MỤC LỤC
Vấn đề 1. QUI TẮC ĐẾM..........................................................................................3
I. LÝ THUYẾT................................................................................................................... 3
II. DẠNG BÀI TẬP............................................................................................................ 4
Dạng 1. Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số phương án.......................................................4
Dạng 2. Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số các hình thành từ tập A...................................5

Vấn đề 2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP.......................................................7
I. LÝ THUYẾT................................................................................................................... 7
II. DẠNG BÀI TẬP............................................................................................................ 8
Dạng 1. Thực hiện bài toán đếm theo hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp...............................................................8
Dạng 2. Rút gọn và tính các giá trị của biểu thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.............9
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp..............10
Dạng 4. Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và tổ
hợp...............................................................................................................................................................10

Vấn đề 3. NHỊ THỨC NIU-TƠN.............................................................................13
I. LÝ THUYẾT................................................................................................................. 13
II. DẠNG BÀI TẬP..........................................................................................................13
Dạng 1. Khai triển nhị thức Niu-tơn...........................................................................................................14
Dạng 2. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước................................................................14
Dạng 3. Tính tổng.......................................................................................................................................16
Dạng 4. Chứng minh...................................................................................................................................16
Dạng 5. Giải phương trình, bất phương trình.............................................................................................17

Vấn đề 4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ............................................17
I. LÝ THUYẾT................................................................................................................. 17
II. DẠNG BÀI TẬP..........................................................................................................18
Dạng 1. Mô tả khơng gian mẫu. Tìm số phần tử của khơng gian mẫu......................................................18
Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biến cố. Tính số phần tử của tập hợp này.......18
Dạng 3. Tính xác suất của một biến cố......................................................................................................19

Vấn đề 5. CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT.........................................................20
I. LÝ THUYẾT................................................................................................................. 20
II. DẠNG BÀI TẬP..........................................................................................................22
Dạng 1. Xác định xem các biến cố cho trước có xung khắc khơng ? Độc lập với nhau không ?.............22
Dạng 2. Mô tả biến cố theo các phép toán hoặc phiên dịch thành lời một biến cố cho trước..................22
Dạng 3. Tìm xác suất của một biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất của hai biến cố đối.........23


Dạng 4. Tìm xác suất của biến cố là hợp của các biến cố xung khắc........................................................23
Dạng 5. Tìm xác suất của biến cố là giao các biến cố độc lập..................................................................24

Vấn đề 6. [NC] BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC...................................................24
I. LÝ THUYẾT................................................................................................................. 24
II. DẠNG BÀI TẬP..........................................................................................................25
Dạng 1. Xác định tập giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc...................................................................25
Dạng 2. Lập bảng phân phối bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc......................................................25
Dạng 3. Cho bảng phân phối bố xác suất của biến ngẫu nhiên. Tính xác suất của 1 biến cố thỏa mãn
điều kiện cho trước......................................................................................................................................26
Dạng 4. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc.................................26


TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
Vấn đề 1. QUI TẮC ĐẾM
I. LÝ THUYẾT
Giả sử một cơng việc có thể tiến hành theo một trong k phương án
A
m
 Phương án 1 có thể làm bằng 1 cách.
A

m
 Phương án 2 có thể làm bằng 2 cách.
 …
A
m
 Phương án k có thể làm bằng k cách.

A1 , A2 ,..., Ak

. Nếu:

1.
Qui tắc
cộng

Khi đó, cả cơng việc có thể thực hiện theo

2.
Qui tắc
nhân

Giả sử một cơng việc có thể tiến hành theo k cơng đoạn
A
m
 Cơng đoạn 1 có thể làm bằng 1 cách.
A
m
 Cơng đoạn 2 có thể làm bằng 2 cách.
 …
A

m
 Cơng đoạn k có thể làm bằng k cách.

Khi đó, cả cơng việc có thể thực hiện theo
3.
Ngun
lý bù trừ

m1  m2  ...  mk

cách.

A1 , A2 ,..., Ak

. Nếu:

m1 �m2 �... �mk cách.

Đối tượng x cần đếm được chứa trong một đối tượng X gồm x và x đối lập nhau.
Nếu X có m cách chọn, x có n cách chọn.
 m  n  cách chọn.
Vậy x có
Về mặt thực hành, đề cho đếm những đối tượng thỏa a và b .
Ta cần làm:
Bài toán 1: Đếm những đối tượng thỏa a.
Bài toán 2: Đếm những đối tượng thỏa a, không thỏa b.


Do đó, kết quả bài tốn = kết quả bài toán 1 − kết quả bài toán 2


II. DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài toán đếm số phương án

Loại 1: Sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm
Phương pháp giải
Bước 1. Phân tích các
phương án thành k
nhóm độc lập với
H , H ,..., H k
nhau: 1 2
Bước 2. Nếu:
H
m
 1 có 1 cách chọn
khác nhau
H
m
 2 có 2 cách chọn
khác nhau
 ….
H
m
 k có k cách chọn
khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có
tất cả
m1  m2  ...  mk
phương án.

Bài tập minh họa

VÍ DỤ 1. Trong một cuộc thi
tìm hiểu về đất nước Việt
Nam, ban tổ chức công bố
danh sách các đề tài bao gồm:
3 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về
thiên nhiên, 10 đề tài về con
người và 6 đề tài về văn hóa.
Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu
cách chọn đề tài?
VÍ DỤ 2. Giả sử từ tỉnh A đến
tỉnh B có thể đi bằng các
phương tiện: ô tô, tàu hỏa
hoặc máy bay. Mỗi ngày có
10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu
hỏa và 3 chuyến máy bay.
Hỏi có bao nhiêu cách lựa
chọn chuyến đi từ tỉnh A đến
tỉnh B?

Giải
Mỗi thí sinh có các 4 phương án chọn đề tài:
 Chọn đề tài về lịch sử có 3 cách chọn.
 Chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách chọn.
 Chọn đề tài về con người có 10 cách chọn.
 Chọn đề tài về văn hóa có 6 cách chọn.
Theo quy tắc cộng, có 3 + 7 + 10 + 6 = 26
cách chọn đề tài.
Để đi từ A đến B có 3 phương án lựa chọn:
 Đi bằng ơ tơ có 10 cách chọn.
 Đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn.

 Đi bằng máy bay có 3 cách chọn.
Theo quy tắc cộng, có 10 + 5 + 3 = 18 cách
chọn.

Loại 2: Sử dụng quy tắc nhân trong bài tốn đếm
Phương pháp giải
Bước 1. Phân tích một
hành động H thành k công
việc nhỏ liên tiếp:
H1 , H 2 ,..., H k
Bước 2. Nếu:
H
m
 1 có 1 cách thực hiện
khác nhau
H
m
 2 có 2 cách thực
hiện khác nhau
…
H
m
 k có k cách thực
hiện khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có tất
m �m2 �... �mk
cả 1
cách.

Bài tập minh họa

VÍ DỤ 1.
An đến nhà Bình để cùng Bình
đến chơi nhà Cường.
Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con
đường đi, từ nhà Bình đến nhà
Cường có 6 con đường đi. Hỏi An
có bao nhiêu cách chọn đường đi
từ nhà mình đến nhà Cường?
VÍ DỤ 2.
Lớp 11A có 30 học sinh. Tập thể
lớp muốn bầu ra một lớp trưởng,
một lớp phó và một thủ quỹ.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một
ban cán sự lớp như trên, biết rằng
một bạn chỉ có thế làm tối đa một
vai trị?

Giải
Để đi từ nhà An đến nhà Cường cần
thực hiện 2 giai đoạn:
 Đi từ nhà An đến nhà Bình có 4
cách.
 Đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6
cách.
Theo quy tắc nhân, có 4.6=24 cách
chọn đường đi.
Để bầu ra một ban cán sự lớp cần thực
hiện 3 giai đoạn:
 Bầu lớp trưởng có 30 cách
 Bầu phó có 29 cách

 Bầu thủ quỹ có 28 cách
Theo quy tắc nhân, có
30.29.28=24360 cách chọn


Loại 3: Sử dụng nguyên tắc bù trừ
Phương pháp giải
Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường
hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
 Đếm số phương án thực hiện hành động H
(không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T
hay khơng) ta được a phương án.
 Đếm số phương án thực hiện hành động H
khơng thỏa tính chất T ta được b phương án.
=>Khi đó số phương án thỏa u cầu bài tốn là:
a b .

Bài tập minh họa
Trong một hộp có
6 bi đỏ, 5 bi trắng
và 4 bi vàng.
Có bao nhiêu
cách lấy 3 viên bi
từ hộp này sao
cho chúng không
đủ ba màu?

Giải
Số cách lấy 3 bi bất kỳ từ 15
3

bi là C15  455
Số cách lấy 3 bi từ 15 bi mà
đủ ba màu là 6.5.4  120.
 Theo quy tắc bù trừ, số
cách lấy 3 viên bi không
đủ ba màu là
455  120  335

Dạng 2. Sử dụng các qui tắc để thực hiện bài tốn đếm số các hình thành từ tập A

Loại 1: Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số
gồm k chữ số hình thành từ tập A
Phương pháp giải
Bước 1. Số cần tìm có
dạng: a1a2 ...ak , với

ai �A, i  1...k , a1 �0.
Bước 2. Đếm số cách
a,
chọn i (không nhất
thiết phải theo thứ tự)
m
giả sử có i cách.
Bước 3. Khi đó, ta có tất
m �m2 �... �mk số.
cả 1

Bài tập minh họa
Cho tập hợp A = {0; 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Có bao nhiêu số tự
nhiên gồm năm chữ số
được lấy từ tập A, sao
cho các chữ số này:
a) Tùy ý

Giải
Gọi abcde là số cần tìm.
a có 9 cách chọn.
b có 10 cách chọn.
c có 10 cách chọn.
d có 10 cách chọn.
e có 10 cách chọn.
 Vậy có 9.10.10.10.10  90000 số thỏa yêu cầu.

b) Khác nhau từng đơi
một

Gọi abcde là số cần tìm.
a có 9 cách chọn.
b có 9 cách chọn.
c có 8 cách chọn.
d có 7 cách chọn.
e có 6 cách chọn.
 Vậy có 9.9.8.7.6  27216 số thỏa mãn yêu cầu.

c) Khác nhau từng đôi
một và năm chữ số
này tạo thành một
số lẻ.


Gọi abcde là số cần tìm.
e có 5 cách chọn.
a có 8 cách chọn.
b có 8 cách chọn.
c có 7 cách chọn.
d có 6 cách chọn.
 Vậy có 5.8.8.7.6  13440 số thỏa mãn yêu cầu.

Loại 2: Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để thực hiện bài toán
đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A
Phương pháp giải
Bước 1. Chia các số cần đếm thành các

Bài tập minh họa
Cho tập hợp
A = {0; 1; 2; 3; 4;

Giải
Gọi abcde là số cần tìm. Có 2 TH:


H , H ,..., H k
tập con 1 2
độc lập với nhau
Bước 2. . Sử dụng qui tắc nhân để đếm
H , H ,.....
số phần tử của các tập 1 2
giả sử
k , k ,...

bằng 1 2
k  k  ...
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả 1 2
số.
Lưu ý: Dấu hiệu chia hết:
Gọi N  an an 1...a1a0 là số tự nhiên có

5; 6; 7; 8; 9}.
Có bao nhiêu số tự
nhiên gồm năm
chữ số được lấy từ
tập A, sao cho các
chữ số này:
a) Khác nhau từng
đôi một và năm
chữ số này tạo
thành một số
chia hết cho 5.

n  1 chữ số  an �0  . Khi đó:
 N M2 � a0 M2 � a0 � 0;2; 4;6;8

 N M5 � a0 M5 � a0 � 0;5

 N M4  hay 25 � a1a0 M4  hay 25 
 N M8  hay 125  � a2 a1a0 M8  hay 125 

 N M3  hay 9  � a0  a1  ...  an M3  hay 9 

b)Khác nhau từng

đôi một và năm
chữ số này tạo
thành một số
chia hết cho 2

*TH1:
e = 0 có 1 cách chọn.
a có 9 cách chọn.
b có 8 cách chọn.
c có 7 cách chọn.
d có 6 cách chọn.
Š Vậy có 9.8.7.6.1 = 3024 số trong
TH này.
*TH2:
e = 5 có 1 cách chọn.
a có 8 cách chọn.
b có 8 cách chọn.
c có 7 cách chọn.
d có 6 cách chọn.
Š Vậy có 8.8.7.6.1 = 2688 số trong
TH này.
 Vậy có tất cả:
3024 + 2688 = 5712 số thỏa mãn
Gọi abcde là số cần tìm. Có 2 TH:
*Trường hợp 1:
e = 0 có 1 cách chọn.
a có 9 cách chọn.
b có 8 cách chọn.
c có 7 cách chọn.
d có 6 cách chọn.

Vậy có 9.8.7.6.1 = 3024 số trong TH
này.
*Trường hợp 2:
e ∈ {2; 4; 6; 8} có 4 cách chọn.
a có 8 cách chọn.
b có 8 cách chọn.
c có 7 cách chọn.
d có 6 cách chọn.
Vậy có 8.8.7.6.4 = 10752 số trong
TH này.

Vậy có tất cả
3024+10752 =13776 số thỏa mãn

Loại 3: Sử dụng nguyên tắc bù trừ
Phương pháp giải
Trong trường hợp hành động H
chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm
phần bù của bài toán như sau:
 Đếm số phương án thực hiện
hành động H (khơng cần quan
tâm đến có thỏa tính chất T hay
khơng) ta được a phương án.

Bài tập minh
họa
Có bao nhiêu số
tự nhiên gồm năm
chữ số khác nhau
mà không bắt đầu

bởi 12?

Giải
Gọi abcde là số cần lập.
* Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau, ta thực hiện các bước lần lượt:
Chọn a có 9 cách.
Chọn b có 9 cách.
Chọn c có 8 cách.
Chọn d có 7 cách.


 Đếm số phương án thực hiện
hành động H không thỏa tính
chất T ta được b phương án.
 Khi đó số phương án thỏa
yêu cầu bài toán là: a  b .

Chọn e có 6 cách.
Do đó có 9.9.8.7.6 = 27216 số có năm
chữ số khác nhau.
* Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau bắt đầu bằng 12, ta thực hiện
các bước lần lượt:
Chọn ab có 1 cách.
Chọn c có 8 cách.
Chọn d có 7 cách.
Chọn e có 6 cách.
Do đó có 1.8.7.6 = 336 số có năm chữ số
khác nhau.

 Theo quy tắc bù trừ, có
27216−336 = 26880 số có năm chữ số
khác nhau khơng bắt đầu bởi 12.

Vấn đề 2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
I. LÝ THUYẾT
1.
Hoán
vị

 n �1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của
Cho tập hợp A gồm n phần tử
tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử. Kí hiệu :
P n  n!  1.2.3.... n  1 n

Pn .

n.  n  1 .  n  2  ...3.2.1  n !; 0!  1
Chú ý :
*Bấm máy tính cầm tay:
VD: 3!  6
=>3
2.
Chỉnh
hợp

 n �1 . Kết quả của việc lấy k  1 �k �n  phần tử khác nhau
Cho tập A gồm n phần tử
từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Kí hiệu :


k

An

An  n  n  1 ...  n  k  1
k

Nhận xét:
n



Khi k  n thì
0
n

n!

n!

An  0!  1  n!  P n

1
 Qui ước: A
thì
*Bấm máy tính cầm tay:
VD:

n!

k
An   n  k  !  0 �k �n 


3. Tổ
hợp

 n �1 .
Giả sử tập A có n phần tử
k  1 �k �n 
Mỗi tập con gồm
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần
k

tử đã cho. Kí hiệu

Cn .
n  n  1 ...  n  k  1
 An 
k

C

k
n

n!

n!


Nhận xét:
n




n!

C n  n!0!  1
Khi k  n thì

C

Qui ước:

0
n

1

thì

n!
k
C n  k ! n  k  !  0 �k �n 

k
n:

Tính chất của C

k
n k
Cn
C
n


với

 0 �k �n 

k 1



 0 �k �n 
 C n C n 1 C n1 với
*Bấm máy tính cầm tay:
VD:
k

k

II. DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Thực hiện bài toán đếm theo hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

Loại 1: Thực hiện bài toán đếm theo hoán vị
Phương pháp giải
Để nhận dạng một bài
tốn đếm có sử dụng

hốn vị của n phần tử,
chúng ta thường dựa
trên các dấu hiệu sau:
 Tất cả n phần tử đều
có mặt
 Mỗi phần tử chỉ xuất
hiện một lần.
 Có phân biệt thứ tự
giữa các phần tử.

Bài tập minh họa
Giải
VÍ DỤ 1. Giả sử muốn xếp 3 bạn
Mỗi cách xếp chỗ cho 3 bạn trên được
A, B, C ngồi vào bàn dài có 3 ghế. gọi là một hốn vị vị trí của 3 bạn.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao
Như vậy ta có số cách xếp chỗ là
cho mỗi bạn ngồi một ghế?
P3  3!  6
cách.
VÍ DỤ 2. Có 5 quyển sách Tốn, 4 a) Số cách xếp các quyển sách tùy ý là
quyển sách Lý và 3 quyển sách
một hoán vị của 12 phần tử, nên ta có
Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
P12
cách xếp.
số sách đó lên một kệ dài trong
b) Vì các quyển sách cùng môn được
mỗi trường hợp sau:
xếp cạnh nhau nên ta coi các môn là

a. Các quyển sách được xếp tùy ý?
P
b. Các quyển sách cùng môn
một phần tử, như vậy ta có 3 cách
được xếp cạnh nhau?
xếp. Ngồi ra trong từng mơn, ta cũng
có hốn vị của từng cuốn sách, do đó ta
P .P .P
có 5 4 3 cách xếp.
P .P .P .P
Vậy ta có 5 4 3 3 cách xếp sách
thỏa mãn yêu cầu đề bài.


Loại 2: Thực hiện bài toán đếm theo chỉnh hợp
Phương pháp giải
Để nhận dạng một bài
tốn đếm có sử dụng
chỉnh hợp chập k của
n phần tử, chúng ta
thường dựa trên các
dấu hiệu sau:
 Phải chọn k phần tử
từ n phần tử cho
trước.
 Có phân biệt thứ tự
giữa k phần tử được
chọn.

Bài tập minh họa

VÍ DỤ 1. Giả sử muốn chọn 3
bạn trong 5 bạn A, B, C, D, E và
sắp 3 bạn này vào một bàn dài.
Hỏi có bao nhiêu cách?
VÍ DỤ 2. Cho tập
X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể
lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm bốn chữ số, sao cho:
a) Đôi một khác nhau?
b) Số tự nhiên lẻ và đôi một
khác nhau?

Giải
Mỗi cách xếp 3 bạn trong 5 bạn vào một bàn
dài là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử,
3
nên ta có A5 cách.
a) Mỗi cách chọn 4 số khác nhau từ 7 số là
một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.
4
Do đó ta có A7 số được tạo thành.
b) Để số cần lập là số tự nhiên lẻ thì chữ số
tận cùng là số lẻ, khi đó ta có 4 cách chọn
chữ số tận cùng.
Mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại là một chỉnh
3
hợp chập 3 của 6 phần tử nên ta có A6 cách.
3
Vậy có 4.A6 số được tạo thành.


Loại 3: Thực hiện bài toán đếm theo tổ hợp
Phương pháp giải
Để nhận dạng một
bài tốn đếm có sử
dụng tổ hợp chập k
của n phần tử,
chúng ta thường dựa
trên các dấu hiệu
sau:
 Phải chọn k phần
tử từ n phần tử
cho trước.
 Không phân biệt
thứ tự giữa k phần
tử được chọn.

Bài tập minh họa
VÍ DỤ 1. Có bao nhiêu cách lập một ban
chấp hành gồm 3 người trong một chi
đoàn có 14 đồn viên?

Giải
Mỗi cách lập một ban chấp hành gồm
3 người là một tổ hợp chập 3 của 14
C3
nên ta có 14 cách.
VÍ DỤ 2. Một lớp học có 30 học sinh, cần Mỗi cách lập ra tổ công tác là một tổ
5
lập ra một tổ công tác gồm 5 học sinh.
C30

hợp
chập
5
của
30
nên
ta
có
cách.
Hỏi có bao nhiêu cách?
VÍ DỤ 3. Trong không gian, cho tập hợp
a)Để tạo thành đường thẳng, ta chọn 2
X gồm 10 điểm, trong đó khơng có 3
điểm trong 10 điểm nên số đường
2
điểm nào thẳng hàng. Hỏi:
thẳng được tạo thành là C10 .
a)Có bao nhiêu đường thẳng được tạo
b) Để tạo thành tam giác, ta chọn 3
thành?
điểm trong 10 điểm nên số tam giác
b)Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
3
được tạo thành là C10 .

Dạng 2. Rút gọn và tính các giá trị của biểu thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và
tổ hợp
Phương pháp giải

Bài tập minh họa


Giải


Để thực hiên việc rút gọn các
biểu thức chứa hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp chúng ta thường
sử dụng công thức phân tích,
ngồi ra trong nhiều trường
hợp cần vận dụng kỹ năng đơn
giản dần.
• Sử dụng thành thạo các cơng
k

VÍ DỤ 1. Thu gọn biểu
7!4! �8!
9! �
D
� 
�
thức
10! �3!5! 2!7! �
7!4! �8!
9! �
D
4! �6.7.8 8.9 �
� 
�

10! �3!5! 2!7! � 

�
�
8.9.10 � 3!
2! �
4.6.7 3.4 28 6 2



 
9.10 10 15 5 3

k

VÍ DỤ 2. Thu gọn biểu
thức P n, An, C n .
thức
• Nắm được các tính chất của
n ! chẳng hạn:
n !   n  1 !n   n  2  ! n  1 n
 ...   n  k  ! n  k  1 ...n

VÍ DỤ 3: Rút gọn và
tính giá trị của biểu
thức:

Ta có:

Khi đó:

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp và

tổ hợp
Phương pháp
giải
Sử dụng các tính
k
,
chất của số C n
đó là:
k
n k
C n  C n với
0 �k �n
k

k

Bài tập minh họa
VÍ DỤ 1:
Chứng minh rằng: Với các số
nguyên k , n khơng âm, 1 �k �n ,
ta có:

Giải
Ta có:

k 1

C n  C n1  C n1

với 0 �k �n

Ta thường sử dụng
VÍ DỤ 2: Chứng minh rằng:
một trong các
2!  2n 1  n  �, n 3 
cách sau:
• Cách 1. Sử dụng
các phép biến đổi.
• Cách 2. Sử dụng
các đánh giá về
bất đẳng thức.
• Cách 3. Sử dụng
phương pháp

Cách 1: Sử dụng PP đánh giá
Ta có nhận xét

Suy ra
Cách 2: Sử dụng phương pháp chứng


chứng minh qui
nạp
• Cách 4. Sử dụng
phương pháp đếm.

minh qui nạp
Với n=3 ta có:
3!  2n1 � 6  4 (ln đúng)
G/s BĐT đúng với n=k, tức là ta có:
k !  2k 1 ,  k  �, k 3

Ta đi chứng minh BĐT đúng với n=k+1,
tức là:
 k  1 !  2k ,  k  �, k 3
Thật vậy:
k �3

 k  1 !   k  1 k !   k  1 .2k 1  2.2k 1  2k
(đpcm)
Dạng 4. Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa các tốn tử hoán vị,
chỉnh hợp và tổ hợp

Loại 1: Giải phương trình
Phương pháp giải
Bài tập minh họa
Bước 1. Tìm điều kiện. Ta có các điều VÍ DỤ 1: Giải pt
kiện thường gặp sau:
 n  1 !  72
 n  1 !

Giải
Điều kiện: n �1, n ��.
 n  1 !  72 � n  1 n  72


 n  1 !
n  8 (n)
�
� n 2  n  72  0 � �
n  9 (l )
�


VÍ DỤ 2: Giải pt
P2 .x 2  P3 .x  8

P2 .x 2  P3 .x  8 � 2!.x 2  3!.x  8
x  1
�
� 2 x2  6x  8  0 � �
x4
�

VÍ DỤ 3: Tìm
nghiệm của pt
Bước 2. Thu gọn dựa vào những cơng
thức trên và đưa về phương trình đại
số. Giải phương trình đại số này tìm
được biến.
Bước 3. So với điều kiện để nhận
VÍ DỤ 4: Giải pt
những giá trị cần tìm.
C23n  20Cn2

C23n  20Cn2 �

 2n  !

3! 2n  3 !

 20.


n!
2! n  2  !

2n  2n  1  2n  2  20n  n  1

6
2
�  2n  1  2n  2   30  n  1
3
n�
2)
(vì
n  8 (n)
�
� 2n 2  36n  32  0 � �
n  1 (l )
�
�


VÍ DỤ 5: Giải pt

Loại 2: Giải bất phương trình
Phương pháp
giải
 Điều kiện để
phương trình
xác định.
 Biến đổi từng
phương trình

một rồi dùng
phương pháp
thế, cộng đại
số…

Bài tập minh họa

Giải

VÍ DỤ 1: Giải bpt

VÍ DỤ 2: Giải bpt

Loại 3: Giải hệ phương trình:
Phương pháp
Bài tập minh họa
giải
 Điều kiện để
VÍ DỤ 1: Giải hpt
phương trình xác
định.
 Biến đổi từng
phương trình một

Giải


rồi dùng phương
pháp thế, cộng
đại số…

 Phương pháp đặt
ẩn phụ.

VÍ DỤ 2: Giải hpt

Vấn đề 3. NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. LÝ THUYẾT
1.
Công
thức nhị
thức
Niu-tơn

n

 a  b  n  �Cnk a nk bk Cn0a n  Cn1a n1b  Cn2 a n2b 2  ...  Cnn1ab n1  Cnnb n
0



 a  b

k nk k
Số hạng tổng quát: Tk 1  Cn a b
n

n

  1 �Cnk a n k b k Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n2b 2  ...   1 Cnnb n
k


0

Tk 1   1 Cnk a n k b k
k

 Số hạng tổng quát:
Chú ý:
 Trong khai triển

 a �b  n

có n + 1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách
k
nk
đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau. Tức là Cn  Cn .

 Số hạng tổng quát là

Tk 1 : Cnk a n k bk

và số hạng thứ N thì k = N − 1.


 Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.
2.
Tam
giác
Pascal


II. DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Khai triển nhị thức Niu-tơn
Phương pháp giải

Bài tập
minh họa

Giải

a)  x  1  C40 .x 4  C41 .x3 .1

Sử dụng công thức:

4

VÍ DỤ 1.
Khai triển
0
các nhị
 Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2a n 2b 2  ...  Cnn1ab n1  Cnnb n  1 thức sau
n

� a  b   �Cnk a n k b k
n

 x 4  4 x3  6 x 2  4 x  1
6

� 1�
�1 �

b) �x  � C60 .x 6  C61 .x 5 . � �
� x�
�x �

n

� a  b    1 �Cnk a nk bk
n

 C42 .x 2 .12  C43 .x1.13  C4414

a )  x  1

0

4

2

6

 Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n 2b 2  ...   1 Cnnb n  2 
k

Chú ý: Đặc điểm của nhị thức Niu-tơn:
- Số mũ của a giảm dần từ n đến 0 , trong khi số
mũ của b ngược lại tăng từ 0 đến n
- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn
bằng n.


� 1�
b) �x  �
� x�

 1 thay b  b thì ta được cơng
- Trong cơng thức
 2 .
thức
- Số các số hạng là n  1
Dạng 2. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước

Loại 1: Tìm hệ số của số hạng
Chú ý:

3

�1 �
�1 �
 C62 .x 4 . � � C63 .x3 . � �
x
��
�x �
4

5

6

�1 �
�1 �

�1 �
 C64 .x 2 � � C65 .x. � � C66 .� �
�x �
�x �
�x �
5 6 1
 x6 6 x 4  15 x 2  20  2  4  6
x x x


- Phải phân biệt được yêu cầu đề hỏi là số hạng hay hệ số mà trả lời cho chính xác.
Phương pháp giải
Bước 1. Viết số hạng tổng quát.
Bước 2. Dùng công thức lũy thừa
rút gọn số hạng tổng quát.
Bước 3. Dựa vào đề bài, giải
phương trình hai số mũ bằng
nhau.
- Các công thức lũy thừa cần
nhớ:
am
a m .a n  a m n ; n  a m n ;
a

a 

m n

 a m.n ; m a n 


n
m
a ;

1
 an
n
a

Bài tập minh họa
VÍ DỤ 1: Tìm hệ số của
số hạng trong khai triển

 x  3

9

4
chứa x

Giải
Số hạng tổng quát của khai triển

Tk 1  C9k x9 k  3  C9k  3 x9k .
k

k

4


Số hạng x chứa ứng với:
9-k=4k=5
5
3 C95 .

Hệ số cần tìm là:

2
VÍ DỤ 2: Hệ số của x
trong khai triển
10
�2 2 �
�x  �
� x � là

Số hạng tổng quát của khai triển

2

Số hạng x chứa ứng với:
20-3k=2k=6
6 6
Hệ số cần tìm là: 2 C10  13440

Loại 2: Xác định số hạng
Phương pháp giải
B1: Sử dụng số hạng tổng quát
k n k k
của khai triển là Cn a b .
B2: Từ giả thiết tìm ra được giá

trị k. Số hạng thứ k 1 là :
Cnk a n  k b k
Số hạng đứng giữa: giả sử trong

 a  b  có L   n  1
khai triển
số hạng.
+ Nếu L là số lẻ thì có 1 số hạng
L 1
đứng giữa và số hạng thứ 2 .
n

Bài tập minh họa
VÍ DỤ 1: Tìm số hạng
thứ 6 trong khai triển

 x  2 y  13

VÍ DỤ 2:Tìm số hạng
đứng giữa trong khai

x
triển

3

 xy




21

Giải
Ta có số hạng tổng quát:

Tk 1  Cnk a n k b k  C13k x13k  2 y  .
Để có số hạng thứ 6 thì:
k 1  6 � k  5
Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là:
5 135 5
C13
a b  41184 x8 y 5
Khai triển mũ 21 ta có 22 số hạng.
Vì n=21 => số hạng đứng giữa là
T21; T22 .
Ta có số hạng tổng quát:
k

 

k
Tk 1  C21
x3

21 k

 xy  k  C21k x 632k  y  k

Vậy số hạng thứ 11, 12 là:



+ Nếu L là số chẵn thì có 2 số
L
hạng đứng giữa và số hạng thứ 2
L 1
và 2 .
- Số hạng không chứa x tức là số
0
hạng chứa x .

10 43 10
 Tk 1  T11 � k  10 � T11  C21
x y
11 41 11
 Tk 1  T12 � k  11 � T12  C21
x y

VÍ DỤ 3: Tìm số
hạng khơng chứa x
(độc lập với x) trong
khai triển của nhị thức

Số hạng tổng quát trong khai triển
là:

Để số hạng khơng chứa x thì
Vậy số hạng khơng chứa x là

Dạng 3. Tính tổng


Phương
pháp giải
Sử dụng
nhị thức
Niu-tơn,
kết hợp
với việc:
- Lựa
chọn giá
trị thực
phù hợp.
- Các
phép biến
đổi đại số.

Bài tập minh họa

Giải

VÍ DỤ 1: Cho n là số
nguyên dương. Khi đó tổng
S  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn là
VÍ DỤ 2: Cho
8
9
10
15
S  C15
 C15
 C15

 ...  C15
Tính S

Khai triển nhị thức:
Thay x=1 ta được:


Dạng 4. Chứng minh
Phương pháp giải
Sử dụng nhị thức
Niu-tơn, kết hợp với
việc:
- Lựa chọn giá trị
thực phù hợp.
- Các phép biến đổi
đại số.

Bài tập minh họa
VÍ DỤ 1: Chứng minh:

Giải
Xét nhị thức

Thay x=1 ta được:
Vậy:
VÍ DỤ 2: Chứng minh:

Ta có:
(ln đúng)


Dạng 5. Giải phương trình, bất phương trình
Phương pháp giải
Sử dụng nhị thức Niu-tơn, kết hợp với việc:
- Lựa chọn giá trị thực phù hợp.
- Các phép biến đổi đại số.
Chú ý:
� 1  x 
Khi x  1 , ta được:
n

 Cn0

 Cn1 x  Cn2 x 2

 ...  Cnn1 x n1

 Cnn x n

Cn1  2Cn2  ...  n.Cnn
 112641

Giải
Xét khai triển

Đạo hàm hai vế ta được:

Thay x 1 ở hai vế ta được:

Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 1  Cnn  2n


� 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...   1 Cnn x n
Khi x  1 , ta được:
n

Bài tập
minh họa
VÍ DỤ: Tìm n
thỏa:

n

Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 1   1 Cnn  0
n

Do đó
Xét hàm số
 0; � ta có:

trên

Do đó hàm số
đồng
 0; � ta có:
biến trên

Vấn đề 4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I. LÝ THUYẾT


1.

Không
gian xác
suất

a. Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
- Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau.
- Kết quả của nó khơng dự đốn trước được.
- Có thể xác định tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thứ đó.
b. Khơng gian mẫu: là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
Kí hiệu: Ω (ô-mê-ga)

Một biến cố A liên quan tới phép thử T được thử đó. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết


quả T thuộc tập A . Mỗi phần tử của A được gọi là một kết quả thuận lợi cho A .
- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố chắc chắn
mô tả bởi tập  và được kí hiệu là  .
- Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực hiện. Biến
cố không được mơ tả bởi tập � và được kí hiệu là �.
3. Xác a. Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu  là tập hữu
suất của hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu một biến cố liên quan tới phép thử T và
biến cố 
A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số. Kí hiệu: P  A 

n  A
P  A  A 

n  
và


n  A , 
n

Trong đó A hoặc
hoặc  lần lượt là số phần tử của tập A và 
Chú ý: Từ định nghĩa trên ta suy ra:
� 0 �P  A  �1
2.
Biến cố

� P    1

P  �  0
và
b. Định nghĩa thống kê của xác suất: Xét phép thử T và biến cố A liên quan tới phép
thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại n phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao
nhiêu lần.
• Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T .
• Tỉ số giữa tần số của A với N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép
thử T .
Khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó được
gọi là xác xuất của A theo nghĩa thông kê.

II. DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu. Tìm số phần tử của khơng gian mẫu
Phương pháp
giải
Mơ tả tập hợp
này bằng
phương pháp

liệt kê.
• Dựa vào định
nghĩa về khơng
gian mẫu.
• Nắm chắc các

Bài tập minh họa

Giải

VÍ DỤ 1. Phép thử “Gieo một con Không gian mẫu của phép thử là
súc sắc cân đối và đồng chất”.
   1; 2;3; 4;5;6
Tìm khơng gian mẫu của phép thử
� n    6
và số phần tử của KGM
Số phần tử của KGM
VÍ DỤ 2. Xét phép thử “Gieo hai
Không gian mẫu
đồng xu phân biệt”. Nếu ký hiệu S    NN ; SN ; NS ; SS 
là mặt sấp, N là mặt ngửa. Tìm
khơng gian mẫu của phép thử.


kiến thức về
hoán vị – chỉnh
hợp – tổ hợp để
áp dụng tính số
phần tử của
khơng gian mẫu


VÍ DỤ 3. Xét phép thử T “Gieo 3
đồng xu phân biệt”. Tính số phần
tử của khơng gian mẫu.

Mỗi đồng xu có hai khả năng xuất hiện mặt S hay
N ⇒ không gian mẫu của phép thử là:
   NNN ; NSN ; SNN ; SSN ; NNS ; NSS ; SNS ; SSS 
Do vậy số phần tử của không gian mẫu là
� n    8

VÍ DỤ 4:Một hộp chứa bốn cái
thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy
ngẫu nhiên hai thẻ :
Mô tả không gian mẫu

Phép thử T được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu
nhiên hai thẻ".
Đồng nhất mỗi thẻ với chữ số ghi trên thẻ đó, ta
có: Mỗi một kết quả có thể có các phép thử là một
tổ hợp chập 2 của 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Do đó, số
phần tử của không gian mẫu là C24 = 6, và không
gian mẫu gồm các phần tử sau:
Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}.

Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biến cố. Tính số phần tử của
tập hợp này
 Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy
thuộc vào kết quả của T.
 Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi của A.

 Biến cố A có ngồi cách cho bằng mơ tả, có thể cho A dưới dạng liệt kê tất cả các kết quả
thuận lợi của A
Phương pháp giải
Bài tập minh họa
Giải
• Nắm được khái
VÍ DỤ 1 . Xét phép thử T
Ta thấy rằng việc xảy ra hay không xảy ra sự
niệm về biến cố
“Gieo một con súc sắc cân
kiện A tùy thuộc vào kết quả của phép thử.
liên quan đến phép đối và đồng chất”. Gọi A là Sự kiện A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của
biến cố “Số chấm trên mặt
thử T .
phép thử là 2, hoặc 4, hoặc 6. Các kết quả này
xuất hiện là số chấm chẵn”. được gọi là các kết quả thuận lợi cho A .
• Sử dụng định
Liệt kê tất cả các kết quả
nghĩa một kết quả

Gọi A là tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi
thuận lợi của biến cố A.
thuận lợi cho biến
   2; 4;6 ,
cố A . Tập hợp tất
cho A , khi đó A
đó là một tập con
cả các kết quả
của  .
thuận lợi của A .

Mỗi biến cố A được đồng nhất với tập hợp tất
• Vận dụng kiến

cả các kết quả thuận lợi cho A là A . Do đó ta
thức về đại số tổ
có thể viết A = {2; 4; 6}.
hợp để tính số
VÍ
DỤ
2.
Một
hộp
chứa
bốn
Phép thử T được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu
phần tử của không
cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, nhiên hai thẻ".

gian mẫu A .
4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ :
Xác định các biến cố
A = {(1, 3), (2, 4)}.
A: "tổng các số trên hai
B = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
thẻ là số chẵn"
B : "Tích các số trên hai
thẻ là số chẵn"
Dạng 3. Tính xác suất của một biến cố
Phương pháp
giải


Bài tập minh họa

Giải


 Xác định
được  và
 A.
 Vận dụng
công thức

n  A
P  A  A 
 n  

VÍ DỤ 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc
sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất
của các biến cố 1
A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện”.
B: “Mặt xuất hiện có số chấm chia hết
cho 3”
C: “Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2”

A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện”. Số phần tử
� n    6
của không gian mẫu là
A   1;3;5 � n  A   3
Biến cố
n  A 1

P  A 

n   2
Xác suất của A là
B: “Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 3” .
B   6;3
Biến cố
� n  B  2
P  A 

n  B 1

n   3

P  A 

n C 2

n   3

Xác suất của B là
C: “Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2”
C   3; 4;5;6
Biến cố
� n C  4
Xác suất của C là
VÍ DỤ 2. Xét phép thử T: “Gieo đồng
thời hai con súc sắc cân đối và đồng
chất”. Tập các kết quả là tập hợp gồm tất
cả các cặp số cho bởi bảng sau


VÍ DỤ 3.Từ một hộp chứa 4 quả cầu
trắng, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu xanh.
Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp. Tính
xác suất để:
(1) Lấy được quả màu trắng.
(2) Lấy được quả cầu xanh.

Vấn đề 5. CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT
I. LÝ THUYẾT
1.

a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T . Biến cố “ A


Các
định
nghĩa

hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A �B được gọi là hợp của hai biến cố A và B .
Nếu gọi:
A
o
là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho A
B
o
là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho B thì tập các kết quả thuận lợi cho
A �B là  A � B
A , A ,..., Ak cùng liên quan đến một phép thử T .
Một cách tổng quát: Cho k biến cố 1 2

A , A ,..., Ak
A �A2 �... �Ak
Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố 1 2
xảy ra”, kí hiệu là 1
,
được gọi là hợp của k biến cố đó

b. Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T . Hai
biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
�  A � B  �.
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc

c. Biến cố đối: Cho biến cố A , khi đó biến cố “khơng xảy ra A ”, kí hiệu là A được gọi
là biến cố đối của A .
Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, ngược lại không đúng .
P A  1  P  A
Định lí:

 


d. Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T . Biến cố “cả
A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB , được gọi là giao của hai biến cố A và B .
Nếu gọi:
A
là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho A
 B là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho B thì tập các kết quả thuận lợi cho AB là
 A � B

A , A ,..., Ak cùng liên quan đến một phép thử T . Biến

Một cách tổng quát: Cho k biến cố 1 2
A , A ,..., Ak
A A ... A
cố “tất cả k biến cố 1 2
xảy ra”, kí hiệu là 1 2 k , được gọi là giao của k biến
cố đó.

e. Biến cố độc lập: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T . Hai biến
cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này
không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia.
Một cách tổng quát:
A , A ,..., Ak
Cho k biến cố 1 2
cùng liên quan đến một phép thử T .
k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến
cố không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố còn lại.
Nhận xét: Nếu A , B độc lập với nhau thì A và B , A và B , A và B cũng độc lập với
nhau.
2.
Hai qui
tắc tính
xác suất

a. Qui tắc cộng xác suất:
- Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
P  A �B   P  A   P  B 

A , A ,..., Ak
- Cho k biến cố 1 2
đôi một xung khắc với nhau thì xác suất để ít nhất một trong

A , A ,..., Ak xảy ra là: P  A1 �A2 �... �Ak   P  A1   P  A2   ...  P  Ak  .
các biến cố 1 2
b. Qui tắc nhân xác suất:
- Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì xác suất để A và B xảy ra là:
P  AB   P  A .P  B 


A , A ,..., Ak
- Cho k biến cố 1 2
độc lập với nhau thì xác suất để ít nhất một trong các biến cố
P  A1 A2 ... Ak   P  A1  .P  A2  ...P  Ak 
A1 , A2 ,..., Ak
xảy ra là:
.
II. DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định xem các biến cố cho trước có xung khắc khơng ? Độc lập với nhau
khơng ?
Phương pháp giải
• Sử dụng định nghĩa về 2 biến cố
xung khắc, các biến cố độc lập.
• A, B xung khắc, ta có:
P  A.B   0

P  A  .P  B  �P  A.B 
• Nếu
thì
A, B khơng độc lập.

Bài tập minh họa
Cho hai biến cố A và B với

P  A   0,3 ; P  B   0, 4
P  AB   0, 2
và
Hỏi 2 biến cố A và B có:
a) Xung khắc khơng ?
b) Độc lập khơng ?

Giải
P  AB   0, 2 �0

a)Vì
nên hai
biến cố A, B khơng xung khắc.
b) Vì
P  AB   0, 2 �0,12  P  A  P  B 
nên hai biến cố A và B không độc
lập với nhau.

Dạng 2. Mơ tả biến cố theo các phép tốn hoặc phiên dịch thành lời một biến cố cho
trước
Phương pháp giải
• Sử dụng định
nghĩa về biến cố
hợp, biến cố giao.
• Sử dụng định
nghĩa về biến cố
xung khắc, biến cố
đối

Bài tập minh họa

Có 3 xạ thủ, mỗi người độc lập bắn
một viên đạn vào mục tiêu.
A
Gọi i là biến cố xạ thủ thứ i bắn
trúng mục tiêu.
a/ Hãy mô tả các biến cố sau:
A1 A2 A3 ; A1  A2  A3
b/ Xét các biến cố sau:
A: “Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng”
B: “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn
trúng”
C: “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng”

Giải
a/
A1 A2 A3

: Cả ba xạ thủ bắn trúng mục
tiêu
A1  A2  A3
: Có ít nhất một xạ thủ bắn
trúng mục tiêu
b/
A A A  A1 A2 A3  A1 A2 A3
A: 1 2 3
B: A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3
C:

A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3


Dạng 3. Tìm xác suất của một biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất của hai
biến cố đối
Phương pháp
giải

Bài tập
minh họa
Gieo 2 đồng
xu cân đối
một cách độc
lập.
Tính xác suất
để có ít nhất

Giải
Gọi các biến cố:
A: “Có ít nhất một đồng xu sấp”
A1: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”
A2: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”
1
1
P  A1   ; P  A2   .
2
2
Cách 1: Ta có:


một đồng xu
sấp.
• Sử dụng định

nghĩa 2 biến cố
đối nhau.
• Sử dụng công
thức:
P A  1  P  A

 

A  A1 A2 �A1 A2 �A1 A2

và

A1 A2 , A1 A2 , A1 A2

đơi một xung khắc.

Do đó:









1 1 1 1 1 1 3
P  A   P  A1 A2   P A1 A2  P A1 A2  .  .  . 
2 2 2 2 2 2 4
Cách 2: Ta có:

A : “Cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa”= A1. A2 .
1 1 3
P  A   1  P A1 P A2  1  . 
2 2 4
Do đó:
Có hai hộp
Gọi các biến cố:
đựng thẻ, mỗi A : “Thẻ rút ra từ hộp thứ nhất không đánh số 12”.
hộp đựng 12
B : “Thẻ rút ra từ hộp thứ hai không đánh số 12”.
thẻ đánh số từ
11
P  A  P  B  
1 đến 12.
12 .
Ta có:
Từ mỗi hộp
H: “Trong hai thẻ rút ra từ hai hộp có ít nhất một thẻ đánh số 12”.
rút ngẫu nhiên
Khi đó biến cố đối của biến cố H là H : “Cả hai thẻ rút ra từ hai
một thẻ.
Tính xác suất hộp đều không đánh số 12”.
để trong hai
Vậy H  AB .
hộp rút ra:
Theo quy tắc nhân xác suất , ta có:
“Có ít nhất
121
P H  P  AB   P  A P  B  
một thẻ đánh

144
số 12.”
121 23
P  H   1 P H  1

144 144
Vậy

   

 

 

Dạng 4. Tìm xác suất của biến cố là hợp của các biến cố xung khắc
Phương pháp giải
• Sử dụng định nghĩa 2
biến cố xung khắc, các
biến cố từng đôi một xung
khắc nhau.
• Sử dụng định lí: Nếu
A, B xung khắc thì
P  A �B   P  A   P  B 

Bài tập minh họa
Một hộp bóng đèn
có 12 bóng, trong đó
có 8 bóng tốt các
bóng cịn lại là bóng
xấu (kém chất

lượng).
Lấy ngẫu nhiên 3
bóng đèn.
Tính xác xuất để lấy
được ít nhất 2 bóng
tốt.

Giải
Khơng gian mẫu: lấy ngẫu nhiên 3 bóng thì số
3
n       C12
 220
cách lấy là:
Ta có các biến cố:
 A: “ Lấy được 3 bóng đều tốt”
 A  C83  56
56 14

220 55
 B: “Lấy được 2 bóng tốt, 1 bóng xấu”
 B  C82 .C14  112

� P  A 

112 28

220 55
Biến cố : “lấy được ít nhất 2 bóng tốt” là A �B.
14 28 42
� P  A �B   P  A   P  B   


55 55 55
� P  B 

Dạng 5. Tìm xác suất của biến cố là giao các biến cố độc lập


Phương pháp giải
• Sử dụng khái niệm sự độc lập của
các biến cố
A , A ,..., Ak
• Sử dụng định lí: Nếu 1 2
độc lập thì:
P  A1 A2 ... Ak   P  A1  .P  A2  ...P  Ak 

Bài tập minh họa
Có hai hộp chứa các
viên bi chỉ khác nhau
về màu.
 Hộp I: 3 bi xanh, 2
bi vàng, 1 bi đỏ.
 Hộp II: 2 bi xanh, 1
bi vàng, 3 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
hộp 1 viên bi.
Tính xác suất để lấy
được 2 bi xanh.

Giải
 A là biến cố lấy được bi xanh ở

3 1
P  A   .
6 2
hộp I:
 B là biến cố lấy được bi xanh ở
2 1
P  B   .
6 3
hộp II:
Vì A và B là hai biến cố độc lập
nên ta có:
1 1 1
P  AB   P  A  .P  B   .  .
2 3 6

Vấn đề 6. [NC] BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
I. LÝ THUYẾT
1.
Khái niệm biến
ngẫu nhiên rời
rạc
2.
Phân bố xác suất
của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Định nghĩa: Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận
giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó, và giá trị ấy là ngẫu nhiên, khơng
dự đốn trước được.


 x , x ,..., xk  . Khi đó
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 1 2
bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rồi rạc X có dạng:

Trong đó:

P  X  xk   pk

Chú ý: Ta ln có
3. Kì vọng

(với k  1, 2,.., n )
p1  p2  ...  pk  1

 x , x ,..., xk  .
Định nghĩa: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị 1 2
E X 
Kì vọng của X , kí hiệu là
là một số được tính:
n

E  X   x1 p1  x2 p2  ...  xn pn  �xk pk
Trong đó

E X 

(với k  1, 2,.., n )

là một con số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của X .
E X 

Vì vậy kì vọng
cịn được gọi là giá trị trung bình của X .
 x , x ,..., xk  .
Định nghĩa: Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị 1 2
V X
Phương sai của X , kí hiệu là
là một số được tính:
Ý nghĩa:

4. Phương sai và
độ lệch chuẩn

pk  P  X  xk 

k 1