Giaovienvietnam.com

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN MÔN LỚP 11
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1

lim  0 ; lim k  0 (k �� )
n
�

�
n��n
n

Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
lim n  �
lim nk  �(k �� )
n��
n

lim q  �(q  1)

lim qn  0 ( q  1) ; lim C  C

n��

n��

n��

n��

2. Định lí:

2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
 lim (un + vn) = a + b
 lim (un – vn) = a – b
 lim (un.vn) = a.b
u
a
 lim n  (nếu b  0)
vn b

a)Nếu lim un  � thì lim

1
0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim

un
vn

=0


c) Nếu lim un =a  0, lim vn = 0
u
� ne�
u a.vn  0
�
thì lim n = �
b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim
� ne�
u a.vn  0
vn �
un  a

d) Nếu lim un = +, lim vn = a
� ne�
u a 0
thì lim(un.vn) =
� ne�
u a 0



c) Nếu un �vn ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
0
d) Nếu lim un = a thì lim un  a
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: ,
0
3. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn
�

,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định.
u1
2
q  1
S = u1 + u1q + u1q + … =
�

1 q
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
 Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
1
1
n 1
1
 lim n 
VD: a) lim
3 2
2n  3
2
n
b) lim

2

n  n  3n
 lim
1 2n

1


1
3
n
1

1
2
n
1�
2
2� 4
1  � �
c) lim(n  4n  1)  limn �
� n n2 �
 Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức



 3 a  3 b  3 a2  3 ab  3 b2   a  b

a  b  a  b  a  b;



2



VD: lim n  3n  n =



lim



n2  3n  n





n2  3n  n



n2  3n  n

= lim

3n

3
n  3n  n 2

 Dùng định lí kẹp: Nếu un �vn ,n và lim vn = 0 thì

2

=


lim un = 0


sinn
.
n
sinn 1
1
sinn
� và lim  0 nên lim
Vì 0 
0
n
n
n
n
3sinn  4cosn
b) Tính lim
.
2n2  1
VD: a) Tính lim

Vì 3sinn  4cosn � (32  42)(sin2 n  cos2 n)  5
3sinn  4cosn

5
�
.
2n2  1
2n2  1

5
3sinn  4cosn
 0 nên lim
0
Mà lim 2
2n  1
2n2  1
nên 0 

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất
của tử và của mẫu.
 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +  nếu hệ số cao nhất của tử và
mẫu cùng dấu và kết quả là –  nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của
tử, mẫu riêng).
Bài 1:
Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử
chung)
1) lim(n2  n + 1). ĐS: +
2n2  n  3
12)
ĐS: 2/3
lim
2
2) lim(n + n + 1). ĐS: -
3n2  2n  1
3) lim 2n2  3n  8 ĐS: +
3n3  2n2  n
3

3
13)
ĐS: 3
lim
4) lim 1 2n  n ĐS: -
n3  4
5) lim(2n + cosn). ĐS: +
n4
1 2
14) lim
ĐS: 1
6) lim( n  3sin2n + 5). ĐS: +
(n  1)(2  n)(n2  1)
2
15)lim ĐS: -1/2
3n  1
7) un = n
.
ĐS: +
16)lim ĐS: 2
2 1
2n  3
n
n
8) un = 2  3 .
ĐS: - 
17)lim 3 3
ĐS: 2
n  2n  1
2n  1

9) lim 3
ĐS: 0
2n4  n2  3
n  4n2  3
18) lim
ĐS: +
3n3  2n2  1
n2  1
10) lim
ĐS: 0
3n3  2n2  n
2n4  n  1
19)
ĐS: -
lim
2
n2  1
4

n
11) lim 4
ĐS: 0
2n  n  1
4n2  2n  5
20) lim
ĐS: -
3n  1
Bài 2:
Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)
1) lim

2) lim
3) lim

1 3n

4  3n
4.3n  7n1
2.5n  7n
4n1  6n2
5n  8n

ĐS: 1
ĐS: 7
ĐS: 0

4) lim

2n  5n1

1 5n
1 2.3n  7n
5) lim
5n  2.7n
1 2.3n  6n
6) lim n n1
2 (3  5)

ĐS: 5
ĐS: -1/2
ĐS: 1/3



Bài 3:
Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vơ cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;bậc
của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất;)
k
k
Chú ý: nk có mũ ; 3 nk có mũ
2
3
4n2  1  2n  1

1) lim

n2  4n  1  n
n2  3  n  4

2) lim

n2  2  n

ĐS: 2

ĐS: 0

3

3) lim

n2  1 n6


ĐS: 0

4n2  1  2n

4) lim
5) lim

n2  4n  1 n

ĐS: 2

(2n n  1)( n  3)
ĐS: 2
(n  1)(n  2)

6) lim

n2  4n  4n2  1
3n2  1  n

ĐS: -1/( 3  1)

n4  1 n2
Bài 4:
Tính các giới hạn sau:
Nếu bài tốn có dạng: + Vơ cùng – vơ cùng khơng có mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau).
+ Cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống nhau)
Thì ta nhân liên hợp có căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa có số mũ cao nhất
Nếu bài tốn ở dạng vơ cùng + vơ cùng thì kq là vơ cùng ta đặt nhân tử chung có mũ cao nhất rồi

tính giới hạn. Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung.
�
1) lim( n2  3n  n) ĐS: +
1 n2  n4  3n  1�
9) lim�
�ĐS: 1
�
�
2) lim( n2  2n  n  2013) ĐS: 2012
n2  4n  4n2  1
lim
10)
ĐS: -1/( 3  1)
3) lim n2  n  n ĐS: -1/2
2
3n  1  n
4) lim( n2  1  n  5)
ĐS: 5
1
lim
11)
ĐS: -
5) lim( n2  2013  n 5) ĐS: 5
n2  2  n2  4
� 2
�
4n2  1  2n  1
6) lim � n  2n  n  1� ĐS: 0
lim
12)

ĐS: -1/2
�
�
2
n  4n 1 n
� 2
�
2
7) lim� n  n  n  2 �ĐS: 1/2
3
�
�
n2  1 n6
13) lim
ĐS: 0
3
�
�
3
4
2
n  1 n
8) lim � 2n  n  n  1� ĐS: -1
�
�
Bài 5:
Tính các giới hạn sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức có cùng kết quả)




1) lim



2cosn2
n2  1

ĐS: 0

3) lim

3sin6 n  5cos2(n  1)
n2  1
3sin2(n3  2)  n2

ĐS: 0

(1)n sin(3n  n2)
4) lim
ĐS: -1/3
ĐS: 0
3n  1
2 3n2
Bài 6:
Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn)
�1
�
�1 1
1
1

1 �
 ... 
1) lim� 
4) lim�   ... 
�ĐS: 1/2
�ĐS: 1
1.3 3.5
(2n  1)(2n  1) �
n(n  1) �
�
�1.2 2.3
2) lim

�1
1
1 �
 ... 
� ĐS: 3/2
1.3 2.4
n(n  2) �
�

2) lim� 

1 2  ...  n

5) lim

ĐS: 1/2
n2  3n

� 1�
� 1� � 1�
1 2  22  ...  2n
1 �
1 �... �
1 � ĐS: 1/2
3) lim�
6)
lim
ĐS: 0
�
� 22 �
� 32 � � n2 �
1 3 32  ...  3n
� 1�
� 1�� 1�
1 �
1 �
...�
1 �,với n 2
Baøi 7:
Cho dãy số (un) với un = �
2 �
� 2 �
� 32 � � n2 �
a) Rút gọn un.ĐS: (n+1)/2n
b) Tìm lim un. ĐS: 1/2


Baøi 8:


1

a) Chứng minh:



1



1

(n  N*).

n n  1  (n  1) n
n
n 1
1
1
1

 ... 
b) Rút gọn: un =
.
1 2  2 1 2 3 3 2
n n 1  (n 1) n
c) Tìm lim un. ĐS : 1
�
u 1

�1
1
Baøi 9:
Cho dãy số (un) được xác định bởi: �
.
un1  un 
(n �1)
�
�
2n
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un. ĐS: 2
�
u  0; u2  1
Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: �1
2un 2  un1  un, (n �1)
�

1
a) Chứng minh rằng: un+1 =  un  1, n  1.
2
2
b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un. ĐS: 2/3
3
u u
u
� u1  2012
( 1  2  ....  n ) (HSG lạng sơn 2011)
Cho dãy số (un) xác định bởi �

; nN*. Tìm nlim
2
� � u
u3
u n 1
u n 1  2012.u n  u n
2
�
ĐS: - CM được dãy tăng : u n 1  u n  2012u n  0 n
2

- giả sử có giới hạn là a thì : a  2012a 2  a � a  0  2012 Vô Lý
nên limun = �

un
u n2
(u  u n )
1
1
1

 n 1

( 
)
- ta có :
u n 1 u n 1u n 2012u n 1u n 2012 u n u n 1
1
1
1

1
.lim( 
)
Vậy : S 
.
2012 n �� u1 u n 1
20122
Baøi 11:

Cho dãy (xn) xác định như sau:

�x1  1
( n �N * )
�
2
�x n 1  x n  3x n  1
1
1
1

 ... 
Đặt Sn 
( n �N * ). Tìm LimSn . (HSG lạng sơn 2012)
x1  2 x 2  2
xn  2
Baøi 12:

Tổng Dãy là cấp số nhân lùi vô hạn:
1
1

1
1
( 1)n
a. S = 1 + + + …
b. S = 1 +

 ... n 1  ... ĐS: a. 2 b.12/11
2
4
10 102
10
Baøi 13:
Biểu diễn các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số:

a. 0,444...
Baøi 14:

b. 0,2121....
2

c. 0,32111....ĐS: a.4/9 b.21/99 c.289/900

n

1 a  a  ... a
, với a, b < 1. ĐS: (1-b)/(1-a)
n  1 b  b2  ... bn

L = lim


II. Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x  x0 ;
x� x0

lim c  c (c: hằng số)

x�x0

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
� ne�
u k cha�
n
lim xk  �; lim xk  �
�
x��
� ne�
u k le�
x��
�


2. Định lí:
�lim f (x)  L
�x�x
a) Nếu � 0
lim g(x)  M
�

�x�x0
thì: * lim  f ( x)  g( x)  L  M
x� x0

 f (x)  g(x)  L  M
* xlim
�x
0

 f (x).g(x)  L.M
* xlim
�x
0

f (x) L

(nếu M  0)
x� x0 g(x)
M
f(x) �0
�
�
b) Nếu �lim f (x)  L thì
�x�x0
* lim

* L  0 * xlim
�x

f (x)  L


0

f (x)  L thì
c) Nếu xlim
�x
0

lim f (x)  L

x� x0

3. Giới hạn một bên:
lim f (x)  L
x�x0

f (x)  lim f ( x)  L
 xlim
�x 
x�x
0

0

lim c  c ;

x���

lim


c

x��� xk

0

1
1
 �;
lim  �
x�0 x
x�0 x
1
1
lim  lim  �
x�0 x
x�0 x
2. Định lí:
�lim f (x)  L �0
�x�x
a) Nếu � 0
thì: *
lim g(x)  ��
�
�x�x0
u L . lim g(x)  0
�� ne�
�
x�x0
lim f (x)g(x)  �

� ne�
uL . lim g(x)  0
x� x0
�
x�x0
�
f (x)
0
* lim
x� x0 g(x)
�lim f (x)  L �0
�x�x
b) Nếu � 0
thì:
lim g(x)  0
�
�x�x0
f (x) �ne�
u L .g(x)  0
lim

�ne�
u L .g(x)  0
x� x0 g(x)
lim



Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:
0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định.


Một số phương pháp khử dạng vô định:
0
1. Dạng
0
P (x)
a) L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0
x�x0 Q(x)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
x3  8
(x  2)(x2  2x  4)
x2  2x  4 12
VD: lim
 lim
 lim

3
x�2 x2  4 x�2
x�2
(x  2)(x  2)
x 2
4
P (x)
b) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x�x0 Q(x)
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

 2 4 x  2 4 x

2 4 x
1
1
 lim
 lim

x�0
x�0
x�0 2  4  x 4
x
x 2  4  x 
P (x)
c) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
x�x0 Q(x)
VD: lim

Giả sử: P(x) =

m u(x)  n v(x)

Ta phân tích P(x) =

v�
�
i mu(x0)  n v(x0)  a .

 mu(x)  a   a  n v(x)  .

�3 x  1  1 1 1 x �

x  1  1 x
 lim �

�
x�0
x�0�
x
x
x
�
�
� 1 1 5
1
1

�
�  
= xlim
�0�
2 3
3
� 3 2 6
1

1

x
(
x


1
)

x

1

1
�
�
VD: lim

3

0 �
, ,  – ,
0 �


P (x)
�
: L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
x���Q(x)
�
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên
hợp.
5 3
2 

2
2x  5x  3
x x2
 lim
2
VD: a) lim 2
x�� x  6x  3
x��
6 3
1 
x x2
2. Dạng

b) xlim
��

2x  3
2

x  1 x

2

 lim

x��

 1

1

x2
3. Dạng  –  : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
VD: lim  1 x  x  lim
x��

 1

3
x
1



1 x  x  1 x  x
1 x  x

x��

 lim

x��

1
1 x  x

0

4. Dạng 0. :
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.

x
x  2. x 0. 2
 lim

0
VD: lim (x  2)
2
x�2
x 2
x2  4 x�2

Bài 1:
Tìm các giới hạn sau:
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a).
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng .
2
1) lim
x 3 (x + x). ĐS: 12

x
2) lim
ĐS: ±
x �1 x  1
2

3

1 x  x  x
ĐS: 1
x�0

1 x

3) lim
4)

5)

2

3x  1 x ĐS: -3/2
x�1
x1
� �
sin�x  �
� 4 �ĐS: 2 / 
lim

x
x�
lim

6)
7)

x1

lim

x�1


9)

ĐS:-2/3

x2  x  1 ĐS:
x1

lim

x�2

8)

x4  x  3

x2  2x  3 ĐS:
x�1
x 1
x 8  3
ĐS: 0
lim
x�1
x 2
lim

3

3
2/ 2


2
10) lim 3x  4  3x  2 ĐS: 0
2
x�2
x 1
1
11) lim x2 sin ĐS: 0
x�0
2
Bài 2:
Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay
tiếp tới khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là 
x2 1
2 x 2  3x  2
1) lim
ĐS: 2
5)
ĐS: 5
lim
x �1 x  1
x 2
x 2
� 1�
x4  16
2
2) xlim
 0 x � x �ĐS: -1
6) lim
ĐS: -8
�

�
x�2 x3  2x2
3
x  8
3) xlim
. ĐS: 3
x3  x2  x  1
2 2
7) lim
ĐS: 0
x  4
x�1 x2  3x  2
2
3x  4x  1
4) lim
ĐS: 2
x 1

x 1


x 3  3x 2  5x  3
ĐS:1
x 1
x2  1
1  x  x 2  x3
9) lim
ĐS: 2
x � 1
1 x

x 3  5 x 2  3x  9
10) lim
ĐS: 0
x 3
x 4  8x 2  9
x5  1
11) lim
ĐS: 5/3
x�1 x3  1
x  5x5  4x6
lim
12)
ĐS: 10
x�1
(1 x)2
4 x 6  5x 5  x
13) lim
ĐS: 0
x1
x2  1
1 �
� 2

14) lim
�
�ĐS: -1/2
x�1 x2  1
x  1�
�
3 �

�1

15) lim
�
�ĐS: -1
x�1�
1 x 1 x3 �
Bài 3:
Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2)
8) lim

4x  1  3

1) lim

x2  4

x�2

ĐS:1/6

2
2) lim 1 x  1 ĐS:0
x�0
x

x 5  3
ĐS: -1/6
4 x


3) lim
x 4

4) xlim
9

x 3
9x  x2

ĐS:-1/54

� x2
�
x4

16) lim
�
�ĐS: 0
2
2
x �1 x  5x  4
3(x  3x  2) �
�
x1992  x  2
17) lim 1990
ĐS: 1993/1992
x �1 x
x2
xm  1
18) lim

chú ý tổng của CSN ĐS: m/n
x�1 xn  1
(1 5x)(1 9x)  1
ĐS: 14
lim
x�0
x
(1 x)(1 2x)(1 3x)  1
19) lim
ĐS: 6
x�0
x
x  x2  ...  xn  n
20) lim
ĐS: n(n+1)/2
x�1
x1
x n  nx  n  1
21) lim
ĐS: n(n-1)/2
x �1
(x  1)2

2 x  3
ĐS: -1/56
x  7 x 2  49

5) lim

2x  7  x  4

ĐS: -4/15
x 3  4x 2  3
x 3  3x  2
7) lim
ĐS: 9/4
x 1
x2  1
6) lim
x1

8) lim
x 1

x 2  3  x 3  3x
ĐS:1/2
x 1

Bài 4:

Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2)
1 x  1 x
1) lim
ĐS: 1
x 0
x
x1
2) lim
ĐS:2
x1
x 3  2

x2  x

3) lim
x 2

4x  1  3

4) lim

x�2

x 2  2
x 7  3

x 1

x  1

11) lim
x 0

x1 1
3

lim

ĐS:-3/4

12)


ĐS:3/2

13) lim

x 2

x�0

2x  7  3

5) lim

ĐS:-4/3
2 x 3
x2  x
6) lim
ĐS:3
x 1
x1
x 1

7) lim
x 4

x2  1  x  1

10) lim

3


5x

1

5 x

ĐS:-1/3

2x  2  3x  1
ĐS:-1/4
x�1
x1
2x  3  x  2
9) lim
ĐS:1/6
x  1
3x  3
Bài 5:
Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3)
8) lim

14) lim

2x  9

2

ĐS:-3/4

x2

x  1

ĐS:

2x
3 x

x2  1  1
x2  16  4

ĐS:-1/4

ĐS:4

x  3 2x

ĐS:-2/9
x2  3x
x  9  x  16  7
15) lim
ĐS: 7/24
x�0
x
x�3

x
16) lim
x a

17) lim

x 1

a x a
x2  a2
x 1

x2  3  x3  3x

, với a> 0. ĐS: 1/ 2a
ĐS:2


3
4x  2
1) lim
ĐS :1/3
x 2

3
2
5) lim 1  x2  1 ĐS:1/3

x 2
2x  1  1
2) lim
ĐS:2/3
x�1
x1

x 0


3

6) lim
x �1 3

x

3) lim
x 0 3

3

x
x 1

4x  4  2

ĐS:1

5
ĐS:3
5x  1  1
7) xlim
ĐS:1
1 x  1
0
x
x5  x3  2
4) xlim

ĐS:24
3
1
x 1
Bài 6:
Tìm các giới hạn sau: (Hai căn khác bậc)

1 x  3 1 x
ĐS :1/6
x

1) lim

x�0

2) lim
x 0
3)

lim

3

x 1 3 x1
2x  1 

1 x  1

x�0 3 1


x1

sinx

(1  x )(1  3 x )(1  4 x )(1  5 x )
ĐS:1/120
x �1
(1  x) 4

17) lim

8) lim
x 1

3

1 cos4x

x�0

x�0

10) lim

2x2
sin2x

x  2  x2  x  1

ĐS:4


ĐS:4
x  1 1
1 cos2x

x�0

11) lim

x�0

sin 5 x. sin 3x. sin x
ĐS:1/3
x 0
45 x 3

13) lim
x�0

1 cos2x
ĐS:2
x�0 xsinx

2x  1  x2  3x  1

sinx
tanx
 1; lim
=1)
x�0

x
x

12) xlim
�0

7) lim

3

x  1 1 x
ĐS:5/6
x�0
x
x
19) lim 3
ĐS:-6
x�0 8 x  3 8 x
18) lim

sin5x
ĐS:5/3
x � 0 3x

6) lim

x 6  x 2
ĐS:-1/24
x2  4


1 4x. 1 6x  1
ĐS:5
x�0
x
1  2 x. 3 1  4 x 1
15) lim
ĐS:7/3
x �0
x
(1  n x )
16) lim
ĐS: 1/n
x �1 (1  x)

9) lim

5) lim

ĐS:7/162

14) lim

1
ĐS:1
cos x
tan x  sin2x
3) lim
ĐS: 0
x�0
cos x

tgx
4) lim   x ĐS:4/3
x�
4

3

x 2

8) lim

2) lim
x�0

2x2  5x  2

x�2

13) lim

1) lim x ĐS: 2/
x�
2

8x  11  x  7
3

ĐS:3/2

Tìm các giới hạn sau: ( lim

x�0

3

3
2
12) lim 5 x  x  7 ĐS:-11/24
x�1
x2  1

ĐS:4/3

x 1
2 1 x  3 8  x
4) lim
ĐS:13/12
x �0
x
3
x4  x
5) lim 2
ĐS:-1/18
x  4 x  5x  4
2x  10  3 x  5
6) lim
ĐS:-7/72
x  3
x2  9
1  4x  3 1 6x
7) lim

ĐS:0
x �0
x
3
10  x  x  2
8) lim
ĐS:-1/3
x 2
x 2
3
8x  11 x  7
9) lim
ĐS:7/54
x�2
x2  3x  2
1  8x2  3 1  6x2
10) lim
ĐS:2
x �0
x2
Baøi 7:

lim

11)

ĐS: 2

x2
cosx  cos7x

x2
cosx  cos3x
sin 2 x

ĐS:12
ĐS:2

sinx
ĐS:1/2
tan2x
1  cos x. cos 2 x. cos 3x
14) lim
ĐS:14
x 0
1  cos x

ĐS:0


15) lim

sin2
x2

x�0

x
3 ĐS:1/9

x


sin x. cos x  sin x
x
16) x  0
ĐS:0
sin
2
lim

1  1  sin 3 x

17) lim
x 0
18) lim
x 0

1  cos x

1

cos x

1  cos x

ĐS:3 2

ĐS:0

1 cos3x
ĐS:9/25

x�0 1 cos5x

19) lim

1 cos 2x
20) lim
ĐS:4
x�0
xsinx

sin2x  sin x
ĐS:1
3sin x

4

1

37) lim
 cos x  tan x ĐS:0
x
2
sin( x  1)
ĐS:-1/2
x 2  4x  3


sin   x 
4
 ĐS:1

39) lim 

x 1 
2 sin x
4

38) lim
x 1

2 sin x  1

40) lim
ĐS:-1/2
2

x  4 cos x  3
6

2

21). lim
x�0

2 sin x  1
ĐS:-1/2
2 cos 2 x  1

36) lim

sin x  cos x

1  tgx

41) lim
x

4

1  tgx
1  cot gx

sin2x  tan3x
22) lim
ĐS:5
x�0
x

42) lim

23) lim
x�0

43) lim ( x sin  )

1 sin x  cos2x
ĐS: -1
sin x

tanx  sinx
24) lim
ĐS:1/2

x�0
x3
cos4x  cos3x.cos5x
25) lim
ĐS: 18
x�0
x2

cos( cosx)
2
26) lim
ĐS: BĐ góc phụ chéo
x�0
x
sin2
2
sin 3x
27) lim
ĐS: 4 3 Đặt ẩn phụ
π
x � 1  2 cos x
3

2

lim

28) x�2

4- x

px
cos
4

1 x

ĐS:0

1  tgx
lim

31) x  
)
4 sin( x 
ĐS: -2
4
3

x  2  sin ĐS:3
32) lim
x 
x
x  3  2x
ĐS:-7/4
tan( x  1)

(1  cos 2 x ) tgx
34) xlim



2

x

6

ĐS: 

3

x 8

44) xlim
ĐS:12
  2 tan( x  2)
�1

3 �


x ĐS: 0
45) lim �
�
x � 0 sinx sin3x
�

�

1 sin2x  cos2x
22) lim

ĐS:-1
x 0

1 sin2x  cos2x
tan(a  x).tan(a  x)  tan2 a
. ĐS:tan4a-1
46) L  lim
x�0
x2

47) xlim
�0

(a  x)sin(a  x)  a sin a
ĐS: (a+1)sina
x
3x  4  2  x



35) lim

x

x 

ĐS: -1

49) lim 2 x  1  x  1 ĐS:1
3




tan 2 x. tan  x  ĐS: 1/2
30) lim

x
4

4

33) lim
x 1

4

2
2

1 2x  1  sinx
48)(ĐHGTVT-98): lim
ĐS:0
x�0

ĐS:16/

29) lim cos x  1
x 1

x


ĐS:



sin   x 

6

1  2 sin x

x �0

50) lim
x� 0

2-

2

sin x
1 + cos x
tan 2 x

ĐS:

2 /8

2
51) lim 1 sin x  cosx ĐS:1


sin2 x
px
( 1 - x) tan
52) lim
x�1
2
x�0

ĐS:2/

2
2
3
53) lim 3 x - 1 + 2 x +1 ĐS:4

1- cos x
x2
54) lim
ĐS:4/3
x�0 1 + x sin x cos x
x�0

ĐS:0

ĐS:1/ 3

1 + sin 2 x - 1 - sin 2 x
ĐS:2
x�0

x
cos x - 3 cos x
56) lim
ĐS:-1/12
x �0
sin 2 x

55) lim


57) lim
x �0

2sin 2 x  sin x 1
ĐS:-1
2sin 2 x  3sin x  1

1  cos x.cos 2x.cos3x
ĐS:7
x2
1  cos x.cos 2x.cos3x...cos nx
59) lim
ĐS:
x �0
x2

58) lim
x �0

n(n+1)(2n+1)/12


� cos x �
cos �
�
60) lim � 2 �ĐS:0
x �0 sin  tan x 

1  sin x  1  sin x
61) lim
ĐS:1
x �0
tan x

1  cot 3 x
3 ĐS:-3/4
x � 2  cot x  cot x
4

62) lim

1  cos x cos 2x 3 cos3x
ĐS:3/2
x �0
1  cos 2x

63) lim

Baøi 8:
Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân
tử, dấu giá trị tuyệt đối)

3
2
4
1) xlim
��(3x 5x + 7) ĐS: -
20) lim x  4 ĐS:-
x �� x  4
(2 x 3  3 x) ĐS:+ 
2) xlim
 
2x4  x2  1 ĐS:- 
21) xlim
 

x3  3x) ĐS:± 
3) xlim(2
���
4
4) xlim
�� 2x  3x  12 .ĐS:+ 

x  3x  4 ĐS:± 
5) xlim
���
2

x 1

2x 3  x
ĐS:+ 

x � � x 2  2
2x  1
8) lim
ĐS:2
x� � x  1

7) lim

10)
11)
12)

x2  1

lim

x � �1 3x  5x 2

lim

x � �(5x  1)(x

2

ĐS:-1/5

x x 1

lim


x �  �x 2  x  1

 2x)

ĐS:6/5

14) lim x  x ĐS:+ 
4

1 2x

x��

15) lim

x  x2  x
x  10

x ��

2x  1�
� 2
.
ĐS:- 
2
(x  1) 2x  3�
�
�
5
25) lim

ĐS:- 
2
x�1 (x  1)(x  3x  2)
�1 1 �
 2 �. ĐS:- 
26) lim
x�0 �
�x x �

27) lim

x�1

x4  1
x3  2x2  x

ĐS:-2

x2  3x  2x
16) lim
ĐS:1/3
x��
3x  1

29)

x2  1

lim


x�� 2x2  x  1

lim

x  x  2  3x  1

x ���

18) xlim
 x  5
��
19) lim

x ��

4x 2  1  1 x

ĐS:4; -2/3

x
ĐS:1
x3 1

2x 2  7x  12
ĐS: 2 / 3
3 | x | 17

ĐS:1/2

2x2  x  1

ĐS:-;+ 
lim
x���
x 2
2x2  1
31) lim
ĐS:0
x�� x3  3x2  2
30)

32)

x2  2x  3  4x  1

lim

x���

2

4x  1  2  x

2

17)

ĐS: +




ĐS:0

4x  1
ĐS:-2/3; 2/3
3x  1

x ��

3

1 �
�1
 2
28) xlim
�ĐS:- 
�2 �
�x  2 x  4 �

2

13) lim

ĐS:-1;1

24) lim
x�1 �



3x(2x 2  1)


x2  2

x3  2x2  x
ĐS:1
x��
2x  2
x 2  2x
23) lim 2
ĐS: ±
x   2 x  4x  4

x 5
6) xlim
ĐS:+ 
�� 2

3x 4  2x 5
ĐS:+
5x 4  x  4

22) xlim

23) lim

3

9) xlim
� �


1 2x
x2

33)
34)

4x2  2x  1  2  x

lim

x���

lim

2

9x  3x  2x

ĐS:-1;5

ĐS:3;1/5

(2x  1) x2  3 ĐS:2/5

x��

x  5x2


35)


lim

x��

x2  2x  3x
2

4x  1  x  2

x4  x3  11
38) xlim
ĐS:+ 
 

ĐS:4

2x  7
(1 x)(1 x)2(3  x)2
39) xlim
ĐS:1

(2  x)(3  x)2(4  x)2

x2  5x  2
36) lim
ĐS:+ 
x�� 2 x  1

40)


2x2  x  10
37) xlim
ĐS:0
 
3

lim

x6  4x2  x  2
(x3  2)2

x 

ĐS:1

9  3x

Bài 9:

Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp)
2
� 2
�
14) lim (3x  2  9x  12x  3) ĐS:- ;0
1) lim � x  x  x�ĐS:1/2
x ���
x���
�
2

�
2x  1 4x2  4x  3�
15) lim �
2) lim ( x  x  x) ĐS:+ 
�ĐS:0
x�  �
x���
�
( x 2  3x  2  x) ĐS:-3/2
3) xlim
 

( x 2  3x  2  x  2) ĐS:+ 
16) xlim
 

( x 2  3 x  2  x) ĐS:+ 
4) xlim
 

( x 2  3x  2  x  2) ĐS:-1/2
17) xlim
 

x 2  1  x ĐS:0
5) xlim
��

x2  3x  2  x  1) ĐS:1/2;+ 
18) xlim(

���

x2  2x  4  x) ĐS:+ ;-1
6) xlim(
���

x 2  2 x  2 x 2  x  x ĐS:0
19) xlim
 

( x2 
7) xlim
 

20)





3 3
�
2
lim �
� x  1  x  1�ĐS:0
x�� �
�
�
�
21) lim � x  x  x  x �ĐS:1/2

x�� �
�

x  2 ) ĐS:0

2
2
8) lim ( x  4x  3  x  3x  2) ĐS:1/2;-1/2
x ���

1

9) xlim
 



x2  x  1  x

ĐS:2

22)



2x 2  1  x ĐS:+ 
10) xlim
��

23)


x( x  5  x) ĐS:-1/2; +
11) xlim
���
2

x 2  1  x  1 ĐS:-1
12) xlim
��

13) Cho f(x) =

2

lim

x 1

x  1 . b.

lim

 3 3x3  1

x��

x��

lim ( 5  x  2x) c.


x 5

lim

x  1



x2  2 ĐS:- 





x  1 ĐS:2







3

x 

3
x3  x2 1 
26) lim
x 


xét về sự tồn tại của giới hạn lim
x �� f(x).ĐS :-2 ;2
Bài 10:
Tìm các giới hạn sau:
a.

 3 2x  1 3 2x  1 ĐS:0

3
3
2
25) lim x  6 x  x ĐS:2

x  2x  4 - x  2x  4 .
lim
Tính các giới hạn xlim
�� f(x) và x �� f(x), từ đó nhận
2

lim

x. x  3 
24) xlim
 










x
.
x 1

d.

lim

x  1

x
.
x 1



x 3  x 2  1 ĐS:2/3

e. xlim
 1

1 x  x  1
x2  x3

ĐS:a. 0 b. 10 c.+ d. - e. 0
Bài 11:


Tìm các giới hạn sau nếu có

a.

lim |3x  6 | .
x 2

x 2

b.

lim |3x  6 | .
x 2

x 2

|3x  6 |
.
x 2

ĐS: a. 3 b. -3 c.Ko xđ
Bài 12: Tìm các giới hạn sau: (Để ý đến dấu các biểu thức tử và mẫu khi tính giới hạn này)
2
x  15
1) lim
ĐS:- 
4) lim x  4 ĐS:+ 
x�2 x  2
x�2 x  2

x  15
2 x
2) lim
ĐS:+ 
5) lim 2
ĐS:1/3
x�2 x  2
x�2 2x  5x  2
1 3x  2x2
2 x
3) lim
ĐS:- 
lim
6)
ĐS:-1/3

x 3
x�3
x�2 2x2  5x  2

c.

lim

x 2


x2  2x
ĐS:0
x�2 3x  1

3x  1
8) lim
ĐS:5/2
x�2
2
x1
9) lim
ĐS:1
x�1 x  1
x1
10) lim
ĐS:-1
x�1 x  1

x 2  3x  3
ĐS:+ 
x 2
x 2
x 3
15) lim�
ĐS:- ;+
x�4 x  4
x 2  3x  3
16) lim 2
ĐS:+ 
x  2 x  x  2
x 2  3x  3
17) lim 2
ĐS:- 
x  2 x  x  2


7) lim

11)
12)

14) lim

x2  x3
ĐS:1/2
2x
2x

lim

x � 0

lim

x � 0�

2

3

ĐS:-1;1

4x  x
x  3x  3
13) lim

ĐS:- 
x 2
x 2

18)
19)

2

lim

x �1

x 3  3x  2
x 2  5x  4

ĐS:

3 /3

� 1 x �
lim �
x
�ĐS:0;0
�
x �
x � 0��
�

x2  x  2

ĐS:+
x 1
x �1
Bài 13: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: (Giới hạn một bên tiến tới 1 số)
�9 x2
�
ta�
i x  3 ĐS:-6;-2; ko xđ
1) f (x)  �x  3 khi x  3
�
1 x khi x �3
�
�x2  2x
khi x  2
�
�8 x3
ta�
i x  2ĐS:-1/6; 32; K xđ
2) f (x)  � 4
�x  16 khi x  2
�
�x 2
�x2  3x  2
khi x  1
�
� 2
ta�
i x  1ĐS:-1/2; -1/2; -1/2
3) f (x)  � x  1
x

�

khi x �1
�
�2
� 1 x  1
khi x  0
�
�3
ta�
i x  0 ĐS:3/2;3/2;3/2
4) f (x)  � 1 x  1
�3
khi x �0
�
�2
Bài 14:
Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
�x3  1
�
ta�
i x  1ĐS:m=1
1) f (x)  �x  1 khi x  1
�
mx  2 khi x �1
�
20) lim

�x  m
khi x  0

�2
ta�
i x  0 ĐS:m=1
2) f (x)  �x  100x  3
khi x �0
�
� x 3
�x  3m
khi x  1
ta�
i x  1
�x  x  m 3 khi x �1
ĐS: m=2

3) f (x)  � 2
4)

�1
3

khi x  1
�
3
ta�
i x  1ĐS:m=1;m=2
EMBED Equation.DSMT4 f (x)  �x  1 x  1
2 2
�
m x  3mx  3 khi x �1
�


III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm:


f (x)  f (x0)
y = f(x) liên tục tại x0  xlim
�x
0

 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) )
x�x0

x� x0

x� x0

f (x) với f(x0) và rút ra kết luận.
B3: So sánh xlim
�x
0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng
lim f (x)  f (a), lim f ( x)  f (b)
x�a

(a; b) và


x�b

4.  Hàm số đa thức liên tục trên R.
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
f (x)
 Hàm số y =
liên tục tại x0 nếu g(x0)  0.
g(x)
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm c (a; b).
Mở rộng:
f (x) ,M = max f (x) Khi đó với mọi T  (m; M) ln tồn tại
Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min
 a;b
 a;b
ít nhất một số c  (a; b) sao cho f(c) = T.
Bài 1:
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
�x  3
 x 2  3x  4 khi x  1
�
khi x �1 ta�
6) f(x) = 
tại xo = 1ĐS:K Lt
i x  1ĐS: LT
1) f (x)  �x  1

2x  3
khi x 1

�
1
khi x  1
�
� x 3  2
�4  x 2
khi
x
�
1
�
khi x  2
�
�
7) f(x) = �x  2
tại xo = 2 ĐS:K Lt
ta�
i x  1ĐS:Lt
2) f (x)  � x  1
1
�
�
1  2x khix  2
�
khi x  1
�4
� 3

x
khi x �0
 x3  x  6
�
2
khi
x

2
�
 2
x  x 2
8) f(x) = �
tại xo = 0 ĐS: Lt
3) f(x) = 
tại xo = 2 ĐS: Lt
x 1 1
�
11
khi x  0

khi x 2
�
 3
�3 1  x  1
� x 5
�
1  2x  3
khi x  5
�

khi x �2
�
ta�
i x  5 ĐS:Lt
9) f (x)  � 2x  1  3
4) f(x) = � 2  x
tại xo = 2 ĐS:Lt
�
�
1 khi x  2
(x  5)2  3 khi x �5
�
�
�
1 cos x khi x �0
�2 7x  5x2  x3
ta�
i x  0 ĐS:K Lt
10) f (x)  �
�
khi
x
�
2
ta�
i x  2 ĐS:Lt
5) f (x)  � x2  3x  2
� x  1 khi x  0
�
1

khi x  2
� x1
�
khi x  1
�
ta�
i x  1 ĐS:Lt
11) f (x)  � 2 x  1
�
2x
khi x �1
�
Bài 2:
Tìm m, n,a để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
 x 3  2x  3
�x3  x2  2x  2
khi x 1

�
khi x �1 ta�
tại x0 = 1 ĐS:a=5/2
i x  1 ĐS:m=0 2) f(x) =  x 2  1
1) f (x)  � x  1
a
khi
x

1
�


khi x  1
�3x  m


� 1 x  1 x
khi x  0
�
�
x
5) f(x)= �
tại xo= 0 ĐS:a=-3
2
4

x
�
 3x  2x  1 khi x  1
a
khi x �0
4) f(x) = 
tại x0 = 1ĐS:a=2
� x2
2x

a
khi
x

1


�3 3x  2  2
khi x  2
�
�
6) f(x)= � x  2
tại x0 = 2 ĐS:a=0
1
�
ax +
khi x �2
� 4
Bài 3:
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
�x2  2
 x 2  3x  7 khi x   2
khi x � 2
�
1) f(x) = 
Lt / R
5) f (x)  �x  2
ĐS: Lt / R
khi x  2
1  x
�
2 2
khi x  2
�
�x2  3x  4 khi x  2
�
�

2) f (x)  �5
khi x  2 ĐS:K Lt tại x=2
x2  3x  10
khi x  2
�
�
2x  1
khi x  2
�
� x2  4
�2
khi x  1
2mx  3 khi x �1
�

3) f (x)  �x

ta�
i x  1 ĐS:m=2

�
2x  3
�x3  x  2
�
khi 2 �x �5 ĐS:K Lt tại x=5
6)
f(x)=
�
khi
x

�

1
�
x 2
� x3  1
�
3) f (x)  �
ĐS:Lt/ R
3x  4
khi x  5
�
�4
khi x  1
�
�3
�
�x2  4
�
khi x �2
4) f (x)  �x  2
ĐS:Lt/ R
�
4
khi x  2
�
Bài 4:
Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
�x2  x  2
�x3  x2  2x  2

�
�
khi
x
�
2
khi x �1
1) f (x)  � x  2
ĐS:m=3
3) f (x)  �
ĐS:m=0
x1
�
�
m
khi x  2
3x  m
khi x  1
�
�
�x2
�x2  x khi x  1
khi x  1
�
4) f (x)  �
ĐS: m=2
2) f (x)  �
2mx  3 khi x �1
2
khi x  1 ĐS: m=1

�
�
mx  1 khi x  1
�
Baøi 5:
Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm:
3
a) x – 2x – 7 = 0 ĐS: f(x) liên tục trên R và f(0).f(3)<0
b) x5 + x3 – 1 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 ĐS: f(-1).f(0)<0
d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 ĐS: f(0).f(5)<0
e) x5 + 9x2 + x + 2 = 0 ĐS: f(-3).f(0)<0
f) cosx – x + 1 = 0 ĐS: f(0).f(3)<0
g) x5  3x  3  0 ĐS: f(-2).f(0)<0

h) x5  x  1 0

ĐS: f(0).f(1)<0

i) x4  x3  3x2  x  1 0 ĐS: f(-2).f(0)<0
Baøi 6:
Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)<0; f(0)>0; f(2)<0; f(3)>0
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) ĐS:f(-2)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(2)>0
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)<0; f(-2)>0; f (0)<0; f(1)>0
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(3)>0
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)>0; f(0)<0; f (1)>0
f) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) ĐS:f(0)<0; f(1/2)>0; f (1)<0; f(5)>0
g) x5  5x3  4x  1 0 có 5 nghiệm trên (–2; 3). ĐS:f(-2)<0; f(-3/2)>0; f(0)<0; f(1/2)>0; f (1)<0; f(3)>0
Baøi 7:

Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
3
1) x  3x  1 0 ĐS: f(-2)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(2)>0


2) x3  6x2  9x  1 0 ĐS: f(-4)<0; f(-3)>0; f (-1)<0; f(0)>0
3) 2x  63 1 x  3 ĐS: f(-7)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(9)>0
Baøi 8:
Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
1) m(x  1)3(x  2)  2x  3  0ĐS:f(1).f(2)<0
x4  mx2  2mx  2  0 ĐS:f(0).f(2)<0
* a(x  b)(x  c)  b(x  c)(x  a)  c(x  a)(x  b)  0 HD: xét 4 TH: ax5-mx+m-4=0
HD: sử dụng giới hạn
mx3-5x+2=0
HD: sử dụng giới hạn.
f (x)
Khi m=0 pt ln có nghiệm. Khi m ≠0 Đặt f(x)=Vt Khi đó l im
 ��nên ln cố 2 số a,b để
x��� m
2)
3)
4)
5)

f(a)/m.f(b)/m<0 nên pt ln có nghiệm.
6) (1 m2)(x  1)3  x2  x  3  0 ĐS: sử dụng giới hạn
7) cos x  mcos2x  0 ĐS:f(/4)f(3/4)<0
8) m(2cos x  2)  2sin5x  1 ĐS: f(-/4)f(/4)<0
9) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 ĐS: f(1).f(-2)<0

10) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
ĐS: f(0).f(1)<0
Baøi 9:
Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
Bài 10: Chứng minh các phương trình sau ln có nghiệm:
1) ax2  bx  c  0 với 2a + 3b + 6c = 0
ax2  bx  c  0 với a + 2b + 5c = 0 ĐS: f(0)+f(1/2)=0
3) x3  ax2  bx  c  0 ĐS: dựa vào giới hạn
Baøi 11:
Cho 3 số a,b,c khác nhau .
Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt.
ĐS: f(a); f(b); f(c). Giả sử a < b < c. Thì f(a)>0; f(b)< x4 �۳۳
3 x 2 3x
x8 12x
ln có 2 nghiệm.
2)

x7 12 0; f(c)>0 nên pt

� 1�
0;
Chứng minh rằng phương trình: ax2  bx  c  0 ln có nghiệm x  �
� 3�
�
với a  0 và 2a + 6b + 19c = 0. ĐS: f(0)+2f(1/3)=0
Bài 13: Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo  (1;2) và xo >

Baøi 12: