HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
§1.HÀM SỐ BẬC 2
I/ Lý thuyết
II/ Các dạng tốn điển hình
Dạng 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai
Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai
Dạng 3:giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Dạng 4: sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác
Dạng 5: Tìm phương trình bậc hai khi biết các điểm thuộc parabol
Dạng 6: Bài toán thực tế
§2.HÀM SỐ BẬC 3
I/ Lý thuyết
II/ Các dạng tốn điển hình
Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba
Dạng 2: Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Dạng 3: Tương giao của đồ thị hàm bậc 3

§3.HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG
I/ Lý thuyết
II/ Các dạng tốn điển hình
Dạng 1: điều kiện để hàm số trùng phương đơn điệu trên khoảng k
Dạng 2: tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Dạng 3: tương giao của hàm số bậc 4
§4.HÀM SỐ LŨY THỪA
I/ Lý thuyết
II/ Các dạng tốn điển hình
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa.
Dạng 2. Đạo hàm và đồ thị của hàm số luỹ thừa.
§5.HÀM SỐ MŨ-LOGARIT
I/ Lý thuyết
II/ Các dạng tốn điển hình

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số logarit
Dạng 2. Đạo hàm và đồ thị của hàm số mũ - logarit
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ - logarit
Dạng 4. Bài tốn thực tế
§6.HÀM SỐ PHÂN THỨC
I/ Lý thuyết
II/ Các dạng tốn điển hình
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Dạng 3: Nhận dạng đồ thị hàm số phân thức
Dạng 4: Sự tương giao giữa hàm số phân thức và các đồ thị
§7.HÀM SỐ CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI
y  f ( x)
1.
y f  x
2.
y f  x
3.
y  u ( x) .v( x)
4.
1


§1.HÀM SỐ BẬC HAI
I/ LÝ THUYẾT
2
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y  ax  bx  c , với a, b, c là các hệ số, a �0 .
1. Tập xác định: D  �.
2. Chiều biến thiên:


3. Đồ thị
Đồ thị là một parabol có tính chất sau:
� b  �
I�
 ;
�
2a 4a �.
�
- Có đỉnh
- Quay bề lõm lên trên khi a  0 , quay bề lõm xuống dưới khi a  0
b
x
2a (đường thẳng đi qua đỉnh I và song song với trục tung).
- Có trục đối xứng là đường thẳng
y  ax 2  bx  c  a  0 

y  ax 2  bx  c  a  0 

4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất


b
x
2a .
- Khi a  0 , giá trị nhỏ nhất trên � của hàm số là 4a đạt được khi
� b  �
I�
 ;
�
2a 4a �là điểm thấp nhất của đồ thị hàm số.

�
Đỉnh

b
x
a  0 , giá trị lớn nhất trên � của hàm số là 4a đạt được khi
2a . Đỉnh
- Khi
điểm cao nhất của đồ thị hàm số.

2

� b  �
I�
 ;
�
� 2a 4a �là


II/ CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH
DẠNG 1:

XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
Loại 1: Xét sự biến thiên trên �
Loại 2: Xét sự biến thiên trên đoạn, khoảng
Loại 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Loại
Ví dụ minh họa
Giải
Xét

BT1: Cho hàm số
b
6
a


1

0,

3
2
chiều y   x  6 x  1
2a 2.  1
. Ta có
.
biến
Hàm số đồng Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
thiên
biến trên khoảng  �;3
trên
.
nào?
�
Xét
BT2: Có bao
b
a  1  0,
 m 1
chiều nhiêu giá trị

2a
Hàm số có
nên đồng
biến
nguyên
dương
biến trên khoảng.
thiên của tham số m để
Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng
trên
hàm
số
4; 2018 
đoạn
y  x 2  2  m  1 x  3 
thì ta phải có
4;
2018
�
m ���
1;  m 1 4 m 3
 
đồng biến trên 
 4; 2018  Vậy có ba giá trị nguyên dương của m
khoảng
thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3.
?
Lập
bảng
biến

thiê
n và
vẽ
đồ
thị
hàm
số

Lập bảng biến
thiên của hàm
số, sau đó vẽ đồ
thị hàm số
y = x2 - 4x + 3

Phương pháp:

Để xét tính đơn điệu của hàm
y  f  x
số
, ta thực hiện theo
các bước sau đây:
+ Bước 1. Tìm tập xác định
y  f  x
của hàm số
.
+ Bước 2. Tính đạo hàm
f ' x
và tìm các điểm x0 sao

f '  x0 

f '  x0   0
cho
hoặc
k
hông xác định.
+ Bước 3. Lập bảng xét
f ' x
dấu
, nêu kết luận về
các khoảng đồng biến, nghịch
y  f  x
biến của hàm số

-Vì a > 0 nên đồ thị hàm số có bờ lõm Để vẽ đường parabol
quay lên trên
y = ax2 + bx + c ta thực hiện
-Ta có BBT
các bước như sau:
– Xác định toạ độ đỉnh
– Xác định trục đối xứng
x = (-b)/(2a) và hướng bề lõm
 Hàm số đồng biến trên (2;+∞) và của parabol.
nghịch biến trên (-∞;2). Ta có:
– Xác định một số điểm cụ thể
Đỉnh I(2;-1)
của parabol (chẳng hạn, giao
Trục đối xứng x = 2
điểm của parabol với các trục
Giao điểm với Oy là A(0;1)
Giao điểm với Ox là B(1;0); C(1/3;0)

toạ độ và các điểm đối xứng
với chúng qua trục đối xứng).
- Căn cứ vào tính đối xứng, bề
lõm, hình dáng của parabol để
vẽ parabol.

3


Vẽ parabol

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ĐỒ THỊ
2
Các yếu tố đặc trưng của parabol y  ax  bx  c
- Đỉnh;
- Trục đối xứng;
- Hướng bề lõm.

Loại 1: Tìm đỉnh, trục đối xứng khi biết trước hàm số bậc 2
Loại 2: Cho trước 2 điểm thuộc parabol tìm trục đối xứng
Loạ
i
1

Ví dụ minh họa
Tìm đỉnh của
Parabol
y  2x2  4 x  1

Giải


Phương pháp

Hoành độ của đỉnh của parabol là Xác định toạ độ đỉnh I
b
4
và
x

1
2a 2.2
.
 Xác định toạ độ đỉnh I(x;y)
Khi đó tung độ của đỉnh của
Lưu ý:
2
y

2.1

4.1

1


1
parabol là
. + Ta có thể dùng cơng thức để tính tung độ

Vậy parabol đã cho có đỉnh là

yI 
4a . Ở bài này, việc tìm
của đỉnh là
I  1; 1
tung độ của đỉnh là đơn giản nên ta thay
trực tiếp mà không dùng công thức.
+ Ta có thể dùng máy tính cầm tay Casio để
tìm tọa độ của đỉnh như sau:
- Đầu tiên, ta giải phương trình
ax 2  bx  c  0 bằng chức năng giải
phương trình bậc hai.
- Sau khi bấm hiển thị hết nghiệm của
phương trình ta bấm dấu “=” hai lần liên
tiếp. Máy sẽ hiển thị xmin , ymin (với a  0 )
hoặc xmax , ymax (với a  0 ).
Từ đó ta có tọa độ của đỉnh của parabol.
Chẳng hạn với bài tốn trên ta có như sau:

Tìm trục đối
xứng của

Trục đối xứng của parabol có
phương trình là
4

+ Xác định hệ số a, b.


Parabol
y   x 2  3x  2

2

BT3: Cho
 P  đi
parabol
qua hai điểm
A  1; 4 
và
B  3; 4 
.
Tìm trục đối
 P .
xứng của

b
3
3
�x
� x
2a
2.  1
2
Nếu đường thẳng y  m cắt
x

parabol tại hai điểm phân biệt thì
hai điểm đó đối xứng với nhau
qua trục đối xứng của parabol.
Trong bài này ta thấy hai điểm
A, B cùng thuộc đường thẳng

y  4 . Vậy A, B đối xứng với
nhau qua trục đối xứng của
parabol. Suy ra phương trình của
trục đối xứng là
x x
1  3
x A B � x
� x 1
2
2

x

b
3
3
� x
� x
2a
2.  1
2

+ Áp dụng công thức:
+ Cho đường thẳng y  m cắt parabol
 P  : y  ax 2  bx  c tại hai điểm phân biệt
A  xA ; m 
B  xB ; m 
và
.
 P  có phương

+ Khi đó trục đối xứng của
x x
x A B
2 .
trình là

DẠNG 3:
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = -b/(2a). Cụ thể:
TH 1: a > 0

TH 2: a < 0

5


Ví dụ minh họa
Giải
2
BT1: Hàm số
  1  4.  3 .2  25
Ta có
y  3 x 2  x  2
Vì a  3  0 nên hàm số có giá trị lớn
có giá trị lớn
 25
nhất là gì?


nhất là: 4a 12 .
BT2: Giá trị
b 1
 � 2; 2 , a  5  0
nhỏ nhất của
Ta có 2a 5
.
hàm
số
 4
y  5x2  2 x  1
min f  x   min f  x  


2;2
�


4a 5 .
trên
đoạn Do đó
Để dễ hiểu hơn, ta quan sát bảng biến
 2; 2 là?
thiên của hàm số
x � 2  1
�
2
5
�
�

y
4
5
BT3: Giá trị lớn
b 1


nhất của hàm số
2
a
3 và a  3  0 .
Ta có
y  3 x 2  2 x  1 Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên
1;3
1
�1
�
�
trên đoạn  
 1;3 ��
� ; ��
� ; ��
là:
�. Mà
�3
�.
khoảng �3
1;3
Do đó trên đoạn   hàm số đạt giá trị
lớn nhất tại điểm x  1 , tức là

max f  x   f  1  0
 1;3
.

Phương pháp
2

+ Xác định hệ số a, b,c tính   b  4ac
+ Xác định dấu của a
+ Áp dụng công thức tính GTLN, GTNN
 Có thể dùng MTCT Casio để tìm
GTLN, GTNN của hàm số
Lưu ý:
max f  x   max  f  2  , f  2    max  17, 25  25
 2;2

Khi giải bài toán liên quan đến GTLN, GTNN
f  x   ax 2  bx  c
của hàm số bậc hai
trên
b
một đoạn, ta cần xác định xem 2a thuộc hay
khơng thuộc vào đoạn đó để có cách giải cho
ngắn gọn, chính xác.
Lưu ý: Ta có thể sử dụng chức năng TABLE
của MTCT để giải bài tốn tìm GTLN, GTNN
của hàm số trên một đoạn. Chẳng hạn với bài
này, ta cho Start bằng 1, End bằng 3 và Step
bằng 0,2 (nếu máy tính hiển thị được n dịng
kết quả trong bảng, thì ta có thể chọn Step

End  Start
n 1
bằng
).

DẠNG 4:
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VỚI ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC
Ví dụ minh họa
Giải
Phương pháp
BT1: Cho hai parabol có Phương trình hồnh độ giao điểm của hai
+ Viết pt tìm hồnh độ
phương trình
parabol:
giao điểm của hai
2
parabol.
x


1
y  x  x  1 và
�
2 x2  x  2  x2  x  1 � x2  2 x  3  0 � �
+ Sau khi tìm được
�x  3 .
y  2x2  x  2 .
hoành độ x, thế x vào 2
Biết hai parabol cắt nhau x  1 � y  1; x  3 � y  13 , do đó hai giao
pt ban đầu để tìm y.

6


tại hai điểm A và B
A  1;1
B  3;13
điểm là
và
.
x

x
B ). Tính độ dài
( A
2
2
AB   3  1   13  1  4 10
đoạn thẳng AB.
Từ đó
.

 Tìm được tọa độ
của hai giao điểm
+ Khoảng cách giữa hai
điểm
A  x A ; y B  , B  xB ; y B 
là:
AB 

 xB  x A 


2

  yB  y A 

BT2:
 P  : Bài tốn tương giao giữa
Hỏi có bao nhiêu giá trị m Phương trình2hồnh độ giao điểm của d và2
parabol với parabol hoặc
x

x

2


m

1
x

m

2
�
x

m

2

x
 m  4  với
0  *đường





nguyên trong nửa khoảng
parabol
thẳng
2
2
thường
quy
về
bài
toán
 10; 4  để xđường
 x  2thẳng
   m  1 x  m  2 � x   m  2  x  m  4  0  *
biện luận nghiệm của
P

d : y    m  1 x  m  2
phương trình bậc hai.
tại hai điểm phân biệt nằm về cùng
cắt d cắt
viết pt hoành độ giao
 P  : y  x 2  x  2 một phía đối với trục tung khi và chỉ khi  * có +điểm

parabol
tại hai điểm phân biệt nằm hai nghiệm phân biệt cùng đấu
+ Biện luận
về cùng một phía đối với
�m 2  8m  20  0
�  0
��
��
� m  4
trục tung?
�P  0
�m  4  0
.
Vậy có 6 giá trị m nguyên trong nửa khoảng
 10; 4  thỏa mãn ycbt.

DẠNG 6:
BÀI TỐN THỰC TẾ
Ví dụ minh họa

Giải
7

2


BT1: Khi một quả bóng được đá lên, nó
sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống.
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một
cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng
giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; h
là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng.
Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ
độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ
cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó đạt
độ cao 6m. Hỏi sau bao lâu thì quả bóng
sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính
chính xác đến hàng phần trăm?

2
Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là h  at  bt  c . Từ giả
 0;1; 2  ,  1;8;5  và  2;6  .
thiết suy ra parabol đi qua các điểm

Từ đó ta có

c  1, 2
�
�a  4,9
�
�
b  12, 2
�a  b  c  8,5 � �
�4a  2b  c  6
�
c  1, 2
�
�


.
2
Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là h  4,9t  12, 2t  1, 2
2
Giải phương trình : h  0 � 4,9t  12, 2t  1, 2  0
ta tìm được một nghiệm dương là t �2,58

§2: HÀM SỐ BẬC BA
y  ax 3  bx 2  cx  d

Số nghiệm y '

y

2 nghiệm
(2 cực trị)

O

y
1 nghiệm
(0 cực trị)

O

 a �0 

y

O


x

x

a0

a0

y

x

O

a0

x
a0

8


y

y
O

Vô nghiệm
(0 cực trị)


x

x

O

a0

BT1: Khảo
sát sự biến
thiên và vẽ đồ
thị của hàm số
y  x3   3 x 2  – 4 

a0

DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA
1. Tập xác định. D=R
1. Tập xác định D  �
2. Sự biến thiên
2. Sự biến thiên
+)Giới hạn hàm số tại vô cực

lim y  �;

x ��

lim y  �


x ��

2
+)Chiều biến thiên: y’  3x   6 x

x0
�
Cho : y’  0    3x 2   6 x  0 �  �
x  2
�
Hàm số đồng biến trong khoảng

 �;

 2  và  0;  �

Hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ B1: Tính đạo hàm:
+ B2: ( Bấm máy tính nếu nghiệm
chẵn, giải nếu nghiệm lẻ- không được
ghi nghiệm gần đúng)
+ B3: Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra
chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Tìm cực trị
2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực
(x→±∞)

(Hàm bậc ba và các hàm đa thức
khơng có TCĐ và TCN.)

x   2;  yCD  y  2   0

Hàm số đạt cực tiểu tại

x  0;  yCT  y  0   4

2.4 Lập bảng biến thiên
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá
trị trên bảng biến thiên.

+)Lập bảng biến thiên :

3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0
=>y= d
=> (0; d)
- Giao của đồ thị với trục Ox:

3. Đồ thị
Giao của đồ thị với trục Ox:

y  0   x3   3 x 2  – 4  0
x 1
�
  ( x  1)( x  2) 2  0 � �
x  2
�


y  0   ax3   bx 2   cx  d  0

Vậy (-2;0) và (1;0) là các giao điểm của đồ thị với
trục Ox
Giao điểm của đồ thị với trục Oy:
x  0  y   4.
Vậy (0;-4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Bảng giá trị :
9

 x  ?
- Các điểm CĐ; CT nếu có.
(Chú ý: nếu nghiệm bấm máy tính
được 3 nghiệm thì ta bấm máy tính,
cịn nếu được 1 nghiệm ngun thì
phải đưa về tích của một hàm bậc


Tìm điểm uốn
 y’’  6 x  6
Cho y’’  0 �   6 x  6  0

� x   1  y   2
U  1,  2 

Đồ thị hàm số có điểm uốn :
Vẽ đồ thị (C) :

nhất và một hàm bậc hai để giải

nghiệm. Trường hợp cả ba nghiệm đều
lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục
vụ cho việc vẽ đồ thị)
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)(điều này làm sau khi hình dung hình
dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học
sinh lấy điểm phía bên đó, khơng lấy
tùy tiện mất thời gian.)
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị.
Hàm bậc ba nhận điểm làm tâm đối
xứng.
+ Trong đó: x0 là nghiệm của phương
trình
y’’ = 0 (đạo hàm cấp hai bằng 0)
+ Điểm I được gọi là ‘điểm uốn’ của
đồ thị hàm số.

Kết luận: Đồ thị hàm số bậc 3 đã cho nhận điểm
U(-1;-2) làm tâm đối xứng

Ví dụ
Đường thẳng
y  4 x  2 và đồ thị
hàm số

y  x3  2 x 2  3x có
tất cả bao nhiêu giao
điểm?

DẠNG 2:
TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Giải
Phương pháp:
Số giao điểm của hai đồ thị bằng số nghiệm Cho 2 hàm số
của phương trình hồnh độ giao điểm.
y  f ( x), y  g ( x ) có đồ thị lần
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
 C  và  C’ .
lượt là
x3  2 x 2  3 x  4 x  2
+) Lập phương trình hồnh độ
� x3  2 x 2  x  2  0
giao điểm của

x 1
�
�  x  1  x  1  x  2   0 � �
x  1
�
�
x2
�
Suy ra đường thẳng thẳng y  4 x  2 và
3
2
đồ thị hàm số y  x  2 x  3x có tất cả
ba giao điểm

10

 C


và  C’ : f ( x)  g ( x)

+) Giải phương trình tìm x từ đó
suy ra y và tọa độ giao điểm.
+) Số nghiệm của (*) là số giao
điểm của

 C

và  C’ .


11


DẠNG 3: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3
Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)
+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm dạng
+) Cơ lập m đưa phương trình về dạng

F  x, m   0

m  f  x

(phương trình ẩn x tham số m)

y  f  x

+) Lập BBT cho hàm số

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.
*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x.
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

F  x, m   0

+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm
+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử 0 x x  là 1 nghiệm của phương trình.
+) Phân tích:

�x  x0
F  x, m   0 �  x  x0  .g  x   0 � �
�g  x   0
g  x  0

(là

là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ).

g  x  0

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2
.
Phương pháp 3: Cực trị
*) Nhận dạng: Khi bài tốn khơng cơ lập được m và cũng khơng nhẩm được nghiệm. *) Quy tắc:

F  x, m   0 (1)

y  F  x, m 


+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm
. Xét hàm số
+) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì
+) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì
+) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ

y  F  x, m 

y  F  x, m 

đồ thị
cắt trục
đồ thị
cắt trục
hoành tại đúng 1 điểm. (2TH)
hoành tại 3 điểm phân biệt 
- Hoặc hàm số ln đơn điệu trên Hàm số có cực đại, cực tiểu và
R  hàm số khơng có cực trị  yCD . yCT  0
y’>0 hoặc vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép � y ' �0

y  F  x, m 

thị
cắt trục hoành tại
2 điểm phân biệt  Hàm số có cực
đại, cực tiểu và yCD . yCT  0

- Hoặc hàm số có cực đại, cực


tiểu và yCD . yCT  0

Bài tập minh họa
Xét phương trình

Cho hàm số



 



f ( x)  x3  3 x2  2 có đồ thị là x3  3x 2  2 3  3 x3  3x 2  2 2  2  0
(1)
đường cong trong hình bên. Hỏi
3
2
3
2
phương trình
1 Đặt t  x  3 x  2 (*) thì 1 trở thành t  3t  2  0 2
3
2
t 1
x3  3 x 2  2  3 x 3  3 x 2  2  2  0
�
�
t  1 3
có bao nhiêu nghiệm thực phân

�
biệt?
�
t  1 3
Theo đồ thị ta có 2 có ba nghiệm phân biệt �



 



12


Từ đồ thị hàm số ta có

t  1� 2;2 

(*) có ba nghiệm phân biệt

t  1  3 � 2;2 
khi t 1)

t  1  3 � 2;2 

nên (*) có ba nghiệm phân biệt (khác ba nghiệm

nên (*) có đúng một nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt

Nhận xét: Với mỗi giá trị t , học sinh có thể sử dụng máy tính bỏ túi để
thử nghiệm

13


§3: HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG
y  ax 4  bx 2  c  a �0 

Số nghiệm y '

3 nghiệm
(3 cực trị)

a0

a0

a0

a0

1 nghiệm
(1 cực trị)

DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Bài minh họa
Giải
Phương pháp:
Khảo sát hàm

+ Tập xác định D=
số và vẽ đồ thị
+Tập xác định D=
+ Giới hạn vô cực
+Xét chiều biến thiên
Đạo hàm y
+ Đạo hàm:


+ Tìm cực trị:
Hàm số có 1 điểm cực trị tại
 Hàm số có 3 điểm cực trị
tại


+Ta
có
bảng

+ Tìm các giới hạn vơ cực:

biến

14


thiên:
+ Lập bảng biến thiên:
Gồm có 3 dịng
+ Vẽ đồ thị hàm số

Hàm số đồng biến trên
Hàm số nghịch biến trên
Hàm số có một cực đại tại và hai điểm cực tiểu tại
+Đồ thị hàm số:

DẠNG 2: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Bài minh họa
Giải
Phương pháp:
Đồ thị hàm số
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị Cho 2 hàm số y  f ( x), y  g ( x) có đồ
4
2
y  15 x  3x  2018 hàm số và trục hoành:
 C  và  C’ .
4
2
thị lần lượt là
cắt trục hoành tại bao y  15 x  3 x  2018
+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm
2
nhiêu điểm?
x

t
,
t
�
0
của

Đặt
.
Phương trình tương đương
 C  và  C’ : f ( x)  g ( x)

15t 2  3t  2018  0
� 3
t
�
��
� 3
t
�
�
 t  t 

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y
và tọa độ giao điểm.
+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của

121089
0
30
121089
0
30

 C

3  121089

30

nên * có 2 nghiệm phân biệt. Vậy đồ
15

và  C’ .


thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm.

DẠNG 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4
Bài minh họa
Giải
Phương pháp
4
2
Cho hàm số
TÌM
NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Đặt t  x  2 x  3 . Khi đó ta có BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG:
4
2
f ( x)  x  4 x  3
t 4  4t 2  3  0 (2) . y  ax 4  bx 2  c  a �0 
phương
trình
có đồ thị là đường
(1)
cong trong hình bên. Nghiệm của phương trình (2) là hồnh 1. Nhẩm nghiệm:

độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục
Hỏi phương trình
hồnh Dựa vào đồ thị ta thấy: phương - Nhẩm nghiệm: Giả sử x  x0 là một
4
4
2
x  4x  3
trình có 4 nghiệm
nghiệm của phương trình.
4
2
- Khi đó ta phân tích
�
x  4x  3   3









2

4 x 4  4 x 2  3  3  0

có bao nhiêu nghiệm
thực phân biệt


�
t 3 �
�
�
t  1
x 4  4 x 2  3  1
�
��
�
t 1
x4  4 x2  3  1
�
�
�4
�
t 3
�
x  4 x2  3  3
�

(vô nghiệm)





f  x, m   x 2  x02 g  x   0

x  �x0
�

��
g  x  0
�
- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình
bậc 2 g ( x)  0
2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2:
- Đặt

t  x 2 ,  t �0 

.

2

Phương trình: at  bt  c  0 (2).
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có

t ,t

t1  0  t2
�
�
t1  t2  0
�

nghiệm 1 2 , thỏa mãn:
- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có

t1  0  t2
�

�
0  t1  t2
�

t ,t
nghiệm 1 2 , thỏa mãn:
- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có

t ,t
0  t1  t2
nghiệm 1 2 , thỏa mãn:
- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có
t ,t
nghiệm 1 2 , thỏa mãn:

16

0  t1  t2




§4: HÀM SỐ LŨY THỪA y  x (  ��. )
I/ LÝ THUYẾT

y  x ,   0.



y  x ,   0.




0; � .
1. Tập giá trị:
2. Sự biến thiên
y '   .x 1  0

y '   .x 1  0

x  0.

Giới hạn đặc biệt:
lim x  0, lim x  �.

x

0

�



y’
y

x  0.

x��


x�0

Tiệm cận: khơng có.

3. Bảng biến thiên.



Giới hạn đặc biệt:
lim x  �, lim x  0.

x��

x �0



0; � .
1. Tập giá trị:
2. Sự biến thiên

Tiệm cận:
 Ox là tiệm cận ngang.
 Oy là tiệm cận đứng.
3. Bảng biến thiên.

x

0


�

�

y’
y

0

�


0

4. Đồ thị của hàm số.
Đồ thị của hàm số lũy thừa

y  x

luôn đi qua điểm

 

I 1;1 .

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên tồn bộ tập xác
định của nó. Chẳng hạn:
Xét hàm số

y   f ( x) 




① D  � nếu  nguyên dương
②

D  �\  0

với  nguyên âm

17


③

D   0; �

với  không nguyên

VD:
3
◈ Hàm số y  x ta xét trên �.
2
�\  0
◈ Hàm số y  x ta xét trên
.

 0;� .
◈ Hàm số y  x ta xét trên


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM LŨY THỪA
Ví dụ minh họa
Giải
Phương pháp
e
BT1: Tìm tập xác định D của
D   0; �
Hàm số y  x có số mũ
với  không nguyên
e
hàm số y  x
e không nguyên nên xác
định khi
xác định

x  0 . Vậy tập

D   0; �



BT2: Tìm tập xác định D của
hàm số





y  x2  1


2



y  x2  1

2

1

D  �\  �1

.





D  �\  0

với  nguyên âm

Vậy

là tập xác
định của hàm số đã cho.
BT3: Tìm tập xác định D của Hàm số xác định khi
hàm số
�

25  x 2  0

y  3 25  x

với  nguyên âm

Hàm số
có số mũ là số nguyên
âm nên xác định khi
x 2  1 �0

۹�x

2 1 18

D  �\  0

2020

�x  3 �
� �
�x  3 �

�
�x  3
�0
�
x

3

�
�x  3 �0
�
�5  x  5
��
�x ��3

Vậy tập xác định là

D   5;5 \  �3

D   0; �

với  không nguyên

Lưu ý:
Theo định
n

x

1
xn

chỉ xảy ra nếu

nghĩa,

đẳng


thức

x  0.

Do đó hàm số y 
nhất

ynx

1
xn

với hàm số
Như vậy cần nhớ lại



không đồng

 n ��* 

�y  2 n f ( x ), n ��*

:

Hàm số xác định � f ( x) xác
định và f ( x ) �0.
18





�y  2n 1 f ( x ), n ��*

:

Hàm số xác định � f ( x) xác
định.
⬧ Casio:
table → NHẬP HÀM → START: a
→ END: b → STEP khéo tý

DẠNG 2:
ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA
Ví dụ minh họa
Giải
BT1: Tính đạo hàm của
các hàm số sau:

a ) y '  6  2 x  1

a) y   2 x  1

b) y '  x

b) y  x

3

5






c ) y  3x 2  5 x  1

1
4

2

 
'

5









( x  )�
  .x 1.

5 1


5x

 ��, x  0

Đối với hàm hợp:

3�
4�

(u )�  .u 1.u '

�
�

Đặc

1
4

  3x2  5x  1

3
3x 2  5 x  1
4





3

3x 2  5 x  1
4

Đạo hàm



�
c) y '  �3x 2  5 x  1
�
�


Phương pháp

1
4

 6 x  5

biệt:

 n x

'

 nu

'





1
n x n 1
1
n

u '.n u n 1
n

Casio:

d
 f ( x) 
dx

x  x0  f

'( x) �0

(t
hường ra số có dạng

a.10 n với n nguyên
dương
BT2: Cho hàm số




y  f ( x)  5 

2
2 3
x



a)



y  f ( x)  5 

2
2 3
x



2

có số mũ khơng


a) Tính đạo hàm của
nguyên 3 .
hàm số tại x=2
b) Tìm x biết f '( x )  0 Đk: 5  x 2  0 � x 2  5 �  5  x  5
TXĐ:




D   5; 5



19




2
y '   . 5  x2
3





2
 1
3 .

 5  x2 

'

5





2
 y '   . 5  x 2 3 .  2 x 
3
Đạo hàm của hàm số tại x  2 �D



2
 y '(2)  f '(2)   . 5  22
3









5
3.

 2.2  

8
3


5


2
f '( x)  0 �  . 5  x 2 3 .  2 x   0
3
� 2 x  0 � x  0
b)

Vậy

x  0 thì f '( x)  0

4
BT3: Vẽ đồ thị của các
3
hàm số:
Xét hàm số y  x , ta có: D  �
4

y  x3

lim y  �

x ���

1

4
y '  x2

3
Bảng biến thiên

Đồ thị

§5: HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
20

+ Xét đồ thị: tìm điều
kiện xác định
+ Tìm y’
+ Lập bảng biến thiên
+ Vẽ đồ thị




HÀM SỐ MŨ



 a  0,a �1 .

y  ax ,

y  ax, a  1

y  ax , a  1

1. Tập xác định: D= �.


1. Tập xác định:D= �.

T   0; �

T   0; �

2. Tập giá trị:
3. Tính đơn điệu:
y '  a x ln a  0, x ��
 Hàm số đồng biến trên �
4. Giới hạn đặc biệt:

2. Tập giá trị:
3. Tính đơn điệu:
y '  a x ln a  0, x ��
 Hàm số nghịch biến trên �
4. Giới hạn đặc biệt:

�lim y  lim a x  0
�x �� x ��
� y0
�
x
lim
y

lim
a


�
�
�x �� x ��
là tiệm cận ngang

�lim y  lim a x  �
�x �� x ��
� y0
�
x
lim
y

lim
a

0
�
�x �� x ��
là tiệm cận ngang

5. Bảng biến thiên.

5. Bảng biến thiên.

Đồ thị như hình sau.

Đồ thị như hình sau.

HÀM SỐ LOGARIT


0  a 1

a1

 0; �
1.Tập xác định: D=
2.Tập giá trị: T  �
4. Tính đơn điệu:
y' 

 0; �
2.Tập xác định:D=
2. Tập giá trị: T  �
3. Tính đơn điệu:

1
 0, x � 0; �
x ln a

 Hàm số đồng biến trên
4. Giới hạn đặc biệt:

y  log a x

y' 

 0; �

1

 0, x � 0; �
x ln a

 Hàm số nghịch biến trên
4. Giới hạn đặc biệt:
21

 0; �


lim y  lim log a x  �
�
�x �0
x �0
�
�lim y  lim log a x  �
x ��
�x ��
�x0

lim y  lim log a x  �
�
�x �0
x �0
�
�lim y  lim log a x  �
x ��
x ��
� x  0 là tiệm cận đứng
là tiệm cận �


đứng
5. Bảng biến thiên.

5. Bảng biến thiên.

Đồ thị như hình sau.

Đồ thị như hình sau.

x
y  log a x khi vẽ trên cùng hệ trục tọa độ: hai đồ thị luôn đối
Đặc điểm chung của đồ thị hàm số y  a và
xứng nhau qua đường thẳng y  x (đường phân giác của góc phầnt ư thứ nhất và thứ ba)

II/ DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1:
TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
HÀM SỐ MŨ
Ví dụ minh họa
Giải
Phương pháp
22


BT1: Tìm tập xác định của
các hàm số sau:

Đối với hàm số mũ


2

y  e 2x 8

y  ax , a  0,a �1

Điều kiện xác định của hàm số

2

y  e 2x 8

có tập xác định
trên �. Nên khi bài tốn u cầu tìm
tập xác định của hàm số mũ
f x
y  a   , a  0,a �1
ta chỉ cần tìm
f  x
điều kiện để
có nghĩa (xác
định)

2x2  8 �0 � x�(�,4] �[4,�)
Vậy tập xác định của hàm số:
D  �\  4,4

BT2: Tìm tập xác định của
hàm số


f ( x) 

1
2 x  16



Hàm số xác định

�x �4
�
�2 x  16 �0
�
��
�� 5
x�
�2 x  5 �0
�
� 2
5
�
�
D  � ; ��\  4
2
�
�
Vậy TXĐ:

 2x  5


HÀM SỐ LOGARIT
BT1: Tìm tập xác định D Hàm số có nghĩa khi :
của hàm số
x5
�



y  log x 2  6 x  5

Vậy
BT2: Tìm tập xác định
của hàm số



y  log 2 5

x2

 125

+ Hàm số logarit
y  loga x, a  0, a �1

x2  6 x  5  0 � �
x 1
�
.




D   �;1 � 5; �

5



 125  0 � 5

x 2

có tập

D   0,�
xác định
+ Hàm số logarit
y  loga f  x , a  0,a �1

có

�
�f  x  0
�
f  x
điều kiện xác định là: �

Hàm số xác định khi:
x2




3

 5 � x  1 Vậy

tập xác định D=(1;+∞).

BT3: Tìm tập xác định Hàm số xác định khi:
của hàm số
3x  4  0
3x  4  0
�
�

y  log 2  3x  4 

��
�
3x  4 �1
�log 2 (3x  4) �0 �
�3�۳
x 3 0
x 1

Vậy TXĐ:

D   1; �

DẠNG 2:

ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LŨY MŨ – LOGARIT
* HÀM SỐ MŨ
Ví dụ minh họa
Giải
BT1: Tính đạo hàm của các
hàm số sau:

a) y  2 xe x  3sin 2 x
b) y  5 x 2  2 x cos x
c) y 

x 1
3

x

a) y '  2.e  2 x.e  6cos 2 x  2e  1  x  3cos 2 x 
x

x



x

x

b) y '  10 x  2 ln 2.cos x  sin 2

x




 10 x  2 x  ln 2.cos x  sin x 
'

x
x
�x  1 � 3  3 ln 3 1  ln 3
c) y '  � x �

32 x
3x
�3 �

23

Phương pháp
 Đạo hàm

(a x )�
 a x .ln a
x
� x
Đặc biệt: (e )  e
Đối với hàm hợp:

(a u )� u�
.au .ln a
Đặc biệt:



(eu )� eu .u�
BT2: Vẽ đồ thị của các hàm
số:

TXĐ: D  �

+ Viết TXĐ
+ Tìm đạo hàm
=> xđ khoảng đồng
biến, nghịch biến
+ Tìm đường tiệm
cận.
+ Lập bảng biến
thiên.
+ Vẽ đồ thị

* HÀM SỐ LOGARIT
BT1: Tính đạo hàm của các
hàm số sau:

a)  log a u  ' 

a) y  log 2 x 2  x  1

x 2  x  1 '

2x  1
 y ' 


.
2
2
x

x

1
ln
2
x

x

1
ln
2









b) y  ln 1  x  1






b)  ln u  ' 

u'
u.ln a . Khi đó:

u'
.
u

 

 y '  ln 1  x  1



'



1
1


x  1

x 1 '


1
1
 2 x 1 
1 x 1
2 x 1 1 x 1



BT2: Tính đạo đạo hàm của
hàm số



y  log3  x  1  2ln  x  1  2 x Sử dụng công thức
tại điểm



 log a u  ' 

x2

24

Đạo hàm
1
 log a x  �
x.ln a





u'
u.ln a ta được:

(ln x)�


1
x

Đặc biệt:
Đối với hàm hợp:
u�
 log a u  �
u.ln a
Đặc
biệt:
u�
(ln u )�

u


y' 

1
1
2
2

 x  1 ln 3 x  1

 y '  2  
BT3: Vẽ đồ thị của các hàm

Ta có

1
1
2 2 
3ln 3
3ln 3

D   0; �

+ Viết TXĐ
+ Tìm đạo hàm
=> xđ khoảng đồng
biến, nghịch biến
+ Tìm đường tiệm
cận.
+ Lập bảng biến
thiên.
+ Vẽ đồ thị

số: y  log x
Bảng biến thiên

DẠNG 3:
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ MŨ - LOGARIT

x
⬧ Nếu cho đồ thị hàm số dạng y  a ; y  log a x ; thì dựa vào dáng đồ thị.
x
⬧ Nếu cho hàm số dạng y  a ; y  log a x thì dùng quy tắc tìm GTLN-GTNN.
⬧ Casio: Dùng table để khảo sát tính tăng giảm, giảm của hàm số để chọn được đáp.
* HÀM SỐ MŨ
Ví dụ minh họa
Giải
Phương pháp
BT1: Giá trị nhỏ nhất Ta có
+ Tìm y’
của
hàm
số y '   x  1 e x 1 � y '  0 � x  1
+ Cho y’=0 => tìm x
x 1
+ Tính y tại hai đầu mút và
y  x.e
trên −2;0 y  2   2e1 , y  1  1, y  0   0
y tại điểm x vừa tìm được/
bằng
hoặc vẽ BBT.
x 1
y

x
.
e
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên −2;0 + Xét GTLN, GTNN.

bằng −1.
BT2: Giá trị lớn nhất
y  e x ln x trên 1;e. Ta có
Xét
hàm
số
của
hàm
số

y  e x ln x
1;e ,

trên

1
1�
�
y '  e x ln x  e x .  e x �
ln x  �
x
x�
�
x � 1; e 
ln x � 0;1  y '  0 (x � 1; e

Vì
nên
Ta có bảng biến thiên:


25