II/ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ


ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT
HÀM SỐ BẬC NHẤT
Dạng 1: Xác định hàm số thỏa mãn các điều kiện cho trước
Loại 1: Đi qua hai điểm A, B. Nếu
Loại 2: Đi qua A và song song với đưởng thẳng
Loại 3: Đi qua A và vng góc với đường thẳng
Dạng 2: Xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất
Loại 1: Đường thẳng trùng với đường thẳng
Loại 2: Đường thẳng song song với đường thẳng
Loại 3: Đường thẳng vng góc với đường thẳng
Loại 4: Đường thẳng cắt với đường thẳng
Dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc
nhất
Dạng 4: : Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và cho bởi
nhiều công thức
Loại 1: Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Loại 2: Đồ thị của hàm số cho bởi nhiểu công thức
Dạng 5: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh
bất đẳng thức và tìm GTNN, GTLN


HÀM SỐ BẬC HAI
Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai và sự tương giao của đồ thị
Loại 1: Xác định hàm số bậc hai khi cho trước các điều kiện
Loại 2: Xác định tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung, trục
hoành
Loại 3: Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị
Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai

Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và cho bởi
nhiều công thức
Loại 1: Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Loại 2: Đồ thị của hàm số cho bởi nhiểu công thức
Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai trong tìm GTNN, GTLN

HÀM SỐ BẬC BA
Dạng 1: Bài toán liên quan tới cực trị của hàm số bậc ba
Loại 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số bậc ba.
Loại 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Loại 3: Tìm tham số m đề hàm số có cực trị thỏa mãn 1 điều
kiện cho trước
Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số trùng phương
Loại 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm trùng phương
đạt cực trị (cực đại, cực tiểu)
Loại 2: Tìm tham số m để 3 điểm cực trị hàm trùng phương
tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC thỏa các điều kiện


Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương

HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Dạng 1: Tính tích phân các hàm phân thức hữu tỉ
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ
Dạng 3 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân
thức hữu tỉ
Loại 1: Hàm số

Loại 2: Hàm số

y=

HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Dạng 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Loại 1: Đồ thị hàm số
Loại 2: Đồ thị hàm số
Loại 1: Đồ thị hàm số
Dạng 2: Tính tích phân của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
Dạng 3: Bài toán vận dụng cao về hàm số chứa dấu trị tuyệt
đối (giới thiệu)
Loại 1: Xét tính đơn điệu của hàm chứa dấu trị tuyệt đối
Loại 2: Cực trị của hàm chứa dấu trị tuyệt đối
Loại 3: Tìm GTNN, GTLN của hàm chứa dấu trị tuyệt đối
Loại 5: Xét sự tương giao hàm chứa dấu trị tuyệt đối


HÀM SỐ LŨY THỪA
Dạng 1: Bài toán liên quan tới các yếu tố của hàm số lũy
thừa
Loại 1: Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa
Loại 2: Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lũy
thừa
Dạng 3: Ứng dụng của hàm số lũy thừa
Loại 1: Tìm GTNN, GTLN
Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến

HÀM SỐ MŨ

Dạng 1: Bài toán liên quan tới các yếu tố của hàm số mũ
Loại 1: Tìm tập xác định
Loại 2: Đạo hàm của hàm số mũ
Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ
Dạng 3: Ứng dụng của hàm số mũ
Loại 1: Tìm GTNN, GTLN
Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến

HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 1: Bài tốn liên quan tới các yếu tố của hàm số logarit
Loại 1: Tìm tập xác định của hàm số logarit
Loại 2: Đạo hàm của hàm số logarit
Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
logarit
Dạng 3: Ứng dụng của hàm số logarit


Loại 1: Tìm GTNN, GTLN
Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến

NỘI DUNG - PHƯƠNG PHÁP GIẢI - VÍ
DỤ

HÀM SỐ BẬC NHẤT
Dạng 1: Xác định hàm số thỏa mãn các điều kiện cho trước
Loại 1: Đi qua hai điểm A, B. Nếu
 Phương trình đường thẳng d có dạng (1)
 Thế tọa độ A, B vào (1) được hệ phương trình 2 ẩn a và b(2)
 Giải hệ phương trình (1) và (2) ta tìm được a, b
Loại 2: Đi qua A và song song với đưởng thẳng d’:






Phương trình đường thẳng d có dạng (1)
Vì nên thế tọa độ điểm A vào (1) => phương trình (*)
Vì (**)
Giải hệ (*) và (**) ta tìm được a,b

Loại 3: Đi qua A và vng góc với đưởng thẳng d’:





Phương trình đường thẳng d có dạng (1)
Vì nên thế tọa độ điểm A vào (1) => phương trình (*)
Vì (**)
Giải hệ (*) và (**) ta tìm được a,b

Xét hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, hãy xác định
hàm
rằng:
Hàmsố
số biết
có dạng
a.Vì
hàm
số điểm

đi qua(1;3)
hai điểm
(1;3) và (2;-1), ta có hệ phương trình:
a.
d đi
qua
và (2;-1).
b. d đi qua điểm (3;-2), đồng thời song song với d’: c. đi qua
(2;-1) và vng góc với d’:
Vậy
b. Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song, ta biến đổi d’ về

dạng:


Do d song song d’, suy ra:

lại có d đi qua (3;-2), suy ra:

, suy ra:

Ta có thu được hàm số cần tìm.
c. Đồ thị đi qua điểm (2;-1) nên:
Lại có d vng góc d’:

Vậy ta thu được:

Dạng 2: Xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất
Loại 1: Đường thẳng trùng với đường thẳng
Loại 2: Đường thẳng song song với đường thẳng

Loại 3: Đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Loại 4: Đường thẳng cắt với đường thẳng


Cho đường thẳng d: y = (m - 1)x + m và d': y = (m2 - 1)x + 6.
Tìm m để hai đường thẳng d, d’ song song với nhau
Với ta có do đó hai đường thẳng này song song với nhau
Với ta cósuy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại
Với m ≠ ±1 khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc
nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi

Đối chiếu với điều kiện suy ra
Vậy và là giá trị cần tìm.

Dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc
nhất
Xét hàm số
- Tập xác định: D =
- Khi a > 0, hàm số đồng biến. Ngược lại, khi a < 0, hàm số nghịch
biến.
- Ta có bảng biến thiên hàm số:


Cho hàm số sau. Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
Tập xác định D =
hàm số sau:
, vậy nên hàm số đồng biến trên
Bảng biến thiên được vẽ như sau:

Vẽ đồ thị: để vẽ đồ thị, ta xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi

qua, cụ thể là hai điểm (-2;0) và (-1;3)

Dạng 4 Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và cho bởi nhiều
công thức
Loại 1: Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = | ax + b | ta làm như sau
Cách 1: Vẽ (C1 ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa
mãn x ≥ (-b)/a , Vẽ (C2 ) là đường thẳng y = -ax - b lấy phần đồ thị sao cho x < (-b)/a.
Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ).
Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = -ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm
dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hồnh chính là (C).
Chú ý:
+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C1 ): y = f(|x|) là gồm phần :
- Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung;


- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.
+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C2 ): y = |f(x)| là gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hồnh
- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
Vẽ đồ thị của hàm số sau
Vẽ hai đường thẳng và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành.

Vẽ đồ thị của hàm số sau

Loại 2: Đồ thị của hàm số cho bởi nhiểu công thức
Khi x ≥ 0, hàm số có dạng y=2x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua
(0;0) và (1;2) (chú ý chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0)
- Khi x < 0, hàm số có dạng y=-x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua
(-1;1) và

(-2;2) (chú ý lấy phần nằm bên trái đường thẳng x=0)

Dạng 5: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong tìm GTNN, GTLN


Cho hàm số f(x) = ax + b và đoạn [α; β] ⊂ R.Khi đó, đồ thị của hàm
số y = f(x) trên [α; β] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:

Cho hàm số f(x) = |2x - m|. Tìm m để giá trị lớn nhất của f(x)
Dựa vào các nhận xét trên ta thấychỉ có thể đạt được tại hoặc
trên [1; 2] đạt giá trị nhỏ nhất.
Như vậy nếu đặt

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3.

HÀM SỐ BẬC HAI
Dạng 1: Xác định hàm số bậc hai và sự tương giao của đồ thị
Loại 1: Xác định hàm số bậc hai khi cho trước các điều kiện
Gọi hàm số cần tìm là y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0. Căn cứ theo giả thiết
bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy
ra
hàm
số cần
Xác
định
hàmtìm.
số bậc hai biết đồ thị của nó đi qua A(0;-1) và
B(4;0)
Đồ thị hàm số đi qua A(0;-1) và B(4;0) nên ta có:



Vậy parapol cần tìm là
Loại 2: Xác định tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung, trục
hoành
Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục
hoành (nếu có) của một parabol
Ta có có

+ Đỉnh của Parabol là
+ Khi thì Vậy giao điểm với trục tung là A(0 ; 2).
+ Khi thì . Phương trình có hai nghiệm hoặc
Vậy giao điểm với trục hoành l
Loại 3: Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị
Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị f(x) và g(x). Ta xét phương trình hồnh độ gioa
điểm f(x)=g(x) (1).
-Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.
-Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm x vào y=f(x) hoặc y=g(x) để tính y.

Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị sau:
Xét phương trình tọa độ giao điểm của (d) và (P):
d : và (P) :

Vậy tạo độ giao điểm của (d) và (P) là (0;-1) và (3;2).
Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai
Để vẽ đường parabol y = ax 2 + bx + c ta thực hiện các bước như
sau:
– Xác định toạ độ đỉnh



– Xác định trục đối xứng x = (-b)/(2a) và hướng bề lõm của parabol.
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm
của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng
qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ
parabol.
Lập bảng biến thiên của hàm số, sau đó vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3
-Vì a > 0 nên đồ thị hàm số có bờ lõm quay lên trên
-Ta có BBT

Hàm số đồng biến trên (2;+∞) và nghịch biến trên (-∞;2)
Ta có:
Đỉnh I(2;-1)
Trục đối xứng x = 2
Giao điểm với Oy là A(0;1)
Giao điểm với Ox là B(1;0); C(1/3;0)
Vẽ parabol

Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối và cho bởi
nhiều công thức
Loại 1: Cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Vẽ đồ thị của hàm số sau: y = |x2 - x - 2|


Vẽ parabol (P) của đồ thị hàm số y = x2 - x - 2 có đỉnh trục đối xứng
đi qua các điểm
Khi đó đồ thị hàm số gồm: phần parabol (P) nằm phía trên trục
hồnh và phần đối xứng của (P) nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

Loại 2: Đồ thị của hàm số cho bởi nhiểu công thức

Vẽ đồ thị của hàm số sau:
Đồ thị hàm số gồm:
+ Đường thẳng y = x – 2 đi qua A(2; 0),B(0; -2) và lấy phần nằm bên
phải của đường thẳng x = 2.
+ Parabol y = -x2 + 2x có đỉnh I(1; 2), trục đối xứng x = 1, đi qua
các điểm O(0;0),C(2;0) và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường
thẳng x = 2.

Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai tìm GTNN, GTLN


Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0
ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α
hoặc x = β hoặc x = -b/(2a). Cụ thể:
TH

1: a

>

0

TH 2: a < 0

Ta
Cho
có phương trình x2 + 2(m + 3)x + m2 - 3 = 0, m là tham số.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 và P = 5(x1 + x2 ) Phương trình có nghiệm
2x x đạt giá trị lớn nhất.
1


Theo định lý Viét ta có:

Xét hàm số
Bảng biến thiên

2


Suy ra khi và chỉ khi
Vậy là giá trị cần tìm.
Đặt

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Khi đó hàm số trở thành .
Ta có Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là khi và chỉ khi hay
Vậy GTNN của hàm số là

HÀM SỐ BẬC BA
Dạng 1: Bài toán liên quan tới cực trị của hàm số bậc ba
Loại 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số bậc ba.
Lập bảng biến thiên và xác định điểm cực trị của hàm số.
hàm
y = nên
x³ – 3x² + 2. Tìm cực trị của hàm số.
Hàm sốCho
có tập
xácsố

định

Bảng biến thiên


Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực trị x = 0 và đạt cực tiểu
tại x = 2.
Loại 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Hàm số
g(x) là phần dư của phép chia y cho y’
Hàm số
g(x) bằng đạo hàm tử : đạo hàm mẫu
Cho hàm số bậc 3: y = x³ + 9x² + 15x – 1. Phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là?
Cách 1:
Ta có= 3x² – 18x + 15 = 0.

Hàm số có 2 điểm cực trị Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị AB có
vectơ chỉ phương vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là

Cách 2:
Hàm số có
Theo cơng thức giải nhanh ta có phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của hàm số là


Loại 3: Tìm tham số m đề hàm số có cực trị thỏa mãn 1 điều
kiện cho trước
Bước 1:

Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax2 + 2bx + c,
Cho y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1). Để hàm số đã cho có cực đại và
cực tiểu ⇔ y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) phải có hai
nghiệm phân biệt
Ta có a ≠ 0 và ∆ (∆’) ≠ 0 ⇔ Giá trị tham số cần tìm thuộc 1 miền D nào
đó (*)
Bước 2:
Từ điều kiện bài tốn cho trước ta có 1 phương trình hoặc 1 bất
phương trình theo tham số cần tìm
Giải phương trình này ta sẽ tìm được tham số rồi sau đó đối chiếu với
điều kiện (*) của tham số và kết luận.
Cho hàm số y = x3 – 2(m + 1)x2 + (m2 – 3m + 2)x + 4. Tìm m để
Tập xác định
hàm
Ta cósố có cực đại, cực tiểu và 2 cực trị này nằm về hai phía của
trụctiểu
tung.
Để hàm số có điểm cực đại, cực
nằm về hai phía của trục tung
thì phương trình y’ = 0 phải có 1 nghiệm phân biệt
Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
Tập xác định:
Chiều biến thiên:
Ta có: yHàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞;0) và (2;+∞), đồng
biến trên khoảng (0;2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2, giá trị cực đại của hàm số là y(2)=0.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0, giá trị cực tiểu của hàm số
là y(0)=−4.
Giới hạn của hàm số tại vô cực: ,,

Bảng biến thiên:


Đồ thị:
Cho

HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số trùng phương
Loại 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm trùng phương
đạt cực trị (cực đại, cực tiểu)
+ Hàm số có một cực trị 
+ Hàm số có ba cực trị 
+ Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu 
+ Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại 
+ Hàm số có hai cực tiểu, một cực đại 
+ Hàm số có một cực tiểu, hai cực đại 

Tìm m để hàm trùng phương khơng có cực đại:
Ta có: Để hàm số trùng phương khơng có cực đại thì hàm số chỉ có
đúng một cực trị là cực tiểu

Loại 2: Tìm tham số m để 3 điểm cực trị hàm trùng phương
tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC thỏa các điều kiện


.
Tìm m để hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác vng
cân tại A.
Ta có
Hàm số có ba cực trị là

Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi
Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương
+Tập xác định D=
+Xét chiều biến thiên
Đạo hàm y

+ Tìm cực trị:
Hàm số có 1 điểm cực trị tại
Hàm số có 3 điểm cực trị tại


+ Tìm các giới hạn vơ cực:

+ Lập bảng biến thiên:
Gồm có 3 dịng
+ Đồ thị hàm trùng phương

Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:
+ Tập xác định D=
+ Giới hạn vô cực


+ Đạo hàm:

+Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên
Hàm số nghịch biến trên
Hàm số có một cực đại tại và hai điểm cực tiểu tại
+Đồ thị hàm số:


HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Dạng 1: Tính tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ


Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số phân thức hữu


Tính đạo hàm của hàm số sau:

a)


b)

Dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số phân
thức hữu tỉ
Loại 1: Hàm số bậc 1/bậc 1
B1: Tập xác định: B2: Giới hạn và tiệm cận:
+ Tiệm cận đứng: + Tiệm cận ngang:
B3: Khảo sát sự biến thiên:
Dấu y′ là dấu của hằng số T>0: Hàm số tăng trên từng khoảng
xác định.
T<0: Hàm số giảm trên từng khoảng xác định.
Hàm số khơng có cực trị.
Bảng biến thiên có 2 dạng sau:

c)



4. Đồ thị:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

Hàm số khơng có cực trị.
Giá trị đặc biệt: