11 2x  5 dx dx 2 2 dx  2 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6 0 0.  Do đó 0. 1. 2. 2ln x 2  5 x  6. 1 x2 1 9  ln ln 0 x 3 0 2.. 2 x  5 x  6  x  2   x  3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng Cách 2. Vì. cách: Tìm A, B sao cho:. 4 x  11 A B   , x   \   3;  2 x2  5x  6 x  2 x  3.  A  B  x  3 A  B , x   \  3;  2 4 x  11    x2  5x  6 x2  5x  6. .  A  B 4    3 A  2 B  11 .  A 3   B 1. 4 x  11 3 1   , x   \   3;  2 2 Vậy x  5 x  6 x  2 x  3 . 1.  Do đó 0. 1. 1. . . 4 x  11 dx dx dx  3  x2  5x  6 x 2 0 x 3 0 3ln x  2 1. Ví dụ 8:Tính tích phân:. dx x2  x 1.  0. Giải: 1.  0. Do. 1. dx dx  2 x2  x 1 0  1 3 x   2 4 . . 1 1 9  ln x  3 ln 0 0 2.. .. 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> . x Đặt 1. 0. 1 3 3     tan t , t   ;   dx   1  tan 2 t  dt 2 2 2  6 3  3. dx  x  x 1 . . 1.  3 2 3 1  tan t  dt  2 3 2 3 2  dt  t 3 3 3 2  (1  tan t ) 6 4. . 2. 6. Vậy. . 1 2. Ví dụ 9. Tính tích phân:. x3 dx 2 x 1.  0. .. Giải: 1 2. 1 2. 1 2. .  . x3 x  xdx  dx   x  2  dx  xdx  2 2 x 1 x  1 x 1  0 1 0.  0. 1 2. 1 1 x2 1 1 1 3 2  2  ln x  1 2   ln 2 2 8 2 4 0 0 . 2. Tích phân các hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:  2. J  sin 2 x sin 7 xdx. . a). .  2. ;.  2. K  cos x(sin 4 x  cos 4 x) dx b). . ;. 0.  2. c) Giải. 4sin 3 x M dx 1  cos x 0. . ..  3  3   9 6 ..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> . J a).  2.  2. . . . . 1. 1 1 cos5 xdx  cos9 xdx 2  2  2. 2.   1 1 4  sin 5 x 2  sin 9 x 2   18  45 10   2 2 . 2. cos x(sin 4 x  cos 4 x ) cos x   sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos 2 x    b) Ta có. 1  1   1  3 cos x  1  sin 2 2 x  cos x 1   1  cos 4 x    cos x  cos x cos 4 x 4  2   4  4 3 1  cos x   cos5 x  cos3x  4 8 .  2. K  cos x(sin 4 x  cos 4 x)dx .  0.  2.  2.  2. . . . 3 1 1 cos xdx  cos5 xdx  co3 xdx 40 80 80.    3 1 1 3 1 1 11  sin x 2  sin 5 x 2  sin 3 x 2     4 40 24 4 40 24 15 0 0 0 . 4sin 3 x 4sin 2 x sin x 4(1  cos 2 x)sin x   4(1  cos x)sin x 1  cos x 1  cos x 1  cos x c).  M 2 . 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác. 2.2.1.Tính. I. dx asinx  b cos x  c. . Phương pháp:. x 2dt t tan  dx  2 1 t2 Đặt.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> . 1. 1 t2 2t cos x  sin x  2 1  t 1 t2 Ta có: và I. dx  asinx  b cos x  c. . 2dt  c  b  t 2  2at  b  c đã biết cách tính.. . dx 4cos x  3sin x  5. . Ví dụ 11. Tính. x 1 x 2dt t tan  dt   1  tan 2  dx  dx 2 2 2 2 1  t   Giải: Đặt 2dt dx dt 1 t2   2 2 1 t 2t cos x  3sin x  3 t  3t  2  3 3 2 2 1 t 1 t. . . . x tan  1 t 1 2 ln  C ln C x t 2 tan  2 2 . 2.2.2. Tính. I. dx a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d. . I. dx  a  d  sin x  b sin x cos x   c  d  cos 2 x. . Phương pháp:. 2. dx 2 cos x  2  a  d  tan x  b tan x   c  d . . dx t tgx  dt  2  I  cos x Đặt. dt  a  d  t 2  bt   c  d  đã tính được.. . Ví dụ 12. Tính:. I. dx sin 2 x  2sin x cos x  3cos 2 x .. . dx dx cos 2 x I  sin 2 x  2sin x cos x  3cos 2 x tan 2 x  2 tan x  3 Giải:Ta có. . .

<span class='text_page_counter'>(15)</span> . 1. dx t tan x  dt  2 cos x Đặt.  I. dt  t 2  2t  3. . 2.2.3. Tính. dt 1 t1 1 tan x  1  ln  C  ln C 4 tan x  3  t  1  t  3 4 t  3. . I. m sin x  n cos x  p dx a sin x  b cos x  c .. . Phương pháp: +)Tìm A, B, C sao cho:. m sin x  n cos x  p  A  a sin x  b cos x  c   B  a cos x  b sin x   C , x. +) Vậy. I. m sin x  n cos x  p dx a sin x  b cos x  c =. . a cos x − b sin x dx = A  dx+ B a sin x +b cos x+ c dx+C  a sin x +b cos x +c. Tích phân.  dx. Tích phân.  a sin x+ b cos x+ c dx=ln|a sin x +b cos x +c|+C. Tích phân. Ví dụ 13. Tính:. tính được. a cos x − b sin x. dx.  a sin x+ b cos x+ c I. tính được.. cos x  2sin x dx 4cos x  3sin x .. . Giải: Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:. cos x  2sin x  A  4cos x  3sin x   B   4sin x  3cos x  , x cos x  2sin x  4 A  3B  cos x   3 A  4 B  sin x, x 2  A   4 A  3B 1 5    3 A  4 B 2  B  1  5.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> . 2 1  2 1  4sin x  3cos x  I   . dx  x  ln 4cos x  3sin x  C  5 5  5 5 4cos x  3sin x  .. 1. . 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng. R  sin x,cos x  dx , với R  sin x,cos x  là một. hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân.. x 2dt t tan  dx  2 1 t2  Trường hợp chung: Đặt. 2t 1 t2 sin x  ;cos x  2 1  t 1 t2 Ta có  Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu. R  sin x,cos x  là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là. R   sin x,  cos x  R  sin x,cos x  thì đặt t tan x hoặc t cot x , sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t. +) Nếu. R  sin x,cos x  là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:. R   sin x,cos x   R  sin x,cos x  thì đặt t cos x . +) Nếu. R  sin x,cos x  là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:. R  sin x,  cos x   R  sin x,cos x  thì đặt t sin x . 3.Tích phân hàm vô tỉ 3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản 1. I Ví dụ 14. Tính tích phân: Giải.  0. dx x 1  x. ..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 1. I.  0. . 1. 1. dx  x 1  x 0. . 2 2 2 2 3. . Giải:. 0. 3 2.  x . Ví dụ 15:Tính tích phân. x . . x 1 . 1. 1. 2 1 x dx    x  1  x  3 0 3 2. x 3 dx. 0. 1  x2 .. 1. x3 dx 1  x2. ( x3 1  x 2  x 4 ) dx  0. 2 21 15. .. 3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng Ví dụ 15:Tính 1. I = x 3 √ 1− x2 dx 0. Giải: 1. 1. I = x 3 √ 1− x2 dx= x 2 ❑√ 1− x2 . xdx 0. Đặt t= Ta có:. 0. √ 1− x 2 ⇔ t 2=1− x 2 ⇔ x 2=1 −t 2 xdx=-tdt, Khi. x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0. Vậy 0. I =− (1− t 2 )t 2 dt= 1. (. t3 t5 1 2 − ¿= 3 5 0 15. ). 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối 2. J  x 2  1 dx Ví dụ 16: Tính.  2.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> . 1.  2;2 Giải: Lập bảng xét dấu của x  1 trên đoạn  2. x. -2 +. 2. x 1 2. 1. I  x 2  1 dx . . Do đó. -1 0. 2. 1 0. 1.  x. 2.  1 dx . 2. 2 + 2. 2.  1  x  dx   x 1. 2.  1 dx. 1. x3  1  x3  x3  1  2   x   x    x  1  3  1 4  2 3 3       . III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT.  a; a  . Khi đó 1.Cho hàm số y  f ( x ) liên tục và lẻ trên đoạn  a. I  f ( x )dx 0. . a. ..  2. I. Giải: Đặt x  t  dx  −. Do đó : I=. . . Ví dụ 17: Chứng minh. xdx 0 2 4  sin x  2. π dt . Khi x= 2. .. thì t = -. π 2 , khi. x .   t 2 thì 2. π 2. =− I  tdt 4 − sin2 t π 2.  2. I Suy ra : 2I = 0. Ta được. xdx 0 2 4  sin x . . . 2. ..  a; a  . Khi đó 2.Cho hàm số y  f ( x ) liên tục và chẵn trên đoạn  a. a. I  f ( x)dx 2 f ( x)dx. . a.  0. ..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> a. 0. I  f ( x)dx  f ( x )dx . . Chứng minh : Ta có. . a. 1. a. a. f ( x)dx (1) 0. 0. J  f ( x) dx. . Ta tính. bằng cách đặt. a 0. 0.  J  f ( x)dx . . a. x  t  0 t a   dx  dt. a. a. f ( t )dt f (t )dt f ( x)dx (2) a. 0. 0. a. a. I  f ( x)dx 2 f ( x)dx Thay (2) vào (1) ta được. . . a. 0.  2. I Ví dụ 18: Tính tích phân:. Ta có. . . 2.  2.  2.  2. . . . . . . I Giải:. x  cos x dx 2 4  sin x . x  cos x x dx  dx  2 2 4  sin x 4  sin x   2. 2. cos x dx 2 4  sin x  2.  2. f1 ( x) . Do. x 4  sin 2 x là hàm số lẻ trên.   ; 2 2  nên.   . . 2.  2.  2. . . cos x cos x d (sin x ) dx  2 dx  2 4  sin 2 x 4  sin 2 x (sin x  2)  sin x  2   0. .   2. .      2 ; 2  nên ta có:. cos x f 2 ( x)  4  sin 2 x là hàm số chẵn trên và  2. x dx 0 2 4  sin x .  1 sin x  2 1 I  ln 2  ln 3 2 sin x  2 2 0 Vậy .. . 2.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> . 3.Cho hàm số y  f ( x ) liên tục và chẵn trên đoạn [ −α : α ] . Khi đó α. α. I = −α. Chứng minh:. Đặt t= -x ⇒. f (x) 1 dx=  f ( x)dx x 2 −α a +1. dt= - dx. at 1 t Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= a Khi x= - α thì t = α α. Vậy. ;x= α α. I = −α. thì t =- α α. f (x) a t f (t ) at +1 −1 dx= dt=  at +1  at +1 f (t )dt a x+ 1 −α −α. α. α. α. ¿  f (t) dt+  −α. −α. α. Suy ra. I = −α. f ( t) dt= f (x )dx + I at +1 −α α. f (x) 1 dx=  f (x) dx x 2 −α a +1 1. Ví dụ 19 : Tính tích phân: Giải:Đặt t= -x ⇒. x4 I x dx 2  1 1. . .. dt= - dx. Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1 1. Vậy. 1. 1. x4 t4 2t I = x dx= − t dt= t t 4 dt −1 2 +1 − 1 2 +1 −1 2 +1 1. 1. 1. t4 dt= x 4 dx − I t − 1 2 +1 −1. ¿  t 4 dt − −1. 1. Suy ra. 1 1 x5 1 1 I ==  x 4 dx= ¿ = 2 −1 2 5 −1 5.    0; 2  4.Cho f(x) liên tục trên đoạn .Khi đó  2.  2. f (sin x)dx f (cos x)dx . 0. Chứng minh:.  t   x  dx  dt 2 Đặt. 0. 2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> . 2.   t x 2 , khi 2 thì t = 0 Khi x = 0 thì  2. 0. f (sin x) dx .  Do đó. 0.  2.  2. . .  f (sin(  t )dt  f (cos t )dt  f (cos x)dx 2 0 0.   2. Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức .  xf (sin x )dx  2. .  0;1   *Nếu f(x) liên tục trên thì . 2  . *Nếu f(x) liên tục trên  2.  0;1 thì. . 2  . xf (cos x)dx   f (cos x)dx . . sin n x  dx  n n sin x  cos x 4.  Ví dụ 20:Chứng minh: I= 0. f (sin x)dx. .. . Giải : Tương tự như trên ta có:  2. I=. sin n x cos n x dx  dx n n sin n x  cos n x sin x  cos x 0. . .  2.  2. +) Vậy I+J=  2.  2. 0. sin n x cos n x  dx  dx  sin n x  cos n x sin n x  cos n x 2 0.  0. . sin n x  dx  n n sin x  cos x 4.  Vậy I= 0. =J. .. . x sin x dx 2 1  cos x 0.  Ví dụ 21: Tính tích phân:. .. ..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> . 2. x   t  0 t    dx  dt . Giải: Đặt . x sin x dx  2 1  cos x 0.  Khi đó. 0.    t  sin    t  dt  1  cos   t    2. . . . .  sin t t sin t  dt  dt 2 2 1  cos t 1  cos t 0 0 . . . .  sin x  dx  2 1  cos x 0 . . . . x sin x dx 2 1  cos x 0. x sin x  sin x 2 dx  dx 2 2 1  cos x 1  cos x 0 0 . . x sin x  sin x 2 dx  dx  2 2 1  cos x 2 1  cos x 4 0 0.  Vậy. . .. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Tính các tích phân sau π 2. a ¿ I = 0. π. sin 2 x dx √cos 2 x + 4 sin2 x. ( ĐH-KA-2006) π 2. c ¿ I = 0. sin 2 x+ sin x dx √1+3 cos x. (ĐH-KA-2005) π 2. sin 2 x . cos x e ¿ I = dx 1+ cos x 0. (ĐH-KB-2005) π 2. sin x −cos x g ¿ I = dx π √ 1+ sin 2 x 4. sin x − cos x+3 ¿ 3 ¿ ¿ cos 2 x ¿ π 2. i ¿ I = ¿ 0. Bài 2.Tính các tích phân sau. 2. b ¿ I = √ x sin √ x dx 0. π 2. d ¿ I = (2 x −1) cos2 x . dx 0. π 4. f ¿ I = 0. π 3. h ¿ I = π 4 π 4. x dx 1+ cos 2 x. tan x dx cos x √ 1+cos 2 x. k ¿ I = x tan2 x .dx 0.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> √3. x 5 +2 x3 a ¿ I = dx 2 0 √x +1 4 2 x+ 1 c ¿ I = √ dx 0 1+ √ 2 x +1 3. e ¿ I = x 3 . √ x 2 −1 dx 1 2√ 3. g¿I=  √5. dx b ¿ I = 2 2 1 x (x +1) 1 1 1 d ¿ I = 2 1+ dx x 1 x. ( ). 2 √3. f ¿ I = 1 5. dx x √ x 2+ 4. 2. √3. dx x+ x 3. h ¿ I = (| x+2|−|x −2|) dx −3. Bài 3. Tính các tích phân sau 1. 2. 2. x. a ¿ I =( x +1)e dx 0 1. c ¿ I = 0 2. dx 1+e x. 3. x +2 ¿ ¿ ¿ x2 . ex ¿. f ¿ I = ln (x2 − x ). dx 2 π 2. h ¿ I = (e sin x +cos x )cos x .dx. 2. 0. e ¿ I = ¿ 0 0. 3. g ¿ I = x (e 2 x + √ x +1)dx −1. ln(1+ x ) dx x2 1 e x 3+ 1 d ¿ I = ln x . dx x 1 b ¿ I =.

<span class='text_page_counter'>(24)</span>