Chủ
đề 2
Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1. Đại cương về hàm số
2. Hàm số bậc nhất
3. Hàm số bậc hai

Trong chương trình mơn Tốn THCS, học sinh đã nắm được các khái niệm
2
hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số y  ax , hàm số đồng biến, hàm số nghịch
biến. Chủ để này ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác
định, đồ thị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, khái niệm
hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên của hàm số và áp dụng vào việc
khảo sát các hàm số bậc nhất, bậc hai.


§1. Đại cương về hàm số
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa hàm số
Cho một tập hợp khác rỗng D ��. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt

STUDY TIP
A x
B  x

f  x
f  x

tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là
; số
đó
gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x
gọi là biến số hay đối số của hàm số f, tập các giá trị của hàm số gọi là tập giá trị
của hàm số. Ta viết

y  f  x

+ Biểu thức
xác
định khi và chỉ khi

2. Tập xác định của hàm số

A x , B  x

Tập xác định của hàm số

và

B  x  �0

xác định

của biểu thức

.
A x


+ Biểu thức
xác định khi và chỉ khi

y  f  x

f  x

.

y  f  x

là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị

được xác định, hay nói đơn giản là ta có thể tính được

.

Các bước tìm tập xác định của hàm số

y  f  x

A  x  �0
A x
+ Biểu thức
xác định

B  x

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để biểu thức


:

f  x

xác định;

+ Bước 2: Viết kết quả tìm được ở bước 1 dưới dạng tập hợp.

LOVEBOOK.VN | 1


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

A x

khi và chỉ khi
xác định và
+

B  x  0

Biểu

.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số sau:

thức

A x � B  x


a)

xác
định khi và chỉ khi

A  x  �0

và

www.thuvienhoclieu.com

y

3
x 1 ;

y

3  2x

c)

B  x  �0

b) y  5  2 x ;
d) y  x  2  x  2 .

x2 1 ;
Lời giải


3
1 0
a) Biểu thức x  1 xác định khi và chỉ khi x �۹
STUDY TIP
Cho a là một số dương.
+

x 2 �۳
a

x

�
x� a
��
x � a
�

x �a
2

+

a

5  2x xác định khi và chỉ khi

b) Biểu thức


x 1 . Vậy D  �\  1 .

5�
2 x 0

x

5
2 . Vậy

� 5�
D�
�; �
� 2�
.
3  2x
c)

;

x

�  a �x � a

a

Biểu

x2 1


thức

xác

định

x 1
�
x2 1  0 � x2  1 � x  1 � �
x  1 .
�
Vậy

D   �; 1 � 1; �

.

2
2
Chú ý: Lời giải sai: x  1  0 � x  1 � x  �1 .

d) Biểu thức

x  2  x  2 xác định khi và chỉ khi

�x  2 �0
�x �2
�۳�
�
�x  2 �0

�x �2
Vậy

D   2; �

.

LOVEBOOK.VN | 2

x 2
.

khi

và

chỉ

khi


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

3. Đồ thị của hàm số
Cho hàm số

 G


y  f  x

xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp

các điểm có tọa độ

cách khác,

 x; f  x  

với x �D , gọi là đồ thị của hàm số f . Nói

M  x0 ; y0  � G  � x0 �D

và

y0  f  x0 

.

2 x  1 khi x �2
�
y  f  x  �
3 khi x  2
�
Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số
đi qua điểm nào sau
đây?
A.


 0; 3

B.

 3;7 

C.

 2; 3

D.

 0;1

Lời giải

y  f  0   2.0  1  1
Với x  0  2 thì
.
Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm

 0;1 .
Đáp án D.

LOVEBOOK.VN | 3


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com


y  f  x
 3;8 có đồ thị là đường gấp
Ví dụ 3: Cho hàm số
xác định trên đoạn
khúc được cho như trong hình dưới đây:

Dựa vào đồ thị hàm số, hãy chỉ ra:
a)

f  3

;

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
c) Dấu của

f  x

trên khoảng

 3;8 ;

 1; 4  .
Lời giải

a)

f  3  2


;

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 3;8

là 2 , đạt được tại x  3 hoặc

x  2;
c)

f  x  0

với mọi

x � 1; 4 

.

* Sự tương giao của các đồ thị:
Cho hai hàm số

y  f  x

và

y  g  x

Các bước tìm tọa độ giao điểm của


LOVEBOOK.VN | 4

 C1 

có đồ thị lần lượt là
và

 C2  :

 C1 

và

 C2  .


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

+ Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm của

f  x  g  x

www.thuvienhoclieu.com

 C1 

và

 C2  :


(*).

+ Bước 2: Giải phương trình (*).
+ Bước 3:
- Nếu (*) vô nghiệm: Kết luận hai đồ thị không có giao điểm.
- Nếu (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n giao điểm. Thay các nghiệm của (*) vào

f  x
g  x
một trong hai biểu thức
hoặc
để tìm tung độ các giao điểm (thường
ta thay vào các biểu thức đơn giản hơn) rồi chuyển sang bước 4.
+ Bước 4: Viết tọa độ của các giao điểm.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai hàm số y  3x  1 và
y  3 x .
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm:

Ta có
�

3 x  1  3  x (*).

�
�
3  x �0
0 � x �3
�

�
3x  1  3  x � �
��
3x  1  9  6 x  x
2x  6 x  8  0
�
�

x  1 � x  1.

Vậy (*) có nghiệm duy nhất x  1 .
Thay x  1 vào hàm số y  3  x ta được y  2 .
Vậy đồ thị hai hàm số đã cho có một giao điểm duy nhất có tọa độ là

 1; 2  .

4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số

y  f  x

xác định trên tập D.

LOVEBOOK.VN | 5


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com


Giá trị lớn nhất

�
x  D : f  x  M
�
M  max f  x  � �
D
x0 �D : f  x0   M
�

Giá trị nhỏ nhất

�
x  D : f  x  m
�
m  min f  x  � �
D
x0 �D : f  x0   m
�

* Các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số (tương tự cho tìm giá trị nhỏ
nhất):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D (nếu đề bài chưa cho).
+ Bước 2: Chứng minh

x  D : f  x 

M

.


f  x0   M
+ Bước 3: Chỉ ra tồn tại x0 �D sao cho
.
+ Bước 4: Kết luận

M  max f  x 
D

.

STUDY TIP
Khi
tìm
GTLN,
GTNN của hàm số,
nhất định phải chỉ ra
đẳng thức xảy ra khi
nào rồi mới kết luận.

Ví dụ 5: Cho hàm số
tập xác định của nó.

f  x 

1
x  2 x  2 . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên

Lời giải


Điều kiện xác định:
Do đó

Ta có

Vậy

D   0; �

�x �0
�x �0
�
�۳�
2
�
x  1  1 �0
�x  2 x  2 �0
�
�

 0; �



x 0
.

.

�

x 0�
: x 2 x 2 2

max f  x  



1
2.

LOVEBOOK.VN | 6

1
x2 x 2

1
1
f  0 
2 . Mặt khác
2.


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

x2 x 2

Lời giải sai: Ta có
đó giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
Lời giải này sai do đẳng thức
Thật vậy,






www.thuvienhoclieu.com

f  x  1

1

2

x  1  1 �1 � f  x  

x2 x 2

�1
. Do

không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x.

f  x   1 � x  1  0 � x  1

, vơ lí.

5. Tính chẵn, lẻ của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số

STUDY TIP

Tập xác định của một
hàm số chẵn (lẻ) là
một tập đối xứng.

f  x

xác định trên tập D.

Định nghĩa

Đồ thị

Hàm số chẵn

 x �D
�
x �D : �
�f   x   f  x 

Đối xứng qua trục Oy

Hàm số lẻ

 x �D
�
x �D : �
�f   x    f  x 

Đối xứng qua gốc O


* Nhận xét: Trong các khẳng định dưới đây, ta coi hai hàm số là có cùng tập xác
định. Khi đó ta có:
- Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
- Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn.
- Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số lẻ.
* Lưu ý: Tập D có tính chất x �D �  x �D là một tập đối xứng qua điểm
x  0 , và thường được gọi là tập đối xứng.
* Các bước chứng minh hàm số
lẻ):

y  f  x

là hàm số chẵn (hoặc là hàm số

LOVEBOOK.VN | 7


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

+ Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số (nếu chưa cho). Chỉ ra D là tập đối
xứng.

f  x  f  x
f  x   f  x
+ Bước 2: Chứng minh x �D thì
(hoặc

).

STUDY TIP
Để chứng minh hàm số

Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số

không phải là
hàm số chẵn, ta cần chỉ ra:
Hoặc D không phải là tập
đối xứng (tức là

x0 �D

là hàm số lẻ.

Lời giải

y  f  x

mà

f  x  1 x  1 x

 x0 �D

x0 �D

),


hoặc

sao

cho

Tập xác định
Ta có

là tập đối xứng.

x � 1;1 : f   x   1  x  1    x   





1 x  1 x   f  x

.

Vậy f là hàm số lẻ.
Ví dụ 7: Xét tính chẵn, lẽ của các hàm số sau:

f   x0  �f  x0 

(chỉ cần
chỉ ra một trong hai điều
kiện là đủ). Tương tự như
vậy đối với hàm số lẻ.


D   1;1

f  x  x  x 1

g  x 

2

a)

;

b)

1

 x  2

2

Lời giải
a) Tập xác định D  � là tập đối xứng.
Ta có

f  1  1; f  1  3 � f  1 �f  1

Vậy hàm số

f  x


b) Tập xác định

và

f  1 �f  1

.

không chẵn, không lẻ.

D  �\  2

. Dễ thấy D không phải là một tập đối xứng.

g  x
Thật vậy với x  2 thì  x  2 �D . Vậy hàm số
không chẵn, không lẻ.
* Nhận xét: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ,
chẳng hạn hai hàm số ta vừa xét trong ví dụ trên.
6. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.

LOVEBOOK.VN | 8


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

Định nghĩa


www.thuvienhoclieu.com

Điều kiện tương
đương

y  f  x

x1 , x2 �K , x1  x2x1 , x2  K , x1

đồng biến
trên K

� f  x1   f  x2 

y  f  x

x1 , x2 �K , x1  x2x1 , x2  K , x1

nghịch biến
trên K

� f  x1   f  x2 

�

�

Đồ thị
Đi lên từ trái sang
phải (theo chiều tăng

của đối số)

x2

f  x2   f  x1 
x2  x1

0

Đi xuống từ trái sang
phải (theo chiều tăng
của đối số)

x2

f  x2   f  x1 
0
x2  x1

Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các
khoảng nghịch biến của hàm số. Kết quả xét chiều biến thiên của hàm số được
tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
Các bước lập bảng biến thiên của hàm số

y  f  x

:

+ Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài chưa cho);


f  x2   f  x1 
x2  x1
+ Bước 2: Lập rồi rút gọn tỉ số
;
+ Bước 3: Xét dấu tỉ số thu được ở bước 2, từ đó suy ra các khoảng biến thiên
của hàm số;
+ Bước 4: Ghi kết quả thu được vào bảng biến thiên.

Ví dụ 8: Lập bảng biến thiên của hàm số

f  x   x2

.

Lời giải
Tập xác định: D  �.
Ta có x1 , x2 �� và

x1 �x2 ,

f  x2   f  x1 
x2  x1



x22  x12
 x2  x1
x2  x1
. Do đó:


 �; 0  .
+ Nếu x1  0, x2  0 thì x2  x1  0 � Hàm số nghịch biến trên khoảng

LOVEBOOK.VN | 9


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

 0; � .
+ Nếu x1  0, x2  0 thì x2  x1  0 � Hàm số đồng biến trên khoảng
Từ đó ta có bảng biến thiên:

Lưu ý: Hàm số

f  x  c

với c là hằng số được gọi là hàm số hằng (hay hàm số

f  x  c
A  0; c 
không đổi). Đồ thị của hàm số
là đường thẳng đi qua điểm
và
song song hoặc trùng với trục Ox.
Ta có thể suy ra chiều biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị. Chẳng hạn, cho hàm
số

y  f  x


xác định trên � có đồ thị được cho như trong hình dưới đây:

Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:

Nhận xét:
* Cho hai hàm số

y  f  x

LOVEBOOK.VN | 10

và

y  g  x

cùng xác định trên K .


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

+ Nếu

f  x

f  x  g  x
+ Nếu
Dạng
1


f  x

g  x

và

www.thuvienhoclieu.com

cùng đồng biến (cùng nghịch biến) trên K thì

đồng biến (nghịch biến) trên K.
đồng biến (nghịch biến) trên K thì

trên K với mọi

k  0, kf  x 

kf  x 

đồng biến (nghịch biến)

nghịch biến (đồng biến) trên K với mọi k  0 .

B. Các dạng tốn điển hình
Tìm tập xác định của hàm số
y
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số

STUDY TIP
Khơng rút gọn biểu

thức của hàm số khi
tìm tập xác định của
nó.

x 1
 x  1  x 2  4 

.

A.

D  �\  2

B.

D  �\  �2

C.

D  �\  1; 2

D.

D  �\  1; �2

Lời giải
�x  1 �0
�x �1
��
�2

x  4 �0
�x ��2 . Vậy D  �\  1; �2 .
Điều kiện xác định: �
Đáp án D.

Lưu ý: Nếu rút gọn

y

thì biểu thức ban đầu

STUDY TIP
+

�   0; �

+

�*   0; �

+

R   �;0

+

R*   �;0 

1
x  4 rồi khẳng định D  �\  �2 là sai. Vì với x  1

2

x 1
 x  1  x 2  4 

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số
A.

D   0; �

B.

không xác định.

y

D  �\  1; 2

x
x  3x  2 là:
2

C.

D  �\  1; 2

D.

D   0; �


Lời giải

LOVEBOOK.VN | 11


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

�x �0
�x �0
�
۹ �x 1
�2
�x  3 x  2 �0
�x �2
�
Điều kiện xác định
.
Dạng
2

Vậy

D  � \  1; 2

.
Đáp án C.

Đồ thị của hàm số


y
Ví dụ 3: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số
A.

M  0; 1

B.

M  2;1

C.

M  2;0 

x2
x  x  1

?

D.

M  1;1

Lời giải

M  2;0 
Với x  2 thì y  0 . Vậy điểm
thuộc đồ thị hàm số đã cho.
Đáp án C.

Ví dụ 4: Đường cong trong hình nào dưới đây khơng phải là đồ thị của một hàm
số dạng

STUDY TIP
Một đường thẳng song
song hoặc trùng với
trục Oy cắt đồ thị hàm

y  f  x

số
nhiều
nhất tại một điểm.

A.

y  f  x

?

B.

C.

D.

Lời giải
Đường cong trong hình D không phải là đồ thị của một hàm số dạng
mỗi giá trị x  0 ứng với hai giá trị phân biệt của y.


LOVEBOOK.VN | 12

y  f  x

vì


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

Đáp án D.
Ví dụ 5: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số

a) Tìm số nghiệm của phương trình
A. 0

f  x  1

B. 1

y  f  x

có tập xác định là �.

.

C. 2

D. 3


b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3 nghiêm phân biệt.
A. 3; 2; 1

B. 4; 3; 2; 1

C. 3; 2; 1; 0

f  x  m  0

có

D. 2

Lời giải
a) Phương trình
số

y  f  x

f  x  1

là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm

và y  1 .

Đồ thị hàm số y  1 là đường thẳng song song với trục hồnh, cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 1.


LOVEBOOK.VN | 13


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10
STUDY TIP

www.thuvienhoclieu.com

Số giao điểm của đồ
thị hai hàm số

y  f  x
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y  1 cắt đồ thị hàm số
tại một
điểm duy nhất.

y  f  x

Vậy phương trình

và

f  x  1

có nghiệm duy nhất.

y  g  x

là
số

nghiệm của phương
trình

f  x  g  x

Đáp án B.
b) Ta có:

f  x  m  0 � f  x  m

(*).

y  f  x
(*) là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
và
y  m . Đồ thị hàm số y  m là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng m.
Phương trình

f  x  m  0

có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng

y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại ba điểm phân biệt.

Quan sát trên đồ thị hàm số

y  f  x

ta thấy nếu 4  m  0 thì đường thẳng


y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại ba điểm phân biệt.

Vậy các giá trị nguyên cần tìm của m là 3; 2; 1 .
Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 14


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

Ví dụ 6: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
A.

S   0; 2  � 5; 6 

B.

S   �; 2  � 0; 2  � 5;6 

C.

S   2;0  � 2;5 

D.

S   2;0  � 2;5  � 6; �


y  f  x

f  x  0

www.thuvienhoclieu.com

có tập xác định là �.

.

.
Lời giải

f  x   0 � x � �; 2  � 0; 2  � 5;6 
Quan sát trên đồ thị ta thấy
(đồ thị của
hàm số nằm hoàn tồn phía dưới trục hồnh).
Vậy

S   �; 2  � 0; 2  � 5; 6 

.
Đáp án B.

2
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y  x và

y  2 x  3  m 2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A  x A ; y A  và B  xB ; yB  sao cho

biểu thức


T  xA xB  2  xA  xB   2

đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

LOVEBOOK.VN | 15


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

A. 0

B. 4

www.thuvienhoclieu.com

C. 7

D. 9

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:

x 2  2 x  3  m2 � x 2  2 x  m2  3  0 (*).
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt

� (*) có hai nghiệm phân biệt �  '  0 � 4  m 2  0 � m 2  4 (**).
Khi đó x A và xB là hai nghiệm của (*).
�x A  xB  2
�

T  m 2  3  2.2  2  m 2  9
x .x  m 2  3
Theo Viet ta có �A B
. Do đó
.
Ta có

0 �m 2  4 � 9 �m 2  9  5 � 5  m 2  9 �9

.

Vậy 5  T �9 với mọi m thỏa mãn (**); T  9 � m  0 .
Dạng
3

Vậy với m  0 thì T đạt giá trị lớn nhất bằng 9.
Đáp án D.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(Phần này chỉ mang tính chất giới thiệu. Chủ đề “Bất đẳng thức” sẽ viết kĩ hơn
về nội dung này)

LOVEBOOK.VN | 16


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

y  f  x
 2;3 có đồ thị được cho

Ví dụ 8: Cho hàm số
xác định trên đoạn
như trong hình dưới đây:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

f  x

trên đoạn

 2;3 .

Tính M  m .
A. M  m  0

B. M  m  1

C. M  m  2

D. M  m  3

Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy M  3 (ứng với x  3 ), m  2 (ứng với x  2 ).
Vậy M  m  1 .
Đáp án B.
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

9
B. 2


A. 0

f  x   x 2   x  3

9
C. 2

2

.

3
D. 2

Lời giải
Tập xác định D  �.
2

9� 9
�
� 3� 9 9
x ��: f  x   2 x  6 x  9  2 �x 2  3x  �  2 �x  � �
4� 2
�
� 2� 2 2 .
+
2

+


f  x 

9
3
� x
2
2.

LOVEBOOK.VN | 17


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

Vậy

min f  x  
�

www.thuvienhoclieu.com

9
2.
Đáp án B.

x ��: x 2   x  3 �0
2

Lời giải sai:

Lời giải này sai do đẳng thức


. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.

f  x  0

không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x.

�x  0
�x  0
f  x  0 � �
��
�x  3  0
�x  3 , vơ lí.
Thật vậy,
Ví dụ 10: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

2x
x  1 . Tính m 2  M 2 .

y

2

A.

m2  M 2 

1
2


2
2
B. m  M  2

2
2
C. m  M  1

2
2
D. m  M  4

Lời giải
Tập xác định D  �.
Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức)
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có x ��:
2x
x 2 ��
1 
2��
x   2
1
x 1

1

2x
1
x 1 ;
2


2x
2x
 1 � x  1; 2
1� x 1
x 1
x 1
.
2

Vậy

m  min y  1; M  max y  1 � m 2  M 2  2
�

R

Cách 2: (Sử dụng tập giá trị của hàm số)

LOVEBOOK.VN | 18

.


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

Gọi y0 là một giá trị bất kì thuộc tập giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phải tồn


tại một giá trị x sao cho

y0 

2x
� y0 x 2  2 x  y0  0
x 1
2

(*). Ta coi (*) là

phương trình ẩn x, tham số y0 .
+ Nếu y0  0 thì x  0 .
 '  1  y02 �0 � 1 �y0 �1
+ Nếu y0 �0 thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi
.
Kết hợp hai trường hợp ta có 1 �y0 �1; y0  1 � x  1; y0  1 � x  1 .
Dạng
4

Vậy

m  min y  1; M  max y  1 � m 2  M 2  2
�

�

.
Đáp án B.


Tính chẵn, lẻ của hàm số
Ví dụ 11: Các hình dưới đây là đồ thị của các hàm số cùng có tập xác định là �.
Trong các đồ thị đó, đâu là đồ thị của một hàm số chẵn?

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Quan sát các đồ thị, ta thấy chỉ có đồ thị ở hình D là đối xứng qua trục Oy, do đó
nó là đồ thị của một hàm số chẵn.
LOVEBOOK.VN | 19


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com
Đáp án D.

STUDY TIP
- Hàm đa thức chỉ gồm các
số hạng chứa x bậc chẵn là
hàm chẵn.
- Hàm đa thức chỉ gồm các
số hạng chứa x bậc lẻ là
hàm lẻ.

- Hàm đa thức gồm cả các
số hạng chứa x bậc chẵn và
các số hạng chứa x bậc lẻ thì
khơng chẵn khơng lẻ.

Ví dụ 12: Cho các hàm số
(I) y  3 x  2

2
(II) y  x  5 x  2018

3
2
(III) y  5 x  3 x  x  1

4
2
(IV) y  x  x  1

Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số chẵn?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải
(I), (II) và (III) là các hàm khơng chẵn, khơng lẻ, chỉ có (IV) là hàm chẵn. Do đó

B là đáp án đúng.
Đáp án B.
Ví dụ 13: Cho hàm số

y  f  x

xác định trên tập đối xứng. Trên D, xét các hàm

1
1
f  x  f  x �
G  x  �
�
�
�
�f  x   f   x  �
�
2
2
số
và
. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
F  x 

A.

F  x

và


G  x

là các hàm số chẵn trên D.

B.

F  x

và

G  x

là các hàm số lẻ trên D.

C.

F  x

là hàm số chẵn và

D.

F  x

là hàm số lẻ và

G  x

G  x


là hàm số lẻ trên D.

là hàm số chẵn trên D.
Lời giải

F  x

Ta có
Vậy

và

G  x

đều xác định trên tập đối xứng D.

x �D : F   x  

F  x

1
1
f  x  f  x  �
 �
f  x  f  x  �
�
�
�
� F  x 

2
2�

là hàm số chẵn trên D.

LOVEBOOK.VN | 20


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

Lại có
STUDY TIP

Vậy

x �D : G   x  

G  x

www.thuvienhoclieu.com

1
1
�
f  x  f  x �
 �
f  x  f  x  �
�
�
� G  x 

2
2�

là hàm số lẻ trên D.
Đáp án C.

y  f  x

Cho hàm số
xác
Nhận xét:
định trên tập đối xứng D.

H  x  f  x  f  x
+ Dễ thấy hàm số
cũng là một hàm số chẵn, hàm số
1
F  x  �
f  x  f  x  �
�
�
2
+
K  x  f  x  f  x
cũng là một hàm số lẻ.
là hàm số chẵn trên D;
f1  x   2  x  2  x
1
Từ nhận xét này dễ thấy các hàm số
,

G  x  �
f  x   f  x  �
�
�
2
+
f 2  x   3x  2  3x  2 f3  x   x 2  3x  7  x 2  3x  7
,
… là các hàm số
là hàm số lẻ trên D;
2
2
+ Mọi hàm số xác định trên chẵn, các hàm số f 4  x   2  x  2  x , f 5  x   x  3x  7  x  3x  7 ,
một tập đối xứng đều biểu
f  x   3x  2  3x  2
, … là các hàm số lẻ.
diễn được một cách duy nhất 6
thành tổng của một hàm số
f  x  F  x  G  x
f  x
+ Ta có
. Vậy
ln biểu diễn được thành tổng của
chẵn và một hàm số lẻ.
một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Ta chứng minh rằng biểu diễn này là duy

nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại biểu diễn
chẵn và

Suy ra


N  x

M  x 

N  x 

là hàm lẻ thì ta có

f  x  M  x  N  x

với

M  x

là hàm

f  x   M  x   N  x   M  x   N  x 

.

1
�f  x   f   x  �
� F  x 
2�
và

1
�f  x   f   x  �
� G  x 

2�
.

LOVEBOOK.VN | 21


Dạng
5

Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

Sự biến thiên của hàm số

f  x

Ví dụ 14: Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
A.

 �;0 

B.

 1; �


C.

 2; 2 

D.

 0;1

Lời giải
Ta thấy trong khoảng
biến trong khoảng

 0;1 , mũi tên có chiều đi xuống. Do đó hàm số nghịch

 0;1 .
Đáp án D.

Ví dụ 15: Hàm số
A.

 1;0 

y  f  x   x4  2x2
B.

 1;1

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
C.


 0;1

D.

 1; �

Lời giải
Tập xác định: D  �.
Cách 1: x1 , x2  �, x1

x2

ta có

4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
f  x2   f  x1   x2  x1   2  x2  x1   x2  x1   x2  x1   2  x2  x1 


x2  x1
x2  x1
x2  x1


  x2  x1   x22  x12  2 

Ta thấy với

.

x1 , x2 � 0;1

2
2
thì x1  x2  0 và 0  x1 , x2  1

2
2
� x12  x22  2 � x12  x22  2  0 , do đó  x2  x1   x2  x1  2   0 .

LOVEBOOK.VN | 22


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

www.thuvienhoclieu.com

 0;1 .

Cách 2: Sử dụng chức năng TABLE của máy tính cầm tay tính giá trị hàm số
trên đoạn


 0;1

với STEP = 0,2.

Ta thấy trên khoảng
biến trên khoảng

 0;1

giá trị của hàm số giảm dần. Suy ra hàm số nghịch

 0;1 .
Đáp án C.

Ví dụ 16: Cho hàm số

Đặt

h  x   5x  f  x 

y  f  x

có bảng biến thiên như sau:

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.

h  3  h  1  h  2 


B.

h  1  h  2   h  3

C.

h  2   h  1  h  3 

D.

h  3  h  2   h  1

Lời giải
Quan sát trên bảng biến thiên ta thấy hàm số

 0; 4  , suy ra hàm số

y   f  x

y  f  x

đồng biến trên khoảng

nghịch biến trên khoảng

 0; 4  .

 �; � .
Mặt khác hàm số y  5 x đồng biến trên

Do đó hàm số
Suy ra

h  x   5x  f  x 

h  1  h  2   h  3 

đồng biến trên khoảng

 0; 4  .

.
Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 23


Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

Ví dụ 17: Cho hàm số

y  f  x

a) Số nghiệm của phương trình
A. 0

A.

1  m 


có bảng biến thiên như hình dưới đây.

f  x  3  0

B. 1

b) Phương trình

là

C. 2

f  x   2m  0

3
2

www.thuvienhoclieu.com

D. 3

có ba nghiệm phân biệt khi

3
1 �m �
2
B.

3
 m 1

C. 2

3
�m �1
D. 2

Lời giải
a)

f  x   3  0 � f  x   3

.

Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng y  3 có hai điểm chung phân biệt
với đồ thị hàm số

y  f  x

. Do đó phương trình

f  x   3

có hai nghiệm.
Đáp án C.

b)

f  x   2m  0 � f  x   2m

(*). Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt


y  f  x
khi đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt.

Muốn vậy thì ta phải có

3   2 m  2 �  2  2 m  3 � 1  m 

3
2.
Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 24


Dạng
6

Chuyên Đề Hàm Số Bậc Nhất Bậc Hai - Lớp 10

www.thuvienhoclieu.com

Xác định biểu thức của hàm số

f  x   x2  5

Ví dụ 18: Cho hai hàm số
hệ số của hàm số


f  g  x 

A. 18

và

g  x   x3  2 x 2  1

. Tính tổng các

.

B. 19

C. 20

D. 21

Lời giải
f  g  x     x 3  2 x 2  1  5  x 6  4 x5  4 x 4  2 x 3  4 x 2  6
2

Cách 1:

f  g  x 

Vậy tổng các hệ số của

là 1  4  4  2  4  6  21 .


Cách 2: Áp dụng kết quả: “Cho đa thức

P  x

đó tổng các hệ số của

f  g  1 

mà

g  1  4

nên

là

.

P  1

P  x   an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0

”, ta có tổng các hệ số của

f  g  1   42  5  21

. Khi

f  g  x 


là

.
Đáp án D.

Ví dụ 19: Cho hàm số

f  x  1  x 2  3x  2

y  f  x

. Tìm biểu thức

xác định trên � thỏa mãn x ��:

f  x

.

A.

f  x   x2  5x  2

B.

f  x   x2  5x  2

C.

f  x  x2  x  2


D.

f  x   x2  x  2

Lời giải
x ��: f  x  1  x 2  3x  2   x  1  5  x  1  2
2

Ta có
Do đó

f  x   x2  5x  2

.

.
Đáp án A.

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
Xem đáp án chi tiết tại trang 76

LOVEBOOK.VN | 25