Đề: 01
 x3 y 3  x  iy 
, khi z  0,

3
Câu 1: Cho hàm f  z     x 2  y 2 

khi z  0.
 0,
Chứng minh rằng hàm f khơng có đạo hàm tại z  0 .
Lời giải
Xét giới hạn

x3 y 3  x  iy 

x

f  z   f  0
lim
 lim
z 0
x  iy 0
z 0

2

 y2 

x  iy

3

 lim

x  iy 0

x

x3 y 3
2

 y2 

3

.

+ Xét trên trục thực, ta có
lim

x  iy  0

x

x3 y 3
2

y




2 3

 lim

0
 lim 0  0.
x 6 x 0

 lim

0
 lim 0  0.
y 6 y 0

x 0

+ Xét trên trục ảo, ta có
lim

x  iy 0

x

x3 y 3
2

y




2 3

y 0

+ Xét trên đường thẳng x  y , ta có
lim

x  iy  0

x

x3 y 3
2

 y2 

3

x6
1 1
 lim  .
6
x 0 8 x
x 0 8
8

 lim

Ta thấy các giới hạn khác nhau. Suy ra giới hạn lim
z 0


f  z   f  0
x3 y 3
 lim
không tồn tại
x  iy  0
2
2 3
z 0
x

y



Vậy hàm f khơng có đạo hàm tại z  0 .
Câu 2 : Cho hàm u  x, y   5 x 4 y  10 x 2 y 3  y 5  x3 y  xy 3  e 2 x sin 2 y.
a. Chứng minh rằng u là hàm điều hịa.
b. Tìm hàm v liên hợp điều hòa với u sao cho hàm f  z   f  x  iy   u  x, y   iv  x, y  là hàm
giải tích.
Lời giải
a, Chứng minh rằng u là hàm điều hịa.
Ta có ux  20 x3 y  20 xy 3  3x 2 y  y 3  2e2 x sin 2 y  uxx  60 x 2 y  20 y 3  6 xy  4e2 x sin 2 y.
Và u y  5 x 4  30 x 2 y 2  5 y 4  x3  3xy 2  2e2 x cos 2 y  u yy  60 x 2 y  20 y 3  6 xy  4e2 x sin 2 y.
Suy ra uxx  u yy  0. Suy ra u là hàm điều hòa.


b. Tìm hàm v liên hợp điều hịa với u sao cho hàm f  z   f  x  iy   u  x, y   iv  x, y  là hàm
giải tích.


 u v
 x  y ,

Vì hàm v phải thỏa mãn phương trình Cauchy – Riemann 
 u   v .
 y
x
Ta có

v u

 20 x3 y  20 xy 3  3x 2 y  y 3  2e2 x sin 2 y.
y x

Và

v
u

 5 x 4  30 x 2 y 2  5 y 4  x3  3xy 2  2e2 x cos 2 y.
x
y

Từ

v
 20 x3 y  20 xy 3  3x 2 y  y 3  2e2 x sin 2 y , ta suy ra
y
v  x, y     20 x3 y  20 xy 3  3x 2 y  y 3  2e 2 x sin 2 y  dy  h  x 
 10 x3 y 2  5 xy 4 


Suy ra

3x 2 y 2 y 4
  e2 x cos 2 y  h  x  .
2
4

v
h
 30 x 2 y 2  5 y 4  3xy 2  2e2 x cos 2 y  . Kết hợp với
x
x
v
 5 x 4  30 x 2 y 2  5 y 4  x3  3xy 2  2e2 x cos 2 y,
x

ta suy ra

h
 5 x 4  x 3 . Suy ra
x

h  x     5 x 4  x 3  dx
  x5 

x4
 C,
4


ở C đây là hằng số. Vậy hàm

3x 2 y 2 y 4
x4
2x
5
v  x, y   10 x y  5 xy 
  e cos 2 y  x   C.
2
4
4
3

Câu 3 : Tính tích phân I 

2

4

e2 z

  z  1 z  2 

3

dz trong các trường hợp sau:

C

a. C là hình trịn z  1  1 ;

b. C là hình trịn z  2  1 .
Lời giải

 z  1 C
3
.
a, Với C là đường tròn z  1  1 . Từ  z  1 z  2   0  
z  2C


e2 z
Vì

e2 z

 z  1 z  2 

3

 z  2

z 1

3

e2 z

, nên ta chọn f  z  

 z  2


3

, z0  1.

Theo công thức tích phân Cauchy, ta có
e2 z
I

e2 z

  z  1 z  2 

3

dz 

C

 2 i.

e z0

 z0  2 

3

 2 i.




 z  2

3

z 1

C

e1

 1  2 

3



dz  2 if  z0 
2 e 1i
.
27

 z  1 C
3
.
a, Với C là đường tròn z  2  1 . Từ  z  1 z  2   0  
z  2C

Vì


e2 z

 z  1 z  2 

3

e2 z
e2 z
 z  1 3 , nên ta chọn f  z  
, z0  2. Ta có
z 1
 z  2

f  z 

2 ze2 z  e2 z

 z  1

2

, f   z  

4 ze2 z  4 z 2e2 z  2e2 z

 z  1

3

.


Theo cơng thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có

e2 z
e
z  1 dz  2 if   z0    if   z  
I
dz

0
3
3

2!
C  z  1 z  2 
C  z  2
2z

  i.

4 z0e2 z0  4 z02e2 z0  2e2 z0

 z0  1

3

  i.

8e4  16e4  2e4


 2  1

3



26 e4i
.
27


Đề: 02
 xy 3  x  iy 
, khi z  0,

Câu 1: Cho hàm f  z    x 4  3 y 4
 0,
khi z  0.

Chứng minh rằng hàm f khơng có đạo hàm tại z  0 .
Lời giải
Xét giới hạn
xy 3  x  iy 
f  z   f  0
xy 3
x4  3 y 4
lim
 lim
 lim 4
.

z 0
x  iy 0
x  iy 0 x  3 y 4
z 0
x  iy

+ Xét trên trục thực, ta có

xy 3
0
 lim 4  lim 0  0.
4
4
x iy 0 x  3 y
x 0 x
x 0
lim

+ Xét trên trục ảo, ta có

xy 3
0
lim
 lim 4  lim 0  0.
x  iy 0 x 4  3 y 4
y 0 3 y
y 0
+ Xét trên đường thẳng x  y , ta có

xy 3

x4
1 1
lim
 lim 4  lim  .
x  iy 0 x 4  3 y 4
x 0 4 x
x 0 4
4
Ta thấy các giới hạn khác nhau. Suy ra giới hạn lim
z 0

f  z   f  0
xy 3
không tồn tại
 lim 4
x  iy 0 x  3 y 4
z 0

Vậy hàm f khơng có đạo hàm tại z  0 .
Câu 2: Cho hàm u  x, y   5 x 4 y  10 x 2 y 3  y 5  x 4  y 4  6 x 2 y 2  e2 x cos 2 y.
a. Chứng minh rằng u là hàm điều hịa.
b. Tìm hàm v liên hợp điều hòa với u sao cho hàm f  z   f  x  iy   u  x, y   iv  x, y  là hàm
giải tích.
Lời giải
a, Chứng minh rằng u là hàm điều hịa.
Ta có

ux  20 x3 y  20 xy 3  4 x3  12 xy 2  2e2 x cos 2 y  uxx  60 x 2 y  20 y 3  12 x 2  12 y 2  4e2 x cos 2 y.
Và



u y  5 x 4  30 x 2 y 2  5 y 4  4 y 3  12 x 2 y  2e 2 x sin 2 y
 u yy  60 x 2 y  20 y 3  12 y 2  12 x 2  4e 2 x cos 2 y.

Suy ra uxx  u yy  0. Suy ra u là hàm điều hịa.
b. Tìm hàm v liên hợp điều hịa với u sao cho hàm f  z   f  x  iy   u  x, y   iv  x, y  là hàm
giải tích.

 u v
 x  y ,

Vì hàm v phải thỏa mãn phương trình Cauchy – Riemann 
 u   v .
 y
x
Ta có

v u

 20 x3 y  20 xy 3  4 x3  12 xy 2  2e2 x cos 2 y.
y x

Và

v
u
   5 x 4  30 x 2 y 2  5 y 4  4 y 3  12 x 2 y  2e2 x sin 2 y.
x
y


Từ

v
 20 x3 y  20 xy 3  4 x3  12 xy 2  2e2 x cos 2 y , ta suy ra
y
v  x, y     20 x3 y  20 xy 3  4 x3  12 xy 2  2e 2 x cos 2 y  dy  h  x 
 10 x3 y 2  5 xy 4  4 x3 y  4 xy 3  e2 x sin 2 y  h  x  .

Suy ra

v
h
 30 x 2 y 2  5 y 4  12 x 2 y  4 y 3  2e 2 x sin 2 y  . Kết hợp với
x
x
v
 5 x 4  30 x 2 y 2  5 y 4  4 y 3  12 x 2 y  2e 2 x sin 2 y,
x

ta suy ra

h
 5 x 4 . Suy ra
x
h  x    5 x 4 dx   x 5  C ,

ở C đây là hằng số. Vậy hàm

v  x, y   10 x3 y 2  5xy 4  4 x3 y  4 xy 3  e2 x sin 2 y  x5  C.
Câu 3: Tính tích phân I 


e3 z

  z  1  z  2  dz trong các trường hợp sau:
3

C

a. C là hình trịn z  1  1 ;
b. C là hình trịn z  2  1 .
Lời giải

 z  1 C
3
.
a, Với C là đường tròn z  1  1 . Từ  z  1  z  2   0  
 z  2  C


e3 z
e
e3 z
z

2

, nên ta chọn f  z  
Vì
, z0  1. Ta có
3

3
z2
 z  1  z  2   z  1
3z

f  z 

3ze3 z  5e3 z

 z  2

2

30 ze3 z  9 z 2e3 z  26e3 z

, f   z  

 z  2

3

.

Theo cơng thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có

e3 z
2 if   z0 
e
I
dz   z  2 3 dz 

  if   z0 
3
2!
z

1
z

2
z

1






C
C
3z

  i.

30 z0e3 z0  9 z 2e3 z0  26e3 z0

 z0  2 

3


  i.

30.e3  9.e3  26e3

1  2 

3



 z  1 C
3
.
b, Với C là đường tròn z  2  1 . Từ  z  1  z  2   0  
 z  2  C

e3 z
Vì

e3 z

 z  1  z  2 
3

 z  1

z2

3


, nên ta chọn f  z  

e3 z

 z  1

, z0  2.

3

Theo cơng thức tích phân Cauchy, ta có
e3 z
I

e3 z

  z  1  z  2 dz  
3

C

 2 i.

C

e3 z0

 z0  1

3


 2 i.

 z  1

3

z2

e6

 2  1

3



dz  2 if  z0 
2 e6i
.
27

65 e3i
.
27