HÀM SỐ:
1. Định nghĩa
 Cho D  R, D  . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x  D
với một và chỉ một số y  R.
 x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x).
 D đgl tập xác định của hàm số.



 T = y  f (x) x�D đgl tập giá trị của hàm số.
2. Cách cho hàm số
 Cho bằng bảng
 Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức y = f(x).
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có
nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
M  x; f (x)
Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
trên
mặt phẳng toạ độ với mọi x  D.
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y = f(x) là
phương trình của đường đó.
4. Sư biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
x , x �K : x1  x2 � f (x1)  f (x2)
 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu 1 2
x , x �K : x1  x2 � f (x1)  f (x2)
 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu 1 2
5. Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x).

 Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x).
Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số
 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho

 x�R f (x) co�ngh�a .
biểu thức f(x) có nghĩa: D =
 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:
P (x)
1) Hàm số y = Q(x) :
Điều kiện xác định: Q(x)  0.

2) Hàm số y = R(x) :
Điều kiện xác định: R(x)  0.
Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.
+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A  D.
�A �0
�
+ A.B  0  �B �0.
VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.


 y = f(x) đồng biến trên K 


x1, x2 �K : x1  x2 � f (x1)  f (x2)

ι�

x1, x
2 K : x1

 y = f(x) nghịch biến trên K 


x2

f (x2)  f (x1)
x2  x1

0

x1, x2 �K : x1  x2 � f (x1)  f (x2)

ι�
x1, x2 K : x1

x2

f (x2)  f (x1)
0
x2  x1

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
 Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
 Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ.

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D.
+ Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.

Chủ đề: Hàm số bậc hai
 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:

y  ax2  bx  c (a  0)

� b
 �
b
I�
 ; �
x 
2a làm trục đối
 Đồ thị là một parabol có đỉnh � 2a 4a �, nhận đường thẳng
xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.
Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:
� b
�
I�
 ; �
– Xác định toạ độ đỉnh � 2a 4a �.
b
2a và hướng bề lõm của parabol.
– Xác định trục đối xứng
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các
trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

x 



Dạng 1: Xác định Hàm số bậc hai




Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai



Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức



Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm
giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Dạng 1: Cách xác định Hàm số bậc hai hay, chi tiết
1. Phương pháp giải.
Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau
Gọi hàm số cần tìm là y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập
và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm.

2. Các ví dụ minh họa.




Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai hay, chi tiết
1. Phương pháp giải
Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta thực hiện các bước như sau:


– Xác định toạ độ đỉnh
– Xác định trục đối xứng x = (-b)/(2a) và hướng bề lõm của parabol.
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các
trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau
a) y = x2 + 3x + 2

b) y = -x2 + 2√2.x

Hướng dẫn:
a) Ta có

Suy ra đồ thị hàm số y = x2 + 3x + 2 có đỉnh là
B(-1; 0), C(0; 2), D (-3; 2)

đi qua các điểm A (-2; 0),

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = (-3)/2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên


b) y = -x2 + 2√2.x
Ta có:


Suy ra đồ thị hàm số y = -x 2 + 2√2.x có đỉnh là I(√2; 2) đi qua các điểm O (0; 0), B (2√2;
0)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = √2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống
dưới.

(

….. CONTINUE)


Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến
khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Nhận dạng đồ thị: Đồ thị thuộc dạng bậc 3 hay bậc 4, hệ số aa dương hay âm.
- Bước 2: Tìm điểm giao của đồ thị hàm số với Oy và thay tọa độ vào các hàm số ở từng
đáp án.


- Bước 3: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.
- Bước 4: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình y′=0y′=0, tìm
điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.
- Bước 5: Giải phương trình y=0y=0 ở các đáp án và tìm nghiệm, đối chiếu với hoành
độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.
HS chỉ cần thực hiện từng bước rồi loại bớt đáp án, đến khi chọn được đáp án đúng thì
dừng lại, khơng nhất thiết phải thực hiện hết cả 5 bước nếu đã tìm ra đáp án trước đó để
tránh mất thời gian.


Dạng 2: Tìm hàm số có bảng biến thiên cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc
4, hệ số aa âm hay dương.
- Bước 2: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên.
- Bước 3: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình y′=0y′=0, tìm
điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.

Dạng 3: Nhận xét các tính chất của hàm số, đồ thị hàm số
có bảng biến thiên cho trước. (về tính đơn điệu, cực trị,
tâm đối xứng, trục đối xứng,…)
Phương pháp:
- Bước 1: Quan sát bảng biến thiên, tìm các khoảng đơn điệu, các điểm cực trị của hàm
số.
- Bước 2: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc
4, từ đó tìm được tâm đối xứng, trục đối xứng,...
- Bước 3: Đối chiếu các kết quả thu được ở trên với các đáp án bài cho và xét tính đúng
sai của các đáp án.
HS cũng có thể xét tính đúng sai của từng đáp án ngay mà khơng cần nhận xét tất cả
các tính chất của hàm số, đồ thị hàm số đã nêu ở trên để tránh mất nhiều thời gian.

Dạng 4: Tìm điều kiện của các hệ số của hàm đa thức bậc
ba có đồ thị cho trước.
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0) có đồ thị (C)
(C) cho trước. Tìm điều kiện của a,b,c,da,b,c,d.
Phương pháp:
- Bước 1: Xét tính dương, âm của hệ số aa dựa và dáng đồ thị.
- Bước 2: Tìm điều kiện của dd dựa và giao điểm của đồ thị hàm số với trục OyOy.
+ Nếu giao điểm nằm trên trục hồnh thì d>0d>0.
+ Nếu giao điểm nằm dưới trục hồnh thì d<0d<0.

+ Nếu giao điểm trùng với gốc tọa độ O thì d=0d=0.


- Bước 3: Tìm điều kiện của b,cb,c dựa vào các điểm cực trị của đồ thị hàm số:
+ Nếu đồ thị hàm số khơng có cực trị thì phương trình y′=0y′=0 vơ nghiệm hoặc có
nghiệm kép ⇔Δ′=b2−3ac≤0⇔Δ′=b2−3ac≤0.
+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị thì phương trình y′=0y′=0 có hai nghiệm phân
biệt ⇔Δ′=b2−3ac>0⇔Δ′=b2−3ac>0.
+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị nằm trái phía với trục tung thì phương trình y′=0y
′=0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔3ac<0⇔ac<0⇔3ac<0⇔ac<0.
+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên trái trục tung thì phương trình y′=0y
′=0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ⇔⎧⎪

Δ′=b2−3ac>0S=−2b3a<0P=c3a>0⇔{Δ
′=b2−3ac>0S=−2b3a<0P=c3a>0
+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên phải trục tung thì phương trình y′=0y
′=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương ⇔⎧⎪

Δ′=b2−3ac>0S=−2b3a>0P=c3a>0⇔{Δ
′=b2−3ac>0S=−2b3a>0P=c3a>0

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có
điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y′;y′′y′;y″, giải phương trình y′′=0y″=0.
- Bước 2: Giả sử x0x0 là một nghiệm của phương trình y′′=0y″=0 thì điểm
uốn U(x0;f(x0))U(x0;f(x0)).
- Bước 3: Thay tọa độ điểm uốn vào điều kiện đề bài để tìm m

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) .

1. Tập xác định. D=R
2. Sự biến thiên
2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm:
+ ( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Tìm cực trị
2.3 Tìm các giới hạn tại vơ cực (x→±∞)
(Hàm bậc ba và các hàm đa thức khơng có TCĐ và TCN.)


2.4 Lập bảng biến
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)
- Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> ax3 + bx2 + cx + d = 0 <=> x = ?
- Các điểm CĐ; CT nếu có.
(Chú ý: nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì ta bấm máy tính, cịn nếu được 1 nghiệm ngun
thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm. Trường hợp cả ba nghiệm
đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị)
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào
học sinh lấy điểm phía bên đó, khơng lấy tùy tiện mất thời gian.)
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Hàm bậc ba nhận điểm làm tâm đối xứng.
+ Trong đó: x0 là nghiệm của phương trình y’’ = 0 (đạo hàm cấp hai bằng 0)
+ Điểm I được gọi là ‘điểm uốn’ của đồ thị hàm số.
Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)

B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x 3 + 3x2 – 4
1. Tập xác định D = R

2. Sự biến thiên
+)Giới hạn hàm số tại vô cực
;
+)Chiều biến thiên:
y’ = 3x2 + 6x
Cho y’ = 0 <=> 3x2 + 6x = 0 <=> [x=0

x=−2
Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)
Hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
+) Cực trị


Hàm số đạt cực đại tại x = -2; yCD=y(−2)=0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT=y(0)=−4
+)Lập bảng biến thiên :

x

-∞

y’
y

-2
+

-∞

0


0
–

+∞

0

0

+
-4

+∞

3. Đồ thị
Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> x3 + 3x2 – 4 = 0 <=> (x−1)(x+2)2=0
<=> [x=1

x=−2
Vậy (-2;0) và (1;0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: x = 0 <=> y = -4. Vậy (0;-4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Bảng giá trị :
x

-2

-1

0


1

y

0

-2

-4

0

Tìm điểm uốn
y’’= 6x + 6
Cho y’’ = 0 <=> 6x + 6 = 0 <=> x = -1 => y = -2
Đồ thị hàm số có điểm uốn : U(-1, -2)
Vẽ đồ thị (C) :


Kết luận: Đồ thị hàm số bậc 3 đã cho nhận điểm U(-1;-2) làm tâm đối xứng.

C. Một số bài tập trong đề thi đại học


D. Bài tập vận dụng

Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba
Hàm số bậc 3 là hàm số có dạng


y=ax3+bx2+cx+d (a≠0)


Trường hợp 1: Phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt
Khi đó đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và có dáng điệu như một trong 2 hình sau

Trường hợp 2: Phương trình y'=0 có 1 nghiệm (kép)
Đồ thị hàm số khơng có điểm cực trị và tiếp tuyến tại điểm uốn song song với trục hoành

Trường hợp 3: Phương trình y'=0 vơ nghiệm
Đồ thị hàm số cũng khơng có điểm cực trị nhưng tiếp tuyến tại điểm uốn khơng song song với
trục hồnh


Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương
Hàm số bậc 4 trùng phương là hàm số có dạng

y=ax4+bx2+c (a≠0)

Trường hợp 1: Phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị và có dáng điệu như sau (tùy theo giá trị của a)

Trường hợp 2: Phương trình y'=0 có đúng 1 nghiệm
Khi đó đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị và có dáng điệu của một parabol

Qua bài viết này, độc giả đã nắm được 6 dạng đồ thị của hàm số bậc ba và 4 dạng đồ thị
của hàm số bậc 4 trùng phương.