MỤC LỤC
LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT QUY TẮC ĐẾM
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
2.NỘI DUNG
2.1. Lý thuyết về quy tắc cộng, quy tắc cộng
2.2. Phân biệt quy tắc cộng và quy tắc nhân.
II.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP, CHỈNH HỢP, HOÁN VỊ
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
2.NỘI DUNG
2.1. Lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.2. Phân biệt tổ hợp, chỉnh hợp, hốn vị
2.3. Cách bấm máy tính Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hoán vị cơ bản
III.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NIU- TƠN
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
2.NỘI DUNG
2.1.Công thức nhị thức Niu-Tơn
2.2. Các công thức cơ bản liên quan tới nhị thức Niu- tơn
2.3. Tam giác Pascal
2.4. Cách bấm máy tính nhị thức Niu-tơn
IV. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
I.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
2.NỘI DUNG
II. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
2.NỘI DUNG
III. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG XÁC SUẤT

LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT QUY TẮC ĐẾM
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
Giúp học sinh
+ Nắm rõ lý thuyết về quy tắc cộng, quy tắc nhân trong các trường hợp
+ Phân biệt cơ bản 2 quy tắc: quy tắc cộng, quy tắc nhân.
+ Lấy được ví dụ thường liên quan đến 2 quy tắc trên.
2.NỘI DUNG
2.1. Lý thuyết về quy tắc cộng, quy tắc cộng

Nội
dung

Cho 2
phương
án

Quy tắc cộng
Một công việc V thực hiện theo phương
án A hoặc phương án B. Trong đó:
+ m cách thực hiện theo phương án A
+ n cách thực hiện theo phương án B
(𝑚 ≠ 𝑛)
Cách thực hiện công việc V
m+n

Quy tắc nhân
Một công việc V được thực hiện qua hai
công đoạn liên tiếp A và B. Trong đó:

+ Có m cách thực hiện công đoạn A. Với
mỗi cách thực hiện công đoạn A lại có n
cách thực hiện cơng đoạn B.
Cách thực hiện công việc V.
m.n

Một công việc V được thực hiện theo một
trong k phương án A(1),A(2),…,A(k)
Trong đó:
+ n(1) cách thực hiện theo phương án A(1)
+ n(2) cách thực hiện theo phương án
Cho
A(2),…
nhiều
+ n(k) cách thực hiện theo phương án A(k)
phương
( 𝑛(1) ≠ 𝑛(2) … 𝑛(𝑘))
án
 Cách thực hiện công việc V
𝒏(𝟏) + 𝒏(𝟐) + ⋯ + 𝒏(𝒌).

Một công việc V được thực hiện qua k
cơng đoạn liên tiếp nhau A(1),
A(2),…,A(k).
Trong đó:
+ n(1) cách thực hiện công đoạn A(1),
với mỗi cách thực hiện cơng đoạn A(1)
có n(2) cách thực hiện cơng đoạn
A(2),…, với mỗi cách thực hiện cơng
đoạn A(k-1) có n(k) cách thực hiện công

đoạn A(k).
 Cách thực hiện công việc V
n(1).n(2)….n(k).

Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi đó
*𝐴∩𝐵 ≠∅
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩).
*𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩)

Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi
đó
Tập hợp 𝐴. 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵}
được gọi là tích Descartes (Đề-các) của
hai tập hợp A và B.

Dưới
dạng tập
hợp

𝒏(𝑨. 𝑩) = 𝒏(𝑨). 𝒏(𝑩).


2.2. Phân biệt quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Nội
Dung

Dấu
hiệu
nhận

biết

VD
minh
họa

Quy tắc nhân

Quy tắc cộng
Một cơng việc được hồn thành bởi 1 bước
trong k bước

Một công việc phải trải qua k bước
khác nhau để hoàn thành

Nếu bỏ qua một giai đoạn nào đó thì vẫn hồn
thành cơng việc

Nếu bỏ qua một giai đoạn nào đó thì
khơng hồn thành cơng việc

Áp dụng khi cơng việc có nhiều phương án
Áp dụng khi cơng việc có nhiều cơng
giải quyết, trường hợp,...
đoạn, giai đoạn, trình tự,...
Áp dụng cho bài toán vừa cần chia trường hợp vừa cần lựa chọn theo bước.
Để trở thành tỷ phú, có 2 trường hợp:
Đề biến cơ gái thành người u có 2
bước:
TH1: đi học

TH2: bỏ học
Cách 1: học đại học
Cách 1: khởi nghiệp
Bước 1: nắm tay
Bước 2: hôn
Cách 2: Học cao đẳng Cách 2: yêu người giàu Cách 1:nắm tay trái Cách 1: hôn chân
Cách 3: Học nghề
Cách 2:nắm tay phải Cách 2: hơn má
Tóm lại có 3+2 cách để trở thành tỷ phú
Cách 3: nắm 2 tay Cách 3: hơn mơi
Cách 4: hơn tay
Tóm lại có 3.4=12 cách để tán đổ 1 cô
gái
II.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP, CHỈNH HỢP, HOÁN VỊ
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
Giúp học sinh
+ Nắm rõ các khái niệm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Biết cách phát biểu bằng
lời và bằng cơng thức Tốn học các khái niệm.
+ Biết phân biệt Hoán vị, Tổ hợp, Chỉnh hợp
+ Biết cách bấm máy tính cơng thức Hốn vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp cơ bản
2. NỘI DUNG
2.1. Lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Hoán Vị

Chỉnh hợp

Tổ hợp

Giai thừa:


Chỉnh hợp (không lặp)

Tổ hợp ( không lặp)

𝑛!
= 1.2.3. . . 𝑛 = (𝑛 − 1)! 𝑛.
𝑛!
𝑝!
= (𝑝 + 1)(𝑝 + 2) … . 𝑛

Cho tập hợp A gồm n phần
tử (n ≥ 1).

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥
1).

Kết quả của việc lấy k
phần tử khác nhau từ n
phần tử của tập hợp A và

Kết quả của việc k(1 ≤ k ≤ n)
phần tử của A được gọi là một


𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
= (𝑛 − 𝑝 + 1)(𝑛 − 𝑝 + 2) … 𝑛
(𝑣ớ𝑖 𝑛 > 𝑝)
𝑄𝑢𝑦 ướ𝑐: 0! = 1


sắp xếp chúng theo một
thứ tự nào đó được gọi là
một chỉnh hợp chập k
của n phần tử của A.

𝑨𝒌𝒏
= 𝒏(𝒏 − 𝟏) … (𝒏 − 𝒌
Hốn vị (khơng lặp)
− 𝟏)
𝒏!
Một tập hợp gồm n phần tử (n≥1). =
(𝒏 − 𝒌)!
Mỗi cách sắp xếp n phần tử này
theo một thứ tự nào đó được gọi Khi 𝑘 = 𝑛
là một hoán vị của n phần tử.
𝑨𝒌𝒏 = 𝑷𝒏 = 𝒏!
Số hoán vị của n phần tử là
𝑷𝒏 = 𝒏!
Hoán vị (lặp)

Chỉnh hợp (lặp)
Cho tập A gồm n phần tử.
Cho k phần tử khác
Một dãy gồm k phần tử của
nhau 𝑎1 , 𝑎2 , … 𝑎𝑘 .
A, trong đó các phần tử có
Mỗi cách sắp xếp n phần tử
thể lặp lại nhiều lần, được
trong đó:

sắp xếp theo một thứ tự
+ n1 phần tử 𝑎1
nhất định gọi là một chỉnh
+ n2 phần tử 𝑎2 …
hợp lặp chập k của n
+ nk phần tử 𝑎𝑘
phần tử của A.
(𝑛1 + 𝑛2 + … + 𝑛𝑘 = 𝑛)
̅̅̅̅
𝑨𝒌𝒏 = 𝑭𝒌𝒏 = 𝒏𝒌
theo một thứ tự nào đó được gọi
là một hốn vị lặp cấp n và
kiểu (𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 , … 𝒏𝒌 ) của k phần
tử
𝑷𝒏 (𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 , … 𝒏𝒌 )
=

𝒏!
𝒏𝟏 ! 𝒏𝟐 ! … 𝒏𝒌 !

Hốn vị vịng quanh
Cho tập A gồm n phần tử. Một
cách sắp xếp n phần tử của tập A
thành một dãy kín gọi là một hốn
vị vịng quanh của n phần tử.
𝑸𝒏 = (𝒏 − 𝟏)!

tổ hợp chập k của n phần tử
của A
𝑪𝒌𝒏

𝑨𝒌𝒏 !
𝒏!
=
=
𝒌!
𝒌! (𝒏 − 𝒌)!
Quy ước: 𝐶𝑛0 = 1
Tính chất
𝐶𝑛0 = 𝐶𝑛𝑛 = 1
𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘
𝑘−1
𝑘
= 𝐶𝑛−1
+ 𝐶𝑛−1

=

𝑛 − 𝑘 − 1 𝑘−1
𝐶𝑛
𝑘

Tổ hợp (lặp)
Cho tập A và số tự nhiên k bất kì.
Một tổ hợp lặp chập k của n phần
tử là một hợp gồm k phần tử,
trong đó mỗi phần tử là một
trong n phần tử của A.
̅̅̅̅
𝑪𝒌𝒏 = 𝑪𝒌𝒏−𝒌−𝟏 = 𝑪𝒎−𝟏
𝒏−𝒌−𝟏



2.2. Phân biệt tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị
Nội dung

Hoán vị( không lặp)

Chỉnh hợp(không lặp)

Tổ hợp(không lặp)

𝑷𝒏 = 𝒏!

𝑨𝒌𝒏

𝑪𝒌𝒏

Công thức

Bản chất

Ví dụ
minh họa

=
+ Khi bài tốn có n phần
tử và sử dụng tất cả n
phần tử đó có mặt trong
phép tốn ,sao cho có sự
phân biệt giữa n phần tử

này

𝒏!
= 𝒌! 𝑪𝒌𝒏
(𝒏 − 𝒌)!

+Khi bài tốn có n phần tử
trong đó trích ra k phần tử
để sử dụng trong đó có sự
phân biệt giữa các phần tử
trong k phần tử đó

=

𝒏!
𝒌! (𝒏 − 𝒌)!

+Khi bài tốn có n phần tử
trong đó trích ra k phần
tử để sử dụng trong đó
chỉ quan tâm đến số lượng
mà không quan tâm đến
sự phân biệt giữa các
phần tử

Có bao nhiêu cách sắp Có bao nhiêu cách chọn 3 Có bao nhiêu cách chọn 3
xếp 4 học sinh vào 4 chiếc học sinh từ 4 học sinh xếp học sinh từ 4 học sinh đi
ghế theo hàng ngang
hạng nhất, nhì, ba.
qt lớp

Có bao nhiêu tập hợp gồm Có bao nhiêu số gồm 3 chữ Có bao nhiêu tập hợp số
4 chữ số khác nhau được số khác nhau được lập từ 4 gồm 3 chữ số khác nhau
lập từ 4 chữ số 1,2,3,4
chữ số 1,2,3,4
được lập từ 4 chữ số
1,2,3,4
2.3. Cách bấm máy tính Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hốn vị cơ bản

NỘI DUNG

CƠNG THỨC BẤM

HỐN VỊ

n!= ON =>Nhậm số n => SHIFT => x! => =

TỔ HỢP

𝑪𝒌𝒏 = ON => Nhậm số n => SHIFT => nPr => Nhậm số k => =

CHỈNH HỢP

𝑨𝒌𝒏 = ON => Nhậm số n => SHIFT => nCr => Nhậm số k => =

MŨ

𝒏𝒌 = ON => Nhậm số n => 𝒙 => =

III.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT NHỊ THỨC NIU- TƠN
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT

Giúp học sinh:
+ Nắm vững công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn. Số hạng tổng quát
+ Giới thiệu một số công thức cơ bản liên quan tới nhị thức Niu-tơn
+ Nắm được hệ số của khai triển nhị thức Niu- Tơn thông qua tam giác Pascal
+ Hướng dẫn cách bấm máy tính 1 số bài tốn liên quan tới nhị thức Niu- Tơn


2. NỘI DUNG
2.1.Công thức nhị thức Niu-Tơn
Với a,b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n>=1:
𝒏−𝟏
(𝒂 + 𝒃)𝒏 = 𝑪𝟎𝒏 𝒂𝒏 + 𝑪𝟏𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒃 + ⋯ + 𝑪𝒏−𝟏
+ 𝑪𝒏𝒏 𝒃𝒏
𝒏 𝒂𝒃
𝒏

= ∑ 𝑪𝒌𝒏 𝒂𝒏−𝒌 𝒃𝒌
𝒌=𝟎

( có khi nào anh nhớ khơng, buồn khơng)
Quy ước: 𝑎0 = 1; 𝑎−𝑛 =

1
𝑎𝑛

(𝑎 ≠ 0, 𝑛 ∈ ℕ∗ )

Nhận xét:
+ Gồm n+1 số hạng
+ Số mũ a giảm từ n => 0 . Số mũ b tăng từ 0 => n

+ Tổng số mũ a và b trong mỗi số hạng bằng n
+ Các hệ số có tính đối xứng: 𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘
+ Số hạng tổng quát: 𝑻𝒌+𝟏 = 𝑪𝒌𝒏 𝒂𝒏−𝒌 𝒃𝒌
 Số hạng thứ nhất: 𝑇1 = 𝑇0+1 = 𝐶𝑛0 𝑎𝑛
 Số hạng thứ k: 𝑇𝑘 = 𝑇𝑘+1−1 = 𝐶𝑛𝑘−1 𝑎𝑛−𝑘+1 𝑏 𝑘−1
+ Nếu n chẵn => n+1 số hạng ( lẻ)
 Số hạng đứng chính giữa ứng với 𝑘 =

𝑛
2

+ Nếu n lẻ => n+1 số hạng ( chẵn)
 Có 2 số hạng đứng giữa là 𝑘 =

𝑛−1
2

𝑣à 𝑘 =

𝑛+1
2

2.2. Các công thức cơ bản liên quan tới nhị thức Niu- tơn
𝑁ế𝑢 𝑎 = 𝑏 = 1 => 𝐶𝑛0 + 𝐶𝑛1 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛
𝑁ế𝑢 𝑎 = 1; 𝑏 = −1 => 𝐶𝑛0 − 𝐶𝑛1 + ⋯ + (−1)n 𝐶𝑛𝑛 = 0
𝑁ế𝑢 = 1; 𝑏 = 𝑥 => (1 + 𝑥)𝑛 = 𝐶𝑛0 + 𝑥𝐶𝑛1 + x 2 𝐶𝑛2 … + x n 𝐶𝑛𝑛
𝑁ế𝑢 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 1 => (𝑥 + 1)𝑛 = 𝑥 𝑛 𝐶𝑛0 + 𝑥 𝑛−1 𝐶𝑛1 + x n−2 𝐶𝑛2 … + 𝐶𝑛𝑛
𝑁ế𝑢 𝑎 = 𝑥; 𝑏 = −1 => (𝑥 − 1)𝑛 = 𝐶𝑛0 − 𝑥𝐶𝑛1 + x 2 𝐶𝑛2 … + (−1)n x n 𝐶𝑛𝑛
𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘
𝑘+1

𝐶𝑛𝑘 + 𝐶𝑛𝑘+1 = 𝐶𝑛+1
(𝑛 ≥ 1)


𝑘𝑛!

𝑛(𝑛−1)!

𝑘−1
𝑘𝐶𝑛𝑘 = (𝑛−𝑘)!𝑘! = (𝑛−𝑘)!(𝑘−1)! = 𝑛𝐶𝑛−1
(*)

Từ công thức (*) ta mở rộng được công thức
𝑘+2
𝐶𝑛𝑘 + 2𝐶𝑛𝑘+1 + 𝐶𝑛𝑘+2 = 𝐶𝑛+2
𝑘+3
𝐶𝑛𝑘 + 3𝐶𝑛𝑘+1 + 3𝐶𝑛𝑘+2 + 𝐶𝑛𝑘+3 = 𝐶𝑛+3

1
𝑘𝑛!
𝑛(𝑛 − 1)!
1
𝑘+1
𝐶𝑛𝑘 =
=
=
𝐶𝑛+1
(𝑘
𝑘+1
(𝑘 + 1)(𝑛 − 𝑘)! 𝑘! (𝑛 + 1)(𝑛 − 𝑘)! + 1)! 𝑛 + 1

2

𝑛−1

2

𝑛−1

=

𝐶𝑛0

=

𝐶𝑛1

+

𝐶𝑛2

+

𝐶𝑛3

+

𝐶𝑛4 … +

𝑛
2[ ]

𝐶𝑛 2

+

𝐶𝑛5 … +

𝑛−1
2[
]+1
𝐶𝑛 2

2.3. Tam giác Pascal
Mơ hình tam giác Paccal

Các hệ số của khai triển: (𝑎 + 𝑏)0 ; (𝑎 + 𝑏)1 ; (𝑎 + 𝑏)2 ; … . ; (𝑎 + 𝑏)𝑛 có thể xếp
thành nột tam giác gọi là tam giác Pascal


Ứng dụng của tam giác Pascal trong khai triển (𝑥 − 𝑦)𝑛

2.4. Cách bấm máy tính nhị thức Niu-tơn
Ta dùng chứa năng Table để giải quyết một số dạng bài toán liên quan tới khai triển
Nhị thức Niu-Tơn
B1: Đưa bài toán về dạng chuẩn trong khai triển 𝐶𝑛𝑘 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 và xác định 𝑘, 𝑛, 𝑎, 𝑏
B2: Dùng MODE 7 và nhập:
f(X): phần chứa x
g(X): hệ số
(Với {

𝑥 = 10

)
𝑘=𝑋

B3: Nhập khoảng dò:
𝑆𝑡𝑎𝑟𝑡: 1
{ 𝐸𝑛𝑑: 𝑛
𝑆𝑡𝑒𝑝: 1
B4: dò và tìm kiếm kết quả
IV. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Phương án 1
Cơng việc

Có m cách

QUY TẮC CỘNG
Phương án 2

Có n cách

Có m+n cách
thực hiện cơng
việc


Cơng việc

Bước 2

Bước 1


QUY TẮC NHÂN
Có n cách

Có m cách

Có m.n cách thực hiện cơng việc

HỐN VỊ
Tập hợp có n
phần tử

Có 𝑷𝒏 = 𝒏! cách
xếp

Sắp xếp n phần tử

TỔ HỢP
Tập hợp có n
phần tử

𝒏!

Có 𝑪𝒌𝒏 = 𝒌!(𝒏−𝒌)!

Chọn ra k trong n phần tử

cách chọn

Tập hợp có n

phần tử

Sắp xếp k phần tử đã chọn

Chọn ra k trong n phần tử

CHỈNH HỢP
Có 𝐶𝑛𝑘 cách chọn

Có 𝑃𝑘 cách xếp

Có 𝑨𝒌𝒏 = 𝑪𝒌𝒏 . 𝑷𝒌 cách thực hiện công việc

NHỊ THỨC NIU-TƠN
𝒏

∗

∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ

𝒏

(𝒂 + 𝒃) = ∑ 𝑪𝒌𝒏 𝒂𝒏−𝒌 𝒃𝒌
𝒌=𝟎

Số hạng tổng quát:
𝑇𝑘+1 = 𝐶𝑛𝑘 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘


LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

I.HỆ THỐNG LÝ THUYẾT PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
+ Nắm vững các khái niệm
+ Biết cách biểu diễn các biến cố bằng lời và bằng tập hợp
+ Phân biệt được: 2 biến cố đối, 2 biến cố xung khắc
2.NỘI DUNG

Khái niệm
Phép thử ngẫu nhiên

Không gian mẫu

Nội dung

Ví dụ minh họa

Là thực hiện một hoạt động tác động
lên đối tượng theo quy tắc định
trước và ghi nhận kết quả xảy ra
( gieo, tung, lấy, rút,chọn, xếp,...)
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra
của một phép thử (Ω)
( dựa vào phép thử để xác định)
Là một tập con của không gian mẫu
(𝐴, 𝐵, 𝐶, . . . ⊂ Ω)

Gieo một đồng tiền đồng chất 2
lần

Biến cố

𝛀

 Ω = {SS, SN, NN, NS}
“ Mặt sấp chỉ xuất hiện ở lần
gieo thứ II”
 𝐴 = {𝑁𝑆}

A
( yêu cầu bài toán)

Biến cố thuận lợi

Biến cố tương đương

A “Mặt ngửa xuất hiện 2 lần
gieo liên tiếp
Biến cố A được gọi là thuận lợi cho
 𝐴 = {𝑁𝑁}
biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra
B “ Đồng tiền xuất hiện mặt
A => B
ngửa”
𝐵 = {𝑆𝑁, 𝑁𝑁, 𝑁𝑆}
A “ Đồng tiền xuất hiện mặt
ngửa”
Biến cố A và biến cố B có cùng kết  𝐴 = {𝑆𝑁, 𝑁𝑁, 𝑁𝑆}
quả xảy ra
B “ Đồng tiền không xuất hiện
mặt sắp ở 2 lần gieo liên tiếp ”
 𝐵 = {𝑆𝑁, 𝑁𝑁, 𝑁𝑆}

Là biến cố không bao giờ xảy ra khi “ Mặt sấp xuất hiện 4 lần”
thực hiện phép thử (𝐴 = ∅)
 𝐴=∅

Biến cố không thể
𝐴=∅


Biến cố chắc chắn

Là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực “Mặt sấp hoặc mặt ngửa xuất
hiện”
hiện phép thử (𝐴 = Ω)
 𝐴=Ω
𝑨=𝛀

2 Biến cố đối lập

𝐴∩𝐵 =∅
{
𝐴∪𝐵 =Ω
Biến cố đối của biến cố A là biến cố
B(𝐵 = 𝐴̅)
A

2 Biến cố xung khắc

Biến cố hợp

Biến cố giao


Biến cố hiệu

̅ =𝛀\𝑨
𝑨

𝐴∩𝐵 =∅
{
𝐴∪𝐵 ≠Ω
Biến cố xung khắc với biến cố A là
biến cố B

A: “Mặt sấp xuất hiện ở lần gieo
thứ I”
 𝐴 = {𝑆𝑆, 𝑆𝑁}
B: “Mặt ngửa xuất hiện ở lần
gieo thứ I”
 B = {NN, NS}
A: “Mặt sấp luôn xuất hiện ở 2
lần gieo”
 𝐴 = {𝑆𝑆}
B: “ Mặt ngửa luôn xuất hiện ở
2 lần”
 𝐵 = {𝑁𝑁}

Là biến cố xảy ra nếu ít nhất 1 trong A: “Mặt sấp xuất hiện ở lần gieo
thứ I”
2 hay nhiều biến cố xảy ra
 𝐴 = {𝑆𝑆, 𝑆𝑁}
(𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐷 ∪ … )

B: “Mặt sấp chỉ xuất hiện ở lần
gieo thứ II”
 𝐴 = {𝑁𝑆}
C:“Mặt sấp luôn xuất hiện”
 C = {SS, SN, NS}
Là biến cố xảy ra khi 2 hoặc nhiều A: “Mặt ngửa luôn xuất hiện”
 A = {SN, NN, NS}
biến cố đồng thời xảy ra
B: “Mặt sấp luôn xuất hiện”
(𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐷 ∩ … )
 B = {SS, SN, NS}
C: “Mặt sấp và mặt ngửa cùng
xuất hiện ở 2 lần gieo”
 C = {SN, NS}
Là biến cố xảy ra khi và chỉ khi biến Trường hợp đặc biệt:
cố này xảy ra và biến cố kia không Nếu 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Biến cố hiệu => Biến cố xung
xảy ra
khắc


Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc
lập, nếu sự xảy ra của một trong hai
biến cố không ảnh hưởng đến xác
suất xảy ra của biến cố kia

A: “ Các biến cố đồng tiền gieo
lần thứ nhất”

B: “ Các biến cố đồng tiền gieo
lần thứ hai”

II. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1.MỤC TIÊU CẦN ĐẠT
Giúp học sinh
+ Nắm được định nghĩa, công thức và tính chất xác suất của biến cố
+ Thấy được VD minh họa
+ Các dấu hiệu nhận biết khi nào sử dụng các công thức liên quan tới xác suất của
biến cố
2. NỘI DUNG
Định
nghĩa
Tính
chất
Cơng
thức

Xác suất của biến cố là con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện của
biến cố ( sự kiện) đó.
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 (∀𝐴)
𝑃(Ω) = 1
𝑃(𝜙) = 0
Nội dung

Gieo ngẫu nhiên một đồng
tiền cân đối và đồng chất 2
lần. Tính xác suất của biến
cố “ Mặt sấp xuất hiện 2
lần”

Giải
Gọi A là biến cố mặt sấp
xuất hiện 2 lần
𝑛 (𝐴 )
B3: Lập tỉ số
Ta có
𝑛 ( Ω)
𝐴 = {𝑆𝑆} => 𝑛(𝐴) = 1
Ω = {SS, SN, NN, NS} =>
𝑛(Ω) = 4.
Áp dụng công thức xác suất
ta có:
𝑛(𝐴) 1
𝑃(𝐴) =
=
𝑛(Ω) 4
*Đối với các sự kiện loại trừ nhau ( xung khắc) Một lá bài được rút từ một
Dấu hiệu: Xác suất của sự kiện A hoặc của sự bộ 52 cây, xác suất rút
kiện B sẽ được tính bằng:
được cây vua hoặc cây hậu
là bao nhiêu?
𝑷(𝑨 + 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)
Giải:
𝒏(𝑨)
𝒏(𝛀)
𝑛(𝐴): số kết quả thuận lợi cho biến cố A xảy ra
𝑛(Ω): Số kết quả có thể xảy ra của phép thử
Các bước thiết lập công thức:
B1: Xác định Ω => 𝑛(Ω)
B2: Xác định A => 𝑛(𝐴)

𝑷(𝑨) =

Xác
suất

X
Á
C

Cơng
thức
cộng
xác
suất

Ví dụ


S
U
Ấ
T

C
Ủ
A

B
I
Ế

N

C
Ố

( Quy tắc có thể mở rộng cho nhiều biến cố xung
khắc từng đôi một )
*Đối với các sự kiện không loại trừ nhau
Dấu hiệu: Xác suất xảy ra đồng thời của hai sự
kiện

Gọi A là biến cố rút được
một lá bài cây vua
Gọi B là biến cố rút được lá
bài cây hậu
Vì chỉ rút được 1 lần nên A,
B là 2 biến cố xung khắc.
Áp dụng quy tắc cộng ta
𝑷(𝑨 + 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨𝑩)
có:
(Quy tắc có thể mở rộng cho nhiều sự kiện khơng Xác suất rút được cây vua
hoặc cây hậu là:
loại trừ nhau)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
𝑷(𝑨 + 𝑩 + 𝑪)
4
4
2
= 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑪) − [𝑷(𝑨𝑩) + 𝑷(𝑩𝑪)
=

+
=
+𝑷(𝑪𝑨) + 𝑷(𝑨𝑩𝑪)]
52 52 13
Từ một hộp chứ 3 quả cầu
trắng, 2 quả cầu đen. Lấy
ngẫu nhiên đồng thời 2
quả. Hãy tính xác suất
A: “2 quả khác màu”
B: “ 2 quả cùng màu”
Giải:
Công
̅ ) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
𝑛(Ω) = 𝐶52 = 10
𝑷(𝑨
thức hệ
a)𝑛(𝐴) = 3.2 = 6
(∀𝑨)
quả
=>
𝑛(𝐴) 10 3
𝑃(𝐴) =
=
=
𝑛(Ω)
6
5
̅
b)Vì 𝐵 = 𝐴
=> 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴̅)

2
= 1 − 𝑃(𝐴) =
5
Một trường đại học cần tìm
*Đối với các sự kiện độc lập
Dấu hiệu: Xác suất xảy ra động thời của hai sự ra một giảng viên ( có bằng
kiện độc lập được tính theo tích hai sự kiện xảy cử nhân: kinh tế, quản trị
ra riêng lẻ
kinh doanh, nghiên cứu
sinh). Xác suất của mỗi
𝑷(𝑨. 𝑩) = 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩)
( Quy tắc có thể mở rộng cho nhiều sự kiện độc người như vậy lần lượt là
Cơng lập tồn phần )
1 1 1
, , . Tìm xác suất
thức
*Chú ý
20 25 40
nhân Nếu 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) ≠ 0
tìm được giảng viên như
xác
vậy
⟺ 𝐴̅, 𝐵 độc lập
suất
Giải
⟺ 𝐴, 𝐵̅ độc lập
Gọi P(A) là xác suất một
⟺ 𝐴̅, 𝐵̅ độc lập
*Đối với các sự kiện phụ thuộc (xác suất có điều người có bằng cử nhân
kinh tế

kiện)
Dấu hiệu: Xác suất xảy ra đồng thời của 2 sự Tương tự P(B), P(C) lần
kiện phụ thuộc lẫn nhau ( sự xuất hiện của sự kiện lượt là xác suất một người


này có thể ảnh hưởng tới sự xuất hiện của sự kiện có bằng cử nhân: quản trị
tiếp theo)
kinh doanh, nghiên cứu
sinh.
𝑷(𝑨. 𝑩) = 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩\𝑨) = 𝑷(𝑩). 𝑷(𝑨\𝑩)
Vì A, B, C là các biến cố
(Quy tắc có thể mở rộng cho nhiều sự kiện phụ độc lập với nhau. Áp dụng
cơng thức nhân ta có:
thuộc nhau)
𝑃(𝐴. 𝐵. 𝐶)
𝑷(𝑨. 𝑩. 𝑪) = 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩\𝑨)𝑷(𝑪\𝑨𝑩)
= 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)
=

1

1

1

. . =0,00005
20 25 40

III. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG XÁC SUẤT
𝑃(Ω) = 1

𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏
(∀𝐴)
𝑷(𝑨. 𝑩) = 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩)

𝑃(𝜙) = 0
Biến cố độc lập
Biến cố xung khắc

Tập hợp tất cả kết
quả của phép thử

PHÉP
THỬ

Thường có điều kiện
Tập con của Ω

𝑷(𝑨 + 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)

KHƠNG GIAN MẪU

XÁC SUẤT
CỦA BIẾN CỐ

Bài tốn đếm

𝑃(𝐴) =

𝑛(Ω)
𝑛(𝐴)

( 𝑡𝑟ự𝑐 𝑡𝑖ế𝑝)
𝑛(Ω)

𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) ( 𝑔𝑖á𝑛 𝑡𝑖ế𝑝)

BIẾN CỐ A

Bài toán đếm

𝑛(A)