NỘI DUNG CỤ THỂ
I/ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT
1. Nguyên hàm
1.1 Nguyên hàm và tính chất
a) Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với
mọi x ∈ K.
Ví dụ:
1) Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
2) Hàm số là một ngun hàm của hàm số trên khoảng

vì
vì

b) Định lí
Định lí 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số
C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
Định lí 2: Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là
Khi đó : = F(x) + C , C ∈ .
Ví dụ:
1) Với
2) Với

1.2 Tính chất của nguyên hàm


1) và
2)

(k là một hằng số khác 0)

3)
Ví dụ:
1) và
2) Tìm nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Giải. Với , ta có

1.3 Sự tồn tại nguyên hàm
Ta thừa nhận định lí dưới đây
Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có ngun hàm trên K
Ví dụ :
1) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng và
2) Hàm số có nguyên hàm trên từng khoảng và


Lưu ý: Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên
từng khoảng xác định của nó
Ví dụ: Tính trên khoảng
Giải. Với ta có

1.4

Bảng nguyên hàm

1.5 Phương pháp tính nguyên hàm
1.5.1 Phương pháp đổi biến số
Định lí: Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì


Hệ quả:
Ví dụ: Tính .
Giải. Đặt thì . Khi đó, tích phân đã cho thành

Thay u = x+1 vào kết quả ta được


1.5.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí: Nếu hai hàm số và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

Chú ý: Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx = du, nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

Ví dụ: Tính
1)
2)
Giải.
1) Đặt u = x và ta có du = dx và Do đó

2) Đặt u = x và ta có du = dx và Vậy

2. Tích phân
2.1 Khái niệm tích phân
a) Định nghĩa
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên [a; b].


Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên
đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là
Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) - F(a).

Vậy

= F(b) - F(a).

Ta gọi dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân
và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

b) Nhận xét
1) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay . Tích phân đó chỉ phụ
thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số x hay t.
2) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và khơng âm trên
đoạn [a; b], thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
của f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S =

2.2 Tính chất của tích phân
1)

( k là hằng số)

2)
Ví dụ: Tính
Giải. Ta có

3)

(a < c < b)

Ví dụ: Tính
Giải. Ta có



Vì
Nên

2.3 Phương pháp tính tích phân
2.3.1 Phương pháp đổi biến số
a) Dạng 1
Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x =
φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β](*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và
a≤
φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β].
Khi đó:
Ví dụ: Tính các tích phân sau:

Giải.
a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.
Vậy
b) Đặt x = tant, ta có dx = dt.
Đổi cận:
Vậy

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng


Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví
dụ, để tính tích phân thì phải đổi biến dạng 1 cịn với tích phân

thì nên đổi biến


dạng 2.

b) Dạng 2
Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm
liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β.
Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g(u) liên tục trên đoạn [α; β].
Khi đó:
Ví dụ: Tính tích phân sau:
Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1
Khi đó

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân


2.3.2 Phương pháp tính bằng tích phân từng phần
Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[a; b] thì

hay


Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a)
Giải.
a) Đặt u = x, ta có dv = sin xdx
Ta có du = dx và v= - cos x. Do đó
Vậy


b) Đặt u = ln x, ta có
Ta có du = và. Do đó
Vậy
* Thơng thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
3.1 Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b],
trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b, thì diện tích S được cho bởi cơng thức:

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành
và hai đường thẳng


Giải. Ta có trên đoạn [-1;0] và trên đoạn [0;2]. Áp dụng cơng thức tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh, ta có:

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên
tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a,x=b thì diện tích S được cho bởi công
thức :

Chú ý: Khi áp dụng công thức cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu
tích phân. Muốn vậy, ta giải phương trình trên đoạn [a;b]. Giả sử phương trình có
hai nghiệm c, d (c < d). Khi đó, khơng đổi dấu trân các đoạn [a;c],[c;d],[d;b]. Trên
mỗi đoạn, chẳng hạn trên đoạn [a;c], ta có

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và
Giải. Ta có



Phương trình có 3 nghiệm
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là

3.2 Tính thể tích
a) Thể tích của vật thể
Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hồnh tại điểm có
hồnh độ x = a,x = b (a < b). S(x) là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể
được cho bởi công thức: là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b]).

b) Thể tích khối chóp và khối chóp cụt
* Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng
B được tính bằng cơng thức
* Thể tích khối chóp cục: Thể tích khối chóp cục tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện
tích hai đáy lần lượt là B, B’ và có chiều cao bằng h được tính bằng cơng thức

Vì


3.3 Thể tích của khối trịn xoay
a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x) không âm và liên tục trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a,
x = b quay quanh trục Ox, ta được khối trịn xoay. Thể tích V của khối trịn xoay này
được cho bởi cơng thức:

Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x, trục hoành và hai đường
thẳng x = 0, x = . tính thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình này xung
quanh trục Ox.
Giải. Áp dụng cơng thức trên, ta có


b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được
giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) không âm và liên tục trên đoạn [c;d], trục Oy và
hai đường thẳng y = c,y = d quay quanh trục Oy, ta được khối trịn xoay. Thể tích
V của khối trịn xoay này được cho bởi công thức: