Tải bản đầy đủ (.docx) (14 trang)

CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (586.23 KB, 14 trang )

CHỦ ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Hệ thống lí thuyết.
1. Độ và radian
2. Các hệ thức cơ bản
3. Dấu các giá trị lượng giác
4. Các cung liên kết
5. Các công thức biến đổi
II. Những dạng bài tập và phương pháp giải






Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước một giá trị tính giá
trị lượng giác còn lại.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác
Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác
α
Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với
Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác:

B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Hệ thống lí thuyết.
1. Hàm số y = sinx
2. Hàm số y = cosx
3. Hàm số y = tanx
4. Hàm số y = cotx
II. Những dạng bài tập và phương pháp giải







Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số
Dạng 3: Tuần hoàn, chu kỳ
Dạng 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến
Dạng 5: Tìm GTLN-GTNN

1


C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. Tóm tắt lí thuyết
1. Phương trình
2. Phương trình
3. Phương trình
4. Phương trình
II. Bài tập minh họa

sin x = a

cos x = a
tan x = a
cot x = a

D. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
E. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



F. BÀI TOÁN THỰC TẾ

2


A.

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I. Hệ thống lí thuyết.
1.

2.

Độ và radian
(180)o = π
(rad)
Các hệ thức cơ bản
sin α
tan α =
(cos α ≠ 0)
cos α


cot α =




cos α
sin α

sin 2 α + cos2 α = 1, ∀α

1 + tan 2 α =


1 + cot 2 α =



3.

(sin α ≠ 0)

1
cos2 α

(α ≠

π
+ kπ , k ∈ ¢ )
2

1
sin 2 α


(α ≠ kπ , k ∈ ¢ )
(α ≠

tan α .cot α = 1


, k ∈ ¢)
2

Dấu các giá trị lượng giác
Góc phần tư

I

II

III

IV

sin α

+

+

-

-


cos α

+

-

-

+

tan α

+

-

+

-

cot α

+

-

+

-


GTLG

4.

Các cung liên kết
a) Cung đối
sin( −α ) = − sin α

cos(−α ) = cos α




tan( −α ) = − tan α


b)



Cung bù
3

cot( −α ) = − cot α


tan(π − α ) = − tan α

sin(π − α ) = sin α





cos(π − α ) = − cos α


c)



Cung phụ





π
sin( − α ) = cos α
2



π
cos( − α ) = sin α
2


d)


Cung hơn kém



cot(π + α ) = cot α

5.

π
2

π
sin( + α ) = cos α
2



π
cos( + α ) = − sin α
2



Các cơng thức biến đổi
a) Cơng thức cộng

sin( a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b




cos(a ± b) = cos a cos b msin a sin b



tan(a ± b) =

tan a ± tan b
1 mtan a tan b

cot(a ± b) =

1 mtan a tan b
tan a ± tan b




b)

Cơng thức nhân


cos(π + α ) = − cos α



Cung hơn kém nhau




π
cot( − α ) = tan α
2

sin(π + α ) = − sin α






π
tan( − α ) = cot α
2

π

tan(π + α ) = tan α


e)

cot(π − α ) = − cot α

sin 2a = 2sin a cos a
4

π
tan( + α ) = − cot α
2

π
cot( + α ) = − tan α
2




cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a

tan 2a =


cot 2a =


2 tan a
1 − tan 2 a
cot 2 a − 1
2cot a

t = tan


Công thức tính theo

tan x =





2t
1− t2

c)

sinx =

cos x =

2t


1+ t2

Cơng thức hạ bậc
cos 2 a =

1 + cos 2a
2

sin 2 a =

1 − cos 2a
2

tan 2 a =

1 − cos 2a
1 + cos 2a









x
2



Lưu ý
1 + cos x = 2cos 2




x
2

5

1− t2
1+ t2


1 − cos x = 2sin 2

d)


Cơng thức biến đổi tích về tổng
sin a.cos b =

1
[ sin(a + b) + sin(a − b)]
2

cos a.cos b =

1
[ cos(a + b) + cos(a − b)]
2





sin a.sin b = −

e)

1
[ cos(a + b) − cos(a − b)]
2

Cơng thức biến đổi tổng về tích
sin A + sin B = 2sin

A+ B

A− B
cos
2
2

sin A − sin B = 2cos

A+ B
A− B
sin
2
2





cos A + cos B = 2cos


A+ B
A− B
cos
2
2

cos A − cos B = −2sin


tan α ± tan β =



x
2

A+ B
A− B
sin
2
2

sin(α ± β )
cos α .cos β

π


 α , β ≠ + kπ , k  ữ
2



ã

ã
ã

1.
2.


II. Nhng dng bi tp v phng pháp giải

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước một giá trị tính giá
trị lượng giác cịn lại.
Phương pháp giải: Dùng cơng thức lượng giác cơ bản
Ví dụ minh họa
α
• Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc
nếu:
cos α =


4
13

khi 0 < α <

π
2

Giải: Vận dụng công thức


cos α =


2

4
16 153

 4
=> sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 −  ÷ = 1 −
=
13
169 169
 13 


0<α <




π
⇒ sin α > 0,
2

nên

153 3 17
=
169
13

⇒ sin α =


sin α 3 17 4 3 17
=
: =

cos α
13 13
4
1
4
ocot α =
=
tan α 3 17
otan α =






Ví dụ 2: Tính giá trị lượng giác của góc

(

a)sin 2400 ,cot −150

0

o
o

Ta có:
Ta có:

0


240 = 180 + 60

(

)

(

)

sin 2400 = sin 1800 + 600 = − sin 600 = −

0

. Nên

)

(

)

(

3
2

cot −150 = − cot150 = − tan 900 − 150 = − tan 750 = − tan 450 + 300


3
3 = − 3 + 3 = − 3 +1 = − 2 + 3
=
=

3
3− 3
3 −1
1 − tan 450.tan 300
1 − 1.
3
tan 450 + tan 300




o

)

1+

(

)

 7π 

b)sin
ữ;cos


12
12

Ta cú:
ã

7
sin 
 12

π
π
π
π
3 2 1 2
6+ 2

π π 
.
+ .
=
÷ = sin  + ÷ = sin .cos + cos .sin =
3
4
3
4
2 2 2 2
4


3 4


o

Ta có:


π
π
π
π
2 1
2 3
 π 
π π 
cos  − ÷ = cos  − ÷ = cos .cos + sin .sin =
. +
.
=
4
3
4
3
2 2 2 2
 12 
4 3

2+ 6
4




1.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác
Phương pháp giải: Để chứng minh lượng giác A=B ta vận dụng các công thức
lượng giác và biến đổi vế đẻ đưa A thành A1, A2, đơn giản hơn và cuối cùng
thành B.


2.

Ví dụ minh họa




Có bài tốn cần sử dụng phép chứng minh tương đương hoặc chứng minh
phản chứng.

Ví dụ 3: Chứng minh:

cos α (1 + cos α )(tan α − sin α ) = sin 3 α

Ta có:
VT = cos α ( 1 + cos α ) ( tan α − sin α )
 sin α

= cos α ( 1 + cos α ) 

− sin α ÷
 cos α

= ( 1 + cos α ) ( sin α − sin α .cos α )
= sin α (1 + cos α )(1 − cos α ) = sin α (1 − cos 2 α )


= sin α .sin 2 α = sin 3 α = VP



1.



Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác
Phương pháp giải:
α



Để rút gọn biểu thứ lượng giác chứa góc ta thực hiện các phép tốn
tương tự dang 2 chỉ khác là kết quả bài toán chưa được cho trước.



Nếu kết quả cưa bài tốn sau rút gọn là một hằng số thì biểu thức đã cho
α
độc lập với


2. Ví dụ minh họa




Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức:



Ta có:

π

sin ( a + b ) + sin  − a ÷sin ( −b )
2


π

sin ( a + b ) + sin  − a ÷sin ( −b )
2

= sin a.cos b + cos a.sin b + cos a. ( − sin b )


= sin a.cos b + cos a.sin b − cos a.sin b = sin a.cos b



1.

2.

α
Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với
Phương pháp giải: Vận dụng các công thức và thực hiện các phép biến đổi
tương tự dạng 3.
Ví dụ minh họa







Ví dụ 5: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
π

π

A = sin  + x ÷− cos  − x ÷
4

4




Ta có:




π
π
π
π
π

π



A = sin  + x ÷− cos  − x ÷ = sin cos x + cos .sin x −  cos .cos x + sin .sin x ÷
4
4
4
4
4

4



 2

2
2
2
=
cos x +
sin x − 

cos x +
sin x ÷ = 0
2
2
2
 2



Vậy biểu thức A=0 khơng phụ thuộc vào giá trị của x





Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác:


1.
2.

Phương pháp giải: Vận dụng các công thức và thực hiện các phép biến đổi
tương tự dạng 2 và 3.
Ví dụ minh họa





Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức


A = sin150 + tan 300.cos150

Ta có:



A = sin150 + tan 300.cos150 = sin150 +
=

sin 300
cos30

.cos150

1
0
0
0
0
sin15
.cos30
+
cos15
.sin
30
=
.sin 450 =
(
)

0
0
cos30
cos30
1











B.

0

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
• I. Hệ thống lí thuyết.


1. Hàm số y = sinx



• Tập xác định:


D=¡

T = [ −1;1]



• Tập giá trị:



• Hàm số lẻ



• Hàm số tuần hồn với chu kì 2π

1
2
2
2
6
.
=
.
=
2
3 2
3 2
2





a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π ]





b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R





a)



2. Hàm số y = cosx



• Tập xác định:

D=¡

T = [ −1;1]




• Tập giá trị:



• Hàm số chẵn



• Hàm số tuần hồn với chu kì 2π

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [–π; π]



b)

Đồ thị của các hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường sin.









3. Hàm số y = tanx





• Tập xác định:
D=R\



• Tập giá trị:



• Hàm số lẻ

π

 + kπ, k ∈ Z
2


T =¡

• Hàm số tuần hồn với chu kì π
Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng


a)



b)


Đồ thị hàm số

y = tan x

 π
 0; 2 ÷









a)

4. Hàm số y=cotx
D = ¡ \ {kπ , k Â}

ã

ã Tp xỏc nh:

ã

ã Tp giỏ tr:

ã


ã Hm s lẻ



• Hàm số tuần hồn với chu kì π

T =¡

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng






b)

Đồ thị của hàm số y = cot x


 π
 0, 
 2









II. Những dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác


1. Phương pháp giải. Ta chú ý một số điều kiện sau:

y=
a)

f ( x)
g ( x)

xác định khi và chỉ khi

y = 2n f ( x)
b)

xác định khi và chỉ khi

y = tan [ u ( x)]
c)

y = cot [ u ( x)]

d)
2.


g ( x) ≠ 0
f ( x) ≥ 0

xác định khi và chỉ khi
xác định khi và chỉ khi

u ( x)
u ( x)

, trong đó

n∈¥ *
u ( x) ≠

xác định và
xác định và

u ( x ) ≠ kπ , k Â

Vớ d minh ha
y=
ã

Vớ d 1: Tỡm tp xỏc định của hàm số
y=



Hàm số
⇔x≠k








1 − 2x
sin 2 x

xác định khi và chỉ khi

1 − 2x
sin 2 x

sin 2 x ≠ 0

π
,k ∈¢
2

Vậy TXĐ:

π k 
D=¡ \ 
 2 

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số

π

+ kπ , k ∈ ¢
2

π
y = tan( x − )
6








π
sin( x − )
π
6
y = tan( x − ) =
π
6
cos( x − )
6

Nên hàm số

π
y = tan( x − )
6


xác định khi và chỉ khi:

π
cos( x − ) ≠ 0
6

π
+ k
6 2
2
x
+ k , k Â
3
x

ã

ã

Vy TXĐ:

 2π

D=¡ \
+ kπ 
D = ¡ \{
 3


y=



Ví dụ 3: Tìm tâp xác định của hàm số
y=



Hàm số

xác định khi và chỉ khi:

π

 x ≠ − 2 + k 2π

π kπ

⇔ x ≠ − +
18 3

π kπ

x ≠ 4 + 2
(k  )


ã

ã


tan 2 x

+ cot(3 x + )
sin x + 1
6

tan 2 x
π
+ cot(3 x + )
sin x + 1
6

Vậy TXĐ

π kπ π kπ 
 π
D = ¡ \ − + k 2π , − +
, +

18 3 4 2  ( k ∈ ¢ )
 2

1.
-

Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số
Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, tập D đối xứng

-


Bước 2: Tính





Nếu

f ( − x)

và thu gọn kết quả. Khi đó:

f (− x) = f ( x)

thì hàm số đã cho là hàm số chẵn


f (− x ) = − f ( x )




Nếu
thì hàm số đã cho là hàm số lẻ
Nếu không rơi vào hai trường hợp trên thì hàm số khơng chẵn, khơng lẻ


2.


Ví dụ minh họa


Ví dụ 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số



TXĐ:



Ta có:

f ( x) = tan x + cot x

π

D = ¡ \  + k1π , k2π  , ( k1, k2 ∈ ¢ )
2


f (− x ) = tan(− x ) + cot(− x ) = − tan x − cot x = −(tan x + cot x ) = − f ( x )

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ



f ( x) = sin(2 x +



Ví dụ 5: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số



TXĐ:

D=¡
f ( x) = sin(2 x +




)
2

Ta có:


π
) = sin(2 x + ) = cos 2 x
2
2

f (− x) = cos(−2 x) = cos 2 x = f ( x)




Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn











Dạng 3: Tuần hồn, chu kỳ
Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần lưu ý rằng;
a. Hàm số
b. Hàm số

c. Hàm số

y = sin x y = cos x

,

y = tan x

,

y = cot x

có chu kì
có chu kì

y = sin( ax + b) y = cos( ax + b)


,

T = 2π
T =π

với

a≠0

T=

có chu kì


a


d. Hàm số



y = tan( ax + b) y = cot( ax + b)

,

e. Nếu hàm số

f1


, hàm số
T1 T2
T
có chu kì là bội chung nhỏ nhất của và


có chu kì

T1

với
f2

a≠0

T=

π
a

có chu kì

có chu kì

T2

thì hàm số

f = f1 + f 2



Ví dụ 6: Hàm số





Ta có
T=

Hàm số



Hàm số



có chu kì

là hàm tuần hồn với chu kì:

y = 2cos 2 x − 1 = cos 2 x



2

Ví dụ 7: Hàm số




y = 2cos 2 x − 1

, do đó hàm số tuần hồn với chu kì

.
π

 x
y = sin  − x ÷+ cot  ÷
2

3

π

y1 = sin  − x ÷
2


x
y2 = cot  ÷
3

T1 =

là hàm tuần hồn với chu kì:



= 2π
−1

có chu kì
T2 =

có chu kì

T = BCNN ( 2π ,3π ) = 6π

π
= 3π
1
3

. Suy ra hàm số đã cho

y = y1 + y2



1.

Dạng 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến
Phương pháp giải:



Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng xác

định.






Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số


2.

Ví dụ minh họa





Ví dụ 8: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:



Giải: TXĐ:

D=¡

y ' = x2 − 6 x + 8 ;




1
y = x3 − 3 x 2 + 8 x − 2
3

x = 2
y' = 0 ⇔ 
x = 4

Bảng biến thiên:




Kết luận: hàm số đồng biến trên các khoảng
biến trên khoảng (2;4)

( −∞; 2 )



( 4; +∞ )

; nghịch





Ví dụ 9: Tìm m để hàm số

biến trên



1
y = − x3 + 2 x 2 + (2m + 1) x − 3m + 2
3

¡

Giải: TXĐ:

D=¡

y ' = x 2 − 4 x + 2m + 1


y'



là tam thức bậc hai (hệ số của

Do đó hàm số nghịch biến trên
V' ≤ 0 ⇔ 2m + 5 ≤ 0 ⇔ m ≤ −

5
2

¡


x2



−1 < 0

) có

khi và chỉ khi

V' = 2m + 5

nghịch








Chú ý: Đối với hàm bậc ba, y’ là tam thức bậc hai. Khi đó:

Hàm số y ĐB trên

Hàm số y NB trên

V≤ 0
¡ ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 

a > 0
V≤ 0
¡ ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
a < 0



 Dạng 5: Tìm GTLN-GTNN






1.

Số M được gọi là GTLN của hàm số f(x) trên X nếu:
∀x ∈ X : f ( x) ≤ M

∃x0 ∈ X : f ( x0 ) = M

M = max f ( x)
X

. Kí hiệu:

.

Số m được gọi là GTNN của hàm số f(x) trên X nếu:
∀x ∈ X : f ( x) ≥ m


∃x0 ∈ X : f ( x0 ) = m

m = min f ( x)
X

. Kí hiệu:

.

Phương pháp giải:


Cách 1: Sử dụng miền giá trị để suy ra GTLN và GTNN:



Nếu ta biến đổi hàm số f(x) về dạng

m ≤ f ( x) ≤ M

thì

M = max f ( x ), m = min f ( x )
X

X

. Để làm được điều đó ta sử dụng các tính chất


sau:
−1 ≤ sin f ( x) ≤ 1;

− 1 ≤ cos f ( x) ≤ 1

0 ≤ sin 2 f ( x) ≤ 1;

0 ≤ cos 2 f ( x) ≤ 1

0 ≤ sin f ( x) ≤ 1;

0 ≤ cos f ( x) ≤ 1




BĐT Cơ-si:

a + b ≥ 2 ab , ∀a , b ≥ 0

. Dấu bằng xảy ra khi a=b


(

)(

(ad + cd ) 2 ≤ a 2 + c 2 b 2 + d 2



BĐT Bunhiacopxki:

)

. Dấu bằng xảy ra khi

a c
=
b d



Cách 2: Sử dụng tính chất hình học
Nếu ta biến đổi hàm số f(x) về dạng

m ≤ f ( x) ≤ M

thì

M = max f ( x ), m = min f ( x )
X

X

. Để làm được điều đó ta sử dụng các tính chất

sau:


Đặt


t = sin f ( x)

hoặc

t = cos f ( x)

thì

−1 ≤ f ( x ) ≤ 1




Hàm số bậc hai

y = x 2 + bx + c = 0

xác định trên tập

¡
















Cách 3: Sử dụng tính chất của hàm số

Áp dụng điều kiện có nghĩa của phương trình (1) là


2.

a cos f ( x) + b sin f ( x) = c

Ví dụ minh họa

a 2 + b2 ≥ c2

(1)







Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a.


y = 4sin x cos x + 1

Ta có
Do

y = 4sin x cos x + 1 = 2sin 2 x + 1

−1 ≤ sin 2 x ≤ 1⇒ − 2 ≤ 2sin 2 x ≤ 2 ⇒ − 1 ≤ 2sin 2 x + 1 ≤ 3 ⇒ − 1 ≤ y ≤ 3

y = −1 ⇔ sin 2 x = −1 ⇔ 2 x = −


y = 3 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x =



π
π
+ k 2π ⇔ x = − + kπ
2
4

π
+ kπ
4

Vậy GTLN của hàm số bằng 3, GTNN bằng -1


y = 4 − 3sin 2 2 x




b.



Ta có:
0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒ 4 − 3sin 2 x ≤ 4
* y = 1 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2

* y = 4 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = kπ



Vậy GTLN của hàm số bằng 4, GTNN bằng 1


y = sinx −




Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:
0< x <π
khoảng




0< x <π

nên

0 < sin x < 1

sin x ≤

1
sin x

do đó
sin x = 1 ⇔ x =



Vậy hàm số đạt GTLN là 0 tại

π
2

1
sinx

trong





















C.
I.
1.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Tóm tắt lí thuyết
Phương trình

sin x = a

(1)


a >1






Nếu
Nếu

thì phương trình vơ nghiệm
 −π π 
a ≤ 1 ⇒ ∃β ∈ 
; ,sin β = a
 2 2 

 x = β + k 2π
(1) ⇒ sin x = sin β ⇔ 
(k ∈ ¢ )
 x = π − β + k 2π

β



Chú ý: Nếu

thỏa mãn điều kiện thì




Một số phương trình đặc biệt:

β = arcsin a


sin x = 1 ⇔ x =
i.

π
+ k 2π (k ∈ ¢ )
2

sin x = 0 ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ )

ii.

sin x = −1 ⇔ x =
iii.


−π
+ k 2π (k ∈ ¢ )
2

Mở rộng phương trình ta có:
sin f ( x ) = sin g ( x )

 f ( x) = g ( x) + k 2π
⇔

(k ∈ ¢ )
 f ( x) = π − g ( x ) + k 2π




2.

Phương trình

cos x = a

(2)

a >1


Nếu



Nếu

thì phương trình vơ nghiệm

a ≤ 1 ⇒ ∃β ∈ [ 0, π ] , cos β = a

 x = β + k 2π
(2) ⇒ cos x = cos β ⇔ 
(k ∈ ¢)

 x = − β + k 2π



β



Chú ý: Nếu

thỏa mãn điều kiện thì



Một số phương trình đặc biệt:
cos x = 0 ⇔ x =
i.
ii.

β = arccos a

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
2

cos x = 1 ⇔ x = k 2π (k ∈ ¢ )
cos x = −1 ⇔ x = −π + k 2π (k ∈ ¢ )

iii.



Mở rộng phương trình ta có:

cos f ( x) = cos g ( x)





3.

 f ( x ) = g ( x) + k 2π
⇔
(k ∈ ¢ )
 f ( x) = − g ( x) + k 2π

Phương trình

tan x = a

(3)




Vi

ã
ã




m
, ữ, tan β = a
 2 2
(3) ⇔ tan x = tan β ⇔ x = β + kπ ( k ∈ ¢ )

β = arctan a

Một số phương trình đặc biệt:
tan x = 1 ⇔ x =
i.

π
+ kπ
4

tan x = 0 ⇔ x = kπ

ii.

tan x = −1 ⇔ x = −
iii.


π
+ kπ
4

Mở rộng phương trình ta có:


tan f ( x) = tan g ( x)

⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ )



4.

Phương trình





Với

cot x = a

 −π π 
∀m ⇒ ∃α ∈ 
, ÷, cot β = a
 2 2

(4)

(4) ⇔ cot x = cot β ⇔ x = β + kπ ( k ∈ ¢ )

β = arccot a


Một số phương trình đặc biệt:
cot x = 1 ⇔ x =

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
4

cot x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (k ∈ ¢ )
2

i.

ii.

cot x = −1 ⇔ x = −π + k 2π (k ∈ ¢ )

iii.


Mở rộng phương trình ta có:

cot f ( x ) = cot g ( x)
⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ )



II.



Bài tập minh họa


s inx = sin


Ví dụ 1: Giải phương trình:




Hướng dẫn giải


π
π

x = + k 2π
x = + k 2π


π
3
3
s inx = sin ⇔ 
⇔
(k ∈ ¢ )
3

 x = π − π + k 2π
 x = 2π + k 2π


3
3



s inx = cos




π
3

Ví dụ 2: Giải phương trình:

π
3


π
π

 x = 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
⇔
⇔

(k ∈ ¢ )
π

π
π π 


x = π − + k 2π
x=
+ k 2π
s inx = cos ⇒ s inx = sin ữ


6
6
3
2 3

ã
sin( sinx) =
ã
ã

ã

ã

ã

ã


Vớ d 3: Giải phương trình:
Ta có:

2
2


π
1

 π sinx = 4 + k 2π
sinx = 4 + 2k
2
sin(π sinx) =
⇔
⇔
2
π sinx = π − π + k 2π
sinx = 3 + 2k


4
4

Do


 −1 ≤


 −1 ≤


1
+ 2k ≤ 1
4
3
+ 2k ≤ 1
4
⇔k =0

1

sin x = 4
(*) ⇔ 
sin x = 3

4

1

x
=
arcsin
+ k '2π

4

 x = π − arcsin 1 + k ' 2π


4
⇔
3
 x = arcsin + k ' 2π
4


3
 x = π − arcsin + k ' 2π
(k ∈ ¢ )

4

(*)


×